2002/03 - MasMates

Derivadas
Selectividad CCSS 2003
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Colecciones de ejercicios
1. [ANDA] [JUN-A] a) Sea la función f(x) =
-(x-1)2+b si x  2
.
a(x-3)2+3 si x > 2
Halla a y b para que la función sea continua y derivable en x = 2.
b) Halla la función derivada de g(x) =
e2x+1
(x-1)2
2. [ANDA] [JUN-B] Sea la función f(x) =
.
(x+1)2 si x  0
1
si 0 < x < 2
x
x
si x  2
4
a) Represéntala gráficamente.
b) Estudia su continuidad y derivabilidad.
c) Calcula sus extremos y asíntotas horizontales y verticales.
3-x
.
x-1
a) Determina su dominio y asíntotas. Estudia su continuidad y derivabilidad.
b) Determina sus máximos y mínimos relativos, si los hay. Estudia su crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad.
c) Represéntala gráficamente.
3. [ANDA] [SEP-A] Sea la función f(x) =
x2 si x  1
1
si 1 < x  2
4. [ANDA] [SEP-B] Sea la función f(x) =
.
x
x-1
si x > 2
2
a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f en x = 1 y x = 2.
b) Represéntala gráficamente.
5. [ARAG] [JUN-B] El precio unitario de un bien, en función de la cantidad q que se oferta en el mercado, viene dado por la función
1000+3q
p(q) =
.
2q
a) Demostrar que al aumentar la cantidad ofertada disminuye el precio.
b) Decir cuál será el precio de ese bien si la cantidad que hay en el mercado es ilimitada, por ejemplo si se puede importar
cualquier cantidad, por grande que sea.
c) Escribir, en función de la cantidad ofertada, los ingresos que genera ese bien, si se vende toda la cantidad que hay en el
mercado.
d) Calcular el precio para el que una empresa maximiza sus beneficios, suponiendo que es la única que ofrece ese bien y que los
costes vienen dados por la función C(q) = 4(q+100)-150lnq.
x2
.
4-x
a) Calcular su dominio de definición. Razonar la respuesta.
b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x). Razonar si existen máximos y mínimos de f(x) y en caso
afirmativo, decir cuáles son.
c) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de f(x). Razonar si existe punto de inflexión.
6. [ARAG] [SEP-A] Se considera la función f(x) =
x2+ax si x < 2
7. [ARAG] [SEP-B] Sea f(x) =
.
2
si x  2
x
a) Calcular los valores del parámetro a para los que f(x) es continua en x = 2.
b) ¿Para qué valor del parámetro a f(x) tiene un máximo o un mínimo en x = -1? Determinar si es máximo o mínimo.
c) Para a = 4, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).
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8. [ASTU] [JUN] El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma según la siguiente
función (el peso P en toneladas; t representa la edad en años de la plancha):
50-t2 si 0  t  3
P(t) =
20t
56si t > 3
t+1
a) ¿Es el peso una función continua de la edad? Según vaya pasando el tiempo, ¿la plancha cada vez aguantará menos el peso?
b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra, la plancha siempre aguantará más de 40 toneladas. ¿Estás de acuerdo?
c) Esboza el dibujo de la gráfica P(t) cuidando la concavidad y convexidad de la función.
9. [C-LE] [JUN-B] Dada la función f(x) = 2x2+ax+b:
a) Determina los valores de a y b sabiendo que pasa por el punto (1,3) y alcanza un extremo en el punto de abscisa x = -2.
b) Representa gráficamente la función.
10. [C-LE] [SEP-B] Dada la curva de ecuación y = -x3+27x, se pide:
a) Halla los máximos y mínimos de la curva, así como los puntos de inflexión.
b) Represéntala gráficamente (de forma aproximada).
c) Halla las rectas tangentes a la curva, que sean paralelas a la recta de ecuación y = 15x.
11. [C-MA] [JUN] El número de personas que utiliza las instalaciones de una piscina de verano viene expresado por la función
f(t) = 10t3-120t2+450t, en donde t expresa el tiempo transcurrido desde la apertura de la piscina, 12 de la mañana (instante t =
0), hasta el cierre de la piscina que se produce a las 19 horas.
a) ¿Cuántas personas quedan a la hora de cerrar la piscina?
b) ¿A qué hora el número de personas es mayor? ¿Cuántas hay en ese momento?
c) ¿A qué hora el número de personas es menor? ¿Cuántas hay en ese momento?
d) Periodos en los que el número de personas crece o decrece.
12. [C-MA] [SEP] El precio en euros de cada acción de una empresa viene determinado, en el transcurso de una sesión bursátil, por la
función f(f) = t3-6t2+9t+1, en donde t expresa el tiempo transcurrido desde el inicio de la sesión. Suponiendo que ésta comienza a
las 10 horas (instante t = 0) y finaliza, por problemas técnicos, tres horas y media después, se pide:
a) El precio de la acción al cabo de dos horas.
b) Hora en que la acción alcanza su valor máximo. ¿Cuál es es valor?
c) Horas en que la acción alcanza su valor mínimo. ¿Cuál es es valor?
d) Periodos en los que el precio de la acción sea creciente o decreciente.
13. [CANA] [JUN-A] Una empresa de transporte estima que sus ganancias (en miles de euros) durante los próximos años seguirán la
64000+5000t
fórmula g(t) =
, donde la variable t = 1,2,3,4,... representa el tiempo en años medido a partir del presente.
5t+5
a) Hallar las ganancias correspondientes a los años primero y quinto.
b) Determinar si las ganancias aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Razonar la respuesta.
c) ¿Se estabilizan las ganancias cuando t crece? ¿Hacia qué valor? Razonar la respuesta.
14. [CANA] [JUN-B] El precio en euros de un artículo perecedero, que empieza a venderse el primer día de un determinado mes,varía
t
+8
si 0  t  4
4
con el tiempo (en días) según la fórmula siguiente: P(t) =
. Se pide:
t2
+2t+5 si 4 < t  10
4
a) ¿Cuál es el precio inicial del artículo?
b) Dibujar la gráfica de P(t) entre el día 1 y el 10.
c) ¿En qué periodo de tiempo aumenta el precio?
d) ¿Cuál es el precio máximo que alcanza el artículo y en qué día se obtiene?
15. [CANA] [SEP-A] Una empresa tiene dos fabricas. Los fgastos, en cientos de euros, de cada fábrica en función del número de
trabajadores, se obtienen según las funciones:
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f(x) = 2x2+12x-14 ; x  2
g(x) = x2+18x+2 ; x  2
a) Si los ingresos, en cientos de euros, en función del número de trabajadores son h(x) =48x, ¿con qué número de trabajdores
maximiza el beneficio la primera fábrica?
b) Si lo que se quiere es tener el mismo gasto en las dos fábricas, ¿con qué número de trabajadores se consigue?
16. [CANA] [SEP-B] El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es
una de ellas está en función de la producción total es 50-
1 2
x +5x+25 y el precio de venta de
4
x
euros por cada unidad.
4
a) Hallar el precio de venta si se producen 12 unidades.
b) Determinar los ingresos al producir 12 unidades.
c) Determinar los beneficios al producir 12 unidades.
d) Establecer el número de unidades que deben venderse diariamente para que el beneficio sea máximo.
17. [CATA] [JUN] Como resultado del test efectuado con un nuevo modelo de automóvil a fin de determinar su consumo de gasolina,
se ha observado que, para velocidades comprendidas entre 25 y 175 km/h, el consumo C(x) de gasolina, expresado en litros
consumidos en 100 km, realizados a la velocidad constante de x km/h, se puede aproximar por la función
C(x) = 7,5 – 0,05x + 0,00025x2.
a) Determine el consumo a las velocidades de 50 km/h y de 150 km/h.
b) ¿A qué velocidad se obtiene el mínimo consumo? ¿Cuál es dicho consumo mínimo?
c) Haga un estudio del crecimiento y decrecimiento de la función C(x) en el intervalo [25,175]. Determine las velocidades que
corresponden a consumo máximo, así como dicho consumo.
18. [CATA] [SEP] Determine si las gráficas de la función f (x) = x2–2x+2 y de la recta y = 2x–2 son tangentes en algún punto. En ese
caso, determine dicho punto. ¿Existe algún otro punto de intersección entre la recta y la gráfica de la función?
19. [CATA] [SEP] Disponemos de material para poder impermeabilizar 200 m2 de superficie. Queremos construir un estanque debase
rectangular cuya longitud mida el triple de su amplitud y con la profundidad adecuada para gastar todo el material. Interesaqueel
volumen de agua que embalse sea máximo.
a) Escriba la relación que hay entre la altura y el lado menor de la base del estanque.
b) Escriba la función que expresa la capacidad del estanque en función del lado menor de la base.
c) Calcule las dimensiones del estanque para que la capacidad sea máxima. (Los resultados se han de precisar hasta los
centímetros.)
d) Determine el volumen.
20. [EXTR] [JUN-A] Un centro comercial abre a las 10 horas y cierra a las 22 horas. Se ha comprobado que elnúmero de personasque
acuden a dicho centro puede representarse, en función de la hora del día, en la forma: N(t) = t2 + t + , 10  t  22, (  0).
Sabiendo que a las 18 horas se registra la máxima afluencia de clientes con un total de 64 personas y que cuando el centro
comercial abre no hay ningún cliente esperando:
a) Determinar, justificando la respuesta, los coeficientes ,  y .
b) Representar la función obtenida.
21. [EXTR] [JUN-B] Un club deportivo ha observado que la cantidad de espectadores que asisten a cada partido es función delprecio
800
de la entrada según la expresión: N(x) = 12000-1500x+
, siendo N(x) el número de espectadores cuando el precio de laentrada
x
es x euros. Determinar, justificando las respuestas:
a) ¿Qué expresión nos proporciona los ingresos de cada partido en función del precio de la entrada?
b) El precio que deben cobrar por cada entrada para hacer máximos los ingresos por partido.
c) ¿Cuál será el valor de los ingresos máximos?
d) ¿Cuántos espectadores por partido se esperan para dicho precio de la entrada?
22. [EXTR] [SEP-A] En cierta población, el consumo de agua en cm3 , en función de la hora del día, viene dado por:
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C(t) =
17
t
9
si
0t<9
t2+t+ si 9  t < 20
168-7t si 20  t < 24
Sabiendo que es una función continua y que a las 15 horas se alcanza el máximo consumo de 53 m3, determinar los valores de , 
y . Justificar la respuesta.
23. [EXTR] [SEP-B] El número de vacas existentes en una explotación ganadera varía con el tiempo de acuerdo con la función:
f(t) = -t3 + 9t2 - 15t + 120, donde t es el número de años transcurridos desde que se abrió dicha explotación. Se pide:
a) ¿Con cuántas vacas comenzó?
b) Al cabo de seis años, ¿con cuántas vacas se cuenta?
c) ¿Cuáles han sido los números máximo y mínimo de animales durantes estos seis años?
d) En ese tiempo determinar los períodos de crecimiento y decrecimiento de la ganadería.
Justificar las respuestas.
24. [MADR] [JUN-B] Dada la función f(x) =
x
,
1-x2
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Calcular sus asíntotas.
c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = 0.
25. [MURC] [JUN] Una empresa fabrica 30 máquinas diarias, que pueden ser de dos tipos: A y B . Si fabrica x máquinas de tipo A e y
25 3
de tipo B, el coste de producción es de
x +2500y-48000 euros al día.
3
a) ¿Cuántas máquinas de cada tipo debe fabricar, para minimizar el coste de producción diario?
b) Encuentre ese coste de producción mínimo.
26. [MURC] [JUN] Dada la curva: y =
x
2
x -4
, se pide:
a) Dominio y asíntotas.
b) Simetrías y cortes con los ejes.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos, si los hay.
e) Una representación aproximada de la misma.
27. [MURC] [SEP] Determine las dimensiones del marco rectangular de área máxima que se podría construir con 2 metros lineales de
perfil de aluminio.
28. [MURC] [SEP] Dada la curva y = x x2-3x-9 , se pide:
a) Dominio y asíntotas.
b) Simetrías y cortes con los ejes.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos.
e) Una representación aproximada de la misma.
29. [RIOJ] [JUN] Sea la función f(x) = x3-4x.
a) Obtener sus cortes con los ejes, máximos, mínimos y puntos de inflexión.
b) Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos de corte con los ejes.
c) Representarla gráficamente.
30. [RIOJ] [JUN] El encargado del alquiler de hamacas de una playa ha comprobado que, cobrando la hora a 5 euros, vende
diariamente 200 horas. Por cada 10 céntimos que aumenta el precio, vende 2 horas menos al día. El ayuntamiento de la ciudad le
cobra un canon de 4 euros por hora de hamaca.
a) ¿A qué precio será máximo el beneficio diario del encargado?
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b) Para dicho precio, ¿cuántas horas venderá? ¿A cuánto ascenderá el beneficio obtenido?
31. [RIOJ] [SEP] Sean las funciones f1(x) = ln x, f2(x) = x2. Calcula y simplifica las derivadas de: f1(x)·f2(x) y f1(x)/f2(x).
32. [RIOJ] [SEP] Sea la función f(x) = x4-3x3.
a) Halla la ecuación de la recta tangente en x = 1.
b) Calcula los cortes en los ejes, máximos, mínimos y puntos de inflexión.
c) Representarla gráficamente.
33. [RIOJ] [SEP] Una empresa petrolera dispone de un stock de 50000 barriles que podría vender a 30 euros/barril. Sin embargo, el
mercado del petróleo se encuentra en fase alcista, estimándose que el precio del barril aumentará 0'5 euros cada semana que
transcurra. Los costes de almacenamiento ascienden a 1000 euros/semana, y además cada semana se pierden pedidos de 1000
barriles debido a los clientes que acuden a otros proveedores. Calcula cuándo interesa vender el stock para obtener el máximo
beneficio posible, y a cuánto asciende dicho beneficio.
34. [VALE] [JUN-A] Se cree que el número y de unidades vendidas de un cierto producto en función de su precio en euros, x, viene
dado por y = 50-x, donde el precio varía entre 0 y 50 euros. Si por cada unidad vendida se obtiene un beneficio x-10, determinar
de forma raqzonada el precio x que producirá un mayor beneficio, el número de unidades vendidas y el beneficio obtenido.
35. [VALE] [JUN-B] Descomponer de forma razonada el número 90 en dos sumandos tales que el resultado de sumar el cuadrado del
primero y el doble del cuadrado del segundo sea mínimo.
36. [VALE] [SEP-A] El coste total en euros de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por
1
C(x) = x2+5x+800. Definir la función que determina el coste medio por litro introducido y determinar de forma razonada conqué
2
producción dicho coste será mínimo. ¿Cuál es el valor de dicho coste?
37. [VALE] [SEP-B] La concentración C de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad durante los 20
primeros días de un determinado mes se puede aproximar por la función c(x) 90+15x-0,6x2, donde x representa el tiempo
transcurrido en días.
a) Estudiar de forma razonada el crecimiento y decrecimiento de la concentración de ozono en relación con los díastranscurridos.
b) ¿Cuál es la concentración máxima de ozono alcanzada durante esos 20 días? Justificar la respuesta.
Soluciones
Y
1. a) 1, 5 b)
2e2x+1(x-2)
(x-1)3
3
2. a)
b) Con: - {0}. Der: - {0,2} c) Min: (0,0); a.v. x=0
1
-1
1 2 3
Y
(1,+) c)
3. a) D: - {1}; A: x = 1; y = -1; Con. y der: - {1} b) Dec: ; conv:
X
Y
1
X
-1
-2
1 2 3 4
4. a) Con: 1, 2. Der: no b)
3
1
-1
5. b) 1'5 c)
X
1000+3q
2
6. a) - {4} b) max: 0; min: 8 c) conv: (-,4); p.i: no
7. a)
-3
b) 2 c)
2
1 2 3 4 5
-4
50
Y
9 Y
crec: (-2,2) 8. a) continua y decreciente b) agunata más de 36 tm c) 30
10
9. a) 8, -7 b)
3
-9 -3
X
3
9
10. a) max: 3; min: -3; p.i: 0 c) y = 15x-16; y =
X
-9
10 30 50
15x+16 11. a) 700 b) 19; 700 c) 12; 0 d) crece de 12 a 15 y de 17 a 19. 12. a) 3 b) 1; 5 c) 0, 3; 1 d) crec: (0,1)(3,3'5) 13. a) 6900000, 2180000 b) disminuyen c)
Y
se acercan a 1000 14. a) 8 b)
6
2
c) (0,4) d) (4,9) 15. 9; 8 16. 47; 564; 443; 55 17. a) 5'625 b) 100; 5 c) crec: (100,175); 25, 175; 6'4 18. (2,2);
X
2 4 6 8 12
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Y
no
19. a) y =
200-3x2
600x-9x3
b) V =
c) 14'13, 4'71, 3'54 d) 235'6
8x
8
20. a) -1, 36, -260 b)
X
4 8
21. a) 12000x-1500x2-800 b) 4 c) 24800 d) 6200
16
22. -1, 30, -172 23. a) 120 b) 138 c) 145, 113 d) crec: (1,5) 24. a) crec en  b) x = -1, x = 1, y = 0 c) y = x 25. a) 10, 20 b) 10333'33 26. a) -{-2,2}; x = -2, x = 2,
Y
2
1
y = 0 b) simétrica respecto del origen; (0,0) c) Decrec en  d) no e)
-2 -1
X
27. 0'5x0'5
28. a) ; no b) no;
1 2
3-3 5
,0 ; (0,0);
2
3+3 5
,0
2
c) crec:
-2
3 Y
(-,-1)(3,+) d) max: -1; min: 3
31. 2xlnx+x;
1-2lnx
x3
29. a) (-2,0), (0,0), (2,0); max:
32. a) y = -2x+1 b) (0,0), (2,0); min:
-4 3
4 3
, min:
; p.i: 0 b) y = 8x+16; y = -4x; y = 8x-16 c)
3
3
-3
3
; p.i: 0, 1 c)
2
33. hoy, 1.500.000
34. 30, 20, 400
1
X
-1
-2
1 2 3
36.
30. a) 9'5 b) 110; 605
1
800
x+5+
; 40; 45
2
x
37. a) crec:
(0,12'5) b) 183'75
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