A =2 ; A =-1 PROBLEMA 1

PROBLEMA 1
*Para que los vectores sean perpendiculares su producto escalar tiene que ser cero, por
lo tanto:
0
*
⇒(A•2A) + (-2A)+(1•(-4))=0 ⇒ 2A2 -2A- 4 =0 ⇒ A1 =2
; A2=-1
*Por lo que se obtiene que para A=2 y A=-1 los vectores son perpendiculares.
PROBLEMA 2
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P( x1 , y1 , z1 ) y Q( x 2 , y2 , z 2 ) .
Los puntos P y Q forman una recta, cuyo vector director es PQ que tiene por
componentes ( x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) . Si tomamos un punto cualquiera A, perteneciente a la
recta, obtendremos el vector de origen (0,0,0) y de dirección y sentido hacia A, que
llamaremos rA , y será igual a :
rA = rP + µ (PQ )
de donde;
rP es el vector de origen (0,0,0) y dirección y sentido hacia el punto P. Entonces el vector rA
se puede definir como la suma del vector rP y el vector PQ multiplicado por el coeficiente
µ.
Por lo tanto, la ecuación de la recta será:
( x, y , z ) = ( x1 + µ( x2 − x1 ), y1 + µ( y2 − y1 ), z1 + µ( z2 − z1))
En paramétricas;
 x = x1 + µ( x2 − x1 ) 


 y = y1 + µ( y2 − y1 )
 z = z + µ( z − z ) 

1
2
1 
PROBLEMA 3
Un vector A tiene un modulo de 36 y sus cosenos directores son proporcionales a 2, -3, 1 ;
Otro vector B tiene de componentes (2, -3, 4). Determinar el producto escalar y el ángulo que
forman.
Primero determinamos el valor del vector A:
cos2α + cos2β + cos2γ = 1
4k2 + 9k2 + k2 = 1
14k2 = 1
k2 = 1/14
A = 36 * (2, -3, 1) / 3,74
cosα = k*2
cosβ = -3*k
cosγ = k
k = 1/3,74
Lo que nos permite determinar el producto vectorial de A por B:
A*B = 36*(4+9+4)/3,74 = 36*17/3,74 = 163,56
Además sabemos que
A*B = A * B *cosσ
Por lo que
Como el modulo de B vale :  B =5,38
cosσ= A*B /  A * B 
La ecuación anterior se transforma en
cosσ=163,56 / (36*5,38)
Por lo que el ángulo que forman A y B es: σ = 32,4 ˚
PROBLEMA 4
. La suma de los vectores A y B, es otro C de módulo 24 y cuyos cosenos
directores son 1/3, -2/3, 2/3; además el vector 3A-2B tienen por componentes (7,
9, 3). Calcular las componentes de los vectores A y B.
Sabiendo que:
ax = a cosu
ay = a cosv
az = a cosw; siendo u, v, w, los ángulos que forman las proyecciones
del vector A sobre los ejes coordenados.
Tenemos que:
Si:
Entonces:
A+B = C = 24*1/3i + 24*(-2/3)j + 24*2/3k = 8i - 16j + 16k.
2A +2B = 16, -32, 32
+ 3A - 2B = 7, 9, 3
____________________
5A
= 23, -23, 35
A
=
23/5i - 23/5j + 7k.
Por lo que B será igual a C - A:
B
=
17/5i - 57/5j + 9k.
PROBLEMA 5
Hallar la distancia del punto P de coordenadas (4,5,7), al plano que pasa por Q(-3, 6, 12) y
que es perpendicular al vector v = 4i – j + 3k
Si un plano es perpendicular a un vector, el vector normal de ese plano
es el vector director de ese vector perpendicular a él.
N=(4,-1,3)
p
Y como conocemos el vector normal del plano, y un punto de él se puede
hallar la ecuación de éste fácilmente
4x-y+3z+D=0
4(3)-(6)+3(12)+D=0
-12-6+36-D=0
D=18
0 = 4x – y + 3z + 18
Una vez tengo el plano, he de calcular la distancia del punto dado a él.
P
a
distancia
Q
Distancia=|PQ|.cosa
PQ.v=|PQ|.|v|.cosa
distancia=|PQ|cosa
(1)
Distancia =
PQ.v
|v|
Sustituyendo en la formula (1) por los datos que nos da el
enunciados del problemas se obtiene que la distancia del punto al plano
es de 2.75 unidades de longitud
PROBLEMA 6
Demostrar los teoremas del seno y del coseno para triángulos
mediante el cálculo vectorial:
Seno: A/sen a = B/sen b = C/sen c
Coseno: C2 =A2 + B2 –2Abcos c
SOLUCIÓN:
TEOREMA DEL COSENO
A= B+C
C= A-B
C*C = /C/2= (A-B)*(A-B) = A*A - A*B + B*B - B*A =
/A/2 +/B/ 2- 2/A/*/B/ cosc
C2 =A2 +B2 -2*A*B*cos c
TEOREMA DEL SENO
/A∧B/ = /B∧C/ = 2 veces el área del triangulo.
/A∧B/ = /A/*/B/*sen c
/B∧C/ = /B/*/C/*sen a
/A/*/B/*sen c = /B/*/C/*sen a
A/sen a =B/sen b =C/sen c
PROBLEMA 7
Se aplica una fuerza F = 3i + 2j - 4k en el punto ( 1 , -1, -2 ) . Hallar el momento
de F respecto del punto ( 2 , -1, 3 ).
Se trata de calcular el momento del vector fuerza F = ( 3 , 2, -4 ).
Situamos los datos en un sistema de coordenadas:
Siendo P el punto dado ( 1, -1, -2 ), y F el vector fuerza.
Y lo comparamos con el sistema de coordenadas teórico:
Ma ⋅ F = AP ∧ F =  APF sen θ ⋅ n
( n = vector unitario perpendicular al plano formado por AP y F ).
Conocemos todos los datos, por lo que sólo nos queda aplicar la fórmula:
F = ( 3 , 2,-4 ), AP = (1, -1, -2 ) – ( 2, -1, 3 ) = ( -1, 0, -5 )
Luego, operamos Ma ⋅ F = AP ∧ F , es decir , el producto vectorial :
i
Ma ⋅ F = AP ∧ F = -1
3
j
0
2
k
-5 = i ( 0 +10 ) – j ( 4+15 ) + k ( -2+0 ) =10i – 19j – 2k
-4
El momento de F respecto del punto ( 2 , -1, 3 ) es el vector : Ma ⋅ F = ( 10, -19, -2 ).
PROBLEMA 9
Siendo R = 3t i + sen(t) j + cos(t) k , calcular: dR/dt, d2R/dt2, dR/dt, d2R/dt2,
dR/dt, ∫ R dt
dR/dt = 3 i + (cos t) j + (-sen t) k
d2R/dt2 = 0 i + (-sen t) j + (-cos t) k
dR/dt = (32 + (cos t) 2 + (-sen t) 2 )1/2 = = (9 + 1 )1/2 = (10 )1/2
d2R/dt2
= (0 + (cos t) 2 + (-sen t) 2 )1/2 = = (1 ) 1/2 = 1
|R| = ((3t) 2+(sen t) 2+(cos t) 2) 1/2 = (9t 2 + 1) 1/2
dR/ dt = (1/2) (9t 2 + 1) -1/2 18t = 9t (9t 2 + 1) -1/2
∫ R dt =
∫ (3t i + sen t j + cos t ) dt_
= ( 3 t2 / 2 i + (-cos t) j + sen t k )+ C
PROBLEMA 10
Determinar el gradiente de la función escalar:
F = 3x2z + y3z2x
El gradiente grad ∇F, es el producto entre el operador nabla ∇ y la
función escalar.
∇(operador nabla) ∇ = ∂/∂x î + ∂/∂y j + ∂/∂z k
El operador nabla sirve para pasar de un campo escalar a otro vectorial y viceversa. En este caso,
cuando tenemos el gradiente, transforma un campo escalar en uno vectorial.
El gradiente es un vector perpendicular en cada punto a las superficies
equipotenciales y su dirección es la de la máxima pendiente.
SOLUCIÓN:
∇F = ∂F/∂x î + ∂F/∂y j + ∂F/∂z k
= (6xz + y3 z2 ) î + (3y 2 z2 x) j + (3x 2 + zy3 x) k