programación lineal - Página web de Alfonso González

PROGRAMACIÓN
LINEAL
Los estadounidenses George B. Dantzig (1914-2005), considerado padre de la Programación Lineal, y John Von Neumann
(1903-1957), y el ruso Leonid Kantoróvich (1912-1986), tres de los más destacados desarrolladores de la teoría de la
Programación Lineal.
MATEMÁTICAS aplicadas a las CC.SS. II
Alfonso González
IES Fernando de Mena
Dpto. de Matemáticas
MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS II
ALFONSO GONZÁLEZ
IES FERNANDO DE MENA
I. INTRODUCCIÓN
En este tema vamos a ver, a nivel básico, la teoría de Programación Lineal (PL). A grandes rasgos, «se trata
de optimizar (maximizar o minimizar, según dependa) una expresión lineal (que puede reflejar beneficios,
gastos, tiempo...) sometida a una serie de restricciones (dinero, recursos, o personal disponibles, etc) que
vienen definidas por inecuaciones lineales».
Conviene saber que la PL ha tenido y tiene importantes aplicaciones en industria y economía:
problemas de mezclas, nutrición de animales, distribución de factorías, ubicación de personal en distintos
puestos de trabajo, almacenaje óptimo, planes de producción, etc. Se ha estimado que si un país
subdesarrollado aplicase PL aumentaría su PIB entre un 10 y un 15 %...
Reseña histórica: Aunque en los últimos tres siglos varios matemáticos se ocuparon de obtener máximos y mínimos
condicionados de determinadas funciones, fue el ruso Kantorovich quien, en 1939, por primera vez hace corresponder a una
extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida. En 1947 el estadounidense Dantzig formula, en
términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de PL, al mismo tiempo que su
compatriota Von Neumann. Dantzig fue también el desarrollador del famoso Método Símplex.
Como dato curioso, en 1958 se aplicó la PL al cálculo óptimo de transporte de materiales de construcción a las
edificaciones en Moscú, y se consiguió rebajar en un 11 % los costes inicialmente previstos. Actualmente, se utiliza toda la
potencia de las grandes computadoras para agilizar la enorme cantidad de cálculos que algunos problemas requieren.
¿En qué consiste la PL?: Antes de nada, vamos a enunciar un problema típico de PL, que después
resolveremos:
Ejemplo 1: «Con el fin de recaudar fondos para el viaje de fin de curso, los alumnos de una clase de 2º de
Bachillerato acuden a una empresa de publicidad de la localidad, la cual les ofrece repartir dos tipos de
artículos publicitarios: camisetas, con los que los alumnos logran un beneficio de 0,50 € / camiseta vendida, y
relojes, por los que pueden sacar 0,70 € / reloj vendido. Por cuestiones de existencias la empresa puede
repartir a cada alumno como máximo 120 camisetas y 100 relojes. Además, el centro ha decidido, para que
no descuiden sus estudios, que cada alumno reparta 150 artículos como máximo»
La cuestión lógica que se planteará un alumno es: ¿cuántos artículos coger de cada tipo para
maximizar las ganancias? Algunos pueden pensar que es mejor coger el máximo de relojes (que son los que
dan más beneficio), es decir, 100, y el resto camisetas, o sea, 50. Pero otra opción podría ser coger un
número determinado de camisetas y mecheros (que sumaran, naturalmente, 150 artículos). La PL nos ayuda
a ver cuál es la opción con la que conseguiremos máximo beneficio.
Concepto: «Se trata de optimizar (maximizar o minimizar, según dependa) una determinada función
(beneficio, gasto, etc) llamada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones (dinero, recursos,
personal disponible, etc) que vienen dadas por inecuaciones lineales»
Obviamente, se trata de maximizar la función objetivo si representa un beneficio.
""
minimizar
""
""
""
coste
Por tanto, en todo problema de PL tendremos los siguientes elementos:
− Una función objetivo F(x,y), lineal .
1
− Varias restricciones, que vienen dadas por inecuaciones lineales que dependerán de x e y. Al
representar todas las restricciones se obtiene una región poligonal convexa (región de validez),
finita o infinita, formada por la totalidad de puntos (x,y) que cumplen todas las restricciones.
1
2
Lineal significa que puede ser, p. ej. F(x,y)=20x+3y, o F(x,y)=100-25x-7,5y, etc., pero no F(x,y)=2x +15y, o
5
, etc.
F(x, y) = 18x +
y
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siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso
del autor ([email protected])
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− El problema consiste en encontrar en qué punto (x,y) de la región de validez se hace máxima (o
mínima, según dependa) la función F(x,y). Lo que veremos en el apartado III es que dicha solución
(caso de existir) se encuentra siempre en la periferia de la región de validez, no en el interior.
Como acabamos de indicar, dado que las restricciones se pueden representar mediante inecuaciones, en el
próximo apartado se repasará la forma de dibujar éstas en el plano.
II. REPASO de RECTAS e INECUACIONES
RECORDAR: a x + b y = c representa una recta en el plano. Para representarla lo más rápido es hacer x=0 e
y=0.
a x + b y ≤ c, o bien a x + b y ≥ c
representan los dos semiplanos en que la recta anterior divide
al plano (para ver de cuál de los dos se trata lo más fácil es ver
si el origen verifica la desigualdad).
Ejemplo 2:
a) Representar la recta 3 x + 2 y = 1 20
Como ya hemos comentado, para representar una recta basta con
dos puntos; lo más sencillo, en la mayor parte de los casos, es
obtener los puntos de corte con los ejes, los cuales se obtenían
haciendo x=0 (corte eje y) e y=0 (corte eje x):
x = 0 ⇒ 2y = 120; y = 60 → A(0,60)
y = 0 ⇒ 3x = 120; x = 40 → B(40,0)
b) Representar la solución de la inecuación x + 2 y ≤ 8 0
En primer lugar, representamos la recta x + 2 y = 8 0:
x = 0 ⇒ 2y = 80; y = 40 → A(0,40)
y = 0 ⇒ x = 80 → B(80,0)
A continuación, sustituimos un punto
cualquiera en la inecuación para ver si la
2
verifica. Lo más sencillo es utilizar el
origen, es decir, dar los valores x=0 e
y=0 ⇒ 0 ≤ 80 ⇒ se obtiene una
desigualdad verdadera ⇒ el (0,0) ∈
región solución ⇒ la región solución es
la que contiene el origen, es decir, el
semiplano situado debajo de la recta.
2
¡Cuidado!: el (0,0) no vale si casualmente la recta ya pasa por el origen; en tal caso, habrá que recurrir a otro punto que
no esté sobre la recta.
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Observaciones:
1. Puede comprobarse dando cualquier otro par (x,y) que se obtiene la misma región solución.
2. Los ∞ puntos que forman la recta también pertenecen a la región solución, y por eso se indica con
trazo continuo. Si hubiera sido x + 2 y < 8 0, entonces la recta no formaría parte de la región solución, en
cuyo caso se podría representar mediante una línea discontinua.
3. Evidentemente la solución de x + 2 y > 8 0 sería
el semiplano superior.
4. Obsérvese cómo las flechas apuntan
convenientemente hacia la región solución.
Esto será particularmente útil para definir una
región poligonal solución definida por varias
inecuaciones.
x=5
x≥5
c) Representar la solución de la inecuación x ≥ 5
En este caso no es necesario dar valores sino
aplicar el sentido común: x ≥ 5 representará el
semiplano formado por los ∞ puntos cuya abscisa
es mayor o igual que 5, es decir, el semiplano de
la figura derecha.
d) Representar la solución de la inecuación y ≤ 3
En este caso tampoco es necesario dar valores
pues y ≤ 3 representará el semiplano formado por
los ∞ puntos cuya ordenada es menor o igual
que 3, es decir, el semiplano de la figura
izquierda.
NOTA: Obsérvese que hemos dibujado la recta
con trazo discontinuo, simbolizando así que sus
∞ puntos no pertenecen a la solución.
e) Por el mismo motivo, las soluciones de x ≥ 0 e y≥ 0 son las siguientes:
NOTA: Conviene recordar
que x=0 es la ecuación del
eje y, mientras que y=0 es
la del eje x.
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Ejercicios final tema: 1 (resover inecuaciones), 2 y 3 (dibujar un recinto)
III. PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO del PROBLEMA
Vamos a resolver el ejemplo 1 planteado anteriormente, aplicando los procedimientos de la PL, y explicando
todos los pasos. Recordemos el enunciado:
Ejemplo 1: «Con el fin de recaudar fondos para el viaje de fin de curso, los alumnos de una clase de 2º de
Bachillerato acuden a una empresa de publicidad de la localidad, la cual les ofrece repartir dos tipos de
artículos publicitarios: camisetas, con los que los alumnos logran un beneficio de 0,50 € / camiseta vendida, y
relojes, por los que pueden sacar 0,70 € / reloj vendido. Por cuestiones de existencias la empresa puede
repartir a cada alumno como máximo 120 camisetas y 100 relojes. Además, el centro ha decidido, para que
no descuiden sus estudios, que cada alumno reparta 150 artículos como máximo.
¿Cuántas camisetas y mecheros deberá vender cada uno para que el beneficio sea máximo?»
er
1 paso: "Identificar las dos variables del problema (y llamarlas x e y)"
x = nº de camisetas vendidas
y = nº de relojes vendidos
Aunque no es obligatorio, es muy recomendable construir al principio una tabla para organizar
cómodamente los datos:
CAMISETAS
RELOJES
BENEFICIO
0,50 €/camiseta
0,70 €/reloj
Restricción de la empresa
120 artículos máximo
100 artículos máximo
nº de artículos vendidos
x
y
Esta
es
restricción
centro
una
del
150 artículos máximo
o
2 paso: "Plantear algebraicamente la función objetivo y las restricciones"
Función objetivo (a maximizar):
Restricciones:
G ( x , y) = 0,50 x + 0,70 y
x ≤ 120
y ≤ 100
x + y ≤ 150
Obviamente: x ≥ 0, y≥ 0
er
3 paso: "Representar el recinto definido por las restricciones"
■ Como ya sabemos del apartado anterior, la solución de x ≤ 120 es el semiplano situado a la izquierda de la
recta vertical x = 1 20 (ver dibujo inferior).
■ Por su parte, la solución de y ≤ 100 será el semiplano inferior respecto a la recta horizontal y = 1 00 (ver dibujo
inferior).
■ Representamos la recta x + y = 150:
x = 0 ⇒ y = 150 → (0,150)
y = 0 ⇒ x = 150 → (150,0)
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Sustituimos x=0, y=0 en la inecuación x + y ≤ 150 ⇒ 0 ≤ 150 ⇒ se obtiene una desigualdad verdadera ⇒ el
(0,0) ∈ región solución ⇒ la región solución particular de la restricción x + y ≤ 150 es la que contiene el origen,
es decir, el semiplano situado debajo de la recta oblicua (ver dibujo).
■ Finalmente,
y
como
vimos en el apartado
anterior, la solución de
x ≥ 0 es el semiplano
situado a la derecha del
eje y, mientras que y ≥ 0
se
verifica
en
el
semiplano
superior
respecto al eje x.
y (nº relojes)
El conjunto de puntos
(x,y) que satisfacen a la
vez
todas
las
restricciones
son
los
puntos
del
recinto
sombreado,
llamado
REGIÓN DE VALIDEZ.
región de
validez
x (nº camisetas)
¿Qué queremos hallar?
Se trata de obtener qué
valores x e y de los que
verifican las restricciones
(i.e. los situados en la
región de validez) hacen máxima la función objetivo.
Se puede demostrar que la solución que buscamos se encuentra en un vértice del recinto, y no dentro:
«La función objetivo alcanza su máximo (o mínimo) en alguno de los vértices del recinto»
NOTA: En ciertos casos puede ser en todo un lado del recinto (ver ejemplo 6)
Por lo tanto, los siguientes pasos consistirán en obtener las coordenadas de los vértices, y evaluar en ellos la
fución objetivo:
o
4 paso: "Calcular las coordenadas de los vértices"
NOTA: Aunque en este caso las coordenadas de los vértices se aprecian a simple vista en el gráfico (de
hecho, ya están señalados en él), se recomienda obtenerlos analíticamente, pues esta situación no siempre
se da y, además, la vista nos puede "fallar"...
■ El vértice P (ver dibujo) no es necesario calcularlo: obviamente, es P ( 0 , 100 )
0
0
1
,
0
5
R
0
3
,
0
2
1
?
R
¿
■
Q
?
Q
¿
■
x + y = 150 
 ⇒ x + 100 = 150; x = 50 → (
y = 100 
x + y = 150 
 ⇒ 120 + y = 150; y = 30 → (
x = 120 
)
)
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■ El vértice S (ver dibujo) no es necesario calcularlo: obviamente, es S ( 120 , 0 )
NO T A: No nos molestamos en considerar el vértice ( 0 , 0 ), pues esa solución (0 camisetas y 0 relojes) no
tiene sentido.
o
5 paso: "Evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices, para ver en cuál se obtiene el máximo (o el
mínimo)"
G ( P ) = 0,5 · 0 + 0,7 · 100 = 70 €
G ( Q ) = 0,5 · 50 + 0,7 · 100 = 25 + 70 = 95 €
⇒
Soluc: Cada alumno tendrá que repartir 50 camisetas y 100
mecheros para obtener el beneficio máximo
G ( R ) = 0,5 · 1 2 0 + 0,7 · 30 = 60 + 21 = 81 €
G ( S ) = 0,5 · 1 20 = 6 0 €
Observaciones:
1. No nos molestamos en considerar el vértice ( 0 , 0 ) pues ahí el beneficio sería nulo.
2. ¡Las soluciones deben ser enteras! (No tiene sentido vender 12,5 camisetas...) Pero en otros
ejercicios no tiene por qué ser así.
3. Los puntos de la región de validez cumplen todas las restricciones y se llaman SOLUCIONES
FACTIBLES. Pero, recordar: la solución óptima se encuentra siempre en un vértice (no en el interior).
Ejemplo 3: «Con el fin de recaudar fondos para el mencionado viaje de fin de curso, las 20 chicas y los 10
chicos de una clase de 2º de Bachillerato deciden colaborar por las tardes a tiempo parcial en la misma
empresa publicitaria, que contrata dos tipos de equipos de jóvenes para hacer encuestas:
TIPO A: Pareja de chico y chica
TIPO B: Equipos de tres chicas y un chico
Se paga a 30 € la tarde al equipo A y 50 € al B ¿Cómo les conviene distribuirse para conseguir la mayor
cantidad posible de dinero? ¿Cuánto obtendrán la clase en total cada tarde?»
Solución:
er
1 paso: "Identificar las dos variables del problema (y llamarlas x e y)"
x = nº de equipos tipo A
y = nº de equipos tipo B
Construimos una tabla para relacionar los datos:
TIPO A
TIPO B
nº de equipos
nº de chicas que intervienen
TOTAL:
nº de chicos que intervienen
TOTAL:
o
2 paso: "Plantear algebraicamente la función objetivo y las restricciones"
Función objetivo (a maximizar):
G ( x , y) =
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← 20 chicas máximo
Restricciones:
← 20 chicos máximo
Obviamente:
x ≥ 0, y≥ 0
←
el nº de equipos de cada tipo no puede ser negativo
er
3 paso: "Representar el recinto definido por las restricciones"
1ª restricción:
2ª restricción:
o
4 paso: "Calcular las coordenadas de los vértices"
¿P?
¿Q?
¿ R?
o
5 paso: "Evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices, para ver en cuál se obtiene el máximo"
¡Ojo! no podemos considerar el vértice P, porque en este caso particular no tienen sentido soluciones
decimales (no son soluciones factibles). Por lo tanto, nos vamos al punto de coordenadas enteras más
3
cercano a P y situado en la periferia , que será el ( 2 , 6 ) :
3
Recordar que la solución óptima siempre se encuentra en un punto de la periferia. Por otra parte, también podíamos
haber considerado el ( 0 , 6 ) pero, evidentemente, dará menos beneficio que el ( 2 , 6 ) .
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G(2,6)=
G(Q)=
G(R)=
(Soluc: Deberán formar 5 equipos A y 5 equipos B para conseguir el máximo beneficio, el cual será de 400 € cada tarde)
Ejemplo 4: Resolver el problema anterior si la agencia pagara a 10 € la pareja y 40 € el equipo de cuatro
(algo no muy lógico...).
Función objetivo: G ( x , y ) =
G(2,6)=
G(Q)=
G(R)=
(Soluc: Deberán formar 2 equipos A y 6 equipos B para conseguir el máximo beneficio, el cual será de 260 € cada tarde)
Ejemplo 5 (Un problema con solución múltiple):
Resolver el problema anterior si la agencia pagara a 20
€ la pareja y 60 € el equipo de cuatro.
Función objetivo: G ( x , y ) = 20 x + 60 y
G ( 2 , 6 ) = 20 · 2 + 60 · 6 = 40 + 360 = 400 €
⇒
G ( Q ) = 20 · 5 + 60 · 5 = 10 0 + 300 = 400 €
G ( R ) = 20 · 10 = 200 €
Soluc: Hay dos souciones: 2 equipos A y 6
equipos B, o bien 5 equipos de cada tipo;
en ambos casos obtendrán 400 €
Nótese que en este caso la función ganacia toma el valor máximo en todos los puntos factibles del segmento
PQ. Estos puntos factibles son sólo dos: ( 2 , 6 ) y Q ( 5 , 5 ) .
Ejemplo 6: Resolver el problema anterior si la agencia pagara igual a ambos equipos, 30 €.
Función objetivo: G ( x , y ) =
G(2,6)=
G(Q)=
G(R)=
(Soluc: Hay 6 soluciones: (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1) y (10,0); en todos estos casos el beneficio será de 300 €)
Ejemplo 7 (Un problema con soluciones no enteras): «Una fábrica produce dos tipos de piezas:
NORMAL: Lleva una mano de imprimación y otra de pintura.
EXTRA: Lleva una mano de imprimación y tres de pintura.
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2
2
Disponen de imprimación para 100 m , pintura para 200 m y piezas sin pintar en cantidad ilimitada. Sus
2
2
2
ganacias netas son de 100 € / m la pieza normal y 400 € / m la extra. ¿Cuántos m de cada tipo les conviene
fabricar para que las ganancias sean máximas?».
Solución:
er
1 paso: "Identificar las dos variables del problema (y llamarlas x e y)"
x = nº de tableros NORMALES
y = nº de tableros EXTRA
Construimos una tabla para relacionar los datos (Ayuda: si cuesta completarla con x e y genéricos, empezar
con un ejemplo cualquiera concreto...):
NORMALES
EXTRA
2
m de cada pieza
2
m de imprimaciones
TOTAL:
2
m de pintura
TOTAL:
o
2 paso: "Plantear algebraicamente la función objetivo y las restricciones"
Función objetivo (a maximizar):
G ( x , y) =
← 100 m2 de imprimación máximo
Restricciones:
← 200 m2 de pintura máximo
Obviamente:
x ≥ 0, y≥ 0
er
3 paso: "Representar el recinto definido por las restricciones"
1ª restricción
:
2ª restricción:
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o
4 paso: "Calcular las coordenadas de los vértices"
¿P?
¿Q?
¿ R?
o
5 paso: "Evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices, para ver en cuál se obtiene el máximo"
Aquí sí podemos considerar el vértice P, porque en este caso particular sí tienen sentido soluciones
decimales:
G(P)=
G(Q)=
G(R)=
2
m
6
,
6
6
⌢
(Soluc: Lo ideal es producir
de piezas extra y ninguna pieza normal; la ganancia será de 26666,67 €)
Ejercicios final tema: 4, 5 y 6 (teóricos); 7 a 22 (de planteamiento)
Ejercicio PAEG: jun 2014 1B; jun 2013 1A; sept 2013 1A (teóricos)
jun 2015 1B; sept 2014 1B; jun 2012 1B; sept 2012 1A; jun 2011 1B; sept 2011 1B
(de planteamiento)
jun 2010 3A; sept 2010 3B
jun 2009 2A; sept 2009 2A; jun 2008 2A; sept 2008 2A; jun 2007 2A; sept 2007 2A;
jun 2006 2A; sept 2006 2A; jun 2005 2A; sept 2005 2A; jun 2004 2A; sept 2004 2A
.
IV. RESUMEN: EXISTENCIA y UNICIDAD de SOLUCIONES
A la vista de los ejercicios que llevamos resueltos, y de los ejemplos que
pueden verse en el anexo final del tema, desde el punto de vista del
número de soluciones pueden darse los siguientes casos:
Q
1º) Solución única: En la mayoría
de los casos hemos visto que, si el
recinto es acotado, entonces suele
existir una única solución, que se
encuentra siempre en un vértice.
Ello ocurre cuando, de todas las
soluciones factibles, la fución
objetivo toma el valor máximo (o mínimo) en dicho vértice, llamado
solución óptima (ver figura dcha.).
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2º) Varias soluciones: Como hemos visto en algunos casos (ejemplos 5
y 6), cuando la función objetivo toma el mismo valor en dos vértices
extremos del mismo segmento, entonces habrá varias soluciones
(normalmente los puntos de dicho lado con coordenadas x e y ∈ Z) (ver
figura izda. pág. anterior).
3º) Varias soluciones: Si el recinto no está acotado, es posible que no
exista solución (ejercicio 2 resuelto anexo final) (ver figura dcha.).
ANEXO: Ejercicios tipo resueltos
Ejercicio resuelto 1 (3 ejercicios teóricos sencillos)
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Ejercicio resuelto 2 (Recinto ilimitado, y sin solución)
Ejercicio resuelto 3 (Soluciones enteras)
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22 EJERCICIOS de PROGRAMACIÓN LINEAL
2º BACH. CC. SS.
INECUACIONES y RECINTOS:
1.
a) Representar el conjunto de puntos que satisfacen la inecuación 2 x - 3 y + 5 ≤ 0
b) Ídem con x + 3 y ≤ 3
c) Ídem con x - y + 1 > 0
d) Ídem con x + y - 2 ≥ 0
2.
Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las desigualdades x ≤ 7 , x ≥ 2
3.
Para cada uno de los siguientes sistemas, hallar el recinto solución e indicar las coordenadas de los vértices:
2x + 3y − 3 < 0 


y < 0
a)

x ≥ 0 
x + y − 3 < 0

x ≥ 0 
b)

y ≥ 0

x − y + 2 ≥ 0 
x ≥ 0


f) x + y − 2 ≥ 0 

x − y + 1 ≤ 0 
(Soluc:
2x − y ≥ −2 

x − y > −2
c)

x ≥1 

2x − y < 3 
x + 3y ≤ 3 

x ≥ 2 
d)

x − y + 1 > 0

y ≥ 0 
y−x≤2 

x + 5y ≥ 10 
e)

x + 2y < 16 

2x + y ≤ 20 
c) (1,3), (5,7), (1,-1) )
EJERCICIOS TEÓRICOS:
4.
a) Minimizar la fución F ( x , y) = 12 x + 4 y sujeta a las siguientes restricciones:
x+y≥2 

1
x ≤ 
2

y<4 

x − y < 0 
b) Maximizar la función anterior con las mismas restricciones.
5.
Hallar las parejas de valores no negativos (x,y) que minimizan la función F ( x , y) = 3 x + 2 y con las restricciones
siguientes:
7x + 2y ≥ 14 

4x + 5y ≥ 20 
6.
Maximizar la función F ( x , y ) = 5 x + 2 y , con las siguientes restricciones:
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MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS II
ALFONSO GONZÁLEZ
IES FERNANDO DE MENA
2x + y ≤ 6 


4x + y ≤ 10 

− x + y ≤ 3 
Las variables x e y se suponen no negativas.
PROBLEMAS de APLICACIÓN:
7.
Un comerciante acude al mercado a comprar naranjas. Dispone de 2000 € y en su furgoneta caben 1400 kg. En
el mercado tienen naranjas de tipo A a 1,10 € y de tipo B a 1,60 €. Él las podrá vender a 1,20 y 1,75 €
respectivamente ¿Cuántos kg deberá comprar de cada tipo para conseguir que los beneficios sean lo más altos
posibles? ¿Cuál será el beneficio?
8.
Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas.
Produce dos tipos de cajas: la de tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1 kg de frutas; la de
tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B
son 13 y 13,50 €, respectivamente ¿Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su venta? (Aviso:
en este ejercicio hay una restricción superflua)
(Solución: Deberá producir 55 cajas tipo A y 30 tipo B)
9.
(P.A.U. UCLM) Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A para hacer
la carrocería de un camión se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario.
En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de
mano de obra y maquinaria la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días- operario. Si los
beneficios que se obtienen por cada camión son de 6.000 €, y por cada automóvil 2.000 € ¿Cuántas unidades
de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias?. (Solución: Cada fábrica debe producir 24 camiones
y 66 coches)
10.
(P.A.U. UCLM) Un estudio realizado por una cadena de radio indica que un programa A con 20 minutos de
tertulia y un minuto de publicidad capta 30.000 oyentes, mientras que otro programa B con 10 minutos de tertulia
y un minuto de publicidad atrae a 10.000 oyentes. Para un periodo de tiempo dado la dirección de la emisora
dispone de 400 minutos para tertulias, y los anunciantes de 30 minutos de publicidad. ¿Cuántas veces deberá
aparecer cada tipo de programa para lograr la máxima audiencia? (Solución: 20 veces el programa A y ninguna vez
el B)
11.
(P.A.U. UCLM) Una fábrica construye dos tipos de coches eléctricos para campos de golf: monoplaza y biplaza.
En la fábrica hay un grupo de operarios dedicados al montaje y otro dedicado al acabado. En la tabla adjunta se
reflejan las horas necesarias según el modelo y las horas disponibles:
TIEMPO (horas)
MONTAJE
ACABADO
Coche monoplaza
3
3
Coche biplaza
5
3
Horas disponibles
150
120
Si los beneficios son de 500 € por coche de una plaza y 650 € por coche de dos plazas, ¿Cuántos coches de
(Soluc: 25 monoplazas y 15 biplazas)
cada tipo conviene fabricar para maximizar el beneficio?
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12.
(P.A.U. UCLM) Para cubrir las necesidades del organismo, durante un cierto periodo de tiempo, en dos tipos de
vitaminas P y Q se necesitan 30.000 unidades de la primera y 800 de la segunda. Se pueden adquirir dos
productos A y B, cuyos costes respectivos son 20 y 10 € por caja. Una caja del producto A proporciona 300
unidades de vitamina P y 4 unidades de vitamina Q. La caja del producto B proporciona 100 unidades de P y 8
unidades de vitamina Q. Determinar la cantidad de cajas que se debe adquirir de cada producto para que el
gasto que realicemos sea mínimo.
(Solución: 80 cajas del producto A y 60 del B)
13.
(P.A.U. UCLM) En un taller de confección se dispone de 160 m de algodón y 240 m de lana para hacer trajes y
2
2
2
2
abrigos. Se utilizan por término medio 1 m de algodón y 3 m de lana por cada traje, y 2 m de algodón y 2 m
de lana por cada abrigo. Cada traje se vende a 250 € y cada abrigo a 35 €. ¿Cuántos trajes y cuántos abrigos
deben hacer para obtener máximas ganancias?
(Solución: 40 trajes y 60 abrigos)
14.
Un peletero hace dos modelos de abrigo, A y B. Para ello, usa tres tipos de pieles: armiño, zorro y cuero. El
2
2
2
2
modelo A necesita 1 m de armiño, 2 m de zorro y 3 m de cuero; el modelo B, 3 m de armiño, 2 de zorro y 2
2
de cuero. Dispone de 50 m de armiño, 60 de zorro y 80 de cuero.
2
2
a) Si vende el modelo A a 1.250 € y el modelo B a 1.750 € ¿Cuántos de cada clase debe hacer para obtener
ingresos máximos?.
b) ¿Y si vendiera A a 1.400 € y B a 1.300 €?.
(Solución: 10 del A y 20 del B; 20 y 10 respectivamente)
15.
(P.A.U. UCLM) Supongamos que una alimentación equilibrada para una persona es aquella que le proporciona
al día 120 unidades de vitamina B, 240 unidades de vitamina C y 80 unidades de vitamina D. Una persona utiliza
sólo dos alimentos: el producto P que le proporciona 60 unidades de vitamina B, 40 de C y 20 de D por caja; y el
producto Q, que le proporciona 20 unidades de vitamina B, 120 de C y 20 de D por caja. Si no puede disponer
más que de 7 cajas de cada producto y el precio es de 40 y 32 € respectivamente, ¿Cuánto necesita de cada
clase para satisfacer sus necesidades, con el menor gasto?.
(Solución: 1 caja de P y 3 de Q)
16.
Una bolsa de abono debe tener por lo menos 495 gr. de fosfatos, 340 gr. de nitratos y 495 gr. de potasio.
Deseamos obtener este abono a partir de otros dos. El primero cuesta 1 € el kilogramo y contiene 99 gr. de
fosfatos, 250 gr. de nitratos y 165 gr. de potasio. El segundo cuesta 0,5 € el kilogramo y contiene 165 gr. de
fosfatos, 55 gr. de nitratos y 99 gr. de potasio. ¿Cuántos gramos de cada ingrediente debemos mezclar para que
(Solución: Deben mezclarse
el coste sea mínimo y al mismo tiempo cumplan las especificaciones nutritivas?
30/34 kg. de cada abono)
17.
Una O.N.G. se propone realizar proyectos de mejora de la producción agrícola en dos países subdesarrollados.
Estos proyectos requieren el envío de tractores, expertos y dinero. La organización cuenta con 20 tractores, 40
expertos y 270 millones de €. Las necesidades por proyecto y país son las siguientes: Ruanda: 2 tractores, 2
expertos y 30 millones € por proyecto; Argelia: 1 tractor, 3 expertos y 10 millones de € por proyecto. ¿Cuál es el
máximo número de proyectos que puede realizar dicha organización?. (Solución: 5 proyectos en Ruanda y 10 en
Argelia)
18.
Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM emite diariamente 12
horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general. La emisora de AM emite
diariamente 5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de información general. Cada día que
emite la emisora de FM le cuesta al grupo 5.000 € y cada día que emite la emisora de AM le cuesta 4.000 €
Sabiendo que tiene enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de
información general, ¿cuántos días deberán emitir con ese material cada una de las dos emisoras para que el
(Solución: 10 días en AM y ningún día en FM)
coste sea mínimo?
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19.
Una compañía tiene dos minas. La mina A produce diariamente 1 t de carbón de alta calidad, 2 t de carbón de
calidad media y 4 t de carbón de baja calidad. La mina B produce 2 t de cada una de las tres clases. La
compañía necesita 70 t de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos
diarios de la mina A ascienden a 150 € y los de la mina B a 200 € ¿Cuántos días deberán trabajar en cada mina
para que la fución de coste sea mínima?
20.
Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden
suministrarle, pero sólo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8
cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de
naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y
el mayorista B a 300 km, calcular cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con objeto de
ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.
21.
En la elaboración de un producto A se necesita una sustancia B. La cantidad A obtenida es menor o igual que el
doble de B utlizada, y la diferencia entre las cantidades del producto B y A no supera los 2 g mientras que la
suma no debe sobrepasar los 5 g. Además, se utiliza por lo menos 1 g de B y se requiere 1 g de A. La sustancia
A se vende a 5 €/g y la B cuesta 4 €/g. Calcular la cantidad de sustancia B necesaria para que el beneficio sea
máximo.
22.
Un abono para jardines ha de tener como mínimo 15 unidades de un componente químico líquido y 15 unidades
de otro componente sólido. En el mercado se encuentran dos clases de abono: el tipo A, que contiene una
unidad de componente líquido y 5 de sólido, y el tipo B, que contiene 5 unidades de componente líquido y una
de sólido. El precio del tipo A es de 10 € y el tipo B es de 30 € ¿qué cantidades han de comprarse de cada tipo
para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
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Los símbolos oficiales en España están contemplados en el Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el que se
establecen las Unidades Legales de Medida recogido en el BOE nº 264 de 3 de noviembre de 1989. Para la unidad de
medida “tonelada”, el símbolo asociado es “t”.
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