GEOMETRIA SEMANA 8 CS

SEMANA 8
RESOLUCIÓN
RELACIONES MÉTRICAS
EN TRIÁNGULOS
1.
M
8
En el rectángulo ABCD donde
BC = 2AB = 8, calcule “x” si “O” es
el centro del arco ED.
B
O1
8
H
10
O2
N
C
MN = x
M
x
A
E
x
2
O1H = HO2 = 5
MH =
D
O
MHO1 :
2
A) 2,6
D) 3,2
B) 2,8
E) 1,2
x
2
2
2 = 8 −5
 
C) 3,0
x = 2 39
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
8
B
2
( AC )
x
A
(8-x)
8
x
o
− ( AB ) = 8
2
A) 2
D) 16
D
B) 4
E) 6
C) 8
RESOLUCIÓN
MAO :
2
= 22 + ( 8 − x )
α
2
4
( x + 2)
→
En un triángulo acutángulo ABC la
proyección de AB sobre BC mide la
cuarta parte de BC. Calcule BC si:
2
2
*
3.
x
4
2
M
C
x = 3,2
RPTA.: D
2.
Se tienen 2 circunferencias secantes
y congruentes de radio cuya medida
es 8 m y la distancia entre sus
centros es 10 m. Calcule la medida
de la cuerda común.
A) 2 13 m
B) 6 m
C) 2 15 m
D) 2 39 m
E)
39 m
*
Por Euclides: (α < 90º)
( AC )
2
= ( AB ) + x2 − 2x i
2
x
4
x2
AC − AB = x −
2
2
x
8=
→x=4
2
2
2
2
RPTA.: B
4.
En el gráfico, calcule HR, si: BQ = 1
y QC =2
A)
6
2
6
D)
6
6
RESOLUCIÓN
B)
6
3
6
D)
12
C)
*
ACB:
(2x )
2
→
=4 7
x= 7
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
6.
En el triángulo rectángulo ABC recto
en B, se traza la altura BH y la
mediatriz de BH que intersecta a BC
en P. Calcule ( AP ) − (HP ) si AB = 4
2
A) 16
D) 12
*
*
BHC (Thales):
1
x
=
→ RC = 2x
2 RC
HQC :
B) 4
E) 32
B
4
6
=x
3
P
A
C
H
Sea: x = ( AP ) − (HP )
2
RPTA.: C
5.
distancia de “O” a AC si AH = 3 y
HB = 4.
7
D) 2 7
B) 2 3
E) 5
C)
3
2
ABP:
En una circunferencia de diámetro
AB y centro “O”, se traza la cuerda
AC y CH
AB . Calcule la
A)
C) 8
RESOLUCIÓN
22 = (3x ) (2x )
4
= x2 ⇒
6
2
4 + (HP ) = ( AP )
2
2
2
16 = ( AP ) − (HP )
2
→
2
x =16
RPTA.: D
7.
En el rectángulo ABCD de perímetro
20, se traza CE perpendicular a BD
siendo ( AC ) ( CE) = 5 . Calcule BD.
A) 2 15
B) 9
D) 4 5
E) 2 10
C) 3 10
9.
RESOLUCIÓN
En el cuadrilátero ABCD donde las
diagonales se cortan en “O”, calcule
OP si “P” es el punto medio de DC ,
AB= 6 2, BC = 6, CD = 8 y AD =
10.
B) 3 2
E) 4 2
A) 5
D) 6
*
C) 4
2a + 2b = 20 ⇒ a + b = 10
(a + b)
2
= 102
RESOLUCIÓN
a + b + 2ab = 100
2
2
x2 + 2 (BD.CE) = 100
6
x2 + 2(5) = 100
2
x = 90 = 3 10
x
RPTA.: C
8.
En el trapecio ABCD
diagonales
se
perpendicularmente
donde las
intersectan
(BC // AD) ,
se
traza la altura CE siendo
AE
= 4, ED = 7 y BC = 2. Calcule CE.
*
Se cumple:
(
62 + 102 = 6 2
A) 2 3
D) 6
B) 3 2
E) 5
)
2
+ 82
m∢DOC = 90º
DC 8
= =4
DOC: x =
2
2
C) 2 6
*
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
10.
*
*
Se traza CP // BD
Por paralelogramo BCPD:
En el triángulo rectángulo ABC recto
en B, se trazan: la altura BH y la
bisectriz
interior
AS
que
se
intercectan en “P”. Calcule BP si AS.
PS = 36
A) 3 2
B) 3 3
D) 4 2
E) 3
C) 6
RESOLUCIÓN
BC = DP = 2
B
m ACP = m AOD = 90º
ACP: x2 = AE i ED
x2 = ( 4 ) ( 9 ) → x = 6
RPTA.: D
α
α
A
*
x θ
P
θ
x
θ S
H
∆ BPS : (Isósceles)
C
BP = BS = x;PM = MS =
*
ABS:
(BS )
2
PS
2
*
= AS i HS
*
PS
2
AS i PS 36
x2 =
=
= 18
2
2
x=3 2
RPTA.: A
x2 = AS i
*
Se traza CE // BD :
Paralelogramo: BCED :BC=DE=6,
CE = BD = 15
∆ ACE (Herón):
13 + 15 + 14 42
=
= 21
2
2
2
x=
(21)(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15)
14
p=
x= 12
RPTA.: D
En un romboide ABCD se cumple:
(BC )
2
− ( AB ) = 4 ( AC ) .
2
Calcule
la
13.
longitud de la proyección de BD
sobre AC
A) 1
D) 4
B) 2
E) 1,5
C) 2,5
RESOLUCIÓN
a
B
A) 2 17
B) 6 2
D) 4 5
E) 2 21
RESOLUCIÓN
O
x
b
θ
E
A
a
x
2
EO = OF =
*
Proyección de la mediana:
a2 − b2 = 2 AC i (EO)
→
x
2
*
B) 11
E) 10,5
RESOLUCIÓN
θ
∆ ABP (Isósceles):
BG = GP, AB = AP = 10
x=4
Calcule la medida de la altura de un
trapecio si las bases miden 6 y 8,
las diagonales miden 13 y 15.
A) 10
D) 12
α
α
( ∆ ABC )
RPTA.: D
12.
θ
D
*
4 AC = 2 AC
C) 2 19
C
F
b
En un romboide ABCD se trazan las
bisectrices de loa ángulos A y B, que
se intersectan en “G”. Calcule GD si
GC = 12 , AB =10 y BC = 14
x
11.
*
Trapecio BCDP: (GM ← mediana):
GM =
*
14 + 4
=9
2
∆ GCD (la mediana):
C) 11,5
x2 + 122 = 2 ( 9 ) +
2
102
2
x = 2 17
RPTA.: A
14.
RESOLUCIÓN
En el cuadrado ABCD AB =
10
Calcule BP, P: punto de tangencia.
C
B
AD − BC
2
P
D
A
A) 1
D)
B) 2
5
3
E)
C)
*
3
Teorema de Euler:
5
4
( AD)
2
+ (BC ) + ( AB ) + ( CD ) =
2
( AC )
+ (BD )
2
2
2
2
2
 AD − BC 
+ 4

2


RESOLUCIÓN
10
B
C
2
x/2
10
A
16.
D
10
trapecio
(BC // AD)
( AC )
2
escaleno
se
+ ( CD ) = m .
2
2
2
2
ABCD
las
diagonales se intersecan en “O”.
Calcule BD si AO = 3, OC = 7 y
m<AOB = 60º.
ABCD
cuadrilátero
A) 2 10
B) 2 11
D) 2 13
E) 2 14
C) 4 3
RESOLUCIÓN
cumple:
Calcule
el
m < ABC = m < ADC = 90º ,
x=2
el
2
+ (BD) + ( AD ) + (BC ) − 2ADiBC
En
Auxiliar
En
2
Q
RPTA.: B
15.
2
m
2
RPTA.: B
x
10 = 10
2
→
+ (BC ) + ( AB ) + ( CD ) =
2
2AD i BC = 2m − m → AD i BC =
P
*
( AC )
x/2
37/2
37/2
10
( AD)
B
el
producto de las longitudes de las
bases.
A) m
D)
m
4
m
B)
2
m
E)
6
A
m
C)
3
3 60º
2M
C
o
N
D
*
Teorema de Euler:
( AB) + (BC) + (CD) + ( AD) = ( AC) + (BD)
2
2
( AC )
2
+
2
2
( AC )
2
2
2
+ 4(MN)
( )
= ( AC) + (BD) + 4 3
2
2
2
2
102
102 = 102 + x2 + 4
+
( )
3
2
18.
En la figura: ABCD es un cuadrado,
3 y PQ = 2. Calcule QD.
AP =
2 3 =x
RPTA.: D
17.
B
C
B
En el gráfico, calcule la medida del
lado
del
cuadrado
ABCD
si
CE = CF, EH = 6, FQ = 4 y “A” es el
centro del arco BD
P
Q
C
A
E
D
A) 2
D) 3
F
B) 1,5
E) 1
C) 2,5
RESOLUCIÓN
C
B
A
H
A) 10
B) 9
D) 2 6
E) 9
Q
D
P
2
Q
C) 2 13
3
A
RESOLUCIÓN
3
D
7
2
(
( 3)
2
AQ = 7
APT: 2 7
*
T
7
APQ: ( AQ ) = 22 ∗
*
*
7
) = ( 3)
2
2
= (PT )
2
QT = 3 ⇐ 5 = PT
∆ AQT (T. Mediana):
(2 7 )
+
2
( 7)
2
+ 32 = 2x2
2
7 + 9 = 2x + 14
2
*
*
EP = FQ = 4 ...(por simetría)
x=1
RPTA.: E
EHA:
x2 = 62 + 42
x = 2 13
RPTA.: D
19.
En el romboide ABCD, BE=3EC=9,
EF = 3FD = 6, EP = EF. Calcule EQ.
B
20.
En el triángulo acutángulo ABC de
incentro “I”, excentro “ E” relativo a
BC , el inradio mide 2 y el exradio
E
relativo
C
(IE)
P
mide
6.
Calcule
2
A) 8
D) 16
F
BC
a
− (BC )
2
B) 12
E) 4
C) 14
Q
A
D
21
D) 4 21
RESOLUCIÓN
B) 2 21
A)
α
α
C) 3 21
E) 5 21
RESOLUCIÓN
B
9
θ
α
E 3
6
6
P
F
α
A
*
β
x
y
*
C
θ
12
z
Q
6
9
∆ BPE ∼ ∆ APD :
=
→y=8
y 12
∆ AED (Menelao):
( y ) ( 6 ) ( z ) = ( 6 ) (2 ) (12 + z )
*
z=4
∆ AEQ (Steward):
14 ( 4) + x (12) = 8 (16) + (12)( 4)(16)
2
2
θ
En el trapecio IPEQ
2
D
θ
β
2
x = 2 21
RPTA.: B
OH =
*
*
6−2 4
= =2
2
2
IBEC: (Teorema de Euler):
(BI) + (BE) + (EC) + (IC) = (BC) + (IE)
2
2
2
2
2
( IE) + (IE) = (BC )
2
2
(IE) − (BC ) = 16
2
2
2
2
+ 4(2)
2
+ ( IE ) + 4 ( 4 )
2
RPTA.: D