FUNCIONES

FUNCIONES
Definición:
Sea D un subconjunto no vacío de R, es decir D⊂R.
Se llama función real de variable real a toda aplicación f de D en R, y se designa por
f :D → R
xa f ( x)
Intuitivamente, una función real de variable real asigna a cada elemento ,x, de D un
elemento ,y, de R, y sólo uno.
- El subconjunto D se llama dominio de definición o campo de existencia de la función f.
Se designa por Dom(f).
- Al número x∈D se le llama variable independiente. Su dominio de definición es
precisamente D.
- Al número y∈R asociado por f al número x, se le llama variable dependiente.
Es evidente que y depende de x, de ahí su nombre. Por eso, también se designa la
imagen de x por f(x), es decir, y=f(x).
- Se llama recorrido de una función, al conjunto de las imágenes de la variable
independiente, es decir, al conjunto de los valores de R que tienen por original al
menos un elemento de D. Se designa por f(D) o Im(f).
Ejemplos: f(x)=x2
Im(f)=R+
Dom(f)=R
2x
g( x) = 2
Im(g)=R
Dom(g)=R-{-2,2}
x −4
h( x) = x2 − 4 Im(h)=R+ Dom(h)=R-(-2,2)
Representación gráfica
Sea f:D→R una función. Se llama grafo de la función f y se designa por Gf al subconjunto
de DxR dado por Gf={ (x,f(x)) / x∈D}.
Considerando en el plano afín el sistema de referencia canónico, la figura del plano afín
determinada por los puntos correspondientes a los elementos del grafo, recibe el nombre
de gráfica de la función.
6
Ejemplo: f ( x) =
donde Dom(f)=R-{0}
x
x
y
(x,f(x))
-6
-1
(-6,-1)
-3
-2
(-3,-2)
-2
-3
(-2,-3)
-1
-6
(-1,-6)
…
…
…
1
6
(1,6)
2
3
(2,3)
3
2
(3,2)
6
1
(6,1)
…
…
…
4
x si x < 2
g( x ) = 
3 si x ≥ 2
3
2
1
0
1
2
3
4
5
1
Adición de funciones
Sean f y g dos funciones cuyos dominios son D1 y D2 respectivamente. Se llama suma
de las funciones f y g, y se designa por f+g, a la función cuyo dominio es D1∩D2 tal que
(f+g)(x)=f(x)+g(x).
Ejercicio: Si f(x)=2x+2 y g(x)=-x-1. Representar gráficamente las funciones f,g y f+g.
Propiedades:
- No siempre está definida la función suma, pues en el caso en que D1∩D2=∅ no existe
dominio para la suma.
- Asociativa: f+(g+h)=(f+g)+h
- Conmutativa: f+g=g+f
- E. Neutro: la función cero, f(x)=0 ∀x∈R.
- E. Opuesto: La función opuesta de f(x) es (-f)(x)=-f(x).
Producto de funciones
Si f:D1→R y g:D2→R son dos funciones, se llama producto de f y g, y se designa por fg,
a la función: fg:D1∩D2→R tal que fg(x)=f(x)g(x).
Es evidente que D1∩D2≠∅ para que exista el producto.
Propiedades:
- Asociativa: f(gh)=(fg)h
- Conmutativa: fg=gf
- E. neutro: Función unidad, f(x)=1 ∀x∈R.
- E. inverso: la función inversa de f(x) es
1
si f(x)≠0 ∀x∈D.
f ( x)
- Distributiva: f(g+h)=fg+fh
Ante estas propiedades el conjunto de las funciones definidas en un dominio D con las
operaciones anteriores, (F(D,R),+,⋅) es un anillo conmutativo y unitario.
Producto de un número por una función
Sea f:D→R una función real y a∈R. Se llama producto de a por f, y se designa por af, a la
función af:D→R donde (af)(x)=af(x).
Propiedades:
- (a+b)f=af+bf
- a(f+g)=af+ag
- a(bf)=(ab)f
- 1f=f
Con estas propiedades, el conjunto de las funciones reales definidas en D (F(D,R),+,⋅R)
es un espacio vectorial.
2
Composición de funciones
Consideremos las funciones f(x)=2x+1 y g(x)=x2.
A partir de estas dos funciones vamos obtener otra, tal como se indica en las siguientes
tablas, que va a ser la función compuesta de f con g.
x
-2
-1
0
1
2
3
…
f(x)
-3
-1
1
3
5
7
…
g(f(x)
9
1
1
9
25
49
…
x
-2
-1
0
1
2
3
…
→
g(f(x)
9
1
1
9
25
49
…
Nótese que g actúa sobre las imágenes de f según el esquema siguiente:
x
f(x)
g(f(x)
g f
La función obtenida por la aplicación sucesiva de f y g, se representa por gof ( se lee f
compuesta con g). Por tanto
(gof)(x)=g[f(x)]
En el ejemplo anterior: (gof)(x)=g[f(x)]=g(2x+1)=(2x+1)2
Si Dom(f)=D1 y Dom(g)=D2, puede ocurrir que algún valor de f(x) no esté en el dominio
D2 de g y entonces g no puede actuar sobre él. Entonces el dominio de gof es D1 menos
los valores tales que f(x)∉D2, según se puede apreciar en el siguiente esquema:
f(x')
f
D2
x'
x
g(f(x)
f(x)
D1
En general será
g
R
Dom(gof)⊂Dom(f)
f(D1 )
(Dom(gof)=Dom(f) cuando Im(f) ⊂ Dom(g))
1
: hallar los dominios de fog y gof:
Ejemplo:f(x)=x+1 g(x)= 2
x −4
x2 − 3
1
 1 
(fog)(x)=f[g(x)]= f  2
⇒Dom(fog)=R-{-2,2}=Dom(g)
+1 = 2
= 2
x −4
x −4 x −4
1
1
(gof)(x)=g[f(x)]=g(x+1)=
=
⇒ Dom(gof)=R-{-3,1}⊂Dom(f)=R
2
(x + 1) − 4 ( x + 3)( x − 1)
Descomposición de funciones
Es el proceso inverso a la composición. Consiste en encontrar dos o más funciones de
manera que componiéndolas en un orden adecuado resulte la función que se quiere
descomponer.
Por ejemplo, la función f ( x) = sen2 ( x + 1) se puede descomponer como f=rosotoh donde
2
h(x)=x+1; t ( x) = x ; s(x)=senx y r(x)=x .
2
O también como f=nom donde n( x) = x + 1 y m(x)=sen (x).
3
Propiedades de la composición
Asociativa: ho(gof)=(hog)of
No es conmutativa en general: contra ejemplo f(x)=2x+3 y g(x)=x2. fog≠gof
Función identidad: es una función I tal que I(x)=x, es decir, cada número real se
transforma en sí mismo.
Se cumple que Iof=foI en el dominio D de f.
Función recíproca
Sea f una función de D en R; si f es inyectiva (es decir, la imagen de un número,y,
proviene de un único número, x) existe la aplicación recíproca de f(D) en D. Esta
-1
aplicación recíproca recibe el nombre de función recíproca de f, y se representa por f .
-1
f (y)=x⇔f(x)=y
f
x
f(x)=y
f -1
D
f(D)
Ejemplo: Hallar la función recíproca, si existe, de f(x)=2x+5
a) es inyectiva: f(x)=f(x')⇔2x+5=2x'+5⇔2x=2x'⇔x=x'
b) el recorrido de f es R, luego el dominio de f-1 es R.
-1
-1
y−5
y−5
⇔ f (y)=
c) f (y)=x ⇔ y=f(x) ⇔ y=2x+5 ⇔ x =
2
2
-1
x− 5
y redefiniendo a las variables queda f (x)=
2
Propiedades
-1
-1
-1
- Si f y f son recíprocas y D=dom(f) entonces, fof =I en f(D) y f of=I en D.
y=x
y=f(x)=2x+5
-1
5
y=
0
x-5 -1
=f (x)
2
- Las gráficas de las funciones f y f
son simétricas respecto de la bisectriz
del primer cuadrante.
5
Funciones simétricas
Una función f , es simétrica respecto del origen cuando para todo x del dominio D se
tiene que -x también es del dominio y f(-x)=-f(x)
Las funciones simétricas respecto del origen se llaman funciones impares.
1
1
1
Ejemplos: f(x)=
( f ( − x) =
= − = − f ( x) )
x
−x
x
g(x)=x3

x2
x +
h( x ) = 
x
0

x≠0
x=0
4
Una función f, es simétrica respecto del eje y cuando para todo x del dominio D se tiene
que -x también es del dominio y
f(-x)=f(x)
Las funciones simétricas respecto del eje y se llaman funciones pares.
2
2
2
Ejemplos: f(x)=x (f(-x)=(-x) =x =f(x))
2
1
g( x) = 2
; h(x)=x ; r(x)=x -x
x −4
Funciones monótonas
Sea f:D→R una función. Se dice que f es:
creciente en x 0 ∈ D
  si existe un entorno 

 estrictamente creciente en x ∈ D   reducido E * (x , h) 



0
0



de
creciente
en
x
∈
D
0
  tal que para todo x 

 estrictamente decreciente en x 0 ∈ D   de dicho entorno 
 f (x) − f (x 0 )
≥0
 x−x
0

 f (x) − f (x 0 )
>0
 x−x

0
Esta definición es equivalente a: 
 f (x) − f (x 0 ) ≤ 0
 x − x0

 f (x) − f (x 0 ) < 0
 x − x 0
5
x < x 0
x < x

0

<
x
x
0

x < x 0
⇒ f (x) ≤ f (x 0 ) y x 0 < x ⇒ f (x 0 ) ≤ f (x)
⇒ f ( x ) < f ( x 0 ) y x 0 < x ⇒ f ( x 0 ) < f ( x ) 

⇒ f (x) ≥ f (x 0 ) y x 0 < x ⇒ f (x 0 ) ≥ f (x)
⇒ f ( x ) > f ( x 0 ) y x 0 < x ⇒ f ( x 0 ) > f ( x ) 
Ejemplos: f(x)=x es estrictamente creciente en x0=0 ya que:
f ( x) − f ( x0 ) x5 − 0
=
= x4 > 0
x − x0
x− 0
1
es estrictamente decreciente en todo punto x0 pues:
x
1 1
−
g( x) − g( x0 ) x x0
x0 − x
1
=
=
=−
< 0 para todo entorno que no contenga al cero
x − x0
x − x0
xx0 ( x − x0 )
xx0
g(x)=
 f (x' ) − f (x )
≥0
 x − x'
x < x ' ⇒ f ( x ) ≤ f ( x ' ) 

x < x ' ⇒ f ( x ) < f ( x ' ) 


 f (x' ) − f (x ) > 0


 x − x'
x < x ' ⇒ f ( x ) ≥ f ( x ' )  ⇔ 
x < x ' ⇒ f ( x ) > f ( x ' ) 
 f (x' ) − f (x ) ≤ 0
 x − x'
 f (x' ) − f (x )
2
+
<0

Ejemplos: f(x)=x es estrictamente creciente en R y estrictamente
 x − x'
decreciente en R+
f ( x ' ) − f ( x ) x ' 2 − x 2 ( x '+ x )( x '− x )
=
=
= x '+ x que es (>0) en R y (<0) en R-.
x '− x
x '− x
( x '− x )
Una función f:D→R es:
creciente


estrictamente creciente   en un conjunto A





  de D, si para todo
decreciente
  x, x' de A, se verifica 

estrictamente decreciente  
3
g(x)=x es estrictamente creciente en todo R.
g( x') − g( x) x'3 − x3 ( x' − x)( x'2 + xx' + x2 )
=
=
= x'2 + xx' + x2 > 0
x' − x
x' − x
x' − x
5
Funciones acotadas
Sea f:D→R una función:
- Se dice que f está acotada superiormente en D, si existe un número real K tal que f(x)≤K ∀x∈D.
- Se dice que f está acotada inferiormente en D, si existe un número real K' tal que f(x)≥K' ∀x∈D.
- Se dice que f está acotada si lo está superior e inferiormente, es decir, existen dos números K y
K' tales que K'≤f(x)≤K ∀x∈D.
Los números K y K' se llaman cota superior y cota inferior respectivamente.
- Si una función está acotada, existe un número real M tal que f(x)≤M ∀x∈D.
Extremos
Sea f una función de D en R acotada. Se llama:
Extremo superior de f al mínimo de las cotas superiores.
Extremo inferior de f al máximo de las cotas inferiores.
Máximos y mínimos
Sea f:D→R una función y x0∈D. Se dice que f tiene en x0un:
máximo relativo si en las proximidades de x0, todo x cumple f(x) < f(x0).
mínimo relativo " " "
"
" "
" "
"
f(x) > f(x0).
Estudio de distintos tipos de funciones
Función polinómica
( f(x)=a0+a1x+a2x2+.......+anxn)
2
n
La forma general es f(x)=a0+a1x+a2x +.......+anx donde el monomio principal anxn indica el
comportamiento de la función en x→±∞. (Sólo hay que recordar que un número negatrivo elevado
a exponente par da resultado positivo y elevado a exponente impar da resultado negativo)
Así por ejemplo, f(x)=-3x3-4x2+x-1 tiende a -∞ si x→+∞ y tiende a +∞ si x→-∞.
El término independiente es la ordenada en el origen (0,a0), punto por el que pasa la gráfica cuando
corta al eje y.
El grado menos 1, (n-1), indica el número máximo de picos (máximos o mínimos relativos) que
tiene la gráfica.
y=x4-x3
y=x3-2x2-x+2
6
Función potencial
( y=anxn )
Veamos las gráficas para an=1:
y=x2
y=x
y=x1/2
y=x1/3
y=x3
casos:
(n>1)
Si n es par, la gráfica siempre es positiva y simétrica respecto del eje y
Si n es impar, la gráfica es positiva sobre el eje x positivo y negativa sobre el eje x
negativo. Es simétrica respecto del origen.
(0<n<1)
Si el índice de la raíz es impar, el dominio es todo el eje x.
Si el índice es par, el dominio es el eje x positivo.
p( x )
q( x )
Son funciones cuya ecuación vien expresada como cociente de dos polinomios p(x) y q(x).
Su dominio es R menos los puntos que anulas al denominador.
Funciones racionales
Ejemplo: y =
f(x)=
3 x 3 + 2x
x3 − 1
cuyo dominio es R-{1}
c
x
(c∈R) que expresa una relación de proporcionalidad
inversa entre x e y. Cuando una variable crece, la otra
disminuye según la proporción c.
Un caso particular es la hipérbola equilátera f ( x ) =
4
;
x−3
3x + 2
4
y=
+2 ; y =
x +1
x−3
Ejemplos: y=4/x ; y=-4/x ; y =
7
Funciones definidas a trozos
Son funciones a las que no corresponde una única expresión matemática para todo su dominio. En
su definición se especifica el dominio de cada expresión fincional.
Ejemplos:
− x
función valor absoluto: f(x)=|x|= 
x
si x < 0
si x ≥ 0
− 1 si x < 0

función signo: f(x)=sig(x)= 0
si x = 0
1
si x > 0

función parte entera: f(x)=E(x)
8
Función exponencial
( y=k·ax
con k>0 y a>0
)
Es una función continua con dominio en todo el eje x. Es siempre positiva.
La ordenada en el origen es (0.k).
Es creciente o decreciente dependiendo de a.
0<a<1
a>1
Una forma muy utilizada de función exponencial es y=k·eλx donde λ es la tasa de crecimiento de
una población.
Igualando su expresión con la expresión general, se tiene (si x=1) eλ=a y así:
λ>0 ⇒ a>1
λ=1/2
λ<0 ⇒ 0<a<1
λ=1
λ=eλx
λ=1/5
Operaciones con potencias:
1
am · an = am+n
a0 = 1
a −m =
am : an = am-n
a1 = a
(A · B)m = Am · Bm
(am)n = amn
am
(A / B)m = Am / Bm
9
( y=logax
Función logarítmica
con a>0)
Es una función continua con dominio en el eje x positivo, (0,+∞)
El crecimiento depende de a. (base del logaritmo).
a>1
0<a<1
La función logarítmica y=logax y la función exponencial y=ax son inversas una de la otra. Sus
gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del 1er cuadrante.
y=ax
y=x2
y=logax
y=x1/2
Propiedades de los logaritmos
logax = 2 ⇔ a2 = x
(si a=e, el logaritmo se llama neperiano, Lx , ln x)
loga (A·B)= loga A + loga B
loga (A/B)= loga A - loga B
loga (An)= n · loga A
logb x
cambio de base: log a x =
logb a
10
Funciones circulares y funciones periódicas
Consideremos la circunferencia de radio 1 y tomemos como dominio de las funciones circulares los diferentes ángulos
medidos en radianes que se pueden tomar en dicha circunferencia.
Recordemos también la interpretación geométrica de las razones trigonométricas.
π/2
sen α
π
cos α
0
Función periódica de periodo 2π
3π/2
Se dice que f(x) es una función periódica de periodo T si se cumple f(x+T)=f(x).
Por ejemplo, la función
f(x)=sen(3x).
El periodo T es tal que
f(x+T)=sen(3(x+T)) será igual a
f(x)=sen(3x),
es decir: sen(3x+3T)=sen(3x).
Función periódica de periodo 2π
Como sabemos que
sen(3x)=sen(3x+2π),
entonces igualando nos queda
3x+3T=3x+2π,
de donde 3T=2π y así T=
2π
3
Luego f(x)=sen(3x) es periódica de
periodo
2π
3
Función periódica de periodo π
11
Funciones trasladadas
La traslación de funciones da lugar a otras muchas que pueden obtenerse fácilmente a partir de la primera. En el
siguiente esquema, se muestran las principales traslaciones.
Si a la variable independiente se le suma un número positivo, la gráfica se traslada hacia la izquierda una longitud igual
a dicho número. Y si se le suma una cantidad negativa el desplazamiento es hacia la derecha.
Si al a función, (a la expresión completa) se le suma una cantidad positiva, la gráfica se desplaza hacia arriba, y si se le
suma una cantidad negativa la gráfica se desplaza hacia
abajo.
f(x+1)-1
f(x)+1
f(x-1)+1
f(x+1)
f(x)
f(x-1)
f(x+1)-1
f(x)-1
f(x-1)-1
r
En general, si el vector de traslación es u =(a,b), la función trasladada de f(x) es f(x-a)+b
Función original
f(x)
Vector de traslación
r
u =(a,b)
Función trasladada
f(x-a)+b
12