ejercicios de análisis - Centro Concertado Juan XXIII Cartuja

EJERCICIOS DE ANÁLISIS
1º.-
(2,5 puntos) Determina la función f :  0,  
tal que f ''  x  
1
y su
x
gráfica tiene une tangente horizontal en el punto P 1,1 .
f ( x )  x ln( x )  x  2
SOLUC:
2º.- Sea f
la función definida por f  x  
3x 4  1
x3
para x  0 .
a) (1,25 puntos) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función.
b) (1,25 puntos) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los
extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).
SOLUC: a) AV: x = 0 AH: no tiene
AO: y = 3x
b) crece: (- ∞, -1) U (1, ∞)
3º.-
decrece: (- 1, 0) U (0, 1)
(2,5 puntos) En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal
manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto
2
en la parábola y   x  3 Determina las dimensiones del rectángulo para que
su área sea máxima.
SOLUC: Se trata del rectángulo de base 1 u y de altura 2 u.
4º.-
Sea
f :  1,   
la función definida por
f  x   Ln  x  1 donde Ln
denota la función logaritmo neperiano.
a) (0,75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f , el eje OY
y la recta y  1 . Calcula los puntos de corte de las gráficas.
b) (1,75 puntos) Halla el área del recinto anterior.
SOLUC: b) A = e – 2 u
5º.- Sean las funciones
2
2
f: R → R y
f ( x )  x  ax  b
g:R→R
definidas por
g ( x )  ce  ( x  1 )
Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto (-1,2) y tienen en ese
punto la misma recta tangente.
a) (2 puntos) Calcula los valores de a, b y c.
b) (0,5 puntos) Halla la ecuación de dicha tangente.
SOLUC: a) a = 0 b = 1 c = 2
b) y = - 2x
6º.- Sea g: (0,+∞) → R
la función definida por
g ( x )  ln( x ) .
a) (0,75 puntos) Comprueba que la recta de ecuación y  1 x es la
e
tangente a la gráfica de la función g en el punto de abscisa x = e.
b) (1,75 puntos) Halla el área comprendida entre la función g, la
tangente del apartado anterior y el eje de abscisas.
SOLUC: b) Área  e  2 u 2
2
7º.- Considera la función f: R → R definida por
 ax 2  3 x
f (x)   2
 x  bx  4
si x  2
si x  2
a) (1,5 puntos) Halla a y b sabiendo que f es derivable en R.
b) (1 punto) Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta
normal a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 3
SOLUC: a) a = 2 b = - 7
1
b) y  26  13 ( x  3 )
y  26  
3(x  3)
13
8º.-
(2,5 puntos) Sea f la función definida por f ( x ) 
Halla las asíntotas de f.
SOLUC: AV: x = 0
AH: no tiene AO: y = x + 1
x .e
1
x
para todo x ≠ 0.
9º.- (2,5 puntos) De entre todos los rectángulos de 8 cm de perímetro, determina
las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.
SOLUC: Se trata en realidad de un cuadrado de 2 cm de lado.
10º.- Sean las funciones
f: R → R y
g:R→R
2
f (x)  x  1
definidas por
g (x)  2 x  2
a) (0,5 puntos) Esboza las gráficas de f y g.
b) (2 puntos) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.
SOLUC: b) Area  32 u 2
3
11º.- (2,5 puntos) Calcula:

1
2
SOLUC:
La primitiva es:
dx
( x  x )( x  1)
ln x  ln x  1 
La integral definida vale:
1
 3 
ln   
4
6
 
2
1
 K
x 1
12º.- (2,5 puntos) Sea f: R → R
la función definida por:
f (x) 
x 1
ex
Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de
inflexión.
SOLUC: El punto de inflexión es: (1, 2/e) y la tangente es: y  2   1 ( x  1 )
e
e
13º.- Considera la función f: [0,4] → R definida por:
 x 2  ax  b
f (x)  
 cx  1
si 0  x  2
si 2  x  4
a) (2 puntos) Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el
intervalo cerrado [0,4], derivable en el abierto (0,4) y que f(0) =
f(4).
b) (0,5 puntos) ¿En qué punto o puntos del intervalo se anula la
derivada de la función?
SOLUC:
a) a = - 3
b=5
c=1
b)
en el punto de abscisa 3/2
14º.-
(2,5 puntos) Se divide un segmento de 20 cm de longitud en dos trozos.
Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la
base es el doble que la altura. Determina la longitud de cada uno de los trozos para
que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.
SOLUC:
Un trozo que forma el cuadrado mide 160/17 cm y el que forma el rectángulo mide
180/17 cm
x
15º.- Sea
f:R→R
la función definida por
f (x)  e 3
a) (1 punto) ¿En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a esta pasa
por el origen de coordenadas?. Halla la ecuación de dicha recta tangente.
b) (1,5 puntos) Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la
gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas.
3e
SOLUC: a) P = (3, e) y  e  e ( x  3 )
b)
A 
 3
u2
3
2
16º.-
(2,5
puntos)
Sea
f
:
R
→
R
f (x)  (x 1).Ln(x)
la
función
siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x
Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (1,-3/2).
SOLUC:
F (x)  (
x2
x2
7
 x ) ln x 
 x 
2
4
3
definida
por:
17º.- (2,5 puntos) Se
f ( x )  x 3  ax 2  bx  c
sabe
f : R → R
la función definida por:
tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0
y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa
Conociendo además que
SOLUC:
a=-3
18º.- (2,5
b=0

1
0
f ( x ) dx  6
x = 1.
.Halla los coeficientes a, b y c.
c = 27/4
puntos) De la función f :

''
2
se sabe que f ( x)  x  2 x  2 y que
su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P 1, 2  . Halla la expresión de f .
SOLUC: f ( x )  x
4
12

x3
 x
3
2

10
47
x 
3
12
19º.-
(2,5 puntos) Determina la función f : 
sabiendo que su derivada
segunda es constante e igual a 3 y que la recta tangente a su gráfica en el punto de
abscisa x=1 es 5x-y-3=0?
SOLUC: f ( x )  3 x 2  2 x  3
2
2
20º.- Sea
f : (0, )  R la función definida por f ( x )  x 2  Ln( x ) ( Ln denota la función
logaritmo neperiano).
a) (1,5 puntos) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y
los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) (1 punto) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el
punto de abscisa x  e
SOLUC: a) decrece: ( 0 , 1 )
e
e
b) y 
 2 e(x  e)
2
crece: ( 1 ,  ) alcanza un mínimo en ( 1 ,  1 )
2e
e
e
21º.-
(2,5 puntos) De entre todas las rectas que pasan por el origen de
coordenadas, determina las que son tangentes a la curva de ecuación
y
1 2
x  4 x  4 . Calcula los puntos de tangencia correspondientes.
4
SOLUC: hay dos rectas: y – 24 = 6(x – 4) ; y + 8 = 2(x + 4)
Los puntos de tangencia son: (4, 24) y
(- 4, - 8)
22º.- (2,5 puntos) Determina un punto de la curva de ecuación y  x  e x
2
en el
que la pendiente de la recta tangente sea máxima.
SOLUC: el punto (0,0)
23º.-
(2,5
3
puntos)
Se
sabe
que
la
función
f :

definida
por:
2
f ( x)  ax  bx  cx  d es tal que f (0)  4 y que su gráfica tiene un punto de
inflexión en (1,2). Conociendo además que la recta tangente a la gráfica de f en
el punto de abscisa x=0 es horizontal. Calcula
SOLUC: a = 4
b=-6
24º.- Sea la función f :
c=0
a, b, c y d .
d=4

definida por f ( x )  ( x  1)( x  1)( x  2) .
a) (1 punto) Halla las ecuaciones de la rectas tangente y normal a la gráfica
de f en el punto de abscisa x  1
b) (1,5 puntos) Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f .
¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f .
SOLUC: a) recta tangente: y = - 2x + 2 recta normal: y = 0,5x – 0,5
b) cóncava: (-∞, 2/3) convexa: (2/3, ∞) punto de inflexión: (2/3, 20/27)
25º.- (2,5 puntos)
Estudia la derivabilidad de la función f : (0, ) 
definida
por:
 3  x2

f ( x)   1 x 2
 
x 4
SOUC:
si 0  x  1
Calcula la función derivada.
si
x 1
La función es derivable en todo su dominio menos en x = 1
La función derivada es
x


2
f ' ( x)   3  x
 1  1
 x 2
2
si
si
0  x1
x1
ax 2  b
se sabe que la
x
recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x  1 viene dada por y  2 .
a) (1,25 puntos) Calcula a y b .
26º.-
De la función f : (0, ) 
definida por f ( x) 
b) (1,25 puntos) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento
de
f
SOUC:
a) a = b = -1
b) crece: (-∞, -1) U (1, ∞)
decrece: (-1, 0) U (0, 1)
EJERCICIOS DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA
1º.-
(2,5 puntos) Dadas las matrices:
1

A  0
1

1
1

0
2 
1
2
1

B  0
2

Calcula la matriz X que verifica:
SOLUC:
 3

X  0
 2

0 

 2
 1
C  
 1
1 
AX  B  C T
0 

 2
3 
x
2º.-
 1

 1 1 
0
Considera el sistema de ecuaciones
 y
x 
x 
y
y
 

 (   1 )z 
1 
 2   

a) (1,5 puntos) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ.
b) (1 punto) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
SOLUC: a)
Si λ ≠ ± 1, SCD;
Si λ = 1, SI;
Si λ = -1, SCI


b)
(-1 + µ, µ, 0)

3º.- Considera los vectores u  (1,1, m ); v  ( 0 , m ,  1) y w  (1, 2 m , 0 ) .
a) (1,25 puntos) Determina el valor de m para el que los vectores
 

u , v y w sean una base de R3.
 
b) (1,25 puntos) Para el valor de m para el que los vectores

LD, expresa el vector

SOLUC: a)
m≠1
b)

u , v y w son


w como combinación lineal de los vectores u y v .


w  1.u  1. v
x  y
z  2
4º.- Considera las rectas: r : 
y
x  y  1
s:
 z 3
a) (1,25 puntos) Estudia la posición relativa de ambas rectas
b) (1,25 puntos) Halla la ecuación de la recta t que corte a r y s y sea
perpendicular al plano z = 0
SOLUC: a)
se cruzan
b)
( 1 , 1 ,2   )
2
2
5º.-
Sean
r
y
s
las
rectas
definidas
x2
yk
z


3
4
5
por
x2
y 1
z3


1
2
3
a) (1,25 puntos) Halla el valor de k sabiendo que las rectas se cortan en
un punto.
b) (1,25 puntos) Determina la ecuación implícita del plano que contiene a
las rectas r y s.
SOLUC: a)
6º.-
K = -4/7
b)
x - 7y + 5z – 6 = 0
a) (1 punto) Sabiendo que
a b
A
 y que det(A) = 4, calcula
c d
razonadamente:
det(-3.AT)
y
2b
2a
3d
3c
b) (0,75 puntos) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz
cuadrada tal que B3 = I. Calcula razonadamente el det(B).
c) (0,75 puntos) Sea C una matriz cuadrada tal que C-1 = CT. Razona si el
det(C) puede valer 3.
SOLUC: a)
7º.-
36 y 24
b)
|B| = 1
c) |C| = 1
(2,5 puntos) Halla la distancia entre las rectas:
x 0

z2
r :
y 1 

3
SOLUC:
Pr  ( 0 ,
Las
9 28
,
)
11 11
rectas
y
se
Qs  (
cruzan
x 1  1 z
s:
y  0

y
y
d(r,
s)
=
3
3 11

11
11
u
3
25
,0 ,
)
11
11
8º.- Considera el sistema de ecuaciones siguiente:
ax  y  z  4 

x  ay  z  1 
x  y  z  a  2 
a) (1,5 puntos) Resuélvelo para el valor de a que lo hace compatible
indeterminado.
b) (1 punto) Resuelve el sistema para a = -2.
SOLUC: a)
Si a = -1, SCI:
(
3 5  2
,
,)
2
2
b)
Si a = 2, SCD:
(
4
1
,1, )
3
3
9º.-
(2,5
puntos)
 x  2y 
r :

2 x
Considera
z  0
z  4
el
punto
A
=
(0,
1,
-1),
la
recta
 : x  2 y  z  2 . Halla la ecuación de la
y el plano
recta s que pasa por A, es paralela al plano π y corta a la a la recta r.
SOLUC:
(  14  ,1  13  ,  1  12  )

10º.-
(2,5 puntos) Considera los vectores

u  ( 2 ,1, 0 )


v  (  1, 0 ,1) .
y


Halla un vector unitario w que sea coplanario con u y v y ortogonal a v .
SOLUC:
Hay
dos

vectores
que
cumplen
estas
tres
condiciones:

3 3 3
w1  (
,
,
)
3 3 3
y
3
3
3
w2  ( 
,
,
)
3
3
3
11º.- (2,5 puntos) Determina el
x3
y5
z 4


2
3
3
punto P de la recta r:
que equidista del origen de coordenadas y del punto A = (3, 2, 1).
SOLUC: P = (1, 1, 2)
12º.- Considera los puntos A=(-1,k,3)
B=(k+1,0,2) C=(1,2,0) y D=(2,0,1).
a) (1 punto) Comprueba si hay algún valor del parámetro k para los que los



vectores AB , BC y CD son LD.
b) (1 punto) Para k=1 calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y
D.
c) (0,5 puntos)
Para k=1, calcula un vector perpendicular a los

vectores

AB yAC que sea unitario.
SOLUC: a) No hay ningún valor
c)
(
b) 5/6 u3
4
7
5
2 10 7 10
,
,
) (
,
,
15
30
3 10 3 10 3 10
10
)
6
o su opuesto
13º.- Considera el sistema de ecuaciones siguiente:
x
2x


y
ky

kz


y

2z

1

1
k 
a) (1, puntos) Discute, clasifica e interpreta el sistema según los valores de
k.
b) (0,75 puntos) Resuelve el sistema para k = 1.
c) (0,75 puntos) Resuelve el sistema para k = -1.
SOLUC: a) Si k ≠ 1, rangA = rangA’ = nº de incógnitas = 3, SCD. Tres planos que se cortan en un
punto.
b) SCI, (λ, 1 – 2λ, λ)
c) SCD (1/2, 0, -1/2)
14º.- (2,5 puntos) Dada la matriz
 0

A  1
1

3
4
4 

 5
4 
3
a) (0,5 puntos) Comprueba que se cumple la igualdad A3 = -I, siendo I la
matriz identidad de orden 3.
b) (1,25 puntos) Justifica que A es invertible y calcula su inversa.
c) (0,75 puntos) Calcula razonadamente A100
SOLUC: b)
A
1
 1

 1
 1

0
4
3
1

 4
3 
A100 = -A
c)
15º.- (2,5 puntos) Considera el punto P = (1, 0, 2) y la recta r de ecuación:
2 x
r :
 y




y
2z


4
8
0
0
a) (1 punto) Calcula la ecuación del plano π que pasa por el punto P y es
perpendicular a r.
b) (1,5 puntos) Halla el punto simétrico de P respecto a la recta r.
SOLUC: a) - x – 2y + z - 1 = 0
16º.-
b)
P’ = (10/3, 2/3, 17/3)
(2,5 puntos) Dadas las matrices:
1

A  0
1

2
1
2
0

2
1 
0
B  
1
1

0 
1 2 0

C  
 1 1 2
Calcula, si existe, la matriz X que verifica:
SOLUC:
 3

X  1
 1

 1

0 
1 
kx
17º.-
AXB  C T
 2y
Considera el sistema de ecuaciones  x
3x

y

3 

 2kz  1 
 7 z  k  1
c) (1,75 puntos) Clasifica e interpreta el sistema según los valores del
parámetro k.
d) (0,75 puntos) Resuelve el sistema para k = 1.
SOLUC: a) Si k ≠1 y k ≠ -7, SCD. Se trata de tres planos que se cortan en un punto.
Si k = 1, SCI. Se trata de tres planos que se cortan en una recta.
Si k = -7, SI. Se trata de tres planos que se cortan dos a dos pero, no existe ningún punto en
común a los tres
b) (1+2λ, 1-λ, λ)
18º.- (2,5 puntos) Considera los planos π1, π2 y π3, dados respectivamente por las
ecuaciones:
3x  y  z  4  0
x  2y  z 1  0
x z40.
y
Halla la ecuación de la recta r que pasa por el punto P = (3, 1, -1), es paralela al
plano π1 y corta a la recta s, intersección de los planos π2 y π3
SOLUC: ( 3  3  ,1  1  ,  1  11  )
4
19º.-
2
ó
4
( 3   ,1  2  ,  1  11  )
a) (1 punto) Halla la posición relativa entre el eje OX y la recta
 2x  3y  4
r:
2 x  3 y  z  0
b) (1,5 puntos) Calcula razonadamente la distancia del eje OX a la recta r.
SOLUC: a) se cruzan
b) 4 u
20º.- El
punto M = (1, -1, 0) es el centro de un paralelogramo. Los puntos A = (2,
1, -1) y B =(0, -2, 3), son dos vértices consecutivos del paralelogramo.
a) (1 punto) Halla la ecuación implícita del plano que contiene al
paralelogramo.
b) (1,5 puntos) Determina uno de los otros dos vértices del paralelogramo y
calcula su área.
SOLUC: a) 5x – 2y + z – 7 = 0
21º.-
b) C = (0, -3, 1);
D = (2, 0, -3);
1 0 0 


A  0  1 
 0 1  


Considera las matrices:
y
2
2 30 u
0 0 1


B  1 0 0
0 1 0


a) (1 punto) ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa?
b) (1,5 puntos) Para λ = 1, resuelve la ecuación matricial
SOLUC: a) A siempre tiene inversa
22º.-
b)

 0

X   1


1

1
2
1
2
1
2
1
2
1

2
1

2
A 1 . X . A  B








Considera los puntos A = (1, 0, -1) y B = (2, 1, 0) y la recta
x  y 1
r:
x  z  2
a) (1,75 puntos) Halla la ecuación implícita del plano π, que es paralelo a r y
pasa por A y B.
b) (0,75 puntos) Determina si la recta que pasa por P = (1, 2, 1) y Q = (3, 4,
1) está contenida en dicho plano.
SOLUC: a) y – z - 1 = 0
b) No porque P si pertenece a π, pero Q no.
23º.- Dadas las matrices:
1
0 
 1


A 2
t 1 t 1
 2t  1 0 t  3 


y
 x
 
X   y
z
 
a) (1,75 puntos) Calcula el rango de A según los diferentes valores de t.
b) (0,75 puntos) Razona para que valores de t el sistema homogéneo
A.X  0 tiene mas de una solución.
SOLUC: a) Si t ≠1 y t ≠ 2, rango A = 3;
Si t = 1 ó
t = 2, rango A = 2
b) t = 1 y t = 2
24º.-
(2,5 puntos) Los puntos A = (1, 1, 5) y B = (1, 1, 2) son vértices
consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice C, consecutivo al B, pertenece a la
recta r:
x 
y6
z 1

. Calcula los vértices C y D.
2
2
SOLUC: a) C = (3/2, 3, 2); D = (3/2, 3, 5)
25º.- Dados los puntos A = (1, 0, 0), B = (0, 0, 1) y P = (1, -1, 1), y la recta
x  y  2  0
r:
z0

a) (1,5 puntos) Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3
unidades.
b) (1 punto) Calcula el área del triángulo ABP.
SOLUC: a) (3, 1, 0) y (-1, -3, 0)
b)
3 2
u
2
26º.- Considera los puntos A=(0,3,-1)
B=(0,1,5) y C=(x,4,3).
a) (1,25 puntos) Calcula los valores de x, sabiendo que el triángulo de
vértices ABC tiene un ángulo recto en el vértice C.
b) (1,25 puntos) Halla la ecuación implícita del plano π que pasa por los
puntos (0,1,5) y (3,4,3), y es paralelo a la recta r definida por las
ecuaciones
SOLUC:
x  y  z  0
.

 2x  y  3
a) Dos posibles valores de x:

5
b)
13x - 7y +9z = 38
27º.- Considera el sistema de ecuaciones siguiente:
ax  y  z  4 

x  ay  z  1 
x  y  z  a  2 
a) (1,5 puntos) Resuélvelo para el valor de a que lo hace compatible
indeterminado.
b) (1 punto) Resuelve el sistema para a = -2.
SOLUC:
a)
SCI para a = - 1. El conjunto de soluciones es
b)
x  
x 
3
5  2
;y 
;z  
2
2
4
1
; y  1; z 
3
3
28º.- a) (1 punto) Calcula la matriz inversa de
1

A  0
1

1
1
0
0

1
1 
b) (1,5 puntos) Escribe en forma matricial el siguiente sistema, y resuélvelo
utilizando la matriz A-1.
x y 1 

y  z  2
x  z  3 
SOLUC:
a)
A
1
 1
1
  1
2
1
b) A.X = B siendo
29º.-
Sean
r
y
s
1
1
1
1 

 1
1 
1

A  0
1

las
1
1
0
rectas
0
x
 1 

 


1 ; X   y ; B    2 
z
 3 
1 
 


definidas
por
 3 


X   2
 0 


x2
yk
z


3
4
5
x2
y 1
z3


1
2
3
a) (1,25 puntos) Halla el valor de k sabiendo que las rectas se cortan en
un punto.
b) (1,25 puntos) Determina la ecuación implícita del plano que contiene a
las rectas r y s.
SOLUC:
a)
K  
4
7
b) x – 7y + 5z – 6 = 0
30º.- Sea A la matriz
 1
A  
 1
0 

 1 
e I la matriz identidad de orden 2.
a) (1,25 puntos) Determina los valores de λ para los que la matriz A2 + 3A
no tiene inversa.
b) (1,25 puntos) Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX
+ A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.
SOLUC: a) λ = -1 y λ = - 4
b)
1
X  
2
0 

 3 
31º.- Considera el sistema de ecuaciones siguiente:
 ax  y  z  1 

x  ay  z  2 
ax  y  z  1 
a) (1,75 puntos) Discute, clasifica e interpreta el sistema anterior según
los valores de a.
b) (0,75 puntos) Resuelve el sistema para a = 0.
SOLUC: a) Si a≠0 ó a≠1 SCD; Si a=0 SCI;
b) x = 2 – λ ; y = 1 – λ ; z = λ
Si a=1
SI
32º.- (2,5 puntos) Dada la matriz
 0

A  1
1

3
4
4 

 5
4 
3
a) (0,5 puntos) Comprueba que se cumple la igualdad A3 = -I, siendo I la
matriz identidad de orden 3.
b) (1,25 puntos) Justifica que A es invertible y calcula su inversa.
c) (0,75 puntos) Calcula razonadamente A100
SOLUC: b)
A
1
 1

 1
 1

0
4
3
1

 4
3 
b)
A 100   A
33º.-
(2,5 puntos) Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a
Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma
cantidad. Calcula la cantidad que tiene cada uno, si entre los tres juntan 84 euros.
SOLUC: Álvaro: 35 €
;
Marta: 21 €
;
Guillermo: 28 €