REFUERZO DE FUNCIONES

REFUERZO DE FUNCIONES
Dominio de definición
1.- Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:
( )
( )
√
( )
( )
√
( )
(
)
( )
(
)
Solución:
 Para calcular el dominio de
lo único que tenemos que tener en cuenta es el
denominador. El único problema para el dominio de es la división. Tenemos que quitar los
números que hacen 0 al denominador.
( )
Luego el valor que hay que quitar es el que hace que
quitar
. Por tanto Dom
. Es decir, hay que
.
 Para calcular el dominio de tenemos que tener en cuenta que LO QUE HAY DENTRO
de la raíz tiene que ser positivo para poder hacer la raíz cuadrada. Es decir tenemos que coger
los números que hacen positivo a lo que hay dentro de la raíz.
( )
√
Luego hay que coger las
que cumplan que
Es decir, hay que
resolver la inecuación anterior. Para ello detectamos dónde se anula cada factor de los que
aparecen (encontramos las raíces):
} Dibujamos esas raíces sobre la recta real
-∞
-1
3
+∞
Para cada intervalo en el que queda dividida la recta queremos saber si la expresión
positiva o negativa. Calculamos el valor para una
que esté en cada intervalo.
Además tenemos en cuenta que la expresión
no tiene sentido para
dividir por 0) y que para
vale 0. Así escribimos
-∞
-1
+
3
-
0
+∞
+
es
(no se puede
Como mi inecuación es
tengo que coger los intervalos positivos (+) y los números
en los que se haga 0. Por tanto
: (
Solución de
)
) (El -1 no se coge porque no tiene sentido la
división y el 3 sí se coge porque hay que coger los números en los que se hace 0).
Por tanto Dom
(
)
) .
 Para calcular el dominio de tenemos que tener en cuenta que LO QUE HAY DENTRO
de un logaritmo tiene que ser ESTRICTAMENTE positivo para poder hacer el logaritmo. Es decir
tenemos que coger los números que resuelven la inecuación
.
OBSERVAR que la inecuación es la misma que para cambiando el “mayor o igual” por un
“mayor estricto”. Por tanto se resuelve exactamente igual que en el caso anterior y lo único
que varía es el resultado final.
-∞
-1
+
: (
Solución de
3
-
)
(
0
+∞
+
) (El -1 no se coge porque no tiene sentido la
división y el 3 NO se coge porque NO hay que coger los números en los que se hace 0).
Por tanto Dom
(
)
(
) .
 Para calcular el dominio de lo único que tenemos que tener en cuenta es el
denominador. El único problema para el dominio de es la división. Tenemos que quitar los
números que hacen 0 al denominador.
( )
Luego los valores que hay que quitar son los que hacen que
Es decir, hay que quitar las soluciones de la ecuación anterior. Resolviendo la ecuación de
segundo grado obtenemos las soluciones
y
. Por tanto, obtenemos que Dom
.
 ANÁLOGO AL CÁLCULO DEL DOMINIO DE . Para calcular el dominio de tenemos que
tener en cuenta que LO QUE HAY DENTRO de la raíz tiene que ser positivo para poder hacer la
raíz cuadrada. Es decir tenemos que coger los números que hacen positivo a lo que hay dentro
de la raíz.
( ) √
Luego hay que coger las que cumplan que
Es
decir, hay que resolver la inecuación anterior. Para ello hay que calcular donde se anula cada
factor de la ecuación, para eso hay que resolver
obteniendo
y
.
Se procede como en g, dando valores y realizando el esquema sobre la recta real.
-∞
-4
+
3
-
0
+∞
+
Ahora la expresión tiene sentido en el 3 y en el -4 y sale 0. Por tanto:
Solución de
: (
coger los números en los que se hace 0).
(
Por tanto Dom
) (El -4 y el 3 SI se cogen porque hay que
) .
 Para calcular el dominio de tenemos que tener en cuenta que LO QUE HAY DENTRO
de un logaritmo tiene que ser ESTRICTAMENTE positivo para poder hacer el logaritmo. Es decir
tenemos que coger los números que resuelven la inecuación
.
OBSERVAR que la inecuación es la misma que para cambiando el “mayor o igual” por un
“mayor estricto”. Por tanto se resuelve exactamente igual que en el caso anterior y lo único
que varía es el resultado final.
-∞
-4
3
+
-
0
) (
Solución de
: (
entran los números que hacen cero la expresión).
(
Por tanto Dom
)
(
+∞
+
) (El -4 y el 3 NO se cogen porque No
) .
Simetrías
RECORDAR PARA LOS EJERCICIOS DE SIMETRÍA
(
)
(
)
(
)
2.- Calcula la simetría de las siguientes funciones:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Solución:
 Para calcular la simetría de lo que tenemos que hacer es calcular ( ) y comparar
el resultado obtenido con ( ). Si resulta que ( )
( ) entonces es PAR. Si resulta que
( )
( ) entonces es IMPAR.
(

(
)

(
)

(
)
(
(
)
(
)
(
(
)
(
(
)
)
( )
)
(
)
(
)
Por tanto
(
)
( )
)
)
es PAR.
( )
( )
Luego
IMPAR
Luego
IMPAR
( ) Luego no tiene simetría.


(
(
)
)
(
(
(
(
)
)
)
)
( )
(
)(
( ) No tiene simetría.
( )
Luego k es PAR.
)
Composición
3.- Considera las funciones ( )
( )
( )
√
. Calcula y
simplifica las funciones que se te piden:
Solución:

( )
( ( ))
(

( )
( ( ))
(

( )
( ( ))
(

( )
( ( ))
(
)
(
)
(
(
)
)
)
(
(
)
)
)(
)(
)
√(
(
)
)
( )
( ( ))
(√

( )
( ( ))
(

( )
( ( ( )))
( (
√
(
)
))
( (
(
)
)
(
)
Funciones inversas
4.- Calcula la función inversa de las siguientes funciones
( )
( )
( )
√
( )
( )
√
Solución:

Para calcular la inversa de ( )
Ahora despejamos la :
)
)
√
)
)
)(
)(
)
√

(
(
, en primer lugar lo escribimos como.
)
⇒
Cambiamos los papeles de la
y la .
Luego la función inversa es:
( )
Procedemos de igual manera para el resto de funciones del ejercicio.
( )
⇒
⇒
(
)
⇒
( )
⇒
( )
⇒
⇒
⇒
⇒
(
)
(
) ⇒
(
⇒
)
⇒
( )
( )
√
⇒
√
⇒
⇒
⇒
( )
( )
√
⇒
√
⇒
⇒
⇒
⇒
( )
(
(
)
)
⇒
Dibujo de funciones definidas a trozos
5.- Representa las siguientes funciones definidas a trozos y expresa su dominio y su recorrido.
( )
( )
{
Solución: Para dibujar
la función:
{
tenemos que dibujar cada una de las 3 partes en las que está dividida
TROZO 1: ( )
cuando
. Se trata de un trozo de recta (una semirecta). Para
dibujarlo basta con encontrar dos puntos de la recta y=
. Buscaremos siempre el punto
borde del dominio, es decir, en la tabal siempre aparecerá el valor
, aunque este no
entre en el dominio.
x
y
-2
-4
-3
-5
Además del valor extremo damos otro que sí esté en el dominio.
Como el punto (-2,-4) no entra porque la desigualdad es estricta, destacamos este hecho
dibujando el extremo de la semirecta con un pequeño círculo sin rellenar.
TROZO 2: ( )
cuando
porque el coeficiente de la
. Se trata de una parábola, abierta hacia abajo
es negativo. Además el vértice se encuentra en
=0.
Terminamos de darle forma con una tabla, en la que incluiremos el vértice y los extremos del
intervalo de definición.
x
y
1
-1
0
0
-2
-4
El extremo izquierdo se rellena porque entra el punto en el dominio, y el izquierdo se deja
abierto. Observar que los dos trozos de función empalman bien en
por lo que se
rellena el punto que había quedado abierto del trozo anterior.
TROZO 3: ( )
cuando
Procedemos como en el trozo 1.
. Se trata de un trozo de recta (una semirecta).
x
y
1
1
2
3
Que es el aspecto final de la función.
Observar que en
los dos trozos no empalman bien y la función presenta un salto. Aquí es
especialmente importante resaltar los puntos en el corte para que observando la gráfica
podamos saber el valor de la función en x=1.
Dibujemos ahora ( )
{
. No lo hacemos con tanto detalle como en
el caso anterior.
Observar que los dos primeros trozos son rectas y el último trozo es una parábola abierta hacia
arriba con vértices en x=1 (luego el vértice no aparece en la gráfica).
Observar también que no hay función entre el 1 y el 2.
Con todo ello la función debe quedar de la siguiente forma
Para dibujar el segmento del trozo 2 recordar que al menos hay que dar los valores en los
extremos del intervalo y con estos valores es suficiente para dibujarlo porque es un trozo de
recta.
Operaciones con funciones definidas a trozos
6.- Considera las funciones
( )
{
y
siguientes y calcula
( )
y
y
.
{
Solución: Aunque no es estrictamente necesario realizamos primero un dibujo de las dos
funciones. Como ya hemos explicado cómo dibujarlas en el ejercicio anterior exponemos aquí
solo el resultado final.
Gráfica de
Gráfica de
Para calcular ( )
( ) y ( ) ( ) tenemos que tener en cuenta que depende de dónde
esté , las expresiones de y de varían.
Trozo 1 de 𝑔
Trozo 2 de 𝑔
0
Trozo 2 de𝑓
Trozo 1 de𝑓
Trozo 3 de𝑓
-2
Por tanto para ( )
1
( ) y ( )
-∞
( ) tenemos que distinguir los siguientes 4 trozos
-2
0
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Es decir
( )
( )
{
1
+∞
( )
( )
{
Para calcular
debemos proceder de forma diferente ya que para saber qué trozo de
debemos aplicar tenemos que saber el valor de que me sale con cada .
Observando la función podemos ver fácilmente que:
( )
Luego para las
deberemos considerar el primer trozo de .
Además
( )
Lugo para las
deberemos considerar el segundo trozo de .
-∞
-2
1
-∞
(
{ (
(
+∞
0
)
)
)
{
(
(
(
)
)
)
+∞
{