______________________________________________________________________ PROBLEMA 2

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PROBLEMA 2
Trazar y determinarlas ecuaciones de la trayectoria de un punto si este se mueve según las
ecuaciones: a) x = a sen(wt), y = a sen(2wt), b) x = a sen (wt), y = a cos(2wt).
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SOLUCION
Apartado a):
X = a sen (wt)
Y= a sen (2wt)
Partiendo de la definición de seno del ángulo doble: [sen(2α) = 2 sen (α) cos (α) ]
la coordenada Y la podemos escribir como:
Y = 2a sen(wt)cos(wt)
Elevando las dos ecuaciones al cuadrado obtenemos
X2 = a2 sen2(wt)
Y2 = 4a2 sen2(wt)cos2(wt)
A continuación restamos las ecuaciones,
X2-Y2= a2 sen2(wt)[ 1- 4cos2(wt)]
Sustituimos el cos2(wt) por (1-sen2(wt)) y puesto que (1-sen2(wt))= 1 – X2/a2, finalmente
tenemos que:
Y2= 4X2 (1- (X2/a2))
10
Y2= 4X2 (1- (X2/a2))
Y
5
0
-5
-10
-10
-5
0
X
5
10
Apartado b):
X = a sen (wt)
Y= a cos (2wt)
2
2
Partiendo de la definición de coseno del ángulo doble [cos(2α) = cos (α) -sen (α) ]
la coordenada Y la podemos escribir como:
Y= a[cos2(wt) - sen2(wt)] = a[(1 - sen2(wt)) - sen2(wt)] = a[1 - 2sen2(wt)]
Teniendo en cuenta que X2= a2 sen2(wt) ⇒ sen2(wt) = X2/ a2
Sustituimos este valor del sen2(wt) en la ecuación de la Y ⇒
Y= a[1- 2X2/a2]
15
2
2
Y= a[1- 2X /a ]
10
Y
5
0
-5
-10
-10
-5
0
x
5
10
PROBLEMA 4
Un reloj de péndulo de periodo 1 s se dilata 0.1 mm por efecto de la temperatura de la
habitación en la que se encuentra. Suponiendo que este efecto se mantiene constante, ¿Cuánto
se adelanta o retrasa en 24h?
SOLUCIÓN
a) Como se puede observar en la imagen la fuerza que provoca el movimiento es la
componente x del peso: F = -mg senθ
Para pequeños ángulos, el senθ se puede sustituir por x/l. Así nos queda:
F = -mg(x/l)
F = - (mg/l ) x ⇒
F = -k x
→ MAS
⇓
k
b) Teniendo en cuenta que el periodo es: T= 2π / ω ; y que ω = √ (k/ m) = √ (mg/ lm) =
√ (g/l)
de esta forma el periodo se puede expresar como:
T = 2π/w = 2π√ l/g
2
2
Despejamos la longitud del péndulo
l = T g/ 4 π
Dando valores a los términos la longitud sale l = 0.248237m
3
A esta longitud hay que sumarle la dilatación 0.1 10- m; El resultado es:
L= 0.248336m
Con este dato calculamos el nuevo periodo: T1 = 2π√ (l/g) = 1.0002014 s
Al ser el péndulo mas largo el periodo se retrasará: T1 - T = 0.0002014 s
Que en 24h equivale a: 0.0002014 ⋅ 60(seg/ minuto) ⋅ 60( minutos/h) ⋅24 h
Retraso = 17. 4 s