Ejercicios sobre sucesiones y progresiones

2
SUCESIONES
Página 50
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
¿Cuántas parejas de conejos?
¿Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a
su vez desde el segundo mes?
Razonando del modo que se propone, llegamos a que el número de parejas, mes a mes, es:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
Así, el número total de parejas al final del año es de 144 (la que había al principio y otras
143 nuevas).
La sucesión de Fibonacci y el número Φ
Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:
1
1
2
3
5
1
1
2
1
3
2
5
3
1
2
1,5
1,66
8
8
5
13
13
8
21
21
13
1,6 1,625 1,619
Comprueba, calculando nuevos cocientes, que el número al que se aproximan es
el número áureo.
55
89
144
= 1,61764…;
= 1,61818…;
= 1,61797…
34
55
89
Se aproximan al número áureo φ =
1 + √5
= 1,61803…
2
Página 51
Una representación gráfica
¿Cuál es el lado del 8-º? ¿Y del 9-º?
Observa también los rectángulos
que se forman sucesivamente:
2:1
3:2
5:3
Compruébalo para los cuatro siguientes rectángulos:
13 : 8, 21 : 13, 34 : 21, 55 : 34
8:5
Unidad 2. Sucesiones
1
El lado del 8º cuadrado es 21 y el lado del 9º cuadrado es 34.
13
21
34
55
= 1,625;
= 1,615;
= 1,619…;
= 1,617…
8
13
21
34
Se aproximan al número áureo φ =
1 + √5
= 1,61803…
2
Página 52
1. Di el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y añade dos términos a cada una:
a) 3, 8, 13, 18, 23, …
b) 1, 8, 27, 64, 125, …
c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, …
d) 8; 4; 2; 1; 0,5; …
e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, …
f) 8, 3, 5, –2, 7, –9, …
g) 1, –2, 3, – 4, 5, – 6, …
h) 20, 13, 6, –1, – 8, …
a) Cada término, a partir del segundo, se obtiene sumándole 5 al anterior: a6 = 28, a7 = 33.
b) Cada término es el cubo del lugar que ocupa: b6 = 216, b7 = 343.
c) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por 10 el anterior:
c6 = 100 000, c7 = 1 000 000.
1
d) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por
(dividiendo entre 2)
2
el anterior: d6 = 0,25, d7 = 0,125.
e) Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores: e7 = 29,
e8 = 47.
f) Cada término, a partir del tercero, se obtiene restando los dos anteriores: f7 = 16,
f8 = –25.
g) Cada término es el número del lugar que ocupa, con signo positivo si es impar, y negativo si es par: g7 = 7, g8 = –8.
h) Cada término, a partir del segundo, se obtiene restándole 7 al anterior: h6 = –15,
h7 = –22.
Página 53
2. Forma una sucesión recurrente, an, con estos datos:
a1 = 2, a2 = 3, an = an–2 + an–1.
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
3. Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen como término general:
( )
1
2
n–1
an = 3 + 5 (n – 1)
bn = 3 ·
dn = (n – 1)(n – 2)
en = n2 + (–1)n n2
Unidad 2. Sucesiones
cn = (–1)n 2n
2
3
3
3
, b3 = , b4 =
2
4
8
a1 = 3, a2 = 8, a3 = 13, a4 = 18
b1 = 3, b2 =
c1 = –2, c2 = 4, c3 = –8, c4 = 16
d1 = 0, d2 = 0, d3 = 2, d4 = 6
e1 = 0, e2 = 8, e3 = 0, e4 = 32
4. Construye una sucesión cuya ley de recurrencia sea an = an – 1 + n.
Si tomamos, por ejemplo, a1 = 1, entonces quedaría: a2 = 1 + 2 = 3, a3 = 3 + 3 = 6,
a4 = 6 + 4 = 10, a5 = 10 + 5 = 15, a6 = 15 + 6 = 21, a7 = 21 + 7 = 28, …
5. Da el término general de las sucesiones siguientes que no sean recurrentes:
a) 3, 8, 13, 18, 23, …
b) 1, 8, 27, 64, 125, …
c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, …
d) 8, 4, 2, 1, …
e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, …
f ) 8, 3, 5, –2, 7, –9, …
g) 1, –2, 3, – 4, 5, – 6, …
h) 20, 13, 6, –1, –8, …
a) an = 3 + (n – 1) · 5
b) bn = n 3
c) cn = 10 n – 1
d) dn = 8 ·
e) Es recurrente
f) Es recurrente
g) gn = (–1) n – 1 · n
h) hn = 20 – 7 · (n – 1)
( )
1
2
n–1
Página 54
1. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas? En cada
una de ellas di su diferencia y añade dos términos más:
a) 3, 7, 11, 15, 19, …
b) 3, 4, 6, 9, 13, 18, …
c) 3, 6, 12, 24, 48, 96, …
d) 10, 7, 4, 1, –2, …
e) 17,4; 15,8; 14,2; 12,6; 11; …
f ) –18; –3,1; 11,8; 26,7; 41,6; …
a) Es una progresión aritmética con d = 4; a6 = 23, a7 = 27.
b) No es una progresión aritmética.
c) No es una progresión aritmética.
d) Es una progresión aritmética con d = –3; d6 = –5, d7 = –8.
e) Es una progresión aritmética con d = 1,6; e6 = 9,4; e7 = 7,8.
f) Es una progresión aritmética con d = 14,9; f6 = 56,5; f7 = 71,4.
Unidad 2. Sucesiones
3
2. En la sucesión 1a), halla el término a20 y la suma de los 20 primeros términos.
a20 = a1 + 19 · d = 3 + 19 · 4 = 3 + 76 = 79
S20 =
(a1 + a20) · 20 (3 + 79) · 20
=
= 820
2
2
3. En la sucesión 1d), halla el término d40 y la suma de los 40 primeros términos.
d40 = d1 + 39 · (–3) = 10 – 117 = –107
S40 =
(d1 + d40) · 40
(10 – 107) · 40
=
= –1 940
2
2
4. En la sucesión 1e), halla el término e100 y la suma de los 100 primeros términos.
e100 = e1 + 99 · (–1,6) = 17,4 – 158,4 = –141
S100 =
(e1 + e100 ) · 100 (17,4 – 141) · 100
=
= –6 180
2
2
5. En la sucesión 1f ), halla los términos f8 , f17 y la suma f8 + f9 + … + f16 + f17.
f8 = f1 + 7 · 14,9 = –18 + 104,3 = 86,3
f17 = f1 + 16 · 14,9 = –18 + 238,4 = 220,4
En la suma pedida hay 10 sumandos.
S=
(f1 + f17) · 10 (86,3 + 220,4) · 10
=
= 1 533,5
2
2
Página 55
6. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas? En cada
una de ellas di su razón y añade dos términos más:
a) 1, 3, 9, 27, 81, …
b) 100; 50; 25; 12,5; …
c) 12, 12, 12, 12, 12, …
d) 5, –5, 5, –5, 5, –5, …
e) 90, –30, 10, –10/3, 10/9, …
a) Es una progresión geométrica con r = 3; a6 = 243, a7 = 729.
b) Es una progresión geométrica con r =
1
; b5 = 6,25, b6 = 3,125.
2
c) Es una progresión geométrica con r = 1; c6 = 12, c7 = 12.
d) Es una progresión geométrica con r = –1; d7 = 5, d8 = –5.
e) Es una progresión geométrica con r = –
Unidad 2. Sucesiones
1
10
10
; e6 = –
, e7 =
.
3
27
81
4
7. Calcula la suma de los 10 primeros términos de cada una de las progresiones
geométricas del ejercicio anterior.
a) a10 = a1 · r 9 = 1 · 3 9 = 19 683
S10 =
a10 · r – a1
19 683 · 3 – 1
=
= 29 524
r–1
3–1
b) b10 = b1 · r 9 = 100 ·
S10
c) c10
( )
1
2
9
=
100
25
=
512
128
25 1
— —
b10 · r – b1 128 · 2 – 100
=
=
Q 199,805
r–1
1
—–1
2
= 12; S10 = 12 · 10 = 120
d) d10 = –5
S10 = 0
( )
e) e10 = e1 · r 9 = 90 · –
S10
1
3
9
=
–90
–10
=
19 683
2 187
10
— – 90
e10 · r – e1
6 561
=
=
Q 67,499
1
r–1
–—–1
3
8. ¿En cuáles de las progresiones geométricas del ejercicio anterior puedes calcular la suma de sus infinitos términos? Hállala.
Podemos calcular la suma de sus infinitos términos en las progresiones geométricas
con |r| < 1:
b) S∞ =
b1
=
1–r
e) S∞ =
e1
=
1–r
100 = 100 = 200
1
1
1–—
—
2
2
90
( )
1
1 – –—
3
= 90 = 67,5
4
—
3
Página 56
9. Calcula: 12 + 22 + … + 302
30 · (30 + 1) · (60 + 1)
30 · 31 · 61
=
= 9 455
6
6
Unidad 2. Sucesiones
5
10. Calcula: 502 + 512 + … + 602
(1 2 + … + 60 2) – (1 2 + … + 49 2) =
60 · 61 · 121 49 · 50 · 99
–
=
6
6
= 73 810 – 40 425 = 33 385
11. Calcula: 13 + 23 + 33 + … + 153
15 2 · 16 2 = 14 400
4
12. Calcula: 23 + 43 + 63 + … + 203
2 3 + 4 3 + 6 3 + … + 20 3 = (2 · 1) 3 + (2 · 2) 3 + (2 · 3) 3 + … + (2 · 10) 3 =
= 2 3 · 1 3 + 2 3 · 2 3 + 2 3 · 3 3 + … + 2 3 · 10 3 =
= 2 3 (1 3 + 2 3 + 3 3 + … + 10 3) =
=8·
10 2 · 11 2
= 8 · 3 025 = 24 200
4
Página 57
1. Representa la sucesión an =
4n + 10
y asígnale un valor a su límite.
2n – 1
14
a1 = 14, a2 = 6, a3 = 4,4; a4 Q 3,71;
12
a5 Q 3,33, …, a10 Q 2,63, …;
10
a100 Q 2,06; …; a1 000 Q 2,006, …
8
6
lím an = 2
4
2
5
10
2. Representa la sucesión bn =
15
n2
– 2n + 3 y asigna un valor a su límite.
4
b1 = 1,25; b2 = 0; b3 = –0,75; b4 = –1; b5 = –0,75;
8
b6 = 0; b7 = 1,25; b8 = 3; b9 = 5,25; b10 = 8, …,
6
b100 = 2 303, …
4
2
lím bn = +∞
5
10
–2
Unidad 2. Sucesiones
6