PDF (Cálculo de los radios en función del número de revoluciones

- 57 -
r
w'
n' / \
—r = — = —
(2) Es decir: los radios son
r'
w
n
'
inversamente proporcionales a las velocidades angulares y estas están en
razón directa del número de revoluciones por minuto.
CALCULO DE LOS RADIOS EN FUNCIÓN DEL NUMERO DE REVOLUCIONES POR MINUTO Y
=
DE LA DISTANCIA ENTRE EJES.
,
/
Gráficamente: Para ello Llevamos
tff- - . ;".
a escala la dis^ ^ s^^
tancia 00' = ó .
^*\^^
Luego tomamos soí"^
r'
*
bre esta recta y
en O n' igualmen^ \ ^
te
a «scala.
o'
(Fiof,2
j Finalmen\
\ ^
te,
^\^
Llevcimos n, en
n
sentido contra rio al anterior
a
Uniendo los punr/á ^. _
tos B y A cortamos a o^ en C ,
Punto de tangencia de los cilindros o ruedas de fricción, 00' = ^ .
Frecuentemente se fija la distancia 00' de los ejes de las ruedas y de la
relación del número de vueltas por minuto K = nj_ , calculemos los radios
r y r' según (l) se puede escribir.
n
^
->
•
.
-
^
•
•
;
.
'
-
^
,
•
•
•
•
:
-
•
•
-
-
.
.•
:
;
•
•
A'
a
K ^
1
y como
í
¿j =
00'
Se tiene:
K
K = n
n
n
rr
= T'^ • •• v3;
r^
r '
K 4 1
r' 4 r
1
""
r
r-
== OC 4 CO'
\...i
rX
=
T
r -j. r'
d
=
r
(5)
k 4 1
que Já el valor de r,
r'=0-r
(4)
_^
= 0 -
¿
k 4 1
. -
= k Q
k 4 1
(6)
- 58 que expresa el radio de la menor conocidos o y la relación K,
Los r<adios en función de n y n' valen; sustituyendo en (5)
r =
X n-
b
n 4 n'
n r
n' 0
r' =
n 4 n'
nr f 1
La fuerza üangencial P debida ul rozamiento, que se desarrolla en la
generatriz de contacto de los rodillos depende de la potencia Nc que debe
transmitirse, de modo que si Nc, se expresa en C V , P en kg y v en m/seg,
se tiene
75 Nc
=
75 Me
P.V.
Por otra parte si P es la presión normal que un rodillo ejerce sobre el otro debe verificarse que
P ^
fP
F
o bien
f
Siendo f el coeficiente de rozamiento cuyos valores dependen de ia naturaleza de los cuerpos en contacto,
f = 0'l
a
O'15
=
Fundición sobre fundición
f = 0'2
a O'30
Cuero sobre cuero
f = 0'2
a O'50
Madera sobre madera
LAS DOS RUEDAS DEBEN GIRAR EN EL MISMO SENTIDO.
^ ^
. y^
v^
ríG 3 _
,
En este caso hay que adoptar una
disposición como la de la (figura 3),
O = 00 = OA - AO' = r - r'
!_ = £ _ ; 1-k =
í^1 - k
r-r I
_
2- 5
- 59 -
í = -y k
r
1
,
r =
k
¿ n'^ -nn
í
1-k
r =
n' ó
n' - n
Para transmitir movimiento a otro árbol paralelo se emplean también
las ruedas acanaladas con las que se disminuyen los esfuerzos radiales, pero se tiene el inconveniente de
que si la velocidad tangencial de
las ruedas en la recta xx es la
misma, el punto a de la rueda A
tiene una velocidad mayor que el
punto A de la rueda B, En cambio
el punto b de la rueda A tiene
velocidad menor que el b de la
rueda B, hay un deslizamiento relativo en la generatriz de contacto que es la causa de pérdidas
por frotamiento, (Fig, 4)
RUEDAS Q\^ FRICCIÓN - ARBOLES QUE SE CORTAN - CONOS DE FRICCIÓN.
'ti
c*
\
4J / \
, '
\
/
Cuando se tiene que transmitir
el movimiento de rotación de un
árbol de e;Je OA a otro de eje OB,
que
corta a OA en O se utilizan
los conos de fricción CDD'C y
CDD''C'', (Fig.5), Dos troncos
de los conos de fricción arras trando una de las ruedas en su movimiento a la otra por el roza miento desarrollado por la presión
rodar lo sin deslizamiento con las
notaciones de la figura para el
punto D la velocidad lineal, como
perteneciente a la rueda citlada
en el árbol motor OA es V = r n
30
y como perteneciente a la rueda
conducida, calada en el árbol OB
- 60 -
V =
es
r, . n'
30
rn = r, D'
nj
n
r
Para las circunferencias CC'
—
y
,
CC''
se tiene:
generalizando
n
K
=
n_
n'
r, =
r
r.
O sea^que el número de revoluciones es inversamente proporcional a los radios cualesquiera correspondientes de las circunferencias en contacto.
La elección de los radios es arbitraria.
CALCULO DE LOS RADIOS EN FUNCIÓN DEL ÁNGULO DE CORTE DE LOS EJES Y DE LA
RELACIÓN DE TRANSMISIÓN,
n_
K
O B = O
n' ^
6
O A = a = OC
r
r
I
(1)
r = a Sen -©•,
(2)
O = a Cos ü',
(3)
r , = a Sen -^^
r
I
^2
.,^C
(4) r ^
r
= K
\y-Fi6 6
•
.-•".
(5) ^ ,
Reemplazando.
a= Sen
i^
^2
*^2
=^
- 61 -
Sen •^, = r
Sen
^
K r
Cos -Q-, - (
Sen
Sen
^
í.'
r,
%
••
K r
Sen
K r
=
+ ^2 = ^
Sen -»7
Sen ^ ^
=
Cos -Q-,
=
^2
' "-
=
®
(l) , (3) , (4) -
1
K
^5
^, ^ %
=
=
^ - ^ ,
^
desarrollando la
Sem -Qj_
df, de Senos
Sen ».
=
Sen -^^ cos -Q-, - Sen -Q-, .eos -^
1
~ n.
n.
Sem(-Q--^, )
dividiendo el primer miembro,
1
=
Sen -Q- Ctg %
-
Cos -Q-
Sen ^.
Cotg
-Q-,
=
ctg -Q- -
K f cos -QSen-Q-
f
C2)
(t)
/
^
«,1-^2
Teniendo en cuenta
Sen -Q7
^°^^ = 7 .
.í
sen -Qk 4 cos -Q-
r_-X
Sen -Qn + cos -Qn'
1
k
cos -Q- =
Pero
_
r
K
de (l)
=
y
(2)
k 4 cos -QSen -Q-
</ sen -QK 4 eos -Q—
^ n' Sen-Qn f n' cos - ^
1
K
62 -
y de
(4)
r,
5•2
tenemos:
=
ó k Sen ^ __
k f cos "^ ~
6 n' Sen -^ _
n -f- eos -Q-
ó n sen -Qn f n' cos -^
ENGRANAJES.
Tienen por objeto la transmisión del movimiento de rotación de un ár . bol iQf a otro ^^ paralelóla diferencia de los rodillos de fricción que
se emplean para débiles esfuerzos y grandes velocidades aún con bandas de
cuero o de caucho, que en parte logran aumentar la adherencia, pero para
grandes potencias la resistencia a vencer es considerable, las ruedas de
fricción deslizarían, no pudiendo anular este deslizamiento mas que ejer ciendo una presión considerable en los cilindros, lo cual originaria grandes reacciones en los cojinetes y pérdida de energía,
- En estos casos las superficies en contacto van provistas de entrantes
y salientes, DIENTES de manera que al girar la rueda celada en O los dientes de esta rueda, encajan en los entrantes, o huecos, de la otra calada en
• O' ejerciendo sobre estos una presión que obliga a girar a la rueda O' y al
árbol O' evitando asi los deslizamientos de las ruedas de fricción y obte niendo LAS RUEDAS DENTADAS, en las cuales los dientes ruedan sobre las cir• cunferencias de los dos cilindros de transmisión, sustituidos ahora por las
ruedas dentadas, circunferencias llamadas ahora PRIMITIVAS, cuyo radio y
diámetro reciben el nombre de Primitivos, La rueda de menor número de dientes se llama piñón. El conjunto de ruedas dentadas se denomina engranaje,
mecanismos de gran aplicación en las construcciones mecánicas, principalmente en la industria del automóvil y las máquinas herramientas. Todo este
incremento en su demanda ha hecho progresar de una manera notoria todo lo
relacionado con ruedas dentadas, hasta el punto de que se ha llegado al descubrimiento y adopción de muy deversos tipos de engranajes atendiendo a la
resistencia del material, a su suavidad y rendimiento, llegando hasta la
creación de máquinas especiales para gex.
c'ion jj/e ¡ o s pfíiLP^o^
5'3
CLASIFICACIÓN,
:
* •
j
•
.- .
La transmisión entre ejes puede ser:
a)
"
~_
EJES PARALELOS:
Que dan lugar a la transmisión del movimiento mediante ENGRANAJES
lornfilo óU\'¡n
ínGí-, Eéctoí
O'
Fí<3
¿
Tlü 2*
linón
yCor'crvtí. hÍPoídfii
Ti*6
DE DIb:rrSS
b)
RECTOS Y H E L I C O I D A L E S
(Fig,
_
4-
1)0
EJES QUE SE CRUZAN.
La transmisión se efectúa entonces mediante ruedas helicoidales
(Fig, 2 y 2') o sistema de rueda helicoidal y su tornillo sinfin.
c)
EJES QUE SE CORTAN.
Los que dan origen a la transmisión mediante ruedas cónicas (Fig,3)
Dentro de los engranajes cuyos ej- J se cruzan se puede considera el
llamado acoplamiento HIPOIDE que ^5 ün tfpo ^f>ec]o,t 6 ^ Gn£)rú.nei|d CoaíCC
én €áp?ra(. C O ^ Í O Í , ajea ^^ crü-ccLO.,X'lg,
t/c
Según lo anteriormente (ypuesto se pueden consider los siguientes tipos.'
de ruedas dentadas.
- 54 -
1,
Ruedas cilindricas con dientes rectos,
2,
Ruedas cilindricas con dientes Helicoidales,
3,
Ruedas Glt dicas para engranar con tornillo sinfin,
4,
Ruedas cónicas con diente recto,
5,
Ruedas cónicas con diente espiral o inclinado»
5,
Ruedas hipoidales,
7.
Ruedas Chevron o de espina.
5*4. ELEMENTOS DE UN ENGRANAJE RECTO.
CIRCUNFERENCIA EXTERIOR o
DE CABEZA.
(Fig, 5) Es la CC, con céntrica con la primitiva
PP. y que limita el diente
en su parte superior o exteriormente.Su diámetro o
radio lo representaremos
por: De, Re,
CIRCUNFERENCIA DE RAÍZ,
De pie o interior es la
C C concéntrica con la
primitiva y que limita al
diente por su parte interior o 'raíz, o sea, interiormente, su diámetro o radio
los representaremos por Dr
Rr,
f i e 5.^
CIRCUNFERENCIA PRIMITIVA
RODANTE O POLARES.
Son las que siempre per-
manecen tangentes (Pig, 6),
ESPESOR DEL DIENTE,
Es el arco ee' = s medido sobre la circunferencia primitiva comprendido en la parte maciza del diente (Fig, 5').
HUECO DEL DIENTE,
- 65 -
fiG
o intervalo w = e'h es
el arco medido sobre
la circunferencia primitiva y comprendido
entre dos dientes consecutivos. Juego 0'l63m
e
PASO DEL DIENTE,
Paso circunferencial
o circular t = eh es
el arco de circunferencia primitiva suma del
espesor s = ee' y del
hueco w es decir:
t = eh = s -^ w
,
también puede ser la
distancia entre los ejes de los dientes consecutivos, medido sobre la circunferencia
primitiva (Fig, 7 ) ,
t = ee' 4 e'h = s4w (l)
Llamando Z y Z'
el número de dientes, revolucio n y n' Rp ,y rp
nes por minuto y radios primitivos de las dos ruedas que constituyen un en-
f''^ 7
granaje, como el paso
verifica para estas:
t
es el mismo para los dientes de ambas ruedas, se
- 66 -
2 ir Rp
=
t z
2 Itrp =
----(2)
t z'
t
=
2 IjRp
z
_ .
FDI
2'
•'
t
_z
z'
RE
rp
_
dp
=
TdT
2 F rp
Z'
(3A)
El número de dientes, de dos ruedas que engrana, está en razón directa de sus radios o diámetros, PRIMITIVOS.ahora bien como: n
rp
+ V,
n' " Rp
tenemos.
'
^
ÍL _ ££ _ IE _ 11
o
~ Rp " Dp " Z
El número de revoluciones por minuto, de las ruedas dentadas esta en
razón inversa del número de dientes y de los diámetros (o radios) primiti vos.
Si dos ruedas engranan el producto del número de dientes por el de revoluciones por minuto es constante tenemos
ITDp =
tz
» DE _ z
t " T
DE
z
t
T
JUEGO DEL DIENTE,
Para el mejor engrane, el espesor es menor que el hueco, evitando así,
en parte la rotura de los dientes, la diferencia entre ambas medidas es el
juego.
Si Dp es el diámetro de la circunferencia primitiva de una rueda y
z el número de dientes de la rueda se
tiene;
F i
LJ
I
t
=
TDp
-
- I
•
= TT M
Siendo M = Dp/j" el módulo o paso diametral, expresando el diámetro
primitivo en m,m.
Definiendo el módulo M, diremos: que es la relación del
diámetro primitivo Dp al número de dientes,
^tras habíamos visto que
D£ _
z
"
t
TT
tomando el T- miembro hacemos:
'
- 67 -
t
=
M
5
t
= TT, M
(7)
-.. - _
TT
el paso es por tanto múltiplo de TT , Dos ruedas del mismo módulo ( M ) tienen el mismo paso circunferencial, cualesquiera que sea el diámetro primi vo y le número de dientes para que puedan engranar.
De la (7) deducimos
,,. P - ^ - ;_
*•
M _ i
t " ir
_ 2xRp
" 2TrRp
_ Dp
~ 2TTRP
- ^'•.^
O sea: La relación del módulo al paso es la misma que la del diámetro primitivo a la longitud de la circunferencia primitiva.
Para t se adopta un múltiplo de
número exacto de milímetros
TT, con lo cual Dp (y De) será un
El módulo 1 corresponde a un j s s o de 3'14 mm,
el Módulo 2 corresponde a un paso de 2 x 3'14 = 6'28rnii
El módulo 3 corresponde a un paso de 3 x 3'14 = 9'42 nn
El módulo 2o correspondea un paso de 20 x 3'14 = 62'& ntrn
ALTURA DEL DIENTE,
-•
h; es la distancia entre las circunferencias de cabeza y pie,
h= dij
CABEZA DEL DIENTE,
Es la porción de dientp comprendida entre la circunferencia primitiva
y la exterior o sea er. ^ ^ ' ^ ^ « " 9 ' L Q ' Y l g S " ) .
La superficie lateral de la cabeza es la FRENTE del diente. ^'J^ ^ ^'. _ f .'7 5
VÉRTICE DEL DIENTE,
Es la superficie n 1 g e'' que limita la superficie exterior del diente o la cabeza. TíC». 5 , PIE DEL DIENTE.
Es la porción del diente comprendida entre la circunferencia primitiva y la interior o de raíz, o sea la porción inferior a la cabeza
g_i. ^ e' q^^<]> p'f" fie,. 5"
L'l superficie later?
del pie se llama FLAWO DEL DIENTE
habiendo por
- 68 -
tanto dos flancos en cada pié del diente; p''f*|.CP'v| qH ^ *^ ^y^'<^. ^
BASE,
Es el apoyo del diente. Superficie fi'W"^'f'{i'L T''<í.
\.
PERFIL DEL DIENTE;
Es la intersección de los flancos con un plano normal al eje de la
rueda, r'Cj. 7
ANCHURA O LAR60 DEL DIENTE,
es la longitud n e'' comprendida entre los dos planos normales al
eje de la rueda, F>"L- 5"
..
RELACIÓN DE TRANSMISIÓN,
, .
.
'^
. ,. '
•
'
"
Sean W' (rueda
y n' de la
velocidad
y el número
por minutos deipfñón
menor
número angular
de dientes);
y W de
i] vueltas
la velocidad
angular y el número de vueltas por minuto de la rueda (la de mayor número de
dientes) se tiene.
i
"" •• •"•
'
-
wi ^ nj.
"
W
n
„.
",
-
^
Siendo que el número de dientes que se ponen en contacto en un minuto
tanto de rueda como de piñón son iguales, escribimosí
n Z =
o también
i =
n£ _
nr ~
D^
dp
n' Z'
_
~
Z_
z'
Luego
•
i
=
n_|_ = _z__
n
z'
•"
NORMALIZACIÓN DE ENGRANAJES
Casi la totalidad de las ruedas que se fabrican son talladas a máquina, estando nonnalizadas sus dimensiones. Se hace:
• a
b
^
^
=
=
M
= <p M.
d = 1'25 M
h = 2'25 M
e = 1'57 , M;
suele tomarse:
5 a 6 para flancos en bruto con grandes fuerzas y pocas revoluciones.
Cp =
10,
U/ =
15- a
para flancos trabajados y carga mediana
30
para flancos trabajados con exactitud con buen asien-
- 69 tü de cojinetes. Potencias elevadas. Estas son las dimensiones del siste*
ma moderno.
El Juego entre las dos ruedas que engranan es;
d - a
= 0'25 M.
CASO ENGRANAJES FUNDIDOS.
e
=
19 . =
40 *
h
=
2'167 M
1'491 M.
a = M.
b = 3t =
d = 7/6M
9'32 M - ^
= 1'167 M
10 M
Los Módulos Normales son los siguientes:
M
M
M
M
M
M
M
5'5
= 0'3
= l'OO
= 4'0
= 7'0
= 16
= 24
= 45
0'4
1'25
4'5
8'0
18
27
; 50
0'5
1'5
5
9'0
20
30
55
hasta
hasta
hasta
hasta
, hasta
hasta
; hasta
1»00
4.00
7
16
24
45
70
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
aumentando
aumentando
aumentando
aumentando
aumentando
aumentando
aumentando
O'l
0'25
0'50
1
2
3
5
mm
mm
mm
WIHI
mm
nun
mm
DISTANCIA ENTRE LOS EJES.
5iendo Ó la distancia entre ejes (intereje ) M = módulo
mero de dientes tenemos;
Ó =
+ r„
R.,
y
z, = nú-
= De_ -f d£
Sustituyendo los diámetros primitivos por los valores obtenidos cuando definíamos al módulo de la (5)
Dp
dp
=
MZ
¿ = M zJL
= M,Z'
Si los engranajes son interiores la distancia entre los ejes de las dos ruedas es (Fig, € ) ,
^=
00' = R - f = i (D - d )
P
P
P
P
=
M
(z - z')
- 70 -
5'6
CALCULO DEL MODULO EN FUNCIÓN DEL DIÁMETRO EXTERIOR (O DE CABEZA) Y
-'
•'
EL NUMERO DE DIENTES.
Tenemos que:
De = D
4 2a
P *
Como veíamos Qtias
De = D
De
a = M
P
= Mz
4 2M
f 2M
=
M(Z42)
(ll)
el diámetro de cabeza es el producto del módulo por el número de dientes
aumentando este número en 2 unidades. Despejando en esta última fórmula
tenemos
M
= Dt
M
-• ^
z 4 2
que nos da el módulo en función del número de dientes y el diámetro exterior
5'7
"í
CALCULO DEL PASO, EN FUNCIÓN DEL ESFUERZO TANGENCIAL P, DEL NUMERO
Y DEL NUMERO Z
DE C V
(]
DE DIENTES.
Para su cálculo consideramos el
diente como un solido empotrado en
P un extremo y con una carga concentrada P, en el otro extremo (voladizo) (Figs, 9 y 10),
El momento fleotor máximo en el empotramiento será
p h = ^/ I
y^(^
12
FTCi 9. _
2
i
-y
b e
(A)
Prácticamente, la altura h y la anchura b están expresados en función
del espesor e por las relaciones
- 71 y
b = m e.
h
=
m e , g,
6
Pne =
n, e
e=
por tanto
\j a,m V
(1)
n = l'¿ a 1'5
ordinariamente
5 - 6 - velocidades ordinarias
rr\=^
Para
6 -10
n = 1'34
e =
y
Tomando Q| = 2
sado e en cm
m = 5
(fundición)
0'9YP~~
y
para velocidades altas
obtenemos
e = Q ' 6 \ I T ' (acero)
;
(^i= 5 kg/mm
respectivamente^estando expre-
• En la mayor parte de los casos se da la potencia N a transmitirse, da
C V y el número de R, P, M. necesitando determinar P,
Para ello hallamos el trabajo
la fuerza en su camino, es decir en una vuelta trayectoria
Mo' ' A B C' M O Tomando arcos elementales y teniendo encuenta que Pm (esfuerzo
máximo) es constantemente tangente a la circunferencia, el
trabajo será
T
y en
n,
=
Pmx , 2 r R
vueltas el trabajo
T
=
es:
Pmx , 2
n.
ITR
P
•
,
y en un segundo, obtendremos la potencia,
N
si
r = m
Si queremos obtener
=
Pm 2fr» Rp Jl
y
P
N
; que será en Kgm/seg,
= kg,en
CV,
- 72 -
_' =;
.'I
N
=
tangencial \ P =
•:, . .... .
Pm». 2 TT.R p n
60 X 75
y
como la velocidad
2]Tr.n
60
nos quedará:
N/
PiT)X! ds
s =
" y
despejando
Q_ ;
estas fórmulas tenemos : '
Pw =
(l)
,
716'2
N (cv)
n. Rp
nRp
75 Ncv
[^ = cv,
Sustituyendo en la
ff
75 X 5C
2 ÍT
Pmx. =
Nótese que:
Pm»V^
(2)
(3)
n
= r,p,m,
el valor de
-
Pm
r = m,
de la (2)
\ i 716'2 M CY
\
nx Rp
_\ 76 n
<3^rfl
1/= m/seg.
_
65'2 \ / n
Y C^L m
M
/fw
n XRp
r
Sustituyendo en la
(l), el valor de
vamos a relacionar todo con el paso
= Bt
b
=
Ijlt. de la fórmula (A)
Pm
to
hallído) en
llamando
Ph = (jí be
(3) tenemos
h = o(^t
;
e =
, (Ecuación
resistencia CL Flex.)
2.2
P .oCt = (íj ^ t , p^t^
6
2
P = <\ ^ j i
Llamando
C
= Of
;í
(B)
de
- 73 queda
vamos a estalbecer las fórmulas en función de o¿ , B, ^
.i
m e
=
e
=
n e
=
Vüt
h
=
<^t
e
=
Bt
b
h
=
ne
b
=
me
peir t a n t o
= 4^' t
dividiendo,
B
n
í<t
n
=
=
^^^
Fórmulas
e
\A
SoC
=
\/<q-vV
t -d e s p e j a n d o en
(2')
despejando en B^t
(1'') equivale a 1'
(l')
(l-M)
t
=
N
e = 65,2 y
e = 21'2
pero;
t = e
(4)
\l
t = 65'2
= 65'2\/ 1
6 C
B
_
26'6
(5)
n R|
í
t
=
(3')
n.Rp.
21'2
oO
f^f T f
8'65
=
21'2\
6Cf
(6)
ih
TT
t
n
RI
- 74 -
Vamos a relacionar el número de dientes Z teniendo en cuenta que:
t
= 2 "TT Rp
2
5
Rp = _ t z
2T
S u s t i t u y e n d o en l a ( 5 )
t
2
y
=
— 2
26'6'^
_
26-6
2]rN .
\/
;
26'6
"^
)
A' =
\ /21TH
Y n ."t tZ
26'6'
2fr ^l
cO)
n
n.t.Z
z
X
.
t
=
; V^
16'43
\l^^
Teniendo en cuenta que
Clones.
déla
1"'
•
+
M = •==-
(7)
podemos sacar estas otras rela-
J
M=
O' 318
\/
P
(8)
V^f.
de la
5 -
M =
M
de la
6 ' '-
=
M =
de la
7
M
=
M =
8'48
8'48
2'76
2'76
5'22
5'22
1 / N
"x \
(5)
'1 / 2L
(lO)
A^/
jl
\Fr
\-Zí
DATOS
P R Á C T I C O S
^"'••'•^
- 75
I
FUNDICIONES
jimites
oC JL
^
kg/iA
C
kg/m^
PE
ACEROS
^Y^^/A
kg/m'
FORJADO
(Jlkg/n
k g / im
Máximo
O'70 0 ' 5 5
O'40x10
O'6x10
0'435xlO
l'5xlO
1'08 xlO
Mínimo
O'70 O'50
O'25x10^ O'149x10^ O'5x10
O'297x10
O'9x1O
0'535xlO
Normal
0'7
0 ' 5 2 5 O ' 3 xlO^ 0'197xlO^ O'5x10
0'327xlO
l ' 2 x l O ^ O'785x10
(Base de l a
0'29_xl0
C)
cJ>/e/)¿£^ Tre^cs Jos • z'-^pe^or. <S^ ez'^$7^~é;
hueco
PZ)
Constante
p =
UJ 1 e/)úl ArPMer caso Q-^J'^fC
vV/
e
" cl
=
CÓISOQ'SI2P(J
independiente del material
••
-
Varía según unos límites debidos al juego del engranaje
Fatiga de flexión
c
¿^^
(tablas)
=• .•
Calculado del siguiente modo
C max
=
1
7
¿
Bma x __
^max
^ Iji.
o6
Cmin.
= _1 B
6
C n.
=
1 B
min
^ (ji min
^
oC
normal
6 ^ o<L
En fueooáde fuerza y cargas intermitentes U*-
fijnormal
^
¿
En transmisiones normales
Ul= 2'5 a
En grandes transmisiones
(J;-
3
3
a 5
- 76 -
o6
0'5
0'5
-
0'55
El cálculo debe empezar por la rueda pequeña que es la más peligrosa.
La fatiga CL la flexión
debe considerarse con sumo cuidado ya que el material estará sujeto a choques y vibraciones tanto en su montaje como en la
ejecución de su trabajo, además hay que tener en cuenta al desgaste de los
flancos, deformaciones etc..
Otra fórmula para calcular el módulo en función de la potencia y del número z de dientes es:
^
M
10
n
=
^^.„\ /lOOO N (c v ) !
35'7\/
^ j j n
(12)
para flancos fresados y carga mediana
vueltas por minuto.
10'31
5'8
( \
(mm) =
-
dientes tallados por fresa,factor deforma.
DIMENSIONES DE LAS RUEDAS,
Las formas más corrientes de las ruedas rectas son: Rueda maciza, (Fig,
w ) . La rueda de plato. La de Brazos de sección elíptica, I^a de brazos de sección en cruz- e t c , .
d
f/6. ñ
77 , '
DIMENSIONES GENERALES,
, ..;
Las ruedas de plato y de brazos tiene las dos partes comunes siguien teí-j: La llanta o corona sobre la que va la dentadura, y el cubo que es la
parte en la que se introduce el eje. Sean Dp, el diámetro primitivo de la
rueda; M, el módulo; de,diámetro del eje en mm. de diámetro del cubo I =
largo del cubo, c, la corona o llanta; b, el ancho de la rueda, Ncv = la
potencia en caballos y n, el número de vueltas por minuto. Se hacen*.
\l\
de =
b ^ ^
de '<>/
^ 2de
122 \ / N(cv)
\0l^
1 = b 4 Djp
C = 1'65 M 4 2 mm
NUMERO DE BRAZOS.
Las ruedas suelen tener 4, 6, 8, 10 brazos, según que el diámetro primitivo de la rueda este comprendido entre
0 ' 5 a l - l ' 5 a 4 - 4 a
6 y 6 a 8 metros pueden eraplarse las siguientes fórmulas;
'V
"^ = i \/ Dp(mm) (X i
nb =^ Dp
Nb
\/Di
: 2 de
= número de brazos
' Dp y de =
en mm<
Corrientemente el número de brazos suele ser de 6
RUEDA DE PLATO.
^
-'-••.
>Jr' .
• /
El espesor del olato suele hacerse:
<f s 1'9 M
FORMA DE LOS BRAZOS.
La sección puede ser elíptica u oval, para ruedas pequeñas, en forma ^e
I, para cilindricos, C o 3C para grandes ruedas, y T para cónicas. Cuando
la rueda no precise brazos por ser pequeña, puede tomarse para grueso del
platoá
1 ' 9 M a 2M
- 78 RUEDAS DE BRAZOS DE SECCIÓN ELÍPTICA.
Aplicamos la fórmula vista arriba, es decÍTo (Fig. 12)
1
Nb
Dp
- 2 , de^
Sean: a, y b, los ejes
mayor y menor de la elipse,
junto al cubo respectivamente. Se hace:
3
a, -^ 2 •32 \ / £ O J
y 2nb
r.
' ' - X,
-.
Fíe J ¿
b, = 0'4 a,
• -
Siendo Ft = esfuerzo tangencial.
T
Las dimensiones junto a la llanta serán:
Q', =
b'„ 0'75 b,
O'75
RUEDAS DE BRAZOS DE SECCIÓN EN CRUZ.
h, =
de
e. =
h,
Y nb
6
Las dimensiones del brazo junto a la llanta serán:
I
r:í
O'S h.
({ = o'8 e,
h¿ = 0'8 hg
e'2 =
0'8 e^
CORONA 0 LLANTAo
El espesor
5'9
s = O'^t
b
= anchura o longitud del diente.
NUMERO DE DIENTES. VELOCIDAD TANGENCIAL Y RELACIÓN DE TRANSMISIÓN.
El número de dientes se deduce de la fórmula z =
TT Dp
, Generaltomar el enmente resulta para Z un número no entero, debiéndose
tero más próximo: Supongamos que este sea z, ; de el se saca un nuevo paso
y conocido
t, , se hacen las corre-
- 79 -
ciones en los demás elementos del diente como mínimo se tomarán 10 en rueda
de fuerza y 25 - 40 en las de transmisión.
El número de dientes también puede calcularse por la expresión:
M
En la práctica se acoplan las ruedas de manera que los números de dientes
sean primos entre sí, para evitármenos desgaste.
Cuando la velocidad es grande existen choques y vibraciones considerables - por cuyo motivo no debe T>asar la velocidad de un cierto limite, para
la fundición de 6 m/s y casi del doble para lo.s tallados.
Para miedas accionadas a mano, la relación de transmisión debe ser _1„
10
Con pocas R„ P. M,
la relación del transmisión será = !_
7
Con muchas R. P, M.
la relación del transmisión será =
^ l/5
A veces se fija de un modo arbitrario el número de dientes Z de la
rueda mayor o el radio primitivo de esta, entonces es conveniente guiarse
por las siguientes relaciones.
Z i-Ví 60 f 22
Rp
5'10
n
= (5 4 n )de
n*
áe = 4 eje
n>n'
RENDIMIENTO DE UN ENGRANAJE.
Para una posición cualquiera, siendo a el punto de contacto de dos
dientes actúan en la rueda 0^ P. y F (Fuerza de rozamiento y N reacción de
la presión que para su equilibrio tendremos que hacer cero los momentos de
dicha^ fuerzas respecto del punto O, es decir, siendo R el radio de la
W
circunferencia primitiva:
(Figura 13), f e n c m o S %
PR - FA - NR
FÍ6 13. _
= O
(1)
P = FA I N , ,
R
Para las fuerzas que actúan en la rueda Q' ^^® son;
- 80 P', F' y N' • .*. P'r 4 F'A - N'r = 0
-
-
P' =
- F'A f N' = - F A f N
(2) ya que F = P' y
La fuerza Q que se ha perdido debido al rozamiento por deslizamiento,
y diferencia entre P y P' óeríL ;
Q
=
P - P'
F A
R
* r
tomando: A-o t
Q
Sabemos que
I * i\
= F
R = jtz
y
r = tz' , siendo
dientes de las ruedas O y o' respectivamente.
2F
=
tz
y siendo p
z y z' el número de
2T
2r
Q
(3)
Reemplazando en (3) tenemos
4- 2ir
tz'
=iM
X :
CceX.
<0JÍH.
nuíntc
4 ^ ^ ( ¿ ' ^ j - Í>n|^-X
Como la pérdida de trabajo por segundo es QlJ*y el trabajo útil por segundo ess 75N kgm el rendimiento será '.
|\|-. 1 Je ¿,V.-
f = 1 - Qj>l
\
75Ncy
Para engranajes interiores :
Para cremallera, como
z' - ce
'p\í-Ai4
= pfi>.
5'11
DIAMETRAL PICH,
En los países que todavía no han adoptado el sistema métrico decimal
en vez del paso t que expresamos en mm, usan EL CIRCULAR PICH, que se obtiene dividiendo por z (# dientes) la circunferencia primitiva expresada en
pulgadas.
- 81 t
=
TrD"p
z
En lugar del módulo usado por nosotros, ellos utilizan el DIAMETRAL
PICH que es el resultado de dividir el número de dientes Z por el diámetro
primitivo expresado en pulgadas
Diametral Pich
P =
Z
»?
; t" = TrD"p
P
= n_
z
P
Las dimensiones de los dientes son:
Q"
h". 2'166
1.
p
e" = t^ = T_
2
2P
Una pulgada = 25'4 rniT>,«
5'12
RUEDAS INTERMEDIARIAS Y TRENES
Si se desea transmitir ei movimiento de rotación de un árbol O., a
^3
;
^="=1
'^^
n.
^£
it,
flj
/)^
o t r o Cu' fijando previamente la relación de velocidades, i, entre el árbol
conducido y el conductor (Relación de transmisión) no siempre será práctico
emplear un par de ruedas, sino que a veces resulta conveniente recurrir a
- 82 varios pares de ruedas bien porque la relación de transmisión sea excesivamente débil o grande, bien porque los árboles tengan que girar en sentido
opuesto, ya para evitar el empleo de ruedas de gran diámetro al ser la distancia entre ejes muy grande. En estos casos se emplean ruedas intermediarias y árboles intermediarios (trenes de Engranaje). De acuerdo a la Fig,
(14) tenemos como árboles intermediarios 0^ 0^ paralelos a los O, y 0^ calando en O una rueda dentada que engrane con la calada en O, y en O ot ra
que engrane con las caladas en los árboles O^y O „
Llamando n,, n , n
" a los números de vueltas por minuto de los
ejes O, 0 0 O
respectivamente
•
"
_1 = £x
^2
M,
? _3
"2
^
Xl
r3
; -i = ll
, "3 ., Í4
multiplicando
Tenemos
N4
_ \j_
y en general para M„ árboles •.
4
H^
r.
Es decirá que la relación de transmisión del árbol conducido al motor
es la misma que si engranasen directamente, independiente del número y radio de las tuedas intermediarias.
In ( -' -
Tenemos r
^
ri
Tz
' \'~
(2
"2
1
- •
(1
"2
3
•
"2
'3'
y en general;
"'
^3
.
»
-
¿2
=
podemos
=^4
*
-
"3
^2
••
"3
i
z,
2,
n,
^2
"4
"3
"4
•• -
5\
0
"4
" I
z,
- 83 nm
n.
La relación es independiente del número de dientes de las ruedas intermediarias.
- • • - . .
5'12 A
RUEDAS INTERMEDIAS.
En el tren de engranajes que representa la (Fig. 14) anterior^ el
árbol O tiene dos ruedas, la conducida B que es movida por la A y la conductora C que mueve a la D, Algunas veces en lugar de dos ruedas en un
mismo árbol, solo se pone una la cual funciona a la vez como conducida y
conductora, "sta rueda se llama intermedia, cambia el sentido de la rotación
de la terceía pero no la velocidad transmitida.
^
^
M
-<y..
o.
E
- ^
.fl"
'\'
f
La Fig, adjunta indica el modo de disponer de una rueda intennedia.
El movimiento se origina en la rueda conductora M, esta transmite el movi miento a la rueda intermedia I a su vez esta actúa como conductora de la
rueda C
Tenemos entonces que la rueda I es conducida y conductora a la vez
si n, y n
es el número de RoPoM» de las ruedas M y C y D, d d los
diámetros de las tres ruedas respectivamente (Recuérdese que en lugar de
105 diámetros pueden usarse los radios primitivos o los números de dientes
según convenga).
Aplicando lo ya conocido en engranajes tenemos;
^2, ^^3 _ ProJuc&o J e . ef>, Tp, z..~ FueJeLS
y£>/)c/ucfd^s
- 84 d
n.,
n,
I
Zm ¿f
1 =
jSÍ.Zc
Zm
Zl
Esta expresión demuestra que C, da exactamente el mismo número de revoluciones que daría si no hubiese rueda intermedia, o sea si engranase con
la motriz M directamente.
Generalmente para variar la velocidad de la transmisión se reemplaza
la rueda M o la C con una de distinto tamaño. La rueda intermedia gira sobre un eje o^ puede correrse en una ranura para que la rueda engrane con
las distintos tamaños de ruedas que se colocan bien en el eje O, o en el
5'13
TREN DK ENGRANAJES.
El sistema de ruedas intermediarias visto otras constituye un tren
de engranajes cilindrico, destinado a producir un trabajo de rotación en el
eje 4.
Vamos a suponer un tren sencilloi
- 85 -
Suponiendo que el eje X, de la rueda A sea el del motor, l'a.s ruedas A,
C,E son llamadas Conductoras y las B D F Conducidas, si una rueda es simultáneamente conductora y conducida, como sucede con la z = I de la Fig, B.
Se denomina Rueda Parásita o intermedia, ya hemos visto qu^ la inclusión de
una rueda parásita no varía la relación, de transmisión, pero sirve para
cambiar el sentido de rotación del árbol conducido final,
RELACIÓN DE TRANSMISIÓN.
Atendiendo a la figuraJ6ftLlamando n, , n„ , n , n , a los números de
vueltas por minuto de los ejes x,, x , x , x
respectivamente y Za, Zb,
Zc, Zd, Ze, Zf, a los números de dientes de las ruedas A, B, C, D, E, F se
tiene:
"2
1
=
"4
Za
Zb
"3
''
"2
" I
=
"2
^3
"4
"2
"3
Zc
Zd
=
«9
"4
=
"3
Za Zc Ze
Zb Zd Zf
Zf
0^)
La relación de transmisión del tren se obtiene dividiendo el producto
de los números de dientes de las ruedas conductoras, por el producto de los
números de dientes de las ruedas conducidas.
Para la relación de transmisión deben tomarse valores enteros ( —) o
fracciones sencillas jL , _2 , _3 , ¿ y si este último caso no es posible y
2 3 4 5
los términos del quebrado son primos entre sí, y para evitar la construcción
de ruedas especiales si no se precisa gran exactitud, se recurre al empleo
de fracciones continuas obteniendo una solución tan aproximada como se quiera.
La relación de transmisión es positiva cuando los dos árboles extremos
giran en el mismo sentido, es negativa en caso contrario obsérvese además
que la relación negativa (13) (Pig, A) es el producto de un número impar
(Tres) de relaciones simples . En cambio para la figura 8 se tiene:
""
.
•
.,
i
=
!k _ .2a ^_Zc
.L. , .2e
n, ~ Zb * Zb * Zd * Zf
' "^
• •
es decír^el producto de un número par de relaciones simples.
Se advierte que la regla anterior es válida solo para cuando las rue das s'on de dentado EXTERIR
pues si una rueda es de dentado interior el engranaje formado con ella conserva el sentido de rotación.
- 86 Conviene, pues en cada caso hacer un esquema para ver el sentido de
rotación de los árboles extremos y ver que signo debe atribuirse a la relación de transmisión.
Cuando el valor absoluto de i es mayor que uno i > 1 , el tren se
llama multiplicador, caso p.e.de los relojes. Si el valor absoluto de 1
es menor que 1
i < l el tren se llama reductor, siendo este el caso de
los tornos, cajas de cambios e t c .
^
~-
USO Y CALCULO DB TRENES DE ENGRANAJE,
Ya hemos visto la necesidad del empleo de trenes de engranajes en los
automóviles para conseguir cambios de velocidades y la variación del sentido de la marcha. Este idéntico problema se presenta en muchos aparatos de
elevación, máquinas herramientas etc,.^ El empleo de trenes de engranaje
es preciso en general en los siguientes casos:
1,
Cuando la relación de transmisión i, difiere mucho de la unidad p.E
cuando i = 250 o i = 1:40
2,
Cuando i es una fracción irreductible, cuyos términos tienen un gran
número de cifras tal como 601/740, pues no es práctico el empleo de
ruedas de número de dientes tan grandes,
3.
Cuando i es inconmesurable, tal i = \ J 2 o i =ll » pues si se resolviera con dos ruedas de un número prudencial de dientes la aproximación
obtenida en la transmisión sería insuficiente,
4.
Cuando los ejes conductor y conducido están distantes el*'uno del otro.
Existe además una limitación del número de dientes de cada rueda por
las razones siguientes:
a)
El número de dientes no puede ser inferior a cierto valor que depende del destino del mecanismo. En relojería P E. el número mínimo es 6 y excepcionalmente, de 4, En los aparatos de gran sencibilidad no conviene bajar de 8 a 10 dientes. En los mecanismos
. que transmiten esfuerzos de consideración, no conviene bajar de
20 dientes, sin embargo en casos aislados se adoptan piñones de
7 a 9 dientes. Como sucede en los engranajes GLEASON empleados
en algunos diferenciales de automóviles,
M)
. El número de dientes tampoco puede ser superior a un cierto limite, pues el diámetro de las ruedas no conviene que sea excesivo,
En la construcción de máquinas no es recomendable superar los
200 dientes.
"
•, -
- 87 -
Finalmente es norma constructiva que las relaciones de transmisión parciales de los pares de ruedas del tren, no sean superiores a un cierto ll mite superior es U max = 5. Si el tren se compone de m pares idénticos la
relación de transmisión es:
:
^
i
-
•
( | ) "
-
NUMERO DE EJES MÍNIMO,
Una relación de transmisión i, puede ser realizada teóricamente por
infinitos trenes. Supongamos, sin embargo que empleamos"m" pares de ruedas
idénticos, cuya relación de transmisión parcial sea la máxima admisible
jjmíyf^ = Z que depende del máximo y del mínimo número de dientes admisibles
para las ruedas. En estas condiciones según (l?) íT) será el número mínimo
de pares de ruedas y tendremos que:
i
= Ü max,
^
;
m =
log i
log//max
=/(
El número mínimo de ejes es pues nfl si el valor de m, dado por la
fórmula anterior, fuera fraccionario, sc tomaría el número entero inmediato superior. El criterio acabado de exponer no es norma general en la práotioa que aveces se toma un número de ejes superior al cálculo antes,
CALCULO EXACTO DE UN TREN DE ENGRANAJES.
Dada la relación de transmisión i, se procura ponerla en forma de
fracción irreductible. Se descompone esta en el producto de otras parciales, de modo que resulten estas últimas dentro de los límites admisibles.
Finalmente se multiplican los términos de estas fracciones parciales por
factores adecuados, de modo que resulten ruedas de número de dientes dis ponibles.
Ejemplo:
Ejecutar un tren cuya relación de transmisión sea:
i
=78
180
=13
30
iongamos que
i
=
78/180
1 , 13 --= 1x20 <. 13x5 == 20
60
3
10
3x20
10x5
=
=
..
65
50
- 78
18
Para que resulte negativa la relación del ejemplo lo. basta interponer
- 88 una rueda parásita
P. E,
- -
- .- - -
Z =
30 dientes,
Ejemplo 3o. Supongamos que
Admitimos que
Z = 150
z = 30
i = 48
J¡J
WMmax = 30
\
150
.
m = Ig 48
log 5
=2
= 5
=
2'4
m = 3
Se ha elegido
z = 30 por ser 30 = 2 x 3 x 5
-1 .'••
7 4 3
Podemos poner: i = _48 = 48x30x30x30 = 2 x3 x5
1
30x30x30
30x30x30
Y descomponer el numerador de esta fracción en los 3 factores siguientes:
2^ X 3 X 5 =
120
2^ X 3 X 5 = 120
2
2x3
X 5 =
90
con lo que:
'.^,
120 , _120 , 90
30
30
30
quedando definido el tren de ruedas, constituido por tres ruedas de 120,
120 y 90 dientes y 3 piñones de 30 dientes.
El cálculo aproximado de un tren (casos 2o, y 3o. del ejemplo anterior)
puede utilizarse el método de fracciones continuas que nos da una solución
satisfactoria.
CLASES DE TRENES,
',
'
í
/
1.
TREN EPICICLOIDAL
Plano = ejes intermedios
Esférico
2.
TREN HIPOCICLOIDAL
3.
TREN REDUCTOR DE AVIACIÓN
4.
TREN HUMPAGE
5.
TREN PECQUEUR
...
- 89 -
CURVAS Y SUPERFICIES DE RODADURA.
El modo más corriente de transmití..' el movimiento de un órgano de má quina a otro, es por contacto directo. Para ello una cara o superficie de
uno de los órganos se pone en contacto con una semejante del otro, y al «o»
verse aquel mueve a e'ste. El ejemplo adjunto representa dos levas a y b
que se tocan en el punto P ; si a gira en el sentido de la flecha, b girará
en el mismo sentido (Fig. l)
_ •
Pi6 i
El movimiento relativo de dos cuerpos en contacto puede ser por resba»
lamiente, por lodadura, y por resbalarQiento y rodadura.
Cuando el punto de contacto P m ae halla en la recta que une los
centros instantáneos de rotación, so produce resbalamiento, Pero ai, como
en la (Fig. 2 ) , está P en ella, los dos cuerpos ruedan uno sobre otro sin
resbalar, la condición para que haya rodadura entre dos cuerpos es pues.que
el punto de contacto este en la recta que une los centros de rotación.
h'G ¿
- 90 -
Para que dos curvas puedan rodar una sobre otra al girar alrededor de
puntos fijos, debe dárseles la forma necesaria al movimiento requerido.
Las dos curvas de la Fig, 2, rodarán una sobre otra, si puestas en contacto
se les hace girar alrededor de los puntos M y N, respectivamente. Pero estas curvas no son cerradas, es decir, si partiendo de cualquier punto se
sigue el contorno en una misma dirección es imposible volver al punto de
partida. Por lo tanto las curvas E P C no podrá transmitir un movimiento
de rotación continuo a la D P F, sino solo durante la fracción de vuelta, Er\
la Fig, 1, trazamos por P la perpendicular n a la tangente común a las dos
^rvas, tal recta denominada normal a las curvas en aquel punto, corta en Q
la recta que une los centros de rotación M y O , Se demuestra que los seg mentos MA y NQ están en razón inversa de las velocidades angulares de a y
b. Llamando Wa y Ws , estas velocidades, se tiene:
^
. ,
, -^:
Wb _ MQ
Wa " Nq
Esta es una regla general que se aplica a todos los casos de transmi sión de movimiento por contacto directo,
CICLOIDE, fio 6 . .
Ecuaciones Paramétricas,
X =
r(t - sent)
y =
r(l - cos t)
^ . '''•
Se denomina así a la curva plana descrita por un punto C de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre una recta. La base y la ruleta son en este
caso, la recta ox y la circunferencia móvil respectivamente.
Para su trazado, dividimos la circunferencia en partes iguales, ocho,
por ejemplo, y por los puntos de división 1,2,3,4, tracemos paralelas a la
base XX tomemos además, sobre esta recta, los segmentos
Col^ = I,Ip = ^ o ^ ^ ~ " • ' iguales al arco O'l, Cuando el centro instantáneo de rotación es I, el punto de la circunferencia que estaba en Co estará en C, punto de intersección de la circunferencia de centro O, con la recta 1-7 pues el arco C,I = Are O'l, Del mismo modo, la circunferencia del
centro O y la recta 1-7 se cortan en C que es otro punto de la cicloide
Los puntos C^ , C^ , C_, C^, C, han sido obtenidos de un modo análogo,
¿
D
3
5
4
- 91 -
EPICICLOIDE
Es la curva engendrada por un punto de una circunferencia que rueda
sin resbalar sobre otra circunferencia fija que esta en el plano de la primera, siendo la circunferencia móvil exterior con relación a la fija.
La
circunferencia fija es la base y la móvil la RULETA
Ecuaciones Paramétricas:
X
=
(R
^-r) cos t - r cos R 4 r
• V • •
• ^
y
=
••
(R 4 r)Sen t - r sen R 4 i
' " ' • ' • ' .
R =
t,
r
t,
r
Radio base
•;•• _'
H-j.
r =
Radio ruleta,
^. ,_:
Para su trazado, se divide la ruleta. O, en partes iguales y sobre la
base se toman los arcos Co I|, I,I„ , ^o^-z ••• Iguales al Col, con lo que
tendremos los centros instantáneos de rotación. I,, I-, I.,, correspondientes a las posiciones O,, O , O ,,, de la ruleta. Por los puntos de divi sión, 1,2,3 de la ruleta O, se trazan circunferencias concéntricas con
la base cuyas intersecciones con las circunferencias O,, 0^, O, ,,, darán
los puntos C,, C , C ,„. de la epicicloide. ptCi *^,-.
HIPOCICLOIDE.
Es la curva engendrada al rodar una circunferencia sobre otra pero
interiormente. La circunferencia base es exterior con relación a la rule-
- 92 ECUACIONES:
Si
X
=
(R-r) cos t .|. r cos
R-r
r
t ,
y
=
(R-r) sen t -
R-r
r
t ,
r = R
2
X
=
•'
(R-R)
2
Y
=
cos t f. R
2
(R-R) Sen t f
2
X
=
R
2
r sen
cos t
R
cos
sen
R
R - 2 ^ t,
R/2
R
R ~ 2
2
\
^ eos t =
2
t.
R72
R cos t
Para su trazado se divide la circunferencia ruleta en partes iguales
en la fig, 8. Se toma el arco Co I,, 1,1.... , = Co 1, se trazan por O, ,
O-, O
- las ruletas y se hallan los puntos C, C-, C_, C... etc. piQ. 5
Fí6 0 -
EVOLVENTE DE CIRCULO - Fi<á 6 .
t=¡Ci 5
- 93 -
Es la curva engendrada por un punto M de una recta M . C que se mueve
permaneciendo constantemente tangente a una circunferencia. En este movimiento la recta hace el papel de ruleta y la circunferencia de base
Las ecuaciones paramétricas son;
X = r ( c o s t 4 t
Y =
sen t )
r ( s e n t — t cos t )
Para su trazado se divide la circunferencia base en un cierto número
de partes iguales (8 en la Fig/Jse trazan las tangentes en los puntos de división y se toman las longitudes siguientes
MC
M D
= orC A C
=
are AD
= T_r
4
=
;
3.F r
4
M,B = Ar AB
5
Los puntos
son la evolvente de la circunferencia
^
__
=irr
2
M M,
M„
así obtenidos