CALCULO DE LAS RAICES IRRACIONALES DE UN POLINOMIO

CALCULO DE LAS RAICES IRRACIONALES DE UN POLINOMIO
Dada una ecuación polinómica racional entera, lo primero que tenemos que hacer es obtener las
raíces racionales y nulas si existen, y luego cualquier raíz irracional existente en la ecuación
degradada. Si la ecuación degradada es de segundo grado, las raíces se obtienen fácilmente por
medio de la fórmula correspondiente. En el análisis que haremos partiremos del supuesto de que la
ecuación es de tercer grado o mayor. En este caso las raíces irracionales vendrán dadas en forma
decimal, y su grado de precisión, dependerá esencialmente del grado de aproximación que se desee
obtener atendiendo al mayor ahorro posible de operaciones.
1. Hallar cada cifra decimal mediante aplicación del teorema de Bolzano.
Ejemplo 6: Hallar con cuatro decimales la raíz de P  x   x3  2x2  23x  70  0 , comprendida entre 5 y
6.
Décima
f(a)
Céntesima
f(a)
Milésima
f(a)
………….
f(a)
Ejemplo 7: Hallar con cuatro decimales la raíz de P  x   x3  3x2  2x 1  0 , comprendida entre –1 y
0.
2. Método de Newton: El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de
que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia
es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de
comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de
arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de
la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes
grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja
aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha
hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La
abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz
que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya
convergido lo suficiente. Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b].
Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n. f ' denota
la derivada de f.
xn1  xn 
f(xn )
f , (xn )
Ejemplo 6: Hallar con cuatro decimales la raíz de P  x   x3  2x2  23x  70  0 , comprendida entre 5 y
6.
Xn + 1
Xn
f(Xn)
f,(Xn)
Ejemplo 7: Hallar con cuatro decimales la raíz de P  x   x3  3x2  2x 1  0 , comprendida entre –1 y
0.
Actividad Nº 5. Para las ecuaciones dadas, calcular con tres cifras decimales la raíz que se
encuentra en el intervalo (1,2).
1. P  x   x4  4x3  x2 12x  6  0
2. P  x   x3 10x2  34x  60  0
3. P  x   x3  3x2  x  6  0
4. P  x   x3  5x2  2x  6  0
Actividad Nº 6. Aplicando el procedimiento sugerido en este documento (Naturaleza de las raíces,
Intervalo de acotamiento, Separación de raíces, raíces racionales, raíces irracionales, …), hallar las
raíces reales de las ecuaciones dadas (las irracionales redondeadas a 3 cifras decimales), si tiene
raíces complejas, garantizar su existencia. Ninguna tiene raíces repetidas.
1. 8x5 – 18x4 – 23x3 – x2 – 12x + 10 = 0
2. 2x5 – x4 + 2x3 + 14x2 – 33x – 54 = 0
Nota: Tiene dos raíces reales en el intervalo (-2,-1).
3. x4 – 5x3 + 4x2 – 3x + 2 = 0
4. 6x5 + 7x4 – 101x3 + 69x2 + 187x – 180 = 0
Nota: Tiene dos raíces reales en el intervalo (1,2).
5. 3x5 + 4x4 – 6x3 + 12x2 – 36x – 15 = 0
6. 8x5 – 34x4 + 45x3 – 2x2 – 36x + 18 = 0
7. 18x5 + 63x4 + 25x3 – 65x2 – 18x + 7 = 0
Nota: Tiene dos raíces reales en el intervalo (0,1).
8. 40x5 – 78x4 – 109x3 + 107x2 + 76x – 15 = 0
9. 24x5 + 10x4 – 173x3 – 91x2 + 205x + 25 = 0
10.
24x5 – 50x4 – 93x3 + 152x2 + 65x – 50 = 0
11.
12x4 – 11x3 – 22x2 + 22x – 4 = 0
12.
8x5 – 12x4 – 98x3 + 135x + 56x – 49 = 0