Ecuaciones algebraicas

ECUACIONES ALGEBRAICAS
4.1
Introducción
Parte de la genialidad que tuvo la humanidad fue la creación de la
palabra igual ya que es fundamental para todo lo se que realiza en matemática.
Pero describir tal palabra puede no ser tan sencillo como parece. Cuando se
escribe:
1
4
3 27
3
4
3 = 1
no significa que el símbolo de la izquierda coincide con el de la derecha. En
cambio, significa que el símbolo complicado y el sencillo representan al mismo
número. Este es el significado fundamental de cómo se utiliza la palabra igual
en matemática.
A continuación se debe hacer otra diferencia en el uso del símbolo =.
Cuando se escribe:
y
x2
9
0
se tienen dos expresiones indiscutiblemente distintas en mente. En el primer
caso, se está haciendo una afirmación. Se afirma que no importa qué número
representa x, la expresión de la izquierda y la expresión de la derecha de la
igualdad, representan al mismo número. Este no puede ser el significado que
debe dársele al segundo caso, pues aquí se está haciendo una pregunta, la
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cual es: ¿Qué números puede simbolizar x para que ambos lados de la
igualdad x 2 – 9 = 0 representen al mismo número?
Una igualdad que es verdadera para todos los valores de la variable, se
llama identidad. Aquella que es válida sólo para algunos valores, recibe el
nombre de ecuación condicional.
Otra gran diferencia entre estas dos
definiciones, es que las identidades se demuestran, mientras que las
ecuaciones se resuelven (se encuentran soluciones). Ambas son operaciones
muy importantes en matemática; sin embargo, parte de la segunda es la que se
estudiará en este capítulo.
Son algunos ejemplos de identidades, las expresiones:
1) 6 + 11 – 5 = 12
2) x + 7 = 7 + x
3) ( x 2 – 1 ) 2 = x 4 – 2x 2 + 1
4) 2x + 4 – 5x = 1 – 3x + 3
Son algunos ejemplos de ecuaciones, las expresiones:
1) x – 15 = 12
3)
2
x 1
4
x
2) x 2 + 7x = – 6
4)
2x
1
3
Cuando la variable se sustituye por un número específico, el resultado
puede ser verdadero o falso. Si es cierto, el número constituye una solución o
raíz de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de
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conjunto solución de la ecuación. Un número que es una solución se dice
que satisface la ecuación.
Una ecuación algebraica en la variable x es un enunciado en el que se
dice que dos expresiones de x son iguales. Es costumbre llamar a la variable
de una ecuación incógnita.
Algunas veces se puede resolver una ecuación por simple inspección.
Se necesita poca imaginación y ningún recurso matemático para ver que la
ecuación:
x – 5 = 10
tiene por raíz a x = 15. Por otro lado, resolver la ecuación
x 2 – 11x + 10 = 0
es ya un problema distinto. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario
usar ciertos recursos. La estrategia general es modificar una ecuación paso a
paso hasta llegar a una forma en que la solución sea inmediata. Desde luego,
hay que tener cuidado al hacer las modificaciones para no cambiar las
soluciones. En general, se usa el concepto de ecuaciones equivalentes, que
son ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones. Por ejemplo, las tres
ecuaciones siguientes son equivalentes:
4x – 20 = 0
4x = 20
x=5
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Un tipo de importante de ecuación es la ecuación polinomial de una
variable, que puede escribirse de la forma P = 0, donde P es un polinomio en
una variable. El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, así por
ejemplo las ecuaciones:
4x – 20 = 0
x 2 – 11x + 10 = 0
es de primer grado
es de segundo grado
y 3 + 2y 2 – y – 2 = 0
es de tercer grado
t 4 - 5t 2 + 4 = 0
es de cuarto grado
Hay ecuaciones algebraicas en las que, existen términos que contienen
expresiones racionales, como por ejemplo:
x
x
2
2
x
x
4
4
a este tipo de ecuación se le conoce como ecuación racional.
Finalmente, se presentan algunas ecuaciones que tienen la variable
dentro uno o más radicales, llamadas ecuaciones irracionales. Por ejemplo,
x
7
x 1
2
x
2
0
En este capítulo se analizarán los siguientes tipos de ecuaciones
algebraicas:
1.- De primer grado
2.- De segundo grado
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3.- Racionales que conducen a ecuaciones de primer o segundo grado
4.- Irracionales
4.2
Ecuaciones algebraicas de primer grado
La ecuación de primer grado o lineal, es una ecuación de la forma:
ax + b = 0
donde a y b son números reales y a ≠ 0. Es el tipo de ecuación más sencillo
para resolver y se reconoce por tener la variable o incógnita únicamente
elevada a la primera potencia.
Para resolver las ecuaciones de primer grado se debe tener en cuenta
las siguientes reglas para modificar ecuaciones:
1.- Si se suma o se resta la misma cantidad a ambos lados de una ecuación,
sus soluciones no varían.
2.- Al multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por la misma cantidad
diferente de cero, no varían sus soluciones.
Ejemplo:
Considérese la ecuación
7x – 4 = 3x + 8
sumando 4 a ambos lados, se tiene
7x = 3x + 12
restando 3x a ambos lados, se tiene
4x = 12
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dividiendo entre 4 a ambos lados, luego
x = 3
Se puede verificar que el valor encontrado, efectivamente es la solución
de la ecuación. La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la
incógnita es correcto, la misma se realiza sustituyendo dicho valor en la
ecuación dada, y si es cierto, la ecuación se convertirá en una identidad; así,
en el ejemplo anterior, haciendo x = 3 en la ecuación dada, resulta:
7x – 4 = 3x + 8
7(3) – 4 = 3(3) + 8
21 – 4 = 9 + 8
17 = 17
lo cual es cierto.
Ejemplo ilustrativo 35
Obtener el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.
1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y
2) ( 5 – 3x ) – (– 4x + 6 ) = ( 8x + 11 ) – ( 3x – 6 )
3) 2( t – 5 ) = 3 – ( t + 4 )
4) 4x – ( 2x + 3 )( 3x – 5 ) = 49 – ( 6x – 1 )( x – 2 )
5) x – { 5 + 3x – [ 5x – ( x + 6 ) ] } = – 3
6) 5b( x + 5b ) = 2b( 2b – x )
con b cualquier real diferente de cero
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7)
x 1
2
8) 4
x
2
x
3
10 x 1
6
3
4
4x
x
5
5
16 x 3
4
9) 3( 2x + 5 ) = 2( 3x + 6 )
Solución:
1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y
11y – 81 = 72y + 102
agrupando términos semejantes
11y = 72y + 102 + 81
sumando 81 a ambos lados
11y = 72y + 183
agrupando términos semejantes
11y – 72y = 183
restando 72y a ambos lados
– 61y = 183
y
agrupando términos semejantes
3
dividiendo entre – 61 ambos lados
2) ( 5 – 3x ) – (– 4x + 6 ) = ( 8x + 11 ) – ( 3x – 6 )
5 – 3x + 4x – 6 = 8x + 11 – 3x + 6
x – 1 = 5x + 17
x = 5x + 18
x – 5x = 18
– 4x = 18
eliminando los paréntesis
agrupando términos semejantes
sumando 1 a ambos lados
restando 5x a ambos lados
agrupando términos semejantes
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9
2
x
dividiendo entre – 4 y simplificando
3) 2( t – 5 ) = 3 – ( t + 4 )
2t – 10 = 3 – t – 4
eliminando los paréntesis
2t – 10 = – t – 1
agrupando términos semejantes
2t = – t + 9
sumando 10 a ambos lados
2t + t = 9
4)
sumando t a ambos lados
3t = 9
agrupando términos semejantes
t=3
dividiendo entre 3 ambos lados
4x – ( 2x + 3 )( 3x – 5 ) = 49 – ( 6x – 1 )( x – 2 )
4x – (6x 2 – 10x + 9x – 15) = 49 – (6x 2 – 12x – x + 2)
4x – 6x 2 + 10x – 9x + 15 = 49 – 6x 2 + 12x + x – 2
– 6x 2 + 5x + 15 = – 6x 2 + 13x + 47
5x + 15 = 13x + 47
– 8x + 15 = 47
– 8x = 32
x=–4
multiplicando
eliminando los paréntesis
agrupando términos semejantes
sumando 6x2 a ambos lados
restando 13x a ambos lados
restando 15 a ambos lados
dividiendo entre – 8 ambos lados
5) x – { 5 + 3x – [ 5x – ( x + 6 ) ] } = – 3
x – { 5 + 3x – [ 5x – x – 6 ] } = – 3
eliminando los paréntesis
x – { 5 + 3x – 5x + x + 6 } = – 3
eliminando los corchetes
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x – 5 – 3x + 5x – x – 6 = – 3
eliminando los paréntesis
2x – 11 = – 3
agrupando términos semejantes
2x = 8
restando 11 a ambos lados
x= 4
dividiendo entre 2 ambos lados
6) 5b( x + 5b ) = 2b( 2b – x ) con b ≠ 0
5bx + 25b 2 = 4b 2 – 2bx
multiplicando
7bx + 25b 2 = 4b 2
sumando 2bx a ambos lados
7bx = – 21b 2
restando 25b 2 a ambos lados
x = – 3b
7)
x 1
2
x
2
dividiendo entre 7b ambos lados
x
3
3
x
4
5
5
El mínimo común múltiplo de 2, 3, 4, y 5 es 60. Multiplicando por 60
todos los términos de la ecuación, se tiene:
60.
x 1
x 2
60.
2
3
30( x 1)
20( x
60.
x
2 ) 15( x
3
4
3)
60.
x
12( x
5
5
5)
30x – 30 – 20x + 40 – 15x + 45 = – 12x + 60
– 5x + 55 = – 12x + 60
7x + 55 = 60
7x = 5
x= 5/7
efectuando las divisiones
eliminando los paréntesis
agrupando términos semejantes
sumando 12x a ambos lados
restando 55 a ambos lados
dividiendo entre 7 ambos lados
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8) 4
10 x 1
6
16 x 3
4
4x
El mínimo común múltiplo de 6 y 4 es 12. Multiplicando por 12 todos
los términos de la ecuación, se tiene:
12.4 12.
10 x 1
6
12.4x 12.
16 x 3
4
48 – 2( 10x + 1 ) = 48x – 3( 16x + 3 )
48 – 20x – 2 = 48x – 48x – 9
46 – 20x = – 9
efectuando las divisiones y productos
eliminando los paréntesis
agrupando términos semejantes
– 20x = – 9 – 46
restando 46 a ambos lados
– 20x = – 55
agrupando términos semejantes
x = 11 / 4
9) 3( 2x + 5 ) = 2( 3x + 6 )
6x + 15 = 6x + 12
15 = 12
dividiendo entre – 20 y simplificando
eliminando los paréntesis, se tiene
restando 6x a ambos lados, se obtiene
lo cual es falso.
Como no hay valor que satisfaga la ecuación, entonces se dice que
la solución de la ecuación es vacía cuyo símbolo es Ø.
Obtener el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.
1)
5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y
2)
( 5 – 3x ) – (– 4x + 6 ) = ( 8x + 11 ) – ( 3x – 6 )
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3)
2( t – 5 ) = 3 – ( t + 4 )
4)
4x – ( 2x + 3 )( 3x – 5 ) = 49 – ( 6x – 1 )( x – 2 )
5)
x – { 5 + 3x – [ 5x – ( x + 6 ) ] } = – 3
6)
5b( x + 5b ) = 2b( 2b – x )
7)
4.3
x 1
2
x
10 x 1
6
2
x
3
con b cualquier real diferente de cero
3
4
5
5
16 x 3
4
8)
4
9)
3( 2x + 5 ) = 2( 3x + 6 )
4x
x
Ecuaciones algebraicas de segundo grado
La ecuación de segundo grado o cuadrática, es una ecuación de la
forma:
ax 2 + bx + c = 0
donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Este tipo de ecuación se reconoce
por tener la variable o incógnita elevada al cuadrado.
Una ecuación cuadrática tiene como máximo tres términos, es decir
existen ecuaciones de segundo grado que poseen uno, dos y tres términos.
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Debido a lo expuesto anteriormente, se ve claramente que hay cuatro formas
distintas de encontrar ecuaciones de segundo grado en función a sus términos,
que son:
1.- b = 0 y c = 0
ax 2 = 0
2.- b = 0 y c ≠ 0
ax 2 + c = 0
3.- b ≠ 0 y c = 0
ax 2 + bx = 0
4.- b ≠ 0 y c ≠ 0
ax 2 + bx + c = 0
Estudiando caso por caso, se tiene:
Primer caso: Dada ecuación ax 2 + bx + c = 0, si b = 0 y c = 0, entonces
ax 2 = 0; la solución es trivial, pues el único número que la satisface es x = 0.
Ejemplos: 1) 3x 2 = 0
2)
5 2
.x = 0
3
3) – 3x 2 = 0
Segundo caso: Dada ecuación ax 2 + bx + c = 0, si b = 0 y c ≠ 0, entonces
ax 2 + c = 0. En cuanto a a y c, se presenta dos posibilidades, que son:
1.- a y c tienen igual signo
2.- a y c tienen diferente signo
1.-
Si a y c tienen igual signo, la solución no pertenece a los números reales,
pues la suma algebraica de dos términos (ax
2
solución pertenece a los números complejos, y es:
+ c) es diferente de 0. La
x
c
a
c
i
a
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Ejemplo ilustrativo 36
Resolver las ecuaciones:
1) 5x 2 + 10 = 0
2) – 7x 2 – 7 = 0
Solución:
1) 5x 2 + 10 = 0
Despejando la x, se tiene la solución compleja: x
10
5
2i
2i
La solución es:
2) – 7x 2 – 7 = 0
Despejando la x, se tiene la solución compleja: x
La solución es:
2.-
7
7
i
i
Si a y c tienen diferente signo, la solución pertenece a los números
reales, y es:
x
c
a
Ejemplo ilustrativo 37
Resolver las ecuaciones:
1) 4x 2 – 16 = 0
2) 5 – 3x 2 = 0
Solución:
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1) 4x 2 – 16 = 0
x2 – 4 = 0
Dividiendo entre 4 toda la ecuación, se obtiene:
Factorizando la diferencia de cuadrados:
( x – 2 )( x + 2 ) = 0
Aquí vale la pena preguntarse ¿Cuándo el producto dos números da 0? La
respuesta es sencilla, simplemente cuando uno de ellos es 0, es decir:
x–2=0
o
x+2=0
Si x – 2 = 0
x= 2
Si x + 2 = 0
x=–2
La solución de la ecuación 4x 2 – 16 = 0 es el conjunto
escribirse de la siguiente forma
, que puede
2
2) 5 – 3x 2 = 0
Multiplicando por ( – 1 ) la ecuación, se obtiene: 3x 2 – 5 = 0
La nueva presentación es similar al ejemplo anterior, que puede resolverse
de la siguiente manera:
Sumando 5 a ambos lados de la igualdad
Dividiendo entre 3 la ecuación
3x 2 = 5
x2 =
5
3
Aquí vale la pena preguntarse ¿Qué números elevados al cuadrado dan
La respuesta es sencilla, simplemente la raíz cuadrada de
5
?
3
5
y recordando
3
que cualquier número elevado al cuadrado resulta positivo, entonces la
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solución de la ecuación 5 – 3x 2 = 0 es el conjunto. La ecuación
tiene dos valores de x que la satisfacen, que son: x
5
y x
3
5
.
3
Tercer caso: Dada ecuación ax 2 + bx + c = 0, si b ≠ 0 y c = 0, entonces
ax
2
+ bx = 0. La solución de esta ecuación es de fácil comprensión,
factorizando la misma resulta:
ax 2 + bx = 0
x( ax + b ) = 0
y para que el producto de dos números valga 0, es necesario que uno de ellos
sea 0, por consiguiente
x = 0
o
ax + b = 0
la primera solución es x = 0 y la segunda se obtiene de resolver la ecuación de
primer grado:
ax + b = 0
restando b a ambos lados, se tiene
ax = – b
x = – b/a
dividiendo entre a
Ejemplo ilustrativo 38
Resolver las ecuaciones:
1) 9x 2 + 36x = 0
2) 5x 2 – 19x = 0
Solución:
1) 9x 2 + 36x = 0
Sacando factor común x,
Luego
x( 9x + 36 ) = 0
x = 0 o 9x + 36 = 0
Por consiguiente la soluciones son x = 0 y x = – 4
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2) 5x 2 – 19 = 0
x( 5x – 19 ) = 0
x = 0 y x = 19 / 5
Cuarto caso: Dada ecuación ax 2 + bx + c = 0, si b ≠ 0 y c ≠ 0, entonces
ax 2 + bx + c = 0. Para resolver ecuaciones de este tipo, se requiere de un
estudio especial, cuyo procedimiento de describe a continuación:
Sea ax 2 + bx + c = 0, se resolverá esta ecuación para x en términos de a, b y c,
completando cuadrados, de manera que el trinomio sea cuadrado perfecto.
Primero se divide entre a la ecuación
ax 2 + bx + c = 0
x2 +
x2 +
c
b
x+
=0
a
a
c
b
x+
=0
a
a
x2 +
c
b
x=–
a
a
Ahora se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x a ambos lados:
2
b
2a
b
x + x +
a
2
x
b
2a
x
b
2a
x
2
b2
b2
2
c
a
4a 2
2
b
2a
c
= –
+
a
4ac
4a 2
b
2a
b 2 4ac
2a
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x
x
b 2 4ac
2a
b
2a
b2
2a
b
4ac
Estos valores de x son las soluciones de la ecuación ax 2 + bx + c = 0. Se ha
obtenido así la fórmula cuadrática que permite resolver cualquier ecuación de
segundo grado, simplemente sustituyendo los valores de a, b y c en dicha
fórmula.
Ejemplo ilustrativo 39
Aplicando la fórmula cuadrática resolver las siguientes ecuaciones:
1) 6x 2 – 11x – 10 = 0
2) x 2 – 11x + 10 = 0
3) 4x 2 – 4x + 1 = 0
4) x 2 – 5x + 9 = 0
Solución:
1) 6x 2 – 11x – 10 = 0
b
Al sustituir por a = 6, b = – 11 y c = – 10 en x
b2
2a
4ac
resulta:
x
( 11)
( 11) 2
2 .6
4.6.( 10 )
11
x
121 240
12
11 19
12
30
12
5
2
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x
11
361
12
11 19
12
x
11 19
12
8
12
2
3
b2
2a
4ac
El conjunto de las soluciones es
2) x 2 – 11x + 10 = 0
Al sustituir por a = 1, b = – 11 y c = 10 en x
b
resulta:
x
x
( 11)
11
81
2
( 11) 2
2 .1
4.1.10
11
121 40
2
x
11 9
2
20
2
x
11 9
2
2
2
10
11 9
2
1
El conjunto de las soluciones es
Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Examenes de
Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (0276)-3419570; (0416)-1795862 ;
“14 Años de Experiencia Hacen la Diferencia”
Hay algunas ecuaciones cuadráticas que fácilmente se pueden
resolver factorizando, como es el caso de x 2 – 11x + 10 = 0.
Se presenta a continuación otra manera para resolverla:
Sea
x 2 – 11x + 10 = 0
Luego
( x – 10 )( x – 1 ) = 0
x = 10 y x = 1
3) 4x 2 – 4x + 1 = 0
Esta expresión de segundo grado es un trinomio cuadrado perfecto,
por lo que su solución se facilita factorizando
4x 2 – 4x + 1 = 0
( 2x – 1 ) 2 = 0
por consiguiente 2x – 1 = 0
x
1
2
Esta ecuación tiene por solución una raíz doble que es
4) 5x 2 + 8x + 5 = 0
Al sustituir por a = 5, b = 8 y c = 5 en x
b2
2a
b
4ac
resulta:
x
8
( 8 )2
2 .5
4 . 5 .5
8
64 100
10
8
36
10
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“14 Años de Experiencia Hacen la Diferencia”
36
Obsérvese que
no tiene solución real.
Usualmente se
acostumbra decir que no tiene solución, y es porque se trabaja en los
números reales. Lo que se debe decir es que no tiene solución en el
campo de los números reales, debido a que en el campo
de los
números complejos si tiene solución. Recuérdese, lo siguiente:
36 =
1. 36
6.
1
y como i =
1 , se tiene:
36 = 6i
x
8
36
x
8 6i
10
8
10
6
i
10
4
5
3
i
5
x
8 6i
10
8
10
6
i
10
4
5
3
i
5
8 6i
10
10
El conjunto de soluciones es
Finalmente, se mostrará cómo obtener información acerca del carácter
de las raíces de una ecuación cuadrática sin tener que resolverla.
fórmula cuadrática x
b
b2
2a
4ac
, la cantidad subradical b 2
En la
4ac
recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. El carácter de
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“14 Años de Experiencia Hacen la Diferencia”
las raíces puede determinarse obteniendo el valor del discriminante, por los
que:
1.-
Si b 2
4ac = 0, la ecuación tiene dos raíces reales e iguales; es decir
tiene una raíz doble
2.-
Si b 2
4ac > 0, la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes
3.-
Si b 2
4ac < 0,
la ecuación no tiene solución real; las raíces son
imaginarias y diferentes; son complejos conjugados entre sí.
Ejemplo ilustrativo 40
Determinar el carácter de las raíces de cada una de las siguientes ecuaciones:
1) 4x 2 – 4x + 1 = 0
2) x 2 – 11x + 10 = 0
3) 5x 2 + 8x + 5 = 0
Solución:
1) 4x 2 – 4x + 1 = 0
b2
4ac = ( – 4 ) 2 – 4.4.1 = 16 – 16 = 0
Presenta una raíz doble, como se demostró en el ejemplo anterior numeral 3,
cuando se resolvió y se encontró que la ecuación tiene por solución la raíz
doble.
2) x 2 – 11x + 10 = 0
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b2
4ac = ( – 11 ) 2 – 4.1.10 = 121 – 40 = 81 > 0
La ecuación tiene dos raíces reales y diferentes como se demostró en
el ejemplo anterior numeral 2, y cuya solución fue
3) 5x 2 + 8x + 5 = 0
b2
4ac = ( 8 ) 2 – 4.5.5 = 64 – 100 = – 36 < 0
La ecuación tiene dos raíces imaginarias y diferentes como se
demostró en el ejemplo anterior numeral 4, y cuya solución fue
. No tiene raíces reales.
.
4.4
Ecuaciones racionales que conducen a ecuaciones de
primer y segundo grado
Una ecuación racional es aquella en la que aparecen términos que son
expresiones racionales. Son ejemplos de ecuaciones racionales:
x
x
2
2
x
x
2
y
3
1
1 y
1
4
3
t
6
t
4
4
5
y
0
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Ejemplo ilustrativo 41
Encontrar los valores de x que satisfacen cada una de las siguientes
ecuaciones
1)
3
8
1
2x
3)
x
x
2
2
5)
3
2x 1
2
x
x
x
2)
4
4
2
2x 1
x
4x 2
3
1
4
3
z
z
4)
3x 1
x 2
6)
2x 5
x 1
1
0
6
3x 2
x 1
3
x2
x
Solución:
1)
3
8
1
2x
2
x
Como la división entre 0 no esta definida, entonces se debe cumplir
que x ≠ 0.
El m.c.m. de: 8, 2x y x es 8x.
Multiplicando por 8x todos los términos de la ecuación:
3
.8x
8
1
.8x
2x
2
.8x
x
3x
4
16
3x = 12
restando 4 a ambos lados
dividiendo entre 3 ambos lados
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x = 4
Nota importante: Al resolver una ecuación racional, se debe comprobar que el
resultado obtenido satisface dicha ecuación.
3
8
Comprobación:
3
8
2)
1
2.4
2
4
1
4
3
8
3
z
z
1
2x
2
x
1
8
1
2
4
8
1
2
1
2
1
2
0
6
Como la división entre 0 no esta definida, entonces se debe cumplir
que z ≠ 4 y z ≠ – 6.
El m.c.m. de: (4 – z) y (z + 6) es (4 – z).(z + 6).
Multiplicando por (4 – z).(z + 6) todos los términos de la ecuación:
1
4
z
.( 4
z ).( z
6)
3
z
6
.( 4
z ).( z
6)
0.( 4
z ).( z
6)
z + 6 + 3(4 – z) = 0
z + 6 + 12 – 3z = 0
18 – 2z = 0
– 2z = – 18
z = 9
eliminando el paréntesis
agrupando términos semejantes
restando 18 a ambos lados
dividiendo entre – 2 ambos lados
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1
Comprobación:
1
3)
3
4
9
x
x
2
2
9
z
z
0
6
1
5
0
6
x
x
4
3
3
15
0
1
5
1
5
0
0=0
4
4
Como la división entre 0 no esta definida, entonces se debe cumplir
que x ≠ – 2 y x ≠ – 4.
El m.c.m. de: (x + 2) y (x + 4) es (x + 2).(x + 4).
Multiplicando por (x + 2).(x + 4) todos los términos de la ecuación:
x
x
2
. x
2
2 x
x
x
4
4
. x
4
2 x
4
( x – 2 ).( x + 4 ) = ( x – 4 ).( x + 2 )
x 2 + 2x – 8 = x 2 – 2x – 8
efectuando los productos notables
2x – 8 = – 2x – 8
restando x 2 a ambos lados
2x = – 2x
sumando 8 a ambos lados
4x = 0
sumando 2x a ambos lados
x = 0
Comprobación:
x
x
2
2
dividiendo entre 4 ambos lados
x
x
4
4
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0
0
4)
2
2
0
0
3x 1
x 2
4
4
2
2
4
4
–1 = –1
3x 2
x 1
En la ecuación se debe cumplir que: x ≠ – 2 y x ≠ – 1.
El m.c.m. de: (x + 2) y (x + 1) es (x + 2).(x + 1).
Multiplicando por el m.c.m. todos los términos de la ecuación:
3x 1
. x
x 2
2 x
3x 2
. x
x 1
1
2 x
1
( 3x + 1 ).( x + 1 ) = ( 3x – 2 ).( x + 2 )
3x 2 + 4x + 1 = 3x 2 + 4x – 4
4x + 1 = 4x – 4
efectuando los productos notables
restando 3x 2 a ambos lados
1 = –4
restando 4x a ambos lados
Lo cual es falso, por lo tanto no hay valor de x que satisfaga dicha
ecuación, luego la solución es Ø.
5)
5
x
3
4
x
5
x
24
4
x
2
3
4
x
4
x
factorizando
16
24
4 x
4
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En la ecuación se debe cumplir que: x ≠ – 4 y x ≠ 4.
Multiplicando por el m.c.m., que es ( x + 4 )( x – 4 ), todos los
términos de la ecuación:
5
x
4
.x
4 x
3
4
x
4
.x
4 x
4
x
24
4 x
4
.x
4 x
4
5( x – 4 ) + 3( x + 4 ) = 24
5x – 20 + 3x + 12 = 24
efectuando los productos
8x – 8 = 24
agrupando términos semejantes
8x = 32
sumando 8 a ambos lados
x = 4
Comprobación:
5
4
5
x
3
4
3
4
4
x
24
4
dividiendo entre 8 ambos lados
4
2
16
24
x2
4
5
8
16
3
0
24
0
El valor obtenido no satisface la ecuación, pues la división entre 0 no
esta definida. Además, este valor se ha descartado al comenzar a
resolver el ejercicio. Por consiguiente, la solución es Ø.
6)
2x 5
x 1
2x 5
x 1
3
x
2
factorizando
x
3
x x 1
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En la ecuación se debe cumplir que: x ≠ 0 y x ≠ – 1.
Multiplicando por el m.c.m., que es x( x + 1 ), todos los términos de la
ecuación:
2x 5
.x x 1
x 1
3
.x x 1
x x 1
( 2x – 5 )x = 3
efectuando el producto y restando 3 a ambos lados
2x 2 – 5x – 3 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado
( 5)
x
( 5 )2
2. 2
4.2.( 3)
5
x
x
5
49
4
5
25
4
24
7
12
4
5
4
3
7
4
x
5
7
4
2
4
1
2
Para que estos dos valores sean solución, debe realizarse su
verificación en la ecuación original.
Comprobación:
2x 5
x 1
3
x2
x
Para x = 3
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2 .3 5
3 1
3
3
2
1
4
3
3
12
1
4
1
4
x = 3 la satisface
Para x = – 1 / 2
2.
1
5
2
1
1
2
12
3
1
2
3
1
4
2
6
1
2
1
2
12
4.5
1
4
1
2
x = – 1 / 2 la satisface
12
El conjunto de las soluciones es
3
1
,3
2
Ecuaciones irracionales
Una ecuación irracional es aquella que tiene una o más incógnitas, bajo
el signo radical. Son ejemplos de ecuaciones irracionales:
4
4 2. x 2
2. 3
2x 1
x
3x 7
1
x 6
0
Para resolver una ecuación irracional se debe tener en cuenta lo
siguiente: Si A y B son dos expresiones algebraicas, entonces A = B es una
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ecuación algebraica, y su conjunto de soluciones es subconjunto de soluciones
de la ecuación A n = B n donde n es cualquier entero positivo.
Ejemplo:
La ecuación:
x = 10
tiene por conjunto de soluciones
. Si se eleva al cuadrado ambos lados se
x 2 = 100
obtiene:
tiene por conjunto de soluciones
. El conjunto solución de la primera
ecuación es subconjunto del conjunto de soluciones de la segunda.
Ejemplo ilustrativo 42
Encontrar los valores de x que satisfacen cada una de las siguientes
ecuaciones
1)
2x
5
3)
3x 7
5)
x
x
5
2)
x 6
1
x
0
1
y
3
y
1
4) 4 4 2. x 2
6)
x
16
2. 3
x
2
Solución:
1)
2x
5
x
5
2x
5
5
x
2x
5
2x
5
2
5
25 10 x
restando x a ambos lados
x 2
x2
elevando al cuadrado ambos miembros
resolviendo las potencias
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x2
12x
20
0
agrupando términos semejantes en un solo miembro
( x – 10 )( x – 2 ) = 0
por consiguiente:
factorizando
x = 10 o x = 2
2x
Comprobación:
5
x
5
Para x = 2
2.2
5
2
5
9
2
5
5 = 5 es solución
Para x = 10
2.10
5
10
5
25
10
5
15 = 5 es falso
No satisface la ecuación original, y se le denomina solución extraña, la
cual se introdujo cuando se elevaron ambos miembros al cuadrado
En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 2 }.
2)
y
3
y
y
3
y
y
1
3
1
2
y
1
y
3 1 2
2
2
2 2
2
4
4y
y 1
Sumando
y
y
y
y
a ambos lados
2
Elevando al cuadrado ambos miembros
y
Resolviendo las potencias
Agrupando términos semejantes
2
Elevando al cuadrado ambos miembros
Dividiendo entre 4
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y
Comprobación:
1 3
1
3
1
y
4
1
1 1
1 = 1 es solución
En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 1 }.
3x 7
3)
x 6
0
El miembro de la izquierda presenta la suma de dos términos positivos
que nunca va a dar 0, por consiguiente no existe valor de x que
satisfaga la ecuación, en consecuencia la solución es Ø
4
4)
4
4 2. x 2
2. 3
4
4 2. x 2
2. 3
4
4 2. x 2
144
Resolviendo las potencias
2. x 2
140
Agrupando términos semejantes
x 2
x 2
70
2
Dividiendo entre 2 ambos miembros
70 2
Elevando al cuadrado ambos miembros
x 2
4900
Resolviendo las potencias
x
4902
Sumando 2 a ambos miembros
Comprobación: 4 4 2. x 2
4
Elevando a la cuatro ambos miembros
4 2. 4902 2
4
2. 3
4 2. 4900
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4
4 2.70
4
16.9
4
4
2.
144
32
2. 3
es solución
En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 4902 }.
5)
2
x
x
1
2
. x
x
x. x
1. x
x 2
Multiplicando por el m.c.m que es
x
x 2 2
x
Resolviendo los productos
x
2
Elevando al cuadrado ambos miembros
x 2 – 4x + 4 = x
Resolviendo las potencias
x 2 – 5x + 4 = 0
Restando x a ambos miembros
( x – 4 )( x – 1 ) = 0
Factorizando
Por consiguiente x = 4 o x = 1
Comprobación:
2
x
x
1
Para x = 4
4
2
4
1
2
2
2
1
2–1=1
1 = 1 es raíz
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Para x = 1
2
1
1
1
1
2
1
1–2=1
1
– 1 = 1 no es raíz
En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 4 }.
x
6)
16
x
2
2
x
16
x
22
Elevando al cuadrado ambos miembros
x
4
Resolviendo las potencias
x 16
4
x
16
x
16
x
2
4
8
Por consiguiente,
x = 0
Comprobación:
x
16
0
2
16
Sumando
8
x
a ambos lados
2
x
16 16
0
0
x
Elevando al cuadrado ambos miembros
x
x
x
Resolviendo las potencias
Agrupando términos semejantes
x
2
16
2
4
2
2 = 2 es raíz
En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 0 }.
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Ejercicios propuestos
Encontrar el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.
1) 1 – 3(2x – 4 ) = 4( 6 – x ) – 8
2) 14 – 12x + 39x – 18x = 256 – 60x – 657x
3) 16y – [ 3y – ( 6 – 9y ) ] = 30y + [ – ( 3y + 2 ) – ( y + 3 ) ]
4) 10( m – 9 ) – 9( 5 – 6m ) = 2( 4m – 1 ) + 5( 2m + 1 )
5) ( w + 1 )( w – 2 ) – ( 4w – 1 )( 3w + 5 ) – 6 = 8w – 11( w – 3 )( w + 7 )
6) ( 4 – 5x )( 4x – 5 ) = ( 10x – 3 )( 7 – 2x )
7)
x
4
5
3
8)
3v
8
9)
3 2x 1
5
6
10)
12)
14)
0
4v 9
4
7
80
12v 5
16
1
5
1 x 2
5
3
2v 3
20
a( y – a ) – 2b( y – 3b ) = ab
x
a
a
b
x
a
b
b
b2
a2
ab
x 2 – 3x – 10 = 0
7
10
4 3x 2
3
4
11)
x
3a
b
4b
x
2a
a
5b
13) 4x 2 – 9 = 0
15) x 2 + 6x + 9 = 17
16) m 2 – 5m = 6
17) 3x 2 – 7x + 2 = 0
18) x 2 = 3x
19) 25x 2 + 2 = 15x
20) 2x 2 – 5x + 1 = 0
21) 2x 2 = 3x + 1
22) ( x + 4 ) 2 = 2x( 5x – 1 ) – 7( x – 2 )
23) ( 5x – 4 ) 2 – ( 3x + 5 )( 2x – 1 ) = 20x( x – 2 ) + 27
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“14 Años de Experiencia Hacen la Diferencia”
24) ( x + 2 )( x – 1 ) – ( x + 4 )( 2x – 3 ) + 14 = x
25) x 2 + 3x + 4 = 0
26) 3x( x – 2 ) – ( x – 6 ) = 23( x – 3 )
27)
29)
t
t
3
2
2
2
6x
5w 8
w 1
x
2
x
3x 2
2
30)
1
3x
8
5
0
7
2
11
60
2
9
x
5x
4
3
32)
1
2
2x
3
x
4
8
37)
x
4
39)
x2
41)
6
x
42)
t
t
2
4
x
4x
2
6
x
3
9
2
x 1
2x 1
x
5
2
7
12x
2
2
5
1
x
2
2x
1
36)
4x 2
38)
x
40) 2
x
6
x
x
1
3
x
3
x 1
x
3x
x 7
7w 4
w 2
3
x
7
28)
4
5
y
5
34)
44)
t2
3
2
x
35)
5
3
2
y 1 1 y
31)
33)
t
t
1
15
x
3
x2
1 2x
5
10
x
2x
0
0
43)
3x
45)
2x 3
x 1
5
10
0
4x 5
x 1
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46)
2x
1
1
x
3
47)
x
2
1
1
x
2
0
1
Respuestas
1) { – 3 / 2 }
2) { 1 / 3 }
3) { 1 / 2 }
4) { 3 }
5) { 13 }
6) { 1 / 35 }
7) { 19 }
8) { – 4 }
9) { – 1 / 2 }
10) y = a + 3b con a ≠ 2b
11) x = 3a – 5b con a ≠ – b
12) x = 2( a + b ) con a ≠ b
13) { ± 3 / 2 }
14) { – 2 , 5 }
15)
16) { – 1 , 6 }
17) { 1 / 3 , 2 }
18) { 0 , 3 }
19) { 1 / 5 , 2 / 5 }
20)
21)
3
17
17
4
22) { – 1 / 9 , 2 }
4
23) { – 1 , – 6 }
25) No tiene solución real,
5
24) { – 8 , 3 }
3
i. 7
2
26) { 5 }
27) { 1/2 }
28) { 8 }
29) { – 5 }
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30) { – 42/11 , 2 }
31) { 3 }
32) { 3 / 4 , 6 }
33) { 5 / 2 , 4 }
34) { – 5 / 9 }
35) { 4 / 3 }
36) { 4 }
37) { 5 }
38) { 4 }
39) { 3 / 2 }
40) { – 4 , 2 }
41) { 2 }
42) { 4 }
43) { }
44) { – 2 / 3 , 3 }
45) { }
46) { 0 }
47)
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