Tema 4

Cálculo I
E.T.S.I. de Minas
Curso 2008-2009
TEMA 4. Sucesiones de números reales.
Definición. Una sucesión de números reales es una aplicación que a cada número natural
n ≥ 1 le asigna un único número real xn ∈ R. Dicha sucesión se denota de una de las
siguientes maneras:
• {xn } ó {xn }n∈N∗ ó {xn }n≥1 ó {xn }∞
n=1 .
• (xn ) ó (xn )n∈N∗ ó (xn )n≥1 ó (xn )∞
n=1 .
Normalmente el término n-ésimo de la sucesión, xn , viene dado por una expresión en
función de n. A dicha expresión se le llama término general de la sucesión.
En algunas ocasiones la sucesión se define, en vez de mediante un término general,
dando los primeros términos de la sucesión siempre y cuando estos permitan averiguar los
siguientes. En ese caso, se suele escribir:
{xn } = {x1 , x2 , x3 , · · ·} ó
(xn ) = (x1 , x2 , x3 , · · ·)
Puesto que el uso de los paréntesis es común para agrupar operaciones, preferiremos las
notaciones con llaves.
Las sucesiones se pueden definir también mediante una recurrencia; esto es, una
fórmula que expresa el término n-ésimo en función de algunos de los anteriores. Para que
la sucesión esté bien definida es necesario además dar el valor numérico de los primeros
términos de la sucesión.
Ejemplos.
(1) La sucesión {xn } dada por el término general xn = n2 es la siguiente:
{n2 } = {1, 4, 9, 16, 25, · · ·}.
(2) Un ejemplo de sucesión definida mediante una recurrencia es la sucesión de Fibonacci
{xn } dada por:
⎧
⎨ x1 = 1
x =1
xn =
⎩ 2
xn = xn−1 + xn−2 , ∀n ≥ 3
Obsérvese que esta sucesión es
{xn } = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 11, · · ·}.
1
(3) Algunas sucesiones definidas mediante una recurrencia se pueden expresar también
mediante un término general. Por ejemplo, la sucesión {xn } definida por:
x1 = 1
xn =
xn = 2xn−1 , ∀n ≥ 2
tiene como término general
xn = 2n−1 .
Definición. Sea {xn } una sucesión de números reales.
(a) Se dice que {xn } está acotada superiormente si
∃ M ∈ R / xn ≤ M, ∀n ∈ N∗ .
(b) Se dice que {xn } está acotada inferiormente si
∃ m ∈ R / m ≤ xn , ∀n ∈ N∗ .
(c) Se dice que {xn } está acotada si lo está superior e inferiormente, esto es
∃ m, M ∈ R / m ≤ xn ≤ M, ∀n ∈ N∗ .
Definición. Sea {xn } una sucesión de números reales.
(a) Se dice que {xn } es monótona creciente si
xn ≤ xn+1 , ∀n ∈ N∗ .
(b) Se dice que {xn } es monótona decreciente si
xn ≥ xn+1 , ∀n ∈ N∗ .
(c) Se dice que {xn } es monótona si es monótona creciente o monótona decreciente.
(d) Si en cualquiera de las definiciones anteriores se verifican las desigualdades estrictas,
se dirá que la sucesión es estrı́ctamente monótona (creciente o decreciente).
2
Ejemplos.
(1) La sucesión {xn } dada por el término general xn = n2 está claramente acotada
inferiormente por 0 pero no está acotada superiormente. Además es fácil ver que es
estrı́ctamente creciente ya que:
xn+1 = (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 > n2 = xn , ∀ n ∈ N∗ .
2n − 1
está acotada ya que trivialmente se tiene que xn > 0
(2) La sucesión {xn } =
n2
para todo n ≥ 1, por lo que está acotada inferiormente, y además
0 ≤ (n − 1)2 = n2 − 2n + 1
⇒
2n − 1 ≤ n2
⇒
2n − 1
≤ 1,
n2
lo que prueba que está acotada superiormente por 1.
Para ver si la sucesión es creciente o decreciente, construyamos una nueva sucesión
con la diferencia de los términos n-ésimo y (n+1)-ésimo:
dn = xn − xn+1 =
2n − 1 2(n + 1) − 1
2n2 + 1
−
=
.
n2
(n + 1)2
n2 (n + 1)2
Claramente, dn > 0, para todo n ≥ 1 ya que tanto el numerador como el denominador
del término general dn son estrı́ctamente positivos. Por tanto,
dn = xn − xn+1 > 0
⇒
xn > xn+1 ,
lo que implica que {xn } es estrı́ctamente monótona decreciente.
Definición. Sea {xn } una sucesión de números reales.
(a) Se dice que {xn } es convergente si existe L ∈ R tal que
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N / n ≥ N ⇒ |xn − L| ≤ ε.
En tal caso, se dice que L es el lı́mite de xn y se escribe lim xn = L.
n→∞
(b) Se dice que {xn } tiene lı́mite +∞ si
∀ M > 0 , ∃ N ∈ N / n ≥ N ⇒ xn ≥ M.
En tal caso, se escribe lim xn = +∞.
n→∞
(c) Se dice que {xn } tiene lı́mite −∞ si
∀ M > 0 , ∃ N ∈ N / n ≥ N ⇒ xn ≤ −M.
En tal caso, se escribe lim xn = −∞.
n→∞
3
(d) Una sucesión se dice que es divergente si lim xn = ±∞.
n→∞
Ejemplos.
(1) Una sucesión constante {xn } = {K} es convergente y lim xn = K.
n→∞
(2) La sucesión {xn } = {n} tiene lim xn = ∞.
n→∞
(3) La sucesión {xn } = {−n} tiene lim xn = −∞.
n→∞
(4) La sucesión {xn } = {1/n} es convergente y tiene lim xn = 0.
n→∞
(5) La sucesión {xn } = {(−1)n /n} es convergente y tiene lim xn = 0.
n→∞
(4) La sucesión {xn } = {(−1)n } no tiene lı́mite ya que los términos pares son 1 y los
impares -1.
Teorema (de las sucesiones monótonas). Sea {xn } una sucesión monótona.
(a) Si {xn } es creciente y acotada superiormente por un número K ∈ R entonces {xn }
es convergente y lim xn ≤ K.
n→∞
(b) Si {xn } es decreciente y acotada inferiormente por un número K ∈ R entonces {xn }
es convergente y lim xn ≥ K.
n→∞
(c) Si {xn } es creciente y no está acotada superiormente entonces lim xn = +∞.
n→∞
(d) Si {xn } es decreciente y no está acotada inferiormente entonces lim xn = −∞.
n→∞
Ejemplos.
(1) La sucesión monótona creciente {n2 } no está acotada superiormente y, por tanto,
lim n2 = ∞.
n→∞
2n − 1
es decreciente y está acotada inferiormente por 0. El teorema
(2) La sucesión
n2
nos asegura entonces que es convergente y que lim xn ≥ 0.
n→∞
(3) La sucesión {xn } = {(−2)n } no tiene lı́mite ya que los términos pares son positivos
y se hacen cada vez mayores y los términos impares son negativos y se hacen más
pequeños cuanto mayor es n. Ası́, los términos pares tienden a +∞ mientras que los
impares tienden a −∞. Eso implica que no existe el lim xn .
n→∞
4
Cálculo de lı́mites de sucesiones
Proposición. Sean {xn } e {yn } dos sucesiones con lı́mite y supongamos que L1 , L2 ∈
R ∪ {±∞} son sus lı́mites respectivos, esto es:
lim xn = L1 ,
lim yn = L2 .
n→∞
n→∞
Entonces se verifica:
(a) lim (λxn + μyn ) = λL1 + μL2 ,
n→∞
∀λ, μ ∈ R.
(b) lim (xn yn ) = L1 L2 .
n→∞
(c) lim
n→∞
L1
xn
=
, si L2 = 0.
yn
L2
(d) lim (xn )yn = (L1 ) L2 , si L1 > 0,
n→∞
donde las operaciones con ±∞ siguen las reglas del cálculo en R ∪ {+∞, −∞} utilizadas en el tema de lı́mites de funciones siempre y cuando no aparezca alguna de las
indeterminaciones:
∞
0
,
, [0 · ∞] , [1∞ ] , 00 , ∞0 .
[∞ − ∞] ,
0
∞
Proposición. Sea f : I → R una función continua. Sea {xn } una sucesión tal que
lim xn = x y supongamos que x ∈ I y que xn ∈ I para todo n ≥ 1. Entonces
n→∞
lim f (xn ) = f (x).
n→∞
Propiedad. Sea f : (a, ∞) → R una función tal que lim f (x) = L ∈ R∪{±∞}. Entonces
x→∞
lim f (n) = L.
n→∞
Propiedad. Sea {xn } una sucesión de números reales. Entonces:
(a) lim xn = 0 ⇔ |xn | = 0.
n→∞
(b) Si lim xn = 0 y la sucesión {yn } está acotada entonces lim xn yn = 0.
n→∞
n→∞
5
Ejercicio. Calcular el siguiente lı́mite
sen(en ) + ln(n)
.
n→∞
n
lim
Solución: Utilizando las reglas del cálculo de lı́mites, se tendrá que, en caso de que los
lı́mites de la derecha existan, entonces
sen(en ) + ln(n)
sen(en )
ln(n)
= lim
+ lim
.
n→∞
n→∞
n→∞ n
n
n
lim
Ahora bien, como sen(en ) está acotado y lim
n→∞
1
= 0, utilizando la propiedad (b) ann
sen(en )
= 0.
n→∞
n
∞
ln(n)
Por otro lado, lim
nos da una indeterminación de tipo
. Podemos estudiar
n→∞ n
∞
ln(x)
usando la regla de L’Hôpital y aplicar entonces una de las propiedades
si existe lim
x→∞ x
anteriores:
terior se tiene que lim
L’H
↓
ln(x)
=
lim
x→∞ x
En consecuencia,
lim
x→∞
1/x
=0
1
⇒
lim
n→∞
ln(n)
= 0.
n
sen(en ) + ln(n)
= 0.
n→∞
n
lim
Proposición (Criterio del cociente). Sea {xn } una sucesión tal que existe un número
N ∈ N tal que xn ≥ 0 para todo n > N .
xn+1
= L ∈ R ∪ {∞} entonces:
n→∞ xn
Si existe lim
(a) Si L < 1 entonces lim xn = 0.
n→∞
(b) Si L > 1 entonces lim xn = ∞.
n→∞
(Obsérvese que si L = 1, el criterio no decide).
Ejercicio. Calcular el lı́mite
lim
n→∞
(n + 1)!
.
en
6
xn+1
n→∞ xn
Solución: Utilizaremos el criterio del cociente. Para ello, estudiamos el lı́mite lim
que, en nuestro caso, resulta:
(n + 2)!
xn+1
n+1
(n + 1)!(n + 2)en
n+2
lim
= lim
= ∞ > 1,
= lim e
= lim
n
n→∞ xn
n→∞ (n + 1)!
n→∞
n→∞
(n + 1)!e e
e
en
(n + 1)!
= ∞.
n→∞
en
por lo que lim
Para determinar en qué casos una sucesión carece de lı́mite es útil es concepto de
subsucesión que definimos a continuación.
Definición. Sea {xn } una sucesión de números reales. Se llama subsucesión de {xn } a
cualquier sucesión obtenida de tomar infinitos elementos de {xn } sin variar su orden.
Ejemplo. Las sucesiones {2n} y {−2n − 1} son subsucesiones de la sucesión {(−1)n n}
pues corresponden con tomar los elementos pares e impares, respectivamente, de esta
última.
Propiedad. Sea {xn } una sucesión de números reales.
(a) Si existe lim xn = L ∈ R ∪ ±∞ entonces lim yn = L para toda subsucesión {yn }
de {xn }.
n→∞
n→∞
(b) Como consecuencia, si {xn } admite dos subsucesiones {yn }, {zn } tales que lim yn =
n→∞
lim zn o si admite una subsucesión que no tiene lı́mite, entonces no existe tampoco
n→∞
el lı́mite de {xn }.
Lı́mites de sucesiones dada por recurrencia
Considereramos una sucesión {xn } definida por una recurrencia a un término:
x0 = a
xn+1 = f (xn ) , ∀ n ≥ 0.
Normalmente se trata de aplicar el teorema de las sucesiones monótonas por lo que trataremos de probar que la sucesión es bien creciente y acotada superiormente o bien decreciente
y acotada inferiormente. Eso nos garantizarı́a que la sucesión {xn } es convergente. En ese
caso, si f es continua, el lı́mite tendrá que ser un punto fijo de f como asegura la siguiente
proposición.
7
Proposición. Sea {xn } una sucesión definida por
x0 = a
xn+1 = f (xn ) , ∀ n ≥ 0,
donde f es una función continua.
Si {xn } converge a L ∈ R entonces L es un punto fijo de f , esto es:
L = F (L).
Demostración. Si lim xn = L entonces lim xn+1 = L ya que {xn+1 } es la subsucesión de
n→∞
n→∞
{xn } obtenida al eliminar el primer término. Entonces, tomando lı́mites en xn+1 = f (xn ),
puesto que f es continua, se tiene:
L = lim xn+1 = lim f (xn ) = f lim xn = f (L).
n→∞
n→∞
n→∞
Método de estudio de sucesiones recurrentes. Para estudiar el lı́mite de una sucesión
dada por una recurrencia
x0 = a
xn+1 = f (xn ) , ∀ n ≥ 0,
procedemos habitualmente como sigue:
(1) Calculamos los puntos fijos de f porque son los posibles lı́mites de la sucesión y
porque son los puntos que nos dividen la recta real en intervalos en los que la sucesión
es creciente o decreciente ya que si tomamos la función auxiliar g(x) = f (x) − x se
tiene:
g(xn ) = f (xn ) − xn = xn+1 − xn
y como entre dos puntos fijos de f (esto es, dos ceros de g) la función g tiene signo
constante, tendremos que mientras nos mantengamos entre dos puntos fijos de f , la
sucesión es o creciente o decreciente.
(2) Miramos en cuál de los subintervalos en que queda dividida la recta real por los puntos fijos de L queda el punto x0 = a y tratamos de probar que si xn está en ese intervalo (o en un subintervalo de él) entonces xn+1 también está en ese (sub)intervalo.
Para ello suele ser necesario hacer consideraciones de crecimiento y decrecimiento
de la función f . De esta manera probamos que la sucesión es monótona y que está
acotada (al menos por el lado que nos interesa).
(3) Dependiendo de si la sucesión es creciente o decreciente, evaluamos a qué punto fijo
de f debe converger.
8
Ejercicio. Calcular lim xn siendo
n→∞
⎧
⎨ x0 = 2
⎩ xn+1
1
=
2
3
xn +
. , ∀ n ≥ 0,
xn
Solución: Observemos que la sucesión viene dada por la recurrencia
3
x
3
1
x+
= +
,
xn+1 = f (xn ) , para la función f (x) =
2
x
2 2x
donde f (x) > 0 siempre que x > 0, por lo que f : (0, ∞) → (0, ∞) es continua.
En primer lugar hallamos los puntos fijos de f que son los candidatos a lı́mite:
√
3
x
+
= x ⇔ x = ± 3.
f (x) = x ⇔
2 2x
Como x0 = 2 > 0 y f (x) > 0 siempre que x > 0, sabemos que xn > 0 para todo n ∈ N y,
por tanto, si existe el lı́mite, éste tendrá que ser el punto fijo positivo de f :
√
lim xn = 3.
n→∞
Para probar que√el lı́mite existe veremos que {xn } es monótona decreciente y acotada
inferiormente (por 3). √
√
≥
3 para todo n ≥ 0. Obviamente,
Claramente, 2 = x0 ≥ 3. Veamos que 2 ≥ xn+1
√
esto es lo mismo que probar que 2 ≥ f (xn ) ≥ 3 para todo n ≥ 0. Lo veremos por
inducción:
• Para n = 0,
√ se tiene f (x0 ) = f (2) = 1 + (3/4) = 7/4 ≤ 2 y 7/4 = 49/16 ≥
48/16 = 3.
• Supongamos que es cierto para xn y probémoslo para xn+1 :
√
La función f es creciente en ( 3, 2) ya que
f (x) =
por tanto, se tiene:
2 ≥ xn ≥
√
3
⇒
3
3
1
1
− 2 > − √
= 0,
2 2x
2 2( 3)2
√
√
2 > 7/4 = f (2) ≥ xn+1 = f (xn ) ≥ f ( 3) = 3.
De esta relación se deducen dos cosas:
√
1) La sucesión está acotada: 3 ≤ xn+1 ≤ 2 para todo n ≥ 0.
2) La sucesión es decreciente√ya que
− f (x) solo puede cambiar
√ la función g(x) = x √
de signo en los puntos − 3, 0, 3 y en el intervalo [ 3, ∞) (que es donde está
completamente nuestra sucesión) es positiva ya que g(2) = 2 − (7/4) = 1/4 > 0. Por
tanto,
0 ≤ g(xn ) = xn − f (xn ) ⇒ xn+1 = f (xn ) ≤ xn .
9