Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades

CAPÍTULO 5
Ecuaciones , sistemas
de ecuaciones y desigualdades
5. ECUACIONES, SISTEMAS
DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Objetivos
k
Al terminar este capítulo, el lector podrá:
✓ Identificar, construir y resolver ecuaciones de
primer y segundo grados.
✓ Conocer diferentes métodos para la solución de
ecuaciones de primer y segundo grados.
Estructura del capítulo
k
✓ Identificar y construir las gráficas de sistemas
de ecuaciones de primer grado, sistemas
combinados de primer y segundo grados y
sistemas de segundo grado.
Introducción
5.1. Ecuaciones de primer grado.
5.2. Ecuaciones de segundo grado.
✓ Resolver ecuaciones simultáneas de primer
grado, de segundo grado y combinadas.
5.3. Sistemas de ecuaciones de primer grado.
5.4. Sistemas de ecuaciones de primer y segundo
grados.
✓ Usar diferentes métodos para la solución de
sistemas de ecuaciones.
5.5. Sistemas de ecuaciones de segundo grado.
5.6. Desigualdades.
5.7. Aplicaciones.
5.8. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con el
paquete Mathematica.
✓ Identificar, plantear y resolver desigualdades.
INTRODUCCIÓN
EN LA CIENCIA ECONÓMICA y en la administración hay una gran cantidad
de problemas que se resuelven utilizando ecuaciones y sistemas de
ecuaciones lineales y cuadráticos . También hay problemas que requie-
ren, para su solución , sistemas que combinan ecuaciones de primer y segundo
grados.
En este capítulo se explica la forma de plantear, resolver y graficar: ecuaciones
de primer y segundo grados, sistemas simultáneos de primer y segundo grados,
sistemas simultáneos combinados (de primer y segundo grados ), así como
inecuaciones.
En la sección 5.6 se desarrolla el concepto de desigualdad y se explica cómo
resolver sistemas de desigualdades . Éstos tienen especial relevancia y utilidad en
modelos de programación lineal.
En la penúltima sección se muestran algunas aplicaciones en las ciencias sociales. En la última se resuelven ejercicios utilizando el paquete Mathematica.
219
220 4lgebra básica
5.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Definición.- Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias incógnitas y
sólo se puede comprobar que es verdadera para determinados valores de las incógnitas, por ejemplo:
Sea la ecuación 3x = 2x ± 3
Es verdadera si x se sustituye por el valor de 3, porque entonces tanto el lado
derecho como el izquierdo son iguales a 9.
3(3) = 2(3) + 3
9=9
Es falsa si x se sustituye por el valor de 4, ya que el lado izquierdo es igual a 12
y el derecho igual a 11.
Esto da lugar al concepto de conjunto solución, formado por todos los números
que satisfacen la igualdad . A los elementos del conjunto solución se les denomina
raíces de la ecuación.
Definición.- Una ecuación se dice lineal cuando está formada con variables que
tienen exponente 1, y ningún término de la ecuación es un producto cruzado de dos
o más variables , por ejemplo:
x+2x+6x=5
Sea la ecuación : 5x2 +X=,9
No es una ecuación lineal, porque el exponente de la variable es igual a 2.
Sea la ecuación : 2x+ 5xy= 8
No es una ecuación lineal, porque tiene el producto cruzado xy como uno de
sus términos.
Ecuaciones deprimergrado con una incógnita
Una ecuación de primer grado con una incógnita se escribe de la siguiente forma:
ax = b
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 221
En donde:
a y b.: son constantes
x.- es una variable
En la solución de esta ecuación se presentan solamente tres casos:
• Si a: 0, la ecuación tiene una única solución: x = b/a
• Si a= 0 y b= O, la solución tiene número infinito de opciones (Ox= 0), porque
cualquier número real x satisface a la ecuación ax = b, y por lo tanto, es
solución de ésta.
• Si a = 0 y b:# 0, la ecuación no tiene solución (Ox = b), ya que cualquier
número real x, al sustituirlo del lado izquierdo de la ecuación y multiplicarlo
por cero, da como resultado que el primer miembro sea cero y el segundo sea
distinto de cero (0: b).
Ejemplos de 5..1
1. Sea la ecuación: 3x= 6, la solución única es x= 2.
2. Sea la ecuación: -6 = 2x, la solución es x = -3.
3. La ecuación: 0 = Ox tiene un número infinito de soluciones.
5.2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Durante muchos años, el estudio del álgebra ha estado relacionado con la solución de ecuaciones . Hay una amplia variedad de problemas en las ciencias económico administrativas que se resuelven utilizando ecuaciones cuadráticas o de
segundo grado.
En esta sección se explica en qué consiste una ecuación de segundo grado,
cuáles son sus elementos , qué procedimientos hay para encontrar sus raíces, cómo
se representan gráficamente , etcétera.
Las ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a#- 0, son ecuaciones de
segundo grado o cuadráticas.
Toda ecuación de segundo grado en la que b = 0 es una ecuación cuadrática
pura. Las ecuaciones : axz+ c= 0, 5x2- 25 = 0, 4x2- 36 = O y 7x2+ 24 = 0 son
cuadráticas puras. La ecuación cuadrática pura carece del término de primer
grado.
222 Álgebra básica
La ecuación de segundo grado en la que c= 0 es una ecuación cuadrática mixta
incompleta . Las ecuaciones : ax2 + bx = 0, 6x2 - 36x = 0 y 14x2 + 16x = 0 son
cuadráticas mixtas incompletas. La ecuación cuadrática mixta incompleta carece
del término independiente.
Las ecuaciones de segundo grado en que a#-- 0, b:#- 0 y c - 0 son ecuaciones
cuadráticas mixtas completas . Ejemplos de este tipo de ecuaciones son: ax2+ bx+
c=0, 2x2+6x-9=0, 4x2- 15x+2=0, 35x2-30x+22=0.
Las ecuaciones cuadráticas mixtas completas tienen término de segundo grado,
término de primer grado y término independiente.
5.2.1. Solución de la ecuación cuadrática pura
Para resolver una ecuación cuadrática pura se realizan los siguientes pasos:
1. Se despeja el término de segundo grado.
2. Se dividen ambos miembros de la ecuación entre el coeficiente de la incógnita.
3. Se extrae la raíz cuadrada, de ambos miembros de la ecuación.
Ejemplos de 5.2.1
1. x2-4=0 Q
• Se despeja el término de segundo grado: x2 = 4
• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación : x = ±2. Las
raíces de la ecuación son: 2 y -2
Las raíces se identifican de la siguiente forma: x, = -2, x2 = 2.
Comprobación:
Sustituyendo x, = -2: -22 - 4 = 0
4-4=0
Para x2 = 2: (2)1- 4 = 0
4-4=0
Ambas respuestas satisfacen la ecuación, son sus raíces (véanse la tabla y
gráfica 5.1).
S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 223
TABLA 5.1
VALORES DE y = x2 - 4 = 0
x
y=x2-4
-4.0
12.0
-3.5
8.3
-3.0
5.0
-2.5
-2.0
-1.5
2.3
0.0
-1.8
-1.0
-3.0
-0.5
-3.8
14-
0.0
-4.0
12-
0.5
-3.8
1.0
-3.0
1.5
-1.8
2.0
0.0
2.5
2.3
3.0
3.5
5.0
8.3
4.0
12.0
GRÁFICA 5.1
VALORES DE Y = x2 - 4 = 0
Y
2
y-x-4
2. 3x2 - 48 = 0 9
• Se despeja el término de segundo grado: 3x2 = 48
• Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de la incógnita: x2 = 16
• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación: x = ±4
Las raíces son: xl = -4, x2 = 4.
Comprobación:
Sustituyendo en la ecuación x por -4 resulta: 3(-4)2 - 48 = 0
3(16)-48=0
Sustituyendo x por 4 se obtiene: 3(4)1- 48 = 0
3(16)-48=0
224 f4lgebra básica
Ambas respuestas satisfacen la ecuación , son sus raíces (véanse tabla y gráfica 5.2).
TABLA 5.2
VALORES DE y = 3x2 - 48 = 0
x
y=3x2-48
-5.0
27.0
-4.5
-4.0
12.8
0.0
-3.5
-11.3
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-21.0
-29.3
-36.0
-41.3
-1.0
-45.0
-0.5
-47.3
0.0
-48.0
0.5
-47.3
1.0
-45.0
1.5
-41.3
2.0
-36.0
2.5
-29.3
3.0
-21.0
3.5
-11.3
4.0
0.0
4.5
12.8
5.0
27.0
GRÁFICA 5.2
VALORES DE y= 3x2 - 48 = 0
Y
3. 7x2-56=0 Q
• Se despeja el término de segundo grado: 7x2 = 56
• Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de la incógnita: x2 = 8
• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación:
x=+2 .12
x, =-2/2
x2=2-,12
S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 225
4. 4x2 -27=x' Q
• Se despeja el término de segundo grado: 4x2 - x2 = 27; 3x2 = 27
• Se divide entre el coeficiente de la incógnita: x2 = 9
• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x = ±3
Las raíces son: x1= -3, x2 = 3
5. x+2= 4 Q
3 x-2
• Se quitan los denominadores y se tiene : x2- 4 = 12
• Se despeja el término de segundo grado: x2 = 16
• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x= ±4
Las raíces son: x, = -4, x2 = 4
6. (x+6)(x-6)=28 P
• Se efectúa el producto en el primer miembro: x2- 36 = 28
• Se despeja el término de segundo grado: x2 = 64
• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x= ±8
Las raíces de la ecuación son: x, = -8 y x2 = 8
5..2.2. Solución de la ecuación cuadrática pura
por descomposición en factores
Para resolver una ecuación cuadrática pura por descomposición en factores se realizan los siguientes pasos:
1. Se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen.
2. Se divide entre el coeficiente de la incógnita.
3. Se descompone el primer miembro en factores.
4. Se iguala a cero cada uno de los factores y se resuelven las dos ecuaciones así
obtenidas.
226 Álgebra básica
Ejemplos de 5.2.2
1. 3x2 =36-x2
q (Por descomposición de factores)
• Se pasan todos los términos al primer miembro: 3x2 +x2- 36 = 0
4x2-36=0
• Se divide entre el coeficiente de la incógnita : x2 - 9 = 0
• Se descompone el primer miembro en factores : (x+ 3)(x- 3) = 0
• Se iguala a cero cada uno de los factores : x+ 3 = 0, x- 3 = 0
Al resolver: x+ 3 = 0, x, = -3
Al resolver: x - 3 = 0, x2 = 3
Comprobación:
Para xi = -3: 3(-3)2 = 36 - (-3)2
3(9)=36-9
27 = 27
Para x2 = 3: 3(32) = 36 - (3)2
3(9)=36-9
27 = 27
Ambas respuestas son raíces de la ecuación (véanse tabla y gráfica 5.3).
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 227
TABLA 5.3
VALORES DE y= 4x2 - 3 6 = 0
x
y=4x2-36
-5.0
64.0
-4.5
45.0
-4.0
28.0
-3.5
13.0
-3.0
0.0
-2.5
-11.0
-2.0
-20.0
-1.5
-27.0
-1.0
-32.0
-0.5
-35.0
0.0
-36.0
0.5
-35.0
1.0
-32.0
1.5
-27.0
2.0
-20.0
2.5
-11.0
3.0
0.0
3.5
13.0
4.0
28.0
4.5
45.0
5.0
64.0
GRÁFICA 5.3
VALORES DE y= 4x2- 36 = 0
Y
2. 2x2 = 76 - 2x2
• Al pasar todos los términos al primer miembro y reducir se obtiene:
4x2-76=0
• Se divide entre el coeficiente de la incógnita : x2- 19 = 0
• Se descompone el primer miembro en factores : (x+ ✓19)(x-,I) = 0
• Se iguala a cero cada uno de los factores : x+-119 = 0, x- = 0
Al resolver x+-119 = 0 , xl = -J9
Alresolverx-1f =0,x2= 19
Álgebra básica
228
Comprobación:
Parar --/19: 2(---J19)2=2(19)=38
76 -2(--x/19 )2 = 76 - 38 = 38
Para x2 = . 19: 2( 119 )2 = 2(19) = 38
76--2(,9)2=76-38=38
Ambas respuestas son raíces de la ecuación.
5.2.3. Solución de la ecuación cuadrática mixta incompleta
Para resolver la ecuación cuadrática mixta incompleta se realizan los siguientes
pasos:
1. Se le da la forma ax2 + bx = 0.
2. Se descompone ax2+ bx en factores.
3. Se iguala a cero cada uno de los factores.
4. Se resuelven las dos ecuaciones que resultan.
5. La ecuación cuadrática mixta incompleta siempre tiene una raíz igual a cero.
Ejemplos de 5.2.3
1. x2- 5x= 0 9
• Se descomponex2 - 5x en factores : x2- 5x=x(x- 5)
• Se iguala a cero cada uno de los factores : x = 0, x - 5 = 0
• Se resuelven las dos ecuaciones x= 0 y x- 5 = 0. Las raíces son:
x,=0,x2=5
Comprobación:
Para x, = 0: 02- 5(0) = 0
Parax2=5: 52-5(5)=25-25=0
2. 6x2+5x=0 9
• Se descompone 6x2+ 5x en factores : x(6x+ 5)
• Se iguala a cero cada uno de los factores : x= 0, 6x+ 5 = 0
S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 229
• Se resuelven las ecuaciones x= 0 y 6x+ 5 = 0. Las raíces son:
x,=-6 ,x2=0
Ambas respuestas son raíces de la ecuación (véanse tabla y gráfica 5.4).
TABLA 5.4
VALORES DE y= 6x2 + 5x
x
y=6x2+ 5x
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
1.8
1.0
0.4
-0.2
-0.6
-0.8
-1.0
-0.4
-1.0
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
-1.0
-0.8
-0.4
0.0
0.6
0.2
1.2
0.3
2.0
GRÁFICA 5.4
VALORES DE y = 6x2 + 5x
Y
3. 5x2 - 2x = 3x2 - 5x
• Se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen : 2x2+ 3x= 0
• Se descompone 2x2+ 3x en factores : 2x2+ 3x= x(2x+ 3)
• Se iguala a cero cada uno de los factores : x= 0, 2x+ 3 = 0
• Se resuelven las ecuaciones x= 0 y 2x+ 3 = 0. Las raíces son:
3
x,=-,x2=0
2
230
4lgebra básica
5.2.4. Solución de ecuación cuadrática mixta completa
,por descomposición en factores
Este método se emplea principalmente para resolver trinomios de la forma x2+
(a + b)x + ab. Para resolver una ecuación cuadrática mixta completa por descomposición en factores se realizan los siguientes pasos:
1. Se le da a la ecuación la forma general de una ecuación de segundo grado:
ax2+bx+c=0
2. Se descompone en factores el trinomio ax2+ bx+ c= 0
3. Se iguala a cero cada uno de los factores (para que un producto sea cero es
necesario que por lo menos uno de los factores sea cero).
4. Se resuelve cada una de las ecuaciones obtenidas.
Ejemplos de 5.2.4
1. x2+3x+2=0
13
(Por descomposición en factores)
• Como ya tiene la forma general se descompone x2+ 3x+ 2 en factores:
x2+ 3x+2 = (x+2)(.x+ 1)
• Se iguala a cero cada uno de los factores : x+ 2 = 0 y _x+ 1 = 0
• Se resuelven las ecuaciones x+ 2 = 0 y x + 1 = 0. Las raíces son:
x,=-2yx2=-1
Comprobación:
Parax, =-2: (-2)2+3(-2)+2=4-6+2=0
Parax2=-l: (_l)2+3(-1)+2=1-3+2=0
Los dos resultados son raíces de la ecuación (véase tabla 5.5).
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
231
TABLA 5.5. VALORES DE y = x2 + 3x + 2 = 0
x
y=x2+3x+2=0
-7
30
-6
20
-5
12
-4
6
-3
-2
-1
2
0
0
0
2
1
6
2
12
3
20
4
30
5
42
6
56
7
72
2. x2-3x- 10=0 9
• Se descompone x2- 3x- 10 en factores : (x- 5)(x+ 2)
• Se iguala a cero cada uno de los factores : x- 5 = 0 y x+ 2 = 0
• Se resuelven las ecuaciones : x- 5 = 0 y x+ 2 = 0. Las raíces son: x, = -2 y x2 = 5
3. 2x2+ 7x+6=0 9
• Se descompone 2x2 + 7x + 6 en factores . Para ello se multiplica el término
independiente 6 por el coeficiente del término de segundo grado 2, 2(6) = 12
y se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados den el coeficiente del término de primer grado 7; así , los números son 3 y 4.
• El término de primer grado se descompone en la suma de los dos números
anteriores y se va agrupando.
2x2+7x+6=0
2x2+4x+3x+6=0
2x(x+ 2) + 3(x+ 2) = 0
(x+ 2)(2x+ 3) = 0
Álgebra básica
232
• Se iguala a cero cada uno de los factores : x+ 2 = 0 y 2x+ 3 = 0
• Se resuelven las ecuaciones : x+ 2 = 0 y 2x+ 3 = 0
Las raíces son x, = -2 y x2 = -3
Comprobación:
Para x, _ -2: 2(-2)2+ 7(-2) + 6 = 0
8-14+6=0
Para x2 = -3:
+6=0
9-21 +12=0
2 2 2
Las dos respuestas son raíces de la ecuación.
4. 2x2-7x-4=0
D
(Por descomposición en factores)
• Primero se descompone 2x2 - 7x- 4 en factores ; para ello se buscan dos números que multiplicados den 2(-4) = -8 y sumados -7; estos números son -8 y 1
• Se descompone el término de primer grado en -8x + x y se agrupa : 2x2 - 8x+
x-4=2x(x-4)+1(x-4)=(x-4)(2x+1)
• Se iguala a cero cada uno de los factores : x- 4 = 0 y 2x+ 1 = 0
• Se resuelven las ecuaciones x- 4 = 0 y 2x+ 1 = 0. Las raíces son:
xa= - yx2=4
5..2.5.. Solución de la ecuación cuadrática mixta completa
por elprocedimiento de completar el cuadrado perfecto
Para resolver una ecuación cuadrática mixta por este procedimiento se realizan los
siguientes pasos:
1. Se despeja el término independiente : ax2+ bx= -c
5 Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades
233
2. Se divide entre el coeficiente del término de segundo grado:
xz+
b
c
x=a a
3. Se suma, en ambos miembros de la igualdad , el cuadrado de la mitad del coeficiente del término de primer grado:
z
2
- b -c
x2+bx+ b
4a2 4a2 a
a
4. Se descompone en factores el primer miembro de la ecuación y se reduce el
segundo:
C
x+
b 2 _ b2 - 4ac
2a 4a2
5. Se extrae raíz cuadrada de ambos miembros:
b ±-ib2-4ac
x+-=
2a 2a
6. Se despeja la incógnita:
x=
-b , bac
2a
2a
Ejemplos de S.Z. 5
1. x2 +6x- l6=0 Q (Completando el cuadrado)
• Se despeja el término independiente : x2+ 6x= 16
• Como el coeficiente de x2 es 1, al dividir nos queda la misma ecuación.
• Se suma, en ambos miembros , el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.•
x2+6x+9= 16+9=25
• Se descompone en factores el primer miembro : (x+ 3)2 = 25
• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros : x+ 3 = ±5
• Se despeja la incógnita : x= -3 ± 5. Las raíces que resultan son:
x,=-3+5 x,=2
x2 = -3 - 5 x2 = -8
• Reordenando se obtiene : x, = -8 y x2 = 2
234 Álgebra básica
2. x2-7x+12=0
(Completando el cuadrado)
Q
• Se despeja el término independiente: x2- 7x= -12
• Como el coeficiente de x2 es 1, al dividir nos queda la misma ecuación.
• Se suma, a ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.•
2 49 49
x -7x+ -12
4 4
• Se descompone en factores el primer miembro de la ecuación y se reduce el
segundo:
C
7 z _ 49 48
x 2 4 4
• Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:
• Se despeja la incógnita: x = 7 + 1
2 2
71
xI = 2+ XI=4
2
X2
=
7 1
2 2
x2 = 3
• Reordenando se obtiene : x, = 3 y x2= 4
3. 3x2 -7x- 6=0 q ( Completando el cuadrado)
• Se despeja el término independiente: 3x2- 7x= 6
• Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de x2: x2 - 3x=2
• Se suma, a ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.x z- 7 x + 49 = 2+ 49
3 36 36
• Se descompone en factores el primer miembro y se reduce el segundo:
72 72 49_121
X 6 36 36 36
5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades
235
Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:
7 _+
11
x --6 6
Se despeja la incógnita: x = 7 ±
11
x,=6+6
XI =3
7 11 4
x,=--6 =-6
2
x2=-3
• Reordenando se obtiene : x, = -3 y x2 = 3
2x2 - 7x - 4 = 0
(Completando el cuadrado)
• Se despeja el término independiente : 2x2- 7x= 4
7
• Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de x2: x2 --x = 2
2
• Se suma, a ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.2 7 49 49
x - x+--=2+---
2 16 16
• Se descompone en factores el primer miembro y se reduce el segundo:
X - 7f _32+4981
4 16 16
• Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros : x - 4 = +4
4 4
• Se despeja la incógnita: x = 4 ± 4
XI = +4 x, =4
4
79
1
x2 __4 x2 =-4
2
• Reordenando se obtiene : x, _ -1 y x2 = 4
2
Álgebra básica
236
5 2.66 Solución de la ecuación cuadrática mixta completa
por medio de la fórmula general
Para obtener la fórmula general se resuelve la ecuación ax2 + bx + e= 0 complementando el cuadrado. Para ello se desarrollan los siguientes pasos:
1. Se despeja el término independiente: ax2+ bx= -c
2. Se divide entre el coeficiente de x2: x2 +b x = -C
a
a
3. Se suma, a ambos miembros de la ecuación, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.b b2 b2 c
x2+ x+ -- a 4a2 4a2 a
4. Se descompone en factores el primer miembro de la ecuación y se reduce el
segundo:
1
x+
b J -b2-4ac
2a 4a2
5. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:
b "b2-4ac b2-4ac
x+=±-- --_+
2a -!4a2 2a
6. Se despeja la incógnita: X =-
b /b2-4ac
2a
7. Se suma el segundo miembro: x =
2a
-b± 772 - 4ac
2a
-b± 1b2-4ac
8. La fórmula general es: x = - - -2a
5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 237
Ejemplos de 5.2.6
1. x2+4x+3=0 Q
• Se identifica que en esta ecuación : a = 1, b = 4 y c = 3
• Se sustituyen estos valores en la formula : x =
-b ± ^i b` - 4ac
2a
-4±-,42-4(1)(3) -4±,J16-12 -4±J4 -4±2
2(1) 2 2 2
-4+2
-4- 2
x,=^2 =-1 x2= -- =-3
2
• Reordenando se obtiene : x, _ -3 y x2= -1
2. x2-14x+13=0 Q
• En esta ecuación : a= 1, b = -14, y e= 13
• Se sustituyen estos valores en la fórmula: x =
-b ± b2 - 4ac
2a
14±_[( 14)2_4(1)(13 )
I4± '6-52 -14 ±-/ 144 14±12
2(1) 2 2 2
x -14+12=13 x14-12=1
' 2 2- 2
• Reordenando se obtiene : x, = 1 y x2= 13
3. 2x2 - 4x- 1 = 0 Q
• En la ecuación propuesta : a= 2, b = -4 y c = -1
b+ 12 4 ac
• Sustituyendo los valores en la fórmula x = -b se obtiene:
2a
4±Í(-4)`-4 (2)(-1)
4±-116+8 4± -%24 4±2-,16
2(2)
4
4
4
238
Álgebra básica
4+26 2+ 6 4-26 2- x2 -
4
_
2
4 2
• Reordenando se obtiene : x, = -- - y x2 = 2
2
4. 9x2-36x+31 =0
• En la ecuación propuesta : a= 9, b = -36 y e= 31
• Sustituyendo los valores en la fórmula x =
-h± - b 2 - 4ac
se obtiene:
2a
36± (-36)2-4(9)(31)-36± 1296+1116_36± 180 36±6 5
2(9)
18
18
18
= 36+6 15 6+ 5 _ 36-6-/5 6- /
18 3 x2 18 3
• Reordenando se obtiene
: x, = 6- /5 y x2 = 6+
3 3
Ejercicios de 5.2
Resuelva los siguientes ejercicios:
1. 2x1-7x- 4=0
Solución:
9
r=± 9
4
2. 2x2 + 5x= 10
3. 2x2 + 7x+ 6 = 0
Solución:
Solución:
x=?
x, = -2
x2 =
-
4. 3x2 -5 =7
5 9
Solución:
x=?
5. 2x2 + 3x= 0
Solución:
x,=0
3
2
3
S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
239
5.3. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se escribe, en forma general,
como:
a11x1+a12x2=b1
a,l xl + a22x2 = b2
Los elementos a11, a12, a21 y a22 son coeficientes de las variables x1 y x2 , mientras
que b1 y b2 representan los términos independientes (constantes numéricas reales).
La solución de este sistema de ecuaciones con dos incógnitas es una pareja de
números: x1 = a y x2 = b, que al sustituirlos en ambas ecuaciones las convierte en
identidades.
En un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas pueden presentarse tres
casos:
1. El sistema tiene solución única.
2. El sistema tiene un número infinito de soluciones.
3. El sistema no tiene solución.
Al sistema de ecuaciones lineales que tenga al menos una solución se le denomina compatible o consistente determinado; al que tiene un número infinito de
soluciones se le conoce como incompatible o consistente indeterminado; y si no
tiene solución, se dice que es inconsistente.
Ejemplos de 5.3
1. 2x-2y+-8 Q
-2x + 4y = 14
El sistema tiene una solución única, la pareja (-1, 3); por lo tanto , el sistema es
consistente determinado, como se muestra en la tabla 5.6 y gráfica 5.5:
240
Álgebra básica
TABLA 5.6
VALORES DEL SISTEMA 1
x
y= 4+ x
-7
-3
0
-6
-2
0.5
-5
-1
1
-4
0
1.5
-3
1
2
-2
2
2.5
-1
3
3
0
4
3.5
1
5
4
2
6
4.5
3
7
5
y= (14/4) + (112)x
GRÁFICA 5.5
VALORES DEL SISTEMA 1
- y-4+x
- y=(14/4)+(1/2)x
a
Y
7
(-1, 3) e
-g
Observe que las ecuaciones 2x- 2y= -8 y -2x+ 4y= 14 pueden ser representadas como: y = 4 + x, y = (14/4) + (1/2)x, respectivamente.
2. x+y=2 -^ y=2-x
2x+2y=4 -a y=2-x
El sistema tiene una infinidad de soluciones. El sistema es consistente indeterminado y su representación gráfica es una sola línea recta. Cualquier punto en
la línea es solución del sistema.
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 241
3. x+y= 1 q,
x+y=3
No hay ningún punto común (intersección) en el sistema de ecuaciones; por lo
tanto, no tiene solución: el sistema es inconsistente . Su gráfica son dos rectas
paralelas.
5..3.1. Solución de sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas
Sólo se pueden resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas si
éstas son equivalentes ; es decir, si y sólo si tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplos de 5..3.1
1. x + 3y = 9
(1)l
4x+5y=1 (2)
• Multiplicando la primera ecuación por 4 , tenemos el sistema II, equivalente
al sistema I.
4x+12y=36
(1)l
4x+5y =+1
(2)j
II
• Multiplicando la segunda ecuación del sistema II por -1 y sumándosela a la
primera ecuación , tenemos el sistema III, equivalente al 1 y al II.
4x+ l2y= 36
-4x- 5y =-l
7y =35
Entonces:
7y = 35 (1) III
4x+5y=1 (2)
242 Álgebra básica
• El valor de y para la primera ecuación del sistema III es:
y=35/7=5
• Sustituyendo el valor de y en la segunda ecuación del sistema III:
4x+ 5y= 1
4x+ 5(5) = 1
4x=1-25
x= -6
El sistema tiene una solución única, la pareja (-6, 5); por lo tanto, el sistema es
consistente determinado.
2. x+y=2 (1)
2x+2y=4 (2)
• Multiplicando la primera ecuación por 2, obtenemos el sistema II, equivalente al sistema I.
2x+2y=41
2x+2y
=41
II
• Multiplicando la primera ecuación por -1 y sumándosela a la segunda ecuación, tenemos el sistema III.
-2x-2y=-4
2x+2y=4
0=0
III
El sistema puede ser representado por una sola ecuación y hay infinidad de
soluciones que satisfacen la ecuación; el sistema es consistente e indeterminado.
3. -4x+6y=2
(1)1
6x-9y=4 (2)J
I ^
• Multiplicando la primera ecuación por 6 y la segunda por 4, se obtiene el
sistema II, equivalente al sistema I.
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 243
-24x + 36y =12
(1)l
24x - 36y =16 (2)
II
• Sumando la primera ecuación a la segunda del sistema II se tiene:
-24x + 36y = 12
24x - 36y = 16
0+ 0 = 4
0=4 (1)1
24x - 36y =16 (2)
III
La primera ecuación del sistema III es falsa, entonces el sistema no tiene solución y es inconsistente. El sistema III no es equivalente al sistema 1 y II porque son
rectas paralelas que no llegan a intersectarse.
Ejercicios de 5.3.1
Resuelva los siguientes ejercicios:
1. a) 2x+ 2y= 344
b) 2x- 2y= 40
Solución
x= 96
y= 76
2. a) 2x+5v= 10
b) 6x-7.5y=9
Solución
x=?
y=?
3. a) x+y= 81
Solución
x= 45
y=36
4. a) 2ly- 2x= 14
b) 13x+ 8y= 32
5. a)
x+3 - 2
y+3 3
b)
x-2 - 1
y-2=2
Solución
x=?
Y=?
Solución
x=7
y= 12
244 Álgebra básica
5.4. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER
Y SEGUNDO GRADOS
Para resolver un sistema simultáneo, formado por ecuaciones de primer y segundo
grados, se procede de la siguiente forma:
1. Se identifica cada una de las ecuaciones del sistema.
2. Se igualan las ecuaciones.
3. Se despeja y se genera una sola ecuación cuadrática.
4. Se resuelve la ecuación cuadrática por cualquier método: descomposición por
factores, completando el cuadrado perfecto, fórmula general, etcétera.
5. Aunque los sistemas simultáneos de ecuaciones de primer y segundo grados
pueden tener ninguna, una o dos soluciones, en ciencias sociales, por lo general, sólo se utiliza la que se ubica en el primer cuadrante (xpositiva,y positiva).
Por esta razón, para los siguientes ejercicios sólo se calcula la solución ubicada
en ese cuadrante.
Ejemplos de 54
1. Resolver el sistema:
z
y=2+5+20
30-x
y 4
Q
• Se igualan las ecuaciones : 20y= 40 + 4x+ x2 = 150 - 5x
• Se reducen : x2 + 9x- 110 = 0
• Se desarrolla la fórmula general: x =
-9 ± ^l + 440
2
x=
-9 ± 22.825
x=--
2
Se sustituye el valor de x en alguna de las ecuaciones dadas para obtener el
valor de y.
Las raíces son: x= 6.9 1, y= 5.77
S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 245
GRÁFICA 5.6. GRÁFICA DEL SISTEMA 1
X
En este sistema simultáneo combinado de primer y segundo grados, se tienen
dos puntos en los que se intersectan ambas funciones , aquí sólo se anotan los valores de x y y que se encuentran en el cuadrante positivo (x = 6.9 1 , y = 5.77).
2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
y= 16-x2
y= 16-x2=4+x
x2+x- 12=0
(x+ 4)(x- 3) = 0
x=3
y=7
y=4+x q
246 Álgebra básica
GRÁFICA 5.7. GRÁFICA DEL SISTEMA 2
X
3. Resolver el sistema:
y= 9x+ 12
9x+12=39-3x2
3x2 +9x-27=0
x2+3x-9=0
x=
-3± 9+36
2
x=
-3± - _45
2
x=
-3±6.708
_
-2
x= 1.85
y= 28.65
y=39-3x2
D
5 Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 247
GRÁFICA 5.8. GRÁFICA DEL SISTEMA 3
4. Resolver el sistema:
(x+6)(y+ l2)= 144 y=2+2
2+x= 144 -12
2 x+6
4x+ 24 +x26x= 288 - 24x-144
xz + 34x- 120 = 0
-34 ± -,,156+ 480
x=-
2
x= 3.22
y= 3.61
x =
-34 ± 1636
2
x=
-34 ± 40.447
2
248
Álgebra básica
TABLA 5.7
VALORES DEL SISTEMA 4
x
y=(144/(x+6))- 12 y=2+x/2
-5
132.0
-0.5
-4
60.0
0.0
-3
-2
-1
36.0
24.0
16.8
0.5
1.0
1.5
0
12.0
2.0
1
2
8.6
6.0
2.5
3.0
3
4.0
3.5
4
2.4
4.0
5
1.1
4.5
GRÁFICA 5.9
GRÁFICA DEL SISTEMA 4
Y
25
10
(3.22, 3.61)
5
2
3
4
5
6
7
S
9
x
-5L
5. Resolver el sistema:
(x+4)(y+2)= 24
24 -2=1+x
x+4 2
y=1+-
249
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
48-4x- 16 = 2x+8+x2+4x
x2+lOx-24=0
(x+ l2)(x- 2) = 0
x= 2
y=2
Ejercicios de 5.4
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
x
Solución: x=4
1. y= 4
_y= 1
y(x+ 1) = 5
2. y(x+ 3) = 18
y-3x+6=0
Solución: x=3
y=3
3. (x+ 12)(y+ 6) = 169
x-y+6=0
Solución: x = 1
y=7
4. (x+ 5)(y+ 6) = 80
5. xy= 15
y=x+2
y=5
6. x(y+6)=24
y-2x+4=0
Solución: x=3
y=2
7. (x+ l0)(y+ 5) = 225
x-y+5=0
Solución: x=5
y= 10
5.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Un sistema simultáneo formado por ecuaciones de segundo grado se resuelve mediante el siguiente procedimiento:
250
Álgebra básica
1. Se identifica cada una de las ecuaciones del sistema.
2. Se igualan las ecuaciones.
3. Se despeja y se genera una sola ecuación cuadrática.
4. La ecuación cuadrática se resuelve por cualquier método: descomposición de
factores, completando el cuadrado perfecto, fórmula general, etcétera.
Ejemplos de 55
Resolver el sistema:
x=-,,3 6-Y P
2
6+x =36-x2
4
24+x2= 144-4x2
5x2 = 120
x2 = 24 x= 2-J6
El punto de intersección es: x= 4.90, y = 12
GRÁFICA 5.10. GRÁFICA DEL SISTEMA 1
Y
40
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
2. y=10-3x2
y=4+x2+2x
251
n
10-3x2=4+x2+2x
4x2+2x-6=0
2x2+x-3 =0
(2x+ 3)(x- 1) = 0
x= 1
y=7
GRÁFICA 5.11. GRÁFICA DEL SISTEMA 2
Y
20
x
-20
3. y=x2+5x+1
x2 + 5x+ 1 = -2x2 + 9
3x2+5x-8=0
(3x+ 8)(x- 1) = 0
x= 1
y=7
y+2x2-9=0
252
Álgebra básica
GRÁFICA 5.12. GRÁFICA DEL SISTEMA 3
2y2-2y-6= y2-y+18
3y2-y-24=0
(3y+ 8 )(y- 3) = 0
y=3
x=6
5. x=3y2-3y-2 x=1o-y2-y
3y2-3y-2=10 -y2-y
4y2-2y-12 =0
2y2-y-6=0
(2y+3)(y-2)=0
y=2
x=4
253
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
Ejercicios de 5.5
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
1. y= 48 - 3x2
y=x2+4x+16
Solución :
x- 2.37
y-31.15
2. x= lOy+ 5y2
x=64-8y-2y2
Solución:
x= 40
y=2
3. y = (x + 2) 2
Solución:
x= 5/2
y=81/4
y=39-3x2
4. x= lOy+4y2
x=96-8y-2y2
Solución :
y-2.77
x-58.39
5. x= 84 - y2
x=y+4y2
Solución:
y=4
x=68
5.6. DESIGUALDADES
5.6.1. Concepto
Desigualdad.- relación matemática donde se tiene en cuenta el orden de los números
Si a y b son números reales, se dice que a es mayor que b, y se denota a > b si
y sólo si a- b es positivo . Esto es equivalente a decir que a> b si y sólo si existe un
número positivo x tal que a = b + x.
Si a no es mayor que b, entonces:
• a debe ser menor que b(a < b) o
• a es igual a b.
Si se desea indicar que a es mayor o igual a b se denota a>- b; o que a es menor
o iguala b, a< b.
Símbolos de desigualdad
< menor que
> mayor que
a<b
a>b
254 íIgebAa básica
<_ menor o igual
>_ mayor o igual
_b
a<
a>b
Propiedades de las desigualdades
Las demostraciones de estas propiedades se encuentran en el apéndice 5.6.
• Si a> by b> c, entonces a> c
Ejemplos de 5..661
1. Si el costo marginal (cm) de producir 100 unidades de un producto (100 cm)
es mayor que el costo marginal de 90 unidades (90 cm) y éste es mayor que
el costo marginal de 80 unidades (80 cm), entonces por el teorema anterior
100 cm >80cm.
Si a> b entonces a+ c> b+ c, cE <X
2. Si 100 cm> 90 cm y se les impone un impuesto de $5.00 en cada unidad producida, entonces se tiene:
100 cm + 5 > 90 cm+5
Si a> b y e es positivo, entonces ac> be
El sentido de la desigualdad no cambia si se multiplica en ambos lados de la
desigualdad por un número positivo.
Si a > b y c es un número negativo, entonces ac < be
El sentido de la desigualdad cambia si se multiplica en ambos lados por el
mismo número negativo.
5.. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades
255
5 62. Desigualdades con una incógnita
La solución de una desigualdad con una incógnita es el intervalo donde la incógnita toma valores que satisfacen la desigualdad.
Para resolver una desigualdad con una incógnita se siguen los siguientes pasos:
• Con base en la propiedades de las desigualdades, se despeja la incógnita.
• Se determina el intervalo de solución, es decir, los valores que puede tomar la
incógnita para los cuales se satisface la desigualdad.
• Se grafica el intervalo en la recta de los números reales (opcional).
Ejemplos de 5..62
1. -2x+6>0
• Se despeja el término que contiene a la incógnita : -2x> -6
• Se multiplica por (-1) ambos lados, cambiando el sentido de la desigualdad:
x<3
La solución es:
• La desigualdad se satisface para x < 3; el intervalo solución es: (-oo, 3), o
bien, -oo<x<3
• Gráficamente:
GRÁFICA 5.13
-00 -1 0 1 2 3
00
Intervalo solución
-oo, 3
El límite inferior de la desigualdad es -oo y el límite superior de la desigualdad
es 3 (sólo se acostumbra identificar el límite superior).
256 Álgebra básica
2. 3x-1 3x+2
2x+1 2x+5
Procedimiento algebraico
1. Determinar los valores de x que hacen no definidas a las fracciones:
= -1
Para3x
si-1
laxfracción
es no definida.
2x+1 2
3x+2
si x = -5
Para la fracción
es no definida.
2x+5 2
Por lo tanto , para x = - y x = - 5 no es posible determinar si la desigual2
2
dad se cumple o no.
2. Determinar los valores para los cuales las fracciones se hacen cero, es decir,
cuando el numerador se anula, pues sirven de referentes para encontrar el
conjunto solución de la desigualdad.
Para 3x--1 si x = 1 la fracción es cero.
2x+1 3
Para 3x + 2 si x== -22 la fracción es cero.
2x+5 3
Gráficamente:
GRÁFICA 5.14
Intervalo donde se cumple
la desigualdad
Intervalo donde se cumple
la desigualdad
mi
-5/2 -2
No
definida
-1 -2/3 -1/2 0 1/3
1 7/6
No
definida
Para determinar los intervalos donde se cumple o no la desigualdad, es necesario hacerlo segmento a segmento.
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
257
TABLA 5.8
3x-1 3x+2
-- > -2x+1 2x+5
Intervalo
x<-2
Seax=3 3x-1=2
2x+1
x = -5
2
3x+2
2x+5
5 2
--<x<--2 3
2 3x-1
Seax=-- -- --=9
3 2x+1
2
- <x<- 1
3 2
Six=-.51
1
x>3
No se cumple
no está definida
3x+2
--- =0
2x+5
3x+2
2x+5
3x-1
Six=0 ---=- 1
2x+1
1
x=3
2^- 7
9>3
Sí se cumple
3 x -1
3x +2
- - =126.5
=0.118 126.5>0.118
2x+1
2x+5
x - -1
2
1 1
--<x<2 3
3x+2 =7
2x+5
3x-1__= 0
2x+1
Sí se cumple
no está definida
3x+2 2
_2x+5 5
3x+2
9
2x+5
17
-1 -2
5
0
9
No se cumple
No se cumple
17
Como ya no hay valores de x donde se llegue a una indefinición o las
fracciones tengan valor de cero , el procedimiento es el siguiente:
3x-l > 3x+2
2x+1 2x+5
==> (3x - 1)(2x + 5) > (3x + 2)(2x + 1) = 6x > 7 => x>
7
6
3 <x< 6
No se cumple
7 < x<-
Sí se cumple
En conclusión:
3x-1 3x+2
2x+1
Si x<-5
2
No se cumple la desigualdad
Si -5<x<-1
2 2
Sí se cumple la desigualdad
2x+5
Si -1 < x < 6 No se cumple la desigualdad
.7
i -<x<c
6
Sí se cumple la desigualdad
Álgebra básica
258
Ejercicios de 5.6 2
Hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades , representando gráficamente la solución:
1. x-2<2x-4 x>3 xE (3,co) 3<x<oo
2. 3x-12>2x-2 x>10 xE ( 10,oo) l0<x<c
2x+1 3x+2 5 1
>
-<x<
3x-1
2x+5
2
4. (x-l)2-5>(x-3)2 x>14 XE
2
13 13<x<°°
14' ) 4
5..63. Sistemas de desigualdades simultáneas
con una incógnita
Los sistemas de desigualdades con una variable contienen dos o más desigualdades; el problema consiste en hallar el intervalo de valores para la incógnita, que
satisfaga el conjunto de desigualdades simultáneamente.
Para resolver un sistema de desigualdades se procede a:
• Resolver cada una de las desigualdades por separado.
• Obtener la intersección de los intervalos resultantes.
• Graficar en la recta de los números reales (opcional).
Ejemplos de 5..6.3
1. Hallar los valores de x que satisfacen el sistema de desigualdades con una incógnita
5-x>-6
2x+9>3x
Solución de la primera desigualdad:
5-x>-6
-x > - 11
x< 11 x E
5 Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
259
Solución de la segunda desigualdad:
2x+9>3x
-x>-9
x<9 x e (-oo, 9)
Los valores de x que satisfacen simultáneamente son los que están en el intervalo (-0, 9), es decir, x < 9.
2. Hallar el intervalo de valores de x que satisface el siguiente sistema de desigualdades:
Se resuelve la primer desigualdad:
-83--2x>0,
-2x>-83=x<3
4
^- 3l
XE ^, -
4)
Se resuelve la segunda desigualdad:
1+3x>0=> 3x>-1 ^x> 14 4 12
1
XE
00
12'
Se resuelve la tercera desigualdad:
5x+2- >0=5x>-2- =* x>-23 3 15
xE(-15,. ^
260
Álgebra básica
La solución es la intersección de los tres intervalos:
15 3
x E-2
4)
Ejercicios de 5..6.3
Encontrar el conjunto solución que satisface las siguientes dos desigualdades:
r4x-5>7x-16
Solución
1. !_7-8x<16-15x
: x E ^--l 97 J
5.. 66 4. Desigualdades lineales con dos incógnitas
Las soluciones de las desigualdades con dos incógnitas generan un plano.
El procedimiento para encontrar el plano donde se encuentran los puntos que
satisfacen la solución es el siguiente:
• Se despeja una de las incógnitas en términos de la otra.
• Aquí es importante graficar para visualizar mejor la solución; para ello, primere se grafica la ecuación de la recta que limita al plano.
Ejemplos de 5.. 66 4
1. Encontrar la solución de la siguiente desigualdad:
2x + 4y < 12
esta desigualdad se satisface si y< 3 - 1/2 x
S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
261
Gráficamente:
GRÁFICA 5.15
Y
2x+4y= 12
(Límite)
(0
Plano solución
(
0)
2. Encontrar la solución de la siguiente desigualdad lineal:
x-y>1
Esta desigualdad se satisface para y < x- 1
• Se graficax-y= 1
• Como el (0, 0) no satisface la desigualdad , no está contenida en el plano
solución , entonces el plano es el que se muestra:
GRÁFICA 5.16
Y
262 Álgebra básica
Ejercicios de 56 4
Encuentra el plano solución para las siguientes desigualdades lineales:
1. 4x + 2y < 12
2. 2x + 4y < 8
3. 2x-6y<9
4. x+y> 1
Las desigualdades lineales con dos incógnitas tienen una aplicación importante
en problemas de programación lineal de dos variables.
Por ejemplo, una fábrica de ropa tiene 100 metros de lana, con lo que quiere
fabricar faldas y sacos, y sabe que cada saco requiere 2.5 metros y cada falda 1.2
metros de lana. Expresar esta situación como una desigualdad.
Sean x= número de sacos
y= número de faldas
Entonces 2.5x+ 1.2,Y5 100
Observa que:
• Aquí marcamos <_ porque es posible acabarse los 100 metros de tela.
• Este problema es puramente matemático, pues resultados negativos para la
variable x (número de sacos) y la variable y (número de faldas) no tienen
sentido práctico.
Considera que 2.5 metros/sacos (número de sacos) + 1.2 metros/faldas (número
de faldas) = metros. Y la solución será:
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
263
GRÁFICA 5.17
aquí la región de puntos factibles contiene a la recta 2 .5x+ 1.2y= 100
La solución es el plano y
< 230 12 x
Ejercicios
1. Una máquina verificadora de emisión de gases para autos trabaja 10 horas al
día. Por cada automóvil se tarda 20 minutos y por cada camión 45 minutos.
Expresa esta situación con una desigualdad.
2. Una empacadora hace dos tipos de paquetes (grandes y chicos) y los guarda en
un almacén con capacidad de l Op. Los paquetes grandes ocupan 2p y los chicos
1.2p. Expresa esta situación con una desigualdad.
S. 6. S. Sistemas de desigualdades lineales
con dos variables
En los sistemas de desigualdades se busca el conjunto de puntos (x, y) en el plano
que satisfagan dos o más desigualdades lineales.
264 Álgebra básica
El procedimiento algebraico de sblución es el siguiente:
• Se despeja una de las incógnitas en términos de la otra para dada desigualdad.
El procedimiento gráfico consiste en granear la ecuación límite de cada desigualdad y visualizar el plano intersección.
Ejemplos de 5. ó 5
1. 2x+2y<6
4x+y<6
De 2x +2y<6=> y<3-x^xE (-oo,co),yE
De4x+ y<6 y<6-4x=xe (-co,oo),yE (-co,co)
No todos los sistemas de desigualdades tienen solución.
2. x+y> 1
x+y<-1
Dex+y> 1 = y> 1 -x
Dex+y<-1 = y<-l -x
Lo cual es imposible , pues si suponemos que x = 0, los valores para y son
mayor que 1 y menor que -1.
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
Gráficamente:
GRÁFICA 5.18
Y
Ejercicios de 5..6. S
Encuentra gráficamente el plano de soluciones.
1.
^2x + 7y < 21
[7x+2y < 49
2.
x -2y>2
-2x+3y>2
3.
x+y<10
x>5
265
Álgebra básica
266
x+2y<4
4.
[2x + 4y > 4
x+y<3
x-2y>4
5.
x>0
y >0
5.7. APLICACIONES
En esta sección se presentan algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones,
en el campo de las ciencias económicas.
5..7.1. El ingreso nacional
El ingreso nacional es un modelo que permite cuantificar la producción global de
un país durante un periodo de tiempo, el cual generalmente es un año. En éste se
íntegra y registra la producción del sector privado, la del sector público y la mixta,
así como el intercambio comercial con el exterior. También se asienta el ingreso
que perciben quienes proporcionan los factores de la producción (capital, trabajo)
y el destino de ese ingreso (consumo, ahorro o inversión).
Del ingreso nacional se deduce una serie de categorías macroeconómicas básicas, para entender la dinámica de la economía de un país. Estas categorías son:
• Producto Nacional Bruto (PNB)
• Producto Interno Bruto (PIB)
• Producto Nacional Neto (PNN)
• Ingreso Nacional (IN)
• Ingreso Privado (I Priv.)
• Ingreso Personal (I Pe)
• Ingreso Personal Disponible (I Pe D)
John Maynard Keynes hace un análisis macroeconómico del sistema capitalista,
en el que plantea un posible equilibrio económico general, que ocurre cuando el
ingreso nacional es igual al consumo nacional más el ahorro nacional.
5 Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 267
Es decir que:
Ingreso nacional = Consumo nacional + Ahorro nacional
Y= C+,4
El ahorro nacional (.4) es igual a la inversión nacional (1), por lo que:
Y= C+1
Se observa que el equilibrio económico existe cuando:
• El ingreso es igual a la producción , es decir, a la oferta, representada por Y,
que a su vez es igual a la demanda , o sea, consumo más ahorro.
• Los ingresos (Y) son iguales a los "gastos " (C+ I).
Si el ingreso nacional se incrementa, aumenta el consumo y la inversión, de
manera que:
4Y= AC+ DI
Para Keynes, uno de los factores básicos de la dinámica económica es la inversión, por lo que es necesario incrementarla e impulsarla, ya que lleva consigo un
efecto multiplicador en la economía.
El multiplicador de la inversión expuesto por Keynes es igual al recíproco de
la propensión a invertir. El multiplicador provoca que los efectos de una inversión inicial sean mayores en un múltiplo de ella; esto se debe a que una inversión
inicial incrementa la producción, ésta a su vez el empleo y, por lo tanto, la demanda, lo que provoca el incremento de la producción y nuevamente se incrementa
el empleo y con él, la demanda. Este ciclo (inversión, producción, empleo y
demanda) se activa a través del multiplicador, teniendo como límite el que éste
señala.
La fórmula del multiplicador es:
AY 1
K Al I-OC
La inversión depende de lo que se gaste en consumo (propensión al consumo);
esto también determina al multiplicador, por ejemplo:
Álgebra básica
268
Supongamos que el ingreso (Y) es igual a 100, que el consumo (C) es igual a
80 y que la inversión (1) es igual a 20
Si Y= C+ I, entonces 100 = 80 + 20
En este caso, la propensión al consumo es de 80%, lo que quiere decir que de
cada $100.00 de ingreso se destinan $80.00 (80%) al consumo y $20.00 (20%) a la
inversión.
Si el multiplicador es el inverso de la propensión a la inversión, que es de 20%,
entonces K= 5. Manteniendo la misma propensión al consumo y a la inversión, y
con el multiplicador de 5, el ingreso se incrementa a 500, el consumo a 400 y la
inversión a 100, por lo que el nuevo equilibrio general queda como:
Y(500) = C(400) + 1(100)
Un modelo keynesiano simple del ingreso nacional puede ser resuelto mediante sistemas de ecuaciones simultáneas . Con ello se obtienen los valores de equilibrio para el ingreso (Y) y el consumo (C).
Supongamos el modelo de dos ecuaciones simultáneas.
Y=C+ ó+Go
C= a+ bY
Donde:
Go = Gasto del gobierno (variable exógena).
Io = Inversión determinada exógenamente.
a = Consumo autónomo (donde a > o).
b = Propensión marginal al consumo (suponemos o < b < 1).
Definidos los parámetros y las variables exógenas (lo, Go, a y b), así como las
restricciones para a y b, el sistema de ecuaciones puede ser planteado de la siguiente forma:
Y-C =4 +Go
-bY+ C= a
De esta manera , las variables endógenas Yy Caparecen únicamente en el primer miembro de las igualdades, en tanto que las variables exógenas y los parámetros
independientes aparecen sólo en el segundo miembro.
S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
269
Enseguida mediante despejes sucesivos se calculan los valores de equilibrio
para el ingreso y el consumo.
Ejemplo de 5..7.1
Considerando la siguiente información, se calculan los valores de equilibrio para
el ingreso (Y) y el consumo (C).
Gasto del gobierno (G0 = 100)
Inversión determinada exógenamente (10 = 400)
Consumo autónomo (a = 5)
Propensión marginal al consumo (b = 0.60)
Solución:
Como primer paso se establece un modelo de dos ecuaciones simultáneas.
Y=C+Io+Go
C=a+bY
Enseguida se calculan los valores de equilibrio para el ingreso (Y) y el consumo (C).
Despejando se tiene que:
Y- C= lo + Go
-bY+ C= a
Sustituyendo los valores en el sistema se escribe:
Ecuación 1
Ecuación 2
Y- C= 400 + 100
-0.60 Y+ C= 5
Despejando se obtiene:
Ecuación 1 modificada
Y- C= 400 + 100
-C= 500 - Y
C,=-500+Y
Ecuación 2 modificada
C2= 5 + 0.6 Y
270 Álgebra básica
Igualando C y C
-500+Y=5+0.67
Y-0.67=5+500
7(1-0.6)=505
Y(0.4) = 505
Y= 505/0.4 = 1262.5
El ingreso de equilibrio es 1262.5
Sustituyendo en la ecuación original 2, se obtiene el consumo de equilibrio:
-0.607+ C= 5
-0.60(1262.5) + C= 5
-757.50 + C= 5
C= 5 + 757.50
C= 762.50
Comprobación:
Sustituyendo en la ecuación original 1 se obtiene la igualdad de la ecuación:
Y- C= 400 + 100
1262.5 - 762.5 = 400 + 100
500 = 500
Sustituyendo en la ecuación original 2, también se obtiene la igualdad de la
ecuación:
-0.60 (1262.5) + 762.5 = 5
-757.50 + 762.5 = 5
5=5
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 271
GRÁFICA 5.19
1
1 Y
1255 1257 1259 1261 1263 1265 1267 1269 1271 1273 1275
En la gráfica se muestra el punto de equilibrio para el ingreso y el consumo.
5 7.2. Modelo de mercado con dos bienes
Una de las aplicaciones más comunes de los sistemas de ecuaciones en economía
se desarrolla en el análisis de mercados . En esta aplicación se expone un modelo
de mercado con dos bienes. Es necesario mencionar que se ejemplifica con un
modelo en equilibrio, donde los bienes tienen sustitutos cercanos, de manera que
la cantidad (Q.) y el precio (P) de un bien afectan la cantidad y el precio del otro
bien; no hay excedente , por lo cual la oferta es igual a la demanda. Bajo estas
condiciones el equilibrio se da cuando Qd.= Qs .. El equilibrio en el modelo de
mercado con n mercancías comprenderá n ecuaciones, una para cada mercancía,
de modo que
E.=Qd.=Qs.= O(i=1,2,...,n)
272 Álgebra básica
Donde:
E.= Equilibrio del mercado.
Qd.= Cantidad demandada de d..
Qs.= Cantidad ofertada de d..
Si hay una solución, tendremos un conjunto de precios P,. y sus. correspondientes cantidades Q,, de manera que se satisfarán en forma simultánea todas las n
ecuaciones de las condiciones de equilibrio.')
Al plantear el modelo simplificamos las funciones de demanda y oferta de ambas mercancías haciéndolas lineales. Con parámetros, el modelo puede escribirse
como:
1. Qd.-Qs.=O
2. Qd. = ao + a,P, + a2P2
3. Qs. = bo + b, P, + b2P2
4. Qd -Qs_=0
5. Qd=
00+0,P, +02P2
6. Qs_ = 80+ B,P, +
82P2
Donde:
Q es variable endógena.
a, b, 0 y 8 son coeficientes de demanda y oferta.
I, z corresponden a bienes.
Un primer paso en la solución de este modelo consiste en la eliminación de
variables. Sustituyendo las ecuaciones segunda y tercera en la primera (del primer
bien) y la quinta y sexta en la cuarta (del segundo bien), el modelo se simplifica a
dos ecuaciones de dos variables.
(a0 - bo)+(a, -b,)P, +(a2 -b2)P2 =0
(00 - 80) +(01 - 81) P +(02 -62)P2 =0
Aquí se presenta la versión de dos mercancías, luego que se han sustituido las
funciones de oferta y demanda en las dos ecuaciones de la condición de equilibrio.
Este sistema de sólo dos ecuaciones contiene no menos de 12 parámetros, lo cual
(') Pi, Q. se refieren a precio y cantidad de equilibrio para el bien ri.
5.. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 273
complica la manipulación algebraica; por ello definimos dos símbolos simplificadores.
e. = a.- b.
á.= 0, - S.
Donde: í= 1, 2
De esta manera, después de despejar eo y ao al lado derecho de la igualdad,
se tiene:
e,P, + e2P2 =
-e0
a,Pl + a2P1= -a0
Planteado así, el sistema de ecuaciones para obtener los precios de equilibrio
puede resolverse mediante sistemas de ecuaciones simultáneas.
Ejemplos de 5..7.2
1. Suponga que en el mercado de la fresa la demanda está determinada por la
siguiente ecuación:
Qd=
1000 - 100p
y la oferta tiene la siguiente:
Q0=-125+125p
Obtener el precio y las cantidades de equilibrio en ese mercado.
Solución:
En equilibrio, las cantidades ofertadas y demandadas se igualan, por lo que:
Qd = Q0
1000 - 100p = -125 + 125p
-100p- 125p=-125 - 1000
-225p = -1125
p = -1125/-225
p=5
274 Álgebra básica
El precio de equilibrio se sustituye en cualesquiera de las dos ecuaciones para
encontrar la cantidad de equilibrio; utilizando la ecuación de demanda se tiene:
Qd = 1000 - 100p
Qd= 1000 - 100 (5)
Qd= 1000 - 500
Qd= 500
Por lo tanto, en el mercado de la fresa, el precio de equilibrio es de $5.00, con
una cantidad de 500 unidades (pueden ser toneladas, kilogramos, etcétera).
Un precio por arriba del precio de equilibrio provocará un exceso de oferta. El
precio por debajo llevará a una escasez del producto.
GRÁFICA 5.20
Qd, Qo
1500 -
-500 J
2. Supongamos que la ecuación de demanda de cierto artículo para un individuo es:
qd=10-3pz
Para un productor individual, su función de oferta es:
qo=4+2p+pz
5 Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 275
Supongamos que hay 1000 individuos idénticos con la misma función de demanda y 100 productores con la misma función de oferta. Determinar la cantidad y
precio de equilibrio de mercado.
Solución:
En equilibrio, la oferta es igual a la demanda de mercado. Se requiere tener la
función de demanda y de oferta de mercado.
Puesto que se tienen 1000 individuos con la misma función de demanda, la
demanda de mercado está determinada por:
Qd= 1000gd
Qd= 1000(10 - 3p2)
Qd= 10000 - 3000p2
La oferta de mercado se obtiene multiplicando la función por los 100 productores:
= 100 q,
QQ = 100(4 + 2p + p2)
Q, = 400 + 200p + 100p2
19
Para encontrar precio y cantidad de equilibrio se requiere igualar las ecuaciones:
10000 - 3000p2 = 400 + 200p+ 100p2
-3000p2 -100p2 = 400 - 10000 + 200p
-3100p2 = -9600 + 200p
-3 l OOp2 - 200p + 9600 = 0
-31p2-2p+96=0
Aplicando la fórmula general:
_ -b ± -Ib2 -4ac
Qd ' Qa
2a
L9,1 Qo = -(-2) ±
^(-2)2 - 4(-31)(96)
2(-31)
+2 ± -,l4 - 4(-2976)
Qd,Q0= -62
llgebra básica
276
+2± J4+11904
Qd'
-62
_ +2 ± J11908
-62
Q`'' Q"
Qd1 Qo
+2± 109.12378
-62
_ 11 1.12378
Q`t ---62
Qd= -1.79
-107.12378
-62
Q, = 1.7278029
Sustituyendo en la ecuación de oferta se encuentra la cantidad que se oferta:
QQ = 400 + 200p + l00p2
Qo = 400 + 200(1.7278029) + 100(1.7278029)2
QQ= 1044
GRÁFICA 5.21
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 277
Como puede observarse , el equilibrio del mercado en la parte negativa no tiene
sentido; la siguiente gráfica muestra sólo el equilibrio positivo.
GRÁFICA 5.22
Qd, Qo
1.6 1.6 1.7 1.7 1.7
De esta forma, el precio al que se equilibra el mercado es $1.727; la cantidad
demandada y ofrecida es de 1044 unidades.
5.7 3. Análisis de optimización
En microeconomía frecuentemente nos encontramos con problemas de optimización, que se refieren a determinar la producción óptima de artículos, con recursos
escasos, en el sentido de maximizar las ganancias o bien minimizar los costos de
producción.
Si el problema tiene sólo dos variables se representa mediante el siguiente modelo, denominado modelo de programación lineal. (2)
max/min z = c,x, + c2x2
(<1
a„ x, + al2x2
b,
(2) La programación lineal es una rama de las matemáticas que se ocupa de problemas de optimización,
con relevante utilidad en las carreras de economía y administración.
Álgebra básica
278
ax+a
21 1 22x2 b2
>J
<1
a,,,,xl + am2x2
bm
xl_0 x2>_0
Un método de solución para este modelo de sólo dos variables consiste en encontrar el plano de soluciones.
• Si no existe, se dirá que el problema no tiene soluciones.
• Si no está acotado, se dirá que el problema no es acotado y tampoco tiene
solución.
• Si tiene un plano de soluciones acotado, entonces:
- Se procede a determinar los vértices (intersección de las rectas de los planos generados por cada restricción).
- Se evalúa la función objetivo z en cada vértice.
- Se elige la mejor (es decir, la máxima o la mínima según sea el sentido de
la función objetivo).
Ejemplo de 5..7.3
Consideremos la fábrica de ropa de punto Crece, que produce camisetas y trusas
para niños.
Cada día cuenta con 1000 metros de tela de algodón, 500 metros de resorte y 40
horas costura.
Un ciento de camisetas requiere 50 metros de algodón, no necesita resorte, se
ocupa una hora para su producción y genera una ganancia de $500.00.
Un ciento de trusas requiere 25 metros de algodón, 25 metros de resorte, 1.6
horas para su producción y genera $400.00 de ganancia.
Se desea saber cuántos cientos de cada producto se deben fabricar con los recursos, de tal manera que se maximice la ganancia.
Una forma conveniente de resolver este tipo de problemas consiste en organizar los datos:
5 Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
279
TABLA 5.9
Productos
Materia prima
Lím ite
Camiseta (100)
Trusa (100)
Algodón
50
25
1000
Resorte
0
25
500
Horas / costura
1
Ganancia
1.6
500
40
450
El modelo de programación lineal para este problema es:
max z = 500x, + 450x2
50xi + 25x2 1000 R 1
25x2500 R2
x,+1.6x240 R3
x,>_0
x2>_0
Método gráfico de solución:
GRÁFICA 5.23
Cada una de las restricciones genera un plano, la intersección de los planos
genera la región de soluciones y las intersecciones de las rectas que limitan los
planos son los vértices y las posibles soluciones óptimas. Los vértices son las intersecciones de las rectas.
Álgebra básica
280
En la siguiente tabla se presentan los vértices, la intersección a la que corresponde y la evaluación de la función objetivo.
TABLA 5.10
Vértices
vi
Sistema o intersección
de rectas
x, = 0
(x »', x'2 )
Z == 500x1 + 450x2
(0,0)
0
(0, 20)
9,000
(8, 20)
13,000
(10.9, 18, 2)
13,640
(20, 0)
10,000
x2 = 0
V2
x, = 0
x2=20
V3
25x2 = 500
x, + 1.6x2 = 40
V4
50x, + 25x2 = 1000
V5
50x1 + 25x2 = 1000
x, + 1.6x2 = 40
x2
=0
La solución óptima matemática es: x, = 10.9 y x = 18.2 con Z= 13,640
Sin embargo, en la práctica la solución óptima será fabricar 11 cientos de camisetas y 18 cientos de trusas para niños diariamente, con una ganancia óptima de
$ 13,600.00.
5.8. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
CON EL PAQUETE MATHEMATICA
Ecuaciones de primer y segundo grados y sus soluciones
Mathematica maneja las ecuaciones como proposiciones lógicas, incluso maneja
la composición de proposiciones a partir de los conectivos: usa 11 para disyunción
y && para conjunción. Si se teclea la ecuación x^2 + 3x== 2, el paquete la interpreta como la afirmación de que la suma del cuadrado de xy su triple es igual a 2;
si se le asigna a x un valor, como 4, el paquete evalúa la proposición como verdadera o falsa.
Para encontrar las soluciones de la ecuación se utiliza la instrucción Solve,
indicando las variables cuyos valores se desean. También Roots proporciona la
solución.
5.. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
281
Ejemplo..
In[31]:= x^2 + 3x == 2
Out[31]=3x+x2==2
In[32]:= Roots[%, x]
Out[32]= x =_ -3 + Sqrt[ 17] l i x =_ -3 - Sqrt[ 17]
La expresión producida por Roots tiene la forma: x == r, l i x == r1, la cual establece que tanto x = r, como x = r2 son valores que hacen cierta la afirmación
establecida por la ecuación.
En ocasiones se requiere sustituir las soluciones de una ecuación en otra y la
interpretación de la proposición no lo permite; entonces es necesario transformar
la proposición, para tener la solución en una forma explícita que permita la sustitución; esto se logra mediante la instrucción ToRules.•
In[33]:= {ToRules[%]}
Out[33]= { {x -> -3 + Sgrt[17]}, {x -> -3 - Sgrt[171} }(3'
Para sustituir estas raíces en otra expresión que involucre x se utiliza la instrucción (/.).
In[34]:= x^2 + 5x /. %
Out[34]= {(-3 + Sgrt[17])2+ (-3 + Sgrt[17])} {x -> -3 - Sgrt[17]}}
Ecuaciones en una variable
Mathematica puede encontrar la solución exacta de las ecuaciones.
In[35]:= Solve[x^3 + 3x^2 + 3x + 2 == 0, x]
Out[35]= {{x -> -2}, {x -> -1 + Sqrt[-3]}, {x -> -1 - Sqrt[-3]} }
Como se observa, el primer elemento en la pareja es la ecuación que desea
resolverse y el segundo es la variable cuyo valor se busca.
El resultado se da como lista de reglas de reemplazo (->)
(3) Recuerda que el signo -> que se obtiene combinando el menos con el mayor que, sin espacio
intermedio , sirve para asignar valores a las variables en una expresión.
282 Álgebra básica
Para obtener una lista de las raíces en una ecuación se usa Tlariable% Solve.
In[36]:= x/. Solve[x^2 == 4, x]
Out[36]= {2, -2}
Anteponiendo Nse obtiene la expresión numérica de las raíces; si además se
agrega al final TableForm precedida de //, se obtiene como tabla:
In[37]:= N[Solve[xA6 + x^5 + xA2 + 1 == 0, x]]//TableForm
Out[37]= x -> -1.15408 - 0.613723 1(4)
x -> -1.15408 + 0.613723 1
x -> -0.08275 - 0.795302 1
x -> -0.08275 + 0.795302 1
x -> 0.736832 - 0.610339 1
x -> 0.736832 + 0.610339 1
Por otro lado, si la expresión involucra más variables, éstas son tratadas como
constantes.
In[38]:= Solve[x^2 - 5xy + 4y^2 == 0, x]
Out[38]= {{x -> 4y}, {x -» y} }
Para encontrar las raíces de un polinomio de grado mayor, la operación se facilita si la expresión primero se descompone en factores, usando Factor, o se escribe
como composición de polinomios de grados menores, utilizando Descompose.
In[39]:= Factor[x^5 - 2x^4 - 9x^3 + 14x^2 + 20x - 24] (Primero factoriza)
Out[39]= (x + 2)2(x - 1)(x - 2)(x - 3) (Automáticamente proporciona las raíces)
In[40]:= Expand[Product[x - i, {i, 5}]]
Esta instrucción está pidiendo desarrollar el producto de los factores (x- i) con i=
1, 2, 3, 4, 5, esto es, (x- 1)(x- 2)(x- 3)(x- 4)(x- 5)
Out[40]= -120 + 274x - 225x^2 + 85x^3 - 15x^4 + x^5
In[41]:= Solve[% == 0, x]
Esta instrucción solicita encontrar las raíces de la ecuación anterior, igualada a cero.
Out[41]= {{x->5}, {x->4}, {x->3}, {x->2}, {x-> 1}}
(4)j significa número imaginario, esto es,
5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades
283
In[42]:= Solve[x^6 == 1, x]
>E(1) /3Pi}, {X-> E (21)13 Pi },
{X-> l }, {XOut[421 =
[{x- > -1}, {x- > E(41)/3 Pi }, {X- > .E(51)/3 Pi 11
Esta salida se interpreta como que la ecuación tiene dos raíces reales, 1 y -1, y
cuatro raíces imaginarias, expresadas en su representación a partir de la función
exponencial.
Para aproximar la solución de ecuaciones generales se utiliza la instrucción
FindRoot.
In[43]:= FindRoot[x Sin[x] -1/2 == 0, {x, 1}] (Encuentra una solución para esta
ecuación cercana a x = 1)
Out[43]= {x -> 0.740841}
Sin instrucciones adicionales , el paquete factoriza en enteros, pero si se desea
manejar números complejos se puede usar la instrucción Gaussianlntegers.
Ejemplo
In[44]:= Factor[x^2 + 9 Gaussianlntegers -> True]
Out[44]= (x - 3 I)(x + 3 1)
El paquete no factoriza usando radicales; éstos sólo aparecen como raíces de un
polinomio.
La forma de encontrar la solución de un sistema de ecuaciones que involucran
más de una variable, es a partir de una lista que incluya las ecuaciones y las variables cuyos valores se desea encontrar, por ejemplo:
In[45] := Solve[{2x + 3y == 7, 3x - 2y == l l}, {x,y}]
Out[45]= {x -> 47/13, y -> -(l/13)} }
Si el sistema tiene más de una solución, se obtiene la lista de los valores:
In[46]:= Solve[{x^2 + y^2 == 16, x^2 - 4 == y}, {x,y}]
Out[46]= {{y -> 3, x -> sgrt[7]}, {y -> 3, x -> -sqrt[7]}, {y -> -4, x -> 0},
{y->-4,x->0}}
284 Álgebra básica
Asimismo , se puede añadir el comando //TableForm para obtener las soluciones en forma de tabla, como en el caso de una sola ecuación:
In[47]:= Solve[ {x^2 + y^2 == 16, x^2 -4== y}, {x,y}]//TableForm
Out[47]= y -> 3 x -> sgrt[7]
y->3x->-sgrt[7]
y->-4x->0
y->-4x->0
En general, para solucionar cualquier sistema de ecuaciones simultáneas deberá utilizarse la instrucción:
Solve[{ecuaciónl == b,,ecuación2 == bz,...,ecuación n == bn}, {x1,x2,..,xn}]
Los operadores relacionales utilizados por el paquete son:
TABLA 5.11
Operadores
Significado
x == y
Igualdad
x ¡= y
Desigualdad
x>y
Mayor que
x<y
Menor que
x >= y
Mayor o igual que
x <= y
Menor o igual que
x == y == z
Los tres iguales
x ¡_= y ¡_= z
Los tres distintos
Mathematica realiza la prueba de las afirmaciones relacionales que se le introducen y contesta con verdadero o falso.
In[27]:= 3 < 5 < = Sqrt[37]
Out[27]= True
Los operadores lógicos que se manejan en el paquete son:
5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades
285
TABLA 5.12
Operador
¡p (proposición)
Significado
Negación
p&&q&&...
Conjunción
p I Iq 11...
Disyunción
Xor[p,
q.... ]
Disyunción exclusiva
Iflp, then, else]
Sip verdadera entonces...
LogicalExpand[expresión]
Expande expresiones lógicas
Este paquete siempre proporciona las raíces de un polinomio hasta de grado
cinco; cuando el grado es mayor, en ocasiones no puede generar fórmulas explícitas y utiliza objetos Rootpara representar las soluciones . La instrucción FindRoot
se usa para encontrar las raíces de una expresión no algebraica.
Ejemplos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
IMAGEN 5.1
In[84]= H[So1ve[x ^ 3+x12-25x - 25=. 0, x]] /i TableForm
Out[84]//Tabi.íonn=
X-+-S.
X-,-1.
x-. S.
m ]65]:= Expand [ Product [x-i, {i, 5]])
0t951=
-120+274X-225x'+ 85x7 -15x'+xs
In[88]= So1ve[%== 0, x]
0m[28]= (¿x-.1), (x-.2}, {x-.3), (x-.4), (x-.5}}
In[67]:= Factor[ x-5-2x ^ 4-9x^3 + 14x " 2 + 20x- 24]
0utI87]= (-3+x) (-2+x) (-1+x) (2+x)'
In(88]= H[Solve [ x^6 ..1, x]] // TableForm
Ou 188 ]//Tabl.F.--
x -1.
x-,1.
x-.-0.5-0.866025I
X-0.5+ 0.8660251
o-. 0. 5 - 0.666025 I
X -+-0.5 .0.866025I
yIi
J
y
J
y
J
y
J_
286
Álgebra básica
IMAGEN 5.2
^ Urotiflled^l'
InflO]:= 3 < 5 <- Sgrt[37]
3
1
um1e97 True
InflO]= Solve[ x^4-5x " 2- 3 ==0, x]
I
G, Mil: =^^x-+_I"^-^_S+
( 5+1T37)}}
in(at;- So1ve [ 2 - 4 x + 5 x° 5 == 0, x]
33]-J= :xFoot[--4fl11+5#I'.s, 1] {x- Poot [2-4A1 + 5Nlsa, 2[
(x-. P.oot( 2-4A11+511tt, 311,
RoOt[2- 4g1+501°s, 4j{x-.Root[2- 4y1+5Alsu, 5[}?
,P21- 11 [tl
o^s¡51 ¡= ({x-.-1.04.302}, rx-+0.587454}, {x-,0.6744671, {x-+-0.109451-0 .o77715I},
{x -. -0. 109451 . 0. 977715 1) }
In['e7^.= Solve [- 6 x+ 2 y - 5 == 0, (x, y)]
.^^L,e:: <vara Equations nav ,_ot give solurions for al¡ "solae" ,raxi les.
ti 31
JJ
{tx--6 + 3}}
Ejemplos de solución de sistemas de ecuaciones lineales
IMAGEN 5.3
", Untitkd-1
In (97J= So1ve [- 6 x + 2 y - 5 == 0, {x, y)]
.4o b: :<vais :
EIfxations may flor give so1utions fon ail =lve" ^arial he,,.
Yll
6 311
S.1ve[{3x-4y_=11,- x 5y-- 91, (x, y)]
u,n 110 n= {{x>-, y--2}1
^<[tazp.= Solve[ ( 2x-4y - 5z== 12 , - x-5y+7z==-15, 2x + 5 y+ 10 z==-7), {x, y, z}]
U:n[to2J= {{x _+ 874 Y 33 e y - 428
291 97 291
in[toaJ:= So1ve [{ 2x-3y + z-w.=-0, x + y-z-w==-4 , x+y+ z +w == 22, x - y - z - w.= -14}, {x , y, z, w)]
On(1UJJ= ( {x ^ 4, y ti 5, z 6, w 7 } )
m[104] = Solve [{ 6y+6z =- 1, 8 x+6z =_- 1, 4x+9y == 0), {x, y, z)]
2
3
6
5 Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
287
IMAGEN 5.4
^...EAr^,ñcaa,nk g, camivm^s ri
in[971:= Solve [- 6x+2y - 5==0, (x, y)]
S¡o)lve::svars :
~7p.
Equations uay not give solutions for a11 "solve " variables.
{{x - 6 3»
mpnl] Solve[ ( 3x-4y 11, -x-5y == 9), {x, y)]
7m[10]= ((x -. 1, y-. -2) )
n[t01)= Solve [{ 2x-4y - 52== 12, - x-5y+72== - 15, 2x+5y+102== -7), (x, y, 2)]
33 o-,- 428
.an[lo2)= {{x -, 874 y-,
291 97 291
np03]= Solve[{2x - 3y+z-w ==- 8, x+y-z-w==-4 , x+y+z,w == 22, x - y - z - w== -14 1, ( x, y, z, w)]
w[103]= ((x, 4, y-, 5, Z.6, x, 7))
n104]= Solve [( 6 y+4z
- 1, 8x+6z==-1, 4x+ 9y== 8), (x, y, z)]
•
1.
1 2
0.[1041=
L{x -aY2 -3 , Z -'--6
11
n[1 u5):=Solv[( x^2 y-2 == 1, x,3 y == 0), (x, y}]
.7ut('GSp {Íx -'- 3 y^-1' {x -. 3 • 1
y- - }I
10 V 1G 1G 1G
Para sistemas de ecuaciones cuadráticas las instrucciones son las mismas; en
realidad, se utilizan para cualquier sistema de ecuaciones:
IMAGEN 5.5
k, [1021, Solve [( 2x-4y -Sz--12, - x- 5y.7z ==- 15, 2x + 5 y+ 10z ==- 7), (x, y, z)]
t
_ y 4251
z9,5 (102]' {{xy 874 yy 33
291 97 291 í
sIn[1031= Solve[ ( 2x-3y + z-w:=-8, x+y-z - w==-4, x+y + x+w== 22 , x-y-z-w==-14
{
0ut[103]= ( (x -. 4, y -, 5, z -^ 6, w -. 7) )
n[lUa) a 5Jo¡lve [( 6 y•6z ==- 1, 8x + 6z ==- 1, 4x+9y == 8{x, y, z)]
ll tt
ou Itoa1= { {x -•2
1 • Y -e
= • z -•
- s II
3
6
n[10^7^ So1ve [ 2 X-2 + 13 x - 24 == 0, x]
canpnrl= {(x-+ -8), {x -+ 2
3»
h¿105):= Solve[(x^2+y^2==1, x+3 y0), (x, y)] 7
J4It031= {{x -'- 3 , Y-, 1 1' {x -. 3 , Y-•- 1 }l
lo
10
10
10
x[109]-= So1ve[ (- 3x^2+4x + 1==9, 7x ^ 2-4=- 1), x]
Sut[f09]= (1
altos]' Solve [( x^2+y^2== 25, 2x^2+p^2== 34 ), ( x, y}1
^m[1091= ((x-.-3, y^-4), (x-,-3, y-.4), (x-. 3, y-+-4), fx ^3, y, 411
( x, y, z, w)]
288
Álgebra básica
IMAGEN 5.6
0 Fcu¿wiones y sistemas de ecuarinne s nb "
mi1121 -So1ve[([ x+4)12+(y -1)12==16 , y-x"2==0], {x, y)]
16
2+
l
+ s {899 - 6 22389
)111
+ 1 (899 + 6 223891is
3+ 3 (899-6í?.2389}1 11+ 3 899+6
4
22389 }l s
1
(899 - 6 22389111
3 - 3
,lfa
16
¡a + i 699-612 2
3 89 11, s (899+6 22389
V
899 - 6 \ 23 89 )11s L (899+ 6 22389 )11) 1
3
3 899+6 22389
]111+
111
4 - - (699 - 6 22389 } i1l
3
16
1 (899 - 6 2 6 Y' l (899 + 6 22389
lis
Solución de algunos de los ejemplosy ejercicios propuestos en este capítulo
utilizando Mathematica
IMAGEN 5.7
S Ol ve [ 3 x - 6 = = 0 , x ]
(x^ 21s
5.1.1. Ejemplo 1
SO1ve [x ^ 2 -4 == 0, x]
({x-+-2), {x-,2)}
So1ve [3 x^ 2 _ 48 == 0, x]
((x-, -as, ix X411
S
lve [7 x ^ 2-56 0, x]
«- -2'-2J, (x -*2 17
5o1ve [3 x ^ 2 - 27 0, x]
5.2.1. Ejemplos del 1 al 6
((x-s-3), (x-.3))
SOlve[[x . 2)/3 -4/[x - 2) ^,. O, x]
,SOlve.[( x -6) (x - 6) 28 =..0, x]
=flx, 3), (x-'811
5.1 [3 x ^ 2 - 36 +x ^ 2 == 0, x]
«. 3), (x.311
5.2.2. Ejemplo 1
S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
289
Otros ejercicios
IMAGEN 5.8
Solee [ 4x^2-36.= 0, x]
5.2.2. Ejemplo 1
{(x-.-3}, {x-.3}}
Plot [ 4x^2-36 , ( x, -5, 5}]
La gráfica se solicita con la instrucción Plotjfunción, (variable, límite inferior,
límite superior)!
IMAGEN 5.9
rE,
ECUdGYNtBS L90N
RME3
MatliCntatlCa.1W
Solee [ x^ 2 - 5 z .. B, x]
5.2.3. Ejemplo 1
{{x-.O , (x-i5)}
So1ve[6x^ 2+5x..0, x]
5.2.3. Ejemplo 3
{{x-.-6}, {x-.o}}
Álgebra básica
290
IMAGEN 5.10
5o1ve [x " 2 . 3x* 2 == 0, x]
5.2.4. Ejemplo 1
{(x-.-2), {x-r-1})
IP P1ot [ x^2. 3x . 2, {x, -4, 4)]
to b
is
lo
-4
-t
- Graphics -
So1ve[x ^ 2 - 3x- 10.. 0, x]
5.2.4. Ejemplo 2
((x-.-2), 1x-.5})
IMAGEN 5.11
o Ecuaáones con Mathematica.nlo
Solve[2x ^ 2.7x.6
0, x]
¿¿==
{(x-•-2), {Xi- 21}
5.2.4. Ejemplo 3
Plot[2x^2.7x.6, { z, -5, 3)]
So1ve[2x ^ 2-7x-4== 0, x]
{{x-i-Z}, (x_4}}
jJ
5 Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
Soluciones de ecuaciones cuadráticas mixtas completas
IMAGEN 5.12
- Graphics Solve[2x^2 - 7x- 4 == 0, x]
5.2.4. Ejemplo 1
{{X-+-z}, {x-,4}}
Solve[x^2+6x-16== 0, x]
5.2.5. Ejemplo 1
i{x- -s}, {x-o2}}
P1ot[x^2+6x - 16, {x, -8, 4}]
IMAGEN 5.13
- Graphics '.'1;o1ve [x^ 2 - 7 x + 12 == 0, x]
5.2.5. Ejemplo 2
Plot[x ^ 2 -7 x+12, { x, -12, 18}]
t0o
150
100
- Graphics So1ve [3 x^ 2 - 7 x - 6 == 0, x]
5.2.5. Ejemplo 3
{{x-,-3}, {x.3}}
291
Álgebra básica
292
IMAGEN 5.14
Ejemplos11, 2 , 3, y4 de la sección 5.2.6
mp1= So1ve[x ^ 2+4x+3 ==0, x]
{{x^ -3}, {xa-1}}
np==Solve ( x^2-14x + 13 ==0, x]
oUr]= {{x - 1}, {x -> 13} }
mi4p=Solve [ x^2-4x-1 -- 0, x]l
ov[4]= {{x-a2--^-5-}, {x-^2+ }}
61:=Solve[9x ^ 2- 36x+31 ==0,, x]
11
oU[61= {{x-+ 3 (6-V5)},
{x^ 3 16+^^}1
Sistemas de ecuaciones de primer grado
IMAGEN 5.15
o ve[{2x y. , - x+-0
5.3. Ejemplo 1
{{x-+-1, y-.3}}
Solve [( x+y x + y- 3 ==el, (x, y)]
5.3. Ejemplo 3
{}
''. Salve [(x + 3y-9-=0 , 4x+5y - 1--0), (x, y)]
{{x-.-6, y-.5}}
P1ot[{(- x+9)/3, (-4x +1)/5}, {x, -8, 2}]
- Graphics -
5.3.1. Ejemplo 1
S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
IMAGEN 5.16
r, Ecuaúenes cese idtBwnalica.nb "
- Graphics -
Sobe[{-4x.6y- 2 , 6x-9 y.. 4 ), ( x, y)]
5.3.1. Ejemplo 3
(}
Plot[{(2.4x)16, (6x-4)19), ( x, -3, 3)]
- Graphics -
Sistemas de ecuaciones deprimery segundo grados
IMAGEN 5.17
Ecuaciaies con (Mathematica.nb
- Graphics 5olve[{y - 2-(x15 )+( x^2120 )== 0,4y.x-30== 0), (x, y)]
5.4. Ejemplo 1
{{y_, $ {51-I 359x-^ 1 {9.I 359)}, {yes 6 (51.I 359x-. Z (9-I 359}}}
Plot[{2 . ( x15) . (x ^ 2120 ), ( 30 - x) 14), (x, -50, 50)]
-Graphics -
293
Álgebra básica
294
IMAGEN 5.18
So1ve [( x^2+y-16== 0, x-y+4 == 0), IX, Y)]
5.4. Ejemplo 2
''. ({y-+O, x-. -4), {y-+ 7, x-, 3))
P1ot[{16 - x^2, 4+x }, { x, -7, 7}]
-Graphics Solee [{ 9x-y+12 == O, 3x^2+y - 39 0), {x, y}]
¡¡¡¡
j
5.4.
Ejemplo
3
lly-^ 3 (-1-9^3 (-1-5)},{yes 2 {-1+9Z
IMAGEN 5.19
- Graphics So1ve [{( x+6) (y+12 )- 144 = = 0 , K ==0}, (x, y)]
5.4. Ejemplo 4
409, y --.1 -13a 409 }}
{{x -17_ 4O9, y-.1 (_ 13 _ 409 }},{x. -17+
2
2
Salve [{( x+4) (y+2 )- 24 --0, x12 - 7+1--01, {x, y}]
{{x--12, y,-5}, (x-,2, y2))
5.4. Ejemplo 5
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
Gráficas de los ejercicios anteriores
IMAGEN 5.20
V, Ecuaehmes wrrrvfathen at
295
,k
Sistemas de ecuaciones de segundo gr°c4/o
Sol" [{ x'214 - y .6.. 0, x - Sgrt [ 36-y] ..0 }, { x, y}
{{[y-.12, x-. z-^6}J
Plot[ ( 6+x^2)4, 36-x^2), ( x, -10, 10})
- Graphics ¡ojlve [{ 3x^2+y _ 10 =.0, x ^ 2+2x-y + 4 ..0}, (x,y})
llY--^13 x-+-3x-a1)}
4
2
La función se expresa de la forma y = f ( ) (despejando y)
IMAGEN 5. 2
Plot [{ 10-3x ^ 2, x^212x . 4}, (x, -3, 313
- Graphics -
SJojlee[{x ^ 25x-y . 1-0, 2x^2.y - 9-0 ), { x, y}]
5.5. Ejemplo 3
{{Y-, 47 x-+-8}, {y-a 7, x-r 1)}
4
3
..Solee[{x-2y ^ 2+2y. 6 == 0, x. y^ 2.y - Sa-- 0), {x, y))
{(x Y-, 3), {x-. 122 Y-+_ 3
9 3
ii
5.5. Ejemplo 4
So1ve [{ 3y12-3y - x-2 ==0, y^2¡.1y.x-10 - 01, {x, y)]
5.5. Ejemplo 5
{(x-. 4, y-. 2), {x_ 37 , Y -+ - 3ll
4
2
5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 297
APÉNDICE DE 5.6
Teorema
Si a> by b> e, entonces a> c
Demostración:
a>b<t:¿ a-b=x,yb-c=y
donde x y y son positivos
(a-b)+(b-c)=x+y
a-c=x+y
a> c porque x y y son positivos
Teorema
Si a> b, entonces a+ c> b+ e, c c= 9? por hipótesis a> b t-¿ a= b+x, x es positivo
sumando c en ambos lados.
a+c=b+c+x
a+ c> b+ c
Teorema
Si a > b y ces positivo
ac> bc
El sentido de la desigualdad no cambia si se multiplica en ambos lados de la
desigualdad por un número positivo.
Demostración:
Por hipótesis , a> b <t::> a= b+x, x es positivo multiplicando ambos lados por e.
ac= bc+xc
298
Álgebra básica
ahora xc es positivo ya que x y e son positivos
ac > be
Teorema
Si a > b y e es un número negativo, entonces
ac < be
El sentido de la desigualdad cambia si se multiplica a ambos lados por el mismo número negativo.
Demostración:
Por hipótesis , a > b t=¿ a = b + x, x es positivo multiplicando ambos lados por e.
ac = be - xc
esto es equivalente a:
be = ac - xc
ahora xc es negativo porque x es positivo y e negativo
-xc es positivo
be = ac + algún número positivo
be>ac
ac < be
Liercicios del apéndice 5.6
Demuestra que:
1. Si a, b, e, d son positivos y si a > b y e > d, entonces: ac > bd
2. Si a> b y c> d, entonces : a+ c> b+ d
3. Si a y b son positivos y a > b, entonces: a2 > b2
S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades
299
BIBLIOGRAFÍA
Chiang, A., Métodosfundamentales de economía matemática, McGraw-Hill, México, 1994.
Weber, J., Matemáticas para administración y economía, Harla, México, 1984.
Frank, S. B., Matemáticas aplicadas para administración economía y ciencias
sociales, 3a. ed., McGraw-Hill, México, 1990.
Haeussler, Jr. Ernest F., y Richard S. Paul, Matemáticas para administración y
economía, 2a. ed., Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1992.