VAR-Bayesiano para proyecciones en MATLAB

Motivación e Introducción
VAR Bayesiano
Implementación
Resultados
Referencias
VAR-Bayesiano para proyecciones en MATLAB
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Motivación e Introducción
VAR Bayesiano
Implementación
Resultados
Referencias
1
Motivación e Introducción
2
VAR Bayesiano
Especificación de Priors
3
Implementación
4
Resultados
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Resultados
Referencias
Motivación
Los bancos centrales (BC) buscan anticiparse a eventos que afecten el
desempeño de la economı́a ⇒ desarrollan modelos para predicciones.
Asimismo, los BC fomentan la estabilidad económica ⇒ es preferible que
el público entienda la postura del BC.
Dificultad: los modelos desarrollados por los BC son dificiles de replicar.
Es por ello que en este webinar se presentara u modelo estadı́sticos
de vectores autoregresivos de fácil implementación, cuya capacidad de
pronóstico se mejora con técnicas bayesianas (BVAR).
Resultará evidente que Matlab es una herramienta versátil en la
implementación y evaluación de modelos BVAR. Además de ser
sumamente útil para reportar resultados, debido a la facilidad con la
que Matlab interactúa con plataformas para edición de texto.
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Resultados
Referencias
Introducción
Seguiremos a Llosa et al. (2006), que utilizan BVARs con priors del tipo
Minesota propuesto por Litterman (1986) y se evalúan las predicciones
siguiendo a Doan et al. (1983) y Robertson & Tallman (1999).
Los resultados muestran que el uso de modelos BVAR para proyectar la
inflación pueden ser mejores en términos del ECM respecto a modelos
puramente estadı́sticos.
La implementación de esta técnica resulta muy sencilla en Matlab.
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Especificación de Priors
VAR Bayesiano
Las variables a utilizar son:
Notación
yt
pt
mt
it
qt
i∗t
pcm
t
Descripción
PBI a precios de 1994 desestacionalizado
Índice de precios al consumidor en la cuidad de Lima
Base monetaria desestacionalizada
Tasa interbancaria promedio mensual
Tipo de cambio real efectivo
Tasa de interés FED mensual
Índice de precios de metales publicado por el FMI
Todas estas variables excepto las tasas de interés están expresadas en
logaritmos y luego multiplicadas por 100.
La función uploadDB.m carga los datos desde excel a Matlab.
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Especificación de Priors
Especificación
′
El VAR es Yt = [yt pt mt it qt i∗t pcm
t ] , y se especifica con seis rezagos
Yt =
6
X
Ai Yt−i + Ut
(1)
i=1
De Kadiyala & Karlsson (1997), el VAR [1] se puede escribir como
Y = Zγ + U
(2)
Donde γ contiene a todos los parámetros del modelo, éste es estimable
vı́a mı́nimos cuadrados ordinarios (MCO):
−1
−1
γ
b = (Z ′ Z) Z ′ Y con V (b
γ ) = Y ′ I − Z(Z ′ Z) Z ′ Y
(3)
Todas estas operaciones son transformaciones sobre matrices y Matlab
es sumamente versátil con este tipo de operaciones.
Con la función varsetup.m se obteniene la expresión [2] desde [1].
Con la función olsvar.m estimamos [2] via MCO (obtenemos [3])
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Especificación de Priors
Especificación de Priors
Número de parámetros del VAR: k2 p (muy elevado)
Doan et al. (1983) propusieron usar un pequeño conjunto de hiperparámetros para caracterizar la distribución prior adecuadamente.
⊲ Media prior de γ:
(
1 para parámetros de primer rezago propio
γ
e = E(γ) =
0 en cualquier otro caso
⊲ Varianza prior de γ:
(
θ
wii para parámetros de rezago propio
Veγ = V (γ) = hθλ
wij para parámetros de rezagos en variable j 6= i
λ
h
- Hiperparámetro θ : parámetro de precisión total
- Hiperparámetro λ : parámetro de decaimiento
- Hiperparámetro wij : parámetro de ponderación
En matlab con la función priorsetup.m obtenemos γ
e y Veγ .
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Especificación de Priors
Especificación de Priors
El último hiperparámetro (wij ) se especifı́ca según

σ
b2


1
W12 ( σb12 )
w11 w12 ... w1k
2

2
σ
b2
w21 w22 ... w2k  
W
)
1
21 ( σ

2
b1


 .
..
..  = 
..

..
..
 ..
.
.
.  
.
.

2
wk1 wk2 ... wkk
σ
b2
σ
bk
Wk1 ( σb 2 ) Wk2 ( σbk2 )
1
...
σ
b2
W1k ( σb12 )
.
W2k (
..
.
...
1
...
..
2
k
2
σ
b1
2
σ
bk


)





Ası́, la información prior se puede escribir bajo normalidad como
γ
ei = γi + ̟i
siendo ̟ = [̟1 ̟1 ... ̟k ] iid con media cero y varianza Veγ
′
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Especificación de Priors
Especificación de Priors
Siguiendo a Theil & Goldberger (1992), combinamos la restriccion
anterior con el modelo VAR
U
Z
Y
γ+
=
̟
I
γ
e
La estimación MCO es
−1 h
i
(Ψ−1 ⊗ Z ′ )Y + Veγ−1 γ
e
γ
bT G = V (b
γ )−1 + Veγ−1
En Matlab, con la función tgvar.m obtenemos γ
bT G .
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Especificación de Priors
Especificación de Priors
Exogeneidad priori del bloque externo: Se asume que el prior de
paseo aleatorio es más importante para las variables externas. Con ello
se tiene que


si i = j
1
Wij = 0,5
si i 6= j y i → variable doméstica


0,01 si i > j y i → variable externa
En ancla nominal: ¿Tenemos mas información sobre el PGD además
de la información proporcionada por los datos?.
Se propone determinar θ y λ tal que se minimice
d = (b
πss − 2)2 ,
donde π
bss y biss , son predicciones de largo plazo.
Encontrar θ y λ tal que d se minimice no es posible analı́ticamente.
Sin embargo, Matlab tiene implementado un toolbox completo para
optimización numérica. En esta presentación utilizamos la función
Matlab fmincon.m, la cual incluimos dentro de bvarseek.m para éste
estudio.
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Se tienen dos programas maestros:
- seekhyper.m: Computa los hyperparámetros tal que la función de
pérdida se minimice.
- MasterFile.m: Estima y evalúa el BVAR seleccionado.
Estos dos archivos maestros dependen de algunas funciones auxiliares
que permiten la implementación de los BVAR. Se han separado en tres
grupos.
- funs/GNR: Se almacenan los programas que estiman y pronostican el
modelo VAR por MCO y por regresión Bayesiana.
- funs/ESP: Se almacenan los programas que realizan las transformaciones
especificas del ejercicio presentado.
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Determinación de priors
Optimization
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
theta (0 vs F)
lambda (0 vs F)
Objective Function
0.2
0.15
0.1
0.05
0
(d) BAYES 0
(d) BAYES F
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Resultados
Referencias
Predicciones
OLS Forecast for cpi
BVAR Forecast for cpi
490
490
489
489
488
488
487
487
486
486
485
485
484
484
Actual
Forecast h=1
Forecast h=3
Forecast h=6
483
2010.5
2011
2011.5
2012
Actual
Forecast h=1
Forecast h=3
Forecast h=6
483
2012.5
2010.5
2011
2011.5
2012
2012.5
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Referencias
Predicciones
OLS Forecast for int
BVAR Forecast for int
4.5
4.5
4
4
3.5
3.5
3
3
2.5
2.5
Actual
Forecast h=1
Forecast h=3
Forecast h=6
2
Actual
Forecast h=1
Forecast h=3
Forecast h=6
2
1.5
1.5
2010.5
2011
2011.5
2012
2012.5
2010.5
2011
2011.5
2012
2012.5
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Referencias
Resumen de errores cuadráticos medios
gdp
cpi
m0
rerMULTI
int
intUS
pxmetal
All
O h=1
6,96
2,13
21,66
9,43
2,07
0,68
41,49
84,41
B h=1
6,91
1,99
21,51
8,78
1,49
1,96
31,90
74,52
O h=3
6,33
4,50
33,28
18,07
4,79
1,43
82,55
150,95
B h=3
6,35
3,59
35,44
17,18
3,18
1,26
57,56
124,57
O h=6
8,01
3,80
36,24
21,01
6,21
2,81
107,24
185,31
B h=6
7,66
3,97
48,62
19,80
4,99
2,48
89,46
176,98
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Referencias
Doan, T., Litterman, R. B. & Sims, C. A. (1983), Forecasting and conditional
projection using realistic prior distributions, NBER Working Papers 1202,
National Bureau of Economic Research, Inc.
Kadiyala, K. R. & Karlsson, S. (1997), ‘Numerical methods for estimation
and inference in bayesian var-models’, Journal of Applied Econometrics
12(2), 99–132.
Litterman, R. B. (1986), ‘Forecasting with bayesian vector autoregressionsfive years of experience’, Journal of Business & Economic Statistics
4(1), 25–38.
Llosa, G., Tuesta, V. & Vega, M. (2006), ‘A bvar forecasting model for
peruvian inflation’, Money Affairs 0(2), 117–141.
Robertson, J. C. & Tallman, E. W. (1999), ‘Vector autoregressions:
forecasting and reality’, Economic Review (Q1), 4–18.
Theil, H. & Goldberger, A. (1992), ‘On pure and mixed statistical estimation
in economics’, 23, 317–332.
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