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Capítulo 14
Uniones carpinteras: cálculo
14.1 INTRODUCCIÓN
El cálculo de las uniones carpinteras consiste, en general, en la comprobación de las
tensiones normales de compresión localizadas y las tensiones tangenciales en los cogotes
de las piezas, que se generan en la transmisión de los esfuerzos.
En general, las uniones carpinteras no son capaces de resistir una inversión de esfuerzos,
y la mayoría están pensadas para transmitir esfuerzos de compresión. Por tanto, es
importante estudiar la posible inversión de esfuerzos, particularmente la debida a la
acción del viento y, en especial, en cubiertas muy ligeras. En su caso, deberán disponerse
herrajes aptos para responder ante esos esfuerzos (pletinas, pernos, etc.).
Por otro lado, en la comprobación de las piezas, deberán tenerse en cuenta las
reducciones de sección que sufren en el ensamble, debidas a rebajes y cajas. En algunos
casos donde la justificación de la unión mediante el cálculo no es posible o fiable, deberá
procederse al ensayo de modelos.
Son pocas las normas de cálculo que incluyen reglas de dimensionado para las uniones
carpinteras. Por un lado esto se debe a la falta de su empleo en las décadas recientes,
donde las uniones de tipo mecánico habían sustituido a las carpinteras, casi de forma
general. También se debe, en parte, a que las comprobaciones de la capacidad portante
pueden plantearse de manera simplificada mediante la aplicación de los procedimientos
de comprobación de tensiones de compresión localizada y de tensiones tangenciales.
Este proceder no siempre incluye algunos fenómenos de concentración de tensiones y
efectos de hienda y tracción perpendicular a la fibra, que pueden resultar críticos en el
diseño de la unión.
En la versión actual del Eurocódigo 5 no se tratan, mientras que en el DB-SE de
Estructuras de Madera del CTE se incluyen únicamente unas reglas para el cálculo de las
uniones embarbilladas. En el anexo nacional del Eurocódigo de algunos países Europeos
como es el caso de Alemania y Austria, se proponen reglas para la comprobación de
algunos tipos de uniones carpinteras, como el embarbillado y la caja y espiga (véanse las
normas DIN EN 1995-1-1/NA:2013 y ÖNORM EN 1995-1-1/NA:2014). Su
planteamiento recoge de manera muy similar las mismas reglas que se recogían en la
antigua norma DIN 1052:2008. A continuación se exponen los procedimientos de
comprobación que proceden principalmente de la normativa citada y de la bibliografía
alemana.
Estructuras de madera. Uniones
34
14.2 APOYOS Y COMPRESIÓN OBLICUA CONCENTRADA
14.2.1 Compresión perpendicular a la fibra
La resistencia a compresión perpendicular a la fibra de la madera se determina mediante
ensayo de una probeta con forma de paralelepípedo según la norma UNE-EN 408,
quedando sometida a una tensión uniforme en toda la superficie de contacto. Esta
disposición ofrece resultados menos favorables que cuando la compresión se ejerce sólo
sobre una parte de la pieza, figura 14.1. En este caso, existe un efecto de ayuda de las
fibras no comprimidas en las proximidades de la superficie de contacto.
Figura 14.1. Compresión
perpendicular a la fibra.
Izquierda: ensayo de
probeta; derecha:
compresión parcial con
efecto de ayuda de las fibras
de la zona no comprimida.
Este efecto es el que se da en el apoyo de una viga, figura 14.2. El efecto de ayuda se
considera en el cálculo a través de considerar un área eficaz Aef, superior al área real de
contacto, definida por la expresión siguiente:
Aef
b l ef
b ( l a1 a 2 )
(14.1)
donde
b
anchura de la zona comprimida;
lef
longitud eficaz en dirección paralela a la fibra;
l
longitud de contacto;
a 1, a 2
longitudes añadidas por el efecto de ayuda. Se tomarán igual al menor
valor entre 30 mm y l.
La condición que debe cumplirse es la siguiente,
V c ,90 ,d
k c ,90 f c ,90 ,d
d1
(14.2)
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
35
Figura 14.2. Área eficaz en los apoyos extremo e intermedio de una viga.
donde
ıc,90,d
tensión de cálculo de compresión perpendicular a la fibra producida
por la fuerza aplicada Fd sobre la superficie eficaz (Fd/Aef);
fc,90,d
resistencia de cálculo a compresión perpendicular a la fibra;
kc,90
factor que es función de la configuración de la unión, la posibilidad de
hienda y la deformación por compresión.
- En durmientes (apoyados en continuo), siempre que l1 • 2·h, figura
14.3
kc,90 = 1,25
madera maciza de coníferas
kc,90 = 1,50
madera laminada encolada de coníferas
- En piezas sobre apoyos puntuales, siempre que l1 t 2·h, figura 14.3
kc,90 = 1,50
madera maciza de coníferas
kc,90 = 1,75
madera laminada encolada de coníferas,
siempre que l ” 400 mm
donde h es el canto de la pieza y l es la longitud de contacto. En el
caso de que no se cumpla la relación expresada entre l1 y h, se tomará
kc,90 = 1.
Estructuras de madera. Uniones
36
Figura 14.3. Pieza apoyada en continuo (izquierda) y con apoyos puntuales (derecha).
14.2.2 Compresión oblicua a la fibra
La comprobación de la compresión oblicua de acuerdo con el Eurocódigo 5 y en el DBSE-M es la siguiente,
ı c ,D ,d
d1
(14.3)
f c ,D ,d
En la que la resistencia a la compresión oblicua, fc,Į,d, se define en la siguiente expresión,
f c ,D ,d
f c ,0 ,d
f c ,0 ,d
sen 2D cos 2 D
k c ,90 f c ,90 ,d
(14.4)
Donde kc,90 es el factor definido en el apartado anterior.
La comprobación de la compresión oblicua a la dirección de la fibra establecida en la
versión anterior de la norma DIN 1052:2008, difiere ligeramente de la anterior, y es la
siguiente,
ı c ,D ,d
d1
kc,Į ˜ f c ,D ,d
donde
ıc,Į,d
tensión de compresión oblicua a la fibra;
ı c,Į,d
donde
FĮd
es la fuerza oblicua;
FĮd
Aef
(14.5)
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
Aef
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el área eficaz, definida en el apartado anterior (Aef = b·lef), figura 14.4.
Se tomarán los valores de a1 y a2 iguales al menor valor entre 30 mm y
l, sin llegar a superar las dimensiones de la pieza.
Figura 14.4. Compresión oblicua.
kc,Į = 1 + (kc,90 – 1)·sen Į
(14.6)
donde kc,90 es el factor definido en el apartado anterior (14.2.1);
fc,Į,d
f c ,D ,d
resistencia a compresión oblicua a la fibra, definida por la siguiente
expresión,
f c ,0 ,d
2
2
§ f c ,0 ,d
·
§ f
·
2
¨
¸ ¨ c ,0 ,d ˜ sen Į ˜ cos Į ¸ cos 4 Į
˜
sen
Į
¨ f
¸
¨ 1,5 ˜ f
¸
v ,d
© c ,90 ,d
¹
©
¹
(14.7)
donde,
fc,0,d, fc,90,d y fv,d
son las resistencias de cálculo a compresión paralela y
perpendicular a la fibra y a cortante, respectivamente.
Comentarios: la ecuación 14.7 es de aplicación general, pero en la misma norma DIN
1052:2008 existía otra expresión ligeramente diferente que es específica para la
comprobación del ensamble de barbilla, véase apartado 14.5.1.3, ec. 14.25.
La resistencia a compresión oblicua obtenida por la ecuación 14.4 (Eurocódigo 5) o por
la ecuación 14.7 (DIN 1052) difieren poco, como puede comprobarse en la figura 14.5.
Las mayores diferencias se producen cuando el valor de kc,90 es grande, dando lugar a
valores de kc,90·fc,D,d ligeramente mayores a fc,0,d para ángulos muy pequeños (entre 2 y
4º).
Estructuras de madera. Uniones
38
Figura 14.5. Relación entre la resistencia a compresión oblicua y la resistencia a
compresión paralela a la fibra obtenida mediante la ecuación 14.4 (Eurocódigo 5) y la
ecuación 14.7 (DIN 1052) para una clase resistente C22 (relación fc,0,k/fc,90,k = 8,33 y
fc,0,k/fv,k =5,26), tomando kc,90 =1.
Un ejemplo de aplicación es el caso del apoyo de una pieza inclinada, figura 14.6. La
longitud eficaz a considerar será igual a la longitud real de contacto más las longitudes
añadidas c1 y c2, medidas en la dirección de la fibra.
Figura 14.6. Compresión oblicua en el apoyo de un par.
Así, la longitud eficaz es,
lef
l c1 c2
(14.8)
donde c1 y c2 son los menores valores entre 30 mm·cos ȕ, l o la distancia hasta el final de
la pieza.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
39
Otro caso de compresión oblicua se encuentra en el apoyo de un par sobre una viga o
correa de cubierta, figura 14.7.
Figura 14.7. Compresión oblicua en el apoyo de un par sobre una viga.
En la viga hay una compresión perpendicular a la fibra y la comprobación, según la
ecuación 14.2, es,
V c ,90 ,d
k c ,90 ,d f c ,90 ,d
d1
donde
compresión perpendicular a la fibra V c ,90 ,d
ıc,90,d
donde, Aef
Fd
Aef
l ˜ ( b 2 ˜ 30 mm)
y en el par, la compresión es oblicua, ıc,Į,d,
V c ,D ,d
Fd
; Aef
Aef
l c1 c2
l 2 ˜ 30 mm ˜ cos E
Debiendo realizar la comprobación de acuerdo con la ecuación 14.3 (o 14.5 si se siguiera
el criterio de la norma DIN 1052).
EJEMPLO 14.1:
Una correa de madera laminada encolada de clase resistente GL24h con una
sección transversal de 100x300 mm apoya en la cara de una viga mediante un
herraje de cuelgue fabricado en chapa de acero de 2,5 mm de espesor, figura 14.8.
La correa se dispone en posición normal a la cara superior de la viga que tiene una
pendiente de un 5% (2,862º) y se encuentra en una clase de servicio 1. Bajo la
actuación simultánea de la carga permanente y la carga de nieve (de duración
Estructuras de madera. Uniones
40
corta) el valor de cálculo del cortante en el apoyo presenta las siguientes
componentes: Vy,d = 14,752 kN y Vz,d = 0,737 kN. Se desea comprobar la compresión
perpendicular a la fibra en la base de asiento de la correa.
La comprobación de la tensión perpendicular a la fibra debe hacerse para la componente
Vy,d y para la Vz,d. Sin embargo, la segunda componente tiene un valor muy pequeño y el
área de apoyo es grande, por lo que no es relevante.
La tensión perpendicular a la fibra se obtiene repartiendo el esfuerzo cortante Vy,d entre
el área eficaz de apoyo, según la ecuación 14.1:
Aef
b l ef
b ( l a1 a 2 )
90 ( 70 30 )
9000 mm 2
La anchura de apoyo b, se ha tomado igual a la anchura de la correa (100 mm) menos 10
mm que representan 5 mm de disminución de la anchura apoyada en cada arista de la
sección debido al biselado que se hace para facilitar el asiento en el herraje. La longitud
del apoyo se ha tomado igual a la longitud de la base de apoyo del herraje (80 mm)
menos 10 mm que pueden darse por una holgura constructiva en el largo de la correa.
Además, una de las dimensiones ai se toma igual a 30 mm y la otra nula. Por tanto la
tensión de cálculo será,
V c ,90 ,d
V y ,d
Aef
14752
9000
1,64 N/mm 2
Figura 14.8. Ejemplo de apoyo de correo de madera laminada encolada.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
41
Y la comprobación de acuerdo con la ecuación 14.2,
V c ,90 ,d
k c ,90 f c ,90 ,d
1,64
1,75 ˜ 1,80
0 ,52 d 1
Donde kc,90 = 1,75 para apoyos puntuales en piezas de madera laminada encolada y la
resistencia de cálculo a compresión perpendicular a la fibra para clase de servicio 1,
duración corta y clase resistente GL24h es,
fc,90,d = kmod·fc,90,k/ȖM = 0,9·2,5/1,25 = 1,80 N/mm2
EJEMPLO 14.2:
Una viga continua de tipo Gerber con un enlace articulado debe transmitir un
esfuerzo cortante de cálculo Vd = 105 kN en una combinación para una duración
corta de la carga, figura 14.9. La viga tiene una sección transversal de 140x1500
mm, es de clase resistente GL24h y se encuentra en clase de servicio 1. El enlace se
ha resuelto mediante un herraje oculto como se describe en la figura, en forma de
doble T. El alma tiene un espesor de 6 mm y se aloja en una ranura de 8 mm de
anchura. La carga se transmite por compresión perpendicular a la fibra a través de
unas chapas de 8 mm de espesor que tienen una superficie de 130x250 mm. Se
desea comprobar la validez del nivel de tensión de compresión perpendicular sobre
dichas placas.
La tensión de compresión perpendicular a la fibra se calcula repartiendo la fuerza, en
este caso, el esfuerzo cortante Vd, entre la superficie eficaz de apoyo
ı c,90,d
Vd
Aef
105000
34160
3,074 N/mm 2
donde el área eficaz tiene en cuenta la distancia a2 = 30 mm en dirección paralela a la
fibra y descuenta los 8 mm de la anchura de la ranura en la pieza de madera. Según la
ecuación 14.1,
Aef
b l ef
b ( l a1 a 2 ) ( 130 8 ) ( 250 30 )
34160 mm 2
La comprobación se efectúa de acuerdo con la ecuación 14.2,
V c ,90 ,d
3 ,074
0 ,98 d 1
k c ,90 f c ,90 ,d 1,75 1,80
donde,
kc,90 = 1,75, para madera laminada encolada de coníferas, siempre que l = 250 ” 400
mm;
42
Estructuras de madera. Uniones
fc,90,d = kmod·fc,90,k/ȖM = 0,9·2,5/1,25 = 1,80 N/mm2
Por lo que la tensión es válida.
Figura 14.9. Ejemplo de comprobación de la tensión de compresión perpendicular.
14.3 APOYOS CON ENTALLADURAS
En el caso de vigas con entalladuras en los apoyos, figura 14.10, la comprobación de
cortante se realizará utilizando el canto eficaz o reducido de la sección, hef. Por tanto, la
tensión máxima de cortante en vigas de sección rectangular viene dada por la ecuación
siguiente:
Wd
1,5 ˜ Vd
b ˜ hef
(14.9)
Donde Vd es el cortante de cálculo en el apoyo y b es el ancho de la sección. Aunque ni
la versión actual del Eurocódigo 5, ni el CTE DB-SEM, lo mencionan, parece lógico que
en la ecuación anterior se utilice el ancho eficaz, multiplicando b por el coeficiente kcr,
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
43
por la posibilidad de la existencia de fendas de secado (véase apartado 6.3.1.2 del Tomo
I, ecuación 6.13).
Figura 14.10. Apoyo de vigas con entalladura.
La condición que debe cumplirse es la siguiente:
Wd
k v ˜ f v ,d
d1
(14.10)
donde,
kv
factor de reducción que adopta los valores siguientes:
- En el apoyo extremo de vigas con el rebaje en la parte inferior, figura 14.10a.
kv
i
h
x
D
kn
­1
°
§
1,1 i 1,5
k n ¨¨ 1 °°
h
©
min ®
°
ª
x
° h « D 1 D 0 ,8
h
°¯
«¬
·
¸
¸
¹
(14.11)
º
1
D 2 »
D
¼»
d/(h-hef), define la inclinación del rebaje, figura 14.10a;
canto de la viga en mm, figura 14.23a;
distancia desde el eje del apoyo hasta el final del rebaje, figura 14.10a;
hef/h;
4,5 para madera microlaminada, 5 para madera maciza y 6,5 para
madera laminada encolada.
- En el apoyo extremo de vigas con el rebaje en la parte superior, figura 14.10b.
kv
1
Estructuras de madera. Uniones
44
Comentarios: esta comprobación para apoyos con entalladuras está recogida de
manera común en las normas UNE-EN 1995-1-1, DIN 1052:2008 y DB-SE Madera del
CTE.
14.4 UNIÓN DE CAJA Y ESPIGA
14.4.1 Apoyo de pie derecho sobre el durmiente
La unión de caja y espiga es utilizada en el apoyo de pies derechos sobre una pieza
transversal denominada durmiente que a su vez descansa en continuo sobre un lecho,
figura 14.11. La espiga tiene la función de afianzar lateralmente la unión, pero la carga
se transmite a través de la superficie que rodea la espiga. Para garantizar esto, la longitud
de la espiga es ligeramente menor que la profundidad de la caja. Las dimensiones de la
sección transversal de la espiga pueden ser del orden de (4/5)·h’ y b/3.
Figura 14.11. Encuentro de caja y espiga entre pie derecho y durmiente.
Debe cumplirse la siguiente condición,
ı c,90, d
k c,90 ˜ f c,90, d
d1
(14.12)
siendo
ıc,90,d
tensión de compresión perpendicular a la fibra sobre el durmiente,
calculada con un área eficaz, Aef;
ı c,90, d
Nd
Aef
(14.13)
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
45
Aef
área eficaz calculada como el área de contacto (zona rayada en la
figura) más una franja a cada lado de anchura igual a b y longitud a1 y
a2, en la dirección de la fibra;
a1, a2
el menor valor entre 30 mm, l o l1/2 (ó l2/2)
l ef
l a1 a 2
(14.14)
fc,90,d
resistencia de cálculo a compresión perpendicular a la fibra del
durmiente;
kc,90
factor que es función de la configuración del encuentro, la posibilidad
de hienda y la deformación por compresión. Para durmientes (piezas
apoyadas en continuo, siempre que l1 • 2·h (y l2 • 2·h), kc,90 = 1,25 en
madera maciza y kc,90 = 1,50 en madera laminada encolada. En caso de
no cumplirse la condición anterior se tomará kc,90 = 1.
14.4.2 Caja y espiga trabajando a cortante
En apoyos de vigas o viguetas sobre pilares o jácenas principales mediante caja y espiga
la transmisión de la carga o reacción en el apoyo Vd, producirá en la espiga un esfuerzo
cortante y una compresión perpendicular a la fibra, figura 14.12, cuya comprobación
contempla el anexo nacional de Alemania del Eurocódigo 5 (DIN EN 1995-11/NA:2013) similar al contenido en la versión de 2008 de la norma DIN 1052.
Figura 14.12. Espiga en el apoyo de una viga.
En el caso de vigas con una altura de hasta h = 300 mm, el valor característico de la
capacidad de carga de la espiga viene definido por la siguiente expresión,
Rk
­2
° k cr b ˜ he ˜ k z ˜ k v ˜ f v,k
min ® 3
° 1,7 ˜ b ˜ lc,ef ˜ f c,90,k
¯
(14.15)
Estructuras de madera. Uniones
46
donde,
kcr
coeficiente que reduce la anchura de la sección en función de la
posibilidad de la existencia de fendas de secado (ec. 6.3.1.2 Tomo I de
Estructuras de madera. Bases de cálculo). Su valor es 0,67 para la
madera maciza y laminada encolada y 1,0 en otros productos derivados
de la madera;
lc,ef
= min (lc + 30 mm; 2·lc);
kz
coeficiente dependiente de la geometría de la espiga
kz
>
con Į
kv
@
ȕ ˜ 1 2 ˜ (1 ȕ) 2 ˜ (2 Į)
he h
y
ȕ
(14.16)
hc he
coeficiente reductor de la resistencia a cortante
- En vigas con la entalladura en el lado opuesto al apoyo (hi = 0)
kv = 1,00
- En vigas con la entalladura en el mismo lado del apoyo (hi  0)
kv
­ 1,00
°
kn
°
min ®
ª
° h ˜ « Į ˜ 1 Į 0,8 ˜ v
°
h
¬«
¯
con Į
kn =
he
º
1
Į2 »
Į
¼»
(14.17)
h
4,5 en madera microlaminada
5,0 en madera maciza
6,5 en madera laminada encolada
b, he, hc, h, lc véase figura 14.10.
Comentarios: el factor kv de la ecuación 14.17 es el mismo que el de la ecuación 14.11
particularizada para el caso de ángulo recto (i=0).
La espiga debe apoyar en toda su longitud, lc. Además deben cumplirse las siguientes
condiciones,
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
47
15 mm ” lc ” 60 mm
1,5 ” h/b ” 2,5
hs • hi
hi/h ” 1/3
hc • h/6
v ” 0,4 · h
14.5 EMBARBILLADOS
El embarbillado es un ensamble que consiste en el encaje de una pieza comprimida en
otra pieza que la recibe mediante un entalle. Este encuentro es utilizado con frecuencia
para resolver las uniones en las armaduras de cubierta y puede ser de varios tipos:
frontal, en ángulo recto, de pecho y de talón.
El Documento Básico de Seguridad Estructural para Estructuras de Madera incluye unas
reglas para la comprobación de este tipo de unión, que se basaron en los borradores de la
norma Suiza SIA 265:2003. El anexo nacional Alemán del Eurocódigo 5 (DIN EN 1951-1/NA:2013) recoge unas reglas de comprobación de los embarbillados que
prácticamente es coincidente con el contenido de la antigua norma DIN 1052:2008.
Ambos métodos son expuestos en este apartado.
14.5.1 Embarbillado frontal
14.5.1.1 Generalidades
El embarbillado frontal (o simple) es el ensamble más frecuente en la unión entre par y
tirante de una cercha. El ángulo de corte de la barbilla es bisectriz del ángulo obtuso, 2·İ,
formado por el par y el tirante; de esta manera la reducción de la resistencia a
compresión oblicua en el frente del embarbillado corresponde a un ángulo igual a la
mitad del ángulo agudo entre par y tirante, ȕ, figura 14.13, que es la mínima posible.
14.5.1.2 Reglas de predimensionado
El predimensionado de la unión, de acuerdo con el anexo nacional del Eurocódigo 5
(DIN EN 1995-1-1/NA:2013) coincidente en el predimensionado con el DB-SE-M, se
basa en las siguientes recomendaciones:
- Profundidad de la barbilla, tv, figura 14.13:
Estructuras de madera. Uniones
48
h2
para ȕ d 50º
4
h
t v 2 para ȕ t 60º
6
h
t v d 2 (80 ȕ) para 50 ȕ 60º
120
tv d
(interpolación lineal)
(14.18)
Figura 14.13. Embarbillado frontal simple.
- Longitud del cogote, lv:
La distribución de las tensiones tangenciales en el cogote no es uniforme sino que
sigue una ley como la indicada en la figura 14.14 (Colling 2004, Villar et al. 2007,
Aira et al. 2015a). La tensión tangencial es máxima en el vértice inferior de la caja y
disminuye rápidamente a lo largo del cogote La capacidad de carga, lógicamente,
aumenta con la longitud del cogote lv, pero se ha observado que para valores de la
relación lv/tv mayores que 8, la capacidad de carga prácticamente ya no aumenta.
El anexo nacional DIN EN 1995-1-1/NA:2013 admite la comprobación de la tensión
tangencial con una distribución uniforme con la limitación de no considerar a efectos
de cálculo un valor de lv > 8 tv. También se da un valor mínimo para la longitud del
cogote que es de 200 mm según la versión de 2008 de la norma DIN 1052 y 150 mm
en el DB-SE-M.
Figura 14.14. Distribución de las tensiones tangenciales en el cogote.
En el caso de embarbillado por ambas caras de la pieza, como ocurre en el encuentro
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
49
entre el pendolón de una cercha y las tornapuntas o los pares, figura 14.15, cada rebaje
no deberá superar una profundidad tv = h/6, independientemente del ángulo, ȕ, de la
unión (DIN EN 1995-1-1/NA:2013).
Las piezas deben asegurarse mediante pernos, tirafondos o herrajes que garanticen su
posición durante el transporte y montaje. Además, en servicio estos elementos mantienen
las piezas en su plano.
Figura 14.15. Embarbillado por ambas caras de la pieza.
14.5.1.3 Comprobaciones en el embarbillado
En este apartado para la comprobación de la unión se exponen, en primer lugar, las
reglas indicadas en el anexo nacional DIN EN 1995-1-1/NA:2013 (similar a la norma
DIN 1052:2008) y después las reglas recogidas en el DB SE-EM del CTE. En ambos
casos se desprecian las fuerzas de rozamiento entre las superficies de las piezas, lo que
equivale a admitir que sobre la superficie de la barbilla la tensión es perpendicular a la
misma. Prácticamente toda la carga se transmite a través del frente de la barbilla, sobre
todo si se produce una contracción de la madera por secado, figura 14.16.
Figura 14.16. Efecto de la contracción de la madera en la unión.
50
Estructuras de madera. Uniones
En la figura 14.17 se representan las fuerzas que llegan por el par. La fuerza principal es
el axil N1d, que está acompañado por esfuerzo cortante, V1d. Éste último presenta un
valor, generalmente mucho más reducido que el del axil, lo que lleva a que las normas ni
siquiera lo consideran. En todo caso, su efecto es favorable en las comprobaciones
relevantes que son las de compresión oblicua y tensión tangencial en el cogote.
Figura 14.17. Fuerzas que actúan en el par (embarbillado frontal).
La resultante de ambos esfuerzos, R, se descompone en dos fuerzas perpendiculares
entre sí: F1 que resulta perpendicular a la superficie de la barbilla y F2 en dirección
perpendicular a la anterior. Finalmente, para lograr el equilibrio en el nudo aparecen la
fuerza horizontal F3, que coincide con el axil de tracción en el tirante, y la fuerza F4, que
somete a compresión perpendicular al tirante y que sumada al esfuerzo cortante del
tirante, constituyen la reacción en el apoyo. A continuación se incluyen las expresiones
de estas componentes.
F1 = N1d · cos Į – V1d · sen Į
(14.19)
F2 = N1d · sen Į + V1d · cos Į
(14.20)
F3 = N1d · cos E – V1d · sen E
(14.21)
F4 = F1 · sen Į + F2 · cos Į
(14.22)
D es el ángulo formado por la dirección del axil N1d del par con la perpendicular al plano
del frente de la barbilla; y E es el ángulo formado por la dirección del axil del par N1d
(eje del par) con la horizontal (eje del tirante).
a) Compresión oblicua en el frente de la barbilla
Debe cumplirse la siguiente condición,
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
ů c,D ,d
fc,D ,d
51
d1
(14.23)
Siendo ıc,Į,d la tensión de compresión oblicua en el frente de la barbilla,
V c ,D ,d
F1
b1 t v / cos D
(14.24)
F1
fuerza de compresión perpendicular a la superficie del frente de la
barbilla, ecuación 14.19;
fc,Į,d
la resistencia a compresión oblicua. Esta resistencia viene definida en
el anexo DIN EN 1995-1-1/NA:2013 (y en la versión de 2008 de la
norma DIN 1052) por la siguiente expresión,
f c,Į,d
f c,0,d
2
2
(14.25)
§ f c,0,d
· § f
·
¨
˜ sen 2 Į ¸¸ ¨¨ c,0,d ˜ senĮ ˜ cosĮ ¸¸ cos 4 Į
¨2˜ f
c,90,d
©
¹ © 2 ˜ f v,d
¹
donde,
fc,Į,d
resistencia de cálculo a compresión paralela a la fibra;
fc,90,d
resistencia de cálculo a compresión perpendicular a la fibra;
fv,d
resistencia de cálculo a cortante;
Į
ángulo entre la dirección de la tensión de compresión y la dirección de
la fibra. En este caso, D = E/2.
Comentarios: la ecuación 14.25 es específica para la comprobación de la compresión
oblicua en ensambles de barbilla. En la misma norma DIN 1052 existe otra expresión
ligeramente diferente que es de aplicación en otros casos (véase apartado 14.2.2 y
ecuación 14.7). La ecuación 14.25 da resistencias mayores que la ecuación 14.7.
La norma UNE-EN 1995-1-1 (Eurocódigo 5) no propone una expresión específica para
la resistencia a la compresión oblicua en embarbillados. Por lo tanto, cabría interpretar
que se debería utilizar la expresión general, ecuación 14.4, para la resistencia a la
compresión oblicua, que da lugar a valores inferiores,
Estructuras de madera. Uniones
52
f c,0,d
f c,Į,d
f c,0,d
(14.26)
˜ sen Į cos Į
2
k c,90 ˜ f c,90,d
2
donde kc,90 es un factor que no es aplicable en estos casos, tomando el valor unidad.
b) Tensión tangencial rasante en el cogote
Debe cumplirse la siguiente condición,
IJd
d1
f v,d
(14.27)
donde,
IJd
tensión tangencial en la superficie del cogote (b2 · lv) producida por la
fuerza F3, ecuación 14.21.
IJd
F3
k cr b2 ˜ lv
(14.28)
Donde kcr es un coeficiente que reduce la anchura de la sección en función de la
posibilidad de la existencia de fendas de secado (ec. 6.3.1.2 Tomo I). Su valor es 0,67
para la madera maciza y laminada encolada y 1,0 en otros productos derivados de la
madera.
Como se ha comentado anteriormente, la longitud lv no debe ser mayor que 8·tv, para
poder admitir una distribución uniforme de la fuerza F3 en la superficie a rasante.
Comentarios: de acuerdo con la normativa, en la ecuación 14.27 se emplea como valor
de la resistencia fv,d, suponiendo una distribución uniforme de la tensión. En la realidad
la distribución de la tensión es una curva parecida a una parábola o más
simplificadamente a un triángulo. En este supuesto, debería aplicarse un factor de
penalización de la resistencia del orden de 0,4 a 0,5.
c) Compresión perpendicular sobre el tirante
Debe cumplirse la siguiente condición,
V c ,90 ,d
f c ,90 ,d
d1
(14.29)
siendo,
ıc,90,d
tensión de compresión perpendicular a la fibra sobre la superficie
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
53
(b1·l90) provocada por la fuerza F4 (ecuación 14.22). Donde l90 =
h1/senȕ, es la proyección horizontal de la dimensión h1, figura 14.13.
F4
F4 sen E
V c ,90 ,d
(14.30)
b1 l 90
b1 h1
Esta tensión perpendicular a la fibra es muy reducida y no es crítica salvo en fuertes
pendientes de los pares. La norma DIN 1052 no la cita entre las comprobaciones.
Nota: en el cálculo anterior se ha supuesto que la componente vertical F4 se reparte
sobre la superficie completa b·l90. Sin embargo, la fuerza F2, que es responsable de la
mayor parte de la fuerza F4, puede transmitirse con facilidad por rozamiento en la
superficie del frente de la barbilla; además la posible merma del tirante puede hacer,
como ya se ha comentado, que se pierda en contacto entre par y tirante en la superficie
larga. Generalmente, el valor de F1 es mucho mayor que el valor de F2, y el efecto del
rozamiento permite la transmisión de F2 a través de la superficie de contacto, dando
lugar a una compresión perpendicular a la fibra más concentrada que la expuesta en el
apartado c).
Por otro lado, el tirante normalmente descansará sobre un durmiente situado en la
coronación del muro, y será necesario comprobar la capacidad a compresión
perpendicular a la fibra entre tirante y durmiente. Generalmente, esta comprobación
suele ser más desfavorable que la anterior, y lo habitual es que cualquiera de las dos no
resulte relevante o crítica.
14.5.1.4 Comprobación de las piezas
Prácticamente la totalidad de la fuerza axil N1d se transmite desde el par al tirante a
través de la superficie pequeña del frente de la barbilla. Esto conduce a una desviación
del esfuerzo axil, con una excentricidad e, que la norma DIN 1052 estima con la
siguiente expresión, figura 14.18,
h1 t v
e
2
Esta excentricidad origina un momento flector en el par, ǻMd = N1d·e, de signo positivo
(tracciona el borde inferior). Este momento se sumaría al momento del vano, si existe.
En el tirante se origina un momento flector, principalmente cuando los ejes de ambas
barras tienen su intersección fuera de la línea de acción de la reacción, Vd, que puede
calcularse de manera aproximada con la siguiente expresión, figura 14.19.
ǻ Md § Vd · a – N2d · h2 /2
(14.31)
Estructuras de madera. Uniones
54
Figura 14.18. Excentricidad en el
par.
Figura 14.19. Excentricidad en el
tirante.
La comprobación a realizar será la siguiente,
ı t,0,d ı m,d
d1
f t,0,d
f m,d
(14.32)
donde
ıt,0,d
tensión de tracción producida por el axil, N2d, calculada con el área
neta de la sección del tirante (descontando el rebaje);
ım,d
tensión de flexión originada por el momento flector ǻMd, calculada
con el área neta;
ft,0,d y fm,d
resistencias de cálculo a tracción paralela a la fibra y a flexión,
respectivamente.
La distancia a, figura 14.19, siempre que sea posible deberá elegirse para minimizar el
momento ǻMd. Igualando el momento a cero se obtiene,
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
a
N 2d ˜ h2
2 ˜ Vd
55
(14.33)
Si se desprecia el valor del cortante en el par se obtiene que el valor óptimo de a es
función del ángulo de la pendiente de cubierta ȕ, tabla 14.1.
Ángulo ȕº
20
25
30
35
40
Relación a/h2
0,41
0,38
0,35
0,33
0,29
Tabla 14.1 Distancia a para evitar
momento flector
Reglas de comprobación del embarbillado del DB-SE-EM del CTE:
El Documento Básico de Seguridad Estructural de Estructuras de Madera del CTE
propone las siguientes comprobaciones,
a) Longitud del cogote a, figura 14.20,
at
Fd ˜ cos E
b ˜ f v ,d
(14.34)
Donde Fd = N1d. Esta ecuación es equivalente a la ecuación 14.27, pero considerando la
fuerza F3 igual a N1d·cosE; es decir, se desprecia el efecto favorable del esfuerzo
cortante. Aunque la norma no lo indica, sería recomendable aplicar el coeficiente kcr para
disminuir la anchura de la pieza, b, por efecto de las fendas de secado (ec. 14.28).
Figura 14.20. Embarbillado simple según DB SE EM del CTE.
56
Estructuras de madera. Uniones
b) Profundidad de la barbilla, t, figura 14.20,
tt
Fd ˜ cos E
b ˜ f c ,D ,d
(14.35)
Donde D = E/2, siempre que el corte de la barbilla se haga con la bisectriz, como se
indica en la figura 14.20, y Fd = N1d. Esta ecuación es equivalente a la ecuación 14.23,
pero tomando F1 = N1d·cos D, es decir despreciando el efecto favorable del cortante.
Presenta, además como otras diferencias, el tomar una de las dimensiones de la barbilla
igual a t, sin considerar el aumento de longitud debida a la inclinación; y por otro lado, la
resistencia a compresión oblicua, fc,D,d se obtiene mediante la ecuación 14.26, tomando
kc,90 = 1 y reduciendo la fc,0,d por el factor igual a 0,80.
c) Canto del par, d,
dt
Fd
b ˜ f c ,D ,d
(14.36)
Donde D = E, Fd = N1d y la resistencia fc,D,d se obtiene, igual que en el caso anterior,
mediante la ecuación 13.26, tomando kc,90 = 1 y reduciendo la fc,0,d por el factor igual a
0,80.
Las condiciones recomendadas para la geometría del embarbillado son las mismas que
las definidas en el anexo nacional DIN EN 1995-1-1/NA:2013 (y en la antigua norma
DIN 1052:2008), ecuaciones 14.18.
14.5.1.5 Proporción geométrica y capacidad de carga
Para realizar un dimensionado simple puede seguirse el procedimiento que se expone a
continuación. La condición debida a la capacidad de tensión tangencial en el cogote (ecs.
14.27 y 14.21), sin considerar el esfuerzo cortante (V1d = 0), lo que va a favor de la
seguridad, lleva a la siguiente ecuación,
N 1d ˜ cos ȕ
d1
k cr b2 ˜ l v ˜ f v,d
(14.37)
Si se toma lv = 8·tv, es decir, el valor máximo que permite suponer una distribución
uniforme de las tensiones rasantes, y además, se hace tv = h2/4 o tv = h2/5 se obtiene, la
condición siguiente,
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
it,0 d 2 k cr
f v,d
f t,0,d
para t v
f
8
it,0 d k cr v,d
5
f t,0,d
h2 /4 ; ȕ d 50º y l v
57
8 ˜ tv
(14.38)
para t v
h2 /5 ; ȕ d 50º y lv
8 ˜ tv
Siendo it,0 el índice de agotamiento por tracción de la sección bruta del tirante deducido
de la expresión: N2d /(b2·h2·ft,0,d).
En la tabla 14.2 se resumen los índices de agotamiento, así obtenidos para algunas clases
resistentes y para kcr = 0,67. De esta manera, por ejemplo para una clase C18 un
embarbillado simple con una profundidad tv igual a la quinta parte de la altura de la
sección del tirante y con una longitud lv igual a 8 veces tv, será válida siempre que el
agotamiento del tirante frente a la tracción bruta no sea superior a 0,33.
Índice de agotamiento it,0
tv = h2/5
tv = h2/4
0,40
0,50
0,34
0,43
0,33
0,41
0,32
0,40
0,29
0,36
0,31
0,38
0,27
0,33
0,24
0,29
C14
C16
C18
C20
C22
C24
C27
C30
Tabla 14.2. Índices de agotamiento máximos del tirante en tracción bruta (it,0 = N2d
/(b2·h2·ft,0,d)), para la validez de la longitud del cogote lv = 8 · tv y para kcr = 0,67.
Comentario: en el caso de limitar la tensión máxima de cortante al 40 o 50% de la
resistencia fv,d, como se comentó en la ecuación 14.27, los índices de la tabla 14.2
quedarían igualmente multiplicados por 0,4 a 0,5, respectivamente.
Por otro lado, la condición de compresión oblicua (ecs. 14.23 y 14.24) da lugar a la
siguiente condición, despreciando el efecto favorable del cortante, V1d = 0,
ı c,Į,d
f c,Į,d
N 1d ˜ cos 2 Į
b1 ˜ t v ˜ f c,Į,d
N 1d ˜ cos 2 Į
d1
b1 (h2 /n) ˜ f c,Į,d
Si, como simplificación, suponemos que la altura del tirante es igual a la altura del par
(h2 = h1), queda
N 1d n ˜ cos 2 Į
˜
b1 ˜ h1
f c,Į,d
ı c,0,d
n ˜ cos 2 Į
d1
f c,Į,d
Estructuras de madera. Uniones
58
siendo n un valor no menor que 4, según la profundidad de la barbilla.
Tomando como valor de fc,Į,d la expresión 14.23 se puede llegar a la siguiente condición:
ic,0 d
k4
n ˜ cos 2 Į
(14.39)
donde n = 4 para tv = h2 /4 y n = 5 para h2 /5, y el valor de k4,
k4
1
f c,0,d
f c,90,d
(14.40)
˜ sen 2 Į cos 2 Į
El valor de k4 varía muy poco para las clases resistentes C14 a C30 y se tomará como
una constante para cada ángulo ȕ. En la tabla 14.3 se resumen los resultados.
Así por ejemplo, una profundidad de la barbilla tv = h/5 en una cercha con pendiente ȕ =
25º y con tirante y par de igual sección es válida siempre que el índice de agotamiento
del par por compresión bruta (sin pandeo) no sea superior a 0,16.
ȕº
15
20
25
30
35
40
Índice de agotamiento ic,0
tv = h/5
tv = h/4
0,18
0,23
0,17
0,21
0,16
0,19
0,14
0,18
0,13
0,16
0,12
0,15
Tabla 14.3. Índice máximo de agotamiento del par por compresión bruta (sin efecto de
pandeo) admisible para la validez de la tensión de compresión oblicua en el
embarbillado simple para clases resistentes C14 a C30 y tv = h/5 y h/4, tomando h1 = h2.
14.5.2 Embarbillado en ángulo recto
14.5.2.1 Generalidades
El embarbillado en ángulo recto es igual que el frontal salvo la diferencia de que el corte
de la barbilla se hace a 90º, lo que facilita su ejecución, figura 14.21. Sin embargo, su
capacidad portante puede resultar algo menor debido, precisamente, a que este ángulo de
corte conlleva una disminución de la resistencia a compresión oblicua para el tirante
comparada con el embarbillado frontal. En la actualidad con la ayuda del control
numérico, la fabricación es igual de sencilla para un embarbillado frontal o en ángulo
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
59
recto, por lo que no tiene ventaja esta opción.
Figura 14.21. Embarbillado en ángulo recto.
14.5.2.2 Reglas de predimensionado
Son las mismas que para la unión frontal (14.5.1.2).
14.5.2.3 Comprobaciones en el embarbillado
Al establecer el equilibrio de fuerzas de manera similar al caso del embarbillado frontal
(14.5.1.3), se observa que la fuerza F1, perpendicular a la superficie de corte, coincide
con el axil N1d del par, y la fuerza F2, con el cortante, V1d, figura 14.22. La fuerza F1 de
compresión actúa en dirección paralela a la fibra en el par y de forma oblicua, con un
ángulo ȕ, sobre el tirante.
Figura 14.22. Fuerzas que actúan en el
par (embarbillado en ángulo recto).
a) Compresión oblicua en el frente de la barbilla
Debe cumplirse la siguiente ecuación,
ı c,Į,d
f c,Į,d
d1
(14.41)
60
Estructuras de madera. Uniones
siendo ıc,Į,d la tensión de compresión oblicua en el frente de la barbilla,
F1
ı c,Į,d
b1 ˜ t v /cos Į
(14.42)
donde todos los términos tienen la misma definición que en el apartado 14.5.1.3 salvo el
ángulo Į que coincide con el ángulo ȕ, de la pendiente del par. De esta manera la
comprobación se realiza en el tirante, como pieza más desfavorable.
b) Tensión tangencial rasante en el cogote
Es válido lo expuesto en 14.5.1.3.
c) Compresión perpendicular sobre el tirante
Es válido lo expuesto en 14.5.1.3.
14.5.2.4 Comprobación de las piezas
El axil del par sufre una excentricidad similar al caso del embarbillado frontal y las
comprobaciones son las mismas.
14.5.3 Embarbillado de pecho
Esta solución es menos frecuente en la construcción tradicional en España y es similar a
la frontal, con la particularidad de que el par presenta una superficie frontal mayor que
no penetra totalmente en el tirante. De esta manera presenta una ligera ventaja en el par
ya que el axil apenas sufre excentricidad, figura 14.23.
Figura 14.23. Embarbillado de pecho.
Las reglas de predimensionado y las comprobaciones son las mismas que las del
embarbillado frontal apartado 14.5.1.2). La única diferencia se presenta en que la
excentricidad del axil N1d es prácticamente despreciable. En la bibliografía especializada
se toma normalmente e § 0, y en algunos casos e § tv/4.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
61
14.5.4 Embarbillado de talón
En esta solución la barbilla se ejecuta en la parte trasera del par lo que aumenta la
longitud lv, para resistir el esfuerzo rasante, sin que sea necesario aumentar la longitud
del tirante, figura 14.24. Sin embargo, esta disposición conduce a una excentricidad del
esfuerzo axil, e, y también la superficie que resiste la compresión perpendicular a la fibra
sobre el tirante es menor. La parte delantera del par no es eficaz para transmitir tensiones
debido a que puede perder el contacto con el tirante. El corte de la barbilla es en ángulo
recto, lo que facilita su ejecución.
Figura 14.24. Embarbillado de talón.
Las reglas de predimensionado son las mismas que las del embarbillado frontal. La
comprobación del par deberá considerar el momento flector añadido por la
excentricidad, e, cuyo valor aproximado es el siguiente,
e
h1 t v /cos ȕ
;
2
ǻMd
N 1d ˜ e
(14.43 y 14.44)
La comprobación de la compresión oblicua en el frente de la barbilla se realiza de igual
forma que en el embarbillado frontal, pero considerando el ángulo Į entre tensión y
dirección de la fibra, con un valor Į = ȕ correspondiente a la pieza más desfavorable que
es el tirante.
La tensión tangencial rasante en el cogote se comprueba de igual manera que en el
embarbillado frontal y la compresión perpendicular a la fibra sobre el tirante puede
calcularse como el embarbillado frontal, pero con una longitud l90 más reducida,
l 90
§ tg 2 ȕ 1 ·
¸
tv ˜ ¨
¨ tg ȕ ¸
©
¹
(14.45)
62
Estructuras de madera. Uniones
14.5.5 Embarbillado doble
14.5.5.1 Generalidades
Esta solución presenta la barbilla frontal, generalmente realizada con un ángulo İ,
bisectriz del ángulo obtuso entre el par y el tirante, y una barbilla en el talón cortada con
un ángulo recto. El axil N1d del par se reparte de forma aproximada, al 50 % sobre cada
frente de las barbillas, y por tanto la excentricidad e, es prácticamente nula, figura
14.25a.
Existe la posibilidad de que el corte de la barbilla frontal se realice en ángulo recto,
como el talón. En este caso, el reparto del axil N1d, es ligeramente desigual quedando
más cargado el talón, figura 14.25b. No obstante, la excentricidad es prácticamente
despreciable.
Figura1 14.25. a) Embarbillado doble; b) Embarbillado doble con frontal y talón a 90º.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
63
También se puede encontrar la solución representada en la figura 14.26 con una barbilla
frontal y otra situada aproximadamente en el eje del par, trazada también con el ángulo
bisectriz de la frontal. Las profundidades de las barbillas pueden ser muy similares,
alcanzando 1/5 a 1/6 de h2. En el ejemplo 14.3a se analiza un encuentro de este tipo.
Figura 14.26. Embarbillado doble con dos barbillas, frontal y central..
14.5.5.2 Reglas de predimensionado
El predimensionado de la unión de acuerdo con el DB-SE-M del CTE (excepto la
condición tv1 d 0,8·tv2) y con la bibliografía (Informationsdienst Holz, 2000, Colling
2004) es el siguiente,
- Profundidad de las barbillas,
t v1 d h2 /6 ; t v1 d 0,8 ˜ t v2 ; t v1 d t v2 10 mm
t v2 d h2 /4
(14.46)
Nota: debe tenerse en cuenta que en la figura 14.25 (y 14.27) los dos rebajes tv1 y tv2,
arrancan del mismo plano correspondiente a la cara superior del tirante. Sin embargo, en
algunos casos es posible encontrar rebajes en los que el punto de arranque de uno de
ellos no sea el mismo (véase el ejemplo 14.3a). En esos casos, debe hacerse una
interpretación de la expresión 14.43 adecuada. Por ejemplo, la diferencia entre las
profundidades de los rebajes, debe entenderse como un desfase entre los planos de
rasante (mayor que 10 mm).
- Longitud del cogote,
Estructuras de madera. Uniones
64
lv1 d 8 ˜ t v1
(14.47)
lv2 d 8 ˜ t v2 ; l v2 t 200 mm
14.5.5.3 Comprobaciones en los embarbillados
En este apartado se expone, inicialmente, el procedimiento de comprobación recogido de
la bibliografía especializada (Informationsdienst Holz, 2000, Colling 2004) y al final se
recogen las reglas de comprobación del DB-SE-EM del CTE.
El equilibrio de fuerzas representado en la figura 14.17 para el embarbillado frontal, es
válido para el embarbillado doble, con la salvedad de que las componentes de las fuerzas
(F1, F2, F3 y F4) corresponden para cada frente de barbilla a la mitad del valor total (ó a
0,48 y 0,52 veces en el caso de frente y talón en ángulo recto).
a) Compresión oblicua en los frentes de las barbillas
En ambas barbillas debe cumplirse la siguiente condición,
ı c,Į,d
f c,Į,d
d1
(14.48)
siendo ıc,Į,d la tensión de compresión oblicua en la barbilla para cada caso,
- en la frontal,
ı c,Į,d
k f ˜ F1
(14.49)
b1 ˜ t v1 /cos Į
donde,
Į
ángulo entre la dirección de la tensión de compresión y la dirección de
la fibra. Para el frontal en bisectriz Į = ȕ/2 y para el frontal en ángulo
recto Į = ȕ;
kf
coeficiente de reparto, de valor 0,50 para frontal en bisectriz y 0,48
para frontal en ángulo recto.
Comentarios: si la ejecución de la doble barbilla no es muy precisa el reparto de las
fuerzas podría llegar a ser muy desigual en las dos barbillas.
- en el talón,
ı c,Į,d
k f ˜ F1
b1 ˜ tv2 /cos ȕ
(14.50)
donde kt es un coeficiente de valor 0,50 para el frontal en bisectriz y 0,52 para el frontal
en ángulo recto.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
65
b) Tensión tangencial rasante en el cogote
Deben cumplirse las condiciones siguientes,
IJ 1d
d1;
f v,d
IJ 2d
d1
f v,d
(14.51)
donde,
IJ1d
tensión tangencial sobre el plano de longitud lv1 debida a la parte de la
fuerza F3 que se concentra en el frontal;
IJ 1d
k f ˜ F3
k cr b2 ˜ lv1
(14.52)
con la condición de que lv1 ” 8·tv1
IJ 2d
tensión tangencial sobre el plano de longitud lv2 debida al total de la
fuerza F3,
F3
IJ 2d
(14.53)
k cr b2 ˜ lv2
con la condición de que lv2 ” 8·tv2 y que lv2 • 200 mm. Y, donde kcr es
un coeficiente que reduce la anchura de la sección en función de la
posibilidad de la existencia de fendas de secado (ec. 6.3.1.2 Tomo I).
Su valor es 0,67 para la madera maciza y laminada encolada y 1,0 en
otros productos derivados de la madera.
Reglas de comprobación del embarbillado doble en el DB-SE-EM del CTE:
El Documento Básico de Seguridad Estructural del CTE propone las siguientes
comprobaciones,
a) Longitud del cogote a, figura 14.27,
at
Fd ˜ cos E
b ˜ f v ,d
(14.54)
Donde Fd = N1d. Esta ecuación es equivalente a la ecuación 14.27, pero considerando la
fuerza F3 igual a N1d·cosE; es decir, se desprecia el efecto favorable del esfuerzo
cortante.
Comentarios: el DB-SE-EM del CTE no menciona la necesidad de utilizar el ancho
Estructuras de madera. Uniones
66
efectivo, multiplicando el valor de b por el coeficiente kcr indicado en el apartado
anterior, pero parece lógico aplicarse como en los casos anteriores.
Figura 14.27. Embarbillado doble según DB-SE-EM del CTE.
b) Profundidad de la barbilla, t, figura 14.27,
tt
Fd ˜ cos E
b ˜ f c ,D ,d
(14.55)
Donde Fd = N1d. Esta ecuación es equivalente a la ecuación 14.23, pero tomando F1 =
N1d·cos D, es decir despreciando el efecto favorable del cortante. El valor de t se tomará
igual a t1 + t2; y por otro lado, la resistencia a compresión oblicua, fc,D,d se obtiene
mediante la ecuación 14.26, tomando D = 3·E /4, kc,90 = 1, y reduciendo la fc,0,d por el
factor igual a 0,80.
Se toma el ángulo D = 3·E/4 como valor intermedio entre el ángulo D = E/2 para la
barbilla externa y el ángulo D = E para la barbilla del talón o interior.
c) Canto del par, d,
dt
Fd
b ˜ f c ,D ,d
(14.56)
Donde D = E, Fd = N1d y la resistencia fc,D,d se obtiene, igual que en el caso anterior,
mediante la ecuación 14.26, tomando kc,90 = 1, y reduciendo la fc,0,d por el factor igual a
0,80.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
67
14.6 EMPALMES
14.6.1 Empalme de llave
14.6.1.1 Generalidades
Este tipo de unión es utilizado con frecuencia en el empalme de las piezas que forman
los tirantes de las cerchas. El esfuerzo de tracción, Nd, se transmite de una pieza a la otra
a través de una compresión paralela a la fibra aplicada sobre la testa del rebaje con una
superficie b·t. Asimismo, el esfuerzo pasa a la sección completa del tirante a través de un
esfuerzo rasante de tensiones tangenciales en el plano de superficie b·l, figura 14.28.
Para la longitud del cogote, l, hay recomendaciones de valores del orden de 1 a 1,5 veces
el canto h de la pieza, y para el rebaje, t, un valor igual a h/4, (Gerner 2002). Más
adelante se expone procedimiento de dimensionado en el que se deducen valores que en
algunos casos difieren notablemente.
Figura 14.28. Empalme de llave.
En el estrechamiento de la sección del tirante existe una excentricidad e, del axil Nd, que
produce una flexión que provoca una tendencia al giro y desarmado del nudo, figura
14.29.a. Este efecto puede contrarrestarse realizando unas entalladuras en los extremos
que impidan el giro anterior, figura 14.29.b. El montaje de las piezas, en este caso, es
más difícil, y debe hacerse lateralmente con un desplazamiento horizontal. Otra opción
es la disposición de bridas metálicas que abracen el tirante a ambos lados; este atado
transversal sirve complementariamente para reducir o evitar la tracción perpendicular a
la fibra.
Finalmente, para facilitar el montaje del empalme y su ajuste, se suelen disponer unas
cuñas en el punto central de encuentro, figura 14.30. En estos casos, la tensión en la
superficie de contacto será de compresión perpendicular a la fibra en la cuña. Por este
motivo deberá utilizarse una madera de elevada resistencia a compresión perpendicular,
generalmente una frondosa. La solución con cuña permite un reajuste de la unión cuando
la madera sufre una merma debido a la pérdida de humedad. En algún texto específico
sobre uniones (Gerner 2002) se encuentran las siguientes recomendaciones para las
proporciones entre las dimensiones representadas en la figura 14.30, que deben ser
confirmadas por el cálculo. La longitud del cogote será igual al canto del tirante (l = h).
El rebaje será igual a un quinto del canto del tirante (t = h/5). Y, por tanto, el canto del
tirante en la zona rebajada será igual a 2/5 del canto del tirante (hr = 2h/5). Como se verá
más adelante, por cálculo se deducen valores optimizados del rebaje menores.
Estructuras de madera. Uniones
68
Figura 14.29. a) Efecto de apertura de la unión. b) Mecanizado de entalladura que evita
la apertura.
Figura 14.30. Llave central formada por una doble cuña.
14.6.1.2 Comprobaciones
Las comprobaciones de la capacidad resistente son las siguientes:
a) Compresión en la testa del rebaje,
ı c,d
f c,d
d1
(14.57)
donde,
ıc,d
tensión de compresión sobre la testa del rebaje de valor,
ı c,d
Nd
t ˜b
(14.58)
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
69
Será una tensión de compresión paralela a la fibra cuando no exista
cuña o llave de encuentro; y será de compresión perpendicular a la
fibra en la cuña, en caso contrario;
fc,d
resistencia de cálculo a compresión paralela o perpendicular a la fibra,
según se resuelva sin o con cuña, respectivamente.
b) Tensión tangencial rasante,
IJ v,d
f v,d
d1
(14.59)
donde,
IJv,d
tensión tangencial cuyo valor máximo puede tomarse como,
IJ v,d
2 Nd
k cr b ˜ l
(14.60)
Este valor máximo se obtiene al considerar que la distribución de las
tensiones tangenciales sigue una ley triangular como modelo
simplificado que se aproxima a la distribución real (Aira et al. 2011,
2012, Aira 2013, Aira et al. 2015b). En cualquier caso, también se
considera que esta distribución es válida siempre que l no sea mayor
que 8·t.
Y, donde kcr es un coeficiente que reduce la anchura de la sección en
función de la posibilidad de la existencia de fendas de secado (ec.
6.3.1.2 Tomo I). Su valor es 0,67 para la madera maciza y laminada
encolada, y 1,0 en otros productos derivados de la madera.
fv,d
resistencia de cálculo a cortante
c) Flexotracción en la sección reducida del tirante
La sección neta del tirante queda reducida en su altura al valor hr, figura 14.30, y se
encuentra sometida a un esfuerzo axil de tracción, Nd, y a un momento flector de valor
Md = Nd·e, figura 14.29. Se deberá cumplir la siguiente condición,
ı t,0 ,d
f t,0 ,d
ı m,d
f m,d
d1
(14.61)
donde,
ıt,0,d
tensión de tracción producida por el axil, Nd, calculada con el área neta
de la sección del tirante (b·hr);
Estructuras de madera. Uniones
70
ım,d
tensión de flexión originada por el momento flector Md, calculada con
el módulo resistente de la sección neta,
ı m,d
ft,0,d y fm,d
N d ˜ h hr /2
b ˜ hr2 /6
(14.62)
resistencias de cálculo a tracción paralela a la fibra y a flexión,
respectivamente.
d) Tracción perpendicular a la fibra
El giro que se origina en la unión de las piezas debido a la flexión provoca tensiones de
tracción perpendicular a la fibra en la esquina del entrante, figura 14.31. Esta
comprobación no está recogida por la normativa de cálculo. No obstante, hay algunas
investigaciones de base experimental (Aira 2013, Aira et al.2015b) que muestran que el
inicio de la grieta por tracción perpendicular puede ligarse a la comprobación de la
flexotracción a través de la ecuación 14.61 que queda modificada según la siguiente
expresión:
ı t,0 ,d
f t,0 ,d
§ı
¨ m,d
¨ f
© m,d
·
¸
¸
¹
1 / 12
d1
(14.63)
Figura 14.31. Tensión de tracción perpendicular en la unión.
Esta condición de agotamiento equivale a considerar que la aparición de la grieta implica
el fallo de la unión. Con esta consideración, la capacidad de carga de la unión se reduce
mucho. Para conocer el agotamiento final debe realizarse un estudio de mecánica de
fractura; actualmente hay trabajos orientado en esa línea. Para evitar la rotura de la
madera por tracción perpendicular pueden añadirse elementos de cosido transversal,
como pueden ser las barras encoladas o los tirafondos de doble rosca, capaces de
precomprimir la sección transversalmente. En estos casos, deberá garantizarse que se
colocan con la madera con un contenido de humedad menor o igual al mínimo que vaya
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
71
a alcanzar en servicio, con el fin de evitar que la merma de la madera pueda provocar la
fisuración.
14.6.1.3 Proporción geométrica y capacidad de carga
El valor de la altura del encaje, t, está relacionado con la altura reducida de la sección, hr,
mediante la expresión h = 2·hr+t. Por tanto, cuanto menor sea t, mayor índice de
agotamiento se alcanzará para la compresión en el frente del encaje y menor índice de
agotamiento en la comprobación de la flexotracción en la sección reducida del tirante y
viceversa. La situación óptima se dará cuando ambos índices de agotamiento sean
iguales a la unidad, lo que equivale a igualar las expresiones 14.57 y 14.61.
ı t,0,d
f t,0,d
ı m,d
ı c,d
f m,d
f c,d
(14.64)
1
Sustituyendo en la ecuación 14.61 los términos de las tensiones aplicadas por las
expresiones correspondientes, el primer término de la igualdad de la ecuación 14.64
quedará de la forma siguiente,
ı t,0,d ı m,d
Nd
N ˜ h hr ˜ 6
Nd § 1
3 ˜ h hr ·
¸d1
d
˜ ¨¨
2
f t,0,d
f m,d b ˜ hr ˜ f t,0,d
b ˜ hr © f t,0,d
hr ˜ f m,d ¸¹
2 ˜ b ˜ hr ˜ f m,d
Análogamente, del segundo término, ecuación 14.58,
ı c,d
Nd
f c,d t ˜ b ˜ f cd
Igualando ambos términos,
Nd
b ˜ hr
§ 1
3 ˜ h hr ·
¸
˜ ¨¨
hr ˜ f m,d ¸¹
© f t,0,d
Nd
t ˜ b ˜ f cd
Sustituyendo en la ecuación anterior hr por (h-t)/2, y llamando th a la relación t/h, se
llega a la siguiente ecuación,
1
f t,0,d
3 ˜ (1 t h )
f m,d ˜ (1 t h )
1 th
2 ˜ f c,d ˜ t h
Llamando,
st
1
; sm
f t,0,d
1
; sc
f m,d
1
f c,d
Se llega a la siguiente ecuación de segundo grado en th,
(6 ˜ s m 2 ˜ st s c ) ˜ t h2 (2 ˜ st 6 ˜ s m 2 ˜ s c ) ˜ t h s c
A ˜ t h2 B ˜ t h C
0
Estructuras de madera. Uniones
72
La solución con sentido físico de esta ecuación será la de signo positivo,
B B2 4 ˜ A˜C
(14.65)
2˜ A
El valor de th (t/h) será el que permite un mayor aprovechamiento de la sección. El axil
que agota ambas comprobaciones puede expresarse de la siguiente manera,
th
Nd
b ˜ t ˜ f c,d
b ˜ h ˜ t h ˜ f c,d
En esta situación, el índice de agotamiento de la sección bruta del tirante es it,0, que
calculado considerando únicamente el esfuerzo axil, Nd, se obtiene según la expresión
siguiente,
f
Nd
b ˜ h ˜ t h ˜ f cd
it,0
t h c,d
(14.66)
b ˜ h ˜ f t,0,d
b ˜ h ˜ f t,0,d
f t,0,d
Finalmente, de las ecuaciones 14.59 y 14.60, se puede deducir lo siguiente,
2 Nd
d 1;
k cr b ˜ l ˜ f v,d
2 Nd
l
d ;
k cr b ˜ h ˜ f v,d h
l ˜ f v,d
Nd
d
k cr b ˜ h ˜ f t,0,d 2 h ˜ f t,0,d
(14.67)
de donde,
2 f t,0,d
l
t it,0 ˜
h
k cr f v,d
(14.68)
En la tabla 14.4 se resumen los resultados del proceso anterior de dimensionado. Para
cada clase resistente se da el valor de la relación t/h más favorable, con el índice máximo
de agotamiento del tirante por tracción considerando la sección bruta, y el valor mínimo
de l/h, para obtener la longitud del cogote. Esto se da para el caso de una unión directa
(que utiliza la resistencia a compresión paralela a la fibra de la clase resistente) y para el
caso de utilizar cuñas (en este caso se ha tomado una resistencia característica a
compresión perpendicular a la fibra de 8 N/mm2 que corresponde a una clase resistente
D30).
En el caso de considerar el agotamiento de la unión cuando se inicia la grieta por
tracción perpendicular, ecuación 14.63, puede realizarse un planteamiento similar al
anterior, igualando las expresiones 14.57 y 14.63 para deducir la proporción th=t/h más
rentable y también deducir el índice de agotamiento de la sección bruta a tracción, it,0.
De esta manera se obtiene la ecuación 14.69. En la tabla 14.4 se incluyen los valores
deducidos con esta ecuación.
§ 6 i ( 1 t h ) f t ,0 ,d
¨¨ t ,0
( 1 t h ) © ( 1 t h ) 2 f m ,d
2 it ,0
·
¸
¸
¹
1 / 12
it ,0 f t ,0 ,d
th
f c ,d
(14.69)
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
73
Así por ejemplo, para un tirante con unas dimensiones bxh = 200x240 mm de clase
resistente C22 utilizando cuñas de madera de clase D30, la profundidad del encaje más
eficaz es t = 0,19·240 = 45,6 mm y la longitud mínima del cogote es l = 1,13·240 = 272
mm. Este valor cumple la condición 272 /45,6 = 5,96 ” 8. Este valor es superior al
mínimo de l = 200 mm. Con estas condiciones, el índice de agotamiento por tracción
paralela a la fibra en la sección bruta del tirante no deberá superar el valor de 0,11. Si se
considera el agotamiento por tracción perpendicular a la fibra, la profundidad del encaje
sería t = 0,08·240 =19,2 mm y la longitud mínima del cogote l = 0,52·240 = 125 mm
(200 mm mínimo). El índice de agotamiento máximo de la sección bruta del tirante sería
de tan solo 0,05. Puede observarse cómo la capacidad teórica de transmisión de
esfuerzos de estas uniones es muy reducida.
C14
C16
C18
C20
C22
C24
C30
it,0 (bruto) ”
l/h •
t/h =
it,0 (bruto) ”
l/h •
t/h =
it,0 (bruto) ”
l/h •
t/h =
it,0 (bruto) ”
l/h •
t/h =
it,0 (bruto) ”
l/h •
t/h =
it,0 (bruto) ”
l/h •
t/h =
it,0 (bruto) ”
l/h •
t/h =
Sin cuñas
0,15-0,06
1,19-0,48
0,08-0,03
0,14-0,05
1,31-0,48
0,08-0,03
0,14-0,06
1,36-0,58
0,10-0,04
0,14-0,06
1,39-0,60
0,09-0,04
0,14-0,06
1,43-0,61
0,10-0,04
0,14-0,055
1,46-0,60
0,10-0,04
0,14-0,06
1,88-0,81
0,11-0,05
Con cuñas
0,13-0,05
1,04-0,40
0,13-0,05
0,12-0,045
1,12-0,43
0,15-0,06
0,12-0,05
1,15-0,49
0,16-0,07
0,11-0,055
1,10-0,55
0,17-0,08
0,11-0,05
1,13-0,52
0,19-0,08
0,11-0,05
1,15-0,52
0,20-0,09
0,10-0,04
1,34-0,54
0,23-0,09
it,0: índice máximo de agotamiento por tracción de la sección bruta del tirante, Nd/(b·h)
l: longitud del cogote a rasante. Mínimo: 200 mm. Máximo: 8·t
t: grueso del frente del encaje
h: canto del tirante
Resistencia característica a compresión perpend. a la fibra en las cuñas, fc,90,k = 8 N/mm2.
El segundo valor indicado en cada celda corresponde a la consideración del agotamiento
incluyendo la grieta por tracción perpendicular a la fibra.
Tabla 14.4. Proporción geométrica y capacidad de carga del empalme de llave.
Estructuras de madera. Uniones
74
14.6.2 Empalme en rayo de Júpiter
14.6.2.1 Generalidades
Este tipo de empalme es frecuente en los tirantes de las cerchas. Generalmente se añaden
pernos o bridas que sirven para afianzarlo y evitar la tendencia al giro. Muchas veces
estos pernos sirven también para reforzar la unión mecánicamente, debido a la escasa
capacidad resistente del empalme.
Habitualmente su diseño incluye unos tacos con forma de cuña (o llave) que facilita el
montaje y su ajuste, aunque también es posible encontrar ejemplos sin este elemento
auxiliar.
El trazado geométrico del rayo de Júpiter es el siguiente (Montero 1990). Se marcan los
extremos a tres veces la altura de la sección del tirante, h, figura 14.32, donde se
localizan los puntos A y B. La recta que une estos puntos, línea media, cortan en el
centro al eje del tirante en el punto C. Desde los puntos A y C (y B y C) se trazan arcos
de circunferencia de radio igual a su distancia, con el fin de obtener un triángulo
equilátero. De esta forma, la prolongación de uno de los lados del triángulo ofrece el
corte A-D y B-E que terminan al encontrarse con las rectas auxiliares trazadas a 1/5 de la
altura de la pieza h. Al unir los puntos A con E y B con D se definen las líneas de corte y
el grueso del taco de apriete. Es aconsejable disponer pernos transversales situados a ¾
de h, a cada lado del eje del empalme.
Figura 14.32. Trazado geométrico del rayo de Júpiter (Montero 1990).
Del trazado descrito se pueden obtener los siguientes parámetros, en función de la altura
de la sección h, figura 14.33.
Ȗ = 18,435º
Ángulo de la línea media del rayo;
Į = 41,565º
Ángulo de inclinación de los topes extremos;
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
75
ȕ = 13,9296º
Ángulo formado entre la dirección de la fibra y la tensión de
compresión perpendicular en el plano de contacto;
a = 0,2255·h
Por tanto, la longitud de solape del empalme es 3h+2a = 3,451·h;
m = 0,24841·h
Grueso del taco de ajuste;
l = 1,0319·h
Longitud de la superficie sometida a tensión tangencial rasante.
Figura 14.33. Parámetros de trazado del Rayo de Júpiter.
La eficacia de este empalme puede mejorarse recurriendo al rayo de Júpiter doble,
aunque aumenta la longitud de solape a algo más de 4,5 veces el canto del tirante y su
ajuste es más difícil. El trazado es similar al anterior, figura 14.34. La diferencia estriba
en que las líneas de corte en los extremos son paralelas a la denominada línea media del
rayo. Con mayor razón se aconseja disponer tres secciones empernadas de afianzamiento
y refuerzo (Montero 1990).
Figura 14.34. Trazado geométrico del Rayo de Júpiter doble.
76
Estructuras de madera. Uniones
En el trazado del rayo de Júpiter existen otras propuestas que varían ligeramente de la
anterior (Hidalgo de Caviedes y del Soto 1944). En este caso el trazado es el siguiente,
figura 14.35. Desde el eje del empalme se trazan dos rectas transversales al eje del
tirante y a una distancia igual al canto h, del tirante. En la intersección de estas rectas
con las rectas paralelas al eje del tirante y a una distancia h/4 del borde se encuentran los
puntos D y E que definen una recta, aquí denominada línea media. Tomando en D y en E
arcos de circunferencia DF y EG se trazan triángulos equiláteros para obtener el trazado
de DA y BE de los cortes en los extremos.
Figura 14.35. Trazado del rayo de Júpiter en una variante de menor longitud de solape.
Finalmente, desde D y E se trazan dos rectas paralelas entre sí que disten el grueso que
quiera darse al taco (m) y se asigna una anchura (n) para terminar el trazado.
Puede observarse, que este trazado tiene una longitud de solape de 2·h, frente a 3,451·h
del anterior modelo. Por tanto, la pendiente del corte es mayor y la longitud de rasante (l
en el caso anterior) será menor.
14.6.2.2 Comprobaciones
a) Comprobación de la resistencia a compresión local en el encaje
El esfuerzo axil del tirante, Nd, puede descomponerse en dos fuerzas; F1, en dirección
perpendicular a la superficie de contacto comprimida de la cuña central y otra paralela a
la superficie anterior, F2, figura 14.36, de valores,
F1
N d ˜ cosȕ
0,97059 ˜ N d
F2
N d ˜ senȕ
0,2407 ˜ N d
(14.70)
La componente F2 provoca un efecto de apertura del empalme que es contrarrestado por
el efecto de cuña de los extremos y por los pernos de afianzamiento. Además, existe una
fuerza de rozamiento provocada por la compresión F1 que se opone a F2 en el plano de
contacto.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
77
Figura 14.36. Componentes del axil Nd.
La componente F1, provoca una tensión de compresión perpendicular a la superficie de
contacto b·m, que debe cumplir la condición siguiente,
ı c,M ,d
f c,M ,d
d1
(14.71)
Donde ıc,ij,d es la tensión de compresión perpendicular a la superficie de contacto, que
para la cuña resulta perpendicular a la fibra y para la madera del tirante presenta un
ángulo con respecto a la fibra igual a ȕ (13,9296º). Su valor es el siguiente,
ı c,M ,d
F1
b˜m
0,97059 ˜ N d
b ˜ 0,24841 ˜ h
3,9072 ˜
Nd
b˜h
3,9072 ˜ ı t,0,d
(14.72)
Y fc,ij,d es la resistencia de cálculo a compresión en la superficie de contacto, que en caso
de no existir cuñas se obtendrá de la siguiente expresión, en la que kc,90 = 1,
f c,M ,d
f c,ȕ,d
f c,0,d
f c,0,d
k c,90 ˜ f c,90,d
siendo,
f c,0,d ˜ k 4
(14.73)
˜ sen 2 ȕ cos 2 ȕ
k4
0,05795
1
f c,0,d
f c,90,d
(14.74)
0,9420
Y en el caso de existir cuñas (situación más habitual) el ángulo ij = 90º, la resistencia
será igual a la resistencia a compresión perpendicular a la fibra de la madera de la cuña,
fc,90,d,
f c,M ,d
f c,90,d
(14.75)
Por tanto, la tensión bruta de tracción en el tirante, deberá cumplir la siguiente
condición, para el caso de no existir cuñas,
Estructuras de madera. Uniones
78
3,9072 ˜ ı t,0,d
k4
d 1 ; ı t,0,d d f c,0,d ˜
3,9072
k 4 ˜ f c,0,d
(14.76)
Y para el caso de cuñas,
3,9072 ˜ ı t,0,d
f c,90,d
d 1 ; ı t,0,d d
f c,90,d
3,9072
(14.77)
Si se dividen las ecuaciones 14.76 y 14.77 por la resistencia a tracción paralela a la fibra,
las condiciones quedan en función del índice de agotamiento,
ı t,0,d
f t,0,d
ı t,0,d
f t,0,d
it,0 d
f
k4
˜ c,0,d
3,9072 f t,0,d
(14.78)
it,0 d
f
1
˜ c,90,d
3,9072 f t,0,d
(14.79)
b) Comprobación de la resistencia a cortante de rasante
Por otro lado, el esfuerzo axil Nd, provoca una tensión tangencial en la superficie b·l, que
deberá cumplir la siguiente condición,
IJd
f v,d
Nd
k cr b ˜ l ˜ f v,d
Nd
d1
k cr b ˜ 1,0319 ˜ h ˜ f v,d
(14.80)
De donde se obtiene la siguiente condición,
Nd
1
˜
d 1 ; ı t,0,d d 1,0319 k cr f v,d
b ˜ h k cr 1,0319 ˜ f v,d
(14.81)
Dividiendo la tensión de tracción paralela a la fibra ıt,0,d, por la resistencia ft,0,d, y
tomando un valor de kcr = 0,67 para la madera maciza y laminada encolada, se obtiene el
índice de agotamiento máximo que sería posible tener en el tirante,
it,0
ı t,0,d
f
d 1,0319 k cr v,d
f t,0,d
f t,0,d
0 ,6914
f v,d
f t,0,d
(14.82)
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
79
c) Comprobación de la resistencia a flexotracción
La sección reducida de dimensiones bxhr, figura 14.36, está sometida a un esfuerzo de
tracción Nd, y a un momento flector Md, originado por la excentricidad e de la sección
reducida respecto a la bruta del tirante. La altura reducida del tirante es hr =0,5·(h-m·(sen
ȕ+cos ȕ)) = 0,34954·h. La excentricidad es e =0,5·(h-hr) =0,32522·h.
En la sección reducida debe cumplirse la siguiente condición,
ı t,0,d
f t,0,d
ı m,d
f m,d
d1
(14.83)
donde,
ıt,0,d
tensión de tracción producida por el axil, Nd, calculada con el área neta
de la sección del tirante (b·hr);
ı t,0,d
ım,d
Nd
b ˜ hr
2,8609 ˜
Nd
b˜h
(14.84)
tensión de flexión originada por el momento flector Md, calculada con
el módulo resistente de la sección neta,
ı m,d
ft,0,d y fm,d
Nd ˜ e
b ˜ hr2 /6
15,971 ˜
Nd
b˜h
(14.85)
resistencias de cálculo a tracción paralela a la fibra y a flexión,
respectivamente.
Sustituyendo las expresiones 14.84 y 14.85 en la ecuación 14.83,
2,8609 ˜
Nd
Nd
15,971 ˜
d1
b ˜ h ˜ f t,0,d
b ˜ h ˜ f m,d
(14.86)
Y llamando it,0 =Nd/(b·h·ft,0,d) al índice de agotamiento de la sección bruta del tirante por
tracción paralela, la ecuación anterior queda,
2,8609 ˜ it,0 15,971 ˜ it,0 ˜
f t,0,d
f m,d
d 1; it,0 d
1
§
f
¨ 2,8609 15,971 ˜ t,0,d
¨
f m,d
©
·
¸
¸
¹
(14.87)
De donde se deduce que para que el trazado del rayo de Júpiter antes descrito sea válido
ante la comprobación de la flexotracción en la sección reducida, el agotamiento de la
Estructuras de madera. Uniones
80
sección bruta del tirante no deberá exceder el valor indicado en la ecuación 14.87.
Al igual que en el caso anterior del empalme de llave, la excentricidad del axil con
respecto a la sección reducida, originará tensiones de tracción perpendicular a la fibra,
que implicarían una menor capacidad de transmisión de esfuerzos. La normativa de
cálculo no recoge este aspecto. Parece, por tanto, obligada la disposición de elementos
auxiliares como las bridas, que compriman transversalmente la sección para contrarrestar
la tracción perpendicular.
d) Resumen
En la tabla 14.5 se recogen los índices de agotamiento, anteriormente descritos, para las
clases resistentes habituales de coníferas. Puede observarse, que la condición más
restrictiva es la del agotamiento por flexotracción, que en la práctica reduce la capacidad
de la sección bruta del tirante al 8%.
Compresión local
Rasante
(ec. 14.82)
Sin cuñas
Con cuñas (*)
(ec. 14.78)
(ec. 14.79)
C14
0,083
0,364
0,256
0,259
C16
0,078
0,313
0,205
0,221
C18
0,079
0,296
0,186
0,214
C20
0,080
0,285
0,171
0,208
C22
0,081
0,276
0,158
0,202
C24
0,082
0,269
0,146
0,198
C27
0,081
0,246
0,128
0,173
C30
0,080
0,228
0,114
0,153
(*) Se ha considerado una resistencia característica a compresión perpendicular a la
fibra para la madera de las cuñas de 8 N/mm2, correspondiente a una madera de
frondosa de clase D30.
Clase
resistente
Flexotracción
(ec. 14.87)
Tabla 14.5. Índices de agotamiento máximos de la tracción bruta en el tirante para dar
validez al trazado en rayo de Júpiter (sin considerar agotamiento por tracción
perpendicular).
Su aplicación práctica es simple. Por ejemplo, para una clase resistente C20, el trazado
del rayo de Júpiter antes citado será válido siempre que el índice de agotamiento de la
tensión de tracción bruta en el tirante no sea superior a 0,08.
Como se ha comentado anteriormente, para evitar el efecto de las tensiones de tracción
perpendicular a la fibra se requieren elementos que compriman transversalmente la
unión como las bridas u otros herrajes adecuados.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
81
EJEMPLO 14.3:
Este ejemplo está extraído de un caso real de un edificio construido entre 1940 y
1950 que presentó el fallo de una de las correas después de una vida de servicio de
unos 60 años. La situación bajo carga permanente ya presentaba niveles de
agotamiento no aceptables según la normativa. Por este motivo, en este ejemplo los
esfuerzos de cálculo considerados corresponden a una situación de sólo carga
permanente. La carga permanente aplicada sin contar con el peso propio de las
piezas, es del orden de 1,55 kN/m2 sobre los pares y de 0,22 kN/m2 sobre el tirante.
La carga de nieve es de 0,57 kN/m2. El efecto del viento no era relevante.
Posiblemente, en reparaciones anteriores la carga permanente fue aumentada
debido a rellenos bajo la teja. En cualquier caso los niveles de tensiones bajo cargas
permanentes eran excesivos.
La cubierta del edificio estaba constituida por cerchas de madera aserrada de
madera de conífera con una luz de 9,35 m sobre las que apoyan correas con luz
media entre ejes de 3,73 m y perpendicularmente a ellas, descansan unos parecillos
continuos. La clase resistente fue estimada como C27 y la clase de servicio 2,
correspondiente a cubiertas ventiladas y sin calefacción. La pendiente de la
cubierta es de 18º, valor que resulta muy bajo para este tipo de cercha, figura 14.37.
En este ejemplo se analizan cuatro encuentros de las barras de la cercha: nudo
entre el par y el tirante, encuentro entre el pendolón y las tornapuntas, rebaje en el
punto intermedio del par donde encaja la tornapunta y el empalme en rayo de
Júpiter del tirante. Como se verá en muchos de estos casos los niveles de tensión
resultan no admisibles de acuerdo con la normativa. También, presentan soluciones
que no siguen exactamente las reglas de predimensionado que se recogen en este
capítulo, pero que permiten un análisis más didáctico de su comportamiento.
Resistencias de cálculo:
En las comprobaciones que se recogen en adelante para este ejemplo se utilizarán las
resistencias de cálculo para una clase resistente C27 en clase de servicio 2 y para una
duración de la carga permanente.
Figura 14.37. Ejemplo de una cercha con pendolón y tornapuntas.
Estructuras de madera. Uniones
82
fm,d, ft,0,d, fc,0,d, fc,90,d y fv,d son las resistencias de cálculo a flexión, tracción paralela a la
fibra, compresión paralela y perpendicular a la fibra y cortante, respectivamente. El
factor de modificación es kmod = 0,6 (tabla 4.7, tomo I), por tratarse de una duración
media y una clase de servicio 2, y el coeficiente parcial del material JM = 1,3 (tabla 4.6,
tomo I), para madera maciza. Las resistencias características de la clase C27 pueden
encontrarse en la tabla 3.4a del tomo I.
f c ,0 ,d
f c ,0 ,d
f v ,d
27
16
12 ,46 N / mm 2 ; f t ,0 ,d 0 ,6
7 ,38 N / mm 2
1,3
1,3
22
2 ,6
0 ,6
10 ,15 N / mm 2 ; f c ,90 ,d 0 ,6
1,2 N / mm 2
1,3
1,3
4
0 ,6
1,84 N / mm 2 ;
1,3
0 ,6
Ejemplo 14.3a: Encuentro entre par y tirante
El par con una sección de 130x220 mm dispone de un embarbillado doble con el
trazado que se describe en la figura 14.38. Transmite unos esfuerzos de cálculo de
axil N1d = 93,48 kN y de cortante V1d = 4,29 kN. El tirante tiene una sección igual a
la del par y soporta un axil de cálculo N2d = 87,58 kN y un cortante de cálculo V2d
=2,66 kN. El apoyo se realiza sobre un muro de bloques de hormigón de dos hojas y
se admite que la reacción se sitúa principalmente en la hoja interior con un valor de
35,63 kN.
En ninguna de las 7 cerchas que formaban la cubierta se observaban fallos en el
encuentro entre par y tirante.
Figura 14.38. Encuentro del par sobre el tirante con doble embarbillado.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
83
Comprobación de las reglas de predimensionado:
En primer lugar se comparan los parámetros de esta solución con los indicados en las
ecuaciones 14.46 para la profundidad de las barbillas,
t v1
50 mm no d h2 /6
t v1
50 mm no d 0,8 ˜ t´ v2 0 ,8 ˜ 60
48 mm (no cumple)
t v1
50 mm d t´ v2 10 mm 60 - 10
50 mm
t v2
45 mm no d h2 /4
220/6
220/4
36,6 mm (no cumple)
55 mm
Nota: debe tenerse en cuenta que en la figura 14.25 los dos rebajes tv1 y tv2, arrancan del
mismo plano correspondiente a la cara superior del tirante. Sin embargo, en este ejemplo
el rebaje tv2 = 45 mm presenta una profundidad que se ha denominado en las ecuaciones
anteriores t´v2 = 60 mm. El hecho de no cumplir alguna de las recomendaciones puede
hacer menos eficaz la solución, pero no la invalida. Habrá que ver su posible validez
después del cálculo.
Para la longitud del cogote se comprueban las condiciones de las ecuaciones 14.47,
l v1
370 mm d 8 ˜ t v1
8 ˜ 50 400 mm
l v2
605 mm no d 8 ˜ t v2
l v2
605 mm t 200 mm
8 ˜ 45 mm 360 mm (no cumple)
La longitud lv2 es superior a 360 mm, lo que no es inconveniente ya que se puede tomar
como longitud eficaz para la transmisión de tensiones tangenciales la longitud de 360
mm.
a) Comprobación de la tensión de compresión oblicua en los frentes de las barbillas
La tensión de compresión oblicua deber comprobarse para cada barbilla de acuerdo con
la ecuación 14.48,
ı c,Į,d
f c,Į,d
d1
En la barbilla externa con tv1 = 50 mm, la tensión oblicua viene dada por la ecuación
14.49,
k f ˜ F1
0 ,50 ˜ 93480
ı c,Į,d
7 ,56 N/mm 2
b1 ˜ tv1 /cos H 130 ˜ 50 / cos 18
donde,
H
ángulo entre la dirección de la barbilla y la vertical H =18º;
Estructuras de madera. Uniones
84
kf
coeficiente de reparto, que se tomará igual a 0,50, admitiendo un
reparto por igual para ambas barbillas;
F1
componente de los esfuerzos del par en dirección perpendicular al
plano de la barbilla, de acuerdo con la ecuación 14.19, donde D = 0º,
es el ángulo formado por la dirección de F1 y la perpendicular al plano
de la barbilla,
F1 = N1d · cos Į – V1d · sen Į = 93,48·cos 0- 4,29·sen 0 = 93,48 kN
La resistencia a compresión oblicua, fc,Į,d , viene dada por la ecuación 14.25, según la
norma DIN 1052,
f c,0,d
f c,Į,d
2
2
§ f c,0,d
· § f c,0,d
·
2
¨
˜ sen H ¸¸ ¨¨
˜ sen H ˜ cosH ¸¸ cos 4H
¨ 2˜ f
2
f
˜
c,90,d
v,d
©
¹ ©
¹
10,1
7 ,94 N/mm 2
2
2
·
· § 10,1
§ 10,1
˜ sen 18 ˜ cos 18 ¸ cos 4 18
˜ sen 2 18 ¸ ¨
¨
¹
¹ © 2 ˜ 1,84
© 2 ˜ 1,2
donde,
fc,Į,d, fc,90,d, fv,d
f c ,0 ,d
0 ,6
H
22
1,3
son las resistencias de cálculo a compresión paralela a la
fibra, perpendicular a la fibra y cortante, considerando que el
factor kmod = 0,6, por tratarse de una duración permanente y
una clase de servicio 2, y con un coeficiente parcial del
material JM = 1,3, para madera maciza;
10 ,1 N / mm 2 ; f c ,90 ,d
0 ,6
2 ,6
1,3
1,2 N / mm 2 ; f v ,d
0 ,6
4
1,3
1,84 N / mm 2
ángulo entre la dirección de la tensión de compresión y la dirección de
la fibra en el tirante, como caso más desfavorable, H = 18º.
De donde se obtiene un índice de agotamiento válido según la ecuación 14.45,
ı c,Į,d
f c,Į,d
7 ,56
7 ,94
0 ,95 d 1
Si se aplicara la norma UNE-EN 1995-1-1 (Eurocódigo 5), la resistencia a la compresión
oblicua según la ecuación 14.26 tomando el valor de kc,90 = 1, la resistencia sería menor,
fc,D,d = 5,93 N/mm2. El índice de agotamiento sería de 1,27 (no válido).
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
85
En la barbilla interior con tv2 = 45 mm, la tensión oblicua viene dada por la ecuación
14.50,
k f ˜ F1
0 ,50 ˜ 93480
8 ,40 N/mm 2
(de ec. 14.50)
ı c,Į,d
b1 ˜ tv2 /cos H 130 ˜ 45 / cos 18
donde,
H
ángulo entre la dirección de la barbilla y la vertical H = 18º;
kf
coeficiente de reparto, que ha tomado igual a 0,50, admitiendo un
reparto por igual para ambas barbillas;
F1
componente de los esfuerzos del par en dirección perpendicular al
plano de la barbilla, calculada anteriormente, F1 = 93,48 kN;
La resistencia a compresión oblicua, fc,Į,d , dada por la ecuación 14.25, según la norma
DIN 1052, es la misma calculada anteriormente ya que la barbilla presenta el mismo
ángulo que la anterior,
10,1
f c,Į,d
7 ,94 N/mm 2
2
2
·
· § 10,1
§ 10,1
˜ sen 18 ˜ cos 18 ¸ cos 4 18
˜ sen 2 18 ¸ ¨
¨
2
1,84
2
1,2
˜
˜
¹
¹ ©
©
De donde se obtiene un índice de agotamiento válido según la ecuación 14.48,
ı c,Į,d
f c,Į,d
8 ,40
7 ,94
1,06 ! 1
Se comprueba que excede el nivel de agotamiento admitido por la normativa. Es posible
que el reparto de la carga no sea por igual en ambas barbillas, y probablemente una parte
mayor que el 50% se descargue sobre la barbilla externa, disminuyendo el índice de
agotamiento de la barbilla interior. Si se aplicara la norma UNE-EN 1995-1-1
(Eurocódigo 5), la resistencia a la compresión oblicua según la ecuación 14.26 los
resultados darían lugar a un mayor incumplimiento.
b) Comprobación de la tensión tangencial en el cogote
Deben cumplirse las condiciones siguientes,
IJ 1d
d1;
f v,d
IJ 2d
d1
f v,d
(de ec. 14.51)
donde,
IJ1d
tensión tangencial sobre el plano de longitud lv1 debida a la parte de la
Estructuras de madera. Uniones
86
fuerza F3 que se concentra en el frontal. Se ha tomado kf = 0,5;
IJ 1d
k f ˜ F3
k cr b2 ˜ lv1
0 ,50 ˜ 87580
0 ,67 ˜ 130 ˜ 370
1,36 N/mm 2
(de ec. 14.52)
con la condición de que lv1 370 mm ” 8·tv1 = 8·50 = 400 mm.
F3 = N1d · cos E – V1d · sen E =
= 93,48·cos18 - 4,29·sen 18 =87,58 kN
IJ 2d
(de ec. 14.21)
tensión tangencial sobre el plano de longitud lv2 debida al total de la
fuerza F3,
F3
87580
IJ 2d
2 ,10 N/mm 2
(de ec. 14.53)
k cr b2 ˜ lv2 0 ,67 ˜ 130 ˜ 480
con la condición de que lv2 = 605 mm queda limitado a 8·tv2 =8·60 =
480 mm y que lv2 • 200 mm.
Por tanto, el agotamiento no resulta admisible en la segunda ecuación,
IJ 1d
f v,d
1,36
1,84
0 ,74 d 1 ;
IJ 2d
f v,d
2 ,10
1,84
1,14 d 1
Comprobación según las reglas del DB-SE-EM del CTE:
El Documento Básico de Seguridad Estructural del CTE propone las siguientes
comprobaciones,
a) Longitud del cogote a, figura 14.27,
a
605 t
Fd ˜ cos E
b ˜ f v ,d
93480 ˜ cos 18
130 ˜ 1,84
372 mm
(de ec. 14.54)
Nota: en caso de aplicar el coeficiente kcr = 0,67 a la anchura b, el valor de a saldría igual
a 555 mm.
b) Profundidad de la barbilla, t, figura 14.42,
t
50 45
95 mm no t
Fd ˜ cos E
b ˜ f c ,D ,d
93480 ˜ cos 18
130 ˜ 5 ,24
131 mm
(de ec. 14.55)
Donde Fd = N1d. La resistencia a compresión oblicua, fc,D,d se ha obtenido mediante la
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
87
ecuación 13.26, tomando D = 18º (ya que, en este caso, ambas barbillas presentan el
mismo ángulo), kc,90 = 1 y reduciendo la fc,0,d por el factor igual a 0,80.
El índice de agotamiento que resulta es de 1,38, valor superior al 1,06 del método de la
DIN 1052.
c) Canto del par, d,
d
220 mm t
Fd
b ˜ f c ,D ,d
93480
130 ˜ 5 ,24
137 ,2 mm
(de ec. 14.56)
Donde D = E, Fd = N1d y la resistencia fc,D,d se obtiene, igual que en el caso anterior.
Comprobación de la tensión de compresión perpendicular a la fibra en el apoyo
Finalmente, se puede comprobar la tensión de compresión perpendicular a la fibra en el
tirante, suponiendo que éste apoyara directamente sobre una de las hojas del muro con
un grueso de 140 mm. La fuerza total vertical sobre el apoyo es la suma de la
componente F4 de la ecuación 14.22 y del cortante en el tirante (2,66 kN),
F4 = F1 · sen Į + F2 · cos Į = 93,48·sen 18+4,29·cos 18 + 2,66 = 35,63 kN
La tensión de compresión perpendicular es,
V c ,90 ,d
35630
26000
1,37 N/mm 2
Considerando el área eficaz de apoyo,
Aef
b l ef
b ( l a1 a 2 ) 130 ˜ ( 140 2 ˜ 30 )
Y la comprobación resulta válida,
V c ,90 ,d
1,37
k c ,90 f c ,90 ,d 1,50 ˜ 1,2
26000 mm 2
0 ,76 d 1
(de ec. 14.1)
(de ec. 14.2)
Flexión producida en el tirante por la excentricidad del apoyo
En el tirante se genera un momento flector como consecuencia de la excentricidad del
apoyo y del axil con respecto a la sección reducida por la barbilla, cuyo valor viene dado
de manera aproximada por la ecuación 14.31,
ǻ Md § Rd · a – N2d · h2 /2 =35,63·0,31 - 87,58·0,22/2 = 1,411 kN·m
Estructuras de madera. Uniones
88
La sección reducida quedará sometida a flexotracción,
V t ,0 ,d
87580
130 ˜ 164
4 ,11 N/mm 2 ;V m ,d
La comprobación resulta válida,
V t ,0 ,d
f t ,0 ,d
V m ,d
f m ,d
6 ˜ 1,411 ˜ 10 6
130 ˜ 164 2
4 ,11 2 ,42
7 ,38 12 ,46
2 ,42 N/mm 2
0 ,75 1
Donde ft,0,d y fm,d son las resistencias de cálculo de tracción y flexión, respectivamente.
Ejemplo 14.3b: Encuentro entre pendolón y tornapuntas
El pendolón tiene una sección de 130x210 mm y soporta un axil de tracción de 39,33
kN. Se encuentra con las tornapuntas mediante un doble embarbillado, figura
14.39. La sección de las tornapuntas es de 130x100 mm y transmiten un axil de
compresión de 26,525 kN y un cortante de 0,04 kN. En ninguna de las 7 cerchas de
la cubierta se observaron fallos en este encuentro.
De acuerdo con el apartado 14.5.1.2 de reglas de predimensionado, se cumple la
condición de que la profundidad de la barbilla, tv = 15 mm sea menor o igual a h/6=
210/6 = 35 mm.
Figura 14.39. Encuentro entre pendolón y tornapuntas del ejemplo 14.3.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
89
a) Comprobación de la compresión oblicua en el frente de la barbilla
La condición de la ecuación 14.23 sobre la tensión de compresión oblicua no se cumple,
ů c,D ,d
fc,D ,d
10 ,99
6 ,43
1,71 ! 1 (no válido)
(de ec. 14.23)
Donde, ıc,Į,d es la tensión de compresión oblicua en el frente de la barbilla,
V c ,D ,d
F1
F1
b1 t v / cos D
23858
130 ˜ 15 / cos 26
10 ,99 N/mm 2
(de ec. 14.24)
fuerza de compresión perpendicular a la superficie del frente de la
barbilla, de la ecuación 14.19 teniendo en cuenta que el cortante tiene
sentido contrario al indicado para la ecuación 14.19,
F1 = N1d · cos Į – V1d · sen Į=26,525·cos26 - (-0,04)·sen26 = 23,858 kN
fc,Į,d
f c,Į,d
la resistencia a compresión oblicua, que según la norma DIN 1052,
ecuación 14.25,
10,15
2
2
6 ,43 N/mm 2
§ 10,15
· § 10,15
·
˜ sen 2 26 ¸ ¨
˜ sen26 ˜ cos26 ¸ cos 4 26
¨
© 2 ˜ 1,2
¹ © 2 ˜ 1,84
¹
donde,
fc,Į,d, fc,90,d, fv,d
Į
son las resistencias de cálculo a compresión paralela a la fibra,
perpendicular a la fibra y cortante, calculadas en el apartado anterior
Ejemplo 14.3a;
ángulo entre la dirección de la tensión de compresión y la dirección de
la fibra. En este caso, D = 26º.
b) Comprobación de la tensión tangencial en el cogote
No se cumple la condición de la ecuación 14.27,
IJd
f v,d
donde,
2 ,04
1,84
1,11 ! 1
(de ec. 14.27)
Estructuras de madera. Uniones
90
IJd
tensión tangencial en la superficie del cogote (b2 · lv) producida por la
fuerza F3, ecuación 14.21.
F3 = 26,525·cos 52 - (-0,04)·sen 52 =16,362 kN
IJd
F3
k cr b2 ˜ lv
16362
0 ,67 ˜ 130 ˜ 92 ,3
2 ,04 N/mm 2
(de ec. 14.21)
(de ec. 14.28a)
Como se ha comentado anteriormente, la longitud lv = 92,3 mm no debe ser mayor que
8·tv = 8·15 = 120 mm, para poder admitir una distribución uniforme de la fuerza F3 en la
superficie a rasante.
c) Comprobación de la compresión perpendicular a la fibra en el pendolón
Se cumple la condición de agotamiento a compresión perpendicular,
V c ,90 ,d
f c ,90 ,d
0 ,86
1,2
0 ,72 1
(de ec. 14.29)
siendo,
ıc,90,d
tensión de compresión perpendicular a la fibra sobre la superficie
(b1·l90) provocada por la fuerza F4 (ecuación 14.19). Donde l90 =
h1/senȕ.
F4
20927
V c ,90 ,d
0 ,86 N/mm 2
(de ec. 14.30)
b1 l90 ,ef 130 ˜ 186 ,9
F4 = 23,823·sen 26 + 11,664·cos 26 = 20,927 kN
(de ec. 14.22)
F2 = 26,525·sen 26 + 0,04·cos 26 = 11,664 kN
(de ec. 14.20)
Siendo l90 = 100/cos 38º = 126,9 mm y la longitud eficaz l90,ef = 126,9+2·30 = 186,9 mm.
Ejemplo 14.3c:
El encuentro entre el par y la tornapunta se realiza mediante el embarbillado
representado en la figura 14.40. La tornapunta tiene un axil de compresión de valor
de cálculo Nd = 27,06 kN y un pequeño cortante Vd = 0,04 kN. El par queda
sometido en esa sección a un momento flector Md = 7,46 kN·m y a un axil Nd = 73,43
kN en su arranque superior y Nd = 87,64 kN en su arranque inferior, junto con dos
cortantes de 7,35 y de 14, 11 kN, respectivamente.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
91
Figura 14.40. Encuentro entre la tornapunta y el par del ejemplo 14.3.
a) Comprobación de la flexocompresión en la sección reducida del par
La sección del par (130x220 mm) queda reducida a causa del rebaje del embarbillado a
130x202,34 mm. De esta manera, el axil del par (87,64 kN) queda descentrado respecto
al eje de la sección reducida una cantidad e = 8,83 mm, lo que origina un pequeño
momento que por tener el mismo sentido que el momento Md = 7,46 kN, se sumará a
éste.
M´d = Md + 'Md = 7,46 + 87,64·0,00883 = 8,23 kN·m
Y se comprueba el agotamiento de la sección sometida a flexocompresión de acuerdo
con la ecuación 6.8 del tomo I, para la tensión de compresión Vc,0,d y la tensión de
flexión Vm,d,
V c ,0 ,d
87640
130 ˜ 202 ,34
3 ,33 N/mm 2 ; V m ,d
8 ,234 ˜ 10 6
130 ˜ 202 ,34 2 / 6
9 ,28 N/mm 2
2
9 ,28
§ 3 ,33 ·
¨
¸ 12 ,46
© 10 ,15 ¹
0 ,85 1 (válido)
donde, fm,d es la resistencia de cálculo a flexión (0,6·27/1,3 = 12,46 N/mm2).
Estructuras de madera. Uniones
92
b) Comprobación de la compresión oblicua en el frente de la barbilla
La profundidad de la barbilla debe cumplir la recomendación definida en la ecuación
14.18,
h
220
80 56 44 mm, para 50 ȕ d 60º
tv 17 ,66 d 2 (80 ȕ)
120
120
La condición de la ecuación 14.23 sobre la tensión de compresión oblicua no se cumple,
ů c,D ,d
9 ,2
1,51 ! 1 (no válido)
(de ec. 14.23)
fc,D ,d
6 ,08
Donde, ıc,Į,d es la tensión de compresión oblicua en el frente de la barbilla,
V c ,D ,d
F1
F1
b1 t v / cos D
23911
130 ˜ 17 ,66 / cos 28
9 ,2 N/mm 2
(de ec. 14.24)
fuerza de compresión perpendicular a la superficie del frente de la
barbilla,
F1 = N1d · cos Į – V1d · sen Į=27,06·cos28 - (-0,04)·sen28 = 23,911 kN (de ec. 14.19)
El cortante tiene signo negativo porque es de sentido contrario al que se tenía en
la ecuación 14.19.
fc,Į,d
f c,Į,d
la resistencia a compresión oblicua, que según la antigua norma DIN
1052 (y DIN EN 1995-1-1/NA:2013), ecuación 14.25,
10,15
2
2
6 ,08 N/mm 2
§ 10,15
· § 10,15
·
˜ sen 2 28 ¸ ¨
˜ sen28 ˜ cos28 ¸ cos 4 28
¨
© 2 ˜ 1,2
¹ © 2 ˜ 1,84
¹
donde,
fc,Į,d, fc,90,d, fv,d
Į
son las resistencias de cálculo a compresión paralela a la fibra,
perpendicular a la fibra y cortante, calculadas en el apartado anterior
Ejemplo 14.3a;
ángulo entre la dirección de la tensión de compresión y la dirección de
la fibra. En este caso, D = 56/2 =28º.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
93
Ejemplo 14.3d: Empalme en rayo de Júpiter en el tirante
El tirante de la cercha está formado por dos piezas que se empalman mediante un
rayo de Júpiter a un lado del punto de encuentro con el pendolón, figura 14.41. El
tirante tiene una sección de 130x220 mm y soporta un esfuerzo axil de tracción Nd =
87,81 kN y un cortante Vd = 2,66 kN. Su trazado presenta un trazado en el rediente
de encaje con un corte perpendicular a la fibra, en lugar de con cierta inclinación
como en el trazado de la figura 14.32. En la junta existe una cuña de madera de
roble de 20 mm de grueso.
La unión se encuentra reforzada mediante dos pletinas metálicas de 34x6 mm
fijadas a la madera con 4 pernos de 10 mm de diámetro. Como se verá en el cálculo,
el empalme de rayo de Júpiter resulta claramente insuficiente para transmitir el
esfuerzo, por lo que seguramente los herrajes se colocaron en origen. En algunas
uniones se observaban fallo por rasante en la madera.
Figura 14.41. Empalme en rayo de Júpiter del ejemplo 14.3.
a) Comprobación de la resistencia a compresión local en el encaje
El esfuerzo axil del tirante, Nd, se reparte directamente como compresión en la superficie
del rebaje (130x40 mm); el frente del rebaje es perpendicular al eje del tirante, y no
inclinado como ocurría en el trazado recomendado en la figura 14.32. Así, en este caso
no existe componente tangencial (F2 en las ecuaciones 14.75). La tensión de compresión
es la siguiente,
ı c,d
87810
130 ˜ 40
16 ,88 N/mm 2
Esta tensión resulta paralela a la fibra del tirante y perpendicular a la fibra en la cuña de
roble. Suponiendo que la pieza de roble esté asignada a una clase resistente D30, que
presenta una resistencia característica a compresión perpendicular a la fibra de 8 N/mm2,
la comprobación de acuerdo con la ecuación 14.71 es la siguiente,
94
Estructuras de madera. Uniones
ı c,90 ,d
f c,90 ,d
16 ,88
3,69
4 ,57 ! 1 (no válido)
donde, fc,90,d = 0,6·8/1,3 = 3,69 N/mm2.
Si no existiera cuña, o se pudiera admitir el aplastamiento de la cuña al encontrarse
confinada, se podría considerar que se trata de una tensión de compresión paralela a la
fibra. En este caso, la resistencia a compresión paralela a la fibra en el tirante es fc,0,d =
0,6·22/1,3 = 10,15 N/mm2, y el índice de agotamiento se reduce, aunque todavía supera
la unidad,
ı c,0 ,d 16 ,88
1,66 ! 1 (no válido)
f c,0 ,d 10 ,15
b) Comprobación de la resistencia a cortante de rasante
El esfuerzo axil Nd, provoca una tensión tangencial en la superficie de dimensiones
130x128 mm, cuyo valor, admitiendo un reparto uniforme, es el siguiente,
87810
Wd
7 ,88 N/mm 2
0 ,67 ˜ 130 ˜ 128
Y para una resistencia de cálculo a cortante, fv,d =1,846 N/mm2, el índice de agotamiento
resulta muy superior a la unidad,
IJd
f v,d
7 ,88
1,846
4 ,27 ! 1 (no válido)
Puede comprobarse que el empalme carpintero en este caso resulta insuficiente para el
esfuerzo a transmitir. Aún si no se hubiera considerado el coeficiente reductor de la
anchura de la pieza por el posible fendado por secado, se hubiera obtenido un índice de
agotamiento de 2,86, en lugar de 4,27.
Si se calcula el índice de agotamiento del tirante a tracción con la sección bruta,
V t ,0 ,d
f t ,0 ,d
87810 /( 130 ˜ 220 )
7 ,38
0 ,42
Se obtiene un índice de 0,42, que resulta muy superior a los índices recogidos en la tabla
14.5, que no superan el valor de 0,10. Por tanto, la transmisión del esfuerzo estará
encomendada a las pletinas y pernos.
Finalmente, puede comentarse que la longitud del empalme es de 600 mm, valor que
queda un poco por debajo de la longitud que se obtendría con el trazado recomendado en
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
95
la figura 14.32 (longitud igual a 3 veces el canto del tirante, 660 mm en este caso).
Finalmente, la profundidad de las entalladuras de los extremos es de 30 mm, valor que
resulta inferior al recomendado en la figura 14.32, de 1/5 del canto del tirante (220/5 =
44 mm).
c) Comprobación de la resistencia a flexotracción
La sección reducida de dimensiones 130x90, figura 14.41, está sometida a un esfuerzo de
tracción Nd = 87,81 kN, y a un momento flector Md originado por la excentricidad, e =
65 mm, de la sección reducida respecto a la bruta del tirante. En la sección reducida debe
comprobarse el efecto combinado de la tensión de tracción, ıt,0,d, y de flexión, ım,d, de
acuerdo con la ecuación 14.83,
ı t,0,d ı m,d
f t,0,d
f m,d
7 ,51 32 ,52
7 ,38 12 ,46
3,63 ! 1 (no válido)
donde,
ı t,0,d
Nd
b ˜ hr
ı m,d
Nd ˜ e
b ˜ hr2 /6
ft,0,d y fm,d
87810
130 ˜ 90
7 ,51 N/mm 2
87810 ˜ 65
130 ˜ 90 2 / 6
32 ,52 N/mm 2
resistencias de cálculo a tracción paralela a la fibra y a flexión,
respectivamente, obtenidas anteriormente.
EJEMPLO 14.4
Una cubierta de un edificio industrial construido hacia el año 1900 está formada
por cerchas de madera aserrada con una luz de 15,30 m, figura 14.42. Consta de
pares (190x255 mm), sotopares en el tramo inferior (190x155 mm), tirante sin
empalmes (190x260 mm), pendolón (190x255 mm), péndolas (190x190 mm) y
tornapuntas (190x160 mm). La especie de madera es pino silvestre (Pinus sylvestris
L.) y la clase resistente estimada es C22. La clase de servicio es la 2, ya que se trata
de un edificio que no tiene calefacción y tiene un elevado grado de ventilación. La
situación de cálculo más desfavorable se presenta para la actuación simultánea de
la carga permanente y la carga de nieve (considerada de duración media).
Estructuras de madera. Uniones
96
Figura 14.42. Ejemplo de cercha con pendolón y péndolas.
Resistencias de cálculo:
En las comprobaciones que se recogen en adelante para este ejemplo se utilizarán las
resistencias de cálculo para una clase resistente C22 en clase de servicio 2 y para una
duración de la carga media.
fm,d, ft,0,d, fc,0,d, fc,90,d y fv,d son las resistencias de cálculo a flexión, tracción paralela a la
fibra, compresión paralela y perpendicular a la fibra y cortante, respectivamente. El
factor de modificación es kmod = 0,8 (tabla 4.7, tomo I), por tratarse de una duración
media y una clase de servicio 2, y el coeficiente parcial del material JM = 1,3 (tabla 4.6,
tomo I), para madera maciza. Las resistencias características de la clase C22 pueden
encontrarse en la tabla 3.4a del tomo I (Estructuras de madera. Bases de cálculo).
f c ,0 ,d
f c ,0 ,d
f v ,d
22
13
13 ,53 N / mm 2 ; f t ,0 ,d 0 ,8
8 N / mm 2
1,3
1,3
20
2 ,4
0 ,8
12 ,31 N / mm 2 ; f c ,90 ,d 0 ,8
1,48 N / mm 2
1,3
1,3
3 ,8
0 ,8
2 ,34 N / mm 2 ;
1,3
0 ,8
En algunas comprobaciones puede interesar conocer cuál es el índice de agotamiento
bajo la actuación exclusiva de la carga permanente. Para ello puede considerarse que los
esfuerzos de cálculo en situación de carga permanente se reducen a un 45% con respecto
a la situación de cálculo de permanente más nieve. Y, por otro lado, la resistencia
desciende a un 75% (kmod de 0,8 a 0,6). Por tanto, el índice de agotamiento en situación
de carga permanente se puede obtener multiplicando el índice correspondiente a la
combinación de permanente más nieve, por un factor igual a 0,6 (0,45/0,75).
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
97
Ejemplo 14.4a: Encuentro entre par y tirante
El par y el sotopar se ensamblan con el tirante mediante caja y espiga, según se
indica en la figura 14.43. Bajo el tirante se disponen dos piezas que hacen de
ménsulas y que descansan sobre la fábrica. En el análisis del sistema de barras se
han obtenido los esfuerzos axiles y cortantes para cada barra. El tirante tiene un
axil de tracción de 136,32 kN y un cortante de 1,66 kN. La reacción total es de
109,04 kN y existe una carga externa aplicada sobre el arranque del par que
corresponde a la primera correa de la cubierta con una fuerza de 18,43 kN. El par
transmite un axil de compresión de 102,50 kN y un cortante de 8,92 kN, y el sotopar
un axil de 59,39 kN y un cortante de 7,05 kN. Estos últimos esfuerzos de los pares y
sotopares han sido obtenidos mediante un modelo de barras que represente el par y
sotopar de una manera aproximada a la realidad, pero aunque el esfuerzo total
(suma de ambas piezas) sea más cercano a la realidad, el reparto entre ambas
piezas puede diferir más de la realidad.
En todos los apoyos existe una brida metálica que ata los pares con el tirante y las
ménsulas. En algunos casos este embridado es doble. Su función es afianzar y
reforzar el encuentro. Puede tratarse de un refuerzo inicial o un refuerzo posterior
tras producirse algún fallo de los enlaces entre par y tirante.
Figura 14.43. Encuentro entre par, sotopar y tirante.
a) Compresión oblicua en el frente de la espiga
En cada una de las espigas debe comprobarse la resistencia a la compresión oblicua en el
frente de la espiga. La tensión de compresión resulta paralela a la dirección de la fibra en
Estructuras de madera. Uniones
98
el tirante, pero forma un ángulo de 28º con la fibra en el par y el sotopar. A continuación,
se comprueba la espiga del par por ser la más desfavorable al tener mayor esfuerzo con
el mismo frente de espiga. La condición que debe cumplirse es la siguiente,
ı c,Į,d 34 ,53
4 ,56 ! 1 (no válido)
(de ec. 14.23)
f c,Į,d
7 ,57
Siendo ıc,Į,d la tensión de compresión oblicua en el frente de la barbilla,
V c ,D ,d
F1
F1
b1 tv
86314
50 ˜ 50
34 ,53 N/mm 2
(de ec. 14.24)
fuerza de compresión perpendicular a la superficie del frente de la
barbilla, ecuación 14.19.
F1 = N1d · cos Į – V1d · sen Į = 102,50·cos 28º - 8,92·sen 28º = 86,314 kN
fc,Į,d
f c,Į,d
la resistencia a compresión oblicua. Esta resistencia viene definida en
la antigua norma DIN 1052 para el caso de embarbillados (o la DIN
EN 1995-1-1/NA:2013), por la ecuación 14.25,
12,31
2
2
7 ,57 N/mm 2
·
§ 12,31
· § 12,31
˜ sen28º ˜cos28º ¸ cos 4 28º
˜ sen 2 28º ¸ ¨
¨
¹
© 2 ˜ 1,48
¹ © 2 ˜ 2,34
donde, Į es el ángulo entre la dirección de la tensión de compresión y la dirección de la
fibra del par. En este caso, D = 28.
En el caso de no admitir la expresión anterior (ecuación 14.25) para la comprobación de
la tensión de compresión oblicua en la espiga y emplear la ecuación 14.26 de la norma
UNE-EN 1995-1-1 (Eurocódigo 5), la resistencia sería inferior,
f c,Į,d
12,31
12,31
˜ sen 2 28º cos 2 28º
1 ˜ 1,48
4 ,70 N/mm 2
(de ec. 14.26)
En este caso el índice de agotamiento sería muy superior (34,53/4,70 = 7,34).
En el supuesto de que la carga total del par y sotopar se repartiera entre ambas espigas,
considerando la resistencia oblicua de 7,57 N/mm2 , el índice de agotamiento sería de
3,6, en lugar de 4,56. En una situación de carga permanente, el índice de agotamiento
sería igual al 60% del índice en la combinación de cálculo de permanente más nieve,
como se ha expuesto al inicio del ejemplo. Por tanto, en el caso más favorable el índice
sería de 0,6·3,6 = 2,16. Es decir, se justificaría el fallo de estas uniones.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
99
b) Tensión tangencial rasante en el cogote
Suponiendo que cada espiga tenga que transmitir su esfuerzo de manera independiente,
se comprobarán ambos casos. Para la espiga exterior la tensión tangencial se obtiene
repartiendo el valor de la carga F1 en la superficie de rasante, Av, figura 14.44,
F1 = 102,50·cos 28º - 8,92·sen 28º = 86,314 kN
Av = 50·270·3 = 40500 mm2
Wd
86314
40500
2 ,13 N/mm 2
De donde resulta un índice de agotamiento cercano a la unidad,
IJd
2 ,13
0 ,91 d 1
f v,d 2 ,34
Figura 14.44. Dimensiones de las cajas y espigas.
Y para la espiga interior, análogamente,
F1 = 59,39·cos 28º - 7,05·sen 28º = 49,128 kN
Av = 130·50·3 + 250·50 + 2·250·50/2 = 57000 mm2
Wd
49128
57000
0 ,86 N/mm 2
IJd
f v,d
0 ,86
2 ,34
0 ,37 d 1
En estas comprobaciones no se ha tenido en cuenta el coeficiente kcr de reducción del
100
Estructuras de madera. Uniones
ancho eficaz, ya que se ha considerado que las fendas se producirían, en su caso, fuera
de la zona de desplazamiento por rasante.
c) Comprobación de la flexotracción en el tirante
Si se aísla el extremo del tirante, según se indica en la figura 14.45, y se representan las
fuerzas aplicadas: reacción Rd, cortante del tirante V3d, componentes horizontales y
verticales de las fuerzas del par, H1 y V1, y del sotopar, H2 y V2, se puede obtener el
momento flector que se origina en el extremo del tirante.
H1 = 102,5·cos 28º-8,92·sen 28º = 86,314 kN
V1 = 102,5·sen 28º + 8,92·cos 28º = 55,997 kN
H2 = 59,39·cos 28º - 7,05·sen 28º = 49,128 kN
V2 = 59,39·sen 28º + 7,05·cos 28º = 34,107 kN
Md = (86,314+49,128)·0,105 + 55,997·0,35 - (109,04-1,66)·0,26 = 5,901 kN·m
V t ,0 ,d
V m ,d
136320
2 ,91 N/mm 2
190 ˜ 260 50 ˜ 50
5 ,901 ˜ 10 6
|
2 ,76 N/mm 2
190 ˜ 260 2 / 6
La tensión de flexión se ha calculado despreciando la pérdida de módulo resistente del
cajeado de 50x50 mm. La comprobación de la flexotracción es,
ı t,0,d ı m,d
f t,0,d
f m,d
2 ,91 2 ,76
8
13 ,54
0 ,364 0 ,204
0 ,57 1
Figura 14.45. Fuerzas y momentos que provocan excentricidad en el apoyo.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
101
Ejemplo 14.4b: Encuentro entre tornapuntas y pendolón
Las tornapuntas con una sección de 190x160 mm encajan en el pendolón, de sección
190x255 mm, mediante un embarbillado con una profundidad de 30 mm y con un
corte perpendicular al eje del pendolón (no en bisectriz como es recomendable),
figura 14.46. Las tornapuntas transmiten un axil de compresión de 61,34 kN y un
cortante de 0,31 kN, y el pendolón soporta un axil de tracción de 49,55 kN;
finalmente el herraje de cuelgue del tirante tiene un axil de tracción de 3,01 kN.
Figura 14.46. Encuentro entre tornapuntas y pendolón del ejemplo 14.4.
De acuerdo con el apartado 14.5.1.2 de reglas de predimensionado, se cumple la
condición de que la profundidad de la barbilla, tv = 30 mm sea menor o igual a h/6=
255/6 = 42,5 mm.
a) Comprobación de la compresión oblicua en el frente de la barbilla
La condición de la ecuación 14.23 sobre la tensión de compresión oblicua no se cumple,
ů c,D ,d 4 ,08
1,23 ! 1 (no válido)
(de ec. 14.23)
fc,D ,d
3 ,33
Donde, ıc,Į,d es la tensión de compresión oblicua en el frente de la barbilla,
V c ,D ,d
F1
b1 t v
23275
190 ˜ 30
4 ,08 N/mm 2
(de ec. 14.24)
Estructuras de madera. Uniones
102
F1
fuerza de compresión perpendicular a la superficie del frente de la
barbilla, de la ecuación 14.19, teniendo en cuenta que V1d tiene sentido
contrario al de la ecuación mencionada,
F1 = N1d · cos Į – V1d · sen Į=61,34·cos 68º - (-0,32)·sen 68º = 23,275 kN
fc,Į,d
f c,Į,d
la resistencia a compresión oblicua, que según la antigua norma DIN
1052 (o DIN EN 1995-1-1/NA:2013), ecuación 14.25,
12,31
2
2
3 ,33 N/mm 2
§ 12,31
· § 12,31
·
˜ sen 2 68 ¸ ¨
˜ sen68 ˜ cos68 ¸ cos 4 68
¨
© 2 ˜ 1,48
¹ © 2 ˜ 2 ,34
¹
donde,
Į
ángulo entre la dirección de la tensión de compresión y la dirección de
la fibra del pendolón. En este caso, D = 68º.
Si el corte del embarbillado se hubiera realizado en bisectriz del ángulo de 90+22 =
112º, el ángulo de 68º bajaría a 34º. La tensión oblicua hubiera resultado de 6,44 N/mm2
y la resistencia oblicua de 6,44 N/mm2, obteniendo un índice de 1,14, algo inferior al
1,23.
b) Comprobación de la tensión tangencial en el cogote
Se cumple la condición de la ecuación 14.27,
IJd
f v,d
1,02
2 ,34
0 ,43 1
(de ec. 14.27)
donde,
IJd
tensión tangencial en la superficie del cogote (b2 · lv) producida por la
fuerza F3, ecuación 14.21.
F3 = 61,34·cos 68 - (-0,32)·sen 68 =23,275 kN
IJd
F3
k cr b2 ˜ lv
23275
0 ,76 ˜ 190 ˜ 180
1,02 N/mm 2
(de ec. 14.21)
(de ec. 14.28a)
Como se ha comentado anteriormente, la longitud lv = 180 mm no debe ser mayor que
8·tv = 8·30 = 240 mm, para poder admitir una distribución uniforme de la fuerza F3 en la
superficie a rasante.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
103
c) Comprobación de la compresión perpendicular a la fibra en el pendolón
Se cumple la condición de agotamiento a compresión perpendicular,
V c ,90 ,d
f c ,90 ,d
1,29
1,48
0 ,87 1
(de ec. 14.29)
siendo,
ıc,90,d
tensión de compresión perpendicular a la fibra sobre la superficie
(b1·l90) provocada por la fuerza F4 (ecuación 14.22). Donde l90 =
h1/senȕ.
F4
56754
V c ,90 ,d
1,29 N/mm 2
(de ec. 14.30)
b1 l90 ,ef 190 ˜ 232
F4 = F2 = 61,34·cos 22 + (-0,32)·sen 22 = 56,754 kN
(de ec. 14.22)
Siendo la longitud eficaz l90,ef = l90 + 2·30 = 160/cos 22º + 2·30 = 232 mm.
Ejemplo 14.4c: Encuentro entre pares y pendolón
En la figura 14.47 se describe la unión entre los pares y el pendolón de la cercha. El
encuentro se ha realizado mediante un rebaje en forma de cola de milano en el
extremo superior del pendolón. Los pares con una sección de 190x255 mm
transmiten al nudo un esfuerzo axil de cálculo de 87 kN y un cortante de 6,83 kN.
El pendolón, con la misma sección, soporta un esfuerzo axil de tracción de 50,58 kN
y en la parte superior existe una carga de 18,43 kN debida a la correa de cumbrera,
que completa el equilibrio del nudo.
Figura 14.47. Encuentro entre pares y pendolón del ejemplo 13.4.
104
Estructuras de madera. Uniones
El axil del par Nd = 87 kN y el cortante Vd = 6,83 kN tiene una resultante R, figura
14.48. La resultante R se descompone en dos direcciones perpendiculares entre sí, una de
ellas, perpendicular al plano de apoyo, FN, y la otra tangencial al plano de apoyo, FT. La
dirección de la resultante, R, forma con la perpendicular al plano de apoyo (dirección de
la fuerza FN), un ángulo de 16,8º.
R
87 2 6 ,83 2
FN
R ˜ cos 16 ,8º
83 ,543 kN
FT
R ˜ sen 16 ,8º
25 ,223 kN
87 ,267 kN
Figura 14.48. Descomposición de fuerzas del par en la dirección perpendicular y
tangencial a la superficie de contacto entre las piezas.
La fuerza FN provoca una tensión de compresión oblicua de valor,
V c ,D ,d
83543
190 ˜ 303
1,49 N/mm 2
La longitud eficaz del apoyo se ha calculado de acuerdo con la ecuación 14.8 sumando a
la longitud de apoyo, 273,67 mm, la longitud de 30·cos 6,71º mm correspondiente a uno
de sus extremos (273,67+30·cos 6,71º = 303 mm).
La dirección de esta tensión forma un ángulo con la dirección de la fibra del par de 286,71 = 21,29º, y con la dirección de la fibra del pendolón, un ángulo de 90-6,71 = 83,29º
(situación más desfavorable). La resistencia de cálculo viene dada por la ecuación 14.26,
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
f c,Į,d
12,31
12,31
˜ sen 2 83,29º cos 2 83,29º
1 ˜ 1,48
105
1,498 N/mm 2
Y la comprobación del agotamiento,
ı c,Į,d
f c,Į,d
1,49
1,498
0,99 1
Si se hubiera utilizado la ecuación 14.31 de la antigua norma DIN 1052 (o DIN EN
1995-1-1/NA:2013) para la resistencia oblicua, el resultado es prácticamente el mismo.
Este tipo de encuentro ofrece una sensación de una posible falta de estabilidad por
deslizamiento entre las piezas. A este respecto pueden hacerse las siguientes reflexiones.
La relación entre las componentes FT y FN es 0,30, lo que quiere decir que si el
coeficiente de rozamiento entre ambas superficies es mayor o igual a 0,30, no existiría
deslizamiento del par sobre la superficie del pendolón. Para madera con un contenido de
humedad menor o igual al 12% y en la dirección perpendicular se puede asignar un valor
de cálculo del coeficiente de rozamiento de 0,30 (véase apartado 2.16 del tomo I). En
este caso, el rozamiento se produce entre una superficie de testa (par) y otra superficie
prácticamente paralela a la fibra (pendolón), que no es exactamente el caso de
rozamiento en dirección perpendicular.
En cualquier caso, la estabilidad queda garantizada por el hecho de que los pares se
encuentran trabados en sus extremos inferiores en el ensamble con el tirante y con las
cargas gravitatorias se hace imposible su deslizamiento y desarmado. Por otro lado, y
ante cargas de succión del viento, el herraje que se dispone en el nudo permite la
resistencia de esos esfuerzos.
EJEMPLO 14.5
Una cubierta de un edificio industrial construido hacia 1900 tiene una armadura de
par e hilera con una luz de 7,45 m y una inclinación de 31,1º, figura 14.49. Los
pares tienen una sección de 130x165 mm, y están separados entre ejes a 635 mm.
Descansan en la parte superior en una hilera de 130x200 mm, y su parte inferior
quedan embarbillados a un estribo que se atiranta con piezas de 160x200 mm
separadas entre ejes a 1020 mm.
Estructuras de madera. Uniones
106
Figura 14.49. Armadura de par e hilera.
Resistencias de cálculo:
En las comprobaciones que se recogen en adelante para este ejemplo se utilizarán las
resistencias de cálculo para una clase resistente C22 en clase de servicio 2 y para una
duración de la carga media.
fc,90,d y fv,d son las resistencias de cálculo a compresión perpendicular a la fibra y
cortante, respectivamente. El factor de modificación es kmod = 0,8 (tabla 4.7, tomo I), por
tratarse de una duración media y una clase de servicio 2, y el coeficiente parcial del
material JM = 1,3 (tabla 4.6, tomo I), para madera maciza. Las resistencias características
de la clase C22 pueden encontrarse en la tabla 3.4a del tomo I.
f c ,90 ,d
0 ,8
2 ,4
1,3
1,48 N / mm 2 ; f v ,d
0 ,8
3 ,8
1,3
2 ,34 N / mm 2 ;
Ejemplo 14.5a: Apoyo de los pares.
Los pares apoyan mediante un embarbillado sobre el estribo de dimensiones
150x120 mm. Éste queda trabado a los tirantes mediante un cajeado con una
profundidad de 20 mm. Finalmente, los tirantes apoyan sobre dos durmientes
colocados en la coronación del muro, fijados a los nudillos, figura 14.50.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
107
Figura 14.50. Encuentro entre pares, estribo y tirantes del ejemplo 14.5.
La resultante del axil, Nd = 9,56 kN, y el cortante, Vd = 3,34 kN, del par, puede
descomponerse en las fuerzas FH y FV, como fuerzas de compresión perpendiculares a
las superficies de apoyo sobre el estribo, despreciando el efecto del rozamiento. Estas
dos fuerzas se aplican en la cara superior y la cara lateral del estribo y dan lugar a una
distribución de tensiones de compresión perpendicular a la fibra del estribo. En la figura
14.50 ambas componentes se han situado en la arista del estribo, lo que no tiene que ser
del todo exacto. En realidad las resultantes de la distribución de tensiones de compresión
estarán cercanas a la arista del estribo. Si por el contrario, estuvieran más alejadas (por
ejemplo centradas en la superficie de contacto entre par y estribo) se producirían
tensiones de tracción perpendicular a la fibra del par, con facilidad para la aparición de
fisuras por hienda de los pares; sin embargo, no es un fallo que se de en este tipo de
encuentros de barbilla.
FH = 6,46 kN
FV = 9,56·sen 31,1º + 3,34·cos 31,1º = 7,80 kN
La dimensión vertical de la barbilla es de 40 mm, lo que implica una relación entre la
profundidad de la barbilla (medida en la dirección transversal) y el canto del par, h, de
algo menos de h/5.
En la figura se representa como la resultante de FH y FV se equilibra con las reacciones
RH y RV originadas en el encuentro entre estribo y tirante. Éstas últimas son las
Estructuras de madera. Uniones
108
reacciones en la base del par para cada forma de armadura.
A continuación se han estimado las tensiones de compresión sobre cada cara del estribo,
suponiendo una distribución triangular,
V cH ,90 ,d
V cV ,90 ,d
2 ˜ 6460
1,7 N/mm 2
( 130 2 ˜ 30 ) ˜ 40
2 ˜ 7800
0 ,55 N/mm 2
( 130 2 ˜ 30 ) ˜ 150
Puede observarse que se ha tomado como longitud eficaz de apoyo en el estribo, la
anchura del par, 130 mm, más dos tramos de 30 mm a cada lado. La tensión más
desfavorable es la provocada por la componente horizontal, 1,7 N/mm2. La condición a
cumplir viene dada por la ecuación 13.2, considerando un factor kc,90 = 1,5,
V c ,90 ,d
k c ,90 ˜ f c ,90 ,d
1,7
1,5 ˜ 1,48
0 ,77 1
Además de esta comprobación de tensión de compresión sobre el estribo provocada por
el empuje del par, también hay que comprobar la tensión de compresión perpendicular a
la fibra sobre el estribo, que se origina en su anclaje con el tirante mediante la caja de 20
mm de profundidad.
Existe un tirante por cada 1,6 pares (relación 1020/635 = 1,6). Si se toma a favor de la
seguridad, y por razones de distribución, 2 pares por cada tirante, la fuerza horizontal en
cada encuentro entre estribo y tirante sería el doble de la fuerza RH = 6,46 kN. La tensión
de compresión perpendicular a la fibra en el estribo admitiendo una distribución
uniforme es,
V c ,90 ,d
2 ˜ 6460
( 160 2 ˜ 30 ) ˜ 20
2 ,94 N/mm 2
Y el índice de agotamiento,
V c ,90 ,d
k c ,90 ˜ f c ,90 ,d
2 ,94
1,5 ˜ 1,48
1,32 ! 1 (no válido)
Puede observarse que el índice no es válido. En cualquier caso debe tenerse en cuenta
que existe un clavo de sección grande que atraviesa el estribo y lo conecta con el tirante.
También debe observarse que la profundidad de la caja presentaba una profundidad muy
variable de una pieza a otra.
Finalmente, se puede hacer una comprobación de la tensión tangencial en el cogote del
tirante. El esfuerzo a transmitir será, al igual que en el caso anterior, el doble de la
componente RH. La superficie de reparto tiene una anchura igual al ancho del tirante, 160
mm, y una longitud que supera la relación de 8 veces la profundidad del rebaje (8·20 =
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
109
160 mm), para poder admitir una distribución uniforme de la tensión tangencial. Por este
motivo, se toman 160 mm como longitud a efectos de cálculo.
Wd
2 ˜ 6460
160 ˜ 160
0 ,5 N/mm 2
De donde se obtiene el siguiente índice de agotamiento,
IJd
f v,d
0 ,50
2 ,34
0 ,22 1
Ejemplo 14.5b. Encuentro entre par e hilera
El encuentro entre los pares en la cumbrera se realiza a través de la pieza
denominada hilera a la que van simplemente clavados, figura 14.51. La hilera
queda por tanto, sometida simplemente a una compresión perpendicular a la fibra
que como se verá en este ejemplo, resulta poco relevante.
Figura 14.51. Encuentro entre par e hilera del ejemplo 14.5.
La fuerza que llega del par a la hilera, formada por el axil Nd = 5,52 kN y el cortante Vd
= 3,34 kN, puede descomponerse en dos fuerzas FH y FV, de dirección horizontal y
vertical, respectivamente. Como es lógico, la componente vertical es nula, ya es obligado
por la simetría con el otro faldón.
FH = 5,52·cos 31,1º + 3,34·sen 31,1º = 6,452 kN
FV = 5,52·sen 31,1º - 3,34· cos 31,1º = 0 kN
La tensión de compresión perpendicular es,
Estructuras de madera. Uniones
110
V c ,90 ,d
Y el índice de agotamiento,
2 ˜ 6452
( 130 2 ˜ 30 ) ˜ 165 / cos 31,1
V c ,90 ,d
k c ,90 ˜ f c ,90 ,d
0 ,18
1,5 ˜ 1,48
0 ,18 N/mm 2
0 ,12 1
14.7 ENSAMBLE EN COLA DE MILANO
14.7.1 Cola de milano
El ensamble en cola de milano debe su nombre al parecido con la forma acuñada de la
cola de esta ave. Es un ensamble capaz de transmitir esfuerzos de tracción y, como es
lógico, también puede transmitir compresión. Su capacidad portante es muy reducida.
Normalmente esta unión se realiza sobre la mitad del espesor de la pieza,
denominándose en este caso a media madera. Puede ser recto u oblicuo, figura 14.52.
Figura 14.52. Ensambles de cola de milano a media madera.
Un tipo de ensamble con cola de milano, utilizado en armaduras de cubierta, es el
denominado de cola de milano pasante. En este caso la cola de milano es oblicua y no es
a media madera sino que queda entallado por ambas caras. La mortaja es más amplia que
la espiga para permitir su entrada, impidiendo su salida mediante una espiga de madera
más dura, figura 14.53.
Figura 14.53. Ensamble de cola de
milano pasante.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
111
La capacidad portante de esta unión trabajando a tracción no suele quedar recogida por las
normas de cálculo. Existe un Documento Técnico Unificado Francés (CB.71 1984) en el
que se especifica una comprobación basada en las tres condiciones siguientes:
a)
La tensión de cortante, IJd, en los planos gjg'j' y hih'i' es inferior a la resistencia
de cálculo a cortante fv,d, figuras 14.54 y 14.55a.
IJd =
b)
Nd
d f v,d
2˜b˜e
(14.88)
La tensión de tracción paralela a la fibra, ıt,0,d, en la pieza sometida al axil de
tracción Nd, en la sección debilitada ghij debe resultar inferior a la resistencia de
cálculo a tracción paralela a la fibra, ft,0,d, figuras 14.54 y 14.55b.
ı t,0,d =
N
S (ghij)
d f t,0,d
(14.89)
En esta comprobación del DTU citado, no se ha tenido en cuenta que en la
sección reducida ghij, existe una excentricidad del esfuerzo axil Nd, que
provocará una flexión a añadir a la tracción.
c)
En la figura 14.55c se representa un posible modo de rotura que se genera por
efecto de tensiones de tracción perpendicular a la fibra en la pieza pasante. Esta
tensión de tracción perpendicular a la fibra, ıt,90,d, se supone repartida sobre una
superficie igual a e2, (2·0,5·e·e), siendo e el grueso de la cola de milano, y no
debe superar la resistencia de cálculo a tracción perpendicular a la fibra, ft,90,d.
ı t,,90,d =
Nd
d f t,90,d
e2
(14.90)
El trazado habitual de la cola de milano a media madera presenta un grueso de la cola
igual a la mitad del grueso de la pieza a cajear y la reducción de la sección, distancias ag
y bh de la figura 14.54, son iguales a 1/5 de la anchura de la pieza, dimensión ab.
Figura 14.54. Ensamble en
cola de milano.
Estructuras de madera. Uniones
112
Figura 14.55. Modos de rotura del ensamble de cola de milano.
14.7.2 Cola de milano redondeada
14.7.2.1 Introducción
La cola de milano redondeada es un tipo de ensamble derivado de la cola de milano,
específicamente diseñada para su fabricación mediante control numérico. Es capaz de
transmitir las cargas verticales (o reacciones) en los apoyos de una correa o vigueta en
una viga principal. También tiene cierta capacidad de transmitir esfuerzos axiles y de
flexión, aunque a efectos de cálculo no se tiene en cuenta.
En la figura 14.56 se representa su aplicación más frecuente como apoyo de una correa
sobre una viga. Es una solución que en principio no requiere elementos metálicos (luego
se verá que es recomendable y a veces necesario). Da lugar a una solución muy limpia
visualmente y económica. Tiene una eficacia muy superior a la solución simple de una
caja recta en la viga. El principal inconveniente que presenta es que exige una precisión
muy elevada en el montaje, ya que la distancia entre los apoyos tiene muy poca
tolerancia. Esto puede hacer que el montador de la estructura prefiera otros sistemas de
unión, al considerar las dificultades de montaje. Otro de los inconvenientes es que la
viga principal ve reducida su sección por las cajas que se realizan por una o las dos
caras.
Figura 14.56. Cola de milano
redondeada.
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
113
14.7.2.2 Parámetros de diseño
Las recomendaciones para su trazado y fabricación son las siguientes (Werner 2002),
figura 14.57:
-
-
Longitud de la espiga o cola: t ” 25 o 30 mm
Profundidad de la caja: p ” t + 3 mm
Altura de la cola: h1 ” h/2 (h es la altura de la sección de la correa). A efectos
de capacidad mecánica se recomienda una altura h1 = 2·h/3 (Tannert 2008).
El ángulo formado por las caras de la cola: ȕ = 10 a 15 º (Tannert 2008).
Anchura mínima de la viga principal: bv • t + 50 mm para apoyo a un lado; b •
t + 100 mm para apoyo a ambos lados.
Holgura de mecanizado: ” 0,2 mm
Utilización de madera seca durante la fabricación y reducir al mínimo las
variaciones de contenido de humedad desde su fabricación hasta la puesta en
obra. El contenido de humedad de fabricación debería ser lo más parecido al de
servicio. La velocidad de mecanizado debe ser lenta para conseguir una
precisión mayor.
La distancia entre ejes de cajas de apoyo en la viga principal no será menor que
600 mm y la distancia de la primera caja al extremo de la pieza (testa) no será
menor que 500 mm.
Figura 14.57. Dimensiones de la cola de milano redondeada.
Estructuras de madera. Uniones
114
14.7.2.3 Capacidad de carga
Los primeros estudios sobre el comportamiento estructural de este tipo de uniones son de
finales del siglo pasado, según cita Tannert (2008). Kreuzinger y Spengler (1999)
realizaron ensayos en una serie de probetas de este tipo de unión, y Barthel et al. (1999)
efectuaron un análisis por elementos finitos de los ensayos anteriores. Posteriormente,
aparecen trabajos en los que se proponen métodos de comprobación y se profundiza en
su comportamiento mecánico (Werner 2002, Tannert 2008, Soilán et al. 2008).
Existen dos modos principales de fallo de esta unión. El primero afecta a la viga
principal y es originado por un fallo a tracción perpendicular a la fibra en la parte baja de
la caja, figura 14.57. El segundo afecta a la vigueta y consiste en el fallo por cortante
combinado con tensión de tracción perpendicular en la entalladura inferior de la cola.
La capacidad de carga de estas uniones no está recogida en las normas de cálculo, pero
existe una propuesta de expresiones de comprobación que se han obtenido con la ayuda
de la experimentación y análisis por el método de los elementos finitos (Werner 2002,
Tannert 2008). Son las siguientes:
a)
Capacidad de carga de la vigueta o correa:
2
˜ Aef ˜ k s ˜ f v,d
3
Fcorrea,d
(14.91)
donde,
Aef
área eficaz de la espiga, definida por la expresión siguiente,
Aef
ª
b1 ·º §
b1 · ʌ ˜ b12
ȕ §
«b1 tg ˜ ¨ h1 ¸» ˜ ¨ h1 ¸ 2 ©
2 ¹¼ ©
2¹
8
¬
(14.92)
b1, h1, ȕ según figura 14.53.
ks
factor de tamaño definido por la siguiente expresión (Tannert 2008),
ks
§ 3600 mm 2
¨
¨
Aef
©
·
¸
¸
¹
0,2
(14.93)
El valor máximo de ks es la unidad.
b) Capacidad de carga de la viga principal:
Fviga,d
b ·
§
0,09 ˜ ¨ hv h1 1 ¸
2¹
©
(14.94)
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
115
donde hv, h1 y b1 están en mm y Fviga,d está en kN.
c)
Limitación de la deformación:
Se aconseja no superar un deslizamiento entre ambas piezas de más de 1,5 mm. Para
su cálculo se define un coeficiente de muelle definido por la siguiente expresión:
C
­° Fviga,adm
0,7 ˜ min ®
°̄ Fcorrea, adm
(14.95)
Donde Fviga, adm y Fcorrea, adm son los valores admisibles de las capacidades de carga
de la viga y la correa, respectivamente, expresadas en kN (el valor admisible de la
carga es aproximadamente 1,4 veces menor que el valor de cálculo; Fadm § Fd/1,4);
y C es el coeficiente de muelle expresado en kN/mm.
Para el cálculo de estas uniones podría pensarse en la aplicación del criterio de cálculo
de la capacidad de carga de apoyos de vigas con los extremos entallados, utilizando el
factor kv que se define en el DB-SE-Madera y en la norma UNE-EN 1995-1-1. Este
factor se utiliza para penalizar la capacidad de cortante de estas vigas como
consecuencia de una entalladura en el borde inferior. Sin embargo, se ha demostrado que
este factor no es aplicable al caso de entalladuras de muy corta longitud como es el caso
de las uniones con cola de milano redondeada.
No debe olvidarse en la comprobación de las vigas principales que su capacidad portante
queda reducida como consecuencia de la pérdida de sección debida a los cajeados.
Finalmente, se ha comprobado el efecto beneficioso en el comportamiento de estas
uniones del añadido de tirafondos de tipo “todo rosca” (fuste roscado por completo)
como elementos de refuerzo. Estos elementos se disponen preferiblemente conectando
viga con correa de manera que la parte inferior de la correa queda cosida y por tanto
reforzada frente a tensiones de tracción perpendicular a la fibra. No obstante, no se ha
cuantificado todavía su efecto de manera concreta (Tannert 2008).
En situación de incendio es necesario comprobar si el tiempo requerido es alcanzado por
la propia unión, o es necesario añadir algún tirafondo para cuando falle o desaparezca la
caja. Por lo general, es difícil que una unión de este tipo supere los 20 minutos de
resistencia al fuego, sin el refuerzo con tirafondos (Regueira 2013).
EJEMPLO 14.6
Las correas de madera laminada encolada de una cubierta plana son de clase
resistente GL24h, tienen una sección transversal de 100x200 mm y una luz de
cálculo de 4,3 m. La separación entre ejes de correas es de 1,3 m. Están sometidas a
una carga permanente de 0,7 kN/m2 (incluyendo el peso propio de las viguetas) y a
una carga de nieve de 0,8 kN/m2 de duración media. La altitud topográfica es
Estructuras de madera. Uniones
116
menor de 1000 msnm. El apoyo en las vigas principales, que tienen un canto de 450
mm, se ha proyectado con una unión de cola de milano redondeada con las
siguientes dimensiones, de acuerdo con la figura 14.57:
b1 = 45 mm;
b2 = 75 mm;
ȕ = 10,88º;
h1 = 180 mm.
Se desea comprobar la capacidad de carga del apoyo.
De acuerdo con el apartado 14.7.2.3,
a) Capacidad de carga de la correa, de ec. 14.91,
Fcorrea,d
2
˜ Aef ˜ k s ˜ f v,d
3
2
10250 ˜ 0 ,81 ˜ 0 ,67 ˜ 2 ,24
3
8307 N
Nota: la resistencia a cortante se ha disminuido por el coeficiente 0,67 de comprobación
del cortante en piezas sometidas a flexión.
Donde el área eficaz de la espiga, según la ecuación 14.92,
ª
10,88 §
45 ·º §
45 · ʌ ˜ 45 2
Aef «45 tg
˜ ¨ 180 ¸» ˜ ¨ 180 ¸ 2
2 ¹¼ ©
2 ¹
8
©
¬
10250 mm 2
El factor de tamaño, de ec. 14.93,
§ 3600 ·
¨
¸
© 10250 ¹
ks
0,2
0 ,81
Y la resistencia de cálculo a cortante,
f v ,d
k mod
f v ,k
JM
0 ,8
3,5
1,25
2 ,24 N/mm 2
b) Capacidad de carga de la viga principal (ec. 14.94)
Fviga,d
45 ·
§
0,09 ˜ ¨ 450 180 ¸
2 ¹
©
26 ,325 kN
c) Capacidad de carga como consecuencia de la limitación de la deformación (ec. 14.95)
Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo
C
117
­° Fviga,adm | 26 ,325 / 1,4 18 ,803 kN
0,7 ˜ min ®
°̄ Fcorrea, adm | 8 ,307 / 1,4 5 ,934 kN
De donde el coeficiente de muelle es C = 0,7·5,934 = 4,154 kN/mm. Y tomando como
valor máximo admisible para el deslizamiento de la unión 1,5 mm, el valor de la carga
correspondiente es Fdes = 1,5·4,154 = 6,231 kN.
Finalmente, la capacidad de carga viene dada por el menor valor de los tres obtenidos,
Fcorrea,d = 8,307 kN
Fviga,d = 26,325 kN
Fdes = 1,5·4,154 = 6,231 kN.
Por tanto, la capacidad de carga se limita por el deslizamiento límite de la unión, Fdes =
6,231 kN. Este valor deberá ser mayor o igual al valor de cálculo de la reacción en el
apoyo.
Vapoyo ,d
1,35
0 ,7 ˜ 1,3 ˜ 4 ,3
0 ,8 ˜ 1,3 ˜ 4 ,3
1,5
2
2
5 ,995 kN
El índice de agotamiento en la unión de la cola de milano redondeada es 5,995/6,231 =
0,96 (válido). Esta correa presenta un índice de agotamiento el flexión de 0,57, un índice
de agotamiento en cortante de 0,30 y una flecha en la combinación característica de 9,2
mm y en la combinación casi permanente de 8,4 mm.
Nota: debe hacerse la siguiente observación respecto al cálculo realizado. Se ha
analizado el caso de una correa con una disposición vertical, sin ángulo de rotación de
la sección, como ocurre con frecuencia en las cubiertas. En el caso de existir una
pendiente, la correa estaría sometida a dos componentes de las fuerzas gravitatorias;
una de ellas en dirección perpendicular al eje fuerte de la sección y la otra en dirección
perpendicular al eje débil de la sección. El procedimiento expuesto en el apartado
14.7.2.3 permite obtener la capacidad de carga para fuerzas perpendiculares al eje
fuerte de la sección, pero su aplicación al caso de dos componentes no queda definida.
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