v1 5 4 1 S v2 2 Introducción al Método de los Elementos Finitos Parte 2 Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos Alberto Cardona, Víctor Fachinotti Cimec-Intec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina 7-Oct-2011 Espacios de Hilbert 1. En formulaciones variacionales para solución de BVP, trabajaremos con espacios V más grandes que los vistos hasta ahora, llamados espacios de Hilbert. Se dotará a V de varios productos escalares determinados por el BVP. 2. Sucesión de Cauchy: sucesión v1 , v2 , , vn V que verifica 0, N / vi v j si i, j N La sucesión de Cauchy converge a v si v vi 0 cuando i 3. Espacio de Hilbert: Es un espacio lineal V, equipado de producto escalar y norma asociada, completo (o sea que las sucesiones de Cauchy convergen respecto de la norma del espacio). Introducción al Método de los Elementos Finitos 2 Espacios de Hilbert: ejemplos 1D • Espacio L2(I) de funciones de cuadrado integrable en I=(a,b) L2 (I) v : v está definida en I y v 2 dx I dotado del producto interno: (v, w) vwdx y la norma: v L2 (I) v dx 2 I La desigualdad de Cauchy: 1 2 I (v, v) (v, w) v 1 2 L2 (I) wL 2 (I) Ejemplo: v( x) x , x I (0,1) 1 v 2 L2 (0,1) x 2 0 1 ln x 0 si 1/ 2 dx x1 2 1 si 1/ 2 1 (1 2 ) si 1/ 2 v L2 (0,1) si <1/2 1 2 0 Introducción al Método de los Elementos Finitos 3 Espacios de Hilbert: ejemplos 1D (cont.) • Espacio H1(I) en I(a,b): H1 (I) v : v, v L2 (I) dotado del producto interno: (v, w)H1 (I) vw vw dx I y la norma: v H1 (I) v v dx (v, v) 2 I 2 1 2 H1 (I) 1 2 • Espacio H10 (I) en I=(a,b): H10 (I) v : v H1 (I) y v(a) v(b) 0 • Dado el problema modelo: u '' f ( x), (D) u (a) u (b) 0 luego: (V) Hallar u H10 (I) / u, v f , v v H10 (I) • xI Nota: – H10 (I) es más grande que el espacio V de funciones lineales a trozos que veníamos usando. – En MEF, la norma del error es simplemente la norma en H1(I). Introducción al Método de los Elementos Finitos 4 Ejemplos funciones polinomiales a trozos 0 0 Funcion constante por tramos, discontinua C 0,1 Funcion lineal por tramos, continua C 0,1 1 1 f ( x) L2 0,1 0 -0.5 -1 0 0 -0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 -1 0 1 x Derivada de func.cte. por tramos discontinua 0.2 0.4 0.6 10 10 f ( x) L2 0,1 1 f ( x) L2 0,1 5 f(x) 5 0.8 x por tramos continua Derivada de funcion lineal 15 f(x) 2 0.5 f(x) f(x) 0.5 L 0,1 f ( x) H 01 0,1 0 0 -5 -5 -10 -15 0 0.2 0.4 0.6 x 0.8 1 -10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x Introducción al Método de los Elementos Finitos 5 Ejemplos funciones polinomiales a trozos Funcion constante por tramos, discontinua C 0 0,1 1 1 f ( x) L2 0,1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f ( x) H 0,1 1 0 L 0,1 f ( x) H 01 0,1 2 0.2 0.4 0.6 L 0,1 0.8 1 x Funcion lineal por tramos, discontinua C 0 0,1 1 H 0,1 f ( x) L2 0,1 2 1 0 0.5 f(x) 0.5 f(x) 0 -1 0 1 x 0 Funcion cuadratica por tramos, continua C 0,1 0 0 -0.5 -0.5 -1 0 2 -0.5 -0.5 -1 0 L 0,1 f ( x) H 01 0,1 0.5 f(x) f(x) 0.5 Funcion lineal por tramos, continua C 0 0,1 0.2 0.4 0.6 x 0.8 1 -1 0 0.2 Introducción al Método de los Elementos Finitos 0.4 0.6 x 0.8 1 6 Espacios de Hilbert en d, d=2,3 2 • L2 () v : v está definida en y v d – Producto escalar: (v, w) vwd – Norma: v v d 2 1 2 v L2 (), i 1, • H () v : v L2 (), xi 1 ,d – Producto escalar: (v, w)H1 ( ) vw v w d – Norma: v • v v v d (v, v)H1 ( ) 2 H1 ( ) 1 2 1 2 H10 () v : v H1 (), v 0 Introducción al Método de los Elementos Finitos 7 Espacios de Hilbert en d, d=2,3 (cont.) • Dado el problema modelo (ec. de Poisson + CB homogéneas) Du f (D) u0 luego: (V) en sobre Hallar u H10 () / u v d fv d v H10 () ( f , v) a(u, v) o, equivalentemente: (M) Hallar u H10 () / 1 1 a(u, u) ( f , u) a(v, v) ( f , v) 2 2 F(u ) • v H10 () F (v ) Nota: (V) se dice la formulación débil de (D), y la solución de (V) es la solución débil de (D). Ésta no es necesariamente una solución clásica de (D). Para que lo sea, u debe ser suficientemente regular de modo que Du esté definida en el sentido clásico. Introducción al Método de los Elementos Finitos 8 Interpretación geométrica del MEF Consideremos el BVP de difusión-reacción con CB homogéneas: en Du u f (D) u0 sobre (V) Hallar u H10 () / u v d uv d fv d v H10 () ( f , v) u, v Sea Vh un subespacio de dimensión finita de H10 () . El MEF aplicado al problema de difusión-reacción da: (Vh ) Hallar uh Vh / uh , v ( f , v) v Vh Tomando v Vh H10 () en (V), (V)(Vh) resulta: u uh , v 0 v Vh La solución MEF uh es la proyección con resp a , de la solución exacta u sobre Vh, o sea que uh es el elemento de Vh más próximo u con resp a ||.|| H10 ( ), i.e.: u uh H1 ( ) u v H1 ( ) v Vh 0 u recta Vh uh plano H10 () 0 Introducción al Método de los Elementos Finitos 9 CB naturales y esenciales Consideremos el BVP de difusión-reacción con CB Neumann: en Du u f (D) u g sobre n (V) Hallar u H1 () / u v uv d fv d gv d v H1 () ( f , v) ( g , v) 1 (M) Hallar u H1 () / F(u) a(u, u) ( f , u) ( g, u) F(v) v H1 () 2 u, v • La CB Neumann, que no tiene que ser impuesta explícitamente sobre u, se denomina CB natural. • La CB Dirichlet uu0 sobre , que debe ser satisfecha explícitamente por u, se conoce como CB esencial. Introducción al Método de los Elementos Finitos 10 Problema continuo en forma abstracta • • Objetivos: – Dar un tratamiento unificado a muchos problemas de la Mecánica y la Física, a fin de no repetir el mismo argumento en distintos casos concretos. Entender la estructura básica del MEF. Los ingredientes de una formulación abstracta son: 1. Un espacio de Hilbert V, con producto escalar (.,.)V y norma ||.||V, donde se busca la solución. 2. Una forma bilineal a:V×V, determinada por el problema (elíptico) a resolver, t.q. u,vV: a(u, v) a(v, u ) (simetría) 0 / a(u, v) u 0 / a(v, v) v V 2 v V V (continuidad) (coercividad o V-elipticidad) 3. Una forma lineal L:V, determinada por los datos del problema, continua, i.e., 0 / L(v) v V v V Introducción al Método de los Elementos Finitos 11 Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont) 1 (M) Hallar u V / F(u) min F(v), con F(v) a(v, v) L(v) vV 2 (V) Hallar u V / a(u, v) L(v), v V Teorema: (M) y (V) son equivalentes, i.e., u satisface (M) si y sólo si u satisface (V). Además, uV, y se verifica la estimación de estabilidad u V Introducción al Método de los Elementos Finitos 12 Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont) Demo. (M )(V ): sea vV y arbitrarios. Luego, vuV, así que F(u ) F(u v), g(0) g( ) g tiene un mínimo en 0 1 a(u v, u v) L(u v) 2 1 2 a(u, u ) a(u, v) a(v, u ) a(v, v) L(u ) L(v) 2 2 2 2 1 2 a(u, u ) L(u ) a(u , v) L(v) a(v, v) 2 2 luego g( ) a(u, v) L(v) a(v, v) Siendo g( ) Como g tiene un mínimo en 0, debe cumplirse g(0) a(u, v) L(v) 0 ( V) (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos 13 Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont) Demo. (V )(M ): dados u (solución) y w (arbitrario) en V, uwV, así que 1 F(u w) a(u w, u w) L(u w) 2 1 1 1 1 a(u, u ) a(u, w) a( w, u ) a( w, w) L(u ) L( w) 2 2 2 2 1 1 (M) a(u, u ) L(u ) a(u, w) L( w) a( w, w) F(u ), 2 2 0 0 (V ) (QED) F( u ) Introducción al Método de los Elementos Finitos 14 Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont) Demo. estimación de estabilidad: a(u, v) L(v) v V ||u|| a(u, u ) L(u ) ||u||V 2 V V-elipticidad de a Continuidad de L || u ||V (QED) Demo. unicidad: supongamos que u1,u2V sean soluciones de (V) a(u1 , v) L(v) v V a(u2 , v) L(v) v V a(u1 u2 , v) 0 v V Definiendo uu1u2, llego a un nuevo BVP con L(v)0 vV, i.e. 0. Luego: Estimación de estabilidad ||u||V 0 u u1 u2 0 u1 u2 Introducción al Método de los Elementos Finitos (QED) 15 Estimación del error de discretización • Sea Vh un subespacio de V, con dimensión finita M, y sea {1, 2,…, M} una base para Vh, de modo que toda vVh puede representarse M v i i, i i =1 • Usando Vh, obtenemos los problemas discretos análogos a (M) y (V): (Mh ) Hallar uh Vh / F(uh ) F(v), v Vh (Vh ) Hallar uh Vh / a(uh , v) L(v), v Vh – Como j Vh a(uh , j ) L( j ), j 1, 2, M – Como uh Vh uh =i i , i i =1 ,M M a(i , j )i L( j ), j 1, 2, ,M i 1 – Forma matricial de (Vh): Aξ b con Aij a(i , j ), b j L( j ). Introducción al Método de los Elementos Finitos 16 Estimación del error de discretización (cont) • Dado que a(.,.) es simétrica: a(i , j ) a( j , i ) Aij Aji la matriz A es simétrica • Dado que a(.,.) es V-elíptica: M M M M a(v, v) a( i i , j j ) i a(i , j ) j η Aη v i 1 j 1 i 1 j 1 la matriz A es positiva definida la matriz A es no singular !ξ / Aξ = b !uh Vh solución de (Vh ) Además, uh Vh verifica la estimación de estabilidad ||uh ||V Demo.: a(uh , v) L(v) 2 V 0 si v 0 (η 0) v Vh ||uh ||2V a(uh , uh ) L(uh ) ||uh ||V V-elipticidad de a Continuidad de L Introducción al Método de los Elementos Finitos 17 Estimación del error de discretización (cont) • Teorema: Sea uV la solución de (V) y uhVhV. Entonces: u uh • V u v V v Vh Demo.: 1. u solución de (V ) a(u, w) L( w), w Vh V 2. uh solución de (Vh ) a(uh , w) L( w), w Vh 3. Restando: a(u uh , w) 0, w Vh 4. Sea w uh v, con v Vh arbitrario. 2 5. Operando: u uh V a(u uh , u uh ) V-elipticidad de a a(u uh , u uh ) a(u uh , w) a(u uh , u uh w) Continuidad de a a(u uh , u v) u uh Introducción al Método de los Elementos Finitos V u v V (QED) 18 Norma de energía Considerando 1. a(.,.) es continua, i.e., 0 / a(u, v) u V v V u, v V 2. a(.,.) es V-elíptica o coerciva, i.e., 0 / a(v, v) v 2 V v V podemos definir una nueva norma llamada norma de energía: v a a(v, v) , v V 1 2 Esta norma es equivalente a ||.||V, i.e., constantes positivas c , C , tal que cv V v a C v V v V El producto escalar asociado a ||.||a es (u, v)a a(u, v) Verifica la desigualdad de Cauchy (u, v)a || u ||a || v ||a Introducción al Método de los Elementos Finitos 19 Estimación del error de discretización en norma de energía • Teorema: Sea uV la solución de (V) y uhVhV. Entonces: u uh a u v a v Vh Medida en la norma de energía, uh es la mejor aproximación a u. • Demo.: 1. u solución de (V ) (u, w)a L( w), w Vh V 2. uh solución de (Vh ) (uh , w)a L(w), w Vh 3. Restando: (u uh , w)a 0, w Vh 4. Sea w uh v, con v Vh arbitrario. 2 5. Operando: u uh a (u uh , u uh )a (u uh , u uh )a (u uh , w)a (u uh , u uh w)a Desigualdad de Cauchy (u uh , u v)a u uh a u v Introducción al Método de los Elementos Finitos a (QED) 20 Ejemplos concretos 1 Ejemplo 1: sea V=H (), 2 . a(u, v) uv u v dx L(v) fv dx, f L2 () En este caso, a(u, v) L(v), v H1 () es la forma débil del problema de Neumann u (D) Du u f en , 0 sobre n 1 Se verifica v, w H () • a(v, w) a(w, v) a(.,.) es una forma bilineal simétrica • a(v, v) v 2 H1 ( ) a(.,.) es V-elíptica con 1 • a(v, w) a(v, v)2 a(w, w) 2 v 1 • L(v) fv dx f 1 L2 ( ) v L2 ( ) H1 ( ) w H1 ( ) a(.,.) es continua con 1 L(.) es continua con f – Estimación de estabilidad: u – Estimación de error: u uh H1 ( ) f H () 1 L2 ( ) L2 ( ) u v H () 1 Introducción al Método de los Elementos Finitos v H1 () 21 Ejemplos concretos (cont) Ejemplo 2: sea V=H10 (I), I (0,1), a(v, w)= vwdx, L(v)= fv dx. I I En este caso, a(u, w) L(v), v H10 (I) es la forma débil del problema: • (D) u f en I, u(a) u(b) 0 Se verifica v, w H10 (I) a(v, w) a(w, v) a(.,.) es simétrica a(v, w) v L a(v, v) v 2 (I) w L 2 H1 (I) L(v) fv dx f I 2 (I) v H1 (I) a(.,.) es continua con 1 w H1 (I) a(.,.) es V-elíptica con 1 2 L2 (I) v L2 (I) L(.) es continua con f L2 (I) • Luego: – Estimación de error: u uh H (I) – Estimación de estabilidad: u f H1 (I) 1 2 u v 1 H (I) v H10 (I) L2 (I) Introducción al Método de los Elementos Finitos 22 Ejemplos concretos (cont. Ejemplo 2) Demo. de V-elipticidad de a(.,.): 0 x v( x) v(0) + v( y) dy Desigualdad de Cauchy 0 1 2 2 2 v( x) v ( y ) dy 1 v dy 1 dy v dy 0 0 0 0 x 1 1 1 1 1 1 1 2 1 v dx v dydx v dx 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 2 v dx v dx 2 v dx 2 0 2 0 (QED) 0 ||v|| a ( v ,v ) H1 ( 0,1) Teorema: vH1(), cte. C dependiente de , t.q. v 2 L2 ( ) C v 2 L2 ( ) v 2 L2 ( ) Desigualdad de Poincaré-Friedrichs • Para I(0,1), v(0)0, resulta C 1. Introducción al Método de los Elementos Finitos 23 Ejemplos concretos (cont) Ejemplo 3: sea V=H10 (), 2 , a(u, v)= u v d , L(v)= fv d . En este caso, a (u, v)=L(v), v H () es la forma débil del problema de Poisson (D) Du f en , u 0 sobre • Se verifica v, w H10 () a (v, w) a (w, v) a(.,.) es simétrica 1 0 a(v, w) v L2 ( ) w L v 2 ( ) H1 ( ) w H1 ( ) a(v, v) v v d C 1 v 2 d , C a(.,.) es continua con 1 Desigualdad de Poincaré-Friedrichs C 1 a(v, v) v 2 d v v d a(.,.) es V-elíptica, con (C 1) 1 1/ L(v) fv d f ||v||2 1 H () L2 ( ) v L(.) es continua con f L2 ( ) • Estimación de error: u uh • Estimación de estabilidad: u H1 ( ) H ( ) 1 C 1 u v C 1 f H ( ) 1 L2 ( ) v H10 () L2 ( ) Introducción al Método de los Elementos Finitos 24 Ejemplos concretos (cont) d 4u f en I=(0,1), u (0) u(0) u (1) u(1) Ejemplo 4: ( D) 4 dx • Definimos los espacios H2 (I)= v : v, v, v L2 (I) H02 (I)= v : v H2 (I), v(0) v(0) v(1) v(1) 0 con norma v • H 2 = (I) I I 1 2 I v H 02 (I) a(u, v) L(v) a(.,.) es una forma bilineal y simétrica • a(v, w) v L2 (I) w L2 (I) v H2 (I) w H2 (I) a(.,.) es continua con 1 2 2 2 v v v I dx a(.,.) es V-elíptica con 1/3 H2 (I) L(.) es continua con f L (I) • a(v, v) v • 2 2 La forma débil del problema (D) consiste en hallar u V=H02 (I) tal que uvdx = fv dx • v v v dx 2 2 2 • Luego: u 2 H (I) 3 f L2 (I) u uh 2 H (I) 3 u v Introducción al Método de los Elementos Finitos 2 H (I) v H02 (I) 25 Ejemplos concretos (cont) Ejemplo 5: Consideremos el problema bi-armónico: u (D) D 2u f en d , d 1,2,3, u 0 sobre n D u D Du 2 • Definimos el espacio Hk ()= v : v L2 (), D v L2 (),| | k con norma v donde = Hk ( ) 2 D v d | | k | |v D v 1 2 , (1 , 2 );| | 1 2 ;1 , 2 0,1, 2, x1 x2 • La forma débil del problema (D) resulta: v Hallar u H02 ()= v : v H 2 (), v 0 sobre , tal que n 0 (V ) 0 v Du v d Du Dv d Du d n n fv d D 2u v d Du v d =L( v ) =a ( u , v ) Introducción al Método de los Elementos Finitos 26 Ejemplos concretos (cont. Ejemplo 5) Demostraremos la identidad : Dv 1 v (Dv)2 d D v d d , v suave t.q. v 0. R n 2 2 2 L2 ( ) 2 D) Aplicando Green Dv 2 L2 ( ) (Dv)2 d v,ii v, jj d v,i v, jj ni d v,i v,ijj d v,i v, jj ni v,i v,ij n j d v,ij v,ij d Cambiamos coordenadas en un punto del contorno. El borde, localmente, resulta x2* g ( x1* ) y como v 0 v x1* , g ( x1* ) 0 en torno a x1* 0 Luego: v,1 v,2 g ' 0, * en torno a x 1 0 2 v,11 2v,12 g,1 v,22 g ' v,2 g '' 0. Introducción al Método de los Elementos Finitos 27 Ejemplos concretos (cont. Ejemplo 5) Al ser g '(0) 0 y por definición: g "(0) 1/ R v,1 (0, 0) 0, v,11 (0, 0) v,2 g '' Por último, siendo n 0 1 T v,2 R en x 0 0 T v,i v, jj ni v,i v,ij n j v,2v, jj v,i v,i 2 v,2 v,11 v,22 v,1v,12 v,2v,22 v,2v,11 0 v 2 ,2 R con lo cual logramos 2 v,ij v,ij v,11v,11 v,12v,12 v,21v,21 v,22v,22 D v 2 Dv 2 L2 ( ) 1 v (Dv) 2 d D v d d R n 2 2 Introducción al Método de los Elementos Finitos 2 (QED) 28 Ejemplos concretos (cont. Ejemplo 5) • a(.,.) es una forma bilineal simétrica, pues a(u, v) Du Dv d a(v, u) • a(.,.) es continua con 1, pues a(u, v) Du L2 ( ) Dv L2 ( ) Du H2 ( ) Dv H2 ( ) • a(.,.) es V-elíptica con 1(1CC2). Usamos la identidad : Dv 1 v (Dv)2 d D v d d , v suave t.q. v 0. R n 2 2 2 2 L2 ( ) 0 Luego añadimos los términos que faltan para lograr v Dv 2 L2 ( ) v 2 L2 ( ) v 2 L2 ( ) 2 2 D v d v 2 L2 ( ) 2 : H2 () v 2 L2 ( ) v 2 H2 ( ) Usando Poincaré-Friedrichs : v 2 H2 ( ) Dv 2 L2 ( ) (C 1) v • L(.) es continua con 2 L2 ( ) f Dv 2 L2 ( ) (C 1)C Dv 2 L2 ( ) 1 C C 2 Dv L2 ( ) Introducción al Método de los Elementos Finitos 29 2 L2 ( ) Ejemplos concretos (cont) Ejemplo 6: Consideremos el problema estacionario de convección-difusión: (D) mDu β u f en , m ,β 2 , u 0 sobre Supongamos ||||/m moderado. • La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo (V ) 0 u fv d mDu β u v d mu v β u v d m v d n =L( v ) =a ( u , v ) • L(.) es una forma lineal continua. • a(.,.) es una forma bilineal, continua y V-elíptica, pero no simétrica. Teorema: si L(.) es una forma lineal continua, y a(.,.) es una forma bilineal, continua y V-elíptica, pero no simétrica, se puede demostrar que hay solución única a (V), y está acotada. Sin embargo, en este caso no existe problema de minimización asociado a (V). Introducción al Método de los Elementos Finitos 30 Ejemplos concretos (cont) Ejemplo 7: Consideremos el problema estacionario de conducción de calor en 3 (D) ku f u 0 ku n g k1 en , con k 0 0 en 1 0 k2 0 0 0 , ki k3 Ecuación del calor CB Dirichlet en 2 CB Neumann 1 Definimos como espacio para la solución V v : v H (), v 0 sobre 1 • La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo fv d ku v d ku v d ku n v d ku v d g v d 2 ku v d fv d g v d a ( u ,v ) 2 L( v ) • L(.) es una forma lineal continua si f L2(), gL2(2). • a(.,.) es una forma bilineal, simétrica, continua y V-elíptica si c, C / c ki (x) C x Introducción al Método de los Elementos Finitos 31