Ejercicio nº

ETSI de CAMINOS, C. Y P. DE MADRID
Segundo Curso – MÉTODOS - Matemáticas
Examen Final Ordinario
29 de junio de 2011
Alumno
nº matrícula:
NORMAS DEL EXAMEN: 1) Cada ejercicio debe resolverse en la hoja del enunciado: no se admiten hojas adicionales. 2) Debe escribirse con tinta
azul o negra: no se admite escritura a lápiz ni en color rojo. 3) El DNI del alumno debe estar a la vista sobre la mesa. 4) No está permitido levantarse
ni hablar hasta que se hayan recogido los últimos ejercicios y se salga del aula de examen. 5) Se puede disponer sólo del Formulario oficial de la
asignatura (sin informaciones adicionales de ningún tipo) y del papel en blanco para uso como borrador.
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


Ejercicio nº 4 .- (A) Considérese el campo u =
ρ cos θgρ + f (θ) g θ definido en el plano. Se pide:

1) Calcular la función f tal que f(0) = 0 y el campo u sea de divergencia nula. [3 puntos]

2) Para esta función f calcular un potencial vector del campo u y la ecuación de sus líneas de corriente. [3
puntos]

  
(B) Calcular el flujo del campo v = i − j + xe y k a través de las superficies S : {x2 + y2 + z2 £ 1, x – y = 0} y
S*: {x2 + y2 + z2 = 1, x – y > 0}. [4 puntos].
Solución: (ver Práctica 4, ejercicio 26)

   1 

(A) 1) La divergencia de u : ·u    2 cos   f () = 2 cosθ + f '(θ)

  

 
de donde
∇·u =0 ⇔ f ′(θ) =−2cos θ
luego
f(θ) = –2 senθ + cte. = –2 senθ (constante de ajuste nula pues f(0) = 0)




2) Se observa que el campo u es continuo en E2 admitiendo que u (0,0) = 0 (ya que u → 0, cuando ρ → 0 ).
El dominio, pues, es Ω = E2, que es simplemente conexo. Por lo tanto el campo admite potencial vector en E2


y puede tomarse uno de la forma w = Ψ(ρ,θ) k , donde Ψ puede obtenerse de dos modos:

ψ(ρ0 ,θ0 ) = ∫ u·n d s ,
i) por la integral:
C
siendo C cualquier camino en Ω que una el origen de integración, en este caso el origen O(0,0), con el punto

genérico (ρ0,θ0), y siendo n la normal del camino C que señala a la derecha del avance. Así, tomando C el
segmento OP0, o sea C : {ρ = t , θ = θ0; 0 ≤ t ≤ ρ0}, se tiene:



n = –eθ ; ds = dt ; u (t , θ0 ) = t cosθ0 g  –

2senθ0 g 
luego (figura 1):
P (ρ ,θ )
0
0
0
ρ0

ψ (ρ0 , θ0 ) =
ψ (0,0) + ∫ u·n d s =
ψ (0,0) + ∫ 2t sen θ0 d t
C
0
C
⇒
ψ(ρ,θ) = ψ(0,0) + (ρ0)2 senθ0 ,
O
tomando ψ(0,0) = 0, resulta un potencial vector

de u :


w(ρ, θ) =ρ2 sen θ k (un potencial vector más
figura 1


general es wg = w+∇U, para cualquier campo escalar de
clase 2)
ii) por el sistema de E.D.P. que se obtiene al
 
exigir ∇×Ψ(ρ,θ)k = u :

∇×Ψ(ρ,θ)k =
g
ρ
1 ∂
ρ ∂ρ
0
de donde:
(Ec. 1) ⇒ Ψ(ρ,θ) = ∫ ρ2 cos θ∂θ = ρ2 sen θ + h(ρ)
A esa forma de Ψ de la (Ec. 3) le exigimos la (Ec. 2) para determinar h(ρ) y se tiene:
(Ec. 2 y 3) ⇒ 2ρsenθ + h′(ρ) = 2ρsenθ ⇒ h′(ρ) = 0 ⇒ h(ρ) = k = cte.
De modo que, finalmente:
Ψ(ρ,θ) = ρ2cosθ + k
gθ
gz
∂
∂θ
∂
∂z
0
Ψ
=
1
ρ

∂Ψ
 ∂Ψ

∂θ gρ − ∂ρ g θ  = u
(Ec. 3)
ETSICCP - 2ºcurso
2
Métodos-matemáticas
lo que coincide con la solución hallada por integración.

±c
Las líneas de corriente de u tienen por ecuaciones ψ(ρ,θ) = cte., y en este caso: ρ2 senθ = c ⇔ ρ =
sen θ
Otro modo de calcular la función de corriente ψ y con ella el potencial vector
#.




(B) El campo v  i  j  xe y k es regular de ¥ y adivergente. Las dos

=
N
superficies comparten su borde, que es la circunferencia meridiana de la
esfera unidad en el plano {y = x}:
∂S = ∂S* = {x2 + y2 + z2 = 1, y = x }
Siendo el campo obviamente adivergente, dará el mismo flujo a través de
ambas superficies, como consecuencia del teorema de Gauss (aplicado al
volumen encerrado entre ambas superficies).
Tomando S, que se encuentra en el plano {x–y = 0}, de normal
1
2
 
(i − j ) (sentido hacia S*, que se encuentra en el semiplano {x> y}), resulta:
 
 
2=
S ∫ 2 d=
S
π ∫ * u·N *dS *
∫ v·N d =
S
S
S
____________________________________
#.