39 Razones de cambio o tasas relacionadas Thomas 214-217

3.7 Razones de cambio o tasas relacionadas
primeras derivadas a partir de la observación de la gráfica de
x4 + 4y2 = 1? ¿Podría predecir el comportamiento general
de la gráfica de x4 + 4y2 = 1 a partir de la observación de la
gráfica de las derivadas? Justifique sus respuestas.
69. Normal que interseca ¿En qué otro punto la recta normal a la
curva x 2 + 2xy - 3y 2 = 0 en (1, 1) interseca la curva?
70. Normales paralelas a una recta Encuentre las normales a la
curva xy + 2x - y = 0 que son paralelas a la recta 2x + y = 0 .
71. Normales a una parábola Demuestre que si es posible dibujar
las tres normales desde el punto (a, 0) a la parábola x = y2 que se
muestra aquí, entonces a deber ser mayor que 1>2. Una de las normales es el eje x. ¿Para qué valor de a son perpendiculares las
otras dos normales?
y
x
0
y2
x
(a, 0)
213
76. a. Dado que (x – 2)2 + y2 = 4, encuentre dy>dx de dos maneras:
(1) resolviendo para y y derivando las funciones resultantes
con respecto a x y (2) mediante diferenciación implícita. ¿Obtuvo el mismo resultado en ambos casos?
b. Resuelva la ecuación (x – 2)2 + y2 = 4 para y y grafique juntas
las funciones resultantes para obtener la gráfica completa de la
ecuación (x – 2)2 + y2 = 4. Después agregue las gráficas de
las primeras derivadas de la función a su pantalla.¿Podría predecir el comportamiento general de las gráficas de las derivadas
a partir de la observación de la gráfica de (x – 2)2 + y2 = 4?
¿Podría predecir el comportamiento general de la gráfica de
(x – 2)2 + y2 = 4 a partir de la observación de la gráfica de las
derivadas? Justifique sus respuestas.
Use un software matemático para realizar los pasos siguientes en los
ejercicios 77 a 84.
a. Dibuje la ecuación con el graficador implícito del software.
Verifique que el punto dado P satisface la ecuación.
72. ¿Qué conceptos geométricos están detrás de las restricciones en
los dominios de las derivadas de los ejemplos 6(b) y 7(a)?
T En los ejercicios 73 y 74, encuentre dy>dx (tratando y como una función diferenciable de x) y dx>dy (tratando x como una función diferenciable de y) ¿Cómo parecen estar relacionadas dy>dx y dx>dy? Explique la relación geométricamente, en términos de las gráficas.
3
2
73. xy + x y = 6
3
2
2
74. x + y = sen y
b. Usando diferenciación implícita, encuentre una fórmula para
la derivada dy>dx y evalúela en el punto dado P.
c. Use la pendiente determinada en el inciso (b) para encontrar
una ecuación para la recta tangente a la curva en P. Después
trace juntas, en una sola gráfica, la curva implícita y la recta
tangente.
77. x 3 - xy + y 3 = 7,
5
3
2
Ps2, 1d
4
78. x + y x + yx + y = 4,
2 + x
,
1 - x
Ps1, 1d
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
79. y 2 + y =
75. a. Dado que x4 + 4y2 = 1, encuentre dy>dx de dos maneras: (1)
resolviendo para y y derivando la función resultante de la forma usual, y (2) mediante diferenciación implícita. ¿Obtuvo el
mismo resultado en ambos casos?
80. y 3 + cos xy = x 2, Ps1, 0d
y
p
81. x + tan a x b = 2, P a1, b
4
b. Resuelva la ecuación x4 + 4y2 = 1 para y y grafique juntas
las funciones resultantes para obtener la gráfica completa de la
ecuación x4 + 4y2 = 1. Después, agregue las gráficas de las
primeras derivadas de estas funciones a su pantalla. ¿Podría
predecir el comportamiento general de las gráficas de las
3.7
Ps0, 1d
82. xy 3 + tan (x + yd = 1,
p
P a , 0b
4
83. 2y 2 + sxyd1>3 = x 2 + 2,
Ps1, 1d
84. x 21 + 2y + y = x ,
2
P s1, 0d
Razones de cambio o tasas relacionadas
En esta sección veremos problemas cuya incógnita es la razón a la que cambia cierta variable. En cada caso, la tasa es la derivada que tiene que calcularse a partir de conocer la razón
a la cual cambia alguna otra variable (o quizás varias variables). Para encontrarla escribimos una ecuación que relacione las variables involucradas, y la derivamos para obtener
una ecuación que relacione la tasa que buscamos con las razones de cambio que conocemos. El problema de encontrar una tasa que no se puede medir fácilmente a partir de otras
tasas que sí se pueden determinar se llama problema de razones de cambio relacionas.
214
Capítulo 3: Derivadas
Ecuaciones de tasas relacionadas
Suponga que estamos bombeando aire en un globo esférico. Tanto el volumen como el radio del globo crecen con el tiempo. Si V es el volumen y r es el radio del globo en un instante determinado, entonces
V =
4 3
pr .
3
Usando la regla de la cadena, derivamos para encontrar la ecuación de tasas relacionadas
dV
dV dr
dr
=
= 4pr 2 .
dt
dr dt
dt
De manera que si conocemos el radio r del globo y la razón dV>dt en la que el volumen está creciendo en un instante dado, podemos resolver esta última ecuación para dr>dt a fin
de encontrar qué tan rápido crece el radio en ese instante. Observe que es más fácil medir
directamente la razón de cambio de crecimiento del volumen que medir el crecimiento del
radio. La ecuación de tasas relacionadas nos permite calcular dr>dt a partir de dV>dt
A menudo la clave para relacionar variables en problemas de tasas relacionadas consiste en hacer un dibujo que muestre las relaciones geométricas entre ellas, como se ilustra
en el ejemplo siguiente.
r
EJEMPLO 1
dh
dt
Vaciado de un tanque
¿Qué tan rápido baja el nivel de líquido en un tanque cilíndrico vertical, si drenamos aquel
a una razón de 3000 L> min?
?
h
dV
dt
–3000 L/min
FIGURA 3.42 La razón de cambio del
volumen de un fluido en un tanque
cilíndrico se relaciona con la razón de
cambio del nivel del fluido en el tanque
(ejemplo 1).
Solución
Hacemos un dibujo para representar un tanque cilíndrico vertical medio lleno,
y llamamos r a su radio y h a la altura del líquido (figura 3.42). Denominemos V al volumen del líquido.
Conforme pasa el tiempo, el radio permanece constante, pero V y h cambian. Pensamos en V y h como funciones diferenciables del tiempo y usamos t para representar el
tiempo. Sabemos que
dV
= - 3000.
dt
Drenamos a razón de 3000 L> min.
La razón es negativa, ya que el
volumen está decreciendo.
Queremos encontrar
dh
.
dt
¿Qué tan rápido baja el nivel del líquido?
Para encontrar dh>dt, primero escribimos una ecuación que relacione h con V. La
ecuación depende de las unidades elegidas para V, r y h. Con V en litros y r y h en metros,
la ecuación apropiada para determinar el volumen del cilindro es
V = 1000pr 2h
ya que un metro cúbico contiene 1000 L.
Como V y h son funciones diferenciables de t, podemos derivar ambos lados de la
ecuación V = 1000pr2h con respecto a t para obtener una ecuación que relacione dh>dt
con dV>dt:
dV
dh
= 1000pr 2
.
dt
dt
r es una constante.
Sustituimos el valor conocido dV>dt = - 3000 y resolvemos para dh>dt:
- 3000
3
dh
=
= - 2.
dt
1000pr 2
pr
3.7 Razones de cambio o tasas relacionadas
215
El nivel del líquido bajará a razón de 3>spr 2 d m>min.
La ecuación dh>dt = - 3>pr 2 muestra cómo la razón a la que el nivel del líquido baja, depende del radio del tanque. Si r es pequeño, dh>dt será grande; si r es grande, dh>dt
será pequeño.
Si r = 1 m:
Si r = 10 m:
3
dh
= - p L - 0.95 m>min = - 95 cm>min.
dt
3
dh
L - 0.0095 m>min = - 0.95 cm>min.
= 100p
dt
Estrategia para resolver problemas de razones de cambio
o tasas relacionadas
1. Hacer un dibujo y dar nombre a las variables y a las constantes. Use t para el
tiempo. Suponga que todas las variables son funciones diferenciables de t.
2. Escribir la información numérica (en términos de los símbolos que haya
escogido).
3. Escribir lo que se pide encontrar (usualmente una razón de cambio expresada
como derivada).
4. Escribir una ecuación que relacione las variables. Puede combinar dos o más
ecuaciones para obtener una sola ecuación que relacione la variable cuya razón quiere averiguar con las variables cuyas razones conoce.
5. Derivar con respecto a t. Exprese la razón que le interesa determinar en términos de la razón y las variables cuyos valores conoce.
6. Evaluar. Use los valores que conoce para encontrar la razón desconocida.
EJEMPLO 2
Globo
d
0.14 rad/min
dt
cuando
"/4
dy
?
y dt
cuando
Un globo de aire caliente que asciende en línea recta desde el nivel del suelo es rastreado
por un observador que está a 500 pies del punto de elevación. En el momento que el ángulo de elevación del observador es p>4, el ángulo crece a razón de 0.14 rad> min. ¿Qué tan
rápido se está elevando el globo en ese momento?
"/4
Solución
Obser
vador
Un globo ascendente
500 pies
Para responder la pregunta anterior, realizamos los seis pasos de la estrategia
anterior.
1.
FIGURA 3.43 La razón de cambio de la
altura del globo está relacionada con la
razón de cambio del ángulo que forman el
observador y el suelo (ejemplo 2).
Hacemos un dibujo y damos nombre a las variables y a las constantes (figura 3.43).
Las variables en el dibujo son
u = el ángulo, en radianes, que forma el observador con respecto al suelo.
y = la altura del globo, en pies.
Sea t el tiempo en minutos, y supongamos que u y y son funciones diferenciables de t.
En el dibujo, la constante es la distancia entre el observador y el punto de despegue
del globo (500 pies). No es necesario nombrarla con un símbolo especial.
2.
3.
Escribimos la información numérica adicional.
du
p
= 0.14 rad>min
cuando
u =
4
dt
Escribimos lo que se pide encontrar. Queremos determinar dy>dt en el instante en que
u = p>4.
216
Capítulo 3: Derivadas
4.
Escribimos una ecuación que relaciones las variables y u .
y
= tan u
500
o
y = 500 tan u
5.
Derivamos con respecto a t. Utilizando la regla de la cadena. El resultado nos dice cómo se relaciona dy>dt (la incógnita que queremos determinar) con du>dt (el dato que
conocemos).
dy
du
= 500 ssec2 ud
dt
dt
6.
Evaluamos con u = p>4 y du>dt = 0.14 para encontrar dy>dt.
dy
= 500 A 22 B 2s0.14d = 140
dt
EJEMPLO 3
Situación cuando
x 0.8, y 0.6
y
ds
dt
60
0
p
= 22
4
En el momento en cuestión, el globo está subiendo a razón de 140 pies> min.
y
dy
dt
sec
dx
dt
20
x
x
?
FIGURA 3.44 La rapidez del automóvil
se relaciona con la rapidez de la patrulla y
la razón de cambio de la distancia entre
ambos (ejemplo 3).
Persecución en la carretera
Una patrulla se aproxima a una intersección en ángulo recto desde el norte, persiguiendo a
un automóvil que va a exceso de velocidad, y da vuelta en la esquina hacia el este. Cuando
la patrulla se encuentra a 0.6 millas al norte de la intersección y el automóvil está a 0.8 millas al este, los policías determinan con un radar que la distancia entre ellos y el automóvil
está aumentando a 20 millas> hora. Si la patrulla se mueve a 60 millas> hora en el instante
de la medición, ¿cuál es la velocidad del automóvil?
Solución
Dibujamos el automóvil y la patrulla en el plano coordenado, usando el eje x
positivo como el lado este de la carretera y el eje y positivo como el lado norte de la misma
(figura 3.44). Hacemos que t represente el tiempo y fijamos
x = posición del automóvil en el tiempo t
y = posición de la patrulla en el tiempo t
s = distancia entre el automóvil y la patrulla en el tiempo t
Suponemos que x, y y s son funciones diferenciables de t.
Queremos encontrar dx>dt cuando
x = 0.8 millas, y = 0.6 millas,
dy
ds
= - 60 millas>hora,
= 20 millas>hora.
dt
dt
Observe que dy>dt es negativo, porque y está decreciendo.
Derivamos la ecuación de la distancia
s2 = x2 + y2
(también podríamos usar s = 2x 2 + y 2), y obtenemos
2s
dy
ds
dx
= 2x
+ 2y
dt
dt
dt
dy
ds
dx
1
= s ax
+ y b
dt
dt
dt
=
1
2x + y
2
2
ax
dy
dx
+ y b.
dt
dt