Modelo de la programación lineal

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HERRAMIENTAS DE CONTROL DE GESTIÓN
NUESTROS OBJETIVOS:
Atender a las expectativas y exigencias que presenta el medio productivo global para poder ser
componente clave dentro del desarrollo productivo regional APLICANDO EL METODO CIENTÍFICO PARA
OPTIMIZAR LA EFICIENCIA Y LA COMPETITIVIDAD.
Obtener una visión general sobre el concepto de MODELIZACIÓN, OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS,
COSTOS Y ESTRATEGIAS como herramientas indispensables para la toma decisiones gerenciales en la
búsqueda de la eficiencia de la gestión administrativa y/o productiva.
Desarrollar capacidades necesarias para el diseño de modelos particulares para resolver problemas en
situaciones específicas en empresas de la región.
Comprender la importancia de la Investigación de Operaciones como metodología de optimización
dentro de cualquier tipo de organización.
Modelizar situaciones específicas de asignación de costos, readecuación de insumos, asignación de
transportes, políticas de optimización de almacenamiento, optimización de líneas de espera y servicios
secuenciales en un canal y n canales
Conocer y utilizar herramientas computacionales, soporte para la aplicación de los modelos.
INTRODUCCIÓN
El universo de la Investigación Operativa es amplio abarca toda la problemática de la toma de decisiones en
empresas desde la fijación de objetivos hasta la planificación, ejecución y control de las políticas de gestión.
En principio la Investigación Operativa, históricamente fue considerada como:
La aplicación del método científico por parte de equipos especializados de distintas disciplinas
a distintos problemas para alcanzar soluciones que sirvan mejor a los propósitos de la
organización en forma conjunta.
En primer lugar queremos destacar que en la adaptación a nuestra realidad sería más conveniente
denominarla como HERRAMIENTAS DE CONTROL DE GESTIÓN ya que él termino Investigación de
Operaciones es muy antiguo y hace al nacimiento en la segunda guerra mundial de esta ciencia.
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Sintetizando diremos que las formas básicas en que la Investigación de Operaciones como herramienta en el
control de operaciones de gestión permite ayudar al ejecutivo :Cuando el funcionario ejecutivo no conoce las
variables de importancia, los sistemas de investigación operativa pueden ayudarlo a descubrirlas.
Cuando el funcionario ejecutivo conoce las variables importantes pero no como relacionarlas entre sí ni con el
resultado o con la medida de las compensaciones, la I.O puede dar el análisis necesario para resolver el
problema
Cuando el funcionario ejecutivo no puede examinar las muchas o innumerables medidas de compensación
para poder tomar una decisión, puede establecer un sistema matemático que pueda decidir por él y ayudarlo a
tener mejor información el momento donde tomar la decisión.
ANTECEDENTES DE LA DISCIPLINA INVESTIGACIÓN OPERATIVA
DEL CONJURO A LOS PARADIGMAS
La tribu
Para contar con una idea acabada de los procesos históricos que antecedieron a l nacimiento de la
investigación operativa y su posible evolución el e mundo actual efectuaremos una apretada síntesis
de la evolución de nuestra sociedad y del conocimiento. Síntesis muy abreviada y por lo tanto muy
peculiar ya que la aventura del desarrollo de nuestra sociedad del clan o tribu a la sociedad
postindustrial merece y necesita mucho análisis que el que estas escasas líneas pueden ofrecer. En
los comienzos de la humanidad, el orden simbólico se basaba en representaciones privilegiadas y
ordenadas del tipo terrorífico( bueno hoy puede decirse que el poder también suele utilizar estos
medios) que unificaban al clan en situaciones catastróficas o de disolución, lo denominamos modelo
mágico
En la sociedad tribal estas representaciones del universo se actúan, los actos
mágicos, rituales o conjuros inauguran una forma de ser activos y de representar al
mundo que nos rodea. La toma de decisiones y la problemática de la sociedad
estaban basadas en el modelo mágico. Por primera vez se construye un modelo para
explicar el mundo exterior y los problemas intrínsecos de la sociedad tribal.
Los imperios teocráticos
Los esfuerzos para ordenar el conocimiento se remontan a los
primeros tiempos históricos (con escritura), los testimonios
escritos más antiguos de investigaciones protocientíficas
proceden de las culturas mesopotámicas, y corresponden a
listas de observaciones astronómicas, sustancias químicas o
síntomas de enfermedades — además de numerosas tablas
matemáticas — inscritas en caracteres cuneiformes sobre
tablillas de arcilla. Otras tablillas que datan aproximadamente
del 2000 a.C. demuestran que los babilonios conocían el
teorema de Pitágoras, resolvían ecuaciones cuadráticas y
habían desarrollado un sistema sexagesimal de medidas
(basado en el número 60) del que se derivan las unidades
modernas para tiempos y ángulos.
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En el valle del Nilo se han descubierto papiros de un periodo cronológico próximo al de las
culturas mesopotámicas que contienen información sobre el tratamiento de heridas y
enfermedades, la distribución de pan y cerveza, y la forma de hallar el volumen de una parte de
una pirámide. Algunas de las unidades de longitud actuales proceden del sistema de medidas
egipcio y el calendario que empleamos es el resultado indirecto de observaciones astronómicas
prehelénicas.
El modelo racional nacido en la Grecia antigua efectúa una representación del universo,
representándolo como un conjunto lógico y por lo tanto previsible. Las representaciones son un
conjunto de definiciones reglas lógicas que permiten explicar los diversos ejes problemáticos sin
que medie ninguna explicación mágica. Este modelo choco con la realidad ya que lo lógico es un
modelo recortado de la realidad, una parte y no la realidad misma. Existe una enorme distancia entre
la propia realidad y su problemática en la recortada realidad lógica de los griegos.
Es de destacar que por su posición filosófica, los griegos fueron muy buenos en geometría pero no
desarrollaron una "ciencia" fáctica (basada en la experiencia basada en hechos observados). Uno
de los primeros griegos, en el siglo VI a.C., que intentó explicar las causas fundamentales de los
fenómenos naturales fue el filósofo Tales de Mileto. Fue un gran matemático que pensaba que la
Tierra era un disco plano que flotaba en el elemento universal, el agua.
El matemático y filósofo Pitágoras, de época posterior, estableció una escuela de pensamiento en
la que las matemáticas se convirtieron en disciplina fundamental en toda investigación científica.
Los eruditos pitagóricos postulaban una Tierra esférica que se movía en una órbita circular
alrededor de un fuego central. En Atenas, en el siglo IV a.C., la filosofía natural jónica y la ciencia
matemática pitagórica llegaron a una síntesis en la lógica de Platón y Aristóteles.(Ver Biografía de
Pitágoras).
Tras la destrucción de Cartago y Corinto por los romanos en el año 146 a.C., la investigación
científica perdió impulso hasta que se produjo una breve recuperación en el siglo II d.C. bajo el
emperador y filósofo romano Marco Aurelio. Durante este breve lapso el astrónomo Claudio
Ptolomeo propuso la teoría donde la Tierra era el centro del Universo (teoría geocéntrica).
También surgieron las obras médicas del filósofo y médico Galeno que se convirtieron en
tratados médicos de referencia para las civilizaciones posteriores.
La Ciencia Medieval y Renacentista
Durante la edad media existían seis grupos culturales principales: en lo que respecta a Europa,
de un lado el Occidente latino y, de otro, el Oriente griego (o bizantino); en cuanto al continente
asiático, China e India, así como la civilización musulmana (también presente en Europa), y,
finalmente, en el ignoto continente americano, desligado del resto de los grupos culturales
mencionados, la civilización maya. El grupo latino no contribuyó demasiado a la ciencia hasta el
siglo XIII; los griegos no elaboraron sino meras paráfrasis de la sabiduría antigua; los mayas, en
cambio, descubrieron y emplearon el cero en sus cálculos astronómicos, antes que ningún otro
pueblo.
Durante la época medieval las representaciones del universo se efectúan a través de la representación
de Dios, pero tienen cabida lo diverso en el sentido que existen subrepresentaciones en donde se
mantiene el modelo racional mientras no ponga en riesgo la existencia del orden monoteísta.
Al avance de la explicación racional del universo se le puso un bozal, se lo clausuró bajo
representaciones trascendentalistas religiosas, lo que se denomina hoy como : el modelo teológico.
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El modelo teológico produjo una lucha intensa por ir avanzando en una nueva representación del
universo y el cosmos, esa lucha no sólo dio lugar a debates entre personajes de la época sino
que con muchos esfuerzos, frustraciones, prohibiciones, torturas y reprimendas de muchos
científicos se avanzaba y retrocedía.
En China la ciencia vivió épocas de esplendor, pero no se dio un impulso sostenido. Las
matemáticas chinas alcanzaron su apogeo en el siglo XIII con el desarrollo de métodos para
resolver ecuaciones algebraicas mediante matrices y con el empleo del triángulo aritmético. Pero
lo más importante fue el impacto que tuvieron en Europa varias innovaciones prácticas de origen
chino. Entre ellas estaban los procesos de fabricación del papel y la pólvora, el uso de la
imprenta y el empleo de la brújula en la navegación. Las principales contribuciones indias a la
ciencia fueron la formulación de los numerales denominados indoarábigos, empleados
actualmente, y la modernización de la trigonometría. Estos avances se transmitieron en primer
lugar a los árabes, que combinaron los mejores elementos de las fuentes babilónicas, griegas,
chinas e indias. En el siglo IX Bagdad, situada a orillas del río Tigris, era un centro de
traducción de obras científicas y en el siglo XII estos conocimientos se transmitieron a Europa a
través de España, Sicilia y Bizancio.
En el siglo XIII la recuperación de obras científicas de la antigüedad en las universidades
europeas llevó a una controversia sobre el método científico. Los llamados realistas apoyaban el
enfoque platónico, mientras que los nominalistas preferían la visión de Aristóteles. En las
universidades de Oxford y París estas discusiones llevaron a descubrimientos de óptica y
cinemática que prepararon el camino para Galileo y para el astrónomo alemán Johannes Kepler.
La gran epidemia de peste y la guerra de los Cien Años interrumpieron el avance científico
durante más de un siglo, pero en el siglo XVI la recuperación ya estaba plenamente en marcha.
En 1543 el astrónomo polaco Nicolás Copérnico publicó De revolutionibus orbium caelestium
(Sobre las revoluciones de los cuerpos celestes), que conmocionó la astronomía. Otra obra
publicada ese mismo año, Humani corporis fabrica libri septem (Siete libros sobre la estructura
del cuerpo humano), del anatomista belga Andrés Vesalio, corrigió y modernizó las enseñanzas
anatómicas de Galeno y llevó al descubrimiento de la circulación de la sangre. Dos años
después, el libro Ars magna (Gran arte), del matemático, físico y astrólogo italiano Gerolamo
Cardano, inició el periodo moderno en el álgebra con la solución de ecuaciones de tercer y
cuarto grado.
EL orden religioso y su modelo teológico sucumbe frente al nacimiento del modelo científico, que
sobre todo explican que el ser humano puede construir una representación de la realidad, generar sus
propios conceptos y símbolos teóricos que enriquecen su representación .
Pero aun utilizando la experimentación y la observación como puentes entre su representación y
la propia realidad, el modelo científico no se deja engañar, aquello que esta explicando aun
cuando lo haya verificado con la observación y la experimentación es un modelo.
La Ciencia Moderna
Esencialmente, los métodos y resultados científicos modernos aparecieron en el siglo XVII
gracias al éxito de Galileo al combinar las funciones de erudito y artesano. A los métodos
antiguos de inducción y deducción, Galileo añadió la verificación sistemática a través de
experimentos planificados, en los que empleó instrumentos científicos de invención reciente
como el telescopio, el microscopio o el termómetro. A finales del siglo XVII se amplió la
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experimentación: el matemático y físico Evangelista Torricelli empleó el barómetro; el
matemático, físico y astrónomo holandés Christiaan Huygens usó el reloj de péndulo; el físico y
químico británico Robert Boyle y el físico alemán Otto von Guericke utilizaron la bomba de
vacío. La culminación de esos esfuerzos fue la formulación de la ley de la gravitación universal,
expuesta en 1687 por por el matemático y físico británico Isaac Newton en su obra Philosophiae
naturalis principia mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural). El nombre de
la obra no debe asombrarnos desde los griegos matemática es mathema, .Lo que se aprende, lo
que nutre al saber ( como la leche materna al bebé)
Al mismo tiempo, la invención del cálculo infinitesimal por parte de Newton y del filósofo y
matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz sentó las bases de la ciencia y las matemáticas
actuales.
Los avances científicos del siglo XVIII prepararon el camino para el siguiente, llamado a veces
“siglo de la correlación” por las amplias generalizaciones que tuvieron lugar en la ciencia. Entre
ellas figuran la teoría atómica de la materia postulada por el químico y físico británico John
Dalton, las teorías electromagnéticas de Michael Faraday y James Clerk Maxwell, también
británicos, o la ley de la conservación de la energía, enunciada por el físico británico James
Prescott Joule y otros científicos.
En esta breve y muy apretada síntesis de la evolución histórica del pensamiento científico de nuestra
civilización y sus modelos de representación, no podemos dejar de mencionar una de las epopeyas
más fuertes en el camino del conocimiento. La ruptura de la concepción de la visión geocéntrica (
representación del modelo teológico del universo) a la visión heliocentrista ( representación del
modelo científico del universo) y no podemos dejar de mencionar a Galileo Galilei ( ver biografia ),
creador de método de experimentación y sus palabras para tratar de que toda una concepción
cultural se modifique y se entienda la nueva realidad.
Él fue obligado
a confesar un error que no era error:
" Yo Galileo
Galilei, abandono la falsa opinión de que el Sol es el centro
(del Universo) y está inmóvil. Abjuro, maldigo y detesto los
dichos errores". La leyenda dice que cuando se puso de pie
E ppuurr ssii m
murmuró para sus adentros: "E
muuoovvee"" : Y sin embargo
(la Tierra) se mueve (alrededor del Sol).
En el siglo XVI el capitalismo se desarrolla aceleradamente ,es de tipo comercial, los banqueros
son hombres de negocios que fundan empresas, y nace la necesidad de la gestión comercial y
financiera .Aquí podemos decir que empieza la gestión administrativa pública ( se necesitaban
personas capaces para manejar el nuevo estado, ya que ahora no solo era cobrar impuestos y
mantener ejércitos sino que había que GESTIONAR POLÍTICAS.
En ese espíritu de esa época se exalta el valor de la razón , el grado de precisión y el hábito del
cálculo .Se perfecciona el método científico y se impulsan las ciencias .(ver historia General de
las Civilizaciones , Maurice Crouzet , Ediciones Destino Vol 98 Los siglos XVI y XVII pág 7 a
10 )
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En un espacio de 150 años desde 1750 a 1900 ,capitalismo y tecnología conquistaron el globo y
crearon una civilización mundial.
Ni el capitalismo, ni la tecnología eran algo nuevo ,ambos habían sido fenómenos usuales y
recurrentes ,tanto en el Este como en el Oeste .lo que si fue absolutamente nuevo fue su rapidez
de difusión y su alcance mundial a través de culturas ,clases y geografías; fue esto, su rapidez y
amplitud, lo que convirtió al capitalismo en Capitalismo y en un sistema y lo que convirtió los
avances en tecnología en la Revolución Industrial, (La Sociedad Postcapitalista, Bs As Editorial
Sudamericana , 1996, capítulo Desde el Capitalismo a la Sociedad del Saber pág 23 a 45).
Hoy podemos decir que de la Fe en Dios se pasó a la Fe en la razón y esta se depositó en las
ciencias naturales para explicar el universo , haciendo del método cuantitativo un dogma para
estudiar todos los fenómenos de la naturaleza.
En esta primer fase el saber se aplicó a herramientas ,procesos administrativos y productivos ,
estamos en los comienzos de las técnicas cuantitativas aplicadas a la administración y
producción aplicando el método científico , podemos decir que esta naciendo la Investigación
Operativa.
En su segunda fase , que comienza a fines del siglo XIX y culmina en la Segunda Guerra Mundial
,el saber con su nuevo significado empieza a aplicarse al trabajo y esto marcó el comienzo de la
Revolución de la Productividad .En este contexto por primera vez se uso el termino
Investigación Operativa ( o Investigación de Operaciones) en año 1939.
Sin embrago podemos decir como el modelo científico nace en las ciencias, allí en las
postrimerías de la edad media que agoniza por los avances del mundo científico. Se produce un
gran cambio en todas las relaciones y funciones de la sociedad, entre ellas se genera la revolución
industrial y el mercantilismo, los procesos productivos se complejizan y la unidad productiva
básica la fabrica o taller artesanal, dejan lugar a al empresa moderna. Surgen nuevas y diferentes
formas de administración.
La aplicación de la ciencia a las nuevas funciones ejecutivas de la problemática de gestión compleja
de nuestro mundo actual da origen a la investigación operativa.
En Gran Bretaña la hulla, el hierro, el transporte, los suministros a las tropas en las colonias de
ultramar dan lugar al estudio de la optimización de recursos y planificación de actividades utilizando
los conceptos matemáticos.
Con el advenimiento de los medios mecánicos en sustitución de los puramente manuales como
también la aparición de sistemas de comunicaciones y transporte impulsaron mucho a la industria
hasta llegar a lo que es hoy.
A medida que crecían las industrias, se hacían más complejas por lo cual debían ser manejadas por
más personas. Así fue como nacieron los gerentes de las distintas áreas. Inmediatamente se
subdividieron áreas en subareas cada una de las cuales generaron sus propios sistemas
administrativos. La complejidad de las nuevas industrias generó expansión no solo de tareas sino
también geográfica tal como lo podemos observar hoy donde una empresa puede producir a buena
distancia de donde tiene sus oficinas, administrativas, etc.
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La ciencia y la tecnología son sistemas conceptuales para transformar controladamente a la
realidad y su aplicación a los problemas de producción dan origen a nuevas ramas como la
ingeniería mecánica, química electrónica, sistemas etc.
Es en esa misma época que aparece por primera vez la investigación de mercado. Se puede decir
que cuanto más especializadas eran las administraciones mas lo eran las aplicaciones de la ciencia
por ejemplo el control estadístico de calidad, la investigación publicitaria, etc.
No obstante no se aplicó a la incipiente función ejecutiva de la administración. Para llevar a cabo
esta función ejecutiva es necesario establecer objetivos. Por ejemplo en las empresas que se
dedicaban a la producción los objetivos pueden ser optimizar la cantidad de bienes o servicios y
minimizar los costos unitarios de las mismas. Si bien estos objetivos aparecen como indiscutidos, él
alcanzarlos genera problemas o conflictos .Así apareció lo que hoy denominamos investigación
operativa que no fue ni más ni menos que la aplicación de la ciencia para la resolución de los
distintos problemas que se presentaban.
Efectivamente, el verdadero progreso de la Investigación Operativa se produce en la Segunda Guerra
Mundial en la que las instituciones militares se enfrentaban con los mismos problemas que las
industrias. Así fue que en dichas instituciones militares aparecieron funciones administrativas bien
definidas: administración, inteligencia, operaciones , entrenamiento , suministros y logística
En los veinte años que mediaron entre la primera y la Segunda Guerra Mundial se produjo la gran
diferenciación entre los ejecutivos militares y los industriales. Digamos que durante dicho lapso de
veinte años la tecnología militar se desarrollo mas rápidamente que lo que la técnica y estrategia
podía aceptar. No fue entonces extraño que los administradores militares británicos debieran
consultar a los científicos cuando Alemania atacó a Gran Bretaña. Así pequeños grupos de técnicos y
científicos actuaron exitosamente entre 1939 y 1940 a punto tal que se extendieron a los otros países
incluso a los Estados Unidos. Estos grupos se asignaban a los ejecutivos a cargo de las operaciones.
De allí que en gran Bretaña su trabajo se llego a conocer como investigación operacional y con
nombres similares en los otros países.
Finalizada la guerra los técnicos que colaboraron con los militares pasaron a ser absorbidos por las
industrias creándose de ese modo la investigación operativa industrial. En estados unidos no fue del
mismo modo pues las industrias no tenían tanta necesidad de construir lo que la guerra había
destruido como aconteció lógicamente en Europa.
En Estados Unidos la incorporación del aporte científico a la industria se produjo en realidad con el
advenimiento de la Segunda Revolución Industrial. Las bases para la automatización se echaron en
la Segunda Guerra Mundial donde la máquina sustituyó al hombre como fuente de control.
Al final de la década del 40 comenzaron a aparecer las primeras computadoras electrónicas. Estos
nuevos elementos administrativos, verdaderos cerebros electrónicos, se comenzaron a expandir
rápidamente sobretodo por parte de los ejecutivos carentes de la preparación técnica necesaria. El
estallido de la a guerra de Corea fue de importancia decisiva debido a la necesidad de aumentar la
producción por parte de Estados Unidos. Así se pudo observar que en la década del 50 la industria
comenzó a incorporar analistas de Investigación Operativa que pasaron del ejército a la industria y
produjeron en consecuencia una verdadera expansión de esta nueva disciplina. Al finalizar la década
50 la mayoría de las grandes empresas poseen analistas en I.O produciéndose en 1957 la
institucionalización de la misma con la creación de la Federación Internacional de Sociedades de
Investigación de Operaciones ( Internacional Federation of Operacional Research Societies)
Y se inicia la ultima fase el saber se aplica al saber mismo y es la Revolución de la Gestión .
Y comienza a gestarse una innovación en las teorías del conocimiento , el mundo post moderno , que
en ciencia define al conocimiento y ala ciencia como un conjunto de axiomas dentro de una
comunidad científica . Y nace otro método de indagación científica el método cualitativo o
interpretativo.
Anteriormente se afirmaba ( y en hay hoy en día quien lo sigue afirmando) que el paradigma
cuantitativo tiene un monopolio sobre la verdad, pero esto es falso por dos razones. Primero,
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no puede proporcionar 'verdad absoluta' como el filósofo de la ciencia Karl Popper (1959) lo ha
mostrado, ya que la indagación científica resulta en nada más que teorías e hipótesis bien
confirmadas. Segundo, existen otros paradigmas válidos para obtener (o generar) conocimiento, y
así cualquier afirmación de derechos exclusivos sobre la verdad es arrogante y no puede
sostenerse.( veremos luego cuales son esos otros paradigmas)
“Aquello que los miembros de una comunidad comparten”, donde “aquello” se refiere a los
supuestos sobre el conocimiento, la visión de mundo, cómo se obtiene el conocimiento,
qué es relevante ser investigado y cómo debe ser investigado, entre otras cosas”.
Thomas Kuhn
(1962, La estructura de las revoluciones científicas)
Un paradigma es una visión de mundo, una perspectiva general, un modo de analizar la
complejidad del mundo real. Como tal, los paradigmas están profundamente implicados
en la socialización de adeptos y practicantes: los paradigmas les dicen qué es importante,
legítimo y razonable. Los paradigmas también son normativos, dicen al practicante qué
hacer sin necesidad de una prolongada consideración existencial o epistemológica. Pero
es este aspecto de los paradigmas lo que se constituye tanto en su fortaleza como en su
debilidad- su fortaleza porque hace que la acción sea posible, su debilidad porque el
propio motivo para actuar está escondido en los supuestos incuestionables del
paradigma.
Michael Patton
(en Lincoln & Guba, 1983)
Los términos métodos cualitativo y cuantitativo significan mucho más que unas técnicas
específicas para la recolección de datos. Resultan más adecuadamente conceptualizados
como paradigmas TD Cook y CHS Reichardt Métodos cualitativos y cuantitativos en
investigación educativa .pág 80
Un MODELO es una representación de la realidad y no la misma realidad ,sin embargo, basta
con mirar a nuestro alrededor para visualizar los logros del modelo científico, el que nos permite en
base a la observación y a la verificaron experimental obtener resultados. Por primera vez desde
nuestro modelo científico se utiliza la lógica deductiva como procedimiento para pasar de la
observación a la afirmación y su posterior verificación.
Las máquinas precomputacionales, se fabrican y funcionan solo para determinada actividad o área
de trabajo, característico del período mecánico industrial. La computadora es algorítmica, ejecuta
procedimientos y es universal pues cambiándole su programa puede efectuar distintas tareas o
trabajos. La tecnología computacional no solo genera cambios en la relación hombre-máquina sino
que el desarrollo de redes de computadoras y comunicaciones produce dos aspectos: 1. Mundializa a
gran parte del comercio a través de las redes computacionales.
Las redes de computación no solo conectan a empresas y a los usuarios entre sí sino que inciden en
el interior de las empresas haciéndolas mas interrelacionadas a sus componentes y promoviendo
nuevas problemáticas de gestión como la selección de la información y su calcificación.
La incorporación de la imagen y del sonido digitalizado a los textos gráficos a través de la tecnología
de hipermedia da lugar a un nuevo producto cultural el hipertexto superador del texto gráfico
habitual. Ya los nuevos administradores no presentaran sus informes en textos de combinación de
palabras, números y gráficos, podrán representar a la realidad en trozos de la misma a través de
imágenes, sonidos y palabras. Todo en el mismo elemento, el hipertexto ,multimedial .
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Con la tecnología computacional la lógica y la matemática son utilizadas de modo
directo para domesticar la energía y así procesar a velocidad y por interfaces modificar el mundo
empírico.
En el mercado se puede observar una fuerte terciarización de la economía, a la que aporta el
predominio creciente de un mundo formal cabalizado por la tecnología computacional.
En este mundo predominan los intercambios de máxima eficiencia y productividad, de allí que la
optimización de recursos y utilidades es imprescindible .
El peso del mismo recaerá entre los poseedores de las tecnologías avanzadas y el poder se apartara
de su forma histórica mercantil para instaurarse como relación tecnológica y del conocimiento .
Cada vez más nuestra re-presentación de la realidad va a ser más parecida a ella, el hipertexto nos
alcanza la realidad virtual. Que es otra realidad, un modelo nuevo y apasionante pero siempre es un
modelo como el del brujo, representa la realidad, no es la propia realidad.
Alvin Tofler definió a este nuevo modelo como tercer ola, en contraposición de los modelos
anteriores denominados la segunda ola, estableciendo modelos y parámetros de un modelo y otro .
John F. Nash, tras la concesión del Premio Nobel, 1994 expresó :-Ahora parece que he vuelto a
pensar racionalmente de nuevo, en el estilo característico de los científicos. Sin embargo eso no es
algo de lo que haya que alegrarse como si alguien con alguna limitación física hubiera recuperado su
buena salud. Un aspecto de esto es que la racionalidad del pensamiento impone un límite al concepto
que tiene una persona de su relación con el cosmos. Por ejemplo, un no-zoroastriano podría
considerar a Zaratustra simplemente como un loco que arrastró a millones de ingenuos seguidores a
un culto de adoración ritual del fuego. Pero sin esa "locura" Zaratustra habría sido solo otro de los
millones o billones de individuos que han vivido y después han sido olvidados.
No olvidemos que la racionalidad del pensamiento impone un límite al concepto que tiene una
persona de su relación con el cosmos, Debemos saber que que según nuestro conocimiento es la
verdad que nosotros vemos, nuestra representación del universo, nuestra relación y representación
del cosmos. Por lo tanto en esto de que hay distintos modelos cada vez mas refinados y más
cercanos a la realidad. El conocimiento es dinámico , hay distintas verdades y opiniones, pero
a medida que uno pueda tener un mayor y sólido conocimiento científico esta mas cerca de la
realidad de su tiempo. Entendamos que hay sujetos que innovan y muchas veces no son
comprendidos en su época .
Ese es el legado de los hacedores de nuestra cultura, ir creciendo
en nuestras representaciones y modelos, buscando que ese
modelo sea el mas parecido a la realidad que queremos
representar y estudiar o analizar.
El conocimiento humano va buscando su camino que le
permite década a década, siglo a siglo, milenio a milenio
adquirir nuevos modelos
Deberíamos preguntarnos antes de omitir un juicio de valor que información tenemos y que
conocimiento del suceso hemos adquirido para saber la justeza de nuestra opinión.
Los modelos representacionales del cosmos permiten desarrollar en la actualidad modelos prácticos
basados en el método científico para solucionar muchas situaciones, en especial nosotros
comenzaremos analizar los modelos referidos a la gestión administrativa de empresas
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Es decir desde el modelo cultural científico se van perfeccionando una serie de modelos específicos
en cada ciencia y en cada particularidad de acuerdo a las necesidades de cada sector de las ciencias
aplicadas.
Por lo tanto hoy nuestras representaciones de la realidad se efectúan a través de modelos, estos
modelos deben estar fundamentados en modelos lógico-matemáticos y nos permiten simbolizar la
realidad y resolver situaciones problemáticas ( denominadas problemas prototipos), en nuestra
especialidad y particularidad los modelos que nos interesan son los modelos específicos de control
de gestión, que podremos denominar las actuales herramientas de control de gestión.
Me parece fundamental resaltar que cada individuo tiene un límite conceptual en su relación con el
escenario ( momento , lugar y condicionamientos históricos ) en que debe actuar. Sus conocimientos
mas allá de sus aptitudes le imponen un techo a su objetividad histórica .
Así podremos entender por que personas cultas y preparadas envueltas en un conocimiento
tradicional no reconocen e incluso son intolerantes con las personas innovadoras , este alternativa
es importante tenerla en cuenta pues se da la dualidad de organizaciones tradicionales, segunda
ola y la de las organizaciones innovadoras tercera ola .
El saber que hoy consideramos saber se demuestra en la acción , en los resultados económicos o en
el desarrollo del saber mismo. Por lo que es altamente especializado , y por eso nacen las disciplinas,
la nuestra , la Investigación Operativa es la aplicación de la ciencia y la tecnología
computacional a los problemas de gestión de políticas para optimizar esa acción que se traduce
en un resultado cuantificable.
También debemos tener un compromiso histórico con los nuevos desafíos, debe haber una ética
histórica, en esta revolución de la gestión , debemos saber diferenciar los escenarios históricos, hoy
no es lo mismo que en la primer ola. Puede ser que la máxima utilidad no sea la óptima., pues quizás
esa máxima utilidad, este dañando el ecosistema o creando nuevas situaciones aún no evaluadas que
nos pueden hacer perder la plenitud del desarrollo.
Veremos en este cuatrimestre que en el modelo de teoría de juegos , el óptimo muchas veces está en
el punto de equilibrio entre el interior ( la empresa o utilidad propia) y el exterior ( ganancia o
perdida del competidor ), que el conflicto de intereses se resuelve a veces: no en el punto MÁXIMO
, sino en el ÓPTIMO. Es decir el máximo muchas veces no coincide con el óptimo .
Lo que se puede observar en la investigación tradicional es el movimiento del inicio cualitativo (del
problema) a la conjugación de los datos en las hipótesis, que es principalmente cuantitativo y su
interpretación que es otra vez cualitativa.
Nosotros estudiaremos las técnica cuantitativas de la formulación de hipótesis y su
resolución, modelizando hipótesis a modelos matemáticos
Los modelos matemáticos aplicados a situaciones concretas de gestión
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Es decir desde el modelo cultural científico se van perfeccionando una serie de modelos específicos
en cada ciencia y en cada particularidad de acuerdo a las necesidades de cada sector de las ciencias
aplicadas.
Por lo tanto hoy nuestras representaciones de la realidad se efectúan a través de modelos, estos
modelos deben estar fundamentados en modelos lógico-matemáticos y nos permiten simbolizar la
realidad y resolver situaciones problemáticas ( denominadas problemas prototipos), en nuestra
especialidad y particularidad los modelos que nos interesan son los modelos específicos de control
de gestión, que podremos denominar las actuales herramientas de control de gestión.
Me parece fundamental resaltar que cada individuo tiene un límite conceptual en su relación con el
escenario ( momento , lugar y condicionamientos históricos ) en que debe actuar. Sus conocimientos
mas allá de sus aptitudes le imponen un techo a su objetividad histórica .
El saber que hoy consideramos saber se demuestra en la acción , en los resultados económicos o en
el desarrollo del saber mismo. Por lo que es altamente especializado , y por eso nacen las disciplinas,
la nuestra , la Investigación Operativa es la aplicación de la ciencia y la tecnología
computacional a los problemas de gestión de políticas para optimizar esa acción que se traduce
en un resultado cuantificable.
También debemos tener un compromiso histórico con los nuevos desafíos, debe haber una ética
histórica, en esta revolución de la gestión , debemos saber diferenciar los escenarios históricos, hoy
no es lo mismo que en la primer ola. Puede ser que la máxima utilidad no sea la óptima., pues quizás
esa máxima utilidad, este dañando el ecosistema o creando nuevas situaciones aún no evaluadas que
nos pueden hacer perder la plenitud del desarrollo.
Veremos en este cuatrimestre que en el modelo de teoría de juegos , el óptimo muchas veces está en
el punto de equilibrio entre el interior ( la empresa o utilidad propia) y el exterior ( ganancia o
perdida del competidor ), que el conflicto de intereses se resuelve a veces: no en el punto MÁXIMO
, sino en el ÓPTIMO. Es decir el máximo muchas veces no coincide con el óptimo .
Lo que se puede observar en la investigación tradicional es el movimiento del inicio cualitativo (del
problema) a la conjugación de los datos en las hipótesis, que es principalmente cuantitativo y su
interpretación que es otra vez cualitativa.
¿Como utiliza la Investigación Operativa el método científico?
El l escenario general o meta problema prototipo de la gestión d e políticas puede enunciarse como UNA SERIE
DE ALTERNATIVAS ( RESULTADOS DE LAS RELACIONES POSIBLES) SUJETAS A UNOS CIERTOS POSIBLES
ESCENARIOS ( FUTUROS POSIBLES)
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El investigador Operativo debe seleccionar y ejecutar UN MODELO QUE PERMITA DETERMINAR LA
ALTERNATIVA ÓPTIMA, VERIFICARLA Y PONERLA EN EJECUCIÓN.
Las Etapas del desarrollo de una situación proto-problemática en Investigación Operativa utilizando el método
científico son :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Definición y estudio de la situación problemática
Planteamiento del problema
Construcción del modelo
Deducción de una solución
Prueba del modelo y evaluación de solución
Ejecución y control de la solución
1. Estudio de la situación problemática
Observación y análisis sistemático de la situación problemática a estudiar.
Recolección de datos, análisis de variables, formulación de la matriz de datos y de la función a optimizar, o
suceso o procedimiento a planificar o ejecutar. ( Por lo general se denominan: Técnicas de resolución de
problemas)
2. Formulación del problema: Se debe determinar o especificar un parámetro de eficacia yo de optimización o
planificación y formularlo objetivamente en el contexto o escenario donde se realiza la investigación o
estudio.
Se describe el matiz de resultado y las relaciones entre datos y variables.
3.. Construcción de un modelo matemático o adecuación de los modelos existentes a la realidad donde se
realiza el estudio
¿Como se simboliza el modelo?
En la práctica este modelo debe expresar la eficacia del sistema en estudio mediante una función de varias
variables de las cuales por lo menos una variable esta sometida a control. Esta función se puede expresar
simbólicamente así: Z = f (Xi, Xk)
Donde la Z significa eficacia del sistema, Xi representa las variables del sistema sujetas a control y sus
relaciones con Xk variables del sistema no sujetas a control. A su vez las restricciones al valor de las
variables se hace mediante un conjunto de ecuaciones y/o inecuaciones del tipo:
Donde los bi son parámetros de recursos o insumos o relaciones de las probabilidades de ocurrencia de las alternativas
aij
Existen modelos donde solo nos encontramos con la función Z = f (Xi, Xk) a Optimizar es
decir no existe condicionamientos en entre las alternativas
4. Derivación de una solución a partir del modelo:
Par obtener una solución optima a partir del modelo existen dos tipos de procedimiento:
Analítico: Se obtienen en abstracto resolviendo ecuaciones y sustituyendo luego los símbolos por números
lo cual se hace después de hallada la solución.
Numérico: Consiste en general en sustituir las variables por valores. Las variables que se sustituyen son las
controladas y luego de la sustitución se comparan los resultados procediéndose a seleccionar los valores
que proporcionaba la mejor solución.
5. Comprobación del modelo y de la solución derivada del mismo:
El modelo expresa la eficacia del sistema en estudio. EL modelo no es más que una aproximación parcial
de la realidad. Un modelo es bueno si a pesar de ser incompleto puede predecir con la mayor exactitud el
efecto de los cambios sufridos por el sistema sobre la efectividad general de este.
LA solución puede evaluarse comparando los resultados obtenidos sin aplicar la solución con los resultados
obtenidos cuando se la aplica.
13
6. Establecimiento de controles sobre la solución
Para controlar la solución es necesario disponer de instrumentos que determinen cuando ocurren cambios
significativos en el valor de alguna variable no controlada o cuando cambia alguna relación entre las
variables.
7. Aplicación de la solución: La solución probable debe convertirse en un conjunto de procesos funcionales
capaces de ser comprendidos y aplicados por el personal responsable de su utilización.
Podemos decir que la investigación operativa es la fuente con la que cuenta el ejecutivo para ayudarse a
sistematizar los modelos cualitativos e ir desarrollándolos para llegar al punto de que se puedan cuantificar.
CLASIFICACIÓN DE LAS SITUACIONES PROBLEMÁTICAS SEGÚN EL FUTURO PROBABLE
Los futuros pueden especificar cuatro formas de situaciones de toma de decisión de acuerdo a
la información adquirida y su posible procesamiento sistemático:




Condiciones
Condiciones
Condiciones
Condiciones
de
de
de
de
certidumbre
incertidumbre
riesgo
conflicto
Condiciones de certidumbre
En estos casos existen un gran número de alternativas posibles cuyos resultados son conocidos
alternativas tienen restricciones.
y las
En el caso que exista un objetivo a maximizar o minimizar y dicho objeto esta representado por una función
lineal y además el objetivo esta limitado por restricciones, representadas dichas restricciones por ecuaciones o
inecuaciones lineales, estaremos en condiciones de aplicar el método de programación lineal.
Condiciones de incertidumbre:
En este caso se conocen futuros posibles pero no se puede determinar la distribución de sus probabilidades. El
desconocimiento de las probabilidades no permite calcular el resultado esperado para cada alternativa razón
por la cual hay que recurrir a otros criterios de decisión.
El desconocimiento de las probabilidades puede deberse a la carencia de datos anteriores. Por ejemplo en el
caso de un producto nuevo que se lanza al mercado y por ende de demanda desconocida.
Condición de riesgo
En este caso los resultados de las distintas alternativas dependen de distintos futuros cuyas probabilidades se
conocen o se pueden conocer. Con la información histórica se puede determinar la probabilidad de los distintos
futuros posibles.
Condiciones de conflicto
Las condiciones de conflicto no se producen cuando el enfrentamiento es con algún estado natural sino con un
oponente racional. Esta situación se conoce con el nombre de teoría de juegos.
Ejemplos de situaciones donde se pueden aplicar el método de la Investigación
Operativa
Mas allá del método general veremos que se han desarrollado a partir de este, una gama de modelos prácticos
de Gestión y Control de la administración que son la aplicación del método general y de modelos matemáticos.
No hay un problema prototipo general sino mas bien un problema para cada uno de los problemas prácticos a
resolver .
La modelización matemática de situaciones específicas de procesos y situaciones concretas de problemáticas de
gestión nos permite contar con herramientas eficaces para la solución de diversas situaciones:

Estrategias de mercado
14

Inversiones

Inventario

Transporte

Distribución

Producción

Asignación de recursos

Líneas de Espera
En el transcurso de nuestro estudio desarrollaremos estos modelos y sus aplicaciones.
Inicialmente empezaremos por los modelos mas sencillos , entre ellos mencionaremos el modelo del valor
esperado de la utilidad .
Se organizan los datos en una matriz denominada matriz de resultados o una matriz de compensación
formada por filas donde se colocan las distintas estrategias y columnas donde se colocan los distintos estados
naturales o futuros posibles con sus posibilidades. Así en la intersección de una fila con una columna tendremos
la medida de utilidad del resultado que se obtiene con dicha estrategia.
de la siguiente manera:
Futuro 1 ( p1)
Futuro 2( p2)
Futuro 3 ( p3)
Alternativa 1
X11
X12
X13
Alternativa 2
X21
X22
X23
Y utilizando la esperanza matemática se calcula el valor esperado de cada alternativa, lógicamente la alternativa
óptima será la que garantice la mayor utilidad .
Un agricultor debe decidir entre sembrar trigo o maíz y se conoce que estadísticamente las posibilidades de
tiempo bueno, variable y malo son 0.20,0.60 y 0.20 respectivamente y por estadísticas de rinde de cosechas
anteriores se puede estimar que el trigo con tiempo bueno rinde en dólares: 700000 para tiempo bueno,
200000 para variable y nada para tiempo malo, en cuanto al maíz en dólares también tiene el siguiente rinde
para ese campo: 400000 en tiempo bueno, 300000 en tiempo variable y 100000 en tiempo malo
Por lo tanto nuestros datos podemos organizarlos en una matriz de resultados de la siguiente forma:
P1=0.20
P2=0.60
P3=0.20
Tiempo Bueno
Tiempo Variable
Tiempo Malo
Sembrar Trigo
700000
200000
0
Sembrar Maíz
400000
300000
100000
El Criterio del valor numérico monetario esperado significa hallar el valor esperado matemático de cada
alternativa y elegir la máxima alternativa pues se trata de utilidades, en caso de tratarse de costos deberá
elegir el menor valor esperado
Entonces VE ( A1) = 700000.0.20+200000.060+O=260000 y el
VE ( A2 ) = 400000.020+300000.0.60+100000.0.20=280000 por lo que el agricultor deberá elegir la alternativa
dos, es decir sembrar Maíz
Ejemplo dos:
Una empresa opera una fábrica que requiere un mínimo rígido de obreros para operarla. Si menos de 20
obreros concurren en un día determinado, la fábrica debe suspender la producción. NO obstante, la planta
puede operar satisfactoriamente con 20 obreros o más. Cuando la planta esta en operaciones, se elaboran
productos químicos con un valor de venta de $400.000 diarios. Los costos variables de producir y vender esos
productos, excluida la mano de obra, son 240.000 $. La empresa siempre ha tenido 24 personas en su lista
de personal de fábrica en el pasado.
El ausentismo en la planta ha promediado apenas el $%. Una discriminación mas detallada del ausentismo se
da a continuación:
Nro de obreros ausentes
Por ciento de dias en que estan ausentes
0
36
1
38
2
19
3
6
4
1
5 o mas
0
100
Todos los obreros d e la fábrica son permanentes, es decir trabajan con una relación de empleo fija. Esto
implica que la compañía paga todos los obreros que se presentan a trabajar cada día, aun en el caso de que la
planta no pueda operar, y los obreros ausentes también reciben su retribución integra ese día.
15
Las remuneraciones incluyendo beneficios adicionales y cargas sociales, promedian $4000 por día para cada
obrero.
A)
Construya la matriz de ganancias
B)
Determine que alternativa tiene la máxima ganancia esperada
C)
Determine cual es la ganancia esperada bajo certeza ( o con información perfecta)
D) Determine cual es el valor esperado de la información perfecta.
Las alternativas a considerar en este problema están dadas por las distintas cantidades posibles de obreros
que puede contratar la compañía para operar la fábrica. Las restricciones técnicas hacen que dicha cantidad
no pueda ser inferior de 20. Por otra parte, no es necesario contratar mas de 25 obreros puesto que la
probabilidad de que un mismo día falten 5 o mas obreros es nula (si nos guiamos por los porcentajes
históricos de ausentismo) , lo que asegura que no habrá que suspender nunca la producción, Por lo tanto las
alternativas que tendremos en cuenta son:
A1=contratar 20 obreros
A2=Contratar 21 obreros
A1=contratar 22 obreros
A1=contratar 23 obreros
A1=contratar 24 obreros
A1=contratar 25 obreros
En cuanto a los futuros a considerar están dados por los distintos niveles posibles de ausentismo:
F1= 0 obreros ausentes(p1=0.36)
F2=1 obrero ausente (p2=0.38)
F3=2 obreros ausentes (p3=0.19)
F4=3 obreros ausentes (p4=0.06)
F5=4 obreros ausentes (p5= 0.01)
Si llamamos q al número de obreros contratados y A al número de obreros ausentes tendremos que la
ganancia diaria será:
G ($)
- 4000 . q
si (Q-A) <20
400000 -240000-4000 .q si (Q-A)<20
Puesto que si el numero de obreros presentes es menor de 20 se suspende la producción, con lo cual no se
obtiene el ingreso por ventas de 400000$ y tampoco se incurre en los costos variables de producción y ventas
de 240000 , si bien hay que pagar las remuneraciones de todo el personal, lo que implica un costo de $4000El análisis de la matriz de resultados indica que la alternativa A6 puede eliminarse ya que es dominada por la
A5, cualquiera sea el futuro que ocurra, esta ultima asegura mayor ganancia que la A6 (esto era por otra
parte previsible puesto que contratando 25 obreros en lugar de 24, habrá siempre un numero de obreros
presentes innecesariamente superior al mínimo exigido para la operación de la fabrica)
La ganancia esperada para las restantes alternativas resulta ser:
VE
VE
VE
VE
VE
(a1)= 80.000 .0.036-80.000 . 0.38 – 80.000 . 0.19 – 800000.0.06-80.000 . 0.01= -22400$
(a2)=76.000 .0.36+76000 . 0.38-84000 .0.19-84000 . 0.06 -84000 .0.01 =34400$
(a3)=72000. 0.36+72000 .038+72000 .0.19-88000 .0.06-88000 .0.01=60800$
(a4)=68000+0.36 +68000 . 0.38 +68000 .0.19 +68000 . 0.06 -92000 . 0.01 =58.120$
(a5)=64000 .0.36+64000 .038+64000 . 0.19+64000 . 0.06+64000 .0.01 =64000$
Por lo tanto la alternativa que tiene mayor ganancia esperada es la A5 que es la que la compañía ha estado
siguiendo en el pasado.
Por suerte la ganancia con información perfecta (ganancia que se tendria si para cada futuro se eligiera la
alternativa mejor ) esta dada por:
GIP= 80000 . 0.36+76000 . 0.38 +72000 . 0.19+ 68000 . 0.06 + 64000 .0.1 =76080 $
16
Luego el valor de la información perfecta (es decir la ganancia adicional por sobre la correspondiente a la
alternativa optima)
Será:
VIP= GIP – VE a5 =76080 – 64000 =11.680
Ejemplo tres:
Una compañía de artículos de cotillón ha preparado un nuevo artículo para su utilización durante
los carnavales, dado que no se le puede dar otro uso que no sea el específico para el cual se ha
confeccionado. LA compañía debido a experiencias similares ha determinado la siguiente
distribución de probabilidades
Unidades Probabilidades
0
0.03
10
0.17
20
0.37
30
0.29
40
0.12
50
0.02
El precio de venta se fijo en $1 en tanto que la venta del papel crepe que queda como rezago
reembolzara $0.20 por unidad y el costo de fábrica s e ha determinado en $0.50
RESOLUCIÓN :
Para construir la matriz de resultados, necesitamos calcular la ganancia bruta de la empresa para
cada acto o nivel de stock posible. Llamado D a la cantidad demanda y S a la cantidad en stock.
Pj
0.03
0.17
0.37
0.29
0.12
0.02
F1
F2
F3
F4
F5
F6
D=0
D=10
D=20
D=30
D=40
D=50
A1(s=0) 0
A2 (S=10) -3
A3 (S=20) -6
A4 (s=30) -9
A5 (S050)-12
A6 (s=50= -15
0
5
2
1
-4
-7
0
5
10
7
4
1
0
5
10
15
12
9
0
5
10
15
20
17
0
5
10
15
20
25
Ya que no existen relaciones de dominio entre actos posible debemos, aplicando el criterio del
valor esperado de resultados, calcular la esperanza matemática para todas las alternativas y
adoptar como solución aquella que posee la óptima.
VE A1= -3*0.03+5*0.17+5* 0.37 +5* 0.29+5*0.12+5*0.02=4.76
VE A2=-6*0.03+2*0.17+10*0.37+10*0.29+10*0.12+10*0.02=8.16
Ve A3=-9*0.03+ -1*0.17+7*03.7+15*0.29+15*0.12+15*0.02=8.60
Ve A4=-12*0.03+ -4* 0.17+4 0.37+12*0.29+20*0.12+20*0.02=6.78
VE A5=- 15* 0.03 + -7*0.17+1 * 0.37 + 9 *0.29+17 * 0.12 +25 *0.02 =3.88
El valor de la información: Costo de oportunidad
Se tiene que calcular el incremento de la ganancia que puede esperar por el hecho de disponer de
una predicción perfecta y compararlo con el costo de la información, convendrá adquirir
información si y solo si su valor excede a su costo.
El costo de oportunidad asociado esta dado por lo que se dejo de ganar por el hecho de haber
elegido la alternativa Ai en lugar d e haber elegido la alternativa optima para el futuro. Fj
Toda decisión tiene un determinado costo, que el costo de oportunidad o cuasi-costo. El hecho de
hacer un determinada soca implica un costo de oportunidad en relación a no haber hecho otra
distinta.
17
Cuando el valor de stock corresponda a la alternativa seleccionada coincide con el valor de la
demanda, el costo de oportunidad es cero, porque es la máxima ganancia que se puede obtener
para ese valor de la demanda. En las demás intersecciones entre demandas y niveles de stock hay
un costo de oportunidad.
Pj
0.03
F1
D=0
A1(s=0) 0
A2 (S=10) -3
A3 (S=20) -6
A4 (s=30) -9
A5 (S050)-12
A6 (s=50= 15
0.17
F2
D=10
5
0
2
6
9
12
0.37
F3
D=20
0.29
F4
D=30
10
5
10
3
6
9
15
10
10
0
3
6
0.12
F5
D=40
20
15
10
5
0
3
0.02
F6
D=50
25
20
15
10
5
0
0=*0.03+5*0.17+10*0.37+15* 0.29+20* 0.12+25* 0.02=11.6
10=3*0.03+0*0.17+5* 0.37+10* 0.29 +15 * 0.12 +20 * 0.02=7.04
20=6 *0.03 +3* 0.17 + 0*0.37 +5 *0.29+10* 0.12+15* 0.02=3.64
30=9 *0.03+6* 0.17 +3* 0.37 + 0* 0.29 + 5* 0.12+10* 0.02=3.20
40=12 *0.03+9* 0.17+6 * 0.37 +3* 0.29+0* 0.12 +5 *0.02=5.06
50=15 * 0.03+12* 0.17 +9 * 0.37 +6* 0.29+ 3* 0.12 * +0* 0.02=7.92
El valor esperado si se aplica en cada decisión una estrategia coincide con el nivel de la demanda
recibe el nombre de ganancia con información completa, puesto que representa el beneficio que
en promedio se obtendría si en cada decisión se eligiera la alternativa mas conveniente para el
futuro que van a acontecer.
VE (CO) = GIC- VE (aij)
El valor esperado del costo de oportunidad de una determinada estrategia es igual a la diferencia
entre la ganancia esperada con información completa, y el valor esperado de la ganancia para ser
alternativa.
Criterio del análisis incremental
Este criterio se puede aplicar tanto a valores de ganancias como a costos de oportunidad. Un
comerciante minorista debe decidir cuantas unidades comprar de una determinada mercadería.
Como la mercadería es perecedera y no puede ser guardada en stock por más de un día el
comerciante no desea comprar más que la provisión para el día. Por otra parte, puesto que cada
unidad cuesta al comerciante solo $1 mientras que la vende por %5, cada unidad demanda que
deje de satisfacer, como consecuencia de haber comprado de menos la representara dejar de
ganar $4, sin tener en cuenta la posible perdida de prestigio comercial. El comerciante no conoce
la demanda real y a pesar de ello debe decidir que nivel de stock mantener. Supongamos que la
producción es de S0 unidades. Para saber si ese valor optimo el stock, debemos analizar como
varia la ganancia esperada al aumentar el stock en 1 unidad es decir pasa de S0 a S0+1. En este
caso el costo total se incrementa en $1 (costo de la unidad adicional). En cuanto al ingreso bruto
su valor dependerá del valor de la demanda, puesto que si esta es tal que a lo sumo alcanza a
cubrir el stock S0 (D<0 =S0 ) la unidad adicional no se venderá, significando por lo tanto una
disminución de la ganancia total de $1. Por el contrario si la demanda es superior a S0 La unidad
adicional podra venderse (pudiendo incluso quedar una demanda insatisfecha, si es D> S0 +1)
Implicando por lo tanto un ingreso adicional de %5 lo que da un incremento en las ganancias de
$4Para hallar el valor esperado del incremento de la ganancia:
VE IG = -1 * p (D<0 =S0 +4 * p (D>S0)
Realmente convendrá aumentar el stock en una unidad toda vez que implique un aumento de la
ganancia esperada , si y solo si:
VE IG >0
18
Mientras la ganancia incremental sea positiva aun cuando fuera decreciente, esta indicando que se
adiciona ganancia a la ya acumulada.. Por otro lado desde que comienza a ser negativa, nos indica
que un aumento adicional del stock provocara una disminución de la ganancia total acumulada.
Este mismo análisis puede hacerse en términos de costos de oportunidad, podemos estudiar el
costo de oportunidad asociado a la estrategia ordenar una unidad adicional Vs el costo de
oportunidad asociado a la estrategia no ordenar una unidad adicional puesto que nos convendrá la
que tenga menor costo de oportunidad.
Racionalmente para que convenga ordenar una unidad mas de stock, el costo de oportunidad de
ordenar tiene que ser menor que el costo de oportunidad de no ordenar.
En otras situaciones el modelo quedara determinado por una función a optimizar y una matriz de restricciones o
condiciones,como es en el modelo de programación lineal
Ejemplo cuatro
Objetivo : es la determinación de las cantidades de producción, para la maximización del beneficio.
Alkanos S.A. es una empresa cuya principal actividad es la producción de Poliméricos.
Para la obtención de este producto se deben mezclar dos tipos de poliol uno de base común y el otro de tipo
aditivo. El poliol es un tipo de alcohol de alto peso molecular, siendo su principal aplicación en espuma flexible
o elastómera de poliuretano .Para la obtención del polimérico se utilizan dos tipos de poliol, uno común y el
otro de tipo aditivo, en una proporción de 75% y 25% respectivamente. Para la realización de esta mezcla se
procede al calentamiento de esta solución, por su grado de viscosidad. Esta tarea se puede realizar a través de
dos procesos que son:
1. Proceso sobre la base de baño María: en este se colocan las materias primas en bateas, que luego
son colocadas en un tambor con agua caliente, que se logra a través de un sistema de calderas,
obteniéndose las siguientes características técnicas del producto:
a.
El tiempo de elaboración es de 9 hs.
b. La capacidad de producción es de 20.000 Kg
c.
Para realizar la producción se necesita de dos operarios
d. Se obtiene una mezcla de menor calidad, que ofrece un menor beneficio.
2. Proceso con pantallas infrarrojas: proceso por el cual se calienta el producto por medio de pantallas
infrarrojas, las cuales deben ir cambiándose el ángulo de posición manualmente.
a.
El tiempo de elaboración es de 14 hs.
b. La capacidad de producción es de 17.000 Kg
c.
Para su realización se utiliza un operario.
d. Se obtiene una mezcla de mayor calidad, con mayor margen de beneficio.
DATOS COMPLEMENTARIOS:

Se dispone actualmente de una capacidad de producción total de 130.000 Kg. Semanales.

El cliente de Alkanos S.A. posee una demanda mínima semanal de:
A.
Producto sobre la base de Baño María como máximo de 65.000 Kg
B.
Producto sobre la base de pantalla infrarroja, como máximo de 45.000 Kg

El producto A nos brinda un beneficio bruto de $ 0,35 y el producto B le produce a la empresa un
beneficio de $ 0,46.
19

La cantidad de horas hombres disponibles es de 135 semanales.

La capacidad de distribución instalada es de 100.000 Kg. Semanales
Maximizar el beneficio B ( X1,X2) = 0.35X1+0.46X2
Sujeta a las siguientes restricciones :
Recursos
Horas hombre
Producto A
Producto B
Disponibilidad
18
14
135
Capacidad
producción
de 20000
17000
130000
Capacidad
distribución
de 1
1
100000
Demanda mínima
1
0
65 000
Demanda mínima
0
1
45 000
Aquí los datos se estructuran en un sistema de inecuaciones que limitan una función a optimizar ( Modelo de
Programación Lineal )
Estas restricciones que dan expuestas en el siguiente sistema de inecuaciones lineales :
7/2200 X1 + 9/1500 X2  130
X1 +
X2  40.00
0.70 X1 +
0.3 X2  25.000
De los resultados obtenidos al utilizar el modelo de programación lineal debemos producir 39031
Kg de el producto A, y 968 Kg del producto B; el recurso de hs. hombres será consumido en su
totalidad, se produjo hasta agotar la capacidad máxima a producción y se satisfizo la demanda
mínima superándola en 2612 Kg.
Ejemplo cinco :
Bibliografia La Programación Lineal General puede ser usada para resolver una extensa variedad de
problemas de gestión , ya sea para maximizar beneficios o para minimizar costos. En cada caso, la
solución óptima nos explica cómo podrían ser asignados los recursos para obtener un objetivo
establecido.
4 Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a
un conjunto de restricciones lineales.
4
Un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente:
4 Un conjunto de variables de decisión
4 Una función objetivo
4 Un conjunto de restricciones
n
F.O. (máx o min
) =  Cj. Xj
j
Sujeta a : ai1. X1 + ... + aij . X j + ... + ain . Xn  >bi
Xj  0
donde: i = 1 ... m y j= 1 … n
Ejemplo :
En un empresa metalúrgica se producen dos piezas mecánicas elaboradas, utilizando usando
cantidades prefijadas de materia prima, mano de obra y maquinarias. Generándose un beneficio de
20
3 unidades monetarias por cada pieza A y de 5 para las del tipo B ,se puede colocar toda la
producción que se disponga fabricar. La información correspondiente esta determinada por :
Insumo
producto A
producto B
Disponibilidad
Materia prima
1Kg/unid
2Kg/unid
500Kg
Mano de obra
1h/unid
4h /unid
800 hs
Maquinarias
2h/unid
1h/unid
300hs
Se pide:
Construir el modelo matemático
Solución:
a) Modelo matemático
Inecuaciones
Función ha Optimizar
X1+2X2<=500
Z= 3X1+5X2 (MAX)
X1+4X2<=800
2X1+X2<=300
Representación grafica
Solución:
Como podemos observar al graficar quedo determinado OABC que se denomina polígono de
soluciones factibles. Vamos a determinar las coordenadas de cada uno de los vértices.
0 =(0,0) Solución trivial sin sentido económico (corresponde a la situación inicial)
A = (0,200) Corresponde a producir 200 unidades del producto X1 y ninguna del producto X2
C = (150,0) Corresponde a producir 150 unidades de x 1 y ninguna de x2
B = (400/7, 1300/7) es decir X1=57,14 y X2=185,71
El funcional en cada vértice tomas los siguientes valores:
Z0=3. 0 + 5. 0 =0
ZA =3. 0 + 5 . 200=1000
ZB = 3 . 400/7 + 5 . 1300/7 =1100 MAXIMO BENEFICIO
ZC = 3.150 + 5 . 0 = 450
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Técnicas cuantitativas aplicadas a las decisiones en la economía de empresa. Dresdner y otros.
Editorial El Coloquio.
Investigación operativa y decisiones ejecutivas. Millar y Starr. Editorial CECSA
Métodos y modelos de la investigación de opreraciones. Kaufman, Esditorial continental
Dirección de operaciones, problemas y modelos. Elwood S. Buffa. ED. Limusa Wiley
Fundamentos de investigación de operaciones. Ackoff. SASEIN ED. Limusa.
Reflexiones sobre los paradigmas cuantitativo y cualitativo en la investigación social
aplicados a las ciencias administrativas DURGA E. RAMÍREZ MIRANDA
LOS HACEDORES
GALILEO (1564-1642)
La obra de Galileo marca el fin de la Revolución, constituyendo el inicio de la Nueva Ciencia. Sólo hay que
esperar unos años más para que todo el mundo acepte el heliocentrismo y Newton asiente los pilares de la
física clásica. Al igual que Copérnico y que Kepler, Galileo creía en que la explicación del Universo debía ser
hecha a través de las Matemáticas, pero, al contrario que éste, no consideraba, en absoluto, que ciertos
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números pudieran tener especiales propiedades.Galileo nació el 15 de Febrero de 1564 en Pisa (Italia) en una
familia de siete hijos. Su padre llamado Vicenzio era comerciante y músico culto. En el año de 1581 a la edad
de diecisiete años ingresó a la Universidad de Pisa para estudiar Medicina.
Cuando estudiaba en Pisa y estando asistiendo a un oficio religioso, observó la regularidad con que oscilaba la
gran araña de la catedral midiéndola con su propio pulso. Este experimento lo realizó posteriormente con
bolitas de plomo atadas a hilos de diferentes longitudes, con lo que descubrió que independientemente de la
magnitud de la oscilación o el peso del plomo, la bolita necesitaba el mismo tiempo para completar un viaje de
ida y vuelta y que sólo el cambio de la longitud de la cuerda afectaba el tiempo de la oscilación (periodo de
vibración). Esta simple observación permitió la descripción de la ley fundamental del movimiento pendular que
posteriormente permitió el desarrollo de los relojes.
Fue expulsado de la universidad de Pisa en el tercer año de medicina principalmente por su actitud de libre
pensador, regresando a Florencia donde fue discípulo del matemático Ricci y se distinguió muy pronto con un
ensayo sobre el centro de gravedad de los sólidos.
En 1589 fue nombrado profesor de matemáticas de la Universidad de Pisa dedicándose al estudio de la caída
de los cuerpos y el movimiento de los proyectiles. Creó el concepto de la aceleración que se usa en la física
moderna y el concepto moderno de la fricción y la inercia con respecto a los objetos en movimiento. Analizó
los componentes de la fuerza, demostrando, por ejemplo, que las fuerzas que afectan a la trayectoria de una
bala se dirigen hacia abajo y adelante, de tal manera que pueden medirse sistemáticamente. Estos
experimentos iniciados antes del 1590, fueron perfeccionados y publicados en 1638 en su obra Diálogos sobre
dos nuevas ciencias (movimiento y mecánica).
Como profesor Galileo prosiguió su búsqueda de la verdad, analizando las teorías científicas de Aristóteles
mediante la aplicación de las matemáticas y las observaciones experimentales. En 1590 publicó sus resultados
en "De motu gravium", recibidos con hostilidad por el público científico de la época a causa de sus ataques
contra la ciencia clásica
Galileo resultó un rebelde en otros sentidos. Así, por ejemplo, se negaba a ponerse las ropas académicas que
usaban sus colegas, aduciendo que estorbaban innecesariamente sus movimientos. Por no usarlas, se le obligó
a pagar varias multas, hasta que fue despedido de la facultad de Pisa. En ese año, 1592, es llevado a la
cátedra de matemáticas en la Universidad de Padua, en la cual, durante dieciocho años, gozó de una gloria sin
sombras.
En Padua es donde realizó sus trabajos fundamentales sobre la estática y sobre las temperaturas y
la noción de calor. Siguió enseñando a sus discípulos el sistema de Ptolomeo, pero se sabe que en
aquella época ya estaba convencido del valor del sistema de Copérnico y de los trabajos de
Kepler.
A principios del siglo XVII conoció la técnica de un óptico holandés que logró unir una lente
cóncava y una lenta convexa, de tal manera que hacia que los objetos distantes parecieran más
cercanos. Con este principio construyo en su taller un telescopio que ampliaba los objetos treinta
veces, dándolo a conocer al publico en 1609. Galileo con sus telescopios fue el primero en realizar
descubrimientos astronómicos utilizando estos instrumentos y los describieron en su obra obra
publicada en 1610: "Sidereus nuntius" (El mensajero de los astros). En ella dice : "Doy gracias a
Dios, que ha tenido a bien hacerme el primero en observar las maravillas ocultas a los siglos
pasados. Me he cerciorado de que la Luna es un cuerpo semejante a la Tierra. He contemplado
una multitud de estrellas fijas que nunca antes se observaron. Pero la mayor maravilla de todas
ellas es el descubrimiento de cuatro nuevos planetas (cuatro satélites de Júpiter). He
observado que se mueven alrededor del Sol".
Descubrió que la Vía Láctea consistía en una miríada de estrellas; que el Universo no era fijo ni
inmutable, como creían sus contemporáneos, pues aparecían ante su vista nuevas estrellas que
luego desaparecían; que los planetas Venus y Mercurio se movían también alrededor del Sol y que
el mismo giraba sobre su eje.
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En 1623, publicó el "Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo" apoyado por el Papa
Urbano VIII, sin embargo debido a la representación del Papa en un personaje llamado Simplicio el
libro fue prohibido en 1632 y su autor fue citado ante el tribunal de la Inquisición.
En la sala de honor del convento de Santa María Sopra Minerva el miércoles 22 de junio de 1633
fue obligado a confesar públicamente un error que no era error: " Yo Galileo Galilei, abandono la
falsa opinión de que el Sol es el centro (del Universo) y está inmóvil. Abjuro, maldigo y detesto los
dichos errores". La leyenda dice que cuando se puso de pie murmuró para sus adentros: "E pur si
muove" : Y sin embargo (la Tierra) se mueve (alrededor del Sol).
Después de este injusto juicio Galileo fue condenado a prisión domiciliaria primero en Siena y
después en las afueras de Florencia, en Arcetri, donde reanudó sus trabajos de mecánica
publicando "Diálogos de las Nuevas Ciencias", en la que resumía todas sus investigaciones sobre
el movimiento y la mecánica esta obra se imprimió clandestinamente en Ámsterdam, en 1638.
Los últimos cuatro años de su vida, Galileo los pasó en una oscuridad total: a fines de 1637 quedó
completamente ciego, consecuencia probablemente de las observaciones solares realizadas sin
una adecuada protección. Murió el 8 de enero de 1642, cuando trabajaba con su hijo en la puesta
punto de un reloj con péndulo regulador. La Inquisición se negó a permitir la realización de un funeral
público.
Modelo de la programación lineal
Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a: una
serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.
Un problema de programación lineal en dos variables, tiene el siguiente modelo matemático:
Los elementos de un problema de PL son :
La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las
variables de decisión que necesariamente deben ser controlables , mientras que a, b y c son constantes.
Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de
desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ... ( menores: < o
);
como mínimo de ... (mayores: > o ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse
en cualquiera de los dos sentidos. ( Para una mejor representación las enunciaremos en filas de matrices, con la letras ri
,con las letras r,s,t,... para no utilizar subíndices o bien directamente escribiendo su ecuación o inecuación, según nos sea
mas conveniente) .
Al conjunto de valores de x e y ( o si es mas conveniente x1,x2)que verifican todas y cada una de las restricciones se lo
denomina conjunto (o región , superficie o polígono ) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del
problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución. En el apartado siguiente veremos como se
determina la región factible.
La solución óptima del problema será el subconjunto de pares de valores (Xi, Yi) del conjunto factible que haga que f(x,y)
tome el valor optimo.
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La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio (
o ) o en
sentido estricto (< o >).
Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual
que el número de restricciones.
Ejemplo
Pampa Metal produce dos productos metalmecánicos el XR_90 y el XR_100, destinados ala industria agromecánica , sus
beneficios marginales son idénticos ., 3 unidades monetarias para cada uno. En la elaboración los productos insumen 1 y
3 horas de matrizado, 1 y 2 horas de termocuplado e insumiendo 2 y 1 horas de embalaje , cada uno respectivamente .
Las disponibilidades en la planta de producción son 310 horas de matrizado, 240 hs de termocuplado y 360 horas de
embalaje. Desarrollar cual es el nivel óptimo de producción, el beneficio máximo desarrollado y el estado de los recursos en
el nivel óptimo. Siendo X e Y nuestras variables de decisión, llamamos a x al producto XR_90 e y al producto XR_100, el
modelo de programación lineal sería:
B(x;y) =3X+3Y sujeta a las siguientes condiciones :
X+3Y<=310
X+2Y<=240
2X+Y<=360
X>=0 Y >=0
El método gráfico consiste en representar en un sistema de ejes cartesianos cada recta, ellas conforman la frontera de una
zona del plano que queda determinada por la desigualdad.
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Nos queda determinado un polígono ABCDO, cuyos vértices son las intersecciones de las rectas que conforman el lado
respectivo , es decir vértice A recta 1 con el eje de ordenadas, vértice B recta 2 con recta 1 , vértice c recta1 y recta 3 ,
vértice D recta 3 con el eje de abcisas y vértice O vértice Origen de coordenadas. Las coordenadas de los vértices son A (0;
103,3) B( 100 ;70 ) C( 160;40) D(0;180) y O ( 0;0).El polígono se denomina polígono de soluciones.
Recordemos el Teorema fundamental de la programación lineal en el modelo de programación lineal , si existe una
solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible
acotada, nunca en el interior de dicha región.
Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices consecutivos , también toma idéntico valor en los puntos
del segmento que lo determinan.
En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo
concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región.
Por lo que sólo debemos buscar el valor debla función en cada vértice y de esos valores escoger el mayor, si calculamos en
el ejemplo la solución óptima se encuentra en el vértice C y es producir 160 unidades de XR_90 y 40 de XR_100 . El
beneficio máximo es 3.160 + 3.40 = 600 unidades monetarias.
Analizando los recursos , debemos tener en cuenta que en el vértice que se alcanzó
el óptimo , las rectas que determinaron ese punto están en equilibrio ,por lo tanto los recursos que representan esas rectas
están utilizados totalmente , es decir se han agotado las horas de termocuplado y embalaje pero en cuanto a la otra recta ,
horas de matrizado tenemos que :
160+3,40 dan 280 , tenemos un sobrante de 30 horas. Sobre un total disponible de 310Vomo toda situación de gestión es
dinámica y en unos meses ha variado el escenario económico ya que existen problemas para colocar el producto XR_90
en el mercado externo por lo que su beneficio se debe reducir ha una unidad monetaria, hallar la nueva solución:
B(x;y) =X+3Y sujeta a las siguientes condiciones :
X+3Y<=310
X+2Y<=240
2X+Y<=360
Lógicamente el polígono de soluciones no se modificó pero si la pendiente de la recta de la función Objetivo que coincide
con la pendiente de la recta de la primera de las condiciones .Ahora tenemos infinitas soluciones todos los puntos
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comprendidos en el segmento A y B son el nuevo óptimo de 310 unidades monetarias, así se pueden plantear distintas
opciones que son óptimas:
No producir del XR_90 y producir 103 unidades del XR_100 , producir 100 unidades de XR_90
y 70 de XR_100 o
también por ejemplo producir 40 unidades de XR_90 y 90 de XR_100.
Es interesante conocer la holgura es decir el límite superior e inferior que pueden variar los coeficientes del funcional para
pasar de solución única a soluciones infinitas.
Los recursos saturados varían ahora de acuerdo a la solución escogida, en todos se utilizan al máximo las horas de
matrizado y en la del punto B se saturan también las horas de termocuplado , habiendo siempre sobrantes de horas de
embalaje. Por ejemplo si elegimos la opción producir 40 unidades de XR_90 y 90 de XR_100, nos sobran 40+180 =220
sobrante de 20 horas de termocuplado y 80+90= 170 sobrante de 90 horas de embalaje.
TIPOS DE SOLUCIÓN
La solución puede ser única. Infinitas o ninguna. Veamos los casos que pueden darse:
Si el recinto es cerrado existe una solución única para el máximo y otra para el mínimo en alguno de los vértices si en todos
ellos la función toma valores distintos.
Si es cerrado pero hay dos vértices consecutivos en los que la función toma el mismo valor (y ese valor es por ejemplo
máximo), entonces toma el mismo valor en todos los puntos del segmento que une ambos vértices, luego la función infinitos
máximos y un mínimo. Al contrario sucedería si el valor común de los dos vértices fuese mínimo, habiendo entonces
infinitos mínimos y un máximo.
Si el recinto convexo no está acotado superiormente, no existe máximo aunque sí mínimo.
Los tipos de solución que se presentan se denominan : FACTIBLES, CUANDO HAY CONJUNTO SOLUCIÓN Y NO
FACTIBLES CUANDO LA SOLUCIÓN ES EL CONJUNTO VACÍO .( Cuando no existe el conjunto de soluciones que
cumplen las restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes).
Factibles
Solución única
Se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello
de un máximo de 1800 millones de um, siendo el cosoe de cada tipo de casa de 30 y 20
millones, respectivamente. El código de planeamiento urbano CPLU exige que el
número total de casas no sea superior a 80.
Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es 4 millones y de
3 millones por una de tipo B, ¿cuántas casas deben construirse de cada tipo para
obtener el máximo beneficio?
Variables: x = nº de casas tipo A ; y = nº de casas tipo B
Función objetivo: Maximizar Z = f(x,y) = 4x + 3y
Conjunto de restricciones: El costo total 30x + 20y
1800 . El CPLU impone x + y
80
. De no negatividad: x 0 , y 0.
Tiene por región factible la región coloreada.
Si hallamos los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices :
f(O) = f(0,0) = 0 ; f(C)=f(60,0) = 240 ;f(D) = f(20,60) = 260 ; f(E) = f(0,80) = 240
La solución es única, y corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el valor máximo. En este caso es el
vértice D(20,60). Por tanto se deben construir 20 casas de tipo A y 60 de tipo B con un beneficio de 260 millones de um.
Con Solución Múltiple
Maximizar la función Z = f(x,y) = 4x + 2y sujeta a las restricciones 2x + y
4,x-y
1 , x 0 , y 0.
Los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices son:
f(O)=f(0,0) = 0 , f(A) = f(1,0) = 4 ; f(B)=f(5/3,2/3) = 8 , f(C) = f(0,4) = 8
La función objetivo alcanza el valor máximo en los vértices B y C, por tanto, en todos
los puntos del segmento BC.
Hay infinitas soluciones, solución múltiple, que corresponden a los puntos del
segmento situado entre dos vértices de la región factible.
En estos casos la función objetivo es paralela a una de las restricciones.
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No factibles
Maximizar la función Z = f(x,y) = x + y sujeta a las restricciones y
2x , y
x/2 .
Tiene por región factible la zona coloreada que aparece en la figura, que es
una región no acotada.
La función crece indefinidamente para valores crecientes de x e y.
En este caso no existe un valor extremo para la función objetivo, por lo que
puede decirse que el problema carece de solución
Para que suceda n. esta situación la región factible debe estar no acotada.
Maximizar la función Z = f(x,y) = 3x + 8y sujeta a las restricciones x + y
6,x+y
2 , x 0 , y 0.
No existe la región factible, ya que las zonas coloreadas que aparecen en la
figura son únicamente soluciones de alguna de las inecuaciones .
Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema de desigualdades no determina
ninguna región factible.
Este tipo de problemas carece de solución.
Veamos este ejemplo: En una distribuidora de almacena aceite de girasol y de soja,con la finalidad de su posterior
redistribución La utilidad , al redistribuirlos es la misma para los dos tipos de aceite (1 unidad monetaria) . Para atender a
la demanda se han de tener almacenados un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de soja y, además,
el número de bidones de aceite de soja no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La
capacidad total del almacén es de 150 bidones.. ¿Cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que la utilidad
sea máxima?
Paso 1º: Leer detenidamente el enunciado: determinar el objetivo, definir las variables y escribir la función objetivo.
El objetivo es: halla cuántos bidones de cada tipo hay que almacenar para maximizar los gastos
Suponemos que tal objetivo se consigue almacenado x bidones de aceite de girasol e y de aceite de soja
Cómo cada bidón de aceite de girasol revendido tiene una utilidad de 1 unidad monetaria y lo mismo para uno de aceite, la
utilidad será F( x,y) = x + y
Luego, la función objetivo es:
Maximizar la función Z = F(x,y) = x + y
Paso 2º: Reordenar los datos del problema y a partir de las cantidades decididas, x e y, escribir el sistema de inecuaciones
que determinan las restricciones.
Un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol: x
Un mínimo de 40 bidones de aceite de soja: y
20
40
El número de bidones de aceite de soja no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol: y
La capacidad total del almacén es de 150 bidones: x + y
Expresar el problema en la forma estándar.
Siguiendo con el ejemplo, sería:
x+y
x
Maxmizar: f(x,y) = x + y
x/2
150
150
20
sujeto a: y
40
y
x/2
Paso 3º Representar
claramente la región
Para las restricciones
+ y = 150 , y = x/2 , x = 20 e
en la figura se encuentra
gráficamente las restricciones y marcar
factible.
anteriores debemos representar las rectas: x
y = 40, obteniéndose la región factible que
coloreada.
Además, los números de
bidones deben ser cantidades positivas: x
0;y
0
Paso 4º: Hallar las
obtenido.
Resolviendo los sistemas : {
, x + y = 150} , { x + y = 150,
B(80,40) , C(100, 50) ,
Paso 5º: Sustituir las
coordenadas de los vértices del polígono
x = 20, y = 40 } , { y = x/2 , y = 40 } , { y = x/2
x = 20}; se obtienen los vértices: A(20,40) ,
D(20,130)
coordenadas de esos puntos en la función
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objetivo y hallar el valor máximo o mínimo.
Sustituyendo en f(x,y) = x + y, se tiene:
f(20,40) = 60 , f(80,40) = 120 , f(100, 50) = 150 , f(20,130) = 150
Como el valor máximo se obtiene en los puntos C y D, puede optarse por cualquiera de los dos, o por cualquier punto
perteneciente al segmento que los une. Así, por ejemplo, se obtendría la MISMA UTILIDAD con 40 bidones de aceite
girasol y 110 bidones de aceite de soja; o 90 y 60 respectivamente.
Paso 6º: También es conveniente representar las rectas de nivel para comprobar que la solución gráfica coincide con la
encontrada. Esta conveniencia se convierte en necesidad cunado la región factible es no acotada.
En nuestro caso, puede comprobarse que las rectas de nivel tienen la misma pendiente que la recta límite de la restricción x
+ y 150 ; por tanto, hay múltiples soluciones.
Paso 7º: Por último, como en la resolución de todo problema es necesario veriticar la solución: cerciorarse de que la
solución hallada es lógica y correcta.
En este ejemplo, no todos los puntos del segmento CD son soluciones válidas, ya que no podemos admitir valores de x e y
no enteros , como ocurriría en el punto (90.5,59.5) .Y de acuerdo a las necesidades externas al modelo de PL se puede
escoger la mejor (100, 50) o (20,130) o alguna otra aproximando al entero más próximo .
Volviendo a nuestro problema en el modelo XR_90 ha recuperado su rendimiento, llegando a un beneficio marginal
unitario de 2 unidades monetarias y el directorio ha decidido producir al menos uno de este modelo por cada dos producido
del otro.
Generar el nuevo modelo matemático y establecer la solución óptima
La nueva condición es del tipo Y>=2X pues debemos establecer que debemos producir al menos el doble del XR_100 que
del XR_90
B(x;y) =2X+3Y sujeta a las siguientes condiciones :
X+3Y<=310
X+2Y<=240
2X+Y<=360
Y>=2X
Vemos que se ha modificado substancialmente el polígono de soluciones y en este momento sujeto a la nueva restricción
hemos de producir 48 unidades de XR_90 y 96 de XR_100, sobrando horas de embalaje y matrizado
Por lo que aconteció en nuestro ejemplo podemos observar que pueden producirse variaciones que afectan al polígono de
solución y al tipo de solución .Es importante para la toma de decisiones distinguir el tipo de variación y la relación entre las
modificaciones de las condiciones iniciales y las modificaciones en la solución como la posible variación o holgura de los
parámetros iniciales para mantener un tipo de solución.
Debemos distinguir que siempre tenemos dos dimensiones de análisis el matemático y el de la gestión, por ejemplo el
condicionamiento de horas de matrizado X+3Y<=310, en la gestión el coeficiente 1 de X significa que cada el XR_90 ,utiliza
una hora de matrizado mientras que el coeficiente 3 de Y significa que el XR_100 utiliza tres horas d ese recurso y el lado
derecho de la desigualdad implica que tenemos 310 horas disponibles. En matemática significa que los coeficientes 1 y 3
determinan una pendiente de -1/3 para la recta frontera de la desigualdad y que el punto de corte de esa recta con el eje de
ordenadas será 310/3.Toda modificación de los recursos implica nueva distribución unitarios del insumo y una recta frontera
diferente .
Ejemplo:
 El Consejo de Administración de una terminal portuaria de cargas ha aprobado el presupuesto para el próximo
período fiscal. En el mismo se aprueba la compra de un lote de contenedores para reemplazar los que han
quedado obsoletos, facultando al gerente de operaciones la toma de decisión sobre las características de la
compra.

El gerente de operaciones debe determinar la conveniencia de comprar contenedores de 8 o 12 metros de
longitud. Para ello deberá tener en cuenta la siguiente información almacenada en los últimos ejercicios del
sector:
28
1.
La operación con contenedores de 12m. de longitud se factura a $150.-, y los de 8m. a $120.-. Los
costos promedio de operación ascienden a $100.2. La dimensión de la playa de maniobras en el muelle de cargas es de 5850m2. Ha quedado demostrado
por estudios de distribución que, en promedio, cada contenedor absorbe una superficie de 45 y 39 m2
para 8 y 12m. de longitud, respectivamente. Esto tiene en cuenta los espacios para maniobra y
circulación.
3. Se dispone de 55h. semanales para la carga de los contenedores. Un contenedor grande consume 5
veces más tiempo que uno chico.
4. El tiempo promedio de carga de las bodegas de los buques es de 15h. para el tipo de calado que
admite el puerto. Se considera igual tiempo para todo tipo de contenedor.
5. En la elaboración del presupuesto se incluyó un incremento de $3.300.- anuales para mantenimiento de
los contenedores a reponer. Dado que los contenedores de 8m. de longitud permiten la instalación de
equipos de refrigeración para transporte de mercadería perecedera, su costo de mantenimiento anual
es de $300.-, tres veces superior a los de 12m.
Definiendo las variables como :
 X8: cantidad de contenedores de 8m. de longitud a
comprar.
 X12: cantidad de contenedores de 12m. de longitud a
comprar.
El modelo queda configurado de la siguiente manera:
Función Objetivo (maximizar los beneficios) =
Z = 20 $/cont. X8 + 50 $/cont. X12
sujeta a:

Restricción dada por la disponibilidad de tiempo de carga de los contenedores:
1 h sem/cont. X8+ 5 h sem/cont. X12  55 h semanales

Restricción dada por la disponibilidad de tiempo promedio de carga de las bodegas:
1 h/cont. X8+ 1 h/cont. X12  15 h

Restricción dada por el presupuesto anual para el mantenimiento de los contenedores:
300 $ anuales/cont. X8+ 100 $ anuales/cont. X12  3.300 $ anuales.

Restricción dada por la capacidad de la playa de maniobras:
45 m2/cont. X8 + 39 m2/cont. X12  5850 m2.

Restricción de no negatividad de las variables:
X8 y X12  0
Solución:
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Plan de compra:
• Comprar 5 unidades de contenedores de 8
metros de longitud
X12
•Comprar 10 unidades de contenedores de
12 metros de longitud
Beneficio máximo: $600.(2)
(3)
10
(1)
Zmáx= 600
5
X8
Z= 100
Luego de haber resuelto el problema, y no habiendo aún elevado el pedido de compra, el Gerente de Operaciones recibe
los siguientes informes, con lo cual se desea conocer si deberá modificar la decisión adoptada:
1. Variaciones en los precios de mercado y en los costos de operación han determinado que los beneficios
resultantes para ambos contenedores asciendan a $30.Modelo matemático
Maximizar
Z = 30 . X8 + 30 . X12
s.a:
1. 1 . X8+ 5 . X12  55
2. 1 . X8+ 1 . X12  15
3. 300 . X8+ 100 . X12  3.300
4. 45 . X8 + 39 . X12  5.850
X8 y X12  0
Plan de compra:
Estamos en presencia de soluciones múltiples.
X12
• Comprar
5 unidades de contenedores de 8 metros de
longitud y 10 unidades de contenedores de 12 metros de
longitud
• Comprar
(2)
(3)
6 unidades de contenedores de 8 metros de
longitud y 9 unidades de contenedores de 12 metros de
longitud
Beneficio máximo: $450.-
10
(1)
Zmáx= 450
5
X8
30
2.
Una reciente fluctuación en el mercado asiático podría ocasionar nuevas distorsiones en los beneficios de
operación de los contenedores. Pudiendo alcanzar los mismos a $10.- y $20.- respectivamente para los de 8 y
12m.
Modelo matemático
Maximizar
Z = 10 . X8 + 20 . X12
s.a:
1. 1 . X8+ 5 . X12  55
2. 1 . X8+ 1 . X12  15
3. 300 . X8+ 100 . X12  3.300
4. 45 . X8 + 39 . X12  5.850
5. X8 y X12  0
X1
2
Plan de compra:
• Comprar 5 unidades de contenedores de
8 metros de longitud
(2)
(3)
• Comprar 10 unidades de contenedores
de 12 metros de longitud
Beneficio máximo: $250.-
10
(1)
Zmáx= 250
5
3.
X8
La Gerencia General emite una circular en la cual informa que los fondos no afectados del presupuesto corriente
no podrán ser utilizados para el próximo ejercicio. Con lo cual deberá consumir el total de los $3.300.- para
mantenimiento.
Modelo matemático
Maximizar
Z = 10 . X8 + 20 . X12
s.a:
1.
1 . X8+ 5 . X12  55
2.
1 . X8+ 1 . X12  15
3. 300 . X8+ 100 . X12 = 3.300
4.
45 . X8 + 39 . X12  5.850
X8 y X12  0
31
X12
6
9
4.
X8
Recibe los objetivos para el presente año del plan de mejora continua de calidad en el cual se espera llegar al
final del período con un tiempo promedio de carga de las bodegas de los buques de 11h.
Modelo matemático
Zmáx= 210
Maximizar
Z = 10 . X8 + 20 . X12
s.a:
1.
1 . X8+ 5 . X12  55
2.
1 . X8+ 1 . X12  11
3. 300 . X8+ 100 . X12  3.300
4.
45 . X8 + 39 . X12  5.850
5.
20 . X8 + 25 . X12 ≥ 2.000
X8 y X12  0
X1
Plan de compra:
2
• Comprar ninguna unidad de
contenedores de 8 metros de longitud
(2)
(3)
• Comprar 11 unidades de contenedores
de 12 metros de longitud
Beneficio máximo: $220.(1)
Zmáx= 220
X8
5.
Existiría un proyecto de ley que gravaría con una tasa especial la tenencia de contenedores para financiar los
déficits de las cajas de jubilaciones. De aprobarse dicho proyecto, debería pagarse anualmente $20.- por
contenedor de 8m. y $25 por contenedor de 12m., no pudiendo se el aporte menor a $2000.
Modelo matemático
Maximizar
Z = 10 . X8 + 20 . X12
s.a:
1.
1 . X8+ 5 . X12  55
2.
1 . X8+ 1 . X12  11
3. 300 . X8+ 100 . X12  3.300
4.
45 . X8 + 39 . X12  5.850
5.
20 . X8 + 25 . X12 ≥ 2.000
X8 y X12  0
32
(4)
X12
(5)
(3)
Solución NO FACTIBLE
(2)
(1)
X8
Encontrar las similitudes y diferencias entre las modificaciones en las condiciones y la solución
Ejemplo: La empresa Electromed SA. Produce y vende dos tipos de nebulizadores, a pistón y ultrasónicos. Cada
nebulizador a pistón fabricado y vendido le produce un beneficio de $20.- y cada ultrasónico $30.-. Ambos nebulizadores
deben ser ensamblados y embalados a través de operaciones diferentes. La capacidad mensual de ensamblado y embalaje
y los requerimientos para cada tipo de nebulizador se dan en la siguiente tabla:
Producto \ Horas requeridas
Ensamblado
Embalaje
Nebulizador a pistón
3
1
Nebulizador ultrasónico
2
2
Capacidad mensual
2000 h.
1000 h.

Definir las variables
Xp: cantidad de nebulizadores a producir mensualmente del tipo a pistón.
Xu: cantidad de nebulizadores a producir mensualmente del tipo ultrasónico.

Plantear el modelo
F.O. (maximizar) = $/u 20 . Xp + $/u 30 . Xu
s.a:
Restricción dada por la capacidad de ensamblado
3h/u . Xp + 2h/u . Xu  2000 h/mes
Restricción dada por la capacidad de embalaje
1h/u . Xp + 2h/u . Xu  1000 h/mes
Restricción de no negatividad de las variables
Xp y Xu  0
Maximizar
Z = 20.Xp + 30.Xu
s.a:
3.Xp + 2.Xu  2000
1.Xp + 2.Xu  1000
Xp y Xu  0
33
Resolución gráfica
Xp
Plan de producción (mensual):
•500 unidades de nebulizadores a pistón
•250 unidades de nebulizadores ultrasónicos
Xp+2Xu=1000
Beneficio máximo (mensual): $17.500.-
500
Máxima Z = 20Xp+30Xu= 17500
3Xp+2Xu=200
0
250 Z = 20Xp+30Xu=6000 Xu
o
VARIABLES DE HOLGURA
Observemos que de las horas de ensamblado primera ecuación hemos agotado todo el recurso de igual manera las horas
de embalaje segunda ecuación .Los recursos de las ecuaciones que definen el vértice solución se agotan. Si hubiese otros
recursos estarían sobando, en el algoritmo ssimplex se introducen para ese fin unas variables llamadas variables de
holgura.
Veamos un ejemplo :
En una fábrica se hacen dos modelos distintos de un producto p1 y p2 usando cantidades prefijadas de materia prima,
mano de obra y maquinas. La información correspondiente se conoce mediante la siguiente tabla:
Insumo
p1
p2
Disponibilidad
Materia prima
1Kg/unid
2Kg/unid
500Kg
Mano de obra
1H/unid
4h /unid
800 hs
Maquina
2h /unid
1h/unid
300hs
Beneficio
3
5
a) Modelo matemático
Z=3X1+5X2 (MAX)
s.a.
X1+2X2<500
X1+4X2<800
2X1+X2<300
Completando las variables :
Inecuaciones
Ecuaciones
X1+2X2<500
X1+4X2<800
2X1+X2<300
X1+2X2+X3+0X4+0X5=500
X1+4X2+0X3+X4+0X5=800
2X1+X2+0X3+0X4+X5=300
Función objetivo o funcional
Z= 3X1+5X2+0X3+0X4+0X5 (MAX)
En las ecuaciones se agregan variables, una por cada recurso que transforman a las inecuaciones en igualdades e
identifican a cada recurso con ellas. Es decir X3 es la variable de holgura del recurso uno, X4 es la variable de holgura del
recurso dos y X5 es la variable de holgura del recurso tres. Al terminar el cálculo nos informarán de la disponibilidad final de
los rescursos.
Volviendo al problema de Electromed SA
Z = 20.Xp + 30.Xu (MAX)
s.a:
3.Xp + 2.Xu  2000
1.Xp + 2.Xu  1000
Sus ecuaciones serían:
Z = 20.Xp + 30.Xu+ 0.X1+ 0.X2 (MAX)
34
s.a:
3.Xp + 2.Xu +1.X1+ 0.X2 =2000
1.Xp + 2.Xu + 0.X1+ 1.X2 =1000
Donde X1 variable de holgura de horas de ensamblado
Y X2 variable de holgura de horas de embalaje
Este problema tiene asociado otro :
Y1 : renta a percibir por Electromed SA., por hora de ensamble;
Y2 : renta a percibir por Electromed SA., por hora de embalaje,
Al problema de Electromed,
F.O. (minimizar) = 2000h/mes . Y1 + 1000 h/mes . Y2
3h/u . Y1 + 1h/u . Y2  $/u 20.-
s.a:
2h/u . Y1 + 2h/u . Y2  $/u 3l0.Que lo llamamos dual del anterior
EL DUAL EN LA PROGRAMACIÓN LINEAL
Todo problema de programación lineal se encuentra relacionado con otro problema de optimización que representa una
gama de características interrelacionadas con otras con respecto al problema original. Este problema original recibe el
nombre de “Primitivo” o”Primal”, mientras que el problema relacionado con el primal se denomina “ problema dual”.
El valor del funcional o función objetivo en ambos problemas, primal y dual, es el mismo aunque debemos tener en cuenta
que si el primal debe maximizar el funcional, el dual correspondiente buscara la minimización del funcional correspondiente
y recíprocamente, O sea:
Z =c1·X1+ c2·X2+……………………………+cn· xn (MAX)
El funcional del dual :
Zd= b1·y1 +b2·y2.......................................+bn·yn
(MIN)
Recordemos que los distintos b, representan disponibilidad de los recursos correspondientes al problema primitivo. El
número de inecuaciones del primal coincide con el número de variables originales del dual y el número de variables del
primal coincide con el número de inecuaciones del problema dual.
Entre las variables existe la siguiente relación: Las originales del primal son variables de holgura en el dual y
recíprocamente. Además, las restricciones son de sentido contrario en el primal y en su correspondiente dual. Por otra parte
los respectivos coeficientes de las variables del dual son los coeficientes transpuestos del problema primal, o sea aij en el
primal corresponde a bij en el dual.
Relación entre el problema y su correspondiente dual.
Como ya expresamos antes, todo problema de programación lineal esta asociado con otro problema, el cual se denomina
problema dual o simplemente dual. Cuando el problema a resolver busca minimizar su función objetivo y recíprocamente.
Resulta por todo lo dicho anteriormente, posible construir el cuadro final del problema dual a partir del cuadro final del primal
y viceversa. Efectivamente se deben colocar:
En la fila superior del dual (cj), se colocan los coeficientes del funcional del dual (zd).
En la columna Bk del dual aparecen los coeficientes de y1 e y2 del primal.
En la columna Ck se colocan los coeficientes de las variables de la solución del primal.
En la fila del dual (zj-cj) se colocan los valores de la columna Bk del primal cambiados de signo.
Las casillas restantes se completan del modo siguiente: la fila y1 columna X3 del dual lleva el valor que aparecen la fila de
X3 columnay1 de cuadro final dl primal cambiado de signo.
Ejemplo:
En una empresa metalúrgica se producen dos productos A y B cuyos beneficios marginales son $2 y $3 respectivamente.
Los productos insumen 4 horas de estampado, 2 y 4 de soldado y 8 y 4 horas de pintado. LAS disponibilidades respectivas
de los recursos son: 320. 240 y 560 horas respectivamente. Determinar las unidades a producir de cada producto para
maximizar la utilidad.
Modelo matemático:
Inecuaciones
ecuaciones
4X1+4X2 320
2X1+4X2 240
8X1+4X2 560
4X1+4X2+X3=320
2X1+4X2+X4=240
8X1+4X2+X5=560
Funcional
Z= 2X1+3X2 (MAX)
Z= 2X1+3X2+0X3+0X4+0X5
35
Solución matemática:
X1= 40 X2=40
X3=0
X4=0
X5=80
Solución económica:
Se deben producir 40 unidades de cada producto para que el beneficio se máximo. Dicho beneficio será:
Z = 2 · 40 + 3 · 40 =200
Quedo un excedente en el proceso de pintado de 80 horas.
Problema dual
Modelo matemático
4y1+2y2+8y3 2
4y1+4y2+4y3 3
Funcional: Zd = 320 y1+240 y2 +560 y3 (MIN)
Solución matemática:
Y1=0.25
y2= 0.50 y3= 0
y4=0 y5=0
Solución económica:
La solución económica no es otra cosa que la interpretación económica de la solución matemática. En este caso dicha
solución no esta diciendo que por cada unidad horaria que se agregue en el proceso de estampado, el valor de l funcional
aumenta en 0.25 y análogamente por cada hora que se agregue en el proceso de soldado, el funcional aumentara en 0.5.
En cuanto a y3=0 significa que el funcional no experimentara variación si aumentamos la disponibilidad de horas para el
proceso de pintado ya que este recurso no fue empleado totalmente.
También podemos observar que en dicho ejemplo, que el elemento que aparece en la fila de X1 columna y2 es 0.5, y este
valor , cambiado de signo, aparece en el cuadro final del dual en la fila y2 columna X1.
Propongo al alumno lector que a modo de práctica tome el cuadro final de un problema cualquiera y a partir del mismo
confeccione el cuadro final del dual correspondiente al mismo.
EN SÍNTESIS:
El problema dual es un problema de PL auxiliar que se define directa y sistemáticamente a partir del modelo de PL original o
primal.
El problema de programación lineal bien dado por:
Maximizar Z = C’X sujeto a: AX <= B X >= 0 su dual asociado es el problema de PL dado por: Minimizar Z’
= B’Y sujeto a: AY<= C Y >= 0
De lo anterior se deduce que el paso al dual se lleva a cabo teniendo presente las cuatro reglas siguientes:
a) Los coeficientes de la i-ésima restricción para el problema primal pasan a ser los coeficientes de las variables Yi en las
restricciones del problema dual. El problema dual tiene tantas variables como restricciones hay en el primal.
b) Los coeficientes de las variables de decisión Xj en el problema primal pasan a ser los coeficientes de la restricción jésima en el problema dual. El problema dual tiene tantas restricciones como variables hay en el primal.
c) Los coeficientes de la función objetivo en el problema primal pasan a ser los coeficientes del segundo miembro de las
restricciones en el problema dual.
d) Los coeficientes del segundo miembro de las restricciones del problema primal pasan a ser los coeficientes de la función
objetivo del dual.
Ejemplo: Primal Maximizar : Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3
sujeto a:
8X1 + 6X2 +
X3 <= 48
4X1 + 2X2 + 1.5X3 <= 20
2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 <= 8
" X1, X2, X3 >=0
Dual: Minimizar Zd=48 Y1 + 20 Y2 + 8Y3
sujeto a: 8Y1 + 4Y2 + 2Y3 >= 60
6Y1 + 2Y2 + 1.5Y3 >= 30
Y1 + 1.5Y2 + 0.5Y3 >= 20
" Y1, Y2, Y3>= 0
Es indistinto obtener la solución optima de uno resolviendo el otro, en la práctica preferimos maximizar que minimizar por
efectos netamente prácticos en los cálulos , ademas el algoritmo simplex se resuelve oportunamente en una planilla de
cálculo
La renta por arrendar o vender los recursos necesarios para producir un nebulizador debe ser superior al beneficio que
resulta de su fabricación y venta.
Y1 y Y2  0
(Restricción de no negatividad de las variables)
36
Es indistinto obtener la solución optima de uno resolviendo el otro, en la práctica preferimos maximizar que minimizar por
efectos netamente prácticos en los cálculos, además el algoritmo simples se resuelve oportunamente en una planilla de
cálculo
Ejemplo:
En un empresa metalúrgica se producen dos piezas mecánicas elaboradas, utilizando cantidades prefijadas de materia
prima, mano de obra y maquinarias. Generándose un beneficio de 3 unidades monetarias por cada pieza A y de 5 para las
del tipo B ,se puede colocar toda la producción que se disponga fabricar. La información correspondiente esta determinada
por :
Insumo
producto A
producto B
Disponibilidad
Materia prima
1KG/unid
2KG/unid
500KG
Mano de obra
1H/unid
4h /unid
800 hs
Maquinarias
2h /unid
1h/unid
300hs
Se pide:
Construir el modelo matemático
Graficar y determinar máximo de la función objetivo.
Solución:
a) Modelo matemático
Inecuaciones
FO
X1+2X2<=500
X1+4X2<=800
2X1+X2<=300
Z= 3X1+5X2 (MAX)
Representación grafica
Solución analítica:
Como podemos observar al graficar quedo determinado OABC que se denomina polígono de soluciones factibles. Vamos a
determinar las coordenadas de cada uno de los vértices.
0 =(0,0) Solución trivial sin sentido económico (corresponde a la situación inicial)
A = (0,200) Corresponde a producir 200 unidades del producto p1 y ninguna del producto p2
C = (150,0) Corresponde a producir 150 unidades de p1 y ninguna de p2
Para calcular el vértice B, que es el que realmente nos interesa debemos resolver (por cualquier método) el siguiente
sistema de ecuaciones
X1+ 4X2=800
2X1+ X2=300
Siempre se deben tomar las ecuaciones que determinan el vértice que queremos hallar. En este caso resolvemos por el
método de gauss:
1
4
800
1
4
800
2
1
300
0
7
1300
La solución resulta ser: X2= 1300/7 X1= 400/7
Por lo tanto el vértice es: B = (400/7, 1300/7) es decir X1=57,14 y X2=185,71
El funcional en cada vértice tomas los siguientes valores:
Z0=3. 0 + 5. 0 =0
ZA =3. 0 + 5 . 200=1000
ZB = 3 . 400/7 + 5 . 1300/7 =1100
ZC = 3.150 + 5 . 0 = 450
PRIMAL
Z= 3X1+5X2 (MAX)
X1+2X2<=500
X1+4X2<=800
2X1+X2<=300
DUAL
Zd=500Y1+800Y2+300Y3 (MIN)
Y1+Y2+2Y3>=3
37
2Y1+4Y2+Y3>=5
SOLUCIÓN Y1=0 , Y2=1 e Y3=1
El método grafico no siempre permite leer con precisión el resultado del problema razón por la cual el método analítico es
fundamental en los problemas de programación lineal. En general y dado que los problemas pueden presentar ecuaciones
con mas de tres incógnitas recurriremos al denominado método simples , utilizando PROGRAMAS ADECUADOS EN LA
COMPUTADORA se carga solamente esta matriz en la PC:
MATRIZ DE DATOS ( INPUT)
Obtenemos:
La PRIMER TABLA nos da solución real sería producir 57 piezas del tipo A y 185 del tipo B
También señala la contribución de cada variable al funcional y sus coeficientes.
Debajo tenemos la información de las variables de holgura, variables que En la tabla de Slack-/Surplus+ ( variables de
holgura ) se indica la cantidad sobrante de cada inecuación ( es decir lo que queda del lado derecho de las desigualdades
que no es utilizado en el punto óptimo ).En nuestro caso tenemos un sobrante de 71,43 kilogramos de materia prima,
mientras que del resto no hay sobrantes sus valores son cero, este tipo de recursos están saturados.
En la tabla análisis de sensibilidad
Se nos informa en primer término de las holguras de variabilidad de los coeficientes del funcional Observemos que el
coeficiente X1 puede variar entre 1,25 a 10 y el de X2 entre 1,50 y 12 sin efectuar modificaciones en la solución óptima
topológica.
La columna Costo reducido es debido ha si alguna variable de decisión no hubiese sido parte de la solución, reduciendo su
coeficiente podría ser parte de la misma. Es decir si hubiese alguna variable que no estuviese en la solución óptima el costo
reducido nos informa cuanto debe variar el coeficiente de esa variable en el funcional para que esta ingrese en la solución
óptima.
Por último en la tabla inferior se hace un análisis de las variaciones posibles en cada restricción. Aquí se indica hasta
cuando se pueden aumentar o disminuir las disponibilidades de los recursos y se señala un nuevo concepto importante el
DUAL PRICE o PRECIO SOMBRA .
En este caso como el recurso materia prima tiene sobrante su precio sombra es cero ( ya que teníamos sobrante del
producto) y los otros uno, señala que para inversiones a futuro cada unidad de mejora en estos recursos agregaría una
unidad al funcional.
El precio sombra es la mejora que se obtiene en la función objetivo (FO) por cada aumento unitario en los recursos
( considerando el lado derecho de la restricción LD ) .
Nos indica la razón de cambio del valor óptimo de (FO) a medida que aumente el LD de una restricción .
Si el precio sombra es positivo , entonces VO y LD se mueven en la misma dirección , aumentos en LD hace que se
incremente y viceversa.
Además es la solución del problema dual , en nuestro ejemplo Y1=0,. Y2=1, Y3=1
Los coeficientes de las variables de decisión del funcional pueden variarse en determinados casos sin que la solución
óptima cambie de vértice topológico , este rango de variación es muy importante para la toma de decisiones
38
Volvamos a analizar utilizando una planilla electrónica de cálculo el caso inicial de Pampa Metal , alli se produce dos
productos metalmecánicos el XR_90 y el XR_100, destinados a la industria agromecánica , sus beneficios marginales son
idénticos , 3 unidades monetarias para cada uno. En la elaboración los productos insumen 1 y 3 horas de matrizado, 1 y 2
horas de termocuplado e insumiendo 2 y 1 horas de embalaje , cada uno respectivamente . Las disponibilidades en la
planta de producción son 310 horas de matrizado, 240 hs de termocuplado y 360 horas de embalaje. Indicar las variables
de decisión, escribir modelo utilizado, modelo simplex y dual , desarrollar cual es el nivel óptimo de producción, el beneficio
máximo desarrollado y el estado de los recursos en el nivel óptimo. Gráficamente y utilizando una planilla electrónica de
cálculo .Evaluar la solución óptima si ante la escasez de papel y corrugado para el embalaje estas horas son reducidas a
300
Solución:
Siendo X e Y nuestras variables de decisión, llamamos a x al producto XR_90 e y al producto XR_100
Variables de decisión:
X cantidad a producir del producto XR_90
Y cantidad a producir del producto XR_100
El modelo de programación lineal está determinado por:
B(x;y) =3X+3Y MAX sujeta a las siguientes condiciones :
X+3Y<=310
X+2Y<=240
2X+Y<=360
X>=0 e Y >=0
Los vértices del polígono de solución son: (0;0) , A (0: 103,3) B ( 100 ;70 )
C ( 160;40) y D (0;180),la solución óptima producir 160 unidades de XR_90 y 40 de XR_100 En el óptimo los recursos de
las rectas que lo determinaron están utilizados totalmente ( recta 2 y 3) , es decir se han agotado las horas de termocuplado
y embalaje pero en cuanto las de matrizado tenemos que :160+3*40 dan 280 , tenemos un sobrante de 30 horas.
El beneficio máximo es 3.160 + 3.40 = 600 unidades monetarias.
El modelo simplex es: B(x;y) =3X+3Y MAX sujeta a las siguientes condiciones :
X+3Y+Xs1=310
X+2Y+Xs2=240
2X+Y+Xs3=360
Donde Xs1 es variable de holgura del recurso matriciado
Xs2 es variable de holgura del recurso termocuplado
Xs3 es variable de holgura del recurso embalaje
En el punto óptimo X=160, Y=40 , Xs1=30, Xs2=0 y Xs3=0
Se deben producir 160 XR_90 y 40 XR_100 agotando las horas de termocuplado y embalaje y habiendo un sobrante de 30
horas de matriciado para obtener un beneficio de 600 unidades monetarias.
Dual
Y1 PRECIO SOMBRA DE MATRICIADO
Y2 PRECIO SOMBRA DE TERMOCUPLADO
Y3 PRECIO SOMBRA DE EMBALAJE
B`(Y1;Y2,Y3) =310Y1+240Y2+360Y3 MIN
sujeta a las siguientes condiciones :
Y1+Y2+2Y3>=3
3Y1+2Y2+Y3>=3
Solución con la planilla electrónica de cálculo:
39
Nos sobran 30 horas de matrizado , el resto de los recursos están agotados.
Los coeficientes de la Función Objetivo pueden disminuirse hasta 1.50 unidades o aumentarse a 6 unidades siendo la
misma solución topológica , pasando de solución única a múltiples soluciones.
Por lo tanto pueden analizarse distintas soluciones semejantes topológicamente .
No hay reducción de costo ( es decir disminución de costos por producto para que sea factible su producción) pues ambas
variables de decisión están incorporadas a la solución final , es decir los estamos produciendo a los dos productos .
Los precios sombra de 1 unidad para los recursos no saturados implican que ambos tributan a la solución final de igual
manera . La solución del Dual es Y1=0, Y2=1 e Y3=1
Las horas de termocuplado y embalaje a pesar de estar agotadas, tienen holgura para mantener la solución topológica .Sus
pisos son 180 y 270 mientras que sus techos son 258 y 480 horas respectivamente , es decir si se modifican de a una
dentro de esos intervalos se modifica la solución aritmética peor no la topológica ( esto significa que el vértice D puede
desplazarse vertical u horizontalmente según lo variado dentro de esas holguras sigue siendo el óptimo topológico)Pueden
estimarse nuevas soluciones modificando las disponibilidades , para analizar distintos escenarios.
Ejemplo Ante la escasez de papel y corrugado para el embalaje estas horas son reducidas a 300
40
Observemos la nueva solución: En el punto óptimo X1=118, X2=61 , Xs1=0, Xs2=94 y Xs3=0 , los recursos saturados ahora
son matriciado y embalaje habiendo sobrante de horas
Una microempresa de inversiones que se dedica a administrar la cartera de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente
ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de 100.000 UM ( unidades monetarias) .A
ese cliente le seduce la idea de invertir en una mezcla de tres tipos de acciones únicamente ,como podemos apreciar en la
siguiente tabla de rendimiento anal por las acciones que a él le interesarían invertir :
Acciones
Precio por acción
Rendimiento anual
Inversión Máxima
estimado por acción
Posible
Azucarera GS
60
7
60000 UM
Bridas Corp.
25
3
25000 UM
Agrícola Exim
20
3
30000 UM
Debemos hallar un modelo que le posibilite efectuar la inversión con la mayor renta posible
Para ello construimos el modelo matemático , siendo las variables de decisión:
X1 cantidad de acciones Azucarera GS; X2cantidad de acciones Bridas Corp y X3 Agrícola Exim
Función Objetivo ( renta anual) :7X1+3X2+3X3 MAX
Restricción Azucarera GS 60X1<=60000
Restricción Bridas Corp 25X2<=25000
Restricción Agrícola Exim 20X3<=100000
Restricción Inversión total X1+X2+X3 >=100000
X1>=0 X2>=0 X3>=0
Nuestro modelo esta conformado por tres variables y cuatro restricciones.
Carga de matriz de datos en la planilla electrónica de datos
Solución final en la planilla
41
Solución matemática: FO=14500 X1=1000, X2=1000 Y X3=1500 , XS1=0,XS2=0 , XS3=0 Y XS3=3500
Solución del dual Y1=0,12;Y2=0,12; Y3=0,12 e Y4=0
Análisis de la situación de inversión:
Se obtiene una renta de 14500 um , con el siguiente porfolio de inversión :
1000 acciones de Azucarera GS , 1000 acciones de Bridas Corp y 1500 acciones de Agrícola Exim
En cuanto a las variables de holgura de las tres restricciones iniciales son nulas, ya que hemos hecho la máxima inversión
posible en cada tipo de acción.
Tenemos un sobrante de 3500 um en la inversión mayor posible del cliente que es imposible ubicar en esas tres opciones.(
Invertimos un total de 96500 um)
El análisis de sensibilidad de los coeficientes en cuanto a los rendimientos anuales como a las posibles inversiones
máximas de cada tipo varía lógicamente de cero a infinito ya que el modelo no las limita, la realidad del mercado que es
externa al modelo es la la que las determina.
Si tenemos los precios dual que nos indica en función de la cantidad invertida , nos conviene a futuro pugnar por conseguir
mas acciones de Agrícola Exim que tiene el máximo precio sombra
Si en el siguiente ciclo de inversión las acciones de Bridas Corp aumentan a 30 um y las de Agrícola Exim a 25 um ,
permanecieron la otra constante , para analizar la nueva situación hay que cambiar los coeficientes de las dos restricciones
.
Función Objetivo ( renta anual) :7X1+3X2+3X3 MAX
Restricción Azucarera GS 60X1<=60000
Restricción Bridas Corp 30X2<=25000
Restricción Agrícola Exim 25X3<=100000
Restricción Inversión total X1+X2+X3 >=100000
X1>=0 X2>=0 X3>=0
Nuestro modelo esta conformado por tres variables y cuatro restricciones.
Carga de matriz de datos en la planilla electrónica de datos
Siendo la nueva solución
42
Solución matemática: FO=13100 X1=1000, X2=833,33 Y X3=1200 , XS1=0,XS2=0 , XS3=0 Y XS3=3033.33 Solución del
dual Y1=0,12;Y2=0,10; Y3=0,12 e Y4=0
Análisis de la situación de inversión:
Se obtiene una renta de 13100 um , con el siguiente porfolio de inversión :
1000 acciones de Azucarera GS , 833 acciones de Bridas Corp y 1200 acciones de Agrícola Exim
En cuanto a las variables de holgura de las tres restricciones iniciales son nulas, ya que hemos hecho la máxima inversión
posible en cada tipo de acción.
Tenemos un sobrante de 3033,33 um en la inversión mayor posible del cliente que es imposible ubicar en esas tres
opciones.( Invertimos un total de 96500 um)
El análisis de sensibilidad de los coeficientes en cuanto a los rendimientos anuales como a las posibles inversiones
máximas de cada tipo varía lógicamente de cero a infinito ya que el modelo no las limita, la realidad del mercado que es
externa al modelo es la la que las determina.
Si tenemos los precios dual que nos indica en función de la cantidad invertida , nos conviene a futuro pugnar por conseguir
mas acciones de Agrícola Exim o Azucarera GS que tienen el máximo precio sombra
En el Haras San Jorge Sur se crían caballos de salto. Para obtener un mejor desempeño en el salto y aspecto del animal, el
veterinario recomienda que cada balde de 30 kilos de comida debe contener una mezcla de 4 productos que se compran en
bolsas de 30 kilogramos según estos componentes y precios :
Información sobre los contenidos de los productos por bolsas de 30 kilogramos
CONTENIDO Y PRECIO POR CADA 30 KG DE ALIMENTO
PRODUCTO
Alfalfa
Proteínas
Carbohidratos
PRECIO ($)
I
6
14
10
400
II
10
8
12
600
III
8
10
12
300
IV
10
16
4
200
Los requerimientos mínimos de cada alimentos según la dieta requerida por los especialistas es de alfalfa 6 kilos, proteínas
10 kilos y carbohidratos 4 kilos .Por experiencia se sabe que para una buena calidad de la mezcla final lo utilizado del
producto dos debe superar la cuarta parte de lo utilizado del resto de los productos.Se tiene un stock máximo de 15 bolsas
del producto dos y de 42 bolsas del producto cuatro, el resto no tiene restricciones de stock.
Se requiere elaborar un modelo de programación lineal que permita obtener la mezcla óptima.
Variables de decisión :X1 producto 1, X2 producto 2, X3 producto 3 y X4 producto 4
Función Objetivo: Costo = 400X1+600X2+300X3+200X4 MIN
Rest. Alfalfa: 6X1+10X2+8X3+X4>=6
Rest. Proteína 14X1+8X2+10X3+12X4>=10
Rest.Carbohidratos 10X1+12X2+12X3+17X4>=4
Rest. Mezcla sin desperdicios X1+X2+X3+X4=1
Rest. Calidad de la mezcla -X1+4X2-X3-X4>=0
Rest. 1 Stock max X2>=15
Rest.2 Stock max X4>=42
X1>=0 X3>=0
Matriz de datos:
43
Solución:
Solución matemática: Costo mínimo 120+137,14+68,57=325,71
X1=0; X2=0,20 ; X3=0,46 y X4=0,34
XS1=0,XS2=O,29, XS3=9,71,XS5=0 ,XS6=14,80 y XS4=41,66
Solución del dual :Y1=14,49;Y2=0 e Y3=0
Informe de gestión
Obtenemos el menor costo de 325,71 pesos para satisfacer los requerimientos si mezclamos un 20% del segundo
producto, con un 46% del tercero y 34% del cuarto.
Del alfalfa hemos logrado lo requerido, hemos superado en 0,29 el nivel proteico y tenemos un excedente de 9,71 de
carbohidratos. Contamos con un sobrante de 14 bolsas del producto 2 y 41 del producto 4.
Para mantener esta solución como óptima topológica:
Para ser utilizable el producto uno debería tener una reducción de costo de 128,57 pesos es decir el primer producto
debería tener un costo mínimo de 271,43 pesos para ser utilizado , desde ese valor hasta cualquier precio mayor no es
utilizado .El segundo producto puede ser utilizado hasta con un valor mínimo de 328,37 pesos ( cada vez en mayor
proporción) y si supera los 600 pesos deja de utilizarse , el producto tres tiene una holgura de precios entre 200 pesos y 480
pesos que es utilizable en distintas proporciones , el cuarto producto es utilizable desde un valor inferior de una unidad
superior a 0 ( -750 tiene sentido matemático pero no económico en precios) hasta un valor máximo de 300 pesos.
Para inversiones futuras por su precio sombra de 14,29 es importante invertir explorando la posibilidad de hacerlo con
productos que contengan mayor cantidad de alfalfa, ya que los otros requerimientos están demasiado cubiertos, su precio
sombra es de cero unidades.
Cuestionario:
¿Se pueden variar los requerimientos mínimos de Proteínas sin que varíe la solución óptima? ¿ cual es su límite ?
Como tenemos un excedente de 9,41 podemos anular ese excedente.
Se puede absorber un aumento de costo del producto tres en 250 pesos por la sin que se modifique la solución final ?
Si esta entre su rango de admisibilidad 200<250<400
S i hubiese una oferta de un distribuidor que reduce el costo del producto dos en 20% ¿ que se modificaría ?
Un 20% de 600 pesos nos determina un nuevo costo final de 480 pesos , lo que implica que está dentro de su rango de
utilización, el solución topológica es la misma, actualizándose los valores aritméticos.
Observemos la nueva solución en la planilla electrónica de cálculo :
44
Hemos obtenido una solución similar con una reducción de costo, el nuevo costo mínimo es 301,71 pesos
Parte dos
EJECICIOS SUGERIDOS
1.-En una empresa se aprueba la compra de un lote de portaembalajes para reemplazar los que han quedado
obsoletos, facultando al gerente de operaciones la toma de decisión sobre las características de la compra. El
gerente de operaciones debe determinar la conveniencia de comprar potaembalajes de 10 o 20 metros de
longitud. Para ello deberá tener en cuenta la siguiente información almacenada en los últimos ejercicios del
sector:

La operación con portaembalajes de 10 m. de longitud se factura a $110. y los de 20m. a
$160.-. Los costos promedio de operación ascienden a $80.
La dimensión de la playa de maniobras en la playa de cargas es de 2050m2. Ha quedado
demostrado por estudios de distribución que, en promedio, cada portaembalaje de 10 m
absorbe una superficie de 45 m2 y los otros de 40 m2. Esto tiene en cuenta los espacios
para maniobra y circulación.

Se dispone de 60 h. semanales para la carga de los portaembalajes. Un portaembalaje de
20 m consume 3 veces más tiempo que los otros .

El tiempo promedio de carga de los camiones es de 10h.. Se considera igual tiempo para
todo tipo de portaembalaje.

En la elaboración del presupuesto se incluyó un incremento de $3.000.- anuales para
mantenimiento de los portaembalajes a reponer. Dado que los portaembalajes de 20 m. de
longitud permiten la instalación de equipos de refrigeración para transporte de mercadería
perecedera, su costo de mantenimiento anual es de $300.-, tres veces superior a los de
10m.
Indicar las variables de decisión, escribir modelo matemático, indicar las variables de Holgura y escribir una
solución básica. Hacer un informe de la política de producción acorde a la solución obtenida .
Luego de haber resuelto el problema y no habiendo aún elevado el pedido de compra, el Gerente de
Operaciones recibe los siguientes informes, con lo cual se desea conocer si deberá modificar la decisión
adoptada:
2. Variaciones en los precios de mercado y en los costos de operación han determinado que los beneficios
resultantes para ambos portaembalajes asciendan a $40 para los de 10 m y ha 100 para los de 20m.3.Una reciente fluctuación en el mercado asiático podría ocasionar nuevas distorsiones en los beneficios de
operación reduciendo los beneficios a 20 unidades monetaria s para cada tipo
4.Recibe los objetivos para el presente año del plan de mejora continua de calidad en el cual se espera llegar
al final del período con un tiempo promedio de carga en las playas de maniobras y cargas debido a la
adquisición de grúas mecánicas a 8 horas por camión
Indicar las variables de decisión, escribir modelo matemático, indicar las variables de Holgura y escribir una
solución básica para cada nueva situación.
Hacer un informe de la política de producción acorde a la solución obtenida para cada una de las situaciones
planteadas. .
2.-En la elaboración de una mezcla para alimentos de mascotas se utilizan dos productos.
Cada bolsa del primer producto contiene 4 unidades calóricas , 2 unidades de carbohidratos y 5 unidades de
vitamina, siendo su costo de $50. Del segundo producto contiene 2 unidades calóricas , 4 unidades de
45
carbohidratos y 1 unidades de vitamina, siendo su costo de $55. La determinación de los nutricionistas es
que el alimento debe contener por lo menos 82 unidades calóricas,122 unidades de carbohidratos y 50
unidades de vitamina. Se desea saber el nivel óptimo de producción, el costo mínimo y el estado de los
requerimientos en dicho nivel..
Del segundo producto se dispone un stock de 50 bolsas. Para una buena calidad de la mezcla final lo
utilizado del segundo producto debe superar el doble de lo utilizado del primer producto. Si hubiese
remanentes de productos pueden volver a utilizarse para la próxima producción. 2a.-Escribir modelo
matemático,2.b.- Resolverlo, 2c.-Escribir solución óptima de la gestión de política de costos
3.- Una bolsa de 20 kilos de alimento para un criadero de perros debe tener cuando menos las siguientes
requerimientos mínimos de proteínas , carbohidratos y grasas:3 ,5 y 4 UDM respectivamente .utilizando 4
tipos de alimentos que se compran en bolsas de 20 kilos , cuyas especificaciones y requerimientos mínimos
quedan determinados por:
Alimento
Proteínas
Carbohidratos
Grasas
Precio por
UDM
UDM
UDM
Bolsa de 20 K
Kanino
3
7
5
40
Royal
5
4
6
60
Premiun
2
2
6
30
Dog
3
8
2
20
En la composición de la mezcla final como máximo puede haber la cuarta parte del producto más económico,
se requiere un plan para obtener la mezcla mas económica.

Formule el modelo matemático, el modelo cual, identifique las variables de decisión y de holgura

Escribir la solución final detallando el valor de cada variable y los precios sombras

Efectuar un análisis de la solución final , sin omitir ninguna variable

El producto dos ha modificado su composición en 3 , 3 , 5 reduciendo su precio en un 40% ¿ esto
produce cambios en la solución óptima ?

Se logra una oferta de un distribuidor que reduce el costo del producto dos en 12% ¿ que resultados
se generarían de aceptarla?

¿ Como pueden variar los requerimientos mínimos de Proteínas sin que varíe la solución óptima?
¿ Se puede abonar mas de 20 pesos por la bolsa el producto Dog sin que se modifique la solución final ?
Justifique su solución
4. Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La
administración ha decidido la idea de definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y los
problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno.
El hospital ha realizado un análisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis períodos del día.
Las características de cada período son las siguientes:
Número
HORA DEL DIA
Mínimo
Período
Enfermeras
2 AM - 6 AM
1
25
6 AM - 10 AM
2
60
10 AM - 2 PM
3
50
2 PM - 6 PM
4
35
6 PM - 10 PM
5
55
10 PM - 2 AM
6
40
Las enfermeras que empiezan a trabajar en los períodos 2, 3 y 4 ganan $40 al día, y aquellas
que comienzan en los períodos 1, 5 y 6 ganan 50 al día. ¿Cuántas enfermeras deben empezar a trabajar en
cada turno para minimizar los costos por salarios?
Modelo:
En este caso podemos identificar como variable de decisión el número de enfermeras Ni que comienza a
trabajar en el turno "i" (i = 1 : : : 6). De esta forma, la función objetivo queda:
Z= 50N1 + 40N2 + 40N3 + 40N4 + 50N5 + 50N6
Evidentemente, la función anterior debe ser minimizada. Para construir las restricciones es conveniente
recurrir a una representación gráfica de los turnos:
46
De la gráfica anterior se observa que en cada turno trabajan las enfermeras que comenzaron en dicho turno,
pero también las que empezaron en el turno anterior. Por lo tanto, las restricciones de personal mínimo por
turno quedan:
N1 + N2 >= 60
N2 + N3 >= 50
N3 + N4 >= 35
N4 + N5 >= 55
N5 + N6 >= 40
N6 + N1 >= 25
Finalmente, el modelo se completa con las restricciones de signo: Ni >0
i
Desarrollar cual es el nivel óptimo de personal por turno , para determinar el costo laboral mínimo y el estado
de los requerimientos en el mínimo . Utilizando una planilla electrónica de cálculo .
5.- El vasco produce cuatro tipos de hormas de quesos: Pategras : cuyo beneficio es 40 pesos y el Port
Salud de beneficio 35 pesos, Regianito de un beneficio de 50 pesos y Sardo de un beneficio de 55 pesos .
Empleando proyecciones económicas correspondiente a la próxima semana ,la gerencia de ventas considera
que será posible vender toda la producción. Se debe recomendar una meta de producción buscando obtener
el mejor beneficio . En la producción intervienen cuatro procesos : el de pasteurizado, materia prima,
homogeneizado y decantación y espera , con una disponibilidad de horas semanales de 80600 ,20000, 65000
y 76000horas respectivamente , la fabricación de los Pategras requiere 40 horas de pasteurizado,20 de
materia prima , 32 de homogeneizado y 20 horas de decantación y espera ; los Port Salud requieren 60 de
pasteurizado, 10 de materia prima y 40 de homogeneizado y 10 horas de decantación y espera , el Regianito
requiere 50 de pasteurizado, 12 de materia prima , 42 de homogeneizado y 50 horas de decantación y
espera , el Sardo 50 de pasteurizado, 14 de materia prima , 40 de homogeneizado y 60 horas de decantación
y espera
Para el control bromatológico de lo productos terminados se estima que como mínimo se deben utilizar 72000
horas , los quesos Pategras requieren como mínimo 20 hs , los Port Salud 10 hs., los Regianito y Sardo 25
horas. Siempre por cada horma. Como el fin de mantenerse en el mercado frente a sus competidoras el
directorio ha decidido como política operativa que deberá construirse cuando menos un Port Salud cada
cuatro quesos producidos. Uno de los principales distribuidores ha ordenado para la semana al menos 3
unidades del Pategras.
1. Indicar y caracterizar: las variables de decisión y las restricciones , escribir modelo matemático,
indicar las variables de holgura y escribir el modelo dual
2. Hacer un informe de la política de producción acorde a la solución obtenida, donde utilice todas las
variables y el análisis de sensibilidad de coeficientes del funcional y de los recursos .
3. Cual es el intervalo de optimalidad del precio de cada tipo de queso
6.- Anco fabrica tres productos envasados derivados del zapallo, La demanda diaria mínima del producto dos
es de 70 unidades, la demanda máxima del producto tres es de 240 unidades .Las utilidades marginales de
cada producto son: 3, 2 y 5 unidades monetarias respectivamente .La dirección de Anco analiza posibilidades
para mejorar su situación financiera, en el proceso de elaboración se utilizan zapallos, azúcar y agua potable
procesados en dos líneas de producción de acuerdo a:
Analizar y efectuar un análisis si son factibles las siguientes propuestas:

La utilidad de p3 puede aumentarse un 25%, sin que se produzcan problemas en la producción
óptima de todos los productos.

Según el gerente de ventas el aumento del 25% de la utilidad de p3 se logrará aumentando su precio
y hará descender la demanda máxima de este producto a 230 unidades .El gerente de producción
47
informa si ese el nuevo techo del producto no se modificará la manera de generar la producción
óptima.

El zapallo es el insumo de producción más crítico para limitar la producción actual, se puede
asegurar unidades adicionales con un segundo proveedor a un costo mayor de 2 unidades
monetarias por kilo, del que actualmente se abona.

Es posible aumentar las capacidades de las líneas de producción en 40 minutos diarios a un costo
adicional de 35 unidades monetarias diarias.

Un distribuidor pide para la próxima semana una entrega diaria del producto uno de 50 unidades.

Un distribuidor pide que se aumente la entrega diaria del producto dos a 100 unidades.

El jefe de operaciones ha inventado un recurso que posibilita reducir el tiempo de procesamiento de
p1 de 3 minutos a 2 minutos por unidad en la línea dos con costo adicional de 4 unidades monetarias
diarias.
7.-Se desea mezclar mineral de hierro de cuatro minas distintas para fabricar rodamientos destinados a un
nuevo producto: un tractor tipo oruga de tamaño mediano, el E-6, diseñado especialmente para competir en el
mercado europeo. Por medio de análisis se ha demostrado que para producir una mezcla dotada de las
cualidades de tracción adecuadas, deben cumplirse requerimientos mínimos en relación con tres elementos
básicos que, para simplificar, señalaremos como A, B, C.
En términos específicos, cada tonelada de mineral deberá contener cuando menos 5 libras del
elemento básico A, 100 libras del elemento básico B y 30 libras del elemento básico C:
Requerimientos de elementos básicos
Requerimiento Mínimo por Tonelada de Mezcla
(libras de cada elemento)
5
100
30
una de las cuatro minas posee los tres elementos básicos, pero en cantidades
Elemento Básico
A
B
C
El mineral extraído de cada
distintas:
Composiciones obtenidas de cada Mina
MINA
(Libras por tonelada de cada elemento)
ELEMENTO
1
2
3
4
BÁSICO
A
10
3
8
2
B
90
150
75
175
C
45
25
20
37
En virtud que el mineral de cada mina tiene un costo diferente, las distintas mezclas factibles también tendrán
costos diferentes:
Costo del Mineral de cada Mina
Mina
Costo en dólares por tonelada de Mineral
1
800
2
400
3
600
4
500
El objetivo de la Administración es hallar una mezcla factible de costo mínimo.
a.-Escribir variables de decisión, modelo matemático, modelo simples, dual ,b.- Resolverlo, c.-Escribir
solución óptima de la gestión de costos de .extracción, señalar el estado de los requerimientos en la solución
óptima. y d Hacer un informe de la política de costos acorde a la solución obtenida y los posibles escenarios
.
8.-Para producir una medicina compleja, un laboratorio farmacéutico debe mezclar 4 tipos de drogas básicas
de acuerdo a exigencias rigurosas para alcanzar al menos las siguientes requerimientos mínimos de :
Methotrexato 6 Ht , Ciclosporina 4 Ht, Azathioprina 8 Ht y Ciclofosfamida 10 Ht,cada unidad de las drogas
básicas utilizar contienen las siguientes características en Ht h:
Tipo de droga requerida Bas A Bas B Bas C Bas D
Methotrexato
4
5
3
3
Ciclosporina
6
5
5
3
Azathioprina
8
2
5
4
Ciclofosfamida
4
8
4
3
Precios
300
280
360
340
48
Debido a la tolerancias diarias de los pacientes en tratamiento el 40 por ciento de la mezcla total debe ser de
la droga Básica D , pudiendo las otras combinarse de cualquier manera .El stock máximo diario de la Droga B
es de dos unidades y el de la Droga A es de una unidad, no teniendo restricciones de stock diario el resto.
1. Codificar el enunciado para utilizar las condiciones del método simplex, escribiendo el dual del
problema y señalando la categorización de variables.
2. Cual es la solución obtenida , detallando el valor de todas las variables
3. Hacer un informe de la política de MEZCLA acorde a la solución obtenida, donde utilice todas las
variables y el análisis de sensibilidad de coeficientes del funcional y de los recursos .
4. Cual es el intervalo de optimalidad de los costes de las drogas básicas
5. Se ha logrado luego de una profunda discusión con un proveedor reducir el costo de la droga A en 5
% por ciento¿ Es conveniente comprarla al nuevo precio ?
6. ¿ Puede disminuirse aún mas el costo respectando los requerimientos mínimos? , fundamente su
afirmación o negación.
7. Un importador ofrece una sustituta de la droga básica C a un precio de 300¿ es beneficio comprarla
a ese precio ? ¿ que ocurre con la solución nueva óptima ?
8. Cual requerimiento es el único que sería posible modificar mejorando el costo mínimo sin modificar
la solución óptima topológica obtenida.¿ como se reformula el modelo ? ¿ cuál es la solución óptima
para ese caso?
9. El responsable de suministro de drogas ha efectuado una investigación donde sería posible
modificar la tolerancia diaria de tal manera que sólo sería necesaria para la tolerancia diaria mínima
establecida que de la droga D sea del 20 % en la mezcla total ? ¿ como se reformula el modelo ? ¿
cuál es la solución óptima para ese caso?
10. Utilizando TORA como es mas conveniente codificar el stock máximo Y/O mínimo
9.-Aberturas Croco fabrica cinco modelos de portones de madera A1: cuyo beneficio es 3000 : el A2 de
beneficio 3200 pesos, el A3 de beneficio 2900 pesos, A4 cuyo beneficio es 35000 y por ultimo el A5 de un
beneficio 3250 pesos . Empleando proyecciones económicas correspondiente al próximo mes ,la gerencia de
ventas considera que el próximo mes será posible vender todas los portones que la compañía sea capaz de
producir .Se debe recomendar una meta de producción para el período mencionado buscando obtener la
mejor utilidad y respetando la capacidad instalada de la planta, los compromisos mensuales de distribución y
las restricciones financieras. En la producción intervienen tres sectores: el de maquinado, ensamblado y
ajuste final, con una disponibilidad de horas de trabajo mensuales de 410 ,500 y 550 horas respectivamente ,
la fabricación de las A1requiere 12 horas de maquinado,11 de ensamblado y 14 de ajuste final A2 insume
12 de maquinado, 21 de ensamblado y 17de ajuste final , mientras que la A3 requiere 10 horas de
maquinado 8 de ensamblado y 9 de Ajuste final , el modelo A4 insume 11 horas de maquinado ,20 de
ensamblado y 20 de ajuste final y el A5 11,12,12 de cada proceso Para el control de calidad de lo
productos terminados se estima que como mínimo se deben utilizar 400 horas para el control de calidad .
Estas se llevan a cabo por personal especializado y son independientes de las actividades de los otros
sectores, las portones A1 requieren como mínimo 12 hs , los A2 11 hs , los A3 9 hs y, los A4 25 hs y los
A5 12 por unidad terminada. Como el fin de mantenerse en el mercado frente a sus competidoras el directorio
ha decidido como política operativa que deberá construirse cuando menos la cuarta parte de la producción
total mensual sea del portón tipo A2 . Uno de los principales distribuidores ha ordenado para el mes al
menos 20 unidades pudiendo ser cualquier combinación de las cuatro y al menos hay que tener uno de cada
tipo en el mes para su exposición .
4. Indicar y caracterizar: las variables de decisión y las restricciones , escribir modelo matemático,
indicar las variables de holgura y escribir el modelo dual
5. Hacer un informe de la política de producción acorde a la solución obtenida, donde utilice todas las
variables y el análisis de sensibilidad de coeficientes del funcional y de los recursos .
6. Cual es el intervalo de optimalidad del precio de todos los portones
7. Se ha logrado luego de una profunda discusión con el gremio reducir las horas de planta, pagándolas
en un 40% por ciento las no necesarias ¿ cual es el ahorro logrado?
8. ¿ Como puede mejorarse la utilidad respectando la capacidad instalada disponible ? ¿ Cual sería la
producción óptima en ese caso ? ¿ que variables permiten reducir costos ? ¿ Explique por que ?
9. Un importador ofrece un sustituto del A5 que a un beneficio de 2890 ¿ es posible no sustituir la
fabricación por la importación sin modificar el plan óptimo de producción ?
10. Si por un acuerdo con distribuidores de los productos se efectúa un convenio de venta de 8 portones
A1 y A2 en cualquier combinación de ellas ¿ como se reformula el modelo ? ¿ cuál es la solución
óptima para ese caso?
11. El jefe de operaciones de planta ha logrado reducir a 10, 18 y 15 las horas de maquinado,
ensamblado y ajuste final del A3 ¿ Es conveniente fabricar en ese caso mas que 8 unidades ?
12. Utilizando TORA como es mas conveniente codificar las demandas máximas y mínimas
13. Que recurso es mas conveniente mejorar en inmersiones futuras para mejorar la utilidad.
49
10.- El personal de seguridad ingresan cada 4 horas y trabajan en 6 turnos al día para minimizar las
distracciones y los problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno que pueden perjudicar el
colado de la fundición. La gerencia de personal ha realizado un análisis del trabajo requerido durante cada
uno de los seis períodos del día. Las características de cada período son las siguientes:
HORA DEL DIA
Período
Personal Min
2 AM - 6 AM
1
6
6 AM - 10 AM
2
8
10 AM - 2 PM
3
14
2 PM - 6 PM
4
10
6 PM - 10 PM
5
11
10 PM - 2 AM
6
9
Los salarios del personal son de 120 pesos los de los turnos 1 y 6; 110 pesos el turno 5 y el resto 100 pesos.
Los operarios del turno 3 no deben superar las 5 personas. Optimice los costos salariales.
1. Cual es la solución obtenida señalando todas las variables incluyendo los precios sombras
2. Hacer un informe de la política de contratación de personal acorde a la solución obtenida donde
utilice todas las variables y el análisis de sensibilidad de coeficientes del funcional y de los recursos .
3. ¿Cual es el intervalo de de variación salarial de los operarios de cada turno que no afecta a la
solución óptima?
4. Como se podría reducirse el costo sin modificar los salarios de los turnos. .
5. Utilizando TORA como es mas conveniente codificar la condición turno 5 no deben superar los 5
personas ¿ como calcularía si esa condición se suprime ?
6. En una negociación paritaria cual es el nivel máximo permisible de salarios en cada turno para
mantener la política de contrataciones al mejor costo mínimo posible.
7. Si nos ofrecen terciarizar el turno 6 cual es el personal mínimo que contrataríamos y a que costo
salarial mínimo respectando la solución obtenida..
8. Que salarios afectan mas a los costos y cuales son los turnos más factibles y sensibles para
producir alguna rebaja en función de mejorar a futuro el costo.
9. Afectaría a la solución óptima obtenida la exigencia que en el turno tres no haya mas de 3 operarios
¿Por qué?
10. Suministrarle a al gerencia un abanico de soluciones óptimas factibles de igual costo óptimo
11.-Para producir la dieta para un criadero de ñandúes enanos , en un criadero se deben mezclar 4 tipos de
alimentos balanceados de acuerdo a exigencias rigurosas para alcanzar al menos las siguientes
requerimientos mínimos de : Megalina 8 ut , Calcio 6 ut, Azúcares 16 ut y Grasas 20 ut,cada unidad de las
balanceados básicas utilizar contienen las siguientes características en ut h:
Tipo de balanceado requerida Bal A Bal B Bal C Bal D
Megalina
4
5
3
3
Calcio
6
5
5
3
Azúcares
8
2
5
4
Grasas
4
8
4
3
Precios
310
285
370
350
Debido a la tolerancias diarias de los pacientes en tratamiento el 40 por ciento de la mezcla total debe ser de
la balanceado D , pudiendo las otras combinarse de cualquier manera .El stock máximo diario de la
Balanceado B es de dos unidades y el de la Balanceado A es de una unidad, no teniendo restricciones de
stock diario el resto.
1. Codificar el enunciado para utilizar las condiciones del método simplex, escribiendo el dual del
problema y señalando la categorización de variables.
2. Cual es la solución obtenida , detallando el valor de todas las variables
3. Hacer un informe de la política de MEZCLA acorde a la solución obtenida, donde utilice todas las
variables y el análisis de sensibilidad de coeficientes del funcional y de los recursos .
4. Cual es el intervalo de optimalidad de los costes de las balanceados básicas
5. Se ha logrado luego de una profunda discusión con un proveedor reducir el costo de la balanceado
A en 10 % por ciento¿ Es conveniente comprarla al nuevo precio ?
6. ¿ Puede disminuirse aún mas el costo respectando los requerimientos mínimos? , fundamente su
afirmación o negación.
7. Un importador ofrece una sustituta de la Balanceado D a un precio de 210¿ es beneficio comprarla a
ese precio ? ¿ que ocurre con la solución nueva óptima ? ¿Alguna contrapropuesta a la oferta?
50
8.
Cual requerimiento es el único que sería posible modificar mejorando el costo mínimo sin modificar
la solución óptima topológica obtenida.¿ como se reformula el modelo ? ¿ cuál es la solución óptima
para ese caso?
9. El responsable de suministro de balanceados ha efectuado una investigación donde sería posible
modificar la tolerancia diaria de tal manera que sólo sería necesaria para la tolerancia diaria mínima
establecida que de la balanceado D sea del 25 % en la mezcla total ? ¿ como se reformula el modelo
? ¿ cuál es la solución óptima para ese caso?
10. Utilizando TORA como es mas conveniente codificar el stock máximo Y/O mínimo
12.- Pampa Global Inc ha extendido su línea de producción a cuatro maquinarias cosechadoras: la PAMPA
EX 90: cuyo precio de venta en dólares : 110,000 + IVA (10.5%) Características: Ancho de labor: 19 pie
metros , motor Deutz 160hp, con 19 pies de corte, triturador, flexi trigo-y soja, con Vigía y aire acondicionado,
excelente mantenimiento. Y su modelo preferencial PAMPA EX 90 Preferencial con un motor Deutz 180hp,
con 25 pies de corte, triturador, flexi trigo-cebada y soja, con Vigía y aire acondicionado130,000 + IVA (10.5%)
y la cosechadora FX100 100,000 + IVA (10.5%) Características: Ancho de labor: 19 pie metros cosechadora
PAMPA FX, motor Deutz 140hp, con 19 pies de corte, triturador, flexi trigo-y soja, con Vigía., excelente
mantenimiento y bajo consumo de combustible. Y la super economax PAMPA Ecomax Ancho de labor: 17
pie metros cosechadora PAMPA FX, motor Deutz 140hp, con 19 pies de corte, triturador, flexi trigo-y soja
cuyo precio es 95,000 + IVA (10.5%)
Son armadas en la planta de la empresa en la localidad de Salto en la provincia de Buenos Aires, con
elementos adquiridos en nuestro país y de otros países del MERCOSUR. Empleando proyecciones
económicas correspondiente al próximo mes ,el gerente de ventas de PAMPA GLOBAL considera que el
próximo mes será posible vender todas las cosechadoras que la compañía sea capaz de producir .Se debe
recomendar una meta de producción para el período mencionado buscando obtener la mejor utilidad y
respetando la capacidad instalada de la planta y sus restricciones financieras.
Indicar las variables de decisión, escribir modelo matemático, indicar las variables de Holgura y escribir una
solución básica. Hacer un informe d ela polítca de producción acorde a la solución obtenida .
Luego de un minucioso análisis de costos de producción totales unitarios de cada cosechadora son Ex 90 de
105000 Ex 90 Preferencial 126000 dólares y la Fx 100 95800 y la Economax 89000 todos en dólares .En la
producción intervienen tres sectores: el de maquinado, ensamble y pintura, con una disponibilidad de horas de
trabajo mensuales de 290,300 y 500 horas respectivamente , la fabricación de las EX requiere 12 horas de
maquinado,20 de ensamblado y 16 de Pintado , la preferencial insume 18 horas mas maquinado, una de
ensamblado y dos de pintado , mientras que la Fx requiere 10 horas de maquinado 10 de ensamblado y
20 de Pintado , el modelo Ecomax insume 10 horas de maquinado ,9 de ensamble y 10 de pintado .Para
mantener la calidad de lo productos terminados en un equilibrio presupuestario respecto a los costos de
personal y mantenimiento y de acuerdo a las horas extras acordadas con el personal , las horas totales de
trabajo en la prueba final de productos terminados en el mes deben ser superiores a las 120 horas . Estas se
llevan a cabo por personal especializado en un campo anexo a la planta de producción y son independientes
de las actividades de los otros sectores, las cosechadoras Ex requieren 10, la referencial 25 , las Fx 8 horas y
la Ecomax 6 horas por unidad terminada. Como el fin de mantenerse en el mercado frente a sus
competidoras el directorio ha decidido como política operativa que deberá construirse cuando menos una
Preferencial por cada tres de los otros productos que sean fabricadas.Uno de los principales distribuidores
ha ordenado para el mes al menos ocho unidades pudiendo ser cualquier combinación de ambas.

Indicar las variables de decisión, escribir modelo matemático, indicar las variables de Holgura y hallar
la solución óptima que garantice la máxima utilidad .

Hacer un informe de la política de producción acorde a la solución obtenida .

Cual es el intervalo de optimalidad del precio de la Preferencial y la de la Economax

Se ha logrado luego de una profunda discusión con el gremio reducir las horas de planta en 610
horas , pagándolas en un 50% por ciento las no necesarias ¿ cual es el ahorro logrado?

¿ Como puede utilizarse toda la capacidad disponible ? ¿ Cual sería la producción óptima en ese
caso ?

Un importador ofrece una sustituta de la Fx 1000 a un precio de 102,500 + IVA (10.5%), ¿ es posible
competir con él?

Que hubiera que modificar para logra producir por lo menos una cada tipo.
51

Si por un acuerdo con distribuidores de los productos se efectúa un convenio de venta de 6
maquinarias Ex90 y Fx 100 en cualquier combinación de ellas ¿ como se reformula el modelo ? ¿
cuál es la solución óptima para ese caso?

El jefe de operaciones de planta ha logrado reducir a 10, 12 y 15 las horas de maquinado,
ensamble y pintura de la Ex 90 ¿ es suficiente para que se produzca?
13.- Willie Hanes es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar la cartera de
acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar
para él una cartera de 200.000 dólares .A ese cliente le encantaría a una mezcla de tres tipos de acciones
únicamente ,como podemos apreciar en la siguiente :
Acciones
Precio por acción
Rendimiento anual
Inversión Máxima
esti. por acción
Posible
Azucarera GS
60
7
100000
Bridas Corp.
25
3
80000
Agrícola Exim
20
3
40000
Formular un modelo que pueda resolver el tipo de inversión a realizar e informar sobre el escenario de todas
las variables.
14.-Una compañía de inversiones tiene actualmente 10000000 de dólares disponibles ,sus cuatro
posibilidades de inversión se presentan en la siguiente tabla:
Posibilidad de
Retribución
Inversión Máxima
inversión
esperada %
Posible
Bonos de la
8
5000000
tesorería
Acciones
6
7000000
ordinarias .
Mesas de dinero
12
2000000
Títulos públicos
9
4000000
Formular un modelo que pueda determinar la mejor inversión ,el tipo de inversión a realizar e informar sobre el
escenario de todas las variables
15.-Acopios El Chucaro , el presidente en una reunión mensual junto al gerente de ventas y el de compras
deben decidir la política mensual de la empresa. Se tienen órdenes de compras para puerto Rosario de 120 140 tn y Buenos Aires 90-120 tn de acuerdo a las siguientes características:
Tolerancias máximas para cada grado
puerto
Peso Hectolítrico
Mínimo Kg./hl.
Granos
Dañados
%
Granos
Quebrados
% (1)
Materias
Extrañas
%
RO
75-70
3,00
2,00
1,50
BA
72-70
5,00
5,00
2,20
GRANOS
PICADOS
%
3,0
3,5
HUMEDAD
%
15.5
16
El gerente de compras ha hecho un minucioso inventario de las cantidades recibidas y las características de
las existencias en los silos de la planta en tres tipos de cantidades:
M1 hasta 60 tn, M2 hasta 80 tn y M3 hasta 50 tn,
Tolerancias máximas para cada grado
Costo
Peso Hectolítrico
Mínimo Kg./hl.
Granos
Dañados
%
Granos
Quebrados
% (1)
Materias
Extrañas
%
GRANOS
PICADOS
%
HUMEDA
D
%
135
75
3,00
2,00
1,00
3,00
15
132
72
5,00
3,00
1,50
3,00
15,5
121
70
5,00
5,00
2,20
3,5
16
También pueden adquirirse a El Yacaré granos adicionales a un precio a convenir en un rango de 132,5 a
135 dólares la tn .con las características del grano M2 hasta 100 tn.
Es política de la empresa invariable cobrar un cargo adicional del 15% sobre el costo del grano suministrado
a sus clientes para los dos primeros tipos de Maíz y del 18% para el tercero. Se debe informar a los
despachantes de Puerto Rosario y Buenos Aires la cantidad de granos y tipos que recibirán y sus precios. El
52
costo del flete puesto en puerto por tn es de 0.01% para Rosario y de 0.02% para Buenos Aires a cargo de El
Chucaro ( a descontar de su cargo adicional).
El Chucaro mezcla los granos para atender la demanda con el objetivo de vender todas sus existencias
maximizando el ingreso manteniendo los precios de venta a sus clientes lo suficientemente bajos para hacer
buenos negocios a futuro.
1. Desarrollar un modelo para ayudar a la toma de decisiones en El Chucaro
2. Señale las variables de decisión
3. Señale la función objetivo
4. Señale las restricciones
5. Indique el modelo matemático con las variables de holgura, especificándolas conceptualmente .
6. Señale el modelo Dual y la conceptualización del mismo y su solución.
7. Describa la solución final
8. Describa el análisis de sensibilidad de los coeficientes del funcional
9. Describa el análisis de sensibilidad de los coeficientes de los recursos .
10. Efectue un informe para entregarlo a cada uno de los clientes con cantidad de Maíz, tipo y precio a
entregar.
11. Formule detalladamente su informe al presidente de El Chucaro , según su análisis de acuerdo a la
solución . Formule recomendaciones que mejoren el ingreso o las ganancias.
12. Formule otra solución óptima a la detallada.
13. Cual es el límite de precio Max a negociar con el Yacaré , contemplando por separado suministros a
cada puerto.
14. Cual es el límite de las cantidades según los precios a negociar con el Yacaré , contemplando por
separado suministros a cada puerto.
15. Sería conveniente no utilizar todas nuestras existencias y comprar mas al Yacaré para mejorar
nuestras ganancias ¿ sería factible ? ¿ que modificaciones le haría al modelo para ese fin?
16. ¿ Que tipo de maíz a futuro nos convenie acopiar ? ¿ por que ?
17. ¿ Cuanto rinde cada tn de maiz tipo 2 acopiado?
18. ¿ A que puerto conviene mas suministrarle maíz? ¿puede decidirse tb de que tipo ?
19. Si cree conveniente conjeturar nuevas alternativas en búsqueda de nuevas situaciones mas
ventajosas para El Chucaro , formule distintos modelos con el conjunto de datos y conceptualice sus
variables. de acuerdo a si se debe comprar producto a El Yacaré, las cantidades a suministrar a
cada puerto y las existencias en el silo de tipos d e Maíz y su contribución marginal unitaria por tn.
20. Si el Yacaré incrementase sus precios en un 10% y redujera su oferta a solo 50 tn ¿ modifica la
solución óptima? ¿ como ? ¿ Por qué?
BIBLIOGRAFÍA
Hamdy A.Taha Investigación de Operaciones ( Editorial Pearson )
Eppen,Gould,Schmidt,Moore,Weaherford Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa ( Editorial Pearson
)
Dresdner-Evelson-Dresdner-Dreyfus Técnicas Cuantitativas.(Ediciorial Universo)
Sylvester-Donato Problemas Desarrollados de Investigación Operativa
.(Univ.Nac.del Sur, Bahía Blanca)
Ackoff-Sasieni Fundamentos de Investigación de Operaciones. (Ed. Limusa, México )
PROGRAMACIÓN LINEAL - PROBLEMA DEL
TRANSPORTE
¿Qué significa problema de transporte? . Supongamos que un fabricante tiene tres plantas que
producen el mismo producto. Estas plantas a su vez mandan el producto a cuatro depósitos. Cada
planta puede mandar productos a todos los depósitos, pero el costo de transporte varía con las
diferentes combinaciones. El problema es determinar la cantidad que cada planta debe mandar a
cada depósito con el fin de minimizar el costo total de transporte.
53
La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o
estructura
“de-hacia”: de un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario, del presente hacia el
futuro, de aquí hacia allá, una relación de uno a otro . Al enfrentar este tipo de problemas, la
intuición dice que debe haber una manera de obtener una solución. Se conocen las fuentes y los
destinos, las capacidades y demandas y los costos de cada trayectoria. Debe haber una combinación
óptima que minimice el costo (o maximice la ganancia). La dificultad está en el gran número de
combinaciones posibles , debido a eso el problema del transporte recurre a buscar soluciones con la
computara y software especializado..
El responsable de gestión del trasporte debe determinar una política óptima : cómo
hacer llegar los productos de sus diversos depósitos, plantas de producción o bodegas
a sus consumidores o clientes, con el objeto de satisfacer la demanda o pedidos a un
costo mínimo de transporte o de envío.
El modelo de transporte debe determinar un plan de transporte o envío de una mercancía de
varias fuentes a varios destinos, es decir, cantidad de unidades de productos que se enviará
de cada fuente a cada destino tal que se minimice el costo de transporte total.
Datos:
1.
Nivel de oferta en cada fuente y cantidad de demanda en cada destino.
2.
El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino.
Planteamiento del Modelo de Transporte:
Oi = Cantidad de la oferta (recursos) en la fuente (origen) i;
Dj = Cantidad de la demanda (necesidad) en el destino j;
Cij = Costo de transporte unitario (o de distribución) entre la fuente i y el destino j;
Xij = Cantidad transportada o enviada de la fuente i al destino j.
i = 1,2,...,m
j = 1,2,...,n
El Modelo General de Programación lineal que representa el modelo de transporte es el
siguiente:
Minimizar
0
sujeto a:
0i = 1,2,...,m La suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su
oferta.
0j = 1,2,...,n La suma de los envíos a un destino debe satisfacer su demanda.
Xij 0; para todas la i y j
En este modelo general implica que la oferta total debe ser cuando menos igual a la
demanda total.
Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulación resultante recibe el
nombre de Modelo de Transporte Balanceado. Este difiere del modelo general sólo en el
hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir.
54
0i = 1,2,...,m
0j = 1,2,...,n
En la realidad se puede encontrar que la oferta no sea igual a la demanda, sin embargo, un
modelo de transporte siempre puede balancearse.
Propiedades de los Problemas de Transporte:
1.
Soluciones Enteras.
Para los problemas de transporte en donde las ofertas Oi y las demandas Dj tienen
un valor entero, todas las variables básicas Xij (asignaciones), en toda solución básica
inicial factible (incluyendo la óptima), tienen también valores enteros.
2.
Soluciones Factibles.
Una condición necesaria y suficiente para que un problema de transporte tenga
soluciones factibles es que: Los recursos totales disponibles (ofertas) deben ser iguales a las
exigencias totales (demanda), lo que exige entonces que el problema debe estar balanceado.
Si no se cumple, entonces significa que Oi ó Dj están indicando que hay un requerimiento
que no es exacto; por esta razón se debe introducir en el modelo un origen o destino
"imaginario" o "ficticio".
Interpretación de las fuentes y destinos ficticios:
i.
La cantidad de unidades enviadas a un destino desde una fuente ficticia,
representará la cantidad faltante en ese destino.
ii.
La cantidad de unidades enviadas a un destino ficticio desde una fuente,
representará una cantidad excedente en esa fuente.
El costo de transporte unitario asociado es cero (0), puesto que en el caso i. no se están
enviando las unidades ya que no existen; en el caso ii. las unidades permanecen en la fuente
ya que el destino es ficticio.
Puede formularse un problema de transporte como un problema de programación lineal y aplicarse
el método simplex. Si se hiciera, se encontraría que los problemas de transporte tienen
características matemáticas únicas. Para visualizar esto, considérese el siguiente ejemplo:
Harina de Soja embolsada es uno de los productos más importantes de la compañía P & T. Los
Harina de Soja se preparan en tres Embolsados (cercanas a Salto , Prov. de Bs As; a Rufino, Sta. Fe
y a Río IV, Córdoba ) y después se mandan por camión a cuatro depósitos de distribución (en
Rosario,Sta. Fe;Bahía Blanca , pcia de Bs As;Santa Rosa , La Pampa y Villa Mercedes ,San Luis ).
Puesto que los costos de embarque constituyen un gasto importante, la gerencia ha iniciado un
estudio para reducirlos lo más posible que se pueda. Se ha hecho una estimación de la producción
de cada Embolsado para la próxima temporada y se ha asignado a cada Depósito una cierta cantidad
de la producción total de Harina de Soja. En la siguiente tabla se proporciona esta información (en
unidades de carga de camión), junto con el costo de transporte por camión cargado para cada
combinación de embolsado-depósito. Como se ve hay un total de 300 cargas de camión que se
deben transportar. El problema es determinar el plan de asignación de estos embarques a las
distintas combinaciones de embolsado-depósito que minimice el costo total de transporte.
55
Costo de embarque ($) por carga
1
464
352
995
80
1
Embolsado 2
3
Asignación
Depósito
2
3
513 654
416 690
682 388
65
70
4
867
791
685
85
Producción
75
125
100
Este, de hecho, es un problema de programación lineal del tipo de los problemas de
transporte. Para formularlo, sea Z el costo total de transporte y sea xij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4) el
número de cargas de camión que se mandan de la Embolsado i al Depósito j. Entonces el objetivo
es seleccionar los valores de estas 12 variables de decisión (las xij) para:
Minimizar Z= 464x11 + 513x12 + 654x13 + 867x14 + 352x21 + 416x22 + 690x23 + 791x24
995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34
sujeta a las restricciones:
x11 + x12 + x13 + x14
x21 + x22 + x23 + x24
x11
+ x21
x12
+ x22
x13
+ x23
x14
+ x24
x31 + x32 + x33 + x34
+ x31
+ x32
+ x33
+ x34
=
=
=
=
=
=
=
75
125
100
80
65
70
85
xij  0 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4)
La siguiente tabla muestra los coeficientes de las restricciones. Como se verá enseguida, lo
que distingue a este problema como un problema de transporte es la estructura especial en el patrón
de estos coeficientes, no su contexto.
Entre paréntesis, la solución óptima para este problema es x11 = 0, x12 = 20, x13 = 0, x14 = 55,
x21 = 80, x22 = 45, x23 = 0, x24 = 0, x31 = 0, x32 = 0, x33 = 70, x34 = 30. Cuando se conozca la prueba de
Coeficiente de:
x11 x12 x13 x14
1
1
1
optimalidad se
este resultado.
1
1
A=
podrá verificar
x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Restricciones
de Depósito
1
1
Restricciones
de Embolsado
1
Modelo general del problema de transporte
Para describir el modelo general del problema de transporte es necesario emplear términos
que sean mucho menos específicos que los que se usaron para los componentes del ejemplo
56
prototipo. En particular, el problema general de transporte se refiere (literal o en sentido figurado) a
la distribución de cualquier bien desde cualquier grupo de centros de abastecimiento, llamados
orígenes, a cualquier grupo de centros de recepción, llamados destinos, de tal manera que se
minimicen los costos totales de distribución. La correspondencia en terminología entre el ejemplo
prototipo y el problema general se resume en la siguiente tabla:
Ejemplo prototipo
Cargas de Harina de Soja embolsada
Tres Embolsados
Cuatro depósitos
Producción de la Embolsado i
Asignación al Depósito j
Costo de embarque por carga
desde la Embolsado i al Depósito j
Así, por lo general, el origen i (i = 1, 2,
Problema general
Unidades de un bien
m orígenes
n destinos
si recursos en el origen i
Demanda dj en el destino j
Costo cij por unidad distribuida
desde el origen i al destino j
..., m) dispone de si unidades para distribuir a los
destinos y el destino j (j = 1, 2, ..., n) tiene una demanda de dj unidades que recibe desde los
orígenes. Una suposición básica es que el costo de distribución de unidades desde el origen i al
destino j es directamente proporcional al número distribuido, donde cij denota el costo por unidad
distribuida. Igual que para el ejemplo prototipo, estos datos de entrada se pueden resumir en forma
muy conveniente en la tabla de costos y requerimientos que se muestra enseguida:
Costo por unidad distribuida
Destino
1
2
...
n
c11
c12
...
c1n
c21
c22
...
c2n
1
2
Origen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Recursos
s1
s2
.
.
.
m
cm1
cm2
...
cmn
sm
Demanda
d1
d2
...
dn
Sea Z el costo total de distribución y xij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2,..., n) el número de unidades
que se distribuyen del origen i al destino j, la formulación de programación lineal para este
problema es:
c
m
n
ij
Minimizar
Z=
i 1 j  1
xij
sujeta a
x
 si
para i = 1, 2, ..., m
x
 dj
para j = 1, 2, ..., n
n
ij
j 1
m
ij
i 1
y
xij  0,
para toda i y j
57
Note que la tabla que resulta de los coeficientes de las restricciones tiene la estructura
especial que se muestra en la siguiente tabla:
Coeficiente de
x11 x12 . . . x1n x21 x22 . . .
1
1
...
x2n . . . xm1 xm2 . . . xmn
Restricciones
de origen
1
1
1
...
1
.
.
.
1
A=
1
1
1
1
...
1
Restricciones
de destino
1
1
...
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
Cualquier problema de programación lineal que se ajuste a esta formulación especial es del
tipo de problemas de transporte, sin importar su contexto físico. De hecho, se han realizado
numerosas aplicaciones no relacionadas con el transporte que se ajustan a esta estructura especial.
Ésta es una de las razones por las que el problema de transporte se suele considerar como uno de los
tipos especiales de problemas de programación lineal más importantes.
Una condición necesaria y suficiente para que un problema de transporte tenga soluciones
factibles es que:
s  d
m
n
i
i 1
j
j 1
Esta propiedad se puede verificar observando que las restricciones requieren que:
s
m
i
i 1
d
n
y
j
j 1
x
m
sean iguales a
n
ij
i 1 j 1
Esta condición de que los recursos totales deben ser iguales a la demanda total en realidad
exige que el sistema esté balanceado. Si el problema tiene algún significado físico y esta
condición no se cumple, casi siempre significa que, o bien si, o bien dj de hecho representan una
cota y no un requerimiento exacto. Si este es el caso, se puede introducir un “origen” o “destino”
imaginario (llamado origen ficticio o destino ficticio) para captar la holgura, con el fin de convertir
las desigualdades en igualdades y satisfacer la condición de factibilidad.
El problema de transporte es sólo un tipo especial de problemas de programación lineal y
puede resolverse aplicando el método simplex tal y como lo hemos estudiado. Sin embargo,
veremos que si se aprovecha la estructura especial que se muestra en la tabla anterior, se puede
58
lograr un importante ahorro en los cálculos. Se hará referencia a este procedimiento simplificado
como el método simplex de transporte.
Para hacer hincapié en la simplificación lograda por el método simplex de transporte, se
revisará primero la forma en que el método simplex general (no simplificado) establecería el
problema de transporte en forma tabular. Después de construir la tabla de los coeficientes de
restricción (vea la tabla anterior), de convertir la función objetivo a la forma de maximización y de
usar el método de la M para introducir las variables artificiales z1, z2, ..., zm+n en las m+n ecuaciones
de restricción respectivas, se ve que las columnas de la tabla simplex tendrían la forma que se
muestra en la siguiente tabla:
Variable
básica
Z
Ec.
núm.
(0)
(1)
Z
1
...
xij
cij
Coeficiente de
...
zi
...
M
zm+j
M
Lado
derecho
0
...
.
.
.
zi
(i)
0
1
0
1
1
si
.
.
.
zm+j
(m+j)
1
dj
.
.
.
(m+n)
En esta tabla, todos los elementos que no se muestran en estas columnas son ceros. El único
ajuste que queda por hacer antes de la primera iteración es eliminar algebraicamente los coeficientes
distintos de cero de las variables básicas iniciales (artificiales) en el renglón de Z (renglón 0).
Después de cualquier iteración subsecuente, el renglón 0 tendría la forma que se muestra en
la siguiente tabla:
Variable Ec.
básica núm
Z
(0)
Z
1
...
xij
cijuivj
Coeficiente de
...
zi
...
Mui
zm+j
Mvj
Lado
derecho
...
  siui   djvj
m
n
i 1
j 1
A causa del patrón de ceros y unos que siguen los coeficientes en la tabla anterior, u i y vj
tienen la siguiente interpretación:
ui = múltiplo del renglón i original que se ha restado (directa o indirectamente) del renglón 0
original durante todas las iteraciones del método simplex que llevaron a la tabla actual.
vj = múltiplo del renglón m+j original que se ha restado (directa o indirectamente) del renglón 0
original durante todas las iteraciones del método simplex que llevaron a la tabla actual.
El renglón 0 actual se puede obtener sin usar ningún otro renglón con sólo calcular los
valores de ui y vj directamente. Como cada variable básica debe tener coeficiente cero en el renglón
0, estos valores se pueden obtener resolviendo el sistema de ecuaciones:
59
cijuivj = 0
para cada i y j tal que xij es variable básica,
lo cual se puede hacer de manera directa.
Además de los datos de entrada (los valores de cij, si y dj), la única información que necesita
el método simplex de transporte es la solución básica factible actual, los valores actuales de ui y vj y
los valores resultantes de cijuivj para las variables no básicas xij. Cuando se resuelve un problema
a mano es conveniente registrar esta información en una tabla simplex de transporte, como la que
se muestra enseguida:
En los casos en que la sumatoria de todo lo que se produce en todos los orígenes es mayor
que la sumatoria de todo lo que se demanda en todos los destino o viceversa, entonces se dice que el
problema no está balanceado. En estos casos lo primero que se debe hacer antes de intentar
resolver el problema es balancearlo.
n
m
Para el caso de SOBREPRODUCCIÓN (
dj
 si 
j 1
i 1

)
Si el caso es que se dispone de mayor producción de la que se demanda, entonces para
balancear el problema se agrega un destino imaginario o artificial (llamado también destino ficticio)
el cual tendrá como demanda dicha sobreproducción. En cuanto a los costos asociados a este nuevo
destino los estableceremos a cero (¿por qué?). El siguiente dibujo muestra lo que se debe hacer:
60
donde
m
n
i 1
j 1
 si   dj
dn+1 =
y
ci,n+1 = 0,
para i = 1, 2, ..., m
n
n
d s
j
Para el caso de SOBREDEMANDA (
j 1

j 1
i
)
Si el caso es que se tiene mayor demanda de lo que se produce, entonces para balancear el
problema se agrega un origen imaginario o artificial (llamado también origen ficticio) el cual tendrá
como recursos (producirá) dicha sobredemanda. En cuanto a los costos asociados a este nuevo
origen los estableceremos a cero (¿por qué?). El siguiente dibujo muestra lo que se debe hacer:
61
donde
n
m
d  s
j
sm+1 =
j 1
i
i 1
y
cm+1j = 0
para j = 1, 2, ..., n
Como todas las restricciones funcionales en el problema de transporte son igualdades, el
método simplex obtendría una solución inicial básica factible introduciendo variables artificiales y
usándolas como variables básicas iniciales. La solución básica que resulta de hecho sólo es factible
para la versión aumentada del problema, por lo que se necesita un buen número de iteraciones para
hacer que el valor de estas variables artificiales sea cero y se alcancen las soluciones básicas
factibles reales. El método simplex de transporte pasa por alto todo esto, pues usa un procedimiento
más sencillo para construir directamente una solución básica factible real en la tabla de transporte.
Antes de describir este procedimiento, es necesario establecer que el número de variables
básicas en cualquier solución básica de un problema de transporte es una menos de lo que se
espera. Normalmente en los problemas de programación lineal, se tiene una variable básica por cada
restricción funcional. En los problemas de transporte con m recursos y n destinos el número de
restricciones funcionales es m+n. Sin embargo,
el número de variables básicas = m + n  1.
62
Esto se debe a que se manejan restricciones de igualdad y este conjunto de m + n
ecuaciones tiene una ecuación adicional o (redundante) que se puede eliminar. La razón es que se
sabe que la cantidad total que se manda desde todos los orígenes debe ser igual que la cantidad total
que se recibe en todos los destinos. Por lo tanto, cualquier solución básica factible en una tabla de
transporte debe aparecer con exactamente m + n  1 asignaciones no negativas, en donde la suma de
las asignaciones en cada renglón o columna es igual a su demanda o sus recursos
Métodos para encontrar soluciones factibles.
Al iniciar, todos los renglones de los orígenes y las columnas de destinos de la tabla
simplex de transporte se toman en cuenta para proporcionar una variable básica (asignación).
1. Se selecciona la siguiente variable básica (asignación) entre los renglones y columnas en
que todavía se puede hacer una asignación de acuerdo a algún criterio.
2. Se hace una asignación lo suficientemente grande como para que use el resto de los
recursos en ese renglón o la demanda restante en esa columna (cualquiera que sea la
cantidad más pequeña).
3. Se elimina ese renglón o columna (la que tenía la cantidad más pequeña en los recursos
odemanda restantes) para las nuevas asignaciones.(Si el renglón y la columna tiene la
misma cantidad de recursos y demanda restante, entonces arbitrariamente se elimina el
renglón. La columna se usará después para proporcionar una variable básica
degenerada, es decir, una asignación con cero unidades.)
4. Si sólo queda un renglón o una columna dentro de las posibilidades, entonces el
procedimiento termina eligiendo como básicas cada una de las variables restantes (es
decir, aquellas variables que no se han elegido ni se han eliminado al quitar su renglón o
columna) asociadas con ese renglón o columna que tiene la única asignación posible. De
otra manera se regresa al paso 1.
La destilería San Lorenzo SA posee tres plantas de producción: Ensenada , Dock Sud y San Lorenzo. Las
capacidades de las tres plantas durante el próximo trimestres serán de 1000 ,1500 ,1200 ( en camiones
cisternas, unos 35000 litros por camión) y dos centros principales de distribución, Rosario que demanda 2300
camiones y Buenos Aires que demanda 1400 . El costo de cada viaje en dólares está determinado por:
63
Minimizar C= 210X11+110X12+160X21+80X22+68X31+215X32
n
n
n
n
n
n
n
SUJETO A :
X11+X12=1000
X21+X22=1500
X31+X32=1200
X11+X21+X31=2300
X12+X222+X32=1400
Si lo resolvemos con una planilla de cálculo su solución es
X11=0,X12=1000,X21=1100,X22=400,X31=1200,X32=0
n
Costo mínimo de 399600
64
n
n
n
n
n
Rosario
Ensenada X11 210
Dock Sud X21 160
San Lorenzo X31 68
Demanda
2300
Buenos Aires
X12 110
X22
80
X32
215
1400
Oferta
1000
1500
1200
n Resolución : Empiezo por la fuente uno y asigno el menor costo es
decir las 1000 a la variable X12 ,bajo a la segunda fuente asigno lo
que falta de Buenos Aires al menor costo que es X22 400 y el resto
de la oferta a Rosario X21 es decir 1100 , y ahora analizo la otra
fuente San Lorenzo , optimizo la mayor producción a menor costo
de distribución que es Rosario donde restaban por cubrir 1200
camiones hago entonces X31=1200 y cubrí todas las demanda sin
que me sobre lo producido en alguna destilería.
65
¿Como proceder si la demanda es diferente a la oferta?
n Supongamos ahora que en la destilería San Lorenzo se produce un
excedente de 200 camiones, por lo que el problema queda
desbalanceado , esto se resuelve fácilmente , agregando un destino
ficticio de tal manera que en ese destino destinamos el sobrante de
combustible , en la solución estos 200 camiones son camiones que
tendremos de reserva o para vender a otra destilería.
n Si Buenos Aires requiere supongamos un agregado de 300 camiones
a su pedido habitual de 1400 , debemos instalar una fuente ficticia
que abastezca esa cantidad, lo que significará que debemos
comprar esa cantidad en otra destilería para abastecer el pedido de
Buenos Aires
Ejemplo Utilizando excell
La farmacéutica Carlton abastece de drogas y otros suministros médicos tiene tres plantas en:
Claveland, Detroit, Greensboro y posee T cuatro centros de distribución en: Boston, Atlanta, St
Louis.La gerencia de Carlton desea realizar el trnsporte de sus productos de la manera más
económica posible, el costo es:.
El costo de transporte por unidad es constante
* Todos los transportes ocurren simultáneamente.
* Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de origen y el de destino
* La oferta total es igual a la demanda total.
Variables de decisión:
Xij = cantidad a transportar desde la fábrica i a la distribuidora j donde i = 1(Claveland), 2(Detroit),
3(Greensboro) y j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 (St,Louis)
66
67
Análisis de Sensibilidad por WINQSB
Si utilizamos esta ruta, el costo total
aumentara en $5 por unidad
Rango
Optimo
transportada.
68
Rango de
factibilidad
Precio sombra de la distribuidora - el costo de demandar una unidad más por la
distribuidora.
Precio sombra de la planta - el costo de cada unidad extra disponible
en la planta.
Interpretación de los resultados del análisis de sensibilidad.
* Reducción de Costos:
- La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad entrega la ruta
más económicamente atractiva.
- Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo asi en el costo que
ello significa, por cada carga transportada ,el costo total aumentara en una cantidad igual a
la reducción del costo hecha.
* Precios Sombra:
- Para las plantas el precio sombra de transporte corresponde al costo de
cada unidad disponible en la planta.
- Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte corresponde al costo
de cada unidad extra demandada por la distribuidora.
Método de la esquina noroeste.
1. Regla de la esquina noroeste: la primera elección es x11 (es decir, se comienza en la
esquina noroeste de la tabla simplex de transporte). De ahí en adelante, si xij fue la última
69
variable básica seleccionada, la siguiente elección es xi,j+1 (es decir, se mueve una columna
a la derecha) si quedan recursos en el origen i. De otra manera, se elige xi+1,j (es decir, se
mueve un renglón hacia abajo).
Para hacer más concreta esta descripción, se ilustrará el procedimiento general, utilizando la
regla de la esquina noroeste en el siguiente ejemplo:
Recursos
3
7
6
4
5
2
4
3
2
2
4
3
8
5
3
10
Demanda
3
4
2
1
10
Lo primero que debemos hacer al resolver cualquier problema de transporte es comprobar
que esté balanceado, si no lo estuviera, agregamos un origen o un destino artificial según sea el caso
para conseguir que el problema quede balanceado y podamos comenzar a resolverlo. En nuestro
ejemplo, la sumatoria de los recursos de los tres orígenes es de 10 unidades que es igual a la
sumatoria de las demandas de los destinos, por lo que nuestro problema está balanceado y podemos
iniciar con la resolución.
Comenzamos asignando en la esquina noroeste de la tabla, es decir, en la celda
correspondiente a la variable básica x11 (paso 1), podemos observar que en la primera columna se
demandan 3 unidades del bien y en el primer renglón disponemos de 5 unidades, entonces enviamos
las 3 unidades demandadas desde el origen 1 hacia el destino 1 (ya que hay los recursos suficiente
para satisfacer toda la demanda) y decrementamos a 2 los recursos restantes en ese origen (paso 2).
Con esto cubrimos toda la demanda del primer destino (ó Depósito) y lo cancelamos para las
próximas asignaciones (paso3):
Recursos
7
6
4
5 2
2
4
3
2
2
4
3
8
5
3
3
3
Demanda
3 0
4
2
1
La siguiente asignación será en la celda correspondiente a la variable x12 (paso 1) ya que
todavía le quedan recursos al origen 1 (además es la esquina noroeste de la tabla restante después de
70
haber eliminado la primera columna). Notemos que en el segundo destino se demandan 4 unidades
del bien y ahora solamente se disponen de 2 unidades en el origen 1, entonces se envían las 2
unidades del origen 1 al destino 2 para satisfacer 2 de las 4 unidades demandadas en este destino
quedando 2 por satisfacer (paso 2) y cancelamos el origen 1 ya que no tiene más unidades del bien
para
enviar
a
otro
destino
(paso 3):
Recursos
3
7
3
Demanda
6
4
5 2 0
2
2
4
3
2
2
4
3
8
5
3
3 0
4 2
2
1
La siguiente asignación será en la celda correspondiente a la variable x22 (paso 1) ya que no
le quedan unidades del bien al origen 1 (notemos también que esa celda es la que se encuentra en la
esquina noroeste de la tabla restante después de haber eliminado el primer renglón y la primera
columna y no olvidemos que estamos aplicando la regla de la esquina noroeste). Ya que solamente
faltan 2 unidades para satisfacer por completo la demanda del segundo destino y se disponen
exactamente de 2 unidades en el segundo origen, entonces enviamos 2 unidades del bien del origen
2 al destino 2 (paso 2) y cancelamos el segundo renglón ya que no le quedan más unidades para
enviar a otro destino. Dejamos pendiente la eliminación de la segunda columna ya que nos servirá
más adelante para hacer la asignación de una variable básica degenerada, es decir, una asignación
con cero unidades (paso 3):
Recursos
3
3
7
6
4 5 2 0
4
3
2 2 0
3
8
5 3
2
2
2
4
Demanda
3 0
2
1
4 2 0
La siguiente asignación será en la celda correspondiente a la variable x32 (paso1) ya que no le
quedan más unidades al origen 2. Notemos que “se demandan cero unidades del bien en el segundo
destino”, en este momento es cuando hacemos una asignación de cero unidades convirtiendo así a
la variable x32 en una variable básica degenerada (paso 2) y ahora sí podemos cancelar la segunda
71
columna para ya no considerarla más en las siguientes asignaciones (paso 3). Notemos que esta
demanda de cero unidades es satisfecha sin ningún problema por el origen 3 ya que éste dispone
todavía de 3 unidades del bien:
Recursos
3
7
3
2
2
4
6
4
5 2 0
3
2
2 0
8
5
3
2
3
4
0
Demanda
3 0
2
4 2 0
1
Como solamente queda un renglón dentro de las posibilidades (el renglón 3 no ha sido
cancelado), entonces aplicando el paso 4 del procedimiento general para construir una solución
inicial básica factible, la siguiente asignación será en la celda que corresponde a la variable x33
(paso 1). Ya que la demanda del tercer destino (2 unidades) puede ser satisfecha muy bien por el
tercer origen, entonces enviamos 2 unidades del bien del origen 3 al destino 3 quedando solamente
1 unidad en el tercer origen (paso 2) para enviarlo al cuarto destino y con eso cubrir su demanda de
una unidad, cancelando de esta manera tanto el destino 3 como el destino 4 y el tercer renglón ya
que la demanda de todos los destinos ya ha sido satisfecha y no quedan más unidades del bien en
ningún origen:
Recursos
3
7
3
2
6
4
5 2 0
3
2
2 0
2
4
2
4
3
8
0
5
2
3 1 0
1
Costo = 52
Demanda
3 0
4 2 0
2 0
1 0
La solución inicial básica factible es x11=3, x12=2, x22=2, x32=0 (variable básica
degenerada), x33=2 y x34=1 y el costo total de transporte asociado a esta primera “Política de
Transporte” factible es de:
x11 c11
Costo =
3 (3) +
x12 c12
2 (7) +
x22 c22
2 (4) +
x32 c32
0 (3) +
x33 c33
2 (8) +
x34 c34
1 (5) = 52 unidades
72
Es necesario aclarar que esta no es la solución final del problema, es necesario aplicar a esta
primera solución factible la prueba de optimalidad ya que puede existir una mejor “política de
transporte” que minimice todavía más el costo total.
Tres plantas de energía eléctrica con capacidades de 25, 40 y 50 millones de kilovatios/hora,
proporcionan electricidad a tres ciudades. La demanda máxima es de 30, 35 y 25 millones de
kilovatios/hora. El costo de transporte por millón de kilovatio/hora está dado en la siguiente tabla:
Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Planta 1 $600 $700 $700 Planta 2 $320 $300 $350 Planta 3 $500 $480 $450
Encuentre una solución óptima por el Método de la esquina noreste
Después construimos la tabla de transporte asociada e iniciamos asignando 25 a la celda (1,1) y
ajustamos la oferta y la demanda como se muestra en la tabla:
Ahora asignamos 5 a la celda (2,1) y ajustamos la oferta y la demanda como se muestra en la tabla:
En seguida asignamos 35 a la celda (2,2) y ajustamos la oferta y la demanda como se muestra en la
tabla:
Posteriormente asignamos 0 a la celda (3,2) y ajustamos la oferta y la demanda como se muestra en
la tabla:
73
Después ajustamos el renglón restante, como se muestra en la tabla:
Entonces tenemos una solución inicial: x1,1=25, x2,1=5, x2,2=35, x3,2=0, x3,3=25 y x3,4=25, con un
costo mínimo de $38,350
Modelos de Asignación
Definición del Problema
* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.
* Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i que realizara el trabajo j.
* Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la asignación de trabajadores a sus
respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la óptima
posible.
Ejemplo
Los tres hijos de Giorgio , Juan , Karina y Tomás tiene tres tareas designadas :cortar el pasto, pintar
la cochera y lavar los autos de la familia .Cada hijo puede presentar sus costos de manera secreta
para cada actividad , ofertas que están resumidas en la siguiente tabla:
Cortar
Pintar
Lavar
Juan
15
10
9
Karina
9
15
10
Tomás
10
12
8
Paso uno de cada fila elegimos el mínimo y le restamos a cada elemento de la fila :
74
Mínimo
6
1
0
0
6
1
2
4
0
0
1
0
Paso dos .identificar el mínimo de cada columna y restárselo a cada elemento de la columna
6
0
0
0
5
1
2
3
0
Paso tres: elegir la solución óptima de tal manera que cada hijo tenga una sola tarea y cada tarea su
ejecutor
Juan
6
0
0
Karina
0
5
1
Tomás
2
3
0
Juan va a pintar la cochera, Karina cortará el pasto y Tomás lavará el auto. El Costo de Giorgio será
9+10+8 = 27
Ejemplo:
El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para
terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo
asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Además los
capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si
conoce la siguiente tabla:
Capítulos
Secretaría
13
14
15
16
Juana
96
99
105 108
María
116
109
107
Graciela
120
102
113 111
96
75
Edith
114
105
118 115
Resolvemos:
Juana
96
99
105 108
96
María
116
109
107
96
Graciela
120
102
113 111
102
Edith
114
105
118 115
105
Juana
0
3
9
12
María
20
13
11
0
Graciela
18
0
11
9
Edith
9
Min
0
0
96
13
10
9
9
0
Juana
0
3
0
12
María
20
13
2
0
Graciela
18
Edith
9
0
0
2
4
9
10
Trazar el mínimo número de líneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.
Juana
0
3
0
12
María
20
13
2
0
Graciela
18
0
2
9
Edith
9
0
4
10
Si el número de líneas es igual al número de filas se esta en la solución óptima, sino identificar el
menor valor no rayado restarselo a los demás números no rayados y sumarlo en las intersecciones.
Pare este caso corresponde al valor 2
Juana
Juana
0
5
0
14
María
18
13
0
0
Graciela
16
0
0
9
Edith
7
0
2
10
Cap. 13
76
María
Cap. 16
Graciela
Cap. 15
Edith
Cap. 14
Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410
Suele ocurrir que no siempre los pasos son tan sencillos de utilizar , por que puede que la
asignación no sea factible en ese caso hay que:Trazar la cantidad mínima de filas y columnas que en
la última matriz cubren todos los ceros Seleccionar el mínimo elemento to no cubierto , restarlo de
todo elemento no cubierto y a continuación sumarlo a todo elemento en la intersección de una fila
con una columna ( dos líneas) Si no se puede encontrar una asignación factible entre los elementos
cero que resulten hay que repetir el procedimiento
77
APÉNDICE: Otros Métodos
Método de aproximación de Vogel.
Método de Aproximación de Vogel: para cada renglón y columna que queda bajo consideración, se
calcula su diferencia, que se define como la diferencia aritmética entre el costo unitario más
pequeño (cij) y el que le sigue, de los que quedan en ese renglón o columna. (Si se tiene un empate
para el costo más pequeño de los restantes de un renglón o columna, entonces la diferencia es 0). En
el renglón o columna que tiene la mayor diferencia se elige la variable que tiene el menor costo
unitario que queda. (Los empates para la mayor de estas diferencias se pueden romper de manera
arbitraria).
Para hacer más concreta esta descripción, se ilustrará el procedimiento general, utilizando el método
de aproximación de Vogel
para resolver el ejemplo presentado anteriormente y que fue resuelto por la regla de la esquina
noroeste:
78
Iniciamos el método calculando las primeras diferencias para cada renglón y columna. De las
diferencias que obtuvimos nos fijamos
en la mayor (¿Por qué?), que resulta ser para la tercera
columna. En esa columna encontramos el costo unitario (cij) menor y en esa celda realizamos la
primera asignación:
Recursos
DIF.
3
7
6
4
5
1
2
4
3
2
2 0
0
4
3
8
5
3
1
2
10
Demanda
DIF.
3
1
4
1
1
2
2 0
3 1
10
Nota: Marcaremos a la mayor de las diferencias seleccionada encerrándola en un círculo y escribiéndole como
superíndice el número que le corresponda en la secuencia de selección.
Observemos en la figura anterior que únicamente eliminamos el segundo renglón ya que la
tercera columna nos servirá después para hacer la asignación de una variable básica degenerada.
Continuando con la aplicación del método, tenemos que calcular nuevamente las diferencias de las
columnas ya que hemos eliminado un renglón y ésto puede ocasionar que las diferencias aritméticas
entre el costo unitario más pequeño y el que le sigue ya no sean las mismas:
Recursos
DIF.
3
7
6
4
5
1
2
4
3
2
2 0
0
4
3
8
5
3 0
1
2
3
10
Demanda
DIF.
3
1
4 1
1
1
4
2
2 0
3 1
1
2
2
1
10
Como siguiente paso deberíamos calcular las nuevas diferencias de columnas, pero ya que
solamente queda un renglón dentro de las posibilidades (ésto no significa que solamente un renglón
quede bajo consideración ya que podemos observar que ninguna de las cuatro columnas (destinos)
ha sido eliminada y todas quedan todavía bajo consideración), no es posible encontrar la diferencia
79
aritmética entre el costo menor y el que le sigue, por lo tanto vamos tomando una a una las celdas
que quedan comenzando con la de menor costo unitario hasta que todas hayan sido asignadas.
Recursos DIF.
3
7
1
4
2
4
6
3
5 2 1 0 1
1
0
3
2
2 0
0
5
3 0
1
2
4
8
3
3
10
Demanda
DIF.
3 0
1
4 1 0
1
1
4
2
2 0
3 1
1 0
2
2
1
10
La solución inicial básica factible es x11=3, x12=1, x13=0 (variable básica degenerada),
x14=1, x23=2 y x32=3 y el costo total de transporte asociado a esta primera “Política de Transporte”
factible es de:
x11
c11
Costo = 3 (3) +
x12
c12
1 (7) +
x13
c13
0 (6) +
x14
c14
1 (4) +
x23
c23
2 (3) +
x32
c32
3 (3) = 35 unidades
Es necesario aclarar que ésta puede o no ser la solución final del problema, es necesario
aplicar a esta primera solución factible la prueba de optimalidad ya que puede existir una mejor
“política de transporte” que minimice todavía más el costo total.
Comparación de criterios alternativos para el paso 1.
Se compararán estos dos criterios para elegir la siguiente variable básica. La virtud principal
de la regla de la esquina noroeste es la facilidad y rapidez con que se aplica. Sin embargo, como no
le da importancia a los costos unitarios cij, por lo general la solución que se obtiene distará mucho
de la óptima. Si se realiza un esfuerzo un poco mayor para encontrar la solución inicial básica
factible, es posible que se reduzca mucho el número de iteraciones que después necesita el método
simplex de transporte para encontrar la solución óptima. El objetivo del otro criterio es
precisamente encontrar una solución así.
El método de aproximación de Vogel ha sido el más popular durante muchos años, en parte
porque es relativamente fácil hacerlo a mano. Este criterio toma en cuenta los costos unitarios en
forma efectiva ya que la diferencia representa el mínimo costo adicional en que se incurre por no
hacer una asignación en la celda que tiene el menor costo en esa columna o renglón.
80
Podemos decir, que el método de aproximación de Vogel proporciona una mejor solución
inicial que el criterio de la esquina noroeste, en otras palabras es más cualitativo.
El siguiente paso después de hallar una solución inicial básica factible (por cualquiera de
los dos criterios expuestos anteriormente) es verificar si esta solución inicial es efectivamente
óptima aplicando la prueba de optimalidad.
La prueba de optimalidad estándar del método simplex para el problema de transporte, se
puede reducir de la siguiente manera:
Una solución básica factible es óptima si y sólo si cijuivj  0 para toda (i,j) tal que xij es no
básica.
Así, lo único que hay que hacer para realizar esta prueba es obtener los valores de ui y vj
para la solución básica factible actual y después calcular los valores c ijuivj según se describe
enseguida.
Como el valor de cijuivj debe ser cero si xij es una variable básica, ui y vj satisfacen el
conjunto de ecuaciones:
cij = ui + vj
para cada (i,j) tal que xij es básica.
Existen m+n1 variables básicas y por tanto hay m+n1 ecuaciones de este tipo. Como el número
de incógnitas (las ui y vj) es m+n, se puede asignar un valor arbitrario a cualquiera de estas variables
sin violar las ecuaciones. La elección de esta variable y su valor no afecta el valor de ningún c ijui
vj, aun cuando xij sea no básica, por lo que la única diferencia (menor) estriba en la facilidad para
resolver estas ecuaciones. Una elección conveniente para lograr esto es seleccionar la ui que tiene el
mayor número de asignaciones en su renglón (los empates se rompen de manera arbitraria) y
asignarle un valor de cero. Gracias a la sencilla estructura de estas ecuaciones, resulta muy fácil
obtener algebraicamente los valores del resto de las variables.
Para ejemplificar la prueba de optimalidad, consideremos la solución inicial básica factible
obtenida por la regla de la esquina noroeste para nuestro ejemplo en cuestión:
v1
u1
v2
3
v3
7
3
v4
Recursos
6
4
5
3
2
2
ui
2
u2
2
4
u3
4
3
2
8
0
5
2
3
1
Costo=52
Demanda
3
4
2
1
vj
81
Para este problema, existen m+n1=3+41=6 variables básicas, que dan origen al siguiente
conjunto de ecuaciones:
3 = u1+v1
7 = u1+v2
4 = u2+v2
3 = u3+v2
8 = u3+v3
5 = u3+v4
Observemos que resultaron ser 6 ecuaciones que involucran 7 incógnitas (tres de las u i y
cuatro de las vj), por lo que este sistema de ecuaciones no es cuadrado. La forma de resolverlo es
dando un valor arbitrario a una de las incógnitas, para que, a partir de él encontremos el valor de las
demás. La regla para hacer esta asignación arbitraria nos dice que sea para la ui (ó renglón) que haya
tenido el mayor número de asignaciones. En nuestro ejemplo, el renglón 1 tuvo dos asignaciones, el
renglón 2 tuvo una asignación y por último el tercer renglón tuvo tres asignaciones, por lo que
asignamos el valor de cero a la incógnita u3. De esta asignación resulta lo siguiente:
3 = u1+v1
7 = u1+v2
4 = u2+v2
3 = u3+v2
8 = u3+v3
5 = u3+v4
Hemos
v2 = 3
v3 = 8
v4 = 5
obtenido el valor de tres incógnitas más, v2, v3 y v4, los cuales nos ayudarán para
hallar el valor de las incógnitas restantes:
si u1=4, entonces v1= 1
si v2=3, entonces u1= 4
si v2=3, entonces u2= 1
v2 = 3
v3 = 8
v4 = 5
3 = u1+v1
7 = u1+v2
4 = u2+v2
3 = u3+v2
8 = u3+v3
5 = u3+v4
De esta forma hemos obtenido el valor de todas las incógnitas y procedemos a colocarlos en
la tabla como sigue:
v1
u1
v2
3
7
3
u2
2
v3
v4
Recursos
6
4
5
4
3
2
2
1
3
0
ui
2
4
2
u3
4
8
3
0
5
2
1
Costo=52
Demanda
3
4
2
1
82
1
vj
3
8
5
Ahora calculemos los valores cijuivj para las variables no básicas, ya que para las básicas,
este valor es cero (por la forma de las ecuaciones con que se hallaron los valores de las incógnitas u i
y vj), y coloquemos estos valores en la esquina inferior izquierda de cada celda:
Para la celda (1,3): 6  4  8 = 6
Para la celda (1,4): 4  4  5 = 5
Para la celda (2,1): 2  1  (1) = 2
Para la celda (2,3): 3  1  8 = 6
Para la celda (2,4): 2  1  5 = 4
Para la celda (3,1): 4  0  (1) = 5
v1
u1
v2
7
3
3
v4
Recursos
ui
6
4
5
6
3
5
2
2
1
6
8
4
5
3
2
1
0
4
2
0
4
0
2
u2
v3
2
0
3
2
4
u3
0
5
0
0
0
Costo=52
Demanda
3
1
vj
4
3
2
8
1
5
En este momento se puede aplicar la prueba de optimalidad para verificar los valores de cij
uivj obtenidos. Como cuatro de estos valores (c13u1v3= 6, c14u1v4= 5, c23u2v3= 6, c24u2
v4= 4), son negativos, se concluye que la solución básica factible actual no es óptima. Entonces, el
método simplex de transporte debe proceder a hacer una iteración para encontrar una mejor
solución básica factible.
Una iteración.
Igual que para método simplex estándar, una iteración del método simplex de transporte
debe determinar una variable básica entrante (paso 1), una variable básica que sale (paso 2) y
después identificar la nueva solución básica factible que resulta (paso 3).
Paso 1: como cijuivj representa la tasa a la que cambia la función objetivo si se incrementa la
variable no básica xij, la variable que entra debe tener un valor de cijuivj negativo, para que el
costo total Z disminuya. Entonces, los candidatos en la tabla anterior son x13, x14, x23 y x24 . Entre
ellos se elige el valor negativo más grande (en términos absolutos) de c ijuivj como la variable
83
básica entrante, que en este caso corresponde a x13 y x23. En los casos en que haya empate para la
elección de la variable básica entrante, este empate se rompe de manera arbitraria, ya que tarde o
temprano llegaremos a la misma solución independientemente de la elección de la variable. Pero,
observemos lo siguiente: ya que debemos elegir la variable básica “entrante, es decir, aquella que
comenzará a tener un valor (ya que antes no lo tenía porque era variable no básica), entonces, es
conveniente que elijamos aquella que tenga el costo menor, ya que el valor de la variable entrante
multiplicado por su respectivo costo será la contribución al costo total. En nuestro caso, el costo
asociado a x13 es 6 y el costo asociado a x23 es 3, por lo que la variable que debemos elegir como
entrante es x23.
Paso 2: si se incrementa el valor de la variable básica entrante, se establece una reacción en cadena
de cambios compensatorios en otras variables básicas (asignaciones) para seguir satisfaciendo las
restricciones de recursos y demanda. La primera variable básica que disminuya su valor hasta cero
será la variable básica que sale. En general, siempre existe sólo una reacción en cadena (en
cualquier dirección) que se puede completar con éxito para conservar la factibilidad, cuando la
variable básica entrante aumenta su valor. Esta reacción en cadena se puede identificar si se hace
una selección entre las celdas que tienen variables básicas: primero, la celda donadora en la
columna que tiene la variable básica; después, la celda receptora en el renglón que corresponde a
la celda donadora; luego, la celda donadora en la columna en que se encuentra esta celda receptora,
y así sucesivamente, hasta que la reacción en cadena conduce a una celda donadora en el renglón
que tiene a la variable básica entrante. Cuando una columna o renglón tiene más de una celda
adicional con variable básica, puede ser necesario explorar el camino que se va aseguir para
averiguar cuál debe seleccionarse como celda donadora o receptora. (Todas las demás menos la
adecuada llegarán tarde o temprano a un camino sin salida en un renglón o columna que no tiene
otra celda con una variable básica). Después de identificar la reacción en cadena. La celda donadora
que tiene la asignación menor proporciona en forma automática la variable básica que sale. (En caso
de un empate para la celda donadora, se puede elegir cualquiera para proporcionar la variable básica
que sale).
Si x23 es la variable básica entrante, la reacción en cadena de la tabla anterior se resume
enseguida. (Siempre se indicará la variable básica entrante colocando un signo + encuadrado dentro
de su celda):
v1
u1
v2
7
3
3
0
v3
2
0
v4
Recursos
6
4
6
5
5
ui
4
84
4
2
u2
2
u3
2
4
0
3 +
+
6
8 
0
5
2
3
4
5
1
3
0
1
2
0
0
2
0
Costo=52
Demanda
vj
3
1
4
3
2
8
1
5
Al aumentar x23 debe disminuir x33 en la misma cantidad para conservar la demanda de 2 en
la columna 3; esto a su vez requiere que se aumente x32 en esa cantidad para mantener la oferta de 3
en el renglón 3 y esto a su vez exige una disminución en el valor de x22 para conservar la demanda
de 4 en la columna 2. Esta disminución en x22 completa con éxito la reacción en cadena ya que
también conserva la oferta del renglón 2.
El resultado final es que las celdas (2,3) y (3,2) se convierten en celdas receptoras, cada
una con su asignación adicional proveniente de las celdas donadoras (2,2) y (3,3). Estas celdas están
indicadas en la tabla anterior por medio de los signos + y ). Observe que tuvo que elegirse la celda
(3,2) como celda receptora para el renglón 3 y no la (3,4), ya que esta última no hubiera tenido
celda donadora en la columna 4 para continuar la reacción en cadena. Note además que, a excepción
de la variable básica entrante, todas las celdas receptoras y donadoras en la reacción en cadena
deben corresponder a variables básicas en la solución básica factible actual.
Cada celda donadora disminuye su asignación en una cantidad exactamente igual al
aumento que tiene la variable básica entrante (y las otras celdas receptoras). Entonces, la celda
donadora que comienza con la asignación más pequeña en este caso las celdas (2,2) y (3,3) debe
ser la primera en llegar a una asignación de cero conforme se incrementa la variable entrante x 23.
Así, x22 ó x23 se pueden convertir en la variable básica que sale. Cuando existe empate para la
variable básica que sale, éste puede romperse de manera arbitraria, es decir, eligiendo cualquiera de
las variables donadoras con la asignación más pequeña como variable básica saliente. Como una
regla empírica, podemos seleccionar como variable básica saliente aquélla que tenga asociado el
mayor costo unitario, ya que como esta variable perderá completamente su valor (es decir, se
convertirá de variable básica a variable no básica), esperaríamos que el costo total de transporte
disminuya. Así, escogeríamos a x33 como variable básica saliente.
Paso 3: la nueva solución básica factible se identifica sumando el valor (antes de los cambios) de la
variable básica que sale a las asignaciones de cada celda receptora y restando esta misma cantidad
de las asignaciones de cada celda donadora. En la tabla anterior se observa que el valor de la
variable básica que sale x33 es 2, por lo que esta porción de la tabla simplex de transporte cambia,
85
como se ilustra en la siguiente tabla para la nueva solución. (Como x33 es no básica en la nueva
solución, su nueva asignación es cero y ya no se muestra en la tabla).
v1
u1
v2
v3
7
3
3
2
u2
0
2
0
4
u3
2
4
0
3
0
0
5
Recursos
6
4
5
6
3
5
2
2
6
8
2
v4
2
4
5
0
0
2
1
ui
3
1
Costo=40
Demanda
3
4
vj
En este momento se puede señalar una interpretación útil de las cantidades c ijuivj que se
obtienen en la prueba de optimalidad. Debido al cambio de 2 unidades en las asignaciones de las
celdas donadoras a las receptoras, el costo total cambia en:
Z = 2(38+34) = 2(6) = 12 = 2(c23u2v3)
es decir, el costo total de transporte se decrementa en 12 unidades con respecto al costo anterior que
era de 52 unidades. Notemos que hemos obtenido una nueva política de transporte, la cual podemos
resumir así:
La nueva solución básica factible es x11=3, x12=2, x22=0 (variable básica degenerada),
x23=2, x32=2 y x34=1 y el costo total de transporte asociado es de:
x11
c11
Costo = 3 (3) +
x12
c12
2 (7) +
x22
c22
0 (4) +
x23
c23
2 (3) +
x32
c32
2 (3) +
x34
c34
1 (5) = 40 unidades
Antes de completar la solución del problema ejemplo, se hará un resumen de las reglas del
método simplex de transporte.
Resumen del método simplex de transporte
Inicialización: Se construye una solución inicial básica factible. Se realiza la prueba de optimalidad.
Prueba de optimalidad: Se obtiene ui y vj eligiendo el renglón con el mayor número de asignaciones
y estableciendo su ui = 0, y después resolviendo el sistema de ecuaciones cij = ui+vj para cada (i,j)
tal que xij es básica. Si cijuivj  0 para toda (i,j) tal que xij es no básica, entonces la solución actual
es óptima por lo que el proceso se detiene. De lo contrario, se regresa a una iteración.
86
Iteración:
1. Se determina la variable básica entrante: se elige la variable no básica xij que tiene el valor
negativo más grande (en términos absolutos) para cijuivj.
2. Se determina la variable básica que sale identificando la reacción en cadena (encontrar un
circuito) que se necesita para conservar la factibilidad cuando se aumenta el valor de la variable
básica entrante. Entre las celdas donadoras se selecciona la variable básica que tiene el menor
valor.
3. Se determina la nueva solución básica factible: se suma el valor de la variable básica que sale a
las asignaciones de las celdas receptoras y se resta este valor a las asignaciones de las celdas
donadoras.
Continuando con la aplicación de este procedimiento a nuestro problema, tenemos que
calcular los nuevos valores de las ui y vj y después los valores cijuivj correspondientes a las
variables no básicas para determinar si todos cumplen con la prueba de optimalidad: Nuevamente
existen m+n1=3+41=6 variables básicas, que dan origen al siguiente conjunto de ecuaciones:
3 = u1+v1
7 = u1+v2
4 = u2+v2
3 = u2+v3
3 = u3+v2
5 = u3+v4
Observemos que nuevamente resultaron ser 6 ecuaciones que
involucran 7 incógnitas (tres de las ui y cuatro de las vj). Ya que hay empate en
el número de asignaciones que tiene cada renglón (2 asignaciones en cada
renglón), asignemos el valor de cero a la incógnita u1. De esta asignación
resulta lo siguiente:
3 = u1+v1
7 = u1+v2
4 = u2+v2
 v1=3
 v2=7
3 = u2+v3
3 = u3+v2
5 = u3+v4
Hemos obtenido el valor de dos incógnitas más, v1, y v2, los cuales nos ayudarán para hallar
el valor de las incógnitas restantes:
3 = u1+v1
7 = u1+v2
4 = u2+v2
3 = u2+v3
3 = u3+v2
5 = u3+v4
 v1=3
 v2=7
si v2=7, entonces u2= 3
si u2= 3, entonces v3=6
si v2=7, entonces u3= 4
si u3= 4, entonces v4=9
De esta forma hemos obtenido el valor de todas las incógnitas y procedemos a colocarlos en
la tabla como sigue:
v1
u1
v2
v3
7
3
3
6
2
v4
4
Recursos
5
ui
0
87
u2
2
4
3
2
0
u3
4
8
3
2
3
3
4
2
5
2
1
Costo=40
Demanda
3
vj
3
4
7
2
6
1
9
Ahora calculemos los valores cijuivj para las variables no básicas y coloquemos estos
valores en la esquina inferior izquierda de cada celda:
Para la celda (1,3): 6  0  6 = 0
Para la celda (1,4): 4  0  9 = 5
Para la celda (2,1): 2  (3)  3 = 2
Para la celda (2,4): 2  (3)  9 = 4
Para la celda (3,1): 4  (4)  3 = 5
Para la celda (3,3): 8  (4)  6 = 6
v1
u1
v2
7
3
3
u2
v3
2
4
5
0
0
3
5
2
2
3
3
4
2
0
8
0
3
4
5
2
5
1
6
0
ui
4
0
u3
Recursos
6
2
0
4
0
2
v4
0
Costo=40
Demanda
3
vj
3
4
7
2
6
1
9
Aplicando la prueba de optimalidad para verificar los valores de cijuivj obtenidos, vemos que dos
de estos valores ( c14u1v4= 5, c24u2v4= 4) son negativos, se concluye que la solución básica
factible actual no es óptima. Entonces, el método simplex de transporte debe proceder a hacer una
iteración para encontrar una mejor solución básica factible. Aplicando el procedimiento descrito
anteriormente, se llega al siguiente conjunto de tablas simplex de transporte que se muestra
enseguida y que dan solución al problema planteado:
88
v1
u1
v2

7
3
3
2
4
6
2
+
0
8
4
5
2
5
0
2
3
 3
4
1
6
0
ui
5
+
5
2
0
3
0
3
Recursos
4
0
u3
v4
2
0
4
0
2
u2
v3
0
Costo=40
Demanda
3
vj
3
4
7
2
6
1
9
v1
v2
v3
v4
u1
7
3
3
0
2
u2
6
4
0
3
5
2
1
0
4
0
0
3
2
4
u3
2
0
8
4
5
6
0
Recursos
ui
5
1
2
3
3
5
0
Costo=35
Demanda
3
4
2
1
vj
La nueva solución básica factible es x11=3, x12=1, x14=1, x22=0 (variable básica degenerada), x23=2
y x32=3 y el costo total de transporte asociado es de:
x11
c11
Costo = 3 (3) +
x12
c12
1 (7) +
x14
c14
1 (4) +
x22
c22
0 (4) +
x23
c23
2 (3) +
x32
c32
3 (3) = 35 unidades
Como en esta última tabla todas las cijuivj son no negativas (¡comprobarlo!), la prueba de
optimalidad identifica este conjunto de asignaciones como óptimo, lo cual concluye el algoritmo.
89
DECISIONES EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE Y RIESGO
La toma de decisiones en condiciones de incertidumbre y riesgos presenta un modelo
general , que llamamos matriz de pagos o ganancias .En las filas tenemos nuestro Curso de
Acción que son las alternativas que podemos elegir y en nuestras columnas lel estado del
ambiente que son los resultados de acontecer un cierto futuro sujeto a una probabilidad .
Alternativa 1
Alternativa 2
Futuro 1 ( p1)
X11
X21
Futuro 2( p2)
X12
X22
Futuro 3 ( p3)
X13
X23
Incertidumbre
Se da cuando los Estados del Ambiente son desconocidos
Existen cuatro métodos:
Maximin (Pesimista):
Considera siempre disminuir las pérdidas. Luego, el criterio se puede resumir
como: Mejor (Peor)
Para cada Curso de Acción busco la peor ganancia (costo) que puedo conseguir
y de entre estos valores elijo la / el mejor.
Maximax (Optimista):
Considera siempre aumentar las ganancias. Luego, el criterio se puede resumir
como: Mejor (Mejor)
Para cada Curso de Acción busco la mejor ganancia (costo) que puedo
conseguir y de entre estos valores elijo la / el mejor.
Laplace o Criterio del valor numérico monetario esperado:
Considera todos los Estados del Ambiente como equiprobables. Dada
la Matriz de ganancias (costos) se calcula la Esperanza de cada Curso de
Acción con respecto a los Estados de la Ambiente posibles y se elige la
que provee mayor ganancia.
Costo de Oportunidad:
En este caso es necesario construir la Matriz Costo de Oportunidad, la
cual representa para cada Estado del Ambiente lo que dejo de ganar
por no elegir otro Curso de Acción.
Se elige aquel Curso de Acción que presente en total menor costo de oportunidad.
Ejemplo:
Considere la siguiente Matriz de Ganancias:
S1
S2
A1
200000
-20000
A2
150000
20000
A3
100000
60000
Donde
Ai = Cursos de Acción
Si = Estados del Ambiente
Suponiendo que debemos tomar una decisión bajo incertidumbre, tenemos:
Maximin:
Mejor ((A1;-20000); (A2; 20000); (A3; 60000))
Elijo A3
Maximax:
Mejor((A1; 200000); (A2; 150000); (A3; 100000))
Elijo A1
Laplace:
E[A1] = (200000-20000)/2 = 90000
E[A2] = (150000+20000)/2 = 85000
E[A3] = (100000+60000)/2 = 80000
Elijo A1
90
Costo de Oportunidad:
Matriz de Costo de Oportunidad:
S1
S2
A1 0
80000
A2 50000
40000
A3 100000
0
Elijo A1
Así en la intersección de una fila con una columna tendremos la medida de utilidad del resultado que se
obtiene con dicha estrategia.
de la siguiente manera:
Y utilizando la esperanza matemática se calcula el valor esperado de cada alternativa, lógicamente la alternativa
óptima será la que garantice la mayor utilidad .
Riesgo
Se supone que hay m{as que un estado del ambiente y que el tomador
de decisiones conoce la probabilidad de ocurrencia de cada estado. Sea pj la
probabilidad de que ocurra el estado j. Si el tomador de decisiones toma la
decisión di, ERi viene dado por:
ERi = ri1 _ p1 + ri2 _ p2 + ::: + rim _ pm
Se debe tomar la decisi_on di que maximiza ERi
Ejemplo
Problema
Consideremos como ejemplo el problema del vendedor de diarios : un
vendedor de diarios compra al camión de entrega al inicio de
cada día. Durante el día, vende estos diarios. Los diarios sobrantes
al final del día constituyen pérdidas. Asuma que cada diario cuesta 15
centavos y los vende a 50 centavos cada uno, y que la siguiente distribuciión
de probabilidades es conocida
p0 = Prob demanda =2/10
p1 = Prob demanda =4/10
p2 = Prob demanda =3/10
p3 = Prob demanda = 1/10
¿Cuäntos diarios deberä comprar el vendedor cada día?
Solución
Para resolver este ejercicio, primero se construye la matriz de ganancias
(Donde rij es la ganancia cuando se compran i diarios y
ocurre una demanda j.
Estado del ambiente
Po
P1
P2
P3
S0
S1
S2
S3
Cursos
A0
0
0
0
0
de
A1 -15
35
35
35
Acción
A2 -30
20
70
70
A3 -45
5
55
105
Ahora se deben calcular los valores esperados para cada posible decisi_on.
ER0 = 0
ER1 = -15*0.2+35*0.4+35*0.3+35*0.1= 25
ER2 =-30*0.2+20*0.4+70*0.3+70*0.1 = 30
ER3 = -45*0.2+5*0.4+55*0.3+105*0.1= 20
El máximo sucede cuando el vendedor de diarios compra 2 diarios. Su valor esperado es de 30.
El hecho que el vendedor de diarios deba tomar la decisión antes que la demanda ocurra tiene un
impacto considerable en sus ganancias. Si pudiera conocer la demanda
anticipadamente cada día y entonces comprar el número correspondiente
de diarios para ese día, su ganancia esperada aumentará en una cantidad
conocida en términos técnicos como el valor esperado de la información
perfecta (expected value of perfect information (EV PI)).
Millones de dólares se gastan en proyectos de investigación de mercados,
para determinar que estado del ambiente ocurrirá en una amplia gama
91
de aplicaciones. El valor esperado de la información perfecta indica la
ganancia esperada de cualquiera de esos intentos y así representa una cota
superior sobre la cantidad que deberán gastar en obtener esa información.
Así, calculamos el valor esperado de la información perfecta EV PI para
nuestro problema. Si la demanda fuese conocida con anticipación antes
que la decisiónn de compra se tome, el valor esperado de la ganancia será:
EV PI = 0 *0.2+35*0.4+70*0.3+105*0.1= 45.5
EV PI = 45.5 -30 = 15.5
Debe notarse que el criterio de maximizar la ganancia esperada puede,
algunas veces, producir resultados inaceptables. Esto se debe a que hay
riesgos que no se han tomado en cuenta. La mayoría de las personas son
reticentes al riesgo, lo que significa que sienten que perder x unidades monetarias es más
valioso que el beneficio de ganar la misma cantidad. La teoría de decisión
enfrenta este problema construyendo una funciónn de atracción del dinero
(o de utilidad del dinero).
Esta función se denomina función de utilidad. Así, en lugar de trabajar
con una matriz de pago medidas en dinero, rij , se trabaja
con una matriz de ganancias que contiene valores de utilidades, digamos
uij . La decisión _optima di será la que maximice la utilidad esperada
EUi = ui1 *p1 + ui2 *p2 + ::: + uim *pm sobre todos los i.
Ejemplos
Ejemplo uno :Un agricultor debe decidir entre sembrar trigo o maíz y se conoce que estadísticamente las
posibilidades de tiempo bueno, variable y malo son 0.20,0.60 y 0.20 respectivamente y por estadísticas de
rinde de cosechas anteriores se puede estimar que el trigo con tiempo bueno rinde en dólares: 700000 para
tiempo bueno, 200000 para variable y nada para tiempo malo, en cuanto al maíz en dólares también tiene el
siguiente rinde para ese campo: 400000 en tiempo bueno, 300000 en tiempo variable y 100000 en tiempo malo
Por lo tanto nuestros datos podemos organizarlos en una matriz de resultados de la siguiente forma:
P1=0.20
P2=0.60
P3=0.20
Tiempo Bueno
Tiempo Variable
Tiempo Malo
Sembrar Trigo
700000
200000
0
Sembrar Maíz
400000
300000
100000
El criterio de Laplace o criterio del valor numérico monetario esperado significa hallar el valor
esperado matemático de cada alternativa y elegir la máxima alternativa pues se trata de utilidades, en caso de
tratarse de costos deberá elegir el menor valor esperado
Entonces VE ( A1) = 700000.0.20+200000.060+O=260000 y el
VE ( A2 ) = 400000.020+300000.0.60+100000.0.20=280000 por lo que el agricultor deberá elegir la alternativa
dos, es decir sembrar Maíz
Ejemplo dos:
Una empresa opera una fábrica que requiere un mínimo rígido de obreros para operarla. Si menos de 20
obreros concurren en un día determinado, la fábrica debe suspender la producción. NO obstante, la planta
puede operar satisfactoriamente con 20 obreros o más. Cuando la planta esta en operaciones, se elaboran
productos químicos con un valor de venta de $400.000 diarios. Los costos variables de producir y vender esos
productos, excluida la mano de obra, son 240.000 $. La empresa siempre ha tenido 24 personas en su lista
de personal de fábrica en el pasado.
El ausentismo en la planta ha promediado apenas el $%. Una discriminación mas detallada del ausentismo se
da a continuación:
Nro de obreros ausentes
Por ciento de dias en que estan ausentes
0
36
1
38
2
19
3
6
4
1
5 o mas
0
100
Todos los obreros d e la fábrica son permanentes, es decir trabajan con una relación de empleo fija. Esto
implica que la compañía paga todos los obreros que se presentan a trabajar cada día, aun en el caso de que la
planta no pueda operar, y los obreros ausentes también reciben su retribución integra ese día.
92
Las remuneraciones incluyendo beneficios adicionales y cargas sociales, promedian $4000 por día para cada
obrero.
D)
E)
F)
Construya la matriz de ganancias
Determine que alternativa tiene la máxima ganancia esperada
Determine cual es la ganancia esperada bajo certeza ( o con información
perfecta)
D) Determine cual es el valor esperado de la información perfecta.
Las alternativas a considerar en este problema están dadas por las distintas cantidades posibles de obreros
que puede contratar la compañía para operar la fábrica. Las restricciones técnicas hacen que dicha cantidad
no pueda ser inferior de 20. Por otra parte, no es necesario contratar mas de 25 obreros puesto que la
probabilidad de que un mismo día falten 5 o mas obreros es nula (si nos guiamos por los porcentajes
históricos de ausentismo) , lo que asegura que no habrá que suspender nunca la producción, Por lo tanto las
alternativas que tendremos en cuenta son:
A1=contratar 20 obreros
A2=Contratar 21 obreros
A1=contratar 22 obreros
A1=contratar 23 obreros
A1=contratar 24 obreros
A1=contratar 25 obreros
En cuanto a los futuros a considerar están dados por los distintos niveles posibles de ausentismo:
F1= 0 obreros ausentes(p1=0.36)
F2=1 obrero ausente (p2=0.38)
F3=2 obreros ausentes (p3=0.19)
F4=3 obreros ausentes (p4=0.06)
F5=4 obreros ausentes (p5= 0.01)
Si llamamos q al número de obreros contratados y A al número de obreros ausentes tendremos que la
ganancia diaria será:
- 4000 . q
G ($)
si (Q-A) <20
400000 -240000-4000 .q si (Q-A)<20
Puesto que si el numero de obreros presentes es menor de 20 se suspende la producción, con lo cual no se
obt obtiene el ingreso por ventas de 400000$ y tampoco se incurre en los costos variables de producción y
ventas de 240000 , si bien hay que pagar las remuneraciones de todo el personal, lo que implica un costo de
$4000El análisis de la matriz de resultados indica que la alternativa A6 puede eliminarse ya que es dominada por la
A5, cualquiera sea el futuro que ocurra, esta ultima asegura mayor ganancia que la A6 (esto era por otra
parte previsible puesto que contratando 25 obreros en lugar de 24, habrá siempre un numero de obreros
presentes innecesariamente superior al mínimo exigido para la operación de la fabrica)
La ganancia esperada para las restantes alternativas resulta ser:
VE
VE
VE
VE
VE
(a1)= 80.000 .0.036-80.000 . 0.38 – 80.000 . 0.19 – 800000.0.06-80.000 . 0.01= -22400$
(a2)=76.000 .0.36+76000 . 0.38-84000 .0.19-84000 . 0.06 -84000 .0.01 =34400$
(a3)=72000. 0.36+72000 .038+72000 .0.19-88000 .0.06-88000 .0.01=60800$
(a4)=68000+0.36 +68000 . 0.38 +68000 .0.19 +68000 . 0.06 -92000 . 0.01 =58.120$
(a5)=64000 .0.36+64000 .038+64000 . 0.19+64000 . 0.06+64000 .0.01 =64000$
Por lo tanto la alternativa que tiene mayor ganancia esperada es la A5 que es la que la compañía ha estado
siguiendo en el pasado.
Por suerte la ganancia con información perfecta (ganancia que se tendria si para cada futuro se eligiera la
alternativa mejor ) esta dada por:
GIP= 80000 . 0.36+76000 . 0.38 +72000 . 0.19+ 68000 . 0.06 + 64000 .0.1 =76080 $
93
Luego el valor de la información perfecta (es decir la ganancia adicional por sobre la correspondiente a la
alternativa optima)
Será:
VIP= GIP – VE a5 =76080 – 64000 =11.680
Ejemplo tres:
Una compañía de artículos de cotillón ha preparado un nuevo artículo para su utilización durante
los carnavales, dado que no se le puede dar otro uso que no sea el específico para el cual se ha
confeccionado. LA compañía debido a experiencias similares ha determinado la siguiente
distribución de probabilidades
Unidades Probabilidades
0
0.03
10
0.17
20
0.37
30
0.29
40
0.12
50
0.02
El precio de venta se fijo en $1 en tanto que la venta del papel crepe que queda como rezago
reembolzara $0.20 por unidad y el costo de fábrica s e ha determinado en $0.50
RESOLUCIÓN :
Para construir la matriz de resultados, necesitamos calcular la ganancia bruta de la empresa para
cada acto o nivel de stock posible. Llamado D a la cantidad demanda y S a la cantidad en stock.
Pj
0.03
0.17
0.37
0.29
0.12
0.02
F1
F2
F3
F4
F5
F6
D=0
D=10
D=20
D=30
D=40
D=50
A1(s=0) 0
A2 (S=10) -3
A3 (S=20) -6
A4 (s=30) -9
A5 (S050)-12
A6 (s=50= -15
0
5
2
1
-4
-7
0
5
10
7
4
1
0
5
10
15
12
9
0
5
10
15
20
17
0
5
10
15
20
25
Ya que no existen relaciones de dominio entre actos posible debemos, aplicando el criterio del
valor esperado de resultados, calcular la esperanza matemática para todas las alternativas y
adoptar como solución aquella que posee la óptima.
VE A1= -3*0.03+5*0.17+5* 0.37 +5* 0.29+5*0.12+5*0.02=4.76
VE A2=-6*0.03+2*0.17+10*0.37+10*0.29+10*0.12+10*0.02=8.16
Ve A3=-9*0.03+ -1*0.17+7*03.7+15*0.29+15*0.12+15*0.02=8.60
Ve A4=-12*0.03+ -4* 0.17+4 0.37+12*0.29+20*0.12+20*0.02=6.78
VE A5=- 15* 0.03 + -7*0.17+1 * 0.37 + 9 *0.29+17 * 0.12 +25 *0.02 =3.88
El valor de la información: Costo de oportunidad
Se tiene que calcular el incremento de la ganancia que puede esperar por el hecho de disponer de
una predicción perfecta y compararlo con el costo de la información, convendrá adquirir
información si y solo si su valor excede a su costo.
El costo de oportunidad asociado esta dado por lo que se dejo de ganar por el hecho de haber
elegido la alternativa Ai en lugar d e haber elegido la alternativa optima para el futuro. Fj
Toda decisión tiene un determinado costo, que el costo de oportunidad o cuasi-costo. El hecho de
hacer un determinada soca implica un costo de oportunidad en relación a no haber hecho otra
distinta.
94
Cuando el valor de stock corresponda a la alternativa seleccionada coincide con el valor de la
demanda, el costo de oportunidad es cero, porque es la máxima ganancia que se puede obtener
para ese valor de la demanda. En las demás intersecciones entre demandas y niveles de stock hay
un costo de oportunidad.
Pj
0.03
F1
D=0
A1(s=0) 0
A2 (S=10) -3
A3 (S=20) -6
A4 (s=30) -9
A5 (S050)-12
A6 (s=50= 15
0.17
F2
D=10
5
0
2
6
9
12
0.37
F3
D=20
0.29
F4
D=30
10
5
10
3
6
9
15
10
10
0
3
6
0.12
F5
D=40
20
15
10
5
0
3
0.02
F6
D=50
25
20
15
10
5
0
0=*0.03+5*0.17+10*0.37+15* 0.29+20* 0.12+25* 0.02=11.6
10=3*0.03+0*0.17+5* 0.37+10* 0.29 +15 * 0.12 +20 * 0.02=7.04
20=6 *0.03 +3* 0.17 + 0*0.37 +5 *0.29+10* 0.12+15* 0.02=3.64
30=9 *0.03+6* 0.17 +3* 0.37 + 0* 0.29 + 5* 0.12+10* 0.02=3.20
40=12 *0.03+9* 0.17+6 * 0.37 +3* 0.29+0* 0.12 +5 *0.02=5.06
50=15 * 0.03+12* 0.17 +9 * 0.37 +6* 0.29+ 3* 0.12 * +0* 0.02=7.92
El valor esperado si se aplica en cada decisión una estrategia coincide con el nivel de la demanda
recibe el nombre de ganancia con información completa, puesto que representa el beneficio que
en promedio se obtendría si en cada decisión se eligiera la alternativa mas conveniente para el
futuro que van a acontecer.
VE (CO) = GIC- VE (aij)
El valor esperado del costo de oportunidad de una determinada estrategia es igual a la diferencia
entre la ganancia esperada con información completa, y el valor esperado de la ganancia para ser
alternativa.
Criterio del análisis incremental
Este criterio se puede aplicar tanto a valores de ganancias como a costos de oportunidad. Un
comerciante minorista debe decidir cuantas unidades comprar de una determinada mercadería.
Como la mercadería es perecedera y no puede ser guardada en stock por más de un día el
comerciante no desea comprar más que la provisión para el día. Por otra parte, puesto que cada
unidad cuesta al comerciante solo $1 mientras que la vende por %5, cada unidad demanda que
deje de satisfacer, como consecuencia de haber comprado de menos la representara dejar de
ganar $4, sin tener en cuenta la posible perdida de prestigio comercial. El comerciante no conoce
la demanda real y a pesar de ello debe decidir que nivel de stock mantener. Supongamos que la
producción es de S0 unidades. Para saber si ese valor optimo el stock, debemos analizar como
varia la ganancia esperada al aumentar el stock en 1 unidad es decir pasa de S0 a S0+1. En este
caso el costo total se incrementa en $1 (costo de la unidad adicional). En cuanto al ingreso bruto
su valor dependerá del valor de la demanda, puesto que si esta es tal que a lo sumo alcanza a
cubrir el stock S0 (D<0 =S0 ) la unidad adicional no se venderá, significando por lo tanto una
disminución de la ganancia total de $1. Por el contrario si la demanda es superior a S0 La unidad
adicional podra venderse (pudiendo incluso quedar una demanda insatisfecha, si es D> S0 +1)
Implicando por lo tanto un ingreso adicional de %5 lo que da un incremento en las ganancias de
$4Para hallar el valor esperado del incremento de la ganancia:
VE IG = -1 * p (D<0 =S0 +4 * p (D>S0)
Realmente convendrá aumentar el stock en una unidad toda vez que implique un aumento de la
ganancia esperada , si y solo si:
VE IG >0
95
Mientras la ganancia incremental sea positiva aun cuando fuera decreciente, esta indicando que se
adiciona ganancia a la ya acumulada.. Por otro lado desde que comienza a ser negativa, nos indica
que un aumento adicional del stock provocara una disminución de la ganancia total acumulada.
Este mismo análisis puede hacerse en términos de costos de oportunidad, podemos estudiar el
costo de oportunidad asociado a la estrategia ordenar una unidad adicional Vs el costo de
oportunidad asociado a la estrategia no ordenar una unidad adicional puesto que nos convendrá la
que tenga menor costo de oportunidad.
Racionalmente para que convenga ordenar una unidad mas de stock, el costo de oportunidad de
ordenar tiene que ser menor que el costo de oportunidad de no ordenar.
En otras situaciones el modelo quedara determinado por una función a optimizar y una matriz de restricciones o
condiciones,como es en el modelo de programación lineal
G
G
U
D
R
O
R
O
GU
UIIIAAA D
DEEE TTTR
RAAABBBAAAJJJO
OSSS PPPR
RAAACCCTTTIIICCCO
OSSS
1 El propietario de una empresa de catering en espectáculos al aire libre tiene una demanda estimada en la
temporada estival fundamentalmente por el estado del tiempo. En base a datos del servicio metereologico
puede conocerse :Dia caluroso y con sol:0.6, dia caluroso y nublado 0.2 , día frio 0.1 y dia lluvioso 0.1 y las
estimaciones de venta son respectivamente 1000 viandas , 600 viandas ,150 viandas y 50 viandas .
El precio de compra de cada vianda es de 21 pesos si compramos hasta 500 unidades y de 20 pesos si
compramos mas de 500 unidades, la bebida , bandeja y el envoltorio tiene un costo de 1.5 pesos por unidad
vendida y el precio de venta al público es de 30 pesos. Las viandas que no se venden se pierden,solo se
recuperan la bandeja, el envoltorio y la bebida. Si se utiliza el criterio del valor monetario esperado ¿ cual es la
cantidad de viandas a reservar?
2.-Una empresa ha preparado un nuevo postre helado para su utilización durante la temporada de
verano para venta ambulante en la vía pública. La empresa mediante las opiniones de sus jefes de
ventas ha determinado la siguiente distribución de probabilidades
Unidades en miles
Probabilidades
-3 3 4 5 6 +6
0 .10 .15 .35 .40 0
El precio de venta se fijo en $1.25 en tanto que
por los envases no utilizados se reembolsara
$0.25 por unidad y el costo de producción y
distribución se ha determinado en $0.30
Construya la matriz de ganancias , Determine que alternativa tiene la máxima ganancia esperada,
Determine cual es la ganancia esperada bajo certeza ( o con información perfecta) y Determine cual
es el valor esperado de la información perfecta.
3. Al comprar un generador eléctrico, una empresa debe determinar la cantidad de repuestos que conviene
encargar. Cada repuesto es fabricado exclusivamente para el generador específico y no puede ser usado en
ningún otro generador. Si los repuestos tienen un costo unitario de 500 $ si se los ordena conjuntamente con
el generador, mientras que si se necesita el repuesto y no se lo posee, el costo extraordinario de obtenerlo al
mandarlo a fabricar más el costo que implica tener el generador sin funcionar es de 10000 $. La distribución de
probabilidades de las roturas del repuesto es:
Nº de repuestos
0
1
2
3
4
5
probabilidad
0.90
0.05
0.02
0.01
0.01
0.01
4Una empresa de servicios de seguridad requiere un mínimo rígido de 30 empleados para prestar
su servicio diario .Si menos de 30 empleados concurren en un día determinado, la empresa debe
suspender el servicio por no poder cubrir todos los objetivos a preservar .Se puede operar
satisfactoriamente con 30 empleados o más, cuando se cubre la seguridad ingresan $3400
diarios. Los costos variables de fletes y suministros diarios son de $1000,la empresa tiene 36
empleados. El promedio de ausentismo se detalla a continuación:
96
Nro de empleados ausentes 0
1
2 3
4
5
6 mas de seis
Ausentismo
36 35 15 6
4
3
1
0
Todos los empleados son permanentes, es decir trabajan con una relación de empleo fija. Esto
implica que se paga todos los empleados que se presentan a trabajar cada día, aun en el caso de
que no se pueda cubrir el servicio y los empleados ausentes también reciben su retribución
integra ese día. Las remuneraciones incluyendo beneficios adicionales y cargas sociales,
promedian $15 por día para cada empleado. Construya la matriz de ganancias , Determine que
alternativa tiene la máxima ganancia esperada, Determine cual es la ganancia esperada bajo
certeza ( o con información perfecta) y Determine cual es el valor esperado de la información
perfecta.
5 Una compañía de artículos de cotillón ha preparado un nuevo artículo para su utilización durante los
carnavales, dado que no se le puede dar otro uso que no sea el específico para el cual se ha confeccionado.
LA compañía mediante las opiniones de sus jefes de ventas ha determinado la siguiente distribución de
probabilidades
Unidades
0
10
20
30
40
50
Probabilidades
0.03
0.17
0.37
0.29
0.12
0.02
El precio de venta se fijo en $1 en tanto que la venta del papel crepe que queda como rezago
reembolsara $0.20 por unidad y el costo de fábrica s e ha determinado en $0.50 Determinar la
decisión óptima , escogiendo un determinado criterio
Teoría de Juegos
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NTTR
RO
OD
DU
UC
CC
CIIÓ
ÓN
N
En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy
frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la
conjunción de decisiones de diferentes agentes o jugadores. Se dice de un comportamiento que es
estratégico cuando se adopta teniendo en cuenta la influencia conjunta sobre el resultado propio y
ajeno de las decisiones propias y ajenas.
La técnica para el análisis de estas situaciones fue puesta a punto por un matemático, John von
Neumann. A comienzos de la década de 1940 trabajó con el economista Oskar Morgenstern en
las aplicaciones económicas de esa teoría. El libro que publicaron en 1944, "Theory of Games
and Economic Behavior", abrió un insospechadamente amplio campo de estudio en el que
actualmente trabajan miles de especialistas de todo el mundo.
La Teoría de Juegos ha alcanzado un alto grado de sofisticación matemática y ha mostrado una
gran versatilidad en la resolución de problemas. Muchos campos de la Economía —Equilibrio
General, distribución de costes, etc.— se han visto beneficiados por las aportaciones de este
método de análisis. En el medio siglo transcurrido desde su primera formulación el número de
científicos dedicados a su desarrollo no ha cesado de crecer. Y no son sólo economistas y
matemáticos sino sociólogos, politólogos, biólogos o psicólogos. Existen también aplicaciones
jurídicas: asignación de responsabilidades, adopción de decisiones de pleitear o conciliación, etc.
Los conflictos entre seres racionales, que desconfían uno del otro o la pugna entre oponentes que interactúan
y se influyen mutuamente, que piensan y que incluso pueden ser capaces de engañarse uno al otro, es el
campo de estudio de la teoría de juegos basándose en un análisis matemático riguroso que surge de manera
natural al mirar un conflicto desde un punto de vista racional.
97
Paradojicamente, la «teoría de juegos» no se refiere a «jugar», tal y como se entiende comúnmente. Para
hacerse una idea de su contenido es mejor usar el vocablo «estrategia».
Un «juego» es una situación conflictiva en la que uno debe tomar una decisión sabiendo que los
demás también lo hacen, y que el resultado del conflicto se determina de algún modo a partir de
todas las decisiones realizadas.
Desde esta perspectiva los conflictos en el ámbito económico también pueden verse como «juegos» sujetos a
leyes preestablecidas. Dos contratistas que concursan para un proyecto, o un conjunto de compradores que
pujan en una subasta, están implicados en juegos sutiles de adivinación de las intenciones ajenas que pueden
ser analizados con precisión.
La Teoría de Juegos plantea que debe haber una forma racional de jugar a cualquier juego, especialmente en
el caso de haber muchas situaciones engañosas y segundas intenciones, así por ejemplo, la adivinación mutua
de las intenciones del contrario que sucede en juegos como el póquer da lugar a cadenas de razonamiento
teóricamente infinitas.
Podría pensarse que se trata de una especialidad de la psicología, en vez de las matemáticas, pero no lo es
porque se supone que los jugadores son totalmente racionales, permitiendo un análisis preciso de las
situaciones (aunque esto no sea precisamente así realmente ya que en nuestra vida diaria no es obvio esperar
que unos jugadores puedan llegar a jugar basados en una idea precisa y racional sobre la manera concreta de
actuar y el mundo no es siempre un sitio regido por la lógica).
No obstante, la Teoría de Juegos plantea que siempre, en juegos donde intervienen dos participantes con
intereses completamente opuestos, existe una manera racional de actuar, demostrado matemáticamente que
existe una forma «óptima» de tomar parte en tales juegos.
Esta demostración es aplicable a juegos de entretenimiento que abarcan desde los mas triviales, como jugar al
TATETI (o tres en raya), hasta los más sofisticados, corno el ajedrez y a cualquier otro tipo de juego entre
dos personas.
Si las aplicaciones de la teoría de juegos no pasaran de ahí, se habría establecido como una aguda aportación
a la matemática recreativa. Sin embargo se han vislumbrado otras implicaciones mas trascendentes que
abarcan otras formas de juegos, incluidos los de más de dos jugadores, y aquellos en los que los intereses de
los participantes coinciden parcialmente. De este modo, al ampliar su campo, la teoría puede dar razón de
todos los tipos de conflicto entre seres humanos.
El Dilema del Prisionero
En Enero de 1950, Melvin Dresher y Merril Flood condujeron en la compañía Rand Corporación un experimento
que ha tenido una influencia enorme aunque de manera indirecta, ya que introdujo el juego que
posteriormente sería conocido como el Dilema del Prisionero.
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La famosa historia de los dos prisioneros es debido a Tucker (1950). Straffin (1980) cuenta de nuevo como
Tucker ideó el juego en el tablero de Melvin Dresher y compuso la historia que dio el nombre a ese juego.
Aparentemente Howard Raiffa, en forma independiente, condujo experimentos con el juego del Dilema del
Prisionero en 1950, pero no los publicó.
98
Uno de los dilemas clásicos de la teoría de juegos es el Dilema del
Prisionero. El dilema del prisionero ejemplifica el clásico conflicto
entre los intereses individuales y los colectivos de quienes toman
decisiones racionales. Suponga que hay dos sospechosos de haber
cometido un delito, quienes son detenidos e interrogados en celdas
separadas. Las opciones de los prisioneros son:



Si ninguno confiesa, con base en las pruebas que acumuló
la policía, ambos irán a la cárcel por un año.
Si sólo uno confiesa, y además colabora con las
autoridades saldrá libre, mientras que el otro, por no
colaborar, recibirá una sentencia de seis años.
Si ambos confiesan, la sentencia será de tres años para
los dos.
De acuerdo con estas opciones, si cada uno analiza qué le conviene hacer para obtener el mayor beneficio
individual posible, concluirá lo siguiente:


Si el otro no confesara, le convendría confesar, para salir libre en lugar de ir preso por un año.
Si el otro confesara, también le convendría confesar, para lograr una rebaja en su pena e ir preso por
tres años en lugar de seis.
En consecuencia, independientemente de lo que pueda hacer el otro, le convendría confesar.
Sin embargo, si se analizara el bienestar colectivo de la asociación para delinquir formada por los dos
prisioneros, es decir, si se buscara cómo reducir al mínimo la suma del tiempo que podrían pasar en la cárcel
sus dos integrantes, convendría que ninguno confesara, pues:


Si ambos confesaran, los dos irían presos tres años y su asociación sufriría un total de seis años de
cárcel.
Si ninguno confesara, ambos terminarían presos por un año, con lo que el costo carcelario total
ascendería a dos años, situación más conveniente para ambos.
Lo anterior se puede representar con una matriz de juego, como muestra la figura, anotando como penas los
años de cárcel:
 Si ninguno confiesa las penas serán 1 + 1;
 Si uno confiesa y el otro no será 0 + 6 (ó 6 + 0
según cuál prisionero confiesa)
 Si ambos confiesan 3 + 3.
El raciocinio individual los lleva a la posición de equilibrio
representada en las coordenadas de la matriz como
confiesa, confiesa, en la que cada uno purga en la cárcel
tres años, lo cual constituye, desde el punto de vista de
los prisioneros, una irracionalidad colectiva, pues ambos estarían mejor guardando silencio.
En el dilema del prisionero hay implícita una ley de rebaja de la pena por confesión voluntaria. Si no hubiera
una reducción de penas por cooperar con la justicia y confesar supusiera una deshonra para los individuos en
su círculo social, desaparecería el incentivo para cooperar. Ello constituye un ejemplo de la importancia del
sistema legal, que establece las reglas de juego. Las penas que resultan de las acciones de los individuos
dependen de esas reglas. Un cambio de reglas modifica los incentivos individuales y altera la posición de
equilibrio. Un resultado socialmente ineficiente, a veces, se puede cambiar con una reforma del marco legal.
Por otro lado, además de las leyes formales, pueden existir sanciones informales. Así por ejemplo, la mafia
tiene una forma de resolver el problema de coordinación entre los prisioneros: instituyó castigos para los que
violan la ley del silencio, los cuales alteran las penas individuales que se sintetizaron en la matriz. Si los
castigos son suficientemente altos, pueden llevar de la posición de equilibrio a la posición en las coordenadas
no confiesa, no confiesa, que beneficia a ambos delincuentes. El dilema del prisionero constituye un modelo
paradigmático que se aplicó para analizar el comportamiento de delincuentes comunes, de disidentes políticos
99
encarcelados en campos de concentración y hasta de quienes actuaban en contextos completamente ajenos a
situaciones policiales.
Elementos de un modelo de teoría de juegos
En casi todos los modelos, sea cual sea la forma de la matriz, el protocolo o reglas del juego
influirá mucho en la solución. Además del orden de intervención de los jugadores, habrá que tener
en cuenta si el juego se realiza una sola vez o si se repite cierto número de veces, la información
de que disponen en cada momento, el número de jugadores que intervienen y la posibilidad de
formar coaliciones, etc.
Según el número de competidores que intervienen se dividen en juegos de dos contrincantes o de
más de dos contrincantes o jugadores.
Los juegos dónde un jugador gana sólo si el otro pierde y no es posible cooperación alguna (y
dónde de alguna manera se genera una «guerra abierta»), se denominan «Juegos de suma cero».
El mejor ejemplo de esto es el póquer, donde los jugadores ponen el dinero en el centro, y alguien
se lo lleva todo cuando gana. Nadie gana un solo peso que otro no haya perdido. Estas
consideraciones también son aplicables a la economía ya que la sociedad es «de suma cero» dado
que el beneficio de una persona es en detrimento de otra.
En un juego de ganar o perder, como tatetí (o tres en raya) o ajedrez, se podría asignar a la victoria
un valor de utilidad igual a 1 (contabilizado en «puntos» arbitrarios) y a la derrota, un valor de
utilidad de (-1) puntos. La suma total de utilidades es igual a cero, por eso se trata de un juego de
suma cero. El juego real más sencillo es uno entre dos personas, con dos estrategias y de tipo
suma cero. El único modo de simplificarlo aún más sería que un jugador tuviera sólo una
estrategia. Mas escoger sólo entre una opción posible, no es escoger realmente. De hecho, el
«juego» lo llevaría a cabo un único jugador, cosa que no es en realidad un juego, (aunque dentro
de la teoría de las decisiones se considera el caso de un jugador interactuando con el entorno que se constituye en el segundo jugador -).
En la teoría de juegos, la estrategia es un concepto importante, con un sentido más concreto que
el que se le da habitualmente.
Llamamos jugada a cada etapa o camino que expliciten las reglas , por ejemplo en el ajedrez es
una movida y en el truco una mano.
Una estrategia - dentro de la Teoría de Juegos - es la descripción completa de una forma
determinada de jugar, dependiente de lo que hacen los demás jugadores y de la duración del
juego. Es una sucesión de jugadas de acuerdo a como van variando los acontecimientos. Es un
método de cada contendiente para hacer la elección de cada movida .
Las estrategias pueden ser puras o mixtas, son puras aquellas que son de una decisión anterior
sin importar el paso a paso o jugada a jugada; son mixtas aquellas que se elige un curso de acción
jugada a jugada, paso a paso Esto muestra lo complicado que puede ser una estrategia, aun en el
caso de un juego muy sencillo (una verdadera estrategia para el ajedrez es tan enorme que sólo se
puede escribir con la ayuda de grandes computadores). No obstante, un ser perfectamente
racional no sólo podría pensar una estrategia detallada, también seria posible, dadas unas
capacidades ilimitadas de memoria o potencia de calculo, que anticipara todas las estrategias
posibles y que decidiera de antemano su curso de acción incluso antes de mover la primera pieza.
Suponga que tiene una lista numerada de todas las posibles estrategias para el ajedrez.
Su elección de estrategia se reduce a escoger un
número, de 1 a n, donde n es el número de
estrategias posibles.
Su contrincante a su vez, podría seleccionar
una estrategia de su propia lista de
posibilidades, de 1 a m
100
Una vez que se han decidido estas dos estrategias, el juego resultante estaría completamente
determinado. Al llevar a cabo las dos estrategias, se podría mover apropiadamente las piezas v
llevar el juego a su término previsto.
Tanto las aperturas, las capturas, los «movimientos de sorpresa» y la jugada de fin de partida
estarían implícitas en la selección de estrategias y las diferentes soluciones correspondientes a
distintas estrategias se podrían escribir en una tabla rectangular. Una vez que tuviera esta tabla, no
necesitaría más el tablero de ajedrez.
Para cualquier juego entre dos personas, se puede representar cada secuencia posible del juego
como una casilla en una tabla similar. La tabla deberá poseer tantas filas como estrategias tenga
un jugador, y una columna por cada estrategia del otro jugador. Si se estructura un juego de esta
manera, se dice que esta en «forma normal».
La tabla debe exponer claramente todas las opciones, pero a veces no basta con eso. Los
resultados pueden estar distribuidos por la tabla de modo aleatorio. El truco es decidir cuál
estrategia se selecciona.
Un juego con dos participantes y dos estrategias puede representarse en una tabla de dos filas por
dos columnas. Si además es un juego de suma cero, se pueden reflejar también los resultados,
rellenando cada una de las cuatro casillas con un número que represente la victoria del primer
jugador. Sabemos que si el primer jugador gana, el segundo forzosamente pierde, de modo que
ambos pueden usar el mismo diagrama (las victorias del segundo jugador son los mismos números
de la tabla pero con signo menos).
Aunque para personas reales tener en cuenta de antemano todas las contingencias posibles es la
antítesis de la palabra «jugar», ya que esta no es la manera en que juegan de verdad; para
analizar racionalmente un juego es muy útil esta idea de representar los juegos como una tabla de
resultados.
Alternativa 1 jugador A
Alternativa 2 jugador A
Alternativa 1 jugador B
A11
A21
Alternativa 2 jugador B
A12
A22
Por lo general denominaremos al jugador A iniciador del juego como jugador maximizante y al
jugador que responde a la jugada inicial es decir al B jugador minimizante.
En conclusión tenemos :
1. Los jugadores tienen información perfecta de todos los resultados , estrategias y
preferencias.
La finalidad de los oponentes es maximizar la utilidad
Juego de dos Personas, Suma cero: Puntos de Equilibrio
Idea: La decisión de Un jugador afecta la ganancia del Otro.
Supuestos:
1. Dos jugadores (1 _la, 1 columna).
2. Jugador-fila debe elegir entre 1; 2; :::;m cursos de acción. Jugador-columna
debe elegir entre 1; 2; 3; :::; n cursos de acción.
3. Si el Jugador-_la elige la i-_esima estrategia y el Jugador-columna elige la
jésima estrategia, el Jugador fila recibe un retorno de Aij y el jugador
columna pierde una cantidad Aij . Es decir, la ganancia del Jugador fila( jugador maximinante)
viene de la pérdida del Jugador-columna(jugador minimizante).
101
4. Hay Conflicto de Intereses.
5. No hay Cooperación entre Jugadores.
Ejemplo
Problema
fila/columna
B1
B2
B3
A1
4
4
10
A2
2
3
1
A3
6
5
7
6
5
10
¿Cómo deberá jugar el Jugador A?
Elegir el Max(4; 1; 5), luego elegir A3. Con esto se asegura de ganar
al menor 5 unidades.
Desde el punto de vista del Jugador B buscar_a el Min(6; 5; 10), luego
B2.
El valor del juego para ambos jugadores es de 5, ya que la condición es
suma cero será igual al punto de equilibrio.
4
1
5
Condición de Punto de Equilibrio:
Max(Min fila) = Min(Max columna)
Juego de 2 Personas, Suma constante
Idea: La decisión de Un jugador afecta la ganancia del Otro.
Supuestos:
1. Dos jugadores (1 fila, 1 columna).
2. Jugador-_la debe elegir entre 1; 2; :::;m cursos de acción. Jugador-columna
debe elegir entre 1; 2; 3; :::; n cursos de acción.
3. Si el Jugador fila elige la iésima estrategia y el Jugador-columna elige la
jésima estrategia, el Jugador fila recibe un retorno de Aij y el jugador columna
pierde una cantidad c = Aij , donde c es un valor constante. Es decir,
la ganancia del Jugador fila viene de la pérdida del Jugador-columna.
4. Hay Conflicto de Intereses.
5. No hay Cooperación entre Jugadores.
6. Suma Constante c.
Ejemplo
Problema
Dos cadenas de TV están tratando de captar una audiencia de 100;000;000
telespectadores en el horario 20h 00-22h 00. Para ello publicitarán sus emisiones.
Las posibles opciones y el número de espectadores esperado está indicado
B1 B2 B3
A1 35 15 60
15
A2 45 58 50
45
A3 38 14 70
14
45 58 70
donde
B1 = A1 = Película de Acción
B2 = A2 = Show en vivo
B3 = A3 = Noticias
Solución
El jugador maximizante o jugador fila debe elegir el Max(15; 45; 14), luego elige A2. Con esto se
asegura de ganar al menos 45;000;000 telespectadores. Desde el punto de vista del Jugador
columna buscará el Min(45; 58; 70), luego B1.
El valor del juego para el Jugador Maximizante es 45 y para el Jugador Minimizante es
100- 45 = 55. Tiene un punto de equilibrio de 45.
Juegos de 2 Personas sin Punto de Equilibrio
Ejemplo
Problema
102
2 Jugadores tienen dos banderas cada uno. El juego consiste en sacar una o dos banderas en un
instante dado. Si la suma de las banderas es impar el jugador J1 gana, si la suma es par el jugador
J2 gana.
J1 / J2
Mostrar 1
Mostrar 2
Mostrar 1
-1
+1
-1
Mostrar 2
+1
-1
-1
+1
+1
Max(Min Fila) = -1
Min(Max columna) = +1
Luego no hay punto de equilibrio. En estos casos se recurre a Estrategias
Aleatorias:
Sea
X1 = probabilidad que J1 saque 1 bandera
X2 = probabilidad que J1 saque 2 banderas
Y 1 = probabilidad que J2 saque 1 bandera
Y 2 = probabilidad que J2 saque 2 banderas
Obviamente X1 + X2 = 1, anáogamente Y 1 + Y 2 = 1.
Estrategia Mixta: Si X1 + X2 = 1
Estrategia Pura: Si existe X1 = 1
Ganancia esperada del jugador J1 si el jugador J2 saca 1 bandera:
(+1) X1 + (+1)X2�-X1 + (1 -X1) = 1 -2 X1
Ganancia esperada del jugador J1 si el jugador J2 saca 2 banderas:
(+1) X1 + (-1) X2=X1 -(1 -X1) = 2 X1 - 1
X1 = 1/2 , X2 = 1/2 , el jugador J1 se asegura un piso, es
decir, ganar_a siempre al menos 0.5
Siguiendo el mismo procedimiento para J2, observamos que con una estrategia
103
Y 1 = 1/2 , Y 2 = 1/2 , el jugador J2 se asegura un techo, es decir, su
pérdida esperada no excederá a 0.5
Observación: Si J1 parte con su estrategia óptima, el jugador J2 puede
tener una estrategia que reduce el retorno esperado de J1, y si el jugador
J2 parte con su estrategia óptima el jugador J1 puede tener una estrategia
que aumente su retorno esperado sobre el valor del juego.
POR LO QUE EL JUGADOR TRATARÁ QUE LO MÍNIMO QUE PUEDA GANAR SEA LO MÁXIMO
POSIBLE INDEPENDIENTE DE LO QUE HAGA SU CONTRICANTE.
El jugador que debe contestar a la jugada del jugador inicial, contestara de tal manera que
lo que tenga que perder sea lo mínimo independiente de lo que haga el jugador que inicio la
partida.
En los juegos de suma cero diremos entonces que lo máximo que puede asegurarse el
jugador A no puede superar a lo que el jugador B esta dispuesto a perder
Se llama Valor del juego a lo que cada jugador esta dispuesto a ganar o perder, y si el juego
es de suma cero este valor debe ser igual para A que para B , punto de equilibrio de
Nash.
En otras palabras el valor del juego para A será Maxmin y el del jugador B el Mínimax, por
ser un juego de suma cero ambos deben ser iguales:
VALOR DEL JUEGO DE A = VALOR DEL JUEGO DE B = MAXMIN= MÍNIMAX
Ejemplo :
104
B1
B2
B3
MIN
A1
-4
2O
2
-4
A2
6
6
6
6
A3
-3
-1
1
-3
MAX
6
20
6
6MAXMIN=MINIMAX
Una estrategia pura entre los pares (i. j) se encuentra en equilibrio si y solo si el
elemento correspondiente Tij es el mayor en su columna y el menor en su fila.
Este tipo de elemento es llamado un punto de silla (por la analogía con la
superficie de una silla).
Una estrategia - dentro de la Teoría de Juegos - es la descripción completa de una forma
determinada de jugar, dependiente de lo que hacen los demás jugadores y de la duración del
juego.
Cuando coinciden el maximin y el minimax se dice que el resultado es un punto de silla. Si un juego tiene un
punto de silla, este punto es la solución del juego, es decir, el resultado esperado de jugar racionalmente ya
que un participante que se separa de su estrategia óptima sólo lo hace en su propio perjuicio y para beneficio
de la otra parte.
La selección de estrategias es así un resultado obvio. No es solamente el resultado «justo», recomendado
por la teoría cíe juegos, sino un equilibrio real obtenido forzosamente a partir de los intereses propios de los
jugadores y de sus elecciones lógicas simultaneas de estrategias por parte de cada jugador.
El principio minimax establece que siempre existe una solución racional para un conflicto, definido con
exactitud entre dos personas cuyos intereses son totalmente opuestos. Y es una solución racional en el sentido
en que ambos participantes pueden convencerse a sí mismos de que no podrían hacer nada mejor; dada la
propia naturaleza del conflicto.
Una solución racional no es necesariamente la que hace feliz a todos.
Ejemplo d e juego con punto d e ensilladura :
105
Mínimo
-3
2
5
5
Máximo
-2
6
0
2
-2
-4
0
6
Valor minimax
-3
0 Valor maximin
-4
Un caso especial de estrategias puras :
ESTRATEGIAS MIXTAS
Cuando no existe un punto de silla, se debe elegir una estrategia aleatoria. Esta es la idea
detrás de una estrategia mixta. Una estrategia mixta para un jugador esta definida como la
distribución de probabilidad sobre el conjunto de todas las estrategias. Veamos el siguiente
ejemplo :
B1
B2
Minimo
A1
5
4
4
A2
3
6
3
Maximo
5
6
Maxmin = 4 y Mínimax= 5 , por lo que el juego no está determinado , diremos que el valor
del juego estará comprendido entre 4 y 5.
En realidad debemos buscar el punto de equilibrio que se encontrara en que el jugador A
tantas veces A1, tantas veces A2 y el jugador B tantas veces B1 y tantas veces B2 , por lo
que asociamos a cada alternativa una probabilidad, utilizamos Pi para las alternativas de A y
qi para las del jugador B , así p1 será la cantidad de veces que el jugador a deberá jugar la
alternativa 1 y p2 la cantidad de veces que deberá jugar la alternativa 2 y viceversa hará las
probalidades qi y el jugador B.
Si son dos estrategias nada mas podemos llamar p ala probabilidad de una de las
alternativas y ( 1-p) ala otra probabilidad de la otra alternativa ya que son complementarias
En el punto de equilibrio todos los valores del juego son iguales por lo tanto : la ganancia esperada por a si B
juega la alternativa B1 será: GEAB1=5p+3(1-p)=2p+3 y si B juega la alternatina B2 GEAB2=4p+6(1-p)=-2p+6
, en el punto de equilibrio esos valores son igules por lo tanto : 2p+3=-2p+6 , 4p=3 lo que impmlica que P es
igual a 0.75
Por lo que el jugador A jugara un 75% veces la alternativa A1 y un 25% veces la Alternativa A2
6
5
Valor del
juego 4.5
4
3
SUBESPACIO DE
LOS MAXMIN
106
1
0
0 .75
1
El valor del juego será por lo tanto VA= 4. 0.75+ 6 . 0.25= 4.50 verifique que en cualquiera
de las ecuaciones el valor del juego es el mismo, punto de Nash o punto de equilibrio
El mismo razonamiento puede emplearse para el jugador B GEBA1=5q + 4 ( 1- q) =q+4
Y GEBA2=3q+6(1-q) =-3q+6
por lo que en el punto del equilibrio será q+4=-3q+6 por
lo tanto q=0.5 , por lo el jugador B juega la misma cantidad de veces una alternativa y la
otra.
Observemos que los dos valores del juego son idénticos VA=VB=4.5 , Von Neumann
demostró el llamado Teorema fundamental de la Teoría de Juegos : si u juego no tiene
Mínimax=Maxmin , existe siempre un par de estrategias mixtas que permiten obtener un
punto de equilibrio, en otras palabras que si u jugador adopta una estrategia óptima mixta ,
el otro jugador debe elegir su correspondiente estrategia mixta óptima.
El punto de equilibrio de Nash es una situación en la que ninguno de los jugadores siente la
tentación de cambiar de estrategia ya que cualquier cambio implicaría una disminución en
sus pagos
ESTRATEGIAS DOMINANTES
Si existe una estrategia que indistinto de las otras siempre aporta mayor beneficio a un
jugador, esta estrategia domina al resto y sin duda debe ser escogida y eliminadas las otras
que se las llama dominadas.
En una matriz de pagos una fila tiene todos su valores menores a otra es domina por esta, y
debe ser suprimida , ya que el jugador maximizante jugará siempre aquella que la otorga
mayor rédito.
Si existen una columna cuyos valores son superiores a otra, esta es dominada por otra pues
el jugador minimizante jugará siempre al mínimo pago.
A1
A2
A3
B1
3
6
5
B2
4
5
2
B3
3
5
3
A3 es dominada por A2 ya que cada celda de A3 es mayor que la de A2 por lo tanto nunca
escogerá esta, lo que se puede suprimir
B1 es dominada por B3 pues el jugador B siempre jugara esta ultima que tiene menos
perdidas para cada alternativa de su contrincante.
Por lo que nuestra matriz queda determinada por:
A1
A2
B2
4
5
B3
3
5
3
5
107
5
5
5
El juego entonces queda determinado pues A Jugara siempre la alternativa A2 , que domina
a la alternativa A1 y B jugara siempre la alternativa B3 que domina a la alternativa B2,
siendo el valor del juego 5, es decir A gana cinco y B pierde 5
El juego queda subsumido a la matriz:
Alternativa A2
Alternativa B3
5
Un Problema de selección en una campaña política
Dos políticos (contendientes entre si) se postularon para la intendencia . En este momento ellos están
haciendo su plan de campaña para los dos últimos días anteriores a las elecciones. Por esto ambos quieren
emplearlos para hacer campaña en dos localidades importantes: Banfield y Temperley. Para evitar perdidas
de tiempo, están planeando viajar de noche y pasar un día completo en cada localidad o dos días en sólo una
de las localidades. Cada político tiene un jefe de campaña en cada localidad para asesorarlo en cuanto al
impacto que tendrá (en términos de votos ganados o perdidos) las distintas combinaciones posibles de los días
dedicados a cada ciudad por ellos o por sus oponentes. Ellos quieren emplear esta información para
escoger su mejor estrategia para estos dos días.
FORMULACION: Para formular este problema como un juego de dos personas y suma cero, se deben
identificar los dos jugadores (los dos políticos), las estrategias de cada jugador y la matriz de pagos. Según la
forma en que se estableció el problema, cada jugador tiene tres estrategias:
Estrategia 1 = pasar un día en cada ciudad
Estrategia 2 = pasar ambos días en Banfield
Estrategia 3 = pasar pasar ambos días en Temperley
Por el contrario, las estrategias serían más complicadas en una situación diferente en la que cada político
pudiera saber en dónde pasará su oponente el primer día antes de concluir sus propios planes para el segundo
día. En ese caso, una estrategia normal sería: pasar el primer día en Banfield ; si el oponente también pasa el
primer día en Banfield , entonces quedarse el segundo día ahí; sin embargo, si el oponente pasa el primer día
en Temperley, entonces pasar el segundo día en dicho lugar. Habría ocho estrategias de este tipo, una para
cada combinación de las dos posibilidades para el primer día, las dos para el primer día del oponente y las dos
alternativas para el segundo día.
Cada elemento de la matriz de pagos para el jugador A representa la utilidad para ese jugador (o la utilidad
negativa para el jugador B) de los resultados obtenidos cuando los dos jugadores emplean estrategias
correspondientes. Desde el punto de vista de los políticos el objetivo es ganar votos y cada voto adicional
(antes de conocer el resultado de las elecciones) tiene el mismo valor para él. Entonces los elementos
apropiados en la matriz de pagos se darán en términos del total neto de votos ganados a su oponente, como
resultado de estos dos días de campaña. A continuación se muestra la matriz de pagos para el problema como
un juego de dos personas y suma cero de la campaña política En unidades de mil votos .
Político B
B1
B2
B3
A1
1
2
4
Político A
A2
1
0
5
A3
0
1
-1
Esta situación es bastante especial, en ella se puede obtener la respuesta con sólo aplicar el concepto de
estrategia dominada para eliminar una serie de estrategias inferiores hasta que quede sólo una para elegir.
Específicamente se puede eliminar una estrategia cuando está dominada por otra, es decir, si existe otra
estrategia que siempre es al menos tan buena como ésta, sin importar lo que hace el oponente.
En principio la matriz de pagos no incluye estrategias dominadas para el jugador B; pero para el jugador A la
estrategia A3 esta dominada por la estrategia A1, ya que tiene pagos más altos . independientemente de los
que haga el jugador B: Al eliminar la estrategia A3, se obtiene la matriz de pagos reducida
1
2
3
108
1
1
2
4
2
1
0
5
Como se supone que ambos jugadores son racionales, también el jugador B puede deducir que el jugador A
sólo dispone de dos estrategias. Entonces, ahora el jugador B tiene una estrategia dominada: la estrategia B3,
que está dominada tanto por la estrategia B1 como por la B2 puesto que siempre tiene menores pérdidas
(pagos al jugador A) esta matriz de pagos reducida (para la estrategia ). Al eliminar esta estrategia se obtiene:
1
2
1
1
2
2
1
0
En este punto la estrategia A2 del jugador A se convierte en dominada por la estrategia A1, ya que esta ultima
es mejor en la columna 2 (2 0) e igual en la columna 1(1 1) si se elimina esta estrategia dominada se llega a
1
2
1
1
2
En general, el pago para el jugador A cuando ambos jugadores juegan de manera óptima recibe el nombre de
valor de juego.
Por lo tanto A siempre juega la Alternativa 1 y espera ganar como mínimo 1000 votos , B debe jugar siempre
B1 esperando perder 1000 votos, juego determinado con valor 1
La Programación lineal y la Teoría de Juegos :
Hay una equivalencia entre la teoría de juegos y la programación lineal, podría sorprendernos debido
a que los problemas de PL envuelven solo un tomador de decisiones, pero se debe notar que con
cada problema de PL, existe un problema asociado al mismo llamado problema dual de PL. La
estrategia óptima para el jugador A es la solución del problema dual del jugador B. El método simplex
de la programación lineal proporciona estrategias óptimas para ambos jugadores.
Un Problema de estrategias de mercado
La productora de gaseosas A lanza una serie de estrategias para adueñarse de un porción del mercado de las aguas
gaseosas de su clásica competidora B , sus estrategias son:
A1: Nueva promoción de pack con una reducción de 10% de precios
A2:Nuevo sabor
A3:Fuerte campaña publicitaria en todos los medios
Se sabe por experiencias similares que en esos casos la competidora responderá con
B1: Nueva promoción de pack con una reducción de precios
B2: Fuerte campaña publicitaria en todos los medios
B3:Nuevo envase mas económico
B4:Centros de promoción gratuita en lugares seleccionados dela ciudad
Con la estadísticas de campañas similares , las actuales de venta , las expectativas para la temporada del mercado se construye por
simulación con software especial tomando u universo superior a las ventas producidas en la temporada la siguiente matriz de pagos
Alternativa B1
Alternativa B21
Alternativa B31
Alternativa B41
Alternativa A1
Alternativa A2
Alternativa A3
3
2
6
12
5
4
6
4
9
Se aplica el criterio de los minmax y maxmin
Alternativa B1
Alternativa B21
Alternativa B31
Alternativa A1
3
12
6
Alternativa A2
2
5
4
Alternativa A3
6
4
9
6
12
9
No es juego determinado para A elimino A2 dominada por A1 y
para B elimino B2 y B3 dominadas por B1y B4
Eliminamos alternativas dominadas :
3
5
6
3
6
5
5
1
3
Alternativa B41
5
1
3
5
3
1
3
3
3
109
Valor del juego comprendido entre 5 y 3
Lo resolveremos por el modelo de programación lineal :
3X1+6X2>=1
5X1+3X2>=1
Z=X1+X2 Min
Dual
3Y1+5Y2<=1
6Y1+3Y2<=1
Z=Y1+Y2 Max
Ck
Yk
Bk
Y1
0
Y3
1
3
0
Y4
1
6
Zj
0
0
Zj-Cj
-1
Ck
0
1
Zj
Zj-Cj
Yk
Y3
Y1
Bk
1/2
1/6
1/6
Y1
0
1
1
0
Ck
1
1
Zj
Zj-Cj
Yk
Y2
Y1
Bk
1/7
2/21
5/21
Y1
0
1
1
0
Y2
5
3
0
-1
Y3
1
0
0
0
Y4
1
0
0
0
Y2
7/2
1/2
1/2
-1 /2
Y3
1
0
0
0
Y4
-1/2
1/6
1/6
1/6
Y2
1
0
1
0
Y3
2/7
-1/7
1/7
1/7
Y4
-1/7
5/21
2/21
2/21
Solución Y1=1/7 Y2=2/21
X1= 1/7 X2= 2/21
Valor del juego 1/Zj = 21/5
q1=Y1.V =2/21 . 21/5 = 2/5
q2=1-3/5=3/5
p1=X1.V=1/7 . 21/5= 3/5
p2=1-3/5=2/5
Verificación:
3.2/5+5.3/5=6.2/5+3.3/5=3.2/5+5.3/5=6.2/5+3.3/5=21/5
Solución Final optima: La embotelladora A debe ejecutar 60% d e las veces una nueva promoción de pack
con una reducción de 10% de precios y un 40% un fuerte campaña publicitaria en todos los medios mientras
que su rival un 40% le responderá con nueva promoción de pack con una reducción de precios y un 60% con
centros de promoción gratuita en lugares seleccionados dela ciudad para que A gane un 4,2% del mercado.
Ejemplo
La programación lineal para el problema del jugador B en un juego con una matriz de
beneficios
A1
A2
B1
4
2
B2
1
3
B3
3
4
Solución:
Primal :X1+X2=1 Min
4X1+2X2>=1
X1+3X2>=1
3X1+4X2>=1
110
Y1+Y2+Y3=1 Max
sujeta a:
4y1
+
y2
+
3y3
<=
1
2y1
+
3y2
+
4y3
<=
1
La solución óptima para el jugador B es: y1 = 1/2, y2 = 1/2, y3 = 0. Los precios sombra son
las estrategias óptimas para el jugador A. Por lo tanto, el punto de equilibrio de Nash es: x1
= 1/4, x2 = 3/4; y1 = 1/2, y2 = 1/2, y3 = 0, y el valor del juego es igual a 5/2. Note que la
estrategia esencial para el jugador A son: A1, A2; para el jugador B son B1, B2 mientras B3
no es esencial.
Un Problema de Inversión: Selección de un Portafolio Optimo
El problema es decidir que acción o combinación de ellas se debe tomar dentro de tres cursos
posibles con las tasas de retorno dadas como sigue en la siguiente tabla.
Estados de la Naturaleza (Eventos)
Crecimiento (G)
G Medio
No Cambios
G Bajo
G
MG
N
L
Bonos
12
8
6
3
Acciones
15
7
3
-2
%
Acciones
Depósitos 7
7
7
7
El tomador de decisiones tiene que seleccionar por lo menos y como mucho una opción de
todas las alternativas posibles. Esto ciertamente limita su alcance y su aplicación. Usted ha
aprendido tanto el análisis de decisión como la programación lineal. Ahora es el momento
para utilizar los conceptos de la teoría de juego para conectar estos dos aparentemente
diferentes modelos para ampliar y alcanzar modelos de toma de decisiones mas realistas. El
problema de inversión puede ser formulado como si el inversor esta jugando en contra de la
naturaleza.
Suponga que nuestro inversionista tiene $100,000 para colocarlos en tres inversiones
posibles con valores desconocidos X1, X2, X3, respectivamente. Es decir,
X1 + X2 + X3 = 100000
Note que esta condición es equivalente a la condición de probabilidad total del jugador A en
la Teoría de Juegos.
Bajo estos supuestos, los retornos son:
0,12X1
+ 0,15X2
+ 0,07X3
{Si hay Crecimiento (G)}
0,08X1
+ 0,07YX2
+ 0,07X3
{Si existe un G Medio}
0,06X1
+ 0,03X2
+ 0,07X3
{Si no Ocurren Cambios}
0,03X1
- 0,02X2
+ 0,07X3
{Si el crecimiento es Bajo}
El objetivo es que nuestro rendimiento (retorno) mas bajo (k) sea los mas grande posible.
Formulando este problema de Análisis de Decisión como un problema de Programación
Lineal obtenemos:
Max k
sujeta a:
X1
+ X2
+ X3
= 100000
0,12X1 + 0,15X2 + 0,07 X3 >= K
0,08X1 + 0,07X2 + 0,07X3 >= K
0,06X1 + 0,03X2 + 0,07X3 >= K
0,03X1 - 0,02X2 + 0,07X3 >= K
y X1, X2, X3 >=0
111
Esta formulación de programación lineal es similar al problema discutido en la sección de
Teoría de Juego. De hecho, la interpretación de este problema es que, en esta situación, el
inversionista esta jugando en contra de la naturaleza (los estados de la economía.)
Resolviendo este problema por cualquier solución algorítmica de programación lineal, la
solución óptima es X1 = 0, X2 = 0, X3 = 100.000, y k = $7000.( VERIFÍQUELO y analícelo
junto a su equipo de estudios, compare la soluciones).
Esto significa que el inversionista debería colocar todo el dinero en el mercado de depósitos
con un retorno acumulado de 100.000 * 1,07 = $107.000.
Note que la matriz de beneficios para este problema tiene un punto de silla; por
lo tanto, como se esperaba, la solución óptima es una estrategia pura.
EL DUOPOLIO DE AUGUSTIN COURNOT
Generalidades del modelo matemático de duopolio de Cournot
Éste es un modelo de acciones y reacciones. Se trata de un juego secuencial. Luego de infinitos movimientos,
se producirá un punto solución, es decir, una combinación de opciones de A y de B, así como los pagos que
obtendrá cada jugador.
Sea un mercado de agua. El agua proviene de un manantial. Los derechos de explotación del manantial
pertenecen a dos empresarios, A y B. El costo medio de producir una unidad de agua es cero. El costo
marginal también es cero. Existe un mercado de agua, y la demanda de este mercado tiene la forma:
X=1-p
La cantidad máxima deseada de agua es 1 (puede ser un decámetro cúbico, por ejemplo). La siguiente
expresión es equivalente:
p=1-X
Acción del monopolista
En un primer momento, el empresario A es un monopolista, y es el único que vende agua en el mercado. El
ingreso monetario total de este empresario responde a la fórmula:
IN = pXA = (1 - XA)XA = XA - XA2
El ingreso marginal del empresario será INMg = 1 - 2XA. Los pagos de cada productor son netos, y toman la
forma de beneficios. La optimización de los beneficios de cada empresario se logrará cuando su ingreso
marginal sea igual a su costo marginal. Para el caso de A:
1 - 2XA = 0
XA = ½
La solución de un monopolio del agua nos dice que el empresario producirá solamente la mitad de la cantidad
deseada total de agua. Cobrará un precio unitario de p = ½.
Reacción de la compañía rival
La empresa B observa que queda la mitad del mercado total por satisfacer. La demanda percibida por B es:
p = ½ - XB
El cálculo de optimización llevará a B a igualar su ingreso marginal y su costo marginal. Dado que su ingreso
total es:
112
IN = pXB = (½ - XB)XB = XB/2 - XB2
Entonces, su ingreso marginal será INMg = ½ - 2XB. Al igualar ingreso marginal y costo marginal, tendrá:
½ - 2XB = 0
XB = ¼
B cobrará un precio de p = ¼. Naturalmente, ya que este precio es inferior al que estableció A, éste deberá
evaluar su situación. También deberá bajar su precio de venta a un nivel inferior a ¼.
Evaluación de la situación de A
Inicialmente, A vendía ½ de agua. Luego entró B a vender ¼ de agua, pero eso debe cambiar la estrategia de
A, que ahora percibirá la siguiente demanda:
p = ¾ - XA
Como se ve, el movimiento de B cambió la visión estratégica de A. La nueva estrategia de A será ofrecer un X A
que respete la condición:
¾ - 2XA = 0
XA = 3/8
El nuevo precio de venta que puede establecer A es p = 3/8.
Evaluación de la situación de B
Si A ofrece 3/8, entonces B percibe una demanda como:
p = 5/8 - XB
El movimiento de A cambió la visión estratégica de B. La nueva estrategia de B será ofrecer un XB que respete
la condición:
5/8 - 2XB = 0
XB = 5/16
Su precio será p = 5/16.
Las series de nivel de producción
En forma gradual, A reduce su oferta de agua al mercado. En forma gradual también, B incrementa su oferta
de agua al mercado. La series de ofertas y precios de A son las siguientes:
SA = {½, 3/8, 11/32...}
PA = {½, 3/8, 11/32...}
El término i-ésimo de la serie de ofertas de agua de A (que es igual al término i-ésimo de su serie de precios)
es:
XAi = (½)(1 - 4-(i-1)(1 + 4 + 42 +...+ 4i-2))
El límite de este serie cuando i tiende a infinito es:
113
XAL = 1/3
Pasa lo mismo con el precio:
pAL = 1/3
Las series de ofertas y precios de B son las siguientes:
SB = {¼ , 5/16, 21/64...}
PB = {¼ , 5/16, 21/64...}
El término i-ésimo de la serie de ofertas de agua de B (que es igual al término i-ésimo de su serie de precios)
es:
XBi = 4-(i-1)(1 + 4 + 42 +...+ 4i-2)
El límite de este serie cuando i tiende a infinito es:
XBL = 1/3
Pasa lo mismo con el precio:
pBL = 1/3
Análisis por curvas de reacción
Este es un método de análisis muy usado en teoría de juegos. La aplicación de este método a nuestro
problema de duopolio de Cournot considera que tanto a como B reaccionan frente a los movimientos del rival.
Ocurren dos cosas:
-B siempre ofrece la mitad de las necesidades de agua no satisfechas por A
-A siempre ofrece la mitad de las necesidades de agua no satisfechas por B
Las curvas de reacción tomarán las formas siguientes:
XB = ½(1 - XA)
XA = ½(1 - XB)
La intersección de ambas curvas de reacción es el punto solución de este mercado. La solución de este
sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas es:
XA = 1/3
XB = 1/3
Conclusiones
Puede verse que los movimientos de A y de B los conducen hacia una solución de mercado inevitable, que
corresponde a la repartición del mercado en partes iguales, dejando una porción importante del mercado sin
satisfacer, con la finalidad de proteger sus precios.
Introducción a los Juegos con transferencia de utilidad
(Juegos cooperativos)
114
Si los jugadores pueden comunicarse entre sí y negociar un acuerdo ANTES de los pagos, la problemática
que surge es completamente diferente. Se trata ahora de analizar la posibilidad de formar una coalición de
parte de los jugadores, de que esa coalición sea estable y de cómo se deben repartir las ganancias entre los
miembros de la coalición para que ninguno de ellos esté interesado en romper la coalición.
Juego 1.- Empecemos con el ejemplo más sencillo. Supongamos que tres
jugadores, Ana, Benito y Carmen, tienen que repartirse entre sí cien
euros. El sistema de reparto tiene que ser adoptado democráticamente,
por mayoría simple, una persona un voto. Hay cuatro posibles coaliciones
vencedoras: ABC, AB, BC y AC, pero hay infinitas formas de repartir los
pagos entre los tres jugadores.
Supongamos que Ana propone un reparto de la forma A=34, B=33 y C=33.
Benito puede proponer un reparto alternativo de la forma A=0, B=50 y C=50
Carmen estará más interesada en la propuesta de Benito que en la de Ana. Pero puede proponer una
alternativa aún mejor para ella: A=34, B=0 y C=66.
A Benito es posible que se le ocurra alguna propuesta mejor para atraer a Ana.
El juego puede continuar indefinidamente. No tiene solución. No hay ninguna coalición estable. Sea cual sea
la propuesta que se haga siempre habrá una propuesta alternativa que mejore los pagos recibidos por cada
jugador de una nueva mayoría.
Definición: En los juegos con transferencia de utilidad se llama solución a una
propuesta de coalición y de reparto de los pagos que garantice estabilidad, es decir,
en la que ninguno de los participantes de una coalición vencedora pueda estar
interesado en romper el acuerdo.
Juego 2.- Modifiquemos ahora el ejemplo. En vez de "un hombre un voto"
consideremos que hay voto ponderado. Ana tiene derecho a seis votos,
Benito a tres y Carmen a uno. Las posibles mayorías son las siguientes:
ABC, AB, AC, A.
En esta situación Ana propondrá un reparto de la siguiente forma: A=100,
B=0 y C=0. Ese reparto se corresponde con una coalición estable en la
que los seis votos de Ana estarán a favor. Es una solución única. Ana no
aceptará ningún reparto en el que ella obtenga menos de 100 euros y sin
la participación de Ana no hay ninguna coalición vencedora.
Definición: Se llama "valor del juego" al pago que un jugador tiene garantizado que
puede recibir de un juego si toma una decisión racional, independientemente de las
decisiones de los demás jugadores. Ningún jugador aceptará formar parte de una
coalición si no recibe como pago al menos el valor del juego.
En el juego 1, el valor del juego es cero para los tres jugadores. En el
juego 2 el valor del juego para Ana es cien y para Benito y Carmen es
cero.
115
Juego 3.- Pongamos un ejemplo algo más realista y, por tanto, un poco
más complejo. Supongamos un municipio en el que cinco partidos
políticos se han presentado a las elecciones: el Partido Austero (PA), el
Partido Benefactor (PB), el Partido Comunal (PC), el Partido Democrático
(PD) y el Partido de la Esperanza (PE). En las elecciones, han obtenido el
siguiente número de concejales:
PA=11
PB=8
PC=5
PD=2
PE=1
Como ningún partido ha conseguido la mayoría absoluta, es necesario
que se forme una coalición para gobernar el municipio. El presupuesto
anual del municipio es de 520 millones de euros. La coalición gobernante
debe asignar los cargos y las responsabilidades del ayuntamiento a los
diferentes partidos. En las negociaciones se debe acordar el reparto del
presupuesto, cargos y responsabilidades entre los partidos. Suponemos
que no hay simpatías ni antipatías ideológicas y que los cargos y
responsabilidades son valorados exclusivamente según el presupuesto
económico que controlan. Supondremos, para simplificar, que hay
disciplina de voto y que no son posibles las traiciones internas
Análisis del juego 3. Como el número total de concejales es 27, la
coalición vencedora debe disponer al menos de 14 votos. A diferencia del
juego 2, no hay ningún jugador imprescindible para ganar. Si utilizamos la
definición que dimos arriba, el valor del juego para todos los jugadores es
cero ya que ninguno tiene garantizada su pertenencia a la coalición
vencedora.
Definición: Se llama "valor de Shapley" a la asignación que recibe cada jugador en
una propuesta de reparto según un criterio de arbitraje diseñado por Lloyd S.
Shapley. El criterio consiste en asignar un pago a cada jugador en proporción al
número de coaliciones potencialmente vencedoras en las que el jugador participa de
forma no redundante.
Un jugador es redundante en una coalición si no es imprescindible para
que esa coalición resulte vencedora.
Propuesta arbitral de Shapley para el juego 3.
Como hay cinco partidos políticos, las posibles coaliciones son 31. De
ellas, 16 son vencedoras. Las coaliciones perdedoras están en rojo. En
las coaliciones vencedoras se han marcado en amarillo los jugadores
redundantes.
116
ABCD
ABC
ABCDE
ABE
ADE
ABCE
ABD
ACE
BDE
ABDE
ACD
BCE
ACDE
BCD
BCDE
AB
BC
CD
AC
BD
CE
AD
BE
CDE
Por tanto:
A no es redundante en 10
coaliciones vencedoras
DE
A
B
C
D
AE
E
B no es redundante en 6
coaliciones vencedoras
C no es redundante en 6
coaliciones vencedoras
D no es redundante en 2
coaliciones vencedoras
E no es redundante en 2
coaliciones vencedoras
Si se formara un "gobierno de concentración", una coalición de todos los
partidos, podríamos repartir el presupuesto de 520 millones de euros en
proporción al valor de Shapley obteniendo los siguientes valores para
cada uno de los partidos:
A= 200; B= 120; C= 120; D= 40; E= 40
Número de representantes
en el Parlamento Europeo
a partir de enero de 2004
En cualquier coalición formada por menos de cinco partidos,
ninguno de los coaligados debería aceptar un presupuesto
Austria
inferior al indicado. Sea cual sea la coalición vencedora que
Alemania
se forme, el presupuesto puede ser repartido conforme al
criterio del valor de Shapley.
Bélgica
Obsérvese que la propuesta de arbitraje de Shapley no
conduce a una solución única ni absolutamente estable.
Sigue habiendo varias soluciones posibles. Pero en
cualquier coalición que se forme, si el reparto se hace
conforme al criterio de Shapley, no habrá una coalición
alternativa más estable que ofrezca a los jugadores un pago
superior.
Juego 4.
17
99
22
Dinamarca
13
España
50
Finlandia
13
Francia
72
Grecia
22
Holanda
25
Irlanda
12
Italia
Ejercicio. En el Tratado de la Unión Europea aprobado en Luxemburgo
Niza en diciembre de 2000 se acordó que a partir del 1 de
Portugal
enero de 2004, el número de representantes de cada país
miembro en el Parlamento Europeo será el fijado en el
Reino Unido
cuadro adjunto. Intente estimar la asignación de un
Suecia
presupuesto de un billón de euros entre todos los países
miembros para que sea aprobado por unanimidad por el Parlamento, de
forma que cada país miembro reciba el valor de Shapley
72
6
22
72
18
Nota del autor del texto, M. Coll.
117
Propuse el ejercicio del juego 4 solo como un ejemplo. En mi ignorancia consideré que su resolución era tan
compleja matemáticamente que nadie intentaría abordarla. Sin embargo parece que hay personas que se
sienten estimuladas por los desafíos y que cuentan con la poderosa ayuda de la informática.
E.A.O. de México, con la ayuda del programa MatLab, ha encontrado la siguiente solución:
Combinaciones
Combinaciones
vencedoras
vencedoras
de Shapley
Austria
8767
1150
Alemania
12133
7882
Bélgica
8953
1522
Dinamarca
8639
894
España
10103
3822
Finlandia
8639
894
Francia
10863
5342
Grecia
8953
1522
Holanda
9031
1678
Irlanda
8609
834
Italia
10863
5342
Luxemburgo
8379
374
Portugal
8953
1522
Reino Unido
10863
5342
Suecia
8803
1222
Para el país
Parte del
que corresponde
presupuesto
al país
29.231
Austria
200.346
Alemania
38.686
Bélgica
22.724
Dinamarca
97.148
España
22.724
Finlandia
135.784
Francia
38.686
Grecia
42.652
Holanda
21.199
Irlanda
135.784
Italia
9.506
Luxemburgo
38.686
Portugal
135.784
Reino Unido
31.061
Suecia
El Problema del Conductor Ecológico:
Si usted no usa el dispositivo, pero los otros si lo hacen, usted se beneficia de mejor aire sin pagar por él: en
este caso Ud. obtiene una utilidad de 4 (o 4 veces mayor que la menor utilidad a obtener).
Si usted usa el dispositivo mientras los otros no lo hacen, usted obtendrá la utilidad más pequeña de todas,
igual a 1.
Si TODOS lo usan, todos se benefician obteniendo la mayor utilidad secundaria, igual a 3.
Si NADIE lo usa, ninguno se beneficia obteniendo la segunda utilidad mas pequeña, igual a 2.
Otros
Usan
No
Usan
Usa
3
1
No Usa
4
2
Ud.
118
El Juego del Gallina:
El nombre de GALLINA dice relación con un tipo de desafío en la que dos individuos manejan cada uno en
frente del otro y con un par de ruedas en la línea de la mitad del camino. El individuo que vira del curso de la
colisión "ES UN GALLINA....".
Este tipo de situación es altamente representativa del pensamiento de "yo no me dejo...." y refleja una alta
posibilidad de que se de un escalamiento del conflicto
Suponga los siguientes puntajes:
Sin daño: 0 .............. Con daño: -5
¿Cómo se darían las posibilidades?
A
Cede
No
Cede
Cede
0,0
-5,0
No Cede
0.-5
-5,-5
B
Juego de la bicicleta
A tiene una bicicleta pero no tiene máquina de juegos que desea. Una persona ha ofrecido comprarle su
bicicleta por $ 20.000. B no tiene ninguna bicicleta, y desea tener una. Un amigo le ha ofrecido una por $
45.000. Las estrategias disponibles para A y B son dar o guardar. Es decir, A puede darle su bicicleta a B o
puede guardarla, y B puede darle su dinero a B o puede guardarlo. Esto es lo que se denomina "intercambio"
A
B
Da
Guarda
Da
1,1
1,0
Guarda
0,1
0,0
Si se piensa en un juego no-cooperativo, este juego se parece mucho al Dilema del Prisionero. Guardar es
una estrategia dominante y guarda-guarda es el equilibrio de la estrategia dominante, en la cual nadie da y los
dos pierden. Siendo niños pueden desconfiar entre si y pueden llegar a no hacer el intercambio.
Pero las sociedades de mercado tienen un rango de instituciones que les permiten a los adultos
comprometerse mutuamente en transacciones beneficiosas. Así, se podría esperar una solución cooperativa,
que estaría en la esquina superior izquierda.
¿Cuál sería el precio adecuado para que el intercambio fuera beneficioso para ambos?
119
La mitad de la diferencia entre los dos precios de referencia de cada uno de ellos, o lo que es lo mismo de la
MAAN de cada uno, ya que cada peso sobre 20.000 es una ganancia para A, y cada peso por debajo de
45.000 es una ganancia para B. Así el precio mas conveniente para ambos, es de $ 32.500.
Las soluciones de tipo cooperativo no son raras en una sociedad de mercado. Al contrario, ¡Ellas son la razón
de ser de un sistema de mercado!.
La Coqueta y el embaucador
La Sra. Coqueta está en un problema. Ella es la dueña del Diamante más Grande del Mundo y la ha llamado
el Sr. Embaucador dispuesto a comprarlo por una cantidad de dinero mayor que lo que cualquier persona
ofrecería.
La Sra. Coqueta sabe que el Sr. Embaucador no es Embaucador , sino que es un muy buen negociante que
en otras oportunidades similares ha ofrecido mucho dinero por lo que quiere y una vez hecho el trato ha
tomado el objeto y su dinero y se ha desaparecido.
Pero.... es tan atractivo el precio que ofrece.......
Entonces a la Sra. Coqueta se le ha ocurrido una idea genial:
Ella dejará el Diamante más Grande del Mundo en un lugar que sólo ella conoce. A su vez el Sr. Embaucador
dejará la Mayor cantidad de Dinero que nunca nadie le ha ofrecido en otro lugar que sólo él conoce. Una vez
hayan hecho esto se comunicarán por teléfono los respectivos lugares y cada uno podrá ir a buscar lo que
pretende.
Al plantearle esta propuesta al Sr. Embaucador , éste aceptó encantado...., de hecho estaba extrañamente
contento con la idea...., tanto que la Sra. Coqueta comenzó a pensar si no habría algún truco escondido.
Y comenzó a pensar que el Sr. Embaucador probablemente pretendía NO DEJAR el dinero y, SI TOMAR el
Diamante más Grande del Mundo....., pero inmediatamente cayó en cuenta que también ella podría NO
DEJAR el Diamante y SI TOMAR el Dinero....
¿Cuáles son las posibles estrategias que podrían aplicar el Sr. Embaucador y la Sra. Coqueta ?,
Expreselas acudiendo a la siguiente sencilla regla: Quién obtiene lo que desea gana 1 (un) punto; Quién no
obtiene lo que desea gana 0 (cero) puntos.
Sra. Coqueta
Deja
No
Deja
Deja
Sr. Embaucador
No Deja
Las posibles estrategias que podrían aplicar el Sr. Embaucador y la Sra. Coqueta son las siguientes:
Sra. Coqueta
Sr. Embaucador
Deja
Deja
No
Deja
(1,1)
(0,1)
120
No Deja
(1,0)
(0,0)
Si ambos deciden dejar lo que les corresponde, ambos ganan y el resultado es igual a (1,1).
Si ninguno decide dejar los que le corresponde, ambos se frustran en su deseo, pero.... técnicamente NO
PASA NADA, y el resultado es (0,0). Podrían intentar nuevamente, buscar otras alternativas, etc.
Pero, si uno deja y el otro no, el resultado puede ser (1,0) o (0,1) que significa que uno de los dos SALE
PERJUDICADO.
El proceder adecuado para la Sra. Coqueta o el Sr. Embaucador dependerá del tipo de relación que sean
capaces de crear entre ambos. Si es de confianza mutua, ambos saldrán gananciosos. Si es de
confrontación o de sacar el máximo provecho del otro, uno de los dos perderá. Si es de desconfianza,
ambos podrían salvarse, optando por no hacer nada momentaneamente
LOS HACEDORES
Historia de la Teoría de Juegos
La teoría de juegos como tal fue creada por el matemático húngaro John Von Neumann (1903-1957) y por
Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su libro “The Theory of Games Behavior”.
Anteriormente los economistas Cournot y Edgeworth habían anticipado ya ciertas ideas, a las que se sumaron
otras posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos (1913) muestra que juegos
como el ajedrez son resolubles. Sin embargo, no fue hasta la aparición del libro de Von Neumann y
Morgenstern cuando se comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las relaciones
humanas.
Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos. El
primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento
requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer
durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima.
En la segunda parte de su libro, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el
planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta
óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más
121
difícil, sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de
suma cero y dos jugadores.
En los años 50 hubo un desarrollo importante de estas ideas en Princeton, con Luce
and Raiffa (1957), difundiendo los resultados en su libro introductoria, Kuhn (1953)
que permitió establecer una forma de atacar los juegos cooperativos, y por fin Nash
(1950) quien definió el equilibrio que lleva su nombre, lo que permitió extender la
teoría de juegos no-cooperativos más generales que los de suma cero. Durante esa
época, el Departamento de Defensa de los EE.UU. fue el que financió las
investigaciones en el tema, debido a que la mayor parte de las aplicaciones de los
juegos de tipo suma-cero se concentraban en temas de estrategia militar.
John Forbes Nash (1928- ) es el nombre más destacado
relacionado con la teoría de juegos. A los 21 años
escribió una tesina de menos de treinta páginas en la
que expuso por primera vez su solución para juegos
estratégicos no cooperativos, lo que desde entonces se
llamó "el equilibrio de Nash", que tuvo un inmediato
reconocimiento entre todos los especialistas.
El punto de equilibrio de Nash es una situación en la que ninguno
de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia ya que cualquier cambio
implicaría una disminución en sus pagos. Von Neumann y Oskar Morgenstern habían
ya ofrecido una solución similar pero sólo para los juegos de suma cero. Para la
solución formal del problema, Nash utilizó funciones de mejor respuesta y el teorema
del punto fijo de los matemáticos Brouwer y Kakutani. En los años siguientes publicó
nuevos escritos con originales soluciones para algunos problemas matemáticos y de la
teoría de juegos, destacando la "solución de regateo de Nash" para juegos
bipersonales cooperativos. Propuso también lo que se ha dado en llamar "el programa
de Nash" para la reducción de todos los juegos cooperativos a un marco no
cooperativo. A los veintinueve años se le diagnosticó una esquizofrenia paranoica que
lo dejó prácticamente marginado de la sociedad e inútil para el trabajo científico
durante dos décadas. Pasado ese lapsus, en los años setenta, recuperó su salud
mental y pudo volver a la docencia y la investigación con nuevas geniales
aportaciones, consiguiendo en 1994 el Premio Nóbel de Economía compartido con John
C. Harsanyi y Reinhart Selten por sus pioneros análisis del equilibrio en la teoría de los
juegos no cooperativos.
En los 60 y 70 Harsany (1967) extendió la teoría de juegos de información incompleta,
es decir, aquellos en que los jugadores no conocen todas las características del juego:
por ejemplo, no saben lo que obtienen los otros jugadores como recompensa. Ante la
multiplicidad de equilibrios de Nash, muchos de los cuales no eran soluciones
razonables a juegos, Selten (1975) definió el concepto de equilibrio perfecto en el
subjuego para juegos de información completa y una generalización para el caso de
juegos de información imperfecta.
La última aportación importante a la teoría de juegos es de Robert J. Aumann y
Thomas C. Schelling, por la que han obtenido el premio Nóbel de economía en el año
122
2005. En The Strategy of Conflict , Schelling, aplica la teoría del juego a las ciencias
sociales. Sus estudios explican de qué forma un partido puede sacar provecho del
empeoramiento de sus propias opciones de decisión y cómo la capacidad de represalia
puede ser más útil que la habilidad para resistir un ataque
Aumann fue pionero en realizar un amplio análisis formal de los juegos con sucesos
repetidos. La teoría de los juegos repetidos es útil para entender los requisitos para
una cooperación eficiente y explica por qué es más difícil la cooperación cuando hay
muchos participantes y cuándo hay más probabilidad de que se rompa la interacción.
La profundización en estos asuntos ayuda a explicar algunos conflictos, como la guerra
de precios y las guerras comerciales.
GUIA DE TRABAJOS PRACTICOS
11)) EEssttaabblleecceerr ccuuaalleess ddee llooss ssiigguuiieenntteess jjuueeggooss ssoonn ccoonn ppuunnttoo ddee eennssiillllaadduurraa..
IInnddiiccaarr eenn ttooddooss llooss ccaassooss eell vvaalloorr ddeell jjuueeggoo ppaarraa llooss ccoom
mppeettiiddoorreess yy ssuuss eessttrraatteeggiiaass
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B
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1122
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A
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88
1111
1177
A
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1155
1122
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126
INTRODUCCIÓN:
La necesidad de contar con las provisiones adecuadas en cantidad, oportunidad y
economicidad, para lograr determinados objetivos, abarca un rango que se extiende desde las
elementales de la vida doméstica hasta las más importantes, que se manifiestan en las grandes y
complejas organizaciones de la industria y el comercio.
Nadie ignora actualmente los complejos problemas que ocasiona el abastecimiento de
materiales. Estos comienzan con los trámites de compra, períodos de provisión, transporte, etc., y
tienen generalmente un común denominador, que es el factor económico.
Modelos deterministas :
- Sus parámetros básicos permanecen constantes a lo largo del tiempo T.
Hipótesis de partida:
- Demanda conocida y continua en el tiempo.
- El plazo de entrega es constante o nulo.
- Costos de adquisición de cada pedido CA constantes, expresados en unidades monetarias
/pedido.
- Costos de almacenamiento o de posesión del almacenaje Cp constantes. expresados en
unidades monetarias.
Necesidad de control de Stocks:
Es evidente que en cualquiera de los casos analizados, sería deseable disponer siempre de
grandes cantidades de los artículos que se emplearán. Tal política evitaría tener que efectuar su
compra con una mayor frecuencia y con los gastos correspondientes, y lo que es peor, correr el
riesgo de no contar con ellos cuando se los necesita.
Sin embargo, ésto no es posible, por varias razones:
En primer lugar haría falta una gran disponibilidad de capital para poder mantener un stock
considerable de artículos. Dado que la variedad de éstos es generalmente grande y siendo el capital
limitado, se genera una restricción que ocasiona que las compras se efectúen en forma escalonada,
a lo largo de un período dado.
Además el hecho de tener inmovilizado ese capital en stock, inhibe para disponer de dinero
para otras compras o inversiones y lleva implícito un costo financiero.
127
Desde otro punto de vista, hay que tener en cuenta que cuando mayor sea el stock, mayor
será el espacio necesario para almacenarlo, restricción ésta muy importante, sobre todo en aquellas
industrias del tipo de montaje, que insumen gran variedad y cantidad de artículos, algunos de ellos
de volumen considerable.
A las restricciones analizadas se podría agregar la obsolescencia del material, su deterioro
con el tiempo, y los gastos correspondientes en seguros, vigilancia, movimientos, etc.
En resumen, las ventajas y desventajas de la posesión de grandes inventarios pueden
sintetizarse así:
Ventajas:
- Disponibilidad de artículos siempre que se los necesite.
- Costo menor de adquisición no solo por hacerlo en cantidad, sino también por los gastos
indirectos que ocasiona el acto de comprar.
Desventajas
- Gran cantidad de capital inmovilizado y de hecho, escasez del propio capital para efectuar
otras inversiones.
- Necesidad de contar con amplios locales para almacenamiento.
- Deterioro del material.
- Costo elevado de mantenimiento de stock. (éste costo de mantenimiento se manifiesta
como interés del capital inmovilizado en stocks, más gastos de seguros, vigilancia,
transportes internos, etc).
- Obsolescencia. Al respecto es frecuente el hecho de cambiar una línea dada de producción
por problemas de mercado, por ejemplo, o dar de baja una máquina que ya ha cumplido su
vida útil y poseer en stock elementos nuevos que es necesario mal vender o rematar.
Se advierte en consecuencia, que las desventajas superan a las ventajas. Sin embargo, cómo
se cuantifica esa diferencia?. Es decir, cómo se efectúa el balance económico que permita conocer
cuánto y cuándo se debe comprar?.
Probablemente se podría incorporar como ventaja la circunstancia que en épocas de inflación,
es preferible comprar y acumular mercadería, dado que luego su reposición es más costosa.
Evidentemente resulta difícil poder desmentir ésta política. Por otro lado es necesario tener en
cuenta, para su análisis, muchos factores de tipo socioeconómico, tendencia inflacionaria, variación
del tipo de cambio, etc., que también son difíciles de precisar.
En general, se estima que no es conveniente la adquisición de mercadería teniendo en cuenta
la inflación, entre otros motivos, por el hecho de disminuir la tasa o índice de rotación de
inventarios.
El control de stocks puede definirse como un sistema de obtención, suministro y
almacenamiento de materiales, de manera tal de lograr un abastecimiento eficiente en cantidad y
tiempo, de acuerdo con las necesidades de producción y haciéndolo al menor costo posible.
Naturaleza y Análisis de los Problemas de Inventarios
Un inventario consiste en recursos utilizables, pero que están ociosos. Estos recursos
pueden ser de cualquier tipo, por ejemplo: hombres, materiales, máquinas o dinero. Cuando dichos
recursos son materiales, o productos en cualquier etapa de terminado, el inventario generalmente
se menciona como “ Existencias de almacén ” o depósito.
Existe un problema de inventario si el volumen de recursos está sujeto a control y si hay,
cuanto menos, un costo que disminuya al aumentar el inventario.
128
Normalmente, el objetivo es minimizar el costo total (real o esperado). Sin embargo, si el
inventario afecta la demanda (el volumen solicitado por los clientes o usuarios), el objetivo puede
ser maximizar utilidades (reales o esperadas).
Pero cabe señalar que aún partiendo de esa premisa, el modo de encarar el problema es
muy distinto según sea la naturaleza de la demanda, vale decir, según ésta permanezca
completamente determinada, o sea de carácter aleatorio.
Las variables que se pueden controlar, separadamente o en combinación, son las siguientes:
1- La cantidad adquirida (por compra, producción o algún otro medio), o sea, cuánto. Esto se
puede fijar para cada tipo de recursos en forma separada o para todos colectivamente, por
ejemplo, la compra o el nivel de producción, o ambos. Las decisiones acerca del número de
puntos de almacenamiento también afectan el volumen de existencias.
2- La frecuencia o tiempo de abastecimiento, es decir, que tan a menudo o cuándo. El
tomador de decisiones puede tener control sobre ambos o solamente uno de éstos tipos de
variables controlables. Por ejemplo, en un almacén típico los administradores generalmente
pueden controlar tanto la cantidad como la frecuencia de la producción.
3- La etapa de terminado de los artículos almacenados. Mientras más avanzado es el grado de
acabado de los artículos que se mantienen en inventario, menor es la demora en el
suministro a los clientes, pero mayor es el costo de almacenamiento. Cuanto menos
terminados estén los artículos (en el otro extremo, materias primas), más tiempo tomará
cumplir con los pedidos, pero el costo de mantener las existencias será menor.
Además, los errores de pronóstico para artículos en existencia, tienden a incrementarse
mientras más acabados estén éstos, por lo tanto el factor de seguridad que se necesita
para protegerse de la incertidumbre será mayor. Finalmente, el número de artículos
diferentes que se deben almacenar, normalmente crece muy rápido con los avances en el
grado de terminado de los artículos almacenados.
La mayor parte de la teoría de inventarios ha tratado solamente los dos primeros tipos de variables
controlables, de aquí que en estos se haga más énfasis.
En los problemas de inventarios las variables no controlables se dividen en variables de costo
y otras. Las variables principales de cada tipo son las siguientes:
2- Costos de mantenimiento o posesión de inventario: Costos que se incrementan en
proporción directa al crecimiento del inventario y al tiempo que permanecerán almacenados
los artículos. El componente más obvio es el costo del capital invertido. Este es un cargo
que se refiere al interés, y a menudo necesita una investigación cuidadosa. La proporción
adecuada depende principalmente de otra utilización que se le puede dar al dinero, ésto es,
atarlo al inventario. La selección de esta proporción generalmente es un asunto que
decidirá la administración financiera.
Además de los costos de capital debemos considerar los del mantenimiento de archivos y los
cargos administrativos. Las existencias son poco útiles, a menos que sepamos si el artículo
requerido está o no en ellas. Otros componentes importantes del costo de mantenimiento o
posesión del inventario son:
a) costos de manejo: incluyen los costos de la labor de mover las existencias, grúas,
armazones para soportar barriles, por ejemplo. Montacargas y otros equipos usados para
éste propósito.
b) Costos de almacenamiento: renta del local o interés y depreciación de nuestro propio local.
c) Seguros e impuestos.
129
d) Costos de depreciación, deterioro y obsolescencia: éstos son particularmente importantes
para artículos antiguos, perecederos o que cambian químicamente durante el
almacenamiento, tales como alimentos.
Todos los costos requieren investigación pero con la posible excepción de los artículos
usados, las drogas, y los alimentos con vida limitada. El costo total de mantenimiento del inventario
debe variar entre el 1 al 2 por ciento del capital total invertido por mes. Sin embargo, el costo de
almacenamiento puede depender del volumen de espacio existente y no del que se esté usando:
de aquí que puede ser constante.
2. Costos de déficit o multas: Costos que surgen cuando algún artículo que se demanda no
se tiene en existencia. Un déficit puede no ocurrir si es posible tomar medidas de emergencia de tal
manera que las entregas se sigan haciendo, o se hagan antes de la fecha que requieren los
clientes. Sin embargo, al tomar tales medidas hay involucrados costos: costos de transporte más
elevados, aumento en los costos de arranque o costos de tiempo extras, costos administrativos o el
costo de romper el programa de producción planeado. También puede existir el costo del equipo de
producción de relevo que se use solamente en una emergencia.
Cuando las fechas de entrega se pasan por alto y ocurren déficit los costos son a menudo
menos tangibles. Para materias primas, artículos semiterminados o refacciones, los costos de déficit
pueden ser aquellos debidos al equipo ocioso o programas interrumpidos. Alternativamente, el
déficit puede dar como resultado la cancelación de pedidos y las pérdidas de ventas que, a su vez,
puede ocasionar pérdida de buen crédito.
Los costos de déficit se presentan en una de dos formas. La primera supone que los costos son
proporcionales tanto al déficit como al tiempo que éste dura. Esto es adecuado cuando el déficit se
puede satisfacer no surtiendo los pedidos de inmediato, pero si antes de la fecha requerida por el
cliente y de esta manera no dar como resultado una pérdida de demanda. Representa la pérdida de
buen crédito o el costo del equipo ocioso. La segunda representación implica un costo fijo cada vez
que ocurre un déficit. Este costo cubre cuando menos la utilidad perdida por pedido y puede incluir
un componente para cubrir las perdidas de crédito.
3. Costos debidos a los cambios en la tasa de producción: Incluyen costos de arranque que
resultan de cambiar la tasa de producción desde cero a un volumen positivo. En el caso de una
compra, implican los costos fijos administrativos de colocar un pedido.
4. Precio de compra o costos de producción directos: El costo unitario por artículo
comprado puede depender de la cantidad que se compre a precios quebrados o a descuentos por
volumen.
5. Demanda: El número de artículos que se requieren por período. Esto no necesariamente
es la cantidad vendida, debido a que una parte de la demanda puede no satisfacerse por déficit o
demoras. Seria la cantidad que se vendería si todo lo que se necesita estuviera disponible.
La demanda puede ser (o se puede suponer que es) conocida con exactitud. Si ésto es cierto, cada
decisión acerca del reaprovisionamiento no tiene impacto sobre los costos que siguen a las
decisiones subsecuentes. Por otro lado, se pueden presentar situaciones en las que la demanda se
conoce solo en forma aleatoria, es decir, sujeta a una distribución de probabilidad. En tales casos,
cada decisión puede tener un impacto sobre las que le siguen.
6. Tiempo de reorden: Es el tiempo que transcurre entre la colocación del pedido y la
llegada del artículo al almacén. Si éste es conocido, no es igual a cero y se conoce la demanda,
todo lo que se necesita hacer es pedir con una anticipación igual al tiempo de reorden. Sin
embargo, si es una variable que se conoce solo en forma aleatoria, la pregunta de cuándo pedir es
mucho más difícil. Si la demanda o el tiempo de reorden se conocen solo probabilísticamente, la
cantidad y el tiempo de reabastecimiento se encuentran considerando costos esperados de
mantenimiento de inventarios y de ruptura sobre el periodo de tiempo de reorden.
130
7. Cantidad entregada: Si se pide una cantidad para compra o producción, la cantidad
entregada puede variar con una función de densidad de probabilidad conocida. Como se puede ver,
el efecto de dicha incertidumbre es el mismo que el de la incertidumbre relativa a la demanda o al
tiempo de reorden.
Nota:
Tipos de Stocks:
-
Stock
Stock
Stock
Stock
Stock
EN CURSO (SC): Aquél que ha sido pedido pero no ha llegado aún.
ASIGNADO (SA): Aquél que está en el almacén y ha sido comprado.
FÍSICO (SF): Aquél que está en el almacén.
LOGÍSTICO (SL): Suma del stock físico y del stock en curso.
DISPONIBLE (SD): Aquél que está en el almacén y no ha sido asignado.
SL= SC + SD = SC + SF - SA
El contexto de los problemas de inventario:
Los problemas de inventarios se difunden y surgen en varios contextos. Por ejemplo, si se
mantiene disponible demasiado capital, se pierden ingresos a partir de posibles inversiones del
excedente: es un costo de mantenimiento del stock. Si se tiene disponible demasiado poco, se
tendrá que pedir prestado capital a cierta tasa de interés, es un costo de déficit. Hay también
costos de arranque y cancelación que están asociados con la obtención del préstamo.
Aunque los problemas de inventario pueden surgir en una amplia variedad de contextos, el
área más común es la compra y producción de artículos.
Hasta ahora se han analizado los diversos elementos que intervienen en los problemas de
stock.
Se conoce por un lado, que conviene efectuar pocas compras de un ítem, porque así se
limitan los gastos derivados de las compras, inspecciones, etc.
Por otro lado, se sabe que es beneficioso efectuar un número elevado de adquisiciones,
dado que ello implica menores costos de almacenamiento.
Se plantea entonces una disyuntiva, ya que no se sabe que política adoptar.
Evidentemente, no es razonable emplear ni una, ni otra, sino que lo adecuado es trabajar en un
punto medio, que contemple los factores positivos de ambas políticas, y que por supuesto,
suministre el mínimo costo.
Estructura de Los Modelos de Inventario
Comenzaremos suponiendo que los problemas de stock tienen una demanda constante.
131
Teniendo la siguiente situación, realizaremos su análisis económico: Se debe encontrar la
forma de adquisición más económica de un ítem, cuya demanda anual (D) es de 8.400 unidades,
su precio unitario (p) es de $ 3,00.
Se estima que el costo de orden o ADQUISICIÓN UNITARIO POR PEDIDO (Cp), asciende a $ 50,00
y que la tasa de almacenamiento (T) es del 30 % anual.
Hay diversas modalidades de compra, de acuerdo con la forma de adquisición. Se analizará
entonces, para cada modalidad, cual es el costo total en base a la suma de los dos costos: costo de
POSESIÓN (P) y costo de ADQUISICIÓN (A).
Podemos confeccionar la siguiente tabla :
Modalidad
Anual
Semestral
Cuatrimestral
Trimestral
Bimestral
Cada 45 dias
Mensual
Quincenal
Semanal
Frecuencia
de compra
(N)
1
2
3
4
5
8
12
24
52
Lote a Comprar
(q)
Costo de Posesión
(P) $
Costo de
Adquisición (A) $
Costo
total $
8.400
4.200
2.800
2.100
1.680
1.050
700
350
161
3.780
1.890
1.260
945
756
472,50
315,00
157,50
72,70
50
100
150
200
300
400
600
1.200
2.600
3.830,00
1.990,00
1.410,00
1.145,00
1.056,00
872,50
915,00
1.358,00
2.672,70
Columna 1: Modalidad de compra.
Columna 2: Número de veces que se adquiere en el año.
Columna 3: Lote de compra. Se obtiene dividendo la demanda por la frecuencia de compra.
Columna 4: Costo de almacenamiento. Si se supone que el consumo se efectúa a ritmo constante,
se tendrá el diagrama de consumo de la siguiente figura:
Veamos una manera práctica de resolver los costos de almacenaje:
En el instante t= 0 hay “q” unidades. En el instante t= t 1 hay “0” unidades. El stock
promedio o valor medio será entonces de ½ q. Este valor medio es la cantidad que se mantiene
constante a lo largo del periodo considerado.
Esta cantidad se la valoriza multiplicándola por el precio unitario (p) del ítem y por la tasa anual del
MANTENIMIENTO O POSESION T .
Por ejemplo: Para una compra cuatrimestral, se tendrá:
P= ½ q . p . T. t1 . N
T= tasa diaria de almacenamiento.
t1 = periodo considerado (120 días).
N = 3 cuatrimestres.
Entonces:
P= ½ . 2800 . 3 . 0,00083 . 120 . 3
P= $ 1.260,00
También:
P= ½ . q . p . Cp = $ 1.260,00
Siendo:
132
Cp =T. t1 . n
Columna 5: El costo de adquisición A, es proporcional al número de veces que se compra. Para un
cuatrimestre será:
A= 3 . CA = 3 . $ 50 = $ 150,00
Columna 6: Costo total. Es igual a la suma de los costos de almacenamiento o posesión y de
adquisición.
Analizando el cuadro, se comprueba que el coso total mínimo es de $ 872.50 y se verifica para
compras cada 45 días. Esta es la solución de compromiso buscada.
En las siguientes figuras se muestran las formas que adoptan los diagramas de consumo, de
acuerdo con la modalidad de compra adoptada.
Compra semestral:
Q=4.200
Compra trimestral
Q=2.100
En éste modelo se almacenará una cierta cantidad de piezas, las cuales progresivamente se
entregarán de acuerdo a la evolución diaria de la demanda, hasta llegar a un determinado número
de días donde se repondrá la misma cantidad de piezas que había al comenzar el ciclo.
El modelo de stock simple sin agotamiento supone que cíclicamente se repondrán las piezas
a almacenar, y que en el momento que se produce la entrega de la última pieza almacenada, se
recibe la nueva tanda para almacenar, es decir no hay nunca faltante de piezas para satisfacer la
demanda, en otras palabras no hay agotamiento de stock.
q
133
T
Deberemos considerar la cantidad de pedidos (órdenes) que se deberán efectuar en el año
y que lo simbolizaremos con la letra N.
Observemos que N=D/q ya que la cantidad de pedidos que haga dependerá de la cantidad
demandada y del lote de reabastecimiento.
El costo de AQUISICIÓN SERÁ EL COSTO DE CADA PEDIDO POR LA CANTIDAD DE
PEDIDOS: A= N. CA o lo que es lo mismo, A= D. CA/ q. Que es inversamente proporcional al
lote pedido de reabastecimiento.
El costo de mantenimiento o posesión del stock en el depósito, está determinado por el
nivel de existencias medio, y en él deberemos considerar entre otros costos subyacentes, el costo
financiero de tener el capital inmovilizado destinado a mantener el nivel medio de existencia en el
depósito, los costos del espacio requerido para el depósito, seguros, seguridad, controles de
calidad. Este costo lo simbolizaremos como Cp y se expresará como un porcentaje por cada 100
unidades monetarias del capital invertido en stocks: Cp = p.T
P = q/2 . Cp ,o bien: P = q/2 . p .T
Este costo aumenta al aumentar la existencia del stock, es decir es directamente
proporcional a la cantidad almacenada q.
El costo total del período a analizar estará determinado por la suma de ambos costos:
C (Costo total) = A + P
El lote óptimo podría almacenarse en un solo pedido o en varios pedidos simultáneos
periódicos, de manera tal que se vaya almacenando lo estrictamente necesario para atender
progresivamente en el transcurso del año a los requerimientos de la demanda. La solución óptima
será escoger una partida de lotes de producción o almacenamiento de q unidades a almacenar en
periodos iguales de tiempo.
Para establecer la cantidad óptima (q) debemos analizar la estructura de costos para las
situaciones de almacenamiento.
Efectuaremos un gráfico donde se indiquen las respectivas curvas de costo.
A
CP
134
t
Mínimo
Vamos a demostrar que el costo total es mínimo cuando los costo de adquisición y de
posesión son iguales.
C=A+P ó
C = D.CA /q + Cp.q/2
Para eso utilizaremos los criterios del análisis matemático para la obtención de mínimos.
La primera condición es que la derivada primera sea nula, por lo tanto :
C’= -D.CA / q2 + Cp/2 = 0
D.CA/q2 = Cp/2
Condición de equilibrio:
D.CA.= Cp.q2/2
q2 = 2.D.CA/Cp
q =
2.D.CA/Cp
o bien
q = (2.D.CA/Cp)1/2
por lo que debemos analizar ahora la condición suficiente, es decir, que la derivada segunda sea
mayor que cero:
C´´= D.CA / q3 que siempre es mayor que cero si “q” es mayor que cero.
Por lo que nos asegura que el lote óptimo a pedir que garantiza el costo mínimo es:
q = (2.D.CA/Cp)1/2
Si volvemos a la CONDICIÓN de EQUILIBRIO D.CA = Cp.q2/2 y multiplicamos a cada término por
q , nos queda: D.CA. q = Cp.q/2 que es la condición que A= P .Es decir que los costos de
adquisición y de posesión son iguales.
Si reemplazamos veremos en C = A + P que
C=
2.D.CA.Cp
Fijado el lote a pedir se pueden establecer todos los demás parámetros del modelo optimizado, es
decir N (número de pedidos); t (tiempo de reabastecimiento); A (costo de adquisición); P (costo
de posesión) y C (costo total).
135
Veamos un ejemplo:
Un comerciante debe atender una demanda anual de 100.000 unidades, cuyo precio
unitario es de $ 200. El costo administrativo de cada pedido de compra es $ 1.200 y el costo
financiero es 12 % anual. Determinar la política óptima de reposición de stocks.
CA.D= 1.200 x 100.000 = 12 . 107
Cp = 0,12 . 200 = 24
q=
2 . 12 . 107 =3.162 unidades
24
N = 100.000 = 32
3.162
C=
2. 12. 10 7. 24 = $75.888
t = 300 = 9.37 días
32
SENSIBILIDAD:
La sensibilidad o estabilidad, es un medio para reconocer mediante la selección de un valor
próximo al lote óptimo “q” , la variación (grande o pequeña), en la función costo total producción
por ese valor. En otras palabras, siempre resulta interesante analizar las variaciones en un entorno
próximo al óptimo para determinar así su estabilidad.
Además conocer la sensibilidad tiene un alto valor práctico, pues permite determinar el
error cometido en la estimación de los valores de los costos de orden y de mantenimiento y su
peso, en la determinación del costo mínimo.
Para ello consideraremos a C´1 y C´2 los valores estimados, por lo cual:
C´1 = a . C1 y
C´2 = b . C2 siendo a y b los factores de corrección.
El lote pseudo óptimo estimado será:
q = (2.D.CA .a / Cp.b)1/2 , si en la fórmula de costo total reemplazamos:
Ce = D.CA/q + ½ Cp.q
por lo que el pseudo costo es:
Ce = D.CA/(2.D.CA .a / Cp.b)1/2 + ½ Cp = (2.D.CA .a / Cp.b)1/2
Operando nos queda:
por lo que:
Ce = ½ . C . (b/a)1/2 + ½ .C . (a/b)1/2
Ce/C = ½ [ (b/a)1/2 + (a/b)1/2]
Ésta última relación nos permite visualizar la diferencia entre los costos óptimos en función de los
valores de las constantes a y b.
Veamos un ejemplo: supongamos que estimamos en el doble del valor real cada uno de los
costos C1 y C2, es decir a=2 y b=2. La relación C´/ C queda determinada por la relación numérica.
Cuyo valor es igual a 1. Esto significa que NO SE HA COMETIDO ERROR ALGUNO, siendo un buen
ejemplo de la estabilidad del costo a pesar del grosero error de estimación.
En general para 0,41 < a/b < 2,43 habrá, a lo sumo, un error del 10% en el costo total
óptimo.
MODELO DE STOCK SIMPLE CON STOCK DE PROTECCIÓN:
136
En caso que en el modelo anterior no se quisiera quedar en faltantes, puede agregarse y
mantenerse una cantidad mínima o “ colchón” de artículos en el depósito, que llamaremos Stock de
Protección.
q
Sp
t
Al modelo anterior sólo se le agregan los costos de posesión del sock de protección.
C = A + P + Sp.Cp
que como no depende de q , no se alteran las otras fórmulas, que mantienen su vigencia.
MODELO DE STOCK SIMPLE CON AGOTAMIENTO
Agradecemos la mejora de gráficos y deducciones de fromulas a Reyna Sonia y Muñoz Romina
En éste modelo consideraremos la posibilidad que exista faltante de artículos en el almacén
para satisfacer la demanda en determinados períodos de tiempo. O sea consideramos la posibilidad
del agotamiento del stock, (escasez de artículos en el depósito en determinados períodos de
tiempo). En éste caso además del costo de orden y el de mantenimiento, hay que considerar el
costo de agotamiento del período analizado G , que se calculará por artículo y unidad de tiempo C3
y reaprovisionamiento por vía extraordinaria, o bien la pérdidas debida al pago de indemnizaciones
al cliente por el retraso en la entrega del pedido.
Se supondrá también que todos los pedidos en la ruptura del stock serán finalmente
entregados. Es decir los pedidos de entrega se van acumulando (plazo de entrega diferido), hasta
el instante en que recibido el nuevo reaprovisionamiento se normaliza la entrega.
En éste modelo no solamente habrá que determinar el lote óptimo q , sino también
determinar el valor óptimo del stock (So) considerando el costo de agotamiento. El costo total
anual será entonces: C = A + P + G
El costo de adquisición no varía ni con el tamaño del lote óptimo ni con el stock que dispongamos
mantener, como lo dijimos anteriormente sólo depende del número de órdenes, por lo que su valor
es el mismo que en el modelo anterior: A = D. CA / q
Observemos en el siguiente gráfico la existencia de unidades en el almacén en función del tiempo:
137
S
q
El tercer modelo a analizar es el Modelo de Stock con Simple con Agotamiento
En muchos casos de la vida real no se cumple la demanda a tiempo y se presentan
escaseces. Cuando esto sucede se incurre en costos debidos a pérdida de clientes, costos de hacer
pedidos especiales, pérdida de buena voluntad en el futuro.
Plantearemos cierto supuestos para llevar a cabo este modelo
1. Además de contar con costos de Adquisición y de Mantenimiento, tendremos un costo
adicional que será el “Costo de Agotamiento del período analizado” (Cag)
2. Todos los pedidos en la ruptura del Stock serán finalmente entregados, lo que implica que los
pedidos se irán acumulando hasta que se halla recibido el nuevo reaprovisionamiento y se
normalice la entrega.
Antes de desarrollar las fórmulas de este modelo, expondremos el gráfico que nos brindará las
herramientas necesarias para la comprensión de las mismas:
q
q máximo
B
s
q
F
D
E
t
q–s
t1
q mínimo
t2
A
C
t1+t2
138
Las conclusiones que se pueden sacar del gráfico son la siguientes:
a) La variación entre los Tiempo t1 y t2 es el tiempo de reaprovisionamiento
b) ABC es semejante a DEC y a BDF
c) Â
^
Ê
F son rectángulos
^
d) B = Ĉ por alternos internos entre paralelas
Dadas estas afirmaciones, podemos inferir que:
Por relación entre las bases y alturas
t
t
1
t
= S
1
+t
q
2
= S . (t
q
1
1
+ t 2)
T
t
t
1
+t
t
=
2
q
2
2
( q - S)
=
( q - S)
q
. (t1+t
2)
T
Si el costo total es la suma del Costo de Adquisición , el de Mantenimiento y el Costo de
Agotamiento,
Ct = Ca + Cm + Cag
El costo de Agotamiento, lo podemos analizar de dos ópticas diferentes, si los artículos que se
mantienen en Stock son Materias Primas, es el costo que tiene parar la o las líneas de producción
en el período de Tiempo t2 .
En cambio si los artículos son Productos terminados, es el costo por el incumplimiento en las
entregas, representados por multas, anulaciones de contrato, entre otras.
A continuación tal como hemos hecho en el primer modelo iremos desarrollando las fórmulas de
cada uno de los términos que componen el Costo total:
El Costo de Adquisición, permanece sin alteraciones respecto al modelo de Stock simple sin
agotamiento:
Ca = D . Co
q
139
Si D.Co = Cl
Ca = Cl
q
El Costo de Mantenimiento; en este término subyace una diferencia importante, dado que el
concepto de mantenimiento está asociado a los artículos que se encuentran en el Stock, en función
del gráfico del modelo, podemos observar que vamos a incurrir en este costo únicamente en el
período t1 , ya que en el período t2 no hay artículos en el stock. Por lo tanto la fórmula será:
Cp = S . Cm . p . r . t 1
2
si según lo planteado t 1 es,
t1
=
S .T
q
Si
D =
q
N
T = 1
N
N = 1
T
con lo cual
Cp =
S . Cm . p . r . S . T . 1
2
q
T
Para poder realizar con mayor facilidad los cálculos que siguen,
fórmula como sigue:
proponemos simplificar la
Sí
Cm . p . r = Cs
Simplificamos T
Con lo cual,
Cp
=
S2 . Cs
2q
El costo de Agotamiento de Stock
140
Cag = C3 . (q - S) . ( q - s ) . T . 1
2
T
Donde C3 es igual a Costo por
Agotamiento normalizado a stock,
este término implica que todas las
variables están en la misma unidad
de medida
Simplificando,
2
Cag = C3 . (q - S)
2q
Concluyendo la fórmula de costo Total será:
2
Ct = Cl + Cs. S + C3
q
2Q
(q - S )2
2Q
Antes de continuar con el proceso matemático y determinar cuál sería la fórmula de Costo Total
Optimo, es importante destacar un indicador:
=
C3
Cs + C3
 es la Tasa de agotamiento,
0<<1
Si  = 1  Implica que el Costo de Mantenimiento es despreciable o muy bajo, con lo cual este
modelo no será utilizado ya que el costo de Agotamiento sería demasiado elevado y recaeríamos en
el primer modelo analizado, por lo cual el valor de  condicionará el tipo de Modelo de adoptar.
Si  => 0 ; Implica que el Costo de Agotamiento es muy bajo en relación con el costo de posesión,
en este caso, será preferible utilizar el Modelo de Gestión de Stock con Agotamiento.
Para ir finalizando este modelo quedaría expresar la fórmula que hace que el Ct sea óptimo, para
ello debemos hacer la derivada primera en función de dos variables: q y S
141
Ctq' = - Cl q2
Ctq'
Cs . S2 +
2q2
Cs . S2 +
2
2
2q
Ctq' = - Cl q2
q2
2q2 - 2.S.q - (q - S)2
C3 .
q2
2
Cs . S2 +
2q2
Ctq' = - Cl -
q2
2
- Cl q
2 (q-S) . Q - (q-S)2 . 1
C3 .
2
2
2
C3 . 2q - 2Sq - q + 2qS - S
q2
2
Cs . S2 +
2q2
q2 - S2
C3 .
q2
2
CtS' = Cs . S
q
+
C3 . 2 . (q - S) . (-1)
2q
CtS' = Cs . S
q
-
C3 . (q - S)
q
Luego de las últimas operaciones matemáticas que consisten en igualar las derivadas a cero y
realizar el Hetsiano, llegamos a la fórmulas de optimización de este modelo que son:
qo
=
2 . Cl
Cs . p
qo
=
2 . Cl
.
1
p
Cs
En la fórmula detallada=
qo
=
2 . D . Ca
Cm . p . r
.
Cs + C3
C3
So
=
2 . Cl
.
p
.
C3
Cs + C3
Cs
En la fórmula detallada=
So
=
Ct o =
2 . D . Ca
Cm . p . r
2 . Cl . Cs . p
En la fórmula detallada=
Cto =
2 . D .Ca . Cm . P . R
.
C3
Cs + C3
142
Ejemplo:
Una fábrica de flanes recibe un proveedor de papel de aluminio utilizado para depositar el
contenido del flan. La producción anual es de medio millón de unidades, el costo de adquisición es
de 300 um, el costo de mantenimiento es un 30 % el valor de adquisición, el costo de cada envase
es de 9 centavos de um y el tiempo hasta la llegada de un pedido es de un día.
Si utilizamos stock sin agotamiento:
q=(2 . 500000 . 300 /1 año. 30% 0.09 )
1/2
= 105.409 um
C = (2. 500000 u.1 año. 300 um . 0,027 envase año)
= 2.846 um/año.
1/2
t = 105409 / 500000 = 0.2108 años = 2 meses y medio.
N= 500000 / 105409 = 4,74 pedidos año
Si la fábrica de flanes quiere reducir los costos de inventario de los envases de aluminio, puede
analizar la alternativa de demorar procesos de pasteurización cuando se carece de envases, ésta
demora implica un costo adicional de 0,20 um envase /año.
Si &= 0.20/0.227=0.88
C=(2.500000.1 año.300 um/pedido 0.027 um/envase año 0.88) 1/2= 2.671,43 um/año
q= (D.CA / 2 Cp &)
S= (D.CA & / 2 Cp )
½
½
= 112.299 envases
= 98.942 envases
T= 0,22246 años = 2 meses y 3 semanas
N= 4,45 pedidos años
t1 = 72 días y t2= 10 días
MODELO DE STOCK CON DEMANDA ALEATORIA:
Modelo de stock simple con stock de protección
Por lo general la demanda fluctúa por diversas causas, entre las cuales se pueden mencionar las
estacionales, crisis en el mercado, falta de créditos o aumento en la tasa de los mismos, recesión,
promoción de precios por parte de la competencia, etc.
Estadísticamente, como veremos empíricamente (con ejemplos) a traves de tablas, podemos
estimar la demanda y su desvío o variación estándar:
143
144
Si la demanda D para el periodo T
determinado, es dada por una ley de la
distribución cualquiera P(D), siendo D una
variable aleatoria con una media y con un
desvío Standard G y utilizando el teorema
de Tchebycheff, podemos estimar la
expresión final del modelo considerado
anteriormente, para ello le agregamos el
costo esperado de agotamiento que puede
significar la pérdida de entregas de
artículos debido al agotamiento del stock,
cuando la demanda lo supere, es decir
cuando
D>S
Ct = Ca + Cp + Cs . Sp + Cag
Ca =
Cl
q
Cp =
Cs .
q
2
Cag =
N
2 Sp2
.
2
. To

. Cs
2 . Sp2
3
Sp =
qo =
N.
. Cl
Cs
2 . Cl
Cs
To =
1
No
Cuadro comparativo entre modelos :
Modelos
Ventajas
Stock
sin 
Agotamiento

Con Stock
Protección
de 
Desventajas
El costo total está comprendido 
sólo por dos Costos: de Adquisición
y de Mantenimiento, por lo cual es
el modelo más económico.
El alto contenido teórico, facilita
la comprensión del resto de los
modelos
Es un modelo utópico, cuya
práctica en la realidad es muy
difícil dadas las condiciones
actuales de los mercados.
Impide recaer en agotamientos 
que implicarían pérdidas de ventas,
de clientes, preponderancia en el
mercado.
Se incurre en un costo extra
de Mantenimiento de inventario,
los costos en los que se puede
incurrir son: Capital inmovilizado y
su
correspondiente
costo
145
Stock
con 
Agotamiento
Reducción en el Costo de 
mantenimiento, ya que por un
período no se contará con stock en
el almacén.



Con
demanda 
Aleatoria
Si bien no puedo determinar con 
precisión
la
demanda,
tengo
herramientas para poder establecer
un stock de protección factible sin
un costo demasiado elevado.
financiero, de espacio, seguros,
protección e impuestos atribuibles
al almacenamiento.
A los Costos del modelo
anterior tenemos que agregarle el
Costo por incurrir en Agotamiento.
Pérdida de la buena voluntad
de los clientes debido al retrasos.
Duda para realizar negocios
subsecuentes con la empresa.
Trabajo
administrativo
adicional.
La elevada variación de la
demanda me limita la posibilidad
de elegir un modelo.
Como un anexo al trabajo realizado presentaremos el análisis de varios ejemplos aplicables a los
modelos de inventario desarrollados anteriormente:
Luego de investigar diferentes tipos de mercados, pudimos visualizar un caso real en donde la
política de Inventario tiene la característica de ser “Just in time”. Es el que experimenta la
empresa Gate Gourmet, proveedora del catering de los aviones del Aeropuerto Internacional de
Ezeiza. La operatoria de la empresa es la siguiente: se recibe el pedido que indica el servicio a
otorgar a un avión que saldrá a una hora determinada “X”. La comida es preparada en el preciso
momento y debe ser despachada al instante en el que el avión está por despegar. Juegan en la
preparación las cantidades exactas de alimentos e inclusive la temperatura apropiada. Esto explica
las grandes pérdidas que sufren las empresas aéreas cuando se presenta una demora inesperada,
dado que la comida debe ser tirada en su totalidad si sobrepasa un tiempo de 6 hs.
Refiriéndonos a Modelos de Inventario con Stock de Protección podemos mencionar dos
casos adicionales:
1° Los Supermercados o Mercados minoristas, dado que su capacidad para exponer los productos
es limitada (hay una restricción real y física que son los estantes con los que el supermercado o
mercado cuenta). Con lo cual es de gran utilidad ir reponiendo la mercadería a medida que se
agota, para ello deberá abonar un costo de mantenimiento extra para aquellos artículos que se
encuentran en stock, pero el beneficio económico será mayor que el que tener que estar recibiendo
camiones con mercadería varias veces al día (en caso de un supermercado) implicando un costo
elevado de transporte en cada oportunidad.
2° Otro tipo de empresa, que podemos mencionar en la aplicación de esta metodología, son las
Estaciones de Servicio, las cuales deben necesariamente contar siempre con Stock de protección
no sólo por la pérdida de clientes que implicaría no tener combustible, sino que también si los
tanques se vacían por completo o casi por completo, remueven suciedad del fondo de los mismos
lo que provoca ruptura de los vehículos que cargan en ella, implicando un costo no económico para
la empresa, pero sí de imagen, ya que se desprestigiaría rápidamente.
Refiriéndonos al Modelo de inventario con Agotamiento,
también podemos hacer
referencia a 2 situaciones completamente diferentes. La primera representada por las
Concesionarias de Automóviles, estás poseen una playa con determinada cantidad de vehículos y
modelos. Sin embargo, este staff no se repone a medida que se vende cada unidad, con lo cual una
146
demanda adicional de un de determinado modelo de vehículo, implicará incurrir en agotamiento.
No obstante, es importante destacar que la empresa ofrece todos los modelos de autos que
comercializa aún aquellos que no se encuentran en stock, ya que por lo general la operatoria
consiste en realizar el pedido y al cabo de unos días, el vehículo es entregado. Desde el punto de
vista de los costos, esta metodología es perfectamente aplicable, dado que los gastos de
mantenimiento de los autos principalmente por el espacio físico que requiere es elevado y se
deterioran rápidamente si el lugar en el que se encuentran no es el adecuado.
En segundo lugar, podemos nombrar el caso de los Sastres o costureras, que confeccionan
prendas de alta costura, tales como vestidos de Novias, de 15 años, Trajes, entre otros. En
general, es habitual que los mismos cuenten con modelos ya diseñados, pero también cuentan con
catálogos en donde otros estilos o modelos pueden ser elegidos por los clientes, como así también
se admiten diseños pre - diseñados por parte de los clientes para su posterior confección. Ante el
caso supuesto, es lógico suponer, que la política de inventario es con Agotamiento, ya que no se
puede contar con todos los modelos y talles posibles y en definitiva el costo de la prenda será
mínima para quien lo confecciona, ya que adquirirá tan sólo los materiales necesarios para esa
prenda en particular.
El Modelo de Stock con demanda aleatoria, también lo podemos ejemplificar con el caso de
los vendedores de Diarios y Revistas. Los mismos deben decidir cuántos ejemplares de cada tipo
pedirán cada día a la editorial. La disyuntiva que se le presenta es que si pide demasiados al cabo
del día se quedará con alto nivel de Stock, sin embargo si se equivoca y pide muy pocos, perderá la
oportunidad de ventas y ganará le disconformidad de sus clientes. Ante esta situación el vendedor
podrá analizar el mencionado modelo de inventario y decidir la cantidad de ejemplares adecuados
para alcanzar el equilibro de los costos.
Modelo “Just in Time” (JIT)
Finalmente, para completar el trabajo haremos una comparativa entre el mencionado Modelo
“Just in Time” (JIT) (Modelo de Stock simple sin Agotamiento) y su opuesto : el “Modelo Stock
con Agotamiento”.
El modelo Just in time, consiste en producir un artículo u obtener productos de los
abastecedores en el instante en el que se necesiten. El objetivo del mismo es reducir los niveles de
inventario, ya que desde la óptica del JIT, contar con inventario representa ineficiencia y originan
mala calidad de producto.
El éxito en la organización del JIT, se debe a la reducción en los tiempos de preparación como
así también es fundamental que la cantidad de un producto producida cada día, no tenga una
variación mayor a un 10% del nivel promedio diario de producción.
El método más conocido para organizar el JIT es el Sistema de Toyota, denominado “Kaban”.
Este sistema se caracteriza por ser de “jalar”, esto es; supongamos que en un proceso de
manufactura determinado el producto debe pasar por cuatro estaciones de trabajo para
completarse, en el sistema de “Jalar” no se produce nada a menos que se autorice su producción
en la estación anterior.
Gráficamente:
Estación 1
“Autoriza”
Estación 2
Estación 3
“Autoriza”
Estación 4
“Autoriza”
También podemos mencionar 3 tipos de artículos que son de vital importancia para instituir el
método JIT a través del Sistema Kanban:
147
1. Envases: Cada envase contiene un número normal de partes.
2. Tarjetas de movimientos: se usan para autorizar el movimiento de un contenedor entre dos
operaciones sucesivas. Un contenedor no puede moverse a menos que se le fije una tarjeta
de movimiento.
3. Tarjetas de Producción: se usan para autorizar la producción de un contenedor con partes.
Los trabajadores no pueden producir las partes necesarias para llenar un envase a menos
que se estén autorizando por una tarjeta de producción.
El funcionamiento del modelo es el siguiente:
Supongamos que tenemos un conjunto de contenedores, tarjetas de movimiento y de
producción para el movimiento entre las estaciones 3 y 4 y que en esta última estamos trabajando
en un contenedor de partes. En este momento el contenedor tiene una tarjeta de movimiento fija
en él. Ahora supongamos que se retira la tarjeta y se coloca en un contenedor vació de esta misma
estación. Con esta acción autorizo el movimiento del contenedor (llamémoslo “A”) a la estación 3. A
su vez nos encontramos que en esta estación hay un contenedor “B” lleno con una tarjeta de
producción fija a él. Esta tarjeta es reemplazada por una tarjeta de movimiento que autorizará a
mover el contenedor “B” a la estación 4. La tarjeta de Producción que el mismo contaba queda en
la estación 3 para autorizar a los operadores a iniciar el trabajo en un contenedor de partes. Esta
operatoria se traslada de igual manera a la estación 2 y luego a la estación 1. Esto muestra como la
estación 4 “jala” el material hacia abajo a través del sistema.
Una ventaja importante a destacar comparándolo con el modelo con agotamiento es que no se
necesitan formas complejas ni hojas de computadoras para seguir el curso del estado del inventario
en cada estación, ya que las tarjetas hacen este trabajo en forma automática.
EL interrogante que se plantea a esta altura de la explicación, es cuantas tarjetas se deben
utilizar, ya que si hay pocas se pueden generar situaciones de escasez. Aunque cueste trabajo
creerlo sólo los tanteos o las “pruebas y errores” pueden determinar el número “correcto” de
tarjetas.
Resumiendo las reglas del sistema Kanban son:




Cada contenedor debe tener siempre una tarjeta de movimiento o de producción fija a él.
Nunca se mueve un contenedor a menos que tenga una tarjeta de movimiento fija a él.
Nunca se comienza a producir sin que un contenedor tenga una tarjeta de producción.
Un contenedor debe tener siempre un número “estándar” de partes.
En realidad el objeto “tarjeta” puede ser reemplazado por cualquier tipo de señal para indicar el
inicio de la producción. Lo importante es que la señal para producir provenga de una estación que
este flujo debajo de la estación que va a producir.
Uniendo este concepto con lo visto en los Modelos de Agotamiento, podemos inducir, que este
último tiende a ser mejor que el Modelo de Just in time cuando la demanda es muy variable y los
tiempos de preparación son largos, es decir, el método JIT tiende a ser mejor cuando la demanda
es estable y los tiempos de preparación son breves.
Es evidente que los menores tamaños de lote que se manejan con JIT aumentarán el número de
preparaciones necesarias. Supongamos que una compañía produce muchos productos distintos, si
esa compañía aplica el método JIT, incurrirá probablemente en altos costos de preparación debido
a que, con frecuencia, debe dejar de producir un artículo para producir otro, a causa de los
tamaños pequeños de lote.
148
Esto explica por que el JIT es el que más se usa en un ambiente de manufactura repetitiva,
cuado la mayor parte de los tiempos de preparación son pequeños y se hacen muy pocos
productos.
149