UNIDAD DIDÁCTICA 2 MODULO 3 ACTIVIDAD 2
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Actividad 2: Fuerzas de resistencia) Actividad 2: Modelar las fuerzas de resistencia al movimiento El foco de la actividad estará de nuevo en incrementar los conocimientos sobre la naturaleza, aunque continuaremos desarrollando la competencia para resolver problemas de dinámica. Específicamente vamos a aprender cómo modelar en un primer acercamiento las complicadas “fuerzas ocultas” de resistencia al movimiento, que debemos postular en el marco de pensamiento newtoniano como explicación de los fenómenos discutidos en clase, como la ausencia de aceleración cuando empezamos a empujar una caja pesada sobre el piso. Objetivo: Adquirir experiencia y conocimientos prácticos en la resolución de problemas de fuerzas de fricción entre superficies sólidas y de resistencia en fluidos. Desarrollo de la actividad 1. 2. 3. 4. 5. Demostraciones experimentales en la última parte de la clase anterior Estudio de las secciones 5.2 y 5.3 siguiendo las indicaciones y orientaciones de la guía de estudio. Discusión en clase (2 horas, incluyendo las demostraciones de la actividad 3) Exploración 2: ¿Cuánto más rápido cae la bola más pesada? Taller en clase (2 horas, compartidas con la actividad 3) Guía de Estudio En las secciones 5.2 a 5.4 del texto guía se continúa el aprendizaje práctico de las técnicas estándares para plantear y resolver problemas dinámicos. Estas técnicas se exponen en abstracto en el recuadro azul de las páginas 161 y 162, que generaliza la pauta estudiada en la actividad anterior a situaciones fuera de equilibrio que involucran la segunda ley de Newton. Pero una cosa es enunciarlas en palabras y otra tener soltura en su ejecución en una gran diversidad de situaciones aparentemente muy distintas (aunque en el fondo se pueden reducir a unos cuantos modelos básicos). Por esta razón es importante apreciar su eficacia, de una manera concreta y en acción, en los ejemplos contenidos en estas secciones. Los cuatro primeros (ejemplos 5.6 a 5.9) están al mismo nivel que los ejercicios y problemas que se trabajaron en el módulo 2, y que Usted ya debería poder resolver. Pero como no se trata simplemente de llegar a la respuesta de cualquier manera sino que también importa el método seguido, es muy útil contrastar el proceso de razonamiento seguido por Usted con el seguido por los autores (el ejemplo 5.10, y el texto principal que le sigue, serán discutido en la actividad 3). El ejemplo 5.11 retoma el sistema del plano inclinado que se empezó a estudiar en los ejemplos 5.4 y 5.5 (es importante no dejarse confundir por la diferencia de contextos) en situaciones de no equilibrio. Los ejemplos 5.12 y 5.13 brindan nuevas oportunidades de trabajar con sistemas de dos cuerpos, en situaciones progresivamente complejas. El último, con el que concluye la sección 5.2, es otro “problema prototípico” de la dinámica, similar al del plano inclinado; por ese motivo vale la pena detenerse especialmente en su estudio. El recuadro siguiente reformula el problema de una manera más apropiada al objetivo de esta unidad, la formación en competencias científicas, por lo cual antes de estudiar la solución propuesta por el texto en el ejemplo 5.13 intente resolverlo siguiendo la secuencia de preguntas presentada en el recuadro. La extensa sección 5.3 es principalmente teórica, pero también tiene una parte práctica (ejemplos 5.15 a 5.20). La parte teórica está dividida en dos partes. En la primera, Fricción cinética y estática, se modelan las interacciones entre las superficies en contacto de dos cuerpos sólidos que están en movimiento relativo. Uno de estos cuerpos es generalmente un “móvil extenso” (por ejemplo un libro que se desliza sobre una mesa) y el otro es el cuerpo que lo soporta (la mesa, en el ejemplo dado)1. En la segunda parte teórica de la sección, Resistencia de fluidos y rapidez terminal (páginas 178-181), se modelan las fuerzas de contacto entre un cuerpo sólido que se mueve a través de un fluido, como aire o agua líquida, y el fluido correspondiente2. En la parte práctica de la sección se estudian dos situaciones, el arrastre de un bloque por una superficie 1 En esta primera “subsección” se puede incluir también el tema de “fricción de rodamiento”, tratado brevemente en la página 178, de una gran importancia en la tecnología del transporte. 2 Haremos menos énfasis en esta segunda subsección, pues en la mayoría de las aplicaciones elementales de la dinámica se consideran situaciones de fricción entre superficies sólidas. Además requiere un amplio dominio del cálculo. UNIDAD 2: Predecir el movimiento MÓDULO 3: Aplicaciones de las leyes de Newton … Pág. 1 de 10 Actividad 2: Fuerzas de resistencia) horizontal no lisa (ejemplos 5.14 a 5.16), y el plano inclinado con fricción, recapitulando y generalizando el análisis progresivo iniciado en las dos secciones anteriores (ejemplos 5.17 y 5.18). Los ejemplos 5.19 y 5.20 son ejercicios simples de reemplazo en una fórmula, pero amplían la información precedente. La figura muestra un sistema físico compuesto por un carrito de masa mA ligado a un bloque de masa mB mediante una cuerda flexible, inextensible y de masa despreciable, la cual pasa a través de una polea de fricción despreciable. Se puede despreciar también la fricción entre las ruedas del carrito y la mesa y la resistencia del aire al movimiento del bloque y del carrito. Debido a que la cuerda es inextensible, la magnitud |⃗ A| = a de la aceleración del carrito es igual a |⃗ B|, magnitud de la aceleración del bloque. a. b. c. Prediga cualitativamente sin hacer cálculos, a partir de la experiencia cotidiana y la intuición física, cómo se compara a con la aceleración de caída libre g (¿es a=g, a>g ó a<g?) Compare de igual manera la fuerza que la cuerda ejerce sobre el carrito con el peso del bloque. Dibuje los diagramas de cuerpo libre para el carrito, la cuerda y el bloque, escribiendo al lado de cada diagrama el significado de los símbolos vectoriales que invente para describir todas las interacciones presentes y que afecten el movimiento del sistema. Debe quedar claro en los diagramas cuáles son las variables (incógnitas) y las constantes. ADVERTENCIA: El problema es engañosamente fácil, pues los estudiantes suelen cometer una lamentable equivocación que los autores señalan en el párrafo CUIDADO de la página 171; es muy recomendable no olvidar el consejo dado en ese párrafo. d. Aplicando las técnicas para plantear y resolver problemas de dinámica (páginas 161-162), establezca ecuaciones que permitan obtener en función de las masas del sistema y de g todas las incógnitas que aparezcan en los diagramas de cuerpo libre así como la aceleración a. e. Resuelva las ecuaciones y contraste las predicciones hechas en (a) y (b) con los resultados obtenidos. f. Analice si los resultados obtenidos son intuitivamente razonables en los casos en que: i. mA es mucho mayor que mB ii. mA es mucho menor que mB g. Compare su solución con la que ofrece el texto en el ejemplo 5.13. Recuadro 1: Problema del carrito tirado por el bloque Preguntas de comprensión 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ¿En qué se diferencia la Estrategia para resolver problemas de dinámica de partículas de la Estrategia para resolver problemas de equilibrio de una partícula? ¿Cómo puede explicar que la fuerza ejercida por el viento sobre el velero del ejemplo 5.6 sea apenas un poco mayor que el 10% del peso combinado del velero y el tripulante? En el ejemplo 5.7, ¿se puede conocer la rapidez del velero en el instante t = 2 s leyendo la gráfica 5.8 (b)? Identifique los cuerpos con los cuales está interactuando el velero del ejemplo 5.7. ¿Qué fuerzas (magnitud y dirección) produce el velero sobre esos cuerpos? Sin hacer cálculos, prediga cómo se compara la tensión con el peso del elevador si éste estuviera: (i) descendiendo y aumentando su rapidez; (ii) ascendiendo y disminuyendo su rapidez; (iii) ascendiendo y aumentando su rapidez (compare con el modelo de solución al problema de estudio 10 del módulo 2). Compare el ejemplo 5.11 con el ejemplo 5.4 (reformulado en el contexto del ejemplo 5.l1): ¿Por qué en el primero no aparece la masa en el resultado final (la aceleración del trineo) y en el segundo sí aparece (en la tensión de la cuerda que sostendría el trineo, que sería el producto de su masa por la aceleración que adquiere si se suelta (g sen )? (no se trata de explicar en términos algebraicos sino físicamente). Compare los dos métodos usados en el ejemplo 5.12: ¿Cuál le parece preferible y por qué? ¿Por qué los patinadores de la figura 5.17 no podrían evitar caerse si no hubiera fricción o fuera demasiado pequeña? UNIDAD 2: Predecir el movimiento MÓDULO 3: Aplicaciones de las leyes de Newton … Pág. 2 de 10 Actividad 2: Fuerzas de resistencia) 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. ¿Qué implicación tiene, con respecto a la fuerza de contacto total que ejerce una superficie sobre un cuerpo que se desliza sobre ella, la ecuación (5.5) (junto con la relación entre la dirección de la fuerza de fricción dinámica con la dirección del movimiento)? Explique la paradoja de que en algunos casos el coeficiente de fricción dinámica aumenta cuando se pulen las superficies en contacto. Además de la rapidez y la naturaleza de las superficies en contacto, ¿de qué otras variables dependen los coeficientes de fricción? Interprete (explique con palabras cotidianas el significado) todos los elementos representados en la gráfica en la figura 5.20. La fricción estática es crucial para que el hombre de la figura 5.21 arrastre la caja. ¿Por qué? En el ejemplo 5.15 no figura el coeficiente de fricción estática s, a pesar de que es la fricción estática lo que está en acción. ¿Por qué? ¿Qué papel juega en este ejemplo ese coeficiente? ¿Cómo generalizar todavía más el resultado del ejemplo 5.18, que sólo se aplica cuando el móvil desciende por el plano inclinado con fricción, a la situación en que el móvil asciende? El DCL de la figura 5.25 se diferencia radicalmente de todos los demás diagramas estudiados en los ejemplos anteriores. Identifique y explique esta diferencia y sus consecuencias con respecto al movimiento del sistema. Una interpretación de lo que dice el texto al comienzo de la segunda subsección es que hay una rapidez crítica que separa el régimen de dependencia lineal de la fuerza resistiva con la rapidez (ecuación 5.7) del régimen de dependencia cuadrática (ecuación 5.8). ¿Qué diría Usted de esta interpretación? Narre en palabras la historia que está representada matemáticamente en las tres gráficas de la figura 5.26, haciendo énfasis en el concepto de “rapidez terminal”. En la casi totalidad de los problemas de física que tienen que ver con objetos que caen (por ejemplo los de tiro parabólico) se indica “considere despreciable la resistencia del aire” o algo equivalente. A la luz del contenido de las páginas 178 a 181, ¿qué se puede decir de esta indicación? (Opcional) Haga explícitos todos los pasos que se han omitido en la deducción de las ecuaciones (5.10) y (5.11). Realice los ejercicios EVALÚE SU COMPRENSIÓN de las secciones 5.2 (pág. 171) y 5.3 (pág. 181) y compare su análisis y resultados con los del libro, en la pág. 192 (la respuesta del segundo ejercicio es k=0,027. Discuta las Preguntas para Análisis P5.13, P5.14, P2.25, P2.26, P2.27, P2.28 Problemas de estudio propuestos 1. Un bloque de masa m1 se coloca en un plano inclinado sin fricción a un ángulo con la horizontal conectado a un bloque colgante de masa m2 por un cordel muy ligero que pasa por una polea sin fricción, como muestra la figura. Exprese la aceleración de cada bloque y la tensión en términos de las masas, el ángulo y g. 2. El automóvil del problema de estudio 2 de la actividad 1 se mantiene en equilibrio en una calle en pendiente si y sólo si el ángulo que forma la calle con la horizontal no excede 45°. ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática entre el pavimento y el caucho de las llantas de ese auto? 3. (Adaptado del problema 5.123) En el ejemplo 5.16 el hecho de jalar la caja no horizontalmente tiene dos efectos contrapuestos: disminuye la fuerza normal (y con ello la fricción), pero también disminuye la “fuerza efectiva”, la componente de la tensión en la dirección del movimiento, que es la que balancea la fuerza de fricción y permite que el cuerpo se mueva con rapidez constante. En consecuencia, es de esperar que exista un ángulo óptimo optimo, en el cual ambos efectos se compensen y la fuerza requerida para mover la caja con rapidez constante es mínima. (a) Demuestre que optimo= arctan k. (b) Construya la gráfica de la fuerza requerida en función de , para el caso en que w = 400 N y k.= 0,25 4. La superficie sombreada de la figura representa un tablero de aula visto en sección. El bloque es un borrador. La mano del profesor ejerce una fuerza constante sobre el borrador, en la dirección mostrada por la flecha, formando un ángulo con la UNIDAD 2: Predecir el movimiento MÓDULO 3: Aplicaciones de las leyes de Newton … Pág. 3 de 10 Actividad 2: Fuerzas de resistencia) horizontal. Existe fricción entre el borrador y el tablero, siendo k el coeficiente de fricción cinética entre el tablero y el borrador. Encuentre la magnitud de la fuerza requerida para mover el borrador con rapidez constante. 5. Uno de los muchos mitos sobre Galileo es el de su famosa “demostración” en la torre inclinada de Pisa de su hallazgo fundamental, del que tanto hemos hablado en el curso, que dos bolas de distinto peso y del mismo radio tardan en caer el mismo tiempo. Aplicando la teoría de la resistencia de fluidos presentada en el texto guía (páginas 178 y 179) y la segunda ley de Newton, discuta la adecuación del modelo de caída libre a la situación, comparando cualitativamente el comportamiento de las dos bolas. Ejercicios y Problemas sugeridos3: 5.16, 5.17, 5.18, 5.21, 5.22, 5.24, 5.26, 5.30, 5.31, 5.37, 5.61, 5.62, 5.64, 5.81, 5.83, 5.85, 5.99 Modelos de solución a los problemas de estudio propuestos 1. A. Descripción y análisis del problema. Las fuerzas ejercidas sobre el a1x bloque de la izquierda son su peso, la normal a la superficie del bloque y la tensión de la cuerda que tira cuesta arriba del bloque en dirección de la cuerda, que va paralela al plano, como muestra su DCL (a); conviene elegir el eje X en la última dirección, que será también la de su movimiento. Sobre el bloque (a) derecho se ejerce también la tensión de la cuerda, pero ahora tirando verticalmente hacia arriba; como siempre, el peso tira hacia abajo; en su DCL (b) (b) tomamos el eje Y vertical, la dirección de su movimiento. Si la cuerda es inextensible, la distancia que baja una masa es igual a la que sube la otra en un cierto tiempo, y por consiguiente sus vectores aceleración tendrán la misma magnitud a y las mismas componentes en las direcciones del movimiento (a2y = a1x) ¿Pero cuál será su sentido? Podemos asumir hipotéticamente que el bloque derecho tira del izquierdo, como muestran las flechas auxiliares, según las cuales las componentes de los vectores aceleración son ambas positivas si van en las respectivas direcciones de los ejes coordenadas. Si encontramos que esas componentes son negativas, significa que el sentido de ambos vectores es opuesto al supuesto, o que el bloque izquierdo hace subir al derecho. B. Planteo de ecuaciones. La segunda ley de Newton en forma de componentes rectangulares (cuyos signos se pueden leer en los DCL), aplicada a cada cuerpo por separado, establece: DCL (a): ΣFx = T + (m1g sen ) = m1 a1x (1) , ΣFy = n + (m1g cos ) = m1 a2x = 0 DCL (b): ΣFy = (T) + m2g = m2 a2y = m2 a1x (2) C. Resolución de ecuaciones. Las ecuaciones (1) y (2) forman un sistema de dos ecuaciones simultáneas con las incógnitas T y a. Sumándolas miembro a miembro, eliminamos T, obteniendo por factorización: (m1 sen + m2) g = (m1 + m2) a1x. Despejando a1x = (m1 sen + m2) g / (m1 + m2). Vemos entonces que si m1 sen > m2 las aceleraciones tendrán sentido opuesto al asumido y si m1 sen = m2.el sistema estará en equilibrio (ver ejemplo 5.5). Sustituyendo a1x en (2), y haciendo un poquito de álgebra despejamos T = ( ) D. Análisis y evaluación de la solución. Para =0 tenemos el caso particular del ejemplo 5.13 y recobramos los mismos resultados. Para = 90° el plano inclinado desaparece y el sistema se conoce con el nombre de “máquina de Atwood” (ver ejercicio 5.15). 3 Es posible que Usted no necesite desarrollar en detalle todos estos problemas, y que sea suficiente limitarse al planteo de las ecuaciones (o incluso analizarlos mentalmente). Por el contrario, también podría suceder que Usted necesite trabajar otros problemas hasta desarrollar la competencia que se requiere en el curso. Usted es el único juez que realmente puede evaluarla, y determinar cuánta práctica requiere para consolidar sus habilidades. UNIDAD 2: Predecir el movimiento MÓDULO 3: Aplicaciones de las leyes de Newton … Pág. 4 de 10 Actividad 2: Fuerzas de resistencia) 2. A. Descripción y análisis del problema. Continuemos el análisis del problema de estudio 2 de la actividad anterior. Vimos que para impedir el deslizamiento del auto era necesaria una fuerza de fricción paralela a la calle, de magnitud f = w sen , y dirigida hacia arriba; balanceando la componente del peso no compensada por la normal. Claramente esa fuerza f corresponde a una fuerza de fricción estática, puesto que no hay movimiento relativo. En primera aproximación se puede modelar como una fuerza que tiene las siguientes características: (i) asume cualquier valor requerido para mantener el equilibrio (al menos el equilibrio en la dirección en que actúa, pues en otras direcciones puede haber una fuerza neta) e impedir el movimiento relativo de las dos superficies en interacción por contacto; (ii) asume la dirección opuesta al movimiento que se produciría en su ausencia; (iii) no puede sobrepasar un valor crítico fs, max que depende a su vez de la naturaleza de las superficies en contacto y de la fuerza normal n entre estas superficies (siendo s el coeficiente de proporcionalidad entre fs, max y n). CUIDADO: s NO ES el coeficiente de proporcionalidad entre fs, y n (en contraste con la ecuación fk = kn). La magnitud de fs está determinada por la primera ley de Newton, pues asume exactamente el valor necesario para balancear la fuerza aplicada (ver figura 5.19 del texto guía). B. Planteo y resolución de ecuaciones Las características (i) y (ii) de la fricción estática se conjugan para garantizar que la fricción estática desempeñe el papel de la fuerza requerida para impedir el deslizamiento, siempre y cuando su magnitud no sobrepase el valor crítico fs, max (condición iii). Así pues, las ecuaciones de equilibrio (primera ley de Newton) en la situación del problema representada en el DCL nos dicen: n ΣFx = fs, + (w sen ) = 0 (1) , ΣFy = n + (w cos ) = 0 (2) wx fs wy Por definición de s y despejando de (2): fs, max = s n = s w cos (3) Ahora bien de (1) y (3): fs, = w sen fs, max = s w cos . Cancelando el factor común w y dividiendo por cos (que es positivo dado que 0 <90°), obtenemos por último que la condición que debe satisfacer el ángulo (inclinación de la calle) para que se conserve el equilibrio gracias a la fuerza de fricción estática es: tan s. Lo que nos dice el problema es que la igualdad se da para el valor = 45°, cuya tangente es 1. En conclusión, en este caso s = 1. C. Análisis y evaluación de la solución. El comportamiento de la función tangente nos dice que mientras mayor sea el coeficiente de fricción estática, la calle puede tener una mayor inclinación sin que el auto se deslice, como era de esperar. La inclinación límite no depende del peso, pues varia en la misma razón que la normal (y con ello la fuerza máxima de fricción) y la fuerza requerida para impedir el deslizamiento. La relación encontrada nos permite medir aproximadamente el coeficiente de fricción estática con un plano de inclinación variable, aunque las vibraciones deben ser muy cuidadosamente controladas pues un pequeño impulso al cuerpo 3. A. Descripción y análisis del problema. La caja está en equilibrio porque su velocidad es constante. Puesto que está en movimiento por acción de la fuerza ejercida por la cuerda (de magnitud F y formando un ángulo con la horizontal) el suelo ejerce una fuerza de fricción cinética, además de la fuerza normal. Conocemos el peso de la caja w y el coeficiente de fricción cinética k. Debemos encontrar la relación entre F y el ángulo (tomando como parámetros w y k) y minimizar esta relación. UNIDAD 2: Predecir el movimiento MÓDULO 3: Aplicaciones de las leyes de Newton … Pág. 5 de 10 Actividad 2: Fuerzas de resistencia) B. Planteo y resolución de ecuaciones La función f () tiene un mínimo cuando su denominador tiene un máximo. Obteniendo su derivada respecto a e igualando a cero obtenemos de inmediato la expresión optimo= arctan k. Tomando la segunda derivada del denominador y sustituyendo este valor encontramos un número negativo, lo cual comprueba que en efecto se trata de un mínimo. La gráfica representa la relación entre la fuerza requerida y el ángulo de tiro para los valores de peso (400 N) y k.=0,25 dados. Para estos valores optimo = 14,04°. Con esta inclinación hay que tirar con una fuerza de 97,0 N para que la caja se mueva a rapidez constante C. Análisis y evaluación de la solución. Tirando horizontalmente se necesitan 100 N, lo cual se comprende físicamente de inmediato (ver ejemplo 5.14). .¿Cómo explicar el comportamiento cuando 90°? La gráfica nos muestra que la fuerza requerida en ese caso es igual al peso, pero si tiramos de la cuerda exactamente con esa fuerza lo que estaremos haciendo es “soliviar” la caja, es decir, balancear el peso de modo que la normal se anula, y con ello la fuerza de fricción. Sin embargo, en ese caso la “fuerza efectiva”, que produce desplazamiento a lo largo del piso, se hace también nula. Este análisis de “caso límite” nos muestra la importancia de interpretar adecuadamente los resultados matemáticos para hacerlos hablar. Este problema tiene indudable interés práctico, pues nos muestra que, por lo menos en el caso particular graficado, tirar oblicuamente en lugar de mejorar, empeora la situación (la disminución de 3 N es insignificante). Sin embargo, se observa que para ángulos menores de 40° el aumento tampoco es significativo, y la comodidad de tirar a esos ángulos es un factor a considerar. Sin embargo, si k es grande, el “ahorro de fuerza” se hace bastante significativo (compruébelo para k = 1 ). 4. A. Descripción y análisis del problema. El tablero produce una fuerza de contacto normal a su superficie sobre el borrador, como reacción a la presión aplicada por el profesor contra el tablero. Además produce una fuerza de contacto tangencial opuesta al movimiento, la fricción (dinámica o estática, dependiendo de si hay o no movimiento relativo), cuya magnitud (actual o máxima) está determinada por el respectivo coeficiente de fricción entre las dos superficies. El DCL (a) muestra al borrador desplazándose hacia arriba, por lo cual la fuerza de fricción dinámica va en dirección opuesta, hacia abajo. En cambio, el DCL (b) se invierte la dirección del movimiento y por consiguiente la de la fricción. UNIDAD 2: Predecir el movimiento MÓDULO 3: Aplicaciones de las leyes de Newton … Pág. 6 de 10 Actividad 2: Fuerzas de resistencia) ⃗ ⃗ 𝑭 𝒗 ⃗ 𝒏 B. Planteo y solución de ecuaciones. Usando la primera ley, tenemos: DCL (a): ΣFx = F cos + (n) = 0 ΣFy = F sen + (w) + (f ) = 0 ⃗ 𝒇 (1) (2) Por otra parte f = k n = k F cos (teniendo en cuenta (1)). Sustituyendo en (2), factorizando y despejando F obtenemos: ⃗ ⃗𝑭 ⃗ 𝒇 𝒗 ⃗ 𝒏 x x ⃗⃗⃗ 𝒘 ⃗⃗⃗ 𝒘 (a) (b) (3) Para la situación (b), la ec. (2) se sustituye por: ΣFy = F sen + (w) + f = 0. Sustituyendo f y despejando obtenemos C. Análisis y evaluación de la solución. ¿Qué sucede con la ecuación (3) si el denominador se anula o es negativo? Lo primero significaría una fuerza de magnitud infinita y lo segundo una fuerza de magnitud negativa. Ambos resultados son imposibles, lo que nos dice que el ángulo debe satisfacer la desigualdad: sen > k cos . Si sen = k cos , la resultante de las fuerzas normal y tangencial es exactamente de igual magnitud que la fuerza aplicada pero de sentido opuesto, por lo que sólo quedaría el peso como la única fuerza actuante, siendo imposible el equilibrio. Si sen < k cos , la normal (y por consiguiente la fricción) serían tan grandes, y la componente tangencial de la fuerza aplicada tan pequeña, que el sistema permanece en reposo por la fuerza de fricción estática. En conclusión, cuando el borrador sube el ángulo debe ser superior a arctan k. Compruebe experimentalmente (sin hacer mediciones) este comportamiento (la necesidad de sobrepasar un ángulo límite para poder mover el borrador). ¿Era previsible intuitivamente este resultado sin efectuar el análisis matemático hecho en el problema? 5. Descripción y solución del problema. El DCL de cada bola se ve en la figura, que muestra las dos interacciones en que participan desde el momento en que se sueltan: el peso ⃗ 𝒗 mg y la resistencia del fluido f, cuya dirección es opuesta a la velocidad y su magnitud está dada en primera aproximación por la ecuación 5.7: f = kv, donde k es una constante que depende de la forma y tamaño del cuerpo (pero no de su masa) y las propiedades del fluido”. Como las dos bolas tienen la misma forma y tamaño, el valor de k es igual para ambas. La segunda ley nos dice: Dividiendo por m obtenemos la ecuación fundamental: ay = g vy (1) La ecuación (1) nos dice que, en el momento de soltar las dos bolas, ambas empiezan a acelerarse con la misma aceleración exactamente, la de la gravedad (el aire no opone resistencia a un objeto en reposo). Pero „aceleración‟, en esta situación, significa ganancia de rapidez vy, y por consiguiente de inmediato empieza a generarse resistencia del aire, la cual disminuye la aceleración por debajo de su valor inicial g, debido a la presencia del signo negativo en la ecuación (1). Ahora bien, vemos que la disminución de la aceleración depende inversamente de la masa del cuerpo que cae. Por consiguiente, la bola más pesada disminuye su aceleración con el paso del tiempo en menor cantidad, en comparación con la más liviana (en proporción inversa a la razón de las masas). La mayor aceleración de la bola pesada trae como consecuencia a su vez que su rapidez aumenta con el tiempo “a mayor rapidez” que la rapidez de la bola liviana. Pero el mayor ritmo de aumento de rapidez de la bola pesada causa, como un efecto secundario, un incremento del ritmo en que aumenta la resistencia del aire sobre esa bola, en comparación con la bola liviana, debido a su dependencia en proporcionalidad directa con la rapidez (ver ecuación 1). Como resultado, la diferencia de aceleraciones, que al principio estaba claramente a favor de la bola pesada, poco a poco empieza a disminuir. La conclusión de este razonamiento es que la doble dependencia del término que disminuye la aceleración de los cuerpos respecto al valor de caída libre g, tanto respecto a la masa como a la rapidez, afecta en sentido contrario a la aceleración. Debe notarse que ambos efectos son simultáneos, aunque el primero al principio del proceso tiene mayor “peso” (pues la masa es una constante y la rapidez crece desde cero). La única manera de tener ambos en cuenta, para determinar cuál de las dos bolas cae de hecho primero, es mediante el cálculo (aunque el razonamiento sugiere que es el más pesado, como en efecto sucede –ver Exploración 2-). Este nos permite UNIDAD 2: Predecir el movimiento MÓDULO 3: Aplicaciones de las leyes de Newton … Pág. 7 de 10 Actividad 2: Fuerzas de resistencia) resolver la ecuación (1), que constituye lo que se denomina técnicamente una ecuación diferencial, mediante el método seguido en el texto guía (llamado “separación de variables”). Sin embargo, el razonamiento lógico desarrollado nos permite al menos comprender cualitativamente que la presencia de la resistencia del aire hace que el tiempo de caída para las dos bolas sea distinto, evidenciando algunas de las limitaciones del modelo galileano de la caída libre. En el Recuadro 2 y la Exploración 2 se discute cuantitativamente el problema mediante la introducción de la “Ley de Stokes”. Respuestas a los ejercicios y problemas pares sugeridos 5.16, 12,3° 5.18 (a) 160 m; (b) 6000 N 5.22 (a) Véase fig. 5.20; (b) Véase problema de estudio 2. 5.24 (a) 0 N (b) 6,0 N (c) 16 N (d) 8 N (e) 8 N, 2,45 m/s2 5.26, 0,25 5.30 (a) wB/wA (b) gwB/( wB+2wA ) en dirección hacia arriba (perdura mientras el sistema siga en movimiento). 5.62 (a) 1,44 N (b) 1,80 N 5.64 (a) 1,3x10-4 N, aprox. 62 veces su peso; (b) aprox. 140 veces su peso a unos 1,2 ms; (c) aprox. 1,2 m/s. UNIDAD 2: Predecir el movimiento MÓDULO 3: Aplicaciones de las leyes de Newton … Pág. 8 de 10 Actividad 2: Fuerzas de resistencia) Recuadro 2: Haciendo “control de calidad” al modelo de la caída libre En la Unidad I, módulo III, Actividad 5 (taller de pensamiento 3), al hablar de la ley de la gravedad y la medición de lo que cae una moneda durante un segundo en la superficie de la Tierra , dejamos abierta la pregunta: ¿Desde qué altura se puede soltar la moneda sin que el modelo de caída libre deje de ser apropiado? Dijimos entonces que nos faltaban las herramientas necesarias para responder esta crucial pregunta. En esta unidad hemos aprendido casi todas esas herramientas, con una excepción. En este recuadro vamos a llenar esa laguna, estudiando la “Ley de Stokes”, que nos dice cuánto vale la constante k en la ecuación (5.7) del texto guía en el caso particular en que el cuerpo que cae es una esfera, y el fluido a través del cual se mueve se puede describir mediante un modelo denominado “fluido newtoniano”. Este tema pertenece a la mecánica de fluidos y por ello nos limitaremos a “definir” el concepto didácticamente, diciendo que un fluido es newtoniano si la fuerza de resistencia que ejerce sobre una esfera de radio R, en movimiento con respecto al fluido (con velocidad ⃗ ), está dada por la ecuación: ⃗ ⃗ (1) siendo -léase eta- una constante –que depende a lo sumo de la temperatura y la presión, pero no de la rapidez de la esfera-, que mide la propiedad del fluido denominada “viscosidad”. Esta propiedad puede concebirse en primera aproximación como una especie de “resistencia a fluir” que todo fluido opone, o también de “fricción interna entre las capas del fluido”. La ecuación (1) es conocida como Ley de Stokes4. Las dimensiones de, llamado “coeficiente de viscosidad”, se pueden deducir de (1). El estudiante puede demostrar que debe expresarse en m-1kg s-1 para que la ley de Stokes sea dimensionalmente consistente. Esta unidad se suele escribir como (Pa s), siendo Pa = N/m2 (léase Pascal) la unidad de la magnitud “Presión” (fuerza por unidad de área). Los valores de este coeficiente que se encuentran en la literatura (generalmente para la temperatura ambiente y la presión atmosférica a nivel del mar), varían relativamente entre una y otra fuente, pues dependen del método de medición. La siguiente tabla muestra los valores que usaremos5: Sustancia Aire Agua Alcohol Glicerina Coeficiente de viscosidad [en m(Pa s)] 0,018 1,005 0,367 833 Un somero estudio de la tabla y de la ley de Stokes nos muestra porqué el modelo de caída libre funciona relativamente bien cuando se deja caer en el aire un objeto de forma compacta (por ejemplo una hoja de papel arrugada hasta formar una especie de bola), pero en cambio no funciona cuando esa misma hoja se suelta extendida (ver pregunta de análisis P5.28), ni tampoco funciona cuando un objeto cualquiera se suelta en un líquido como el agua. La tabla también permite entender una de las experiencias que observamos en la demostración inicial de la unidad, la caída vertical a velocidad uniforme de diferentes esferas metálicas en una probeta llena con glicerina. Encuentre una ecuación que prediga la rapidez terminal de una esfera que cae en glicerina. Un objetivo adicional de este recuadro, además de la introducción de la ley de Stokes, es concluir nuestra discusión acerca de la noción de modelo. Lo que he llamado en el título de este recuadro como “hacer control de calidad” al modelo de la caída libre es una forma figurativa de expresar una de las tareas científicas fundamentales: evaluar la fiabilidad (o “credibilidad”) y aplicabilidad de los modelos de la 4 Derivada en 1851 por George Stokes (1819-1903), matemático y físico irlandés que realizó contribuciones importantes a la dinámica de fluidos, la óptica y la física matemática. La deducción teórica de la ley requiere efectuar otras diversas suposiciones, como la ausencia de turbulencia o remolinos, etc. Nuevamente, como toda la física (ver Recuadro 1 del módulo 3 de la unidad 1 -Conceptos de modelo científico, modelo teórico y modelo empírico-), esta ley en realidad define un modelo, que puede ser más o menos adecuado a una situación específica. 5 Datos tomados de Alonso, M. y Finn, E., Física Volumen I: Mecánica, Edición revisada y aumentada (Addison Wesley Iberoamericana, 1986), tabla 7-2, pág. 174. Todos los datos a 20° C y una atmósfera de presión. UNIDAD 2: Predecir el movimiento MÓDULO 3: Aplicaciones de las leyes de Newton … Pág. 9 de 10 Actividad 2: Fuerzas de resistencia) ciencia tanto en general como en situaciones específicas, y así extender el rango de aplicabilidad del conocimiento científico a nuevos fenómenos. El modelo de caída libre, estrictamente hablando, describe el movimiento cuando la única interacción presente es la gravitatoria. Usarlo para resolver problemas donde hay otras interacciones presentes requiere asegurarse que el efecto de esas interacciones sea inferior a la sensibilidad de los instrumentos de medición. Didácticamente tiene sentido empezar el estudio de la física por estas situaciones (de hecho, los problemas planteados en este curso son todos de “lápiz y papel”, lo que significa entre otras cosas que no exigen contrastar los resultados con el experimento). Pero, ¿qué sucede en las situaciones en los que el efecto de las interacciones no gravitatorias es esencial, como por ejemplo en el paracaidismo (ver figura 5.27 del texto y ejemplo 5.20)? El análisis y modelación de estas situaciones requiere desde luego ir más allá del modelo de caída libre, utilizando modelos más elaborados como el del fluido newtoniano y el flujo no turbulento, pero que todavía son idealizaciones abstractas. Así pues, en el estudio de la física es tan esencial comprender los modelos y las técnicas para su utilización en la resolución de problemas, como ser conscientes de sus limitaciones y supuestos. Pero la evaluación de un modelo dado en una situación es en sí misma un aspecto de la investigación, no algo que se pueda hacer a priori. Por eso, responder a la pregunta inicial de este recuadro sólo puede hacerse utilizando matemáticas y el modelo de mayor alcance del cual es un caso particular el modelo de caída libre, a saber el modelo de la resistencia del aire en un fluido newtoniano (otra forma de evaluar un modelo, cuando no se dispone de un modelo de mayor alcance, es efectuar una investigación empírica, en la que se comparen las predicciones obtenidas del modelo con resultados experimentales pertinentes). Esta es la tarea propuesta en la exploración 2. EXPLORACIÓN 2: ¿Cuánto más rápido cae la bola más pesada? Volvamos al (supuesto) experimento de Galileo en la Torre Inclinada de Pisa6. Su altura es de 55 m. Supongamos que Galileo tiró simultáneamente una bola de hierro y otra de madera, ambas del mismo radio (digamos, 0,1 m). ¿Cuál llegó primero (ya vimos, en el modelo de solución al problema de estudio 5, que la respuesta no es trivial)? ¿Cuánta ventaja (en tiempo) tomó? ¿Cómo se compara el tiempo de caída, si hubiera caído en el vacío, con el tiempo “real”? Resuelva estas preguntas utilizando la solución que ofrece el texto de la ecuación: ay = g vy (ver ecuaciones 5.10 a 5.12), tomando para la constante k en cada caso los valores dados por la ley de Stokes. Debido a que la resolución analítica del problema requeriría despejar t en función de y en la ecuación 5.12, y esto no parece fácil, el problema puede resolverse numéricamente, mediante EXCEL u otra hoja de cálculo electrónica. AYUDA: no es necesario aplicar ningún “método numérico”, como se conocen en general las diversas técnicas de diferenciación, integración, resolución de ecuaciones diferenciales, etc., sino utilizar inteligentemente las utilidades más comunes de una hoja de cálculo para evaluar funciones. 6 El único testimonio de este famoso episodio lo debemos a Vincenzio Viviani, secretario de Galileo en los últimos años de su vida. En su biografía de su maestro cuenta que Galileo subió a la torre inclinada de Pisa y "en presencia de otros profesores y filósofos y todos los estudiantes" mostró mediante repetidos experimentos que "la velocidad de caída que alcanzan cuerpos de la misma composición pero diferente peso a través del mismo medio, no varía en proporción a su peso como Aristóteles decretó, sino que se mueven con la misma velocidad”. Sin embargo, Galileo mismo nunca se refirió en sus numerosos escritos a este espectacular “show científico”. Reporta haber hecho un experimento como el descrito por Viviani, al parecer privadamente, y señala que el resultado fue que el cuerpo más pesado caía más rápidamente (aunque al principio se quedaba atrás). Los argumentos de Galileo sobre la igualdad de la aceleración de caída en el vacío son “experimentos mentales” y observaciones cotidianas, como la de que granos de granizo de muy diversos tamaños golpeaban el suelo al mismo tiempo (ver Drake, S., Galileo, Alianza, 1992, pág. 42 y 47). Por estas y otras razones, la casi totalidad de los historiadores considera poco fiable el relato de Viviani. UNIDAD 2: Predecir el movimiento MÓDULO 3: Aplicaciones de las leyes de Newton … Pág. 10 de 10
