Programa del curso MA420 Introducción a la teoría de números I

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Programa del curso MA420
Introducción a la teoría de números
I Ciclo Lectivo 2011
Estimado (a) estudiante:
Reciba la más cordial bienvenida y mis más sinceros deseos de éxitos en sus estudios. Este
documento tiene por objetivo proporcionarle los lineamientos generales del curso
Introducción a la teoría de números y sugerirle, por la importancia de los aspectos que aquí
se plantean, que lo lea, lo conserve y tenga presente las directrices proporcionadas en él
durante el desarrollo del curso.
I DESCRIPCIÓN
Este es un curso de cuatro (4) créditos del bachillerato en Enseñanza de la Matemática de la
Universidad de Costa Rica. Se desarrollará en cinco horas semanales y se espera que el (la)
estudiante tenga una formación básica en geometría, álgebra y análisis matemático, en
particular conozca la estructura algebraica de los conjuntos
, , , el principio de
inducción matemática y la representación de los números en distintas bases.
El propósito principal del curso consiste en proporcionar al estudiante un panorama general
acerca del conjunto de los números enteros y en estudiar con más detalles algunas de sus
propiedades como divisibilidad, congruencia, distribución de los números primos y
ecuaciones diofánticas, las funciones más importantes de la teoría y congruencias, a fin de
que este conocimiento sea parte integral de su formación matemática.
También se busca crear conciencia en el estudiante acerca de la importancia de los aspectos
históricos de la teoría de números. Además, el curso pretende ofrecer un ambiente propicio
para que el (la) estudiante pueda desarrollar competencias investigativas que serán
fundamentales en su trabajo de graduación y en su futura profesión.
Se espera que usted tenga una buena disposición, disciplina y dedicación para lograr disfrutar
de todas las actividades que realizaremos en el curso.
II OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Que el (la) estudiante sea capaz de:
1. Analizar históricamente el desarrollo de la teoría de números desde una perspectiva
de la Didáctica de la Matemática.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Aplicar criterios de divisibilidad.
Demostrar teoremas relacionados con el algoritmo de la división.
Demostrar teoremas relacionados con los números primos.
Resolver ecuaciones diofánticas de dos y tres variables y hasta segundo grado.
Resolver congruencias de primero y segundo grados.
Aproximar un número irracional por una fracción continuada infinita.
Resolver problemas matemáticos que requieren el uso de la teoría de números.
Valorar la importancia de la teoría de números en los procesos de enseñanza y de
aprendizaje de la Matemática.
10. Elaborar y aplicar materiales didácticos que incorporen la teoría de números en los
procesos de enseñanza y de aprendizaje de la Matemática.
11. Desarrollar una investigación y comunicar los resultados obtenidos.
III CONTENIDOS PROGRAMÁTICOS
1: Teoría de divisibilidad
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Propiedades de la divisibilidad
Algoritmo de la división
Representación de un entero positivo en una base
El teorema fundamental de la aritmética
Máximo Común Divisor y Mínimo Común múltiplo
Algoritmo de Euclides
Criterios de divisibilidad
2: Ecuaciones Diofánticas lineales
3.1 Fracciones continuadas simples
3.2 Ecuación diofántica ax  by  c
3.3 Ecuación diofántica a1 x1  a2 x2 
 an xn  d
3: Funciones especiales en teoría de números
4.1. Función parte entera y parte fraccionaria de un número real
4.2. Funciones multiplicativas
4.3. Función de Möbius
4.4. Función Phi de Euler
4.5. Solución de la ecuación  ( x)  m, m 
4: Congruencia
5.1. Sistemas de residuos y congruencias
5.2. Teoremas de Wilson, Fermat y Euler
5.3. Teorema Chino del residuo
5.4. Congruencia polinomial
5.5. Reciprocidad cuadrática
IV DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS PROGRAMÁTICOS
La parte teórica de los contenidos del curso será desarrollada por el docente. La parte
práctica será trabajada individualmente y en grupos en el aula y fuera de clases, lo que
implicará en una participación activa de cada estudiante en el proceso de construcción de su
aprendizaje además de requerir varias horas de estudio fuera de clase. También serán
tratados algunos temas que no están contemplados en los contenidos del curso, los que serán
investigados y expuestos por los estudiantes.
1) Cada grupo de tres (3) estudiantes deberá seleccionar un tema especial para exponerlo en
el aula. Para el tema que seleccione el grupo deberá:





realizar una pequeña investigación (libros, internet, revistas, bases de datos),
desarrollar los aspectos matemáticos relacionados con el tema
Incluir aspectos históricos ligados al tema
presentar al profesor un documento que recopile la información obtenida,
exponer su investigación ante el grupo.
La selección de los temas se llevará a cabo a más tardar, durante la segunda semana de
clases. Las fechas de la exposición serán: martes 21 y viernes 24 de junio del 2011 a partir
de la 1 p.m.
El tiempo máximo para cada exposición es de 50 minutos (el mínimo es de 35 minutos) y el
documento se entrega en el día de la exposición. Para la exposición se pueden aportar fotos,
láminas y materiales que ilustren la información. Se recomienda el uso del proyector u otro
recurso tecnológico.
El informe escrito deberá incluir los siguientes componentes:




portada con formato adecuado,
tabla de contenidos debidamente estructurada,
objetivos o metas,
análisis histórico de un elemento matemático específico que corresponda al tema
seleccionado,
 desarrollo del contenido matemático del elemento seleccionado anteriormente,
 anexos alusivos al tema,
 bibliografía y referencias en formato APA (American Psychological Association).
Consultar: www.apa.org.
El documento y la exposición en el aula tienen igual valor (50% cada).
2) Cada grupo de tres (3) estudiantes deberá elaborar un proyecto que consiste en
seleccionar un objetivo del plan de estudios de matemática del tercer ciclo o de la
educación diversificada, que se relacione con la teoría de números, elaborar un
planeamiento didáctico que incorpore elementos de teoría de números y exponer el
proyecto en el aula. El planeamiento didáctico debe incluir:









portada con formato adecuado,
tabla de contenidos debidamente estructurada,
objetivos o metas,
Introducción
actividades de mediación,
actividades de evaluación,
valores y actitudes a desarrollar,
anexos alusivos al tema
bibliografía y referencias en formato APA (American Psychological Association).
Consultar: www.apa.org.
Igual que antes, el tiempo máximo para cada exposición es de 50 minutos (el mínimo es de
35 minutos) y el documento se entrega en el día de la exposición. Para la exposición se
pueden aportar fotos, láminas y materiales que ilustren la información. Se recomienda el uso
del proyector u otro recurso tecnológico. Las exposiciones del planeamiento se llevarán a
cabo en los días jueves 7 y viernes 8 de julio del 2011 a partir de la 1 p.m. Como antes,
documento y exposición tienen igual valor.
Por la dinámica del curso, se espera que el ambiente de clase favorezca un clima de respeto
mutuo en la relación entre compañeros, una actitud participativa, colaborativa y de
confianza.
V EVALUACIÓN
El trabajo de los y las estudiantes será evaluado de acuerdo a los elementos dados en la tabla
abajo.
Proyecto de investigación y exposición de contenidos: martes 10%
21, viernes 24 de junio
Proyecto de investigación y exposición del planeamiento 10%
didáctico: jueves 7, viernes 8 de julio
Tareas
10%
Quices y trabajos en el aula
10%
I Examen de desarrollo en el aula: martes 26 de abril, 1 p.m., 30%
temas 1, 2 y 3
II Examen de desarrollo en el aula: miércoles 13 de julio, 1 p.m. 30%
Con las ponderaciones anteriores se saca la nota de aprovechamiento del estudiante. La
calificación mínima para aprobar el curso es de 70. Si la nota de aprovechamiento es 60 o 65
entonces el estudiante hará un examen de ampliación el miércoles 20 de julio a la 1 p.m. En
la ampliación serán evaluados todos los contenidos desarrollados en el curso.
VI TEMAS ESPECIALES PARA EXPOSICIÓN
1. Números especialses (perfecto, amigo, primo tipo Mersenne)
2. Método de descenso infinito para ecuaciones diofantinas
3. Criptografía
4. Generalización de Gauss del teorema de Wilson
5. Problemas clásicos de construcción
6. Ecuación de Pell
7. Irracionalidad de  y de e
8. Distribución de números primos gemelos
9. Aritmética de curvas elípticas
10. Algoritmos para comprobar primalidad
11. Algoritmos para computar ( x)
12. Algoritmo para generar parejas de números amigos
13. Algoritmos para verificar la conjetura de Goldbach
14. Algoritmos para encontrar números perfectos impares
15. El método Pollard Rho para factorizar
16. El calendario
17. El juego de p-reinas
18. Otros temas sugeridos por los estudiantes y aprobados por el profesor
VII BIBLIOGRAFÍA
Apostol, T. (1980). Introducción a la Teoría Analítica de Números. Editorial Reverté.
Barcelona
Barrantes, H.; Díaz, P.; Murillo, M,; Soto, A. (1998). Introducción a la teoría de números.
UNED
Burton, D. (2007). Elementary number theory (sexta edición). McGrawHill
Davenport, H. (2008). The higher arithmetic: an introduction to the theory of number
(octava edición). Cambridge University Press
Erdos, P.; Suráyani J. (2003). Topics in the theory of numbers. Springer verlag
Flath, D. E. (1998). Introduction to number theory. John Wiley & Sons Inc
Gentile, E. R. (1985). Aritmética elemental. Secretaría General de la Organización de los
Estados Americanos. Serie de matemática. Monografía número 25.
Giblin, P. (1993). Primes and programming. An introduction to number theory with
computing. Cambridge University Press.
Hardy. G. H.; Wright, E. M.; Heath-Brown, D. R.; Silverman, J. H. (2009). An
introduction to the Theory of Numbers. Posts & Telecom Press
Hoffstein, J.; Pipher, J.; Silverman, J. (2008). An introduction to mathematical cryptography.
Springer
Koshy, T. (2007). Elementary number theory with applications (segunda edición). Academic
Press, Elsevier
Murillo, T.; González, F. (2006). Teoría de los números. Editorial Tecnológica de Costa
Rica
Nagell, S. Y. (1951). Introduction to number theory. John Wiely & Sons Inc
Niven, I.; Zuckerman, H. (1976). Introducción a la teoría de los números. Editorial Limusa
Ore, O. (1988). Number theory and its history. Dover, N. Y.
______ (1967). Invitation to number theory. Random House. New Mathematical Library.
Santos, J. P. (1998). Introducción à teoría dos números. Coleção Matemática Universitária.
Sociedade Brasileira de Matemática
Starke, H. M. (1998). An introduction to number theory. The MIT Press
Stopple, J. (2003). A primer of analytic number theory: from Pythagoras to Riemann.
Cambridge University Press
Tattersall, J. (2005). Elementary number theory in nine chapters (segunda edición).
Cambridge University Press
Vinográdov, I. (1977). Fundamentos de la teoría de los números (segunda edición). Editorial
MIR, Moscú
Vorobiov, N. (1984). Criterios de divisibilidad (segunda edición). Editorial MIR, Moscú
Yan, S. Y. (2002). Number theory for computing (segunda edición). Springer
Profesor Edison De Faria Campos
Oficina 420 Física y Matemática
[email protected], [email protected]
HORARIO DE ATENCIÓN A ESTUDIANTES
Lunes: 10-12m, 1p.m.-5p.m.
Jueves: 10-12m
Oficina 420 Física y Matemática
HOJA DE COTEJO PARA EVALUAR LA EXPOSICIÓN ORAL
Nombres de expositores:
Tema de la exposición:
Elementos
DEF
(2)
REG
(4)
B
(6)
Estructura de la exposición
Claridad de la exposición
Secuencia de las ideas presentadas
Completitud del tema
Pertinencia
Creatividad, innovación
Expositor (a)
Preparación anticipada del entorno
Fomento de la participación activa de la
audiencia
Dominio del tema
Utilización de recursos didácticos
Eficiencia en la disposición del tiempo
asignado
Total:
Firma del profesor: __________________________________
Fecha:
MB
(8)
EXC
(10)
HOJA DE COTEJO PARA EVALUAR INFORME ESCRITO DE TEMA ASIGNADO
Tema:
Nombre(s) de (los) (las) estudiante(s):
ELEMENTO A EVALUAR
PUNTAJE
ASIGNADO
Portada
3
Tabla de contenidos debidamente estructurada
7
Objetivos o metas
5
Precisión en el uso del vocabulario
15
Bibliografía amplia, bien reportada y bien referenciada
(Formato APA)
10
Secuencia, coherencia y calidad de análisis histórico del
elemento matemático
20
Creatividad, coherencia y calidad del análisis matemático
40
Total:
Firma del profesor: __________________________________
Fecha:
PUNTAJE
OBTENIDO
HOJA DE COTEJO PARA EVALUAR INFORME ESCRITO DE PLANEAMIENTO
Tema:
Nombre(s) de (los) (las) estudiante(s):
ELEMENTO A EVALUAR
PUNTAJE
ASIGNADO
Portada y tabla de contenidos debidamente estructurada
5
Objetivos o metas
5
Precisión en el uso del vocabulario
15
Bibliografía amplia, bien reportada y bien referenciada
(Formato APA)
10
Secuencia, coherencia y calidad de análisis matemático
30
Creatividad, coherencia y calidad de actividades de
mediación
15
Creatividad, coherencia y calidad de actividades de
evaluación
15
Pertinencia y calidad de valores y actitudes a desarrollar
5
Total: 100
Firma del profesor: __________________________________
Fecha:
PUNTAJE
OBTENIDO