Ecuaciones de primer grado o lineales

Ecuaciones de primer grado o lineales
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita
o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con
incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben
seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que
contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el
derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la
incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador
inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para
llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es
+3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo
pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo
de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
Inecuaciones
Inecuación o Desigualdad de primer grado con una incógnita
Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra.
Simbolizando:
ax < b ∨ ax ≤ b ∨ ax > b ∨ ax ≥ b.
donde x es la variable incógnita; a y b son números reales
llamados constantes.
En Lógica, la inecuación de primer grado con una incógnita se podría definir como:
Enunciado abierto que forma una desigualdad.
El valor que verifica una inecuación se llama conjunto solución (CS)
Dos inecuaciones que tengan el mismo CS son equivalentes.
Miembros de la desigualdad
Son las expresiones que están a cada lado de la desigualdad:
Se llama primer miembro a la expresión que está a la izquierda de la desigualdad
y segundo miembro a la que está a la derecha.
primer miembro < segundo miembro
Términos
Son las cantidades de cada miembro que están separadas por los signos + y −
Ejemplos sobre inecuaciones:
Resolver: 3x +2 < 4x+5
Solución:
Por la propiedad de monotonía aditiva de la desigualdad se trasladan al primer miembro los
términos con incógnitas y al segundo miembro los términos independiente. Los términos que se
trasladan pasan con signo cambiado.
3x−4x < 5−2
Se reducen términos semejantes
−x < 3
Por la propiedad monotonía multiplicativa, multiplicamos la inecuación por −1 (número
negativo). No olvides de cambiar el sentido de la inecuación al multiplicar ambos miembros
por una cantidad negativa.
−x · (−1) > 3 · (−1)
Realizando las operaciones.
x > −3
El valor encontrado se llama conjunto solución (CS); y se simboliza como sigue:
CS = ]−3;∞[
Resolver: −4x −2 ≤ 4 −5x < −6
Solución:
Observamos que hay dos signos de relación: ≤ y <; por lo que, hay dos funciones proposicionales
o enunciados abiertos.
1er enunciado:
−4x −2 ≤ 4 −5x
2do enunciado:
4 −5x < −6
Los dos enunciados los podemos unir de la siguiente manera:
−4x −2 ≤ 4 −5x
∧ 4 −5x < −6
Ahora, resolvemos cada función proposicional o inecuación.
Por la propiedad de monotonía aditiva de la desigualdad se trasponen términos en cada función
proposicional teniendo en cuenta que los términos que se trasladan pasan con signo
cambiado.
−4x +5x ≤ 4 + 2
∧ −5x < −6 −4
Se reducen términos semejantes.
x≤6
∧ −5x < −10
Para resolver la 2da función proposicional, se utiliza la propiedad monotonía multiplicativa. Se
multiplica cada miembro por −1/5 (cantidad negativa) y se cambia el sentido de la desigualdad.
x ≤ 6
∧ −5x · (−1/5) > −10 · (−1/5)
Resolviendo
x ≤ 6
∧ x>2
Por la propiedad de tricotomía 2 < x
(x ≤ 6)∧ (2 < x) es verdadera, entonces,
(2 < x) ∧ (x ≤ 6) también es verdadera.
Luego: 2 < x ≤ −6
En una recta podemos graficar el resultado.
−8...−4...−2...0...+2...+4...+6...+8
El intervalo de x está desde la pequeñísima fracción que sigue a 2
hasta 6inclusive.
El valor encontrado se llama conjunto solución (CS); y se simboliza como sigue:
CS = ]2;6]
Ecuaciones con valor absoluto
Una ecuación con valor absoluto se resuelve planteando dos ecuaciones resultantes de aplicar
la definición de valor absoluto, el conjunto solución será un conjunto formado por dos elementos
que satisfacen a la ecuación
¿Cómo resolver una ecuación con Valor Absoluto?
Resolver una ecuación es encontrar un valor numérico que permita cumplir la igualdad. Cuando
esta definición se suma con la definición de valor absoluto, se tendrán entonces dos valores que
cumplan con ambas definiciones: Valor Absoluto: siempre valor positivo; ecuación: cumplir con la
igualdad.
Ejemplo 1: Resolver la ecuación
|X+6|=7
Solución al Ejemplo 1:

Si | x + 6 | = 7, entonces
a) x + 6 = 7
o
b) x + 6 = -7

Resolver la ecuación a)
x+6=7
x=1

Resolver la ecuación b)
x + 6 = -7
x = -13
Ejemplo 2: Resolver la ecuación
-2 | X / 2 + 3 | - 4 = -10
Solución al Ejemplo 2:

Teniendo en cuenta
-2 | X / 2 + 3 | - 4 = -10

En primer lugar, escribir la ecuación en la forma | A | = B. Suma 4 a ambos lados y el grupo
de términos similares
-2 | X / 2 + 3 | = -6

Divide ambos lados por -2
|x/2 +3| = 3

Procedemos ahora como en el ejemplo 1, la ecuación
| x / 2 + 3 | = 3 da dos ecuaciones.
a) x / 2 + 3 = 3
o
b) x / 2 + 3 = -3

Resolver la ecuación a)
x/2+3=3

para obtener
x=0

Resolver la ecuación b)
x / 2 + 3 = -3

para obtener
x = -12
Inecuaciones con valor absoluto
¿Qué significa │x│> 2 ? Significa que x es un número mayor que 2 unidades desde cero en la
recta numérica. Esto ocurre cuando x está a
la izquierda de
-2
en
la
recta numérica, esto es,cuando x < -2. También ocurre cuando x está a la derecha de 2 en la
recta numérica, esto es, cuando x
>
2. Dibuja la
recta numérica en
le espacio provisto para que puedas visualizarlo.
De manera que la solución de │x│> 2 es x < -2 ó x > 2.
Funciones
Función lineal:
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
x
0
1
2
3
4
y = 2x
0
2
4
6
8
Pendiente
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de
abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la
parte positiva del eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la
parte positiva del eje OX es obtuso.
Función cuadrática:
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una
parábola.
f(x) = ax² + bx +c
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que
tendremos:
ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x 1 , 0) y (x 2 , 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x 1 , 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que
tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c
(0,c)
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
x v = − (−4) / 2 = 2
y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
(3, 0)
(1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)
Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a 0 + a 1 x + a 1 x² + a 1 x³ +··· + a n x n
Su dominio es
, es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
MODELOS MATEMATICOS
1- ¿Qué es un modelo matemático?
Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de
las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta
fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático
es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.
El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:
1. Encontrar un problema del mundo real
2. Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables (dependientes
e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de
manera matemática.
3. Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclusiones
matemáticas.
4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son
diferentes, se reinicia el proceso.
Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto
con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.
Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las
cuales se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraicamente como gráficamente.
2. Modelos Lineales
Se dice que una función es lineal cuando su gráfica es una línea recta; y por consecuencia tiene la
forma:
y = f(x) = mx + b
Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen (el punto en el que la recta
interfecta al eje de las "y"). Es importante mencionar que este tipo de funciones crecen a tasa
constante; y su dominio e imagen son todos los números reales.
3. Polinomios
Una función es polinomio si tiene la forma:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …… a2x2 + a1x + a0
Donde n representa un entero negativo y los números a0, a1, a2,….. an, son constantes llamadas
coeficientes del polinomio. El dominio de todos los polinomios son todos los números reales (-∞,
∞).
Los polinomios se nombran de acuerdo al grado del primer termino. Los polinomios de grado uno
son de la forma: P(x) = mx + b, y son funciones lineales. Los polinomios de segundo grado son
llamados funciones cuadráticas y presentan la forma P(x) = axx + bx + c; su gráfica es de una
parábola.
Una función de tercer grado, es llamada función cúbica, y tiene la forma: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d.
A continuación se muestran las gráficas de algunas funciones de polinomios.
4. Funciones potencia
Una función es llamada potencia, cuando tiene la forma: f(x) = xa, donde a es constante. Y hay
varios casos:
a. La forma genera de la gráfica depende si n es par o impar; si n es par, la gráfica de f es
similar a la parábola y = x2; de lo contrario, la gráfica se parecerá a la función y = x3.
Es importante mencionar, que en cualquiera que sea el caso, cuando n crece, la gráfica se
vuelve más plana cerca de 0, y más empinada cuando Ix I es menor o igual a 1.
Las dos gráficas anteriores son ejemplos de funciones pares: x2 y x6.
Las dos gráficas anteriores son ejemplos de funciones pares: x3 y x5.
b. a= n, n es un entero positivo
La función f(x) = x1/n es una función raíz. Al igual que en el caso anterior, su gráfica depende
de n, ya que si n es par su gráfica será similar al de raíz cuadrada; y si n es impar su gráfica
será similar al de raíz cúbica.
c. a= 1/n, n es un entero positivo.
d. a= -1
Éste tipo de función es llamada función recíproca, y su forma es f(x) = x -1 o f(x) = -1/x. Y su gráfica
corresponde a una hipérbola cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas.