UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONÓMA DE NICARAGUA “UNAN-MANAGUA” RECINTO UNIVERSITARIO RUBÉN DARÍO DEPARTAMENTO DE CONSTRUCCION FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS Ingeniería sismorresistente Solución del Problema 9-7 propuesto en el libro Anil k. Chopra.Dinamic of structure Autores: Ing. Tatiana Isabel Barahona Ulloa Ing. Eddyn Ariel Rivera Calix Preguntar a : [email protected] Managua, Nicaragua, Noviembre de 2012 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Indice Ejercicio No 7; Capitulo 9; (Chopra, 1995); Dinamic of structure ................................................. 2 A- Calcular la ecuacion de movimiento asumiendo vigas flexibles. .......................................... 2 1- Idealizando la estructura ................................................................................................... 3 Calculo de la matriz de rígidez aplicando los casos de la ilustración 2. .................................... 3 Metodo de condensaion estatica............................................................................................ 10 Matriz de masa ........................................................................................................................ 11 Ecuacion de movimiento ......................................................................................................... 11 Frecuencias Naturales ......................................................................................................... 11 Formas modales ...................................................................................................................... 14 Calculo de los desplazamientos modales ................................................................................ 15 Expansión modal de fuerzas sísmicas ..................................................................................... 16 BConsiderando que las columnas y vigas son inextensibles. Las vigas son infinitamente rigidas a flexion. ................................................................................................ 19 Usando la segunda ley de Newton .......................................................................................... 20 Matriz de rígidez...................................................................................................................... 20 Matriz de masa ........................................................................................................................ 20 Ecuacion de movimiento ......................................................................................................... 20 Calculo de las frecuencias naturales ....................................................................................... 21 Expansión modal de fuerzas sísmicas ..................................................................................... 25 Bibliografía .................................................................................................................................. 27 Indice de ilustraciones Ilustración 1: Ejercicio No 7; Capitulo 9; (Chopra, 1995); Dinmic of structure. ............................ 2 Ilustración 2:comportamiento elástico de los elementos estructurales según el caso. (Chopra, 1995) ............................................................................................................................................. 3 Ilustración 3: idealización de la Estructura. .................................................................................. 3 Ilustración 4: Defromacion de los elementos cuando U1=1 ......................................................... 4 Ilustración 5:Deformación de los elementos del marco cuando U2=1 ......................................... 5 Ilustración 6: deformacion de los elementos del marco cuando U3=1 ........................................ 6 Ilustración 7:Deformacion de los elementos del marco cuando U4=1 ........................................ 7 Ilustración 8: deformación de los elementos del marco cuando U5=1 ........................................ 8 Ilustración 9: Deformacion del marco cuando U6=1 .................................................................... 9 Ilustración 10: Deformacion del marco cuando U1=1 ............................................................... 19 Ilustración 11: Deformacion del marco cuando U2=1 ................................................................ 19 Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 1 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Ilustración 12: Desplazamientos máximos por modo ................................................................. 25 Ejercicio No 7; Capitulo 9; (Chopra, 1995); Dinmic of structure Determinar: Matriz de rigidez condensada Frecuencias y modos de vibración Comparar inciso anterior con el caso de viga rígida. Ilustración 1: Ejercicio No 7; Capitulo 9; (Chopra, 1995); Dinmic of structure. A- Calcular la ecuacion de movimiento asumiendo vigas flexibles. m ̈ +KU=P(t) Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 2 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Ilustración 2:comportamiento elástico de los elementos estructurales según el caso. (Chopra, 1995) 1- Idealizando la estructura Ilustración 3: idealización de la Estructura. Calculo de la matriz de rígidez aplicando los casos de la ilustración 2. Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 3 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Ilustración 4: Defromacion de los elementos cuando U1=1 Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 4 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Ilustración 5:Deformación de los elementos del marco cuando U2=1 Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 5 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Ilustración 6: deformacion de los elementos del marco cuando U3=1 Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 6 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Ilustración 7:Deformacion de los elementos del marco cuando U4=1 Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 7 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Ilustración 8: deformación de los elementos del marco cuando U5=1 Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 8 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Ilustración 9: Deformacion del marco cuando U6=1 Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 9 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Metodo de condensacion estatica Utilizando el método de condensación estatica para determinar los grados de libertad con masas iguales a cero. La matriz condensada se calcula mediante la siguiente ecuación: ̂ =K – tt tt Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; * K0t Página 10 NICARAGUA noviembre de 2012 ̂ [ ] Trabaja de ingeniería sismorresistente [ ] [ ] [ ] [ [ ] ] [ ̂ ] [ ] [ ] ̂ [ ] Matriz de masa La matriz de masa queda asi: [ ] Ecuacion de movimiento La ecuación de movimiento es: [ ]{ ̈ ̈ } [ ]{ } { } m2 ̈ 2+Fs2=P2(t) Fs=KU De forma general se tiene: { } [ ] { } { } Frecuencias Naturales En primera instancia, se determinan las frecuencias naturales resolviendo la ecuación característica que resulta de igualar el determinante de [K- M] a cero. Det[ Det [ [ ] Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; | ]=0 |] Página 11 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Det [| |] [( ) ( Tomando )] [( ) ]=0 =P se tiene: [ ] [ [ ]=0 -( ]=0 =0 Agrupando: 2 + 2 + Tomando x= 2 + Resolviendo la ecuación cuadrática por medio de la formula general: √ Con √ Para el modo 1 Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 12 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente √ √ El periodo natural seria: √ √ Tn1= Para el modo 2 √ √ El periodo natural seria: √ Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 13 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente √ Tn2= Formas modales Las formas modales son obtenidas resolviendo el sistema singular que resulta de reemplazar las frecuencias naturales en las ecuaciones de equilibrio dinamico para vibraciones libres: Para el modo 1 se plantea: [ [ [ ] ] 0 | |] [ ] [ ] Con w1= [ [ ] | [| |] [ |] [ ] ] [ ] [ ] Dado que el sistema es singular, se establece el valor de una de las componentesdel vector , para asi obtener un sistema determinado.De esta manera se elige la segunda componente(piso superior) con un valor unitario para obtener la forma modal del primer modo: 0.482 Segundo modo: Con wn22= [ [ Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; ] | |] [ ] [ ] Página 14 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente [| |] [ ] [ ] 1.03 { } { } Calculo de los desplazamientos modales [ ] [ ] { } { }{ }= { } { } { }{ }= { } Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 15 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Expansión modal de fuerzas sísmicas Someteremos la estructura a una fuerza sísmica para ver sus desplazamientos y giros máximos que puede experimentar ∑ ∑ Donde: ; Desplazamientos relativos de entrepiso: ∑ ∑ Desplazamientos: { Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; } Página 16 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Para un T1 { { } } Los giros se obtienen de la siguiente manera: [ ] [ { } { { }{ } { ] } } Para un Tn2 { { Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; } } Página 17 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Los giros se obtienen de la siguiente manera: [ ] [ { } { { }{ } { ] } } √∑ √ √ √ √ Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 18 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente B- Considerando que las columnas y vigas son inextensibles. Las vigas son infinitamente rigidas a flexion. Ilustración 10: Deformacion del marco cuando U1=1 Ilustración 11: Deformacion del marco cuando U2=1 Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 19 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Usando la segunda ley de Newton P(t)-Fsj=mj ̈ Para j=1 y j=2, (estructura de dos niveles): m1 ̈ 1+Fs1=P1(t) m2 ̈ 2+Fs2=P2(t) Fs=KU De forma general se tiene: { } [ ] { } { } Fs: se relaciona con la rigidez natural de la estructura. M:matriz de rigidez de masa. Vj=Kj*∆Uj donde ∆Uj=Uj - Uj-1 { } ] { =[ } ; Fs=KU Matriz de rígidez La matriz de rigidez queda de la siguiente manera: [ ] [ ] Matriz de masa La matriz de masa queda asi: [ ] Ecuacion de movimiento La ecuación de movimiento es: [ ]{ ̈ ̈ } Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; + [ ]{ } ={ } Página 20 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Calculo de las frecuencias naturales En primera instancia, se determinan las frecuencias naturales resolviendo la ecuación característica que resulta de igualar el determinante de [K- M] a cero. ̂ tt= [ ] Mtt= | ] ]=0 Det[ Det [ | [ | |] Det [| |] [( ) ( Tomando )] [( ) ]=0 =P se tiene: [ ] [ [ ]=0 -( ]=0 =0 Agrupando: 2 + 2 + Tomando x= 2 + Resolviendo la ecuación cuadrática por medio de la formula general: √ Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 21 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Con √ Para el modo 1 √ √ El periodo natural seria: √ Tn1= √ Para el modo 2 Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 22 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente √ √ El periodo natural seria: √ √ Tn2= Las formas modales son obtenidas resolviendo el sistema singular que resulta de reemplazar las frecuencias naturales en las ecuaciones de equilibrio dinamico para vibraciones libres: Para el modo 1 se plantea: [ [ | ] | | |] [ Con [ | | [| Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; 0 ] [ ] =14.06 | |] [ |] [ ] ] [ ] [ ] Página 23 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Dado que el sistema es singular, se establece el valor de una de las componentesdel vector , para asi obtener un sistema determinado.De esta manera se elige la segunda componente(piso superior) con un valor unitario para obtener la forma modal del primer modo: 0.71 Segundo modo: Con wn22=81.94 [ | | | [| |] [ |] [ ] ] [ ] [ ] 0.71 { Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; } { } Página 24 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Ilustración 12: Desplazamientos máximos por modo Determinacion de desplazamientos máximos: Expansión modal de fuerzas sísmicas Someteremos la estructura a una fuerza sísmica para ver sus desplazamientos y giros máximos que puede experimentar ∑ ∑ Donde: ; Desplazamientos relativos de entrepiso: ∑ ∑ Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 25 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente Desplazamientos: { } Para un T1 { { } } Para un T2 { { } } √∑ √ Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 26 NICARAGUA noviembre de 2012 Trabaja de ingeniería sismorresistente √ √ Bibliografía CELIGÜETA, J. T. (1998). Curso de Dinamica Estructural. San Sebastian: EUNSA. Chopra, A. K. (1995). Dinamic of structures:theory and applications to earthquake engineering. Englewood Cliffs, New Jersey: Pretince Hall do Brazil. Taty Barahona; Eddyn A. Rivera; Página 27