Olimpiada 2009 - Departamento de Matemática
Anuncio
“TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE CIENCIAS BÁSICAS” Facultad de Ingeniería Universidad de San Carlos de Guatemala 2009 1 Facultad de Ingeniería Universidad de San Carlos de Guatemala Junta Directiva Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos DECANO Inga. Glenda Patricia García Soria VOCAL PRIMERO Inga. Alba Maritza Guerrero de López VOCAL SEGUNDO Ing. Miguel Ángel Dávila VOCAL TERCERO Br. José Milton De León Bran VOCAL CUARTO Inga. Marcia Ivonne Veliz Vargas SECRETARIA 2 ÍNDICE 1. PRESENTACIÓN 01 2. TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE CIENCIAS BÁSICAS 02 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Antecedentes de actividades realizadas (Facultad de Ingeniería USAC) Niveles de competencia Pruebas Inscripción Premios Financiamiento y patrocinio Comisión organizadora Colaboradores académicos 3. CONTENIDOS DE LAS PRUEBAS 3.1 3.2 3.3 3.4 02 02 03 03 03 04 05 05 09 Área de Matemática Área de Física Área de Química Área de Biología 09 09 10 11 4. PRUEBAS Y SOLUCIONES 12 4.1 4.2 4.3 4.4 Matemática Física Química Biología 5. PARTICIPANTES 5.1 5.2 5.3 5.4 Matemática Física Química Biología 12 36 55 83 93 93 100 103 105 3 1. PRESENTACIÓN La Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas es un evento académico programado para realizarse anualmente con la participación de estudiantes de las diferentes universidades del país, que competirían – en su tercera edición – en las áreas de Matemática, Física, Química y Biología. Fundamentalmente busca generar incentivos para que los estudiantes universitarios en general, en especial los de carreras de orientación científica-tecnológica, se interesen en ampliar y profundizar sus conocimientos de Ciencias Básicas. Así mismo descubrir e identificar valores guatemaltecos, que con su educación y ejemplo estimulen a la juventud de Guatemala. En esta actividad se involucran las distintas universidades privadas y públicas que tienen carreras técnico-científicas, para estrechar las relaciones académicas interinstitucionales, así como, la de los estudiantes de la capital y de los centros regionales en el interior del país. Cada año se va cambiando la sede para la realización de las pruebas en los campus de las universidades participantes. La convocatoria y organización de este evento, como parte del avance y consolidación de la proyección de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Carlos de Guatemala estuvo a cargo de la Comisión Organizadora, contando con la participación de profesionales de diferentes departamentos, facultades y universidades y el patrocinio de CONCYT y diversas empresas. Este evento contribuye a la misión del Plan Nacional de Ciencia, Tecnología e Innovación 2005-2014 en el que se contempla como un punto fundamental “Apoyar la formación de recursos humanos de alto nivel académico y técnico”, así como incrementar el desarrollo de las Ciencias Básicas. El presente documento incluye información general de esta actividad académica, así como las pruebas y las respectivas soluciones. “ID Y ENSEÑAD A TODOS“ Inga. Glenda Patricia García Soria Coordinadora III Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 4 2. TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE CIENCIAS BÁSICAS 2.1 Antecedentes de la actividad En el año 2004 la Licenciatura en Matemática Aplicada organizó un certamen denominado Juego Matemático en el que participaron 60 estudiantes de las distintas carreras que se imparten en la Facultad de Ingeniería. El evento se organizó en tres niveles de participación que incluían un problema por nivel que debía ser resuelto usando calculadoras graficadoras Texas Instruments. Posteriormente, en el 2006, la Dirección de la Escuela de Ciencias de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Carlos de Guatemala, con la colaboración de los departamentos de Matemática y Física y el respaldo del Decano, organizaron un certamen de Matemática y Física con el objetivo de promover el interés de los estudiantes de ingeniería por profundizar y mejorar el aprendizaje de la Matemática y Física, además de tener el fin de localizar a estudiantes con alta capacidad y conocimientos de estas ciencias. En el año 2007 se amplió la convocatoria de todos los estudiantes de la USAC y de otras universidades del país, incluyendo la Química entre las áreas de la competencia, denominando al evento Primera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas. En el año 2008 se decidió ampliar la convocatoria, incluyendo Biología entre las áreas de la competencia, denominando al evento Segunda Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas, con un incremento del 77% de participación en el evento. Para el presente año 2,009, se ha extendido a las sedes departamentales y otras universidades, denominándolo Tercera Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas. 2.2 Niveles de competencia La competencia se realizó en dos niveles en cada área, definidos de la siguiente manera: Nivel 1: En él participaron únicamente los estudiantes que ingresaron a cualquier universidad nacional en los años 2008 ó 2009 (año actual y uno anterior) y estén cursando primero ó segundo año de la carrera. Nivel 2: En él participaron los estudiantes universitarios que no hayan cerrado pensum en una carrera con el grado de licenciatura. 5 2.3 Pruebas Las pruebas fueron escritas y se realizaron simultáneamente el 10 de octubre de 2009 a partir de las 8:00 horas en: Campus de la Universidad Galileo, para la región central. Facultad de Ingeniería CUNOC, para la región de Sur Occidente. Facultad de Ingeniería CUNORI, para la región Nor Oriente. Cada estudiante participó únicamente en un área (Matemática, Física, Química o Biología), en uno de los dos niveles indicados. Cada prueba incluyó temas a desarrollar con una duración estimada de 2.5 horas, en esta tercera versión de la olimpiada, las pruebas incluyeron problemas de un nivel accesible a sectores amplios de la población estudiantil universitaria y otros que requieren de conocimientos y habilidades más desarrolladas. Para efectos de calificación fue tan importante el razonamiento y procedimientos utilizados para resolver los problemas planteados como la forma en que se escribieron y estructuraron las soluciones propuestas por los participantes. 2.4 Inscripción El estudiante que participó pudo inscribirse a través de la página de la Facultad de Ingeniería – USAC durante el período del 01/07/2009 al 03/10/2009 http://www.ingenieria-usac.edu.gt http://mate.ingenieria-usac.edu.gt 2.5 Premios A todos los estudiantes que participaron en la olimpiada se les otorgó un diploma de participación. En cada uno de los niveles descritos para cada área se otorgaron medallas correspondientes al primer, segundo y tercer lugar. Mención honorífica al cuarto y quinto lugar de cada nivel. Para cada nivel (I y II) de cada materia (Matemática, Física, Química y Biología) los premios fueron: 6 MATEMÁTICA FÍSICA QUÍMICA BIOLOGÍA LUGAR 1o. 2o. 3o. 1o. 2o. 3o. 1o. 2o. 3o. 1o. 2o. 3o. NIVEL I Computadora + Impresora Calculadora + 2 Libros Q. 250.00 + 3 Libros Q. 1,000.00 + Impresora HP Calculadora + 2 Libros Q. 250.00 + 3 Libros Computadora + Impresora Q. 500.00 + Impresora Q. 250.00 + 3 Libros Q. 1,000.00 + Impresora HP Q. 500.00 + Impresora Q. 250.00 + 3 Libros NIVEL II Computadora + Impresora Calculadora + 2 Libros Q. 250.00 + 3 Libros Computadora + Impresora Calculadora + 2 Libros Q. 250.00 + 3 Libros Q. 1,000.00 + Impresora HP Q. 500.00 + Impresora Q. 250.00 + 3 Libros Q. 1,000.00 + Impresora HP Q. 500.00 + Impresora Q. 250.00 + 3 Libros 2.6 Financiamiento y Patrocinio SENACYT a través de la línea del fondo de apoyo a la ciencia y tecnología – FACYT- según contrato 024-2009 Universidad de San Carlos de Guatemala Administrador Mercado Mayorista CENGAGE Learning Cervecería Centroamericana S.A. Districalc FUNSIN (premios en efectivo) Maccaferry de Guatemala Seguros Universales Servicomp de Guatemala 7 2.7 Comisión Organizadora Personas que participaron y contribuyeron en la organización e implementación de la Tercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos, Decano Facultad de Ingeniería USAC Inga. Glenda Patricia García Soria, Coordinadora de la Olimpiada Ing. Otto Miguel Hurtarte Hernández Ing. Arturo Rodrigo Samayoa Dardón Inga. Casta Zeceña Zeceña Inga. Silvia Patricia Hurtarte Hernández Licda. Ana Fortuny Ing. Renato Giovanni Ponciano Sandoval Inga. Helen Rocío Ramírez de Reyes Srita. Clyda Susana González Girón 2.8 Colaboradores Académicos Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Inga. Vera Gladis Marroquín Argueta Ing. Miguel Ángel Castillo Lic. Carlos Augusto Morales Santacruz Ing. José Alfredo González Díaz Ing. Oscar Alberto Martínez Lobos Ing. Oscar Humberto Montes Estrada Licda. Mayra Virginia Castillo Montes Ing. Juan Orlando López Orozco Ing. Carlos Alberto Garrido López Inga. Ericka Johanna Cano Díaz Br. José Milton De León Bran Departamento de Física Inga. Claudia Cecilia Contreras Folgar de Alfaro Ing. Edgar Darío Álvarez Cotí Lic. César Antonio Izquierdo Merlo Lic. Ricardo Enrique Contreras Folgar Departamento de Química Inga. Thelma Cano Ing. César Ariel Villela Rodas Ing. Byron René Aguilar Uck Ing. Alberto Arango Sieckavizza 8 Facultad de CC QQ y Farmacia Dr. Oscar Cóbar Decano Unidad de Difusión DG. Laura González Cuellar Br. Manuel Elías Tejax Facultad de CC QQ y Farmacia Dr. Oscar Cóbar, Decano Licda. Maura Quezada Lic. Oswaldo Martínez Rojas Br. Raúl Arévalo Universidades Universidad Galileo Ing. Rodrigo Baessa, Vicedecano Fissic Lic. José Moreno Cámbara Lic. Manuel Monroy Ing. Antonio De Leon Universidad Rafael Landivar Ing. Álvaro Zepeda, Decano Facultad de Ingeniería Lcda. Beatriz Cosenza Ing. Edy Roldan Manzo Inga. Miriam Chávez Ing. Salvador Tuna Universidad Del Valle Dr. Adrian Francisco Gil Méndez, Decano Facultad de Ciencias y Humanidades Universidad Mariano Gálvez Ing. Rolando Torres, Decano Facultad de Ingeniería Ing. Otto Miguel Hurtarte Hernández Br. Rodolfo Estuardo Quiroa Meléndres 9 Br. Juan Merck Universidad Francisco Marroquín Dr. Federico Alfaro, Decano Facultad de Medicina Dr. Raúl Batres Dra. Rosa de Escobar Universidad Del Istmo Ing. Sergio Morales, Decano Facultad de Ingeniería Colaboradores Dra. Rosa María Amaya de Fabián Lic. Edgar Aguilar CONCYT Ing. Luis Herrera Gálvez Administrador Mercado Mayorista Lic. Jorge Arias Lic. José Mena Cengage Learning Ing. Fernando Montenegro Castillo Ing. Mario Castillo Vásquez Cervecería Centroamericana S. A Lic. Tulio Villagrán DISTRICALC Ing. Elfego Vladimir Vásquez Fuentes FUNSIN Ing. Bernal Monge Suñol Maccaferry de Guatemala Inga. Astrid Gutiérrez de Erdmenger Seguros Universales S. A. Ing. Manglyo García Servicomp de Guatemala 0 1 1 1 2 1 3. CONTENIDO DE LAS PRUEBAS Matemática: Nivel 1 Ecuaciones y desigualdades Funciones y graficas Geometría Funciones polinomiales y racionales Funciones exponencial y logarítmica Funciones trigonométricas Trigonometría analítica Geometría analítica Límites y derivadas Reglas de derivación Aplicaciones de la derivada Matemática: Nivel 2 Integrales Técnicas de integración Aplicaciones de la Integral Ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y ecuaciones de las cónicas en polares Sucesiones y series infinitas Vectores y geometría analítica en el espacio Funciones vectoriales y derivadas parciales Integrales múltiples Calculo vectorial Ecuaciones diferenciales de primer orden Modelos matemáticos y métodos numéricos Ecuaciones lineales de orden superior Física: Nivel I, Mecánica Física y mediciones Vectores Movimiento en una dimensión 3 1 Movimiento en dos dimensiones Las leyes del movimiento Movimiento circular y otras aplicaciones de las leyes de Newton. Energía y transferencia de energía Energía potencial Cantidad de movimiento lineal y colisiones Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo. Cantidad de movimiento angular Equilibrio Elasticidad Gravitación universal Mecánica de fluidos Mecánica de fluidos dinámica Movimiento oscilatorio Energía de oscilador armónico simple Física: Nivel II, Electricidad y Magnetismo Ley de Coulumb Campo eléctrico Ley de Gauss Potencial eléctrico Capacitadotes y dieléctricos Corrientes y resistencia Circuitos eléctricos Fuerza magnética Ley de Ampere Ley de Faraday y la ley de inducción Inductancia Química: Nivel 1 Ciencia y Medición Teoría Atómica Clasificación Periódica 4 1 Enlace Químico Nomenclatura Estequiometria Gases Química: Nivel II Estequiometria de las reacciones Soluciones Cinética química Equilibrio químico Electroquímica Termodinámica Biología: Nivel I Introducción al estudio de los seres vivos Bases químicas de la vida Las células Procesos energéticos fundamentales División y muerte celular Genética Mecanismos de la evolución Biología: Nivel II Introducción al estudio de los seres vivos Bases químicas de la vida Las células Procesos energéticos fundamentales División y muerte celular Genética Mecanismos de la evolución Diversidad de los seres vivos Estructura y función de los sistemas del cuerpo humano Ecología 5 1 4. PRUEBAS Y SOLUCIONES 4.1 Matemática UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I Instrucciones: A continuación se le presenta una serie de problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos. Problema 1 (10 puntos) Los tiempos que emplean dos pintores para pintar un metro cuadrado de superficie, difieren entre sí en un minuto. Trabajando juntos tardan una hora para pintar 27 metros cuadrados. ¿En cuánto tiempo pinta cada uno un metro cuadrado? Problema 2 (15 puntos) Con el objeto de realizar pruebas experimentales en el diseño de dos vehículos nuevos, los vehículos se sitúan en los puntos opuestos A y B de una carretera recta. Ambos pilotos salen al mismo tiempo viajando a velocidades constantes y se encuentran a una distancia de 4,500 metros del punto B. Al llegar al extremo de la carretera, ambos vehículos regresan al punto de partida y se encuentran nuevamente a una distancia de 3,500 metros del punto A. Si el tiempo transcurrido entre ambos encuentros es de 250 segundos, calcule la velocidad de cada auto y la distancia entre los puntos A y B. Problema 3 (10 puntos) Halle los valores de a y b tales que 3 lim sen 3x 3ax bx 0 x 0 x Problema 4 (15 puntos) Encuentre las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse 4 x 2 9 y 2 36 que pasa por el punto (0, 4) . 6 1 Problema 5 (15 puntos) Dada la función: f ( x) x 1 x1 a. Trace la gráfica de la función y x 1 b. Trace la gráfica de la función f ( x) . c. Utilice la gráfica de la función f ( x) para determinar en qué puntos f ( x) no existe. d. Encuentre f ( x) . Problema 6 (15 puntos) Un fabricante de muebles de madera vende a un comerciante mesas a un precio Q90.00 cada una si la venta es de 300 mesas o menos. El fabricante ofrece hacer un descuento en cada mesa del pedido total, equivalente al 25% del número de mesas adicionales a las 300 mesas; si el pedido es mayor de 300 mesas. Calcule el número de mesas que el fabricante debe vender en un pedido, de tal forma que el ingreso por la venta del mismo sea máxima. Problema 7 (20 puntos) La figura muestra 3 círculos de radios R, x, y y, donde R x , R y Los círculos de radios R y x tienen un diámetro en el mismo segmento y son tangentes entre sí. El círculo de radio y es tangente a los otros dos y también es tangente al diámetro común, como se muestra en la figura. a. Si R 10 y x 6 , encuentre el área de la región interior al círculo de radio mayor y exterior a los otros dos círculos. b. Demuestre que y 4 Rx( R x) . ( R x)2 c. Si R 10 , utilice calculo diferencial para obtener el valor de x para el cual y es máximo 7 1 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA PROBLEMA 1 Los tiempos que emplean dos pintores para pintar un metro cuadrado de superficie, difieren entre sí en un minuto. Trabajando juntos tardan una hora para pintar 27 metros cuadrados. ¿En cuánto tiempo pinta cada uno un metro cuadrado? Solución Los tiempos que emplean dos pintores para pintar un metro cuadrado de superficie, difieren entre sí en un minuto. Sea x el tiempo en minutos que emplea el pintor más rápido para pintar un metro cuadrado, entonces x 1 es el tiempo que se tarda el otro pintor por metro cuadrado. 1 es la superficie en metros cuadrados que pinta el pintor más rápido en x un minuto y 1 es la superficie en metros cuadrados que pinta el otro pintor en un x1 minuto. Al trabajar juntos la superficie que pintan cada minuto es 1 x 1 x1 Como pintan una superficie de 27 metros cuadrados en un tiempo de 60 minutos, la ecuación que resuelve el problema es 1 1 27 x x1 60 Resolviendo la ecuación para obtener la solución del problema x1 x 9 x( x 1) 20 20(2 x 1) 9( x 2 x) 9 x 2 31x 20 0 ( x 4)(9 x 5) 0 Las soluciones de la ecuación anterior son x 4 y x 5 . Rechazando la 9 raíz negativa, se obtiene que el primer pintor se tarda 4 minutos por metro cuadrado y el segundo 5 minutos por metro cuadrado. 8 1 PROBLEMA 2 Con el objeto de realizar pruebas experimentales en el diseño de dos vehículos nuevos, los vehículos se sitúan en los puntos opuestos A y B de una carretera recta. Ambos pilotos salen al mismo tiempo viajando a velocidades constantes y se encuentran a una distancia de 4,500 metros del punto B. Al llegar al extremo de la carretera, ambos vehículos regresan al punto de partida y se encuentran por segunda vez a una distancia de 3,500 metros del punto A. Si el tiempo transcurrido entre ambos encuentros es de 250 segundos, calcule la velocidad de cada auto y la distancia entre los puntos A y B. Solución La siguiente figura muestra como se relacionan las distancias recorridas, suponiendo que el vehículo que parte del punto A tiene una velocidad v1 mayor que la velocidad v 2 del vehículo que parte del punto B. Suponiendo también que la distancia entre los puntos A y B es D. D P2 A P1 3,500 B 4,500 Cuando los vehículos se encuentran por primera vez, en el punto P1 , el tiempo transcurrido es el mismo, es decir D 4, 500 4, 500 v1 v2 (1) El vehículo que parte del punto A, para llegar al segundo punto de encuentro recorre la distancia 4, 500 ( D 3, 500) 1, 000 D , por lo tanto se tiene que 250 v1 D 1, 000 v1 D 1, 000 250 El vehículo que parte del punto B para llegar al segundo punto de encuentro recorre la distancia ( D 4, 500) 3500 D 1000 , de donde se obtiene la relación 250 v2 D 1, 000 v2 D 1, 000 250 Sustituyendo las expresiones obtenidas para v1 y v 2 en la ecuación 1 y despejando D, se obtiene 9 1 D 4, 500 4, 500 D 1, 000 D 1, 000 250 250 ( D 4, 500)( D 1, 000) 4, 500( D 1, 000) D 2 5, 500 D 4, 500, 000 4, 500 D 4, 500, 000 D 2 10, 000 D 0 D( D 10, 000) 0 De donde la distancia D entre el punto A y el punto B es 10,000 metros. La velocidad v1 es v1 D 1, 000 11, 000 44 metros por segundo. 250 250 y la velocidad v 2 es v2 D 1, 000 9, 000 36 metros por segundo. 250 250 PROBLEMA 3 Halle los valores de a y b tales que lim x0 sen 3 x ax bx 3 0 x3 Solución Cuando x se acerca a cero, el numerador sen 3x ax bx 3 así como el denominador x 3 se aproximan a cero, por lo tanto se tiene que el límite tiene la forma indeterminada 0 , por lo que es factible aplicar la regla de 0 L’Hospital. Así derivando el numerador y el denominador se tiene: lim x0 sen 3 x ax bx 3 3 cos 3 x a 3bx 2 lim x0 x3 3x 2 Para poder aplicar nuevamente la regla de L’Hospital, se debe tener la forma indeterminada 0 , cuando x tiende a 0. Para que el numerador sea cero, se tiene 0 3 cos(0) a 3b(0) 2 0 3a 0 a 3 0 2 Sustituyendo a 3 y aplicando nuevamente la regla de L’Hospital se obtiene: lim x0 3 cos 3 x 3 3bx 2 9 sen 3 x 6 bx lim 2 x0 6x 3x la cual sigue teniendo la forma 0 , por lo que se aplica una vez más la regla 0 de L’Hospital, llegando a la expresión lim x0 9 sen 3 x 6 bx 27 cos 3 x 6 b lim x 0 6x 6 27 6 b 6 Como el límite debe ser igual a cero 27 6 b 0 6 9 b 2 Concluyendo que los valores buscados son a 3 y b 9 . 2 PROBLEMA 4 Encuentre las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse 4 x 2 9 y 2 36 que pasa por el punto (0, 4) . Solución La siguiente figura muestra la gráfica de la elipse y las dos rectas tangentes que pasan por el punto (0, 4) y 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 -1 2 3 4 x -2 -3 1 2 Primero derivamos la ecuación de la elipse usando derivación implícita para obtener la pendiente en cualquier punto d d (36) 4 x 2 9 y 2 dx dx dy 8 x 18 y 0 dx dy 4x dx 9y Si ( a , b) es el punto en donde las rectas son tangentes a la elipse, entonces la pendiente en ese punto es m 4 a . Por otro lado, ésta pendiente también 9b se puede encontrar utilizando la fórmula de pendiente entre dos puntos m b4 b4 a0 a Igualando las pendientes se obtiene la ecuación 4a b4 9b a (1) Como el punto ( a , b) está en la elipse se tiene 4a2 9b2 36 (2) Despejando 4a 2 en las ecuaciones 1 y 2 e igualando, se obtiene la ecuación cuadrática 9 b( b 4) 9 b 2 36 9 b 2 36 b 9 b 2 36 36( b 1) 0 b 1 Para éste valor de b, se obtienen los dos valores a 3 3 y a 3 3 . 2 2 La pendiente de las rectas tangentes se puede calcular ahora fácilmente 4a m 9b 4 3 3 2 3 2 9(1) 3 Ahora se puede utilizar la ecuación punto pendiente para encontrar las ecuaciones de las rectas 2 3 ( x 0) 3 3 y 12 2 3 x y4 De donde las ecuaciones de las rectas tangentes son 2 3 x 3 y 12 0 y 2 3 x 3 y 12 0 2 2 PROBLEMA 5 Sea f ( x) x 1 x1 a. Trace la gráfica de la función g( x) x 1 . b. Trace la gráfica de la función f ( x) . c. Utilice la gráfica de la función f ( x) para determinar en qué puntos f ( x) no existe. d. Encuentre f ( x) . Solución a. Para trazar la gráfica de la función g( x) x 1 , se puede construir primero la gráfica de la función y x 1 que se muestra en la siguiente figura y 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1 El valor absoluto de la función mostrada en la gráfica anterior, nos da la gráfica de la función g( x) x 1 que se muestra en la figura siguiente y 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x 3 2 b. Para dibujar la gráfica de la función f ( x) se comenzará redefiniendo la función de forma que no contenga valor absoluto. Redefiniendo primero la función g( x) x 1 se tiene que x 1 x1 1 x 1 x1 x x 1 1 x 0 0x1 x1 si si si si A partir de la expresión anterior se obtiene que la función f ( x) se puede redefinir como x 1 x1 x 1 f ( x) x1 1 1 si x 1 si 1 x 0 si 0 x 1 si x 1 La figura siguiente muestra la gráfica de la función f ( x) y 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 x -1 -2 c. La función no es diferenciable en x 1 y en x 0 porque ( 1, 0) y (0, 1) son puntos angulosos. No es diferenciable en x 1 porque la función es discontinua en x 1 . d. La derivada de la función está dada por 2 ( x 1) 2 1 f ( x) ( x 1) 2 0 0 si x 1 si 1 x 0 si 0 x 1 si x 1 4 2 PROBLEMA 6 Un fabricante de muebles de madera vende a un comerciante mesas a un precio Q90.00 cada una si la venta es de 300 mesas o menos. El fabricante ofrece hacer un descuento en cada mesa del pedido total, equivalente al 25% del número de mesas adicionales a las 300 mesas; si el pedido es mayor de 300 mesas. Calcule el número de mesas que el fabricante debe vender en un pedido, de tal forma que el ingreso por la venta del mismo sea máxima. Solución Sea C el ingreso del fabricante y x el número de mesas vendidas, entonces la función que define el ingreso es 90 x si 0 x 300 C( x) 90 0.25( x 300) x si 300 x 660 Simplificando la función anterior 90 x C( x) 2 165 x 0.25 x si 0 x 300 si 300 x 660 Calculando la primera derivada para obtener los valores críticos 90 si 0 x 300 C ( x) 165 0.5 x si 300 x 660 La derivada es cero cuando x 330 y la derivada no existe cuando x 300 , por lo que los valores críticos son x 300 y x 330 Evaluando en los extremos del intervalo y en valores críticos C (0) 0 C (300) 27, 000 C (330) 27, 225 C (660) 0 Respuesta: con 330 mesas vendidas por pedido el ingreso es máximo con valor de Q27,225.00. 5 2 PROBLEMA 7 La figura muestra 3 círculos de radios R, x, y y, donde R x , R y Los círculos de radios de radios R y x tienen un diámetro común y son tangentes entre sí. El círculo de radio y es tangente a los otros dos y también es tangente al diámetro común, como se muestra en la figura. a. Si R 10 y x 6 , encuentre el área de la región interior al círculo de radio mayor y exterior a los otros dos círculos. b. Demuestre que y 4 Rx( R x) . ( R x)2 c. Si R 10 , utilice calculo diferencial para obtener el valor de x para el cual y es máximo Solución La siguiente figura muestra las relaciones entre los radios de los círculos x x y y y R Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo pequeño, se obtiene que el cateto adyacente horizontal tiene una longitud de ( R y )2 y 2 . Al aplicar nuevamente el teorema de Pitágoras en el otro triángulo rectángulo se obtiene la ecuación ( x y ) 2 ( R x) ( R y)2 y 2 2 (1) y2 a. Sustituyendo Si R 10 y x 6 , en la ecuación 1 y luego resolviendo la ecuación para obtener el valor de y se tiene 6 2 (6 y ) 2 (10 6) (10 y) 2 y 2 2 y 2 36 12 y y 2 16 8 100 20 y 100 20 y y 2 4 y 10 100 20 y Elevando ambos lados al cuadrado y despejando y se obtiene que y 15 4 El área buscada es A (10) 2 (6) 2 15 4 2 100 36 225 799 16 16 b. Desarrollando cuadrados en la ecuación 1 y sumando términos semejantes se obtiene ( x y )2 ( R x) ( R y )2 y 2 2 y 2 x 2 2 xy y 2 ( R x ) 2 2( R x ) ( R y ) 2 y 2 ( R y ) 2 y 2 y 2 xy R 2 Rx Ry ( R x ) R 2 2 Ry Elevando nuevamente ambos lados al cuadrado, se puede despejar y para obtener el resultado buscado xy R 2 Rx Ry ( R x ) 2 R 2 2 Ry 2 y( R 2 2 Rx x 2 ) 4 R 2 x 4 Rx 2 y 4 Rx( R x ) ( R x)2 c. Sustituyendo R 10 en la expresión para y se obtiene una función de una variable, y 40 x(10 x) 40(10 x x 2 ) (10 x) 2 (10 x) 2 El dominio para ésta función está formado por todos los números reales mayores que cero y menores o iguales que 10. Calculando la primera derivada y obteniendo los valores críticos 400(10 3 x) 10 x x 2 ) Dx y 40 2 (10 x ) (10 x) 3 El único valor crítico en el intervalo [0, 10] es x 10 . Al evaluar y para ésta 3 valor y para los extremos del intervalo se obtiene que el valor máximo de y es y max 10 103 5 10 103 40 10 3 2 Por lo tanto el valor de x para el cual y es máximo es x 10 3 7 2 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II Instrucciones: A continuación aparecen varios problemas, resuélvalos correctamente dejando clara constancia de los procedimientos que le permitieron resolverlos. El tiempo máximo para responder la prueba es de 2 horas. Problema 1 (10 puntos) Un cubo que pesa 4 libras y una soga de peso insignificante se usan para extraer agua de un pozo de 80 pies de profundidad. El cubo se llena con 40 libras de agua y se jala hacia arriba con una rapidez de 2 pies/seg, pero el agua se sale por un agujero que tiene el cubo con una rapidez de 0.2 lb/seg. Calcule el trabajo hecho al jalar el cubo hasta la boca del pozo. Problema 2 (20 puntos) Evalúe las integrales: a. x3 3x2 3x 3 dx x x 1 x2 3x 3 b. 1 z dz ze z 2 Problema 3 (15 puntos) Encontrar ex dx como una serie infinita, encontrando primero la serie de Maclaurin x de f ( x) e x Problema 4 (15 puntos) Verifique el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo F yiˆ xjˆ z 2 kˆ a lo largo de la frontera de la superficie z 1 plano xy x2 y 2 que se encuentra arriba del 8 2 Problema 5 (15 puntos) Un estanque de 300 litros de capacidad contiene 50 litros de agua pura. En el instante t 0 , comienza a entrar una solución que contiene 100 cm3 de alcohol por cada litro de solución y lo hace a una velocidad de 5 litros por minuto. Este suministro solo se detiene al llenarse el tanque. Después de media hora ingresa al estanque una segunda solución de agua con alcohol, pero con un 20 % de alcohol por litro de solución y a una velocidad de 5 litros por minuto (la primera se mantiene hasta que se llena el tanque). Simultáneamente al ingreso de esta solución, se abre una llave en el fondo del estanque y a una velocidad de 6 litros por minuto, la solución perfectamente mezclada, sale del estanque. Determine el porcentaje de alcohol en el estanque cuando éste complete su capacidad. (1 litro = 1000 cm3) Problema 6 (15 puntos) Si z f u, v donde u xy segundo orden, pruebe que: & v y , f tiene derivadas parciales continuas de x 2 2 2 x2 z2 y 2 z2 4uv z 2v z uv v x y Problema 7 (10 puntos) Resuelva la ecuación diferencial y x 1 dx x y 1 dy 0 9 2 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Problema 1 Un cubo que pesa 4 libras y una soga de peso insignificante se usan para extraer agua de un pozo de 80 pies de profundidad. El cubo se llena con 40 libras de agua y se jala hacia arriba con una rapidez de 2 pies/seg, pero el agua se sale por un agujero que tiene el cubo con una rapidez de 0.2 lb/seg. Calcule el trabajo hecho al jalar el cubo hasta la boca del pozo. Solución Como el peso del cubo es constante se necesita un trabajo de Wc 4 * 80 320 lb-pie. Luego el cubo se eleva a razón de 2 pie/seg., como se sabe x v * t o bien t x x , luego a medida que el cubo se eleva su contenido de agua es v 2 40 0.2t , o bien 40 0.2( 2x ) , por lo tanto el trabajo requerido para elevar el agua es: 80 Wa (40 0.1x)dx 40x 0.1 2 80 x 0 2 3200 320 2880 lb – pie. 0 Por lo que el trabajo total requerido es W Wc Wa W 2880 320 W 3200 lb pie. Problema 2 Evalúe: a. x3 3x2 3x 3 dx x x 1 x2 3x 3 b. 1 z dz ze z 2 Solución a. Se resuelve utilizando fracciones parciales Por lo que x3 3x2 3x 3 dx x x 1 x2 3x 3 x dx x 1 dx x A B Cx D dx 3x 3 2 0 3 x3 3x2 3x 3 A B Cx D x x 1 x2 3x 3 x x 1 x2 3x 3 2 2 x3 3x2 3x 3 A x 1 x 3x 3 Bx x 3x 3 Cx D x x 1 x x 1 x2 3x 3 x x 1 x 2 3x 3 O sea que Al igualar los numeradores se tiene: x3 3x2 3x 3 Ax3 2 Ax2 6 Ax 3A Bx3 3Bx 3Bx Cx3 Dx2 Cx2 Dx x3 3x2 3x 3 A B C x3 2 A 3B C D x2 6 A 3B D x 3A De la igualdad anterior se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: A B C 3B C D 3 6 A 3B D 3 2A 1 3A 3 con soluciones A 1, B 2, C 2, D 3 Por lo que: x3 3x2 3x 3 dx x x 1 x2 3x 3 x3 3x2 3x 3 dx ln x 2 ln x 1 ln x2 3x 3 c x x 1 x2 3x 3 x dx x 1 dx x 1 2 2 2 x 3 dx 3x 3 2 x3 3x2 3x 3 dx ln k x x 3x 3 ( x 1)2 x x 1 x2 3x 3 b. Para calcular 1 z dz ze z 2 Resolviendo por integración por partes u ze z ; du ze z e z dz dv dz 1 z 2 ; v 1 1 z 1 3 ze z dz 1 z 1 z 2 ze z 1 z ze z ze 1 z 1 e z z 1 z 1 ze e dz 1 z z z e z dz dz z z ze e z c 1 z z e c 1 z Problema 3 Encontrar ex dx como una serie infinita, encontrando primero la serie de Maclaurin x de f ( x) e x Solución: Serie f x ex f 0 1 f ' x ex f ' 0 1 f '' x e x f '' 0 1 f ''' x e x f ''' 0 1 2 3 e x P3 x 1 x x x 1! 2! 3! 1 x e 1 x x e x dx x xn n! n 1 xn 1 n! n 1 ( 1)n ( x 1)n 1 n 1 n0 xn nn ! n 1 2 3 Por la serie geométrica 1 1 x x n n0 1 x ( 1) ( x 1) n n ln x n0 e x dx x ( 1)n ( x 1)n 1 n 1 n0 ( 1)n ( x 1)n 1 n1 n0 xn nn! n 1 Problema 4 Verifique el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo F yiˆ xjˆ z 2 kˆ a lo largo de la frontera de la superficie z 1 x2 y 2 que se encuentra arriba del plano xy Solución z y (0,1,0) (1,0,0) x Curva x cos t ; dx sen t dt y sen t ; dy cos t dt z 0 ; dz 0 F . d r F dS c S 3 3 Por integral de línea Curva 2 2 0 sen 2 t cos2 t dt sen tiˆ cos tjˆ 0 kˆ sen tdtiˆ cos tdtjˆ 0 kˆ 0 2 2 Entonces 2 1 dt t 0 0 F .dr 2 c Por integral de superficie. iˆ kˆ ˆj F x dy 0iˆ 0 ˆj 2 kˆ z y x z2 F F dS S R x2 y 2 (1 z)2 R 2 1 z x2 y 2 1 z 1 2dydx rdrd 0 Rxy x2 y 2 (1 z)2 2(1 z)kˆ dydx F kˆ 2 xiˆ yjˆ (1 z)kˆ 0 2 0 1 r 2 d 2 dydx 1 z 2 x2 y 2 1 z 2 0 2 2 1d 2 0 0 De donde F .dr F dS 2 c S 4 3 Problema 5 Un estanque de 300 litros de capacidad contiene 50 litros de agua pura. En el instante t = 0, comienza a entrar una solución que contiene 100 cm3 de alcohol por cada litro de solución y lo hace a una velocidad de 5 litros por minuto. Este suministro solo se detiene al llenarse el tanque. Después de media hora ingresa al estanque una segunda solución de agua con alcohol, pero con un 20 % de alcohol por litro de solución y a una velocidad de 5 litros por minuto (la primera se mantiene hasta que se llena el tanque). Simultáneamente al ingreso de esta solución, se abre una llave en el fondo del estanque y a una velocidad de 6 litros por minuto, la solución perfectamente mezclada, sale del estanque. Determine el porcentaje de alcohol en el estanque cuando éste complete su capacidad. (1 litro = 1000 cm3) Solución Sea Q la cantidad de alcohol en el tanque. Primero se analiza 0 t 30 minutos. Al inicio se tienen 50 litros de agua, o sea que V 0 = 100, luego durante los siguientes 30 minutos ingresan 5 litros por minuto, lo que da un total de 150 litros, éstos sumados a los 50 litros iniciales hacen un subtotal de 200 litros de solución en el estanque. Además durante esos 30 minutos de los 150 litros que ingresan hay 100 cm 3 de alcohol o sea (1/10) de litro de alcohol por cada litro haciendo un subtotal de 15 litros de alcohol en el estanque. Ahora se analiza para 30 t 55 Para llenar la capacidad del estanque se necesitan 100 litros más de solución, ya que ingresan 5 litros + 5 litros y egresan 6 litros, se tiene que el estanque gana 4 litros de solución por minuto, por lo que éste se llenará pasados otros 25 minutos. Entonces: V 0 = 200 litros de solución Q 0 = 15 litros de alcohol, para t 0 . b = ingresan en una solución sea 15 litros de alcohol, lo 101 litros de alcohol y en la otra 20% o 3 litros de que hace un subtotal de 10 alcohol. e = ambas soluciones en b ingresan a la velocidad de 5 gal/min. f = la solución bien mezclada sale a la velocidad de 6 gal/min. Así se tiene que la ecuación diferencial que define la cambio de alcohol en el estanque viene dada por: 3 5 f Q dQ be dt V0 ( e e f )t Ec. 1. Sustituyendo datos en 1 se tiene: dQ 6 Q 6 Q 1 1 (5) 3 dt 5 10 200 (5 5 6)t 2 200 4t o bien: dQ 6 Q 3, dt 200 4t 2 Que es una ecuación lineal, se tiene que el factor integrante es: F.I . e 6 1 dt 200 4 t 6 e4 ln 200 4t 200 4t 3 2 Por lo tanto se tiene: Q 200 4t 3 2 3 3 200 4t 2 dt 2 5 3 1 2 200 4t 2 C 2 4 5 o bien: C Q 3 200 4t 3 20 200 4t 2 Ec. 2 Sustituyendo t 0, Q 15, en 2 , se tiene: 15 3 (200) C 3 2 200 2 de donde C (15 30)200 3 2 15(200 2 ) , así: 3 3 2 200 Ec. 3 Q 3 200 4t 15 20 200 4t Para dar respuesta a la pregunta se debe sustituir t 25 minutos en la ecuación 3, de donde se obtiene: 200 Q 3 200 100 15 20 200 100 3 2 36.8 litros de alcohol. Ahora bien los 36.8 litros corresponden a: 36.83 100 % 12.28 % . 300 6 3 Problema 6 Si z f u, v donde u xy & v segundo orden, pruebe que: y , f tiene derivadas parciales continuas de x 2 2 2 x2 z2 y 2 z2 4uv z 2v z uv v x y Solución: z z u z v z y z y y z y z x u x v x u v x2 u x2 dv 2 z z y z 2y z y z x u x2 x x x3 v x2 x dv 2 z y 2 z u 2 z v 2y z y 2 z u 2 z v 2 x vu x x2 u x3 v x2 uv x v2 x 2 z y 2 z y y 2 z y 2 y z y 2 z y y 2 z y 2 2 2 vu x2 x3 v x2 uv x2 u2 x v x 2 2 2 y2 2 2 y z x2 z2 x2 y 2 z2 2 y 2 z 2 z2 vu x v x v x u I z z x z 1 z y y y u x y v y z z u z v z x z 1 y u y v y u v x 2 2 2 z x 2 z u 2 z v 1 2 z v 2 z u 2 2 y 2 u y vu y x v y vu y 2 z x x 2 z 1 2z y 2 u2 x vu 1 1 2z x 2z x x v2 vu 2 2 2 y2 2 y 2 z2 x2 y 2 z2 2 y 2 z 2 z2 v u x v y u II 7 3 Sumando I & II queda: 2 2 2 2 2 2 y2 2 2 y z y2 2 x2 z2 y 2 z2 x2 y 2 z2 2 y 2 z 2 z2 x2 y 2 z2 2 y 2 z 2 z2 vu x v x v vu x v z y u u 2 2 2 2 y z x2 z2 y 2 z2 4 y 2 z uv x v z y 2 2 2 x2 z2 y 2 z2 4uv z 2v z uv v z y Problema 7 Resuelva la ecuación diferencial y x 1 dx x y 1 dy 0 Solución ( x y 1)) 1 x ( y x 1) 1 y Entonces es una EDO exacta F( x , y ) y x1 x 2 F( x , y) xy x x g( y) 2 F( x , y ) x y 1 y F( x , y) xy y2 y h( x) 2 Por lo anterior la solución es: 2 y2 xy x x yC 2 2 OTRA FORMA Utilizando la sustitución: x uh & y vk La transformamos en una homogénea v k u h 1 du u h v k 1 dv 0 Obteniendo el sistema k h1 0 k h1 0 8 3 Al resolver el sistema anterior se obtiene k 1 y h 0 Sustituyendo éstos valores en la ecuación homogénea v 1 u 0 1 du u 0 v 1 1 dv 0 v u du u v dv 0 Sea: u vz entonces du vdz zdv Sustituyendo se obtiene v vz vdz zdv vz v dv 0 v2 dz v2 zdz vzdv vz 2 dv vzdv vdv 0 v2 1 z dz v z z 2 z 1 dv 0 Separando variables 1 z 1 2z z dz v dv 0 v 2 2 w z2 2z 1 dw 2 z 1 dz dw z 1 dz 2 Se obtiene la integral 1 dw v dv 0 2 w v2 Integrando 1 ln z 2 2 z 1 ln v K 2 2 1 ln x 2 x 1 ln y 1 K 2 y 1 y 1 Aplicando propiedades del logaritmo llegamos a la misma solución: 2 y2 x xy x yC 2 2 9 3 4.2 Física UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE FÍSICA TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I Problema No. 1 La forma más sencilla de realizar un viaje entre dos planetas del Sistema Solar es utilizando lo que se conoce como órbita de Transferencia de Hohmann, que es, desde el punto de vista energético, la más económica. En dicha transferencia el satélite recorre, en el ambiente interplanetario, un camino que es una semi-elipse, con el Sol en uno de los focos, entre el planeta interior en la posición más cercana al Sol (perihelio) y el planeta exterior en el punto más apartado de esa cónica (afelio) (Ver Figura adjunta). En nuestro caso, el de una supuesta misión satelital a Venus, se puede suponer que las órbitas de los planetas involucrados están en el mismo plano y pueden ser consideradas círculos perfectos. Además supondremos que es posible esperar la configuración ideal para la transferencia de Hohmann, donde la posición de Venus (a la llegada de la nave) es diametralmente opuesta a la posición en la que estaba la Tierra en el instante de la partida del satélite. Determine el tiempo de vuelo de una misión desde la Tierra al planeta Venus en una trayectoria de Hohmann, considerando que el movimiento del satélite cumple con las mismas leyes que cualquier astro del sistema solar y despreciando las perturbaciones gravitatorias de todos los planetas. 0 4 Problema 2 En un proceso de impresión continuo, las prensas tiran del papel a una rapidez constante v. Denotando mediante r el radio del rodillo de papel en cualquier tiempo dado y por b el espesor del papel. a) encuentre una expresión para la aceleración angular del rollo de papel, b) determine el tiempo en el que el rollo de papel se desenrolla completamente. b v Problema 3 Se desea construir un túnel para el transporte de carga que atraviese el centro de la Tierra. Si se supone que la Tierra tiene una densidad constante, demuestre que el movimiento del cuerpo es armónico simple, encuentre la ecuación diferencial correcta y el período del movimiento. Considere el radio de la Tierra RT = 6.38106 m y su masa MT = 5.971024 kg, móvil r R t tierra Problema 4 Dos barras idénticas AB y BC se sueldan entre sí para formar un mecanismo en forma de L, el cual se presiona contra un resorte en D y se suelta desde la posición indicada. Si el ángulo máximo de rotación del mecanismo en su movimiento subsiguiente es de 900 en contra del sentido de las manecillas del reloj determine a) la magnitud de la velocidad angular del mecanismo cuando pasa por la posición en la que la barra AB forma un ángulo de 300 con la horizontal. b) Encuentre una expresión para la aceleración del mecanismo y analice si es constante. L = 20in A B h C 1 4 SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I Problema No. 1 La forma más sencilla de realizar un viaje entre dos planetas del Sistema Solar es utilizando lo que se conoce como órbita de Transferencia de Hohmann, que es, desde el punto de vista energético, la más económica. En dicha transferencia el satélite recorre, en el ambiente interplanetario, un camino que es una semi-elipse, con el Sol en uno de los focos, entre el planeta interior en la posición más cercana al Sol (perihelio) y el planeta exterior en el punto más apartado de esa cónica (afelio) (Ver Figura adjunta). En nuestro caso, el de una supuesta misión satelital a Venus, se puede suponer que las órbitas de los planetas involucrados están en el mismo plano y pueden ser consideradas círculos perfectos. Además supondremos que es posible esperar la configuración ideal para la transferencia de Hohmann, donde la posición de Venus (a la llegada de la nave) es diametralmente opuesta a la posición en la que estaba la Tierra en el instante de la partida del satélite. Determine el tiempo de vuelo de una misión desde la Tierra al planeta Venus en una trayectoria de Hohmann, considerando que el movimiento del satélite cumple con las mismas leyes que cualquier astro del sistema solar y despreciando las perturbaciones gravitatorias de todos los planetas. Solución: De acuerdo con la figura podemos observar que para la elipse: Radio del perihelio: Rp RVenus 108.21 106 km Radio del apohelio: Ra RTierra 149.59 106 km Semi eje mayor: asat Ra Rp 2 128.90 106 km 2 4 De manera que al aplicar la tercera ley de Kepler tenemos: 2 3 Tsat asat 128.90 T a 149.59 Tierra Tierra 3 Tsat 290días si utilizamos el período de la tierra como TTierra 363 días obtenemos para el tiempo de transferencia en la trayectoria de Hohmann: Ttrnasferencia Tsat 145días 2 Problema 2 En un proceso de impresión continuo, las prensas tiran del papel a una rapidez constante v. Denotando mediante r el radio del rodillo de papel en cualquier tiempo dado y por b el espesor del papel. a) encuentre una expresión para la aceleración angular del rollo de papel, b) determine el tiempo en el que el rollo de papel se desenrolla completamente. b v Solución: a) Consideremos primero el concepto de aceleración: d recordemos que v r dt d dt vr d v r 1 dt r 1 dv (r 2 ) v dr dt dt v2 dr (1) r dt Encontrando una expresión para dr dt : 3 4 Cuando el cilindro da una vuelta es posible determinar que: 2 r v x t t r b t 2 r v dr Lím r Lím b bv dt t 0 t t 0 2 r 2 r (2) v Al sustituir la ecuación (2) en la (1) obtenemos para la aceleración: v2 dr v2 bv r dt r 2 r 2 bv 3 2 r b) Tomando la ecuación (2), el tiempo en que se desenrolla será cuando el radio sea cero, de manera que: dr bv dt 2 r 0 t rdr 2 dt bv R 0 t R bv 2 Problema 3 Se desea construir un túnel para el transporte de carga que atraviese el centro de la Tierra. Si se supone que la Tierra tiene una densidad constante, demuestre que el movimiento del cuerpo es armónico simple, encuentre la ecuación diferencial correcta y el período del movimiento. Considere el radio de la Tierra RT = 6.38106 m y su masa MT = 5.971024 kg, móvil r R t tierra 4 4 Solución: A medida que el móvil se acerca al centro de la tierra, existe menor cantidad de masa que lo atrae. Existirá únicamente atracción entre el móvil y la masa que se encuentre dentro de una esfera formada entre el móvil y el centro de la tierra, de manera que encontraremos la variación de la masa en función de la distancia. M M(r) V (r) M(r ) 43 r 3 (1) La densidad (supuesta uniforme) viene dada por: MT 4 3 (2) RT3 Si sustituimos la ecuación (2) en la (3) obtenemos para la masa en función de la distancia: M T M(r ) 43 4 R3 T 3 M( r ) MT RT3 r3 r3 (3) Si consideramos hacia arriba positivo, la sumatoria de fuerzas queda así: F y ma 2 GM(r ) m m d 2r 2 r dt Ahora al sustitir la ecuación (3) en la ecuación (4) tenemos: (4) MT r 3 m d2r G m R3 r 2 dt 2 T d2 r GMT r 0 dt 2 RT3 (5) La ecuación anterior corresponde con la relación característica de un Movimiento Armónico Simple, con una frecuencia angular de: 2 GMT RT3 GMT RT3 5 4 Considerando que 2 T 2 T , de la última ecuación obtenemos para el período: GMT RT3 , de donde T 2 RT3 GMT Problema 4 Dos barras idénticas AB y BC se sueldan entre sí para formar un mecanismo en forma de L, el cual se presiona contra un resorte en D y se suelta desde la posición indicada. Si el ángulo máximo de rotación del mecanismo en su movimiento subsiguiente es de 900 en contra del sentido de las manecillas del reloj determine a) la magnitud de la velocidad angular del mecanismo cuando pasa por la posición en la que la barra AB forma un ángulo de 300 con la horizontal. b) Encuentre una expresión para la aceleración del mecanismo y analice si es constante. L = 20in B h C Solución: a) Como únicamente existen fuerzas conservativas, la energía en los tres estados que se muestra es la misma. A A L/2 A B B C 300 B NR h 300 C C Estado 1 Estado 2 Estado 3 6 4 A Como no poseemos datos del resorte igualamos energías en los estados 2 y 3: E2 Mg L2 E3 Mg L2 sen 300 Mg L2 cos300 21 ( I1 I 2 ) 2 E2 E3 I1 I 2 13 ML2 Mg L2 Mg L2 sen 300 cos300 31 ML2 2 3g 1 sen 300 cos 300 2L 6.29 rad s b) La aceleración del sistema es variable y depende del ángulo de inclinación que posea cada barra. Por dinámica de rotación: A L/2 B L/2 Mg +900 Mg C p I Mg L2 sen(90 ) Mg L2 sen 2 I Mg L2 cos sen 23 ML2 3g cos sen 4L 7 4 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE FÍSICA TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II Problema 1 La figura-1 muestra dos pequeñas esferas de igual masa 𝑚 = 0.8 𝑔 e igual carga 𝑞 = +0.2𝜇𝐶 pueden deslizar sin rozamiento por dos barras no conductoras. Ambas barras están forman un ángulo 𝛼 = 30° respecto a la horizontal. En el instante que se muestra en la figura las pequeñas esferas están fijas y separadas una distancia 𝑟𝑜 = 10 𝑐𝑚 a continuación se dejan en libertad y las esferas se repelen, calcular la atura respecto de la posición inicial que subirán las esferas una vez alcanzado el equilibrio. Figura 1 Problema 2 En un cuadrado de lado se sitúan en los vértices dos protones y dos positrones, como se observa en la figura 2. Si el sistema se deja en libertad calcular las velocidades de las partículas cuando estén muy separadas entre sí. Masa del protón carga del protón Masa del positrón carga del positrón Figura 2 8 4 Problema 3 Un alambre largo que trasporta una corriente fuera del papel está situado en el origen y se extiende el eje . Calcular la magnitud del campo magnético a una distancia medida desde el centro del alambre, ver figura 3-a Figura 3-a Dos alambres largos paralelos en la dirección del eje z se encuentran uno en el punto (0, a, 0) y transporta una corriente en dirección y el otro en el punto (0,-a, 0) y transporta una corriente en la dirección . Si . Calcular por el principio de superposición el campo magnético en el punto siendo y . Ver figura 3-b. Figura 3-b Problema 4 Una espira cuadrada hecha de alambre conductor tiene lado , resistencia eléctrica y masa , se encuentra dentro de una región de campo magnético , ver la figura 4. La espira se lanza con una velocidad inicial horizontal , además de experimentar el campo magnético, experimenta el campo gravitacional terrestre. Si se observa que la espira se mueve con velocidad constante, encontrar la magnitud de esta velocidad constante. Figura 4 9 4 SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II Problema 1 La figura-1 muestra dos pequeñas esferas de igual masa e igual carga pueden deslizar sin rozamiento por dos barras no conductoras. Ambas barras están forman un ángulo respecto a la horizontal. En el instante que se muestra en la figura las pequeñas esferas están fijas y separadas una distancia a continuación se dejan en libertad y las esferas se repelen, calcular la atura respecto de la posición inicial que subirán las esferas una vez alcanzado el equilibrio. Figura 1 Solución: Las fuerzas que actúan sobre cada esfera como la gravitacional y de Coulomb son fuerzas conservativas, la fuerza normal es perpendicular al movimiento y no hace trabajo en el proceso y no hay fuerza de fricción. La velocidad inicial de las esferas es cero y cuando alcanzan el equilibrio después de dejarlas en libertad su velocidad también es cero. Es útil la conservación de la energía mecánica: Considerando el nivel de referencia cero de la energía potencial gravitacional cero en la posición inicial de las esferas. En base a la figura -1a 0 5 Figura 1a Despejando la altura Problema 2 En un cuadrado de lado se sitúan en los vértices dos protones y dos positrones, como se observa en la figura 2. Si el sistema se deja en libertad calcular las velocidades de las partículas cuando estén muy separadas entre sí. Masa del protón carga del protón Masa del positrón carga del positrón Figura 2 Solución: Dado que la fuerza eléctrica (de Coulomb) que experimenta cada una de la cargas es una fuerza conservativa, se le asocia al sistema inicial de cargas una energía potencial eléctrica, de tal manera que en base a teorema de la 1 5 conservación de la energía se puede afirmar que un cambio en la energía potencial del sistema implica una cambio en su energía cinética. Otra observación del sistema es la relación entre las masas del protón y positrón: La masa del protón es 1833 veces mayor, por lo tanto en el momento en que las cuatro cargas estén libres de moverse, los positrones se separaran rápidamente del sistema tal que en un corto tiempo los positrones estarán lejos de los protones mientras que los protones están básicamente en su posición inicial iniciando su movimiento, desacuerdo con la siguiente figura 2a Figura 2a Se procede a calculando la energía potencial eléctrica del sistema: En base a la figura-2 Considerando la figura 2a donde los positrones ya están lejos en lo que los protones se empiezan a mover la energía potencial mutua de los dos protones vale 2 5 Toda esta energía potencial se convertirá en energía cinética compartida en los dos protones: La energía potencial de los positrones será la energía potencial del sistema menos la de los protones: Toda esta energía potencial se convertirá en energía cinética compartida en los dos positrones: En base a los resultados loa velocidad de los positrones es mucho mayor que la de los protones como era de esperarse según los comentarios iniciales. Problema 3 Un alambre largo que trasporta una corriente fuera del papel está situado en el origen y se extiende el eje . Calcular la magnitud del campo magnético a una distancia medida desde el centro del alambre, ver figura 3a Figura 3a 3 5 Dos alambres largos paralelos en la dirección del eje z se encuentran uno en el punto (0, a, 0) y transporta una corriente en dirección y el otro en el punto (0,-a, 0) y transporta una corriente en la dirección . Si . Calcular por el principio de superposición el campo magnético en el punto siendo y . Ver figura 3b. Figura 3b Solución: La magnitud del campo magnético vale Unidades Teslas (T) Figura 3c 4 5 Calculo del campo debido al alambre en la posición (0, a, 0) Calculo del campo debido al alambre en la posición Por el principio de superposición: 5 5 Problema 4 Una espira cuadrada hecha de alambre conductor tiene lado , resistencia eléctrica y masa , se encuentra dentro de una región de campo magnético ver la figura 4. La espira se lanza con una velocidad inicial horizontal , además de experimentar el campo magnético, experimenta el campo gravitacional terrestre. Si se observa que la espira se mueve con velocidad constante, encontrar la magnitud de ésta velocidad constante. Figura 4 Solución: Si la espira no experimentara un campo magnético, la espira tendría una trayectoria parabólica semejante al lanzamiento de una pelota atraída por la tierra con una aceleración g. Debido a la presencia del campo magnético el cual esta variando con la distancia vertical en la espira habrá una fem inducida la cual a su vez induce una corriente que circulara por la espira, esta corriente y la acción del campo magnético provocara una fuerza neta sobre la espira. Ahora como la condición del problema es que la espira se mueve con velocidad constante, entonces se impone la condición de que la fuerza neta en la dirección debe ser cero, de esta manera se puede encontrar la velocidad constante en la dirección . Comencemos analizando el movimiento por el principio de superposición: Movimiento en la dirección : Como el campo magnético solo varía en la dirección en la dirección del eje permanece constante y la espira no experimenta una fem inducida, no hay una corriente y por lo tanto tampoco una fuerza resultante por lo tanto la espira se mueve con velocidad constante en la dirección del eje , igual a . 6 5 Movimiento en la dirección : En base a la figura 4-a se calcula el flujo neto a través de la espira en cierto instante de tiempo La fem inducida vale Siendo la resistencia e con N=1 la corriente inducida en la espira. La fuerza en cada sección de la espira está dada por: Como el campo aumenta a medida que avanza la corriente circula de manera tal que disminuya el flujo y esto será cuando circule a favor de las manecillas de un reloj 7 5 La dirección de es negativa. La fuerza neta es Para que la velocidad sea constante la fuerza neta de l espira debe ser igual al peso de la espira Sustituyendo la corriente inducida siendo la velocidad en dirección del eje . La velocidad de la espira es , siento su magnitud 8 5 4.3 Química UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS, ÁREA DE QUÍMICA GENERAL TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I Instrucciones A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, factores de conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular. Primera Serie (50 puntos). Consta de 19 preguntas de selección múltiple y una abierta, correspondiente a la parte teórica. En las de selección múltiple, subraye la respuesta correcta; en la abierta, conteste lo que se le pide de la forma más clara y concisa que pueda. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona. 1. La masa es una “propiedad interna” de la materia, tal como lo es la carga. Para dos partículas cargadas distintamente, la masa externamente se manifiesta como: a. Atracción entre las partículas b. Repulsión entre las partículas c. Resistencia a la aceleración de las partículas d. a y b son correctas e. a y c son correctas 2. No existen elementos naturales que, en estado basal, tengan electrones en reempes j, pero si se excitaran electrones hasta esos estados energéticos, ¿cuántos electrones podrían albergar como máximo las reempes j de una determinada energía potencial eléctrica? a. 5 b. 10 c. 22 d. 30 e. 34 9 5 3. En electrones que ocupan orbitales degenerados, cual número cuántico siempre debe tener el mismo valor. a. Número cuántico principal b. Número cuántico secundario c. Número cuántico magnético d. Número cuántico de spin e. a y b son correctas 4. Los elementos representativos se agrupan en columnas de acuerdo con los números cuánticos: a. n y l b. l y m (ml) c. m (ml) y ms d. ms y S e. S y C 5. ¿Cuál de los siguientes elementos tiene 6 electrones de igual energía potencial eléctrica? a. Carbono b. Nitrógeno c. Oxígeno d. Flúor e. Neón 6. ¿Cuál elemento posee dos electrones despareados? a. Boro b. Nitrógeno c. Oxígeno d. Flúor e. Ninguno 0 6 7. El elemento “Y” reacciona con oxígeno para formar un compuesto iónico con la formula YO. ¿a qué grupo pertenece el elemento “Y”? a. Alcalinos b. Alcalinotérreos c. Familia del Carbono d. Pnicógenos e. 8. Halógenos “Es la doceava parte de la masa del núcleo de 12C”: definición de a. Unidad de masa atómica b. Unidad de masa elemental c. Unidad de masa molar d. Unidad de peso molecular e. Ninguna de las anteriores es correcta 9. Considere un elemento A, cuya muestra representativa consta de los siguientes isótopos: 14 925 átomos de 54A, 927 de 55A y 2 433 de 56A. ¿Cuál es la masa media de A? (Use aproximación para estimar la masa de cada uno de los átomos). a. 6 095 uma b. 55 uma c. 54.32 uma d. 18.29 uma e. Ninguna de las anteriores es correcta 10. Considere un elemento Ct, cuya muestra representativa consta de dos isótopos: 220Ct y 221Ct. Si la masa media de Ct es de 220.935 uma, ¿Cuál isótopo es más abundante? (No use aproximaciones para estimar la masa de cada uno de los átomos). a. Ct 220 b. Ct 221 c. Los dos abundan igual d. Ninguno de los dos e. Ninguna de las anteriores 1 6 11. En la mayoría de casos, la carga nuclear efectiva determina la atracción de un núcleo hacia los electrones propios y ajenos. ¿Cuál de los siguientes átomos tiene mayor carga nuclear efectiva hacia los electrones propios pero no hacia los ajenos? a. C b. N c. O d. F e. Ne 12. En una unión química, cuando la densidad de carga negativa se distribuye uniformemente (homogéneamente) en torno de dos núcleos, entonces el enlace se llama: a. Iónico b. Covalente polar c. Covalente no polar d. Covalente coordinado e. Unión de London 13. Cuál de los siguientes pares tiene el enlace más polarizado: a. C-C f. C=C g. C-O h. C=O i. C-H 14. ¿Cuál de los siguientes iones tiene mayor tamaño? a. O2- b. Fc. Na+ d. Mg2+ e. No puede determinarse 2 6 15. Cuál es el estado de oxidación de Si en: :O: —- .. || :O: .. —- :O — Si — O: ¨ .. —- || .. —- :O — Si — O: ¨ ¨ Al+3 ¨ Al+3 :O: —- .. || .. —- :O — Si — O: a. -4 b. +4 c. 2 d. -2 e. 0 16. ¿Cuál es el estado de oxidación del azufre en el sulfito ácido de bario? a. -2 b. +2 c. +4 d. -4 e. +6 17. Considere la siguiente reacción para la formación de caolinita (Al2Si2O5(OH)4) en el suelo: NaAlSi3O8 + H2CO3 + H2O → NaHCO3 + Al2Si2O5(OH)4 + H2SiO3 Si en la ecuación química, el coeficiente estequiométrico del carbonato ácido de sodio es 8, ¿cuál debe corresponder a la caolinita? a. 1 b. 2 c. 4 d. 6 e. 8 3 6 18. Para un sistema físico gas ideal, si la presión y la cantidad de partículas se mantienen constantes y se reduce el volumen: a. La rapidez media de la partículas disminuye b. La rapidez media de las partículas aumenta c. La rapidez media de las partículas permanece constante 19. Considere los cuatro postulados del sistema hipotético Gas Ideal: 1. Las partículas que lo forman son puntos-masa; 2. Las partículas no interaccionan (no crean ningún campo); 3. Los choques de las partículas son elásticos (cada partícula conserva su energía cinética) y 4. La energía cinética de las partículas es igual (el genial postulado de Maxwell). Todos estos postulados contradicen la realidad (entendida según la ciencia); más aun: dos de esos postulados se contradice entre sí, ¿cuáles son? a. El 1 y el 2. b. El 2 y el 3. c. El 3 y el 4. d. El 4 y el 1. e. El 1 y el 4. 20. Pregunta abierta: Explique si cada uno de los siguientes arreglos de números cuánticos es permitido o prohibido en su asignación a un electrón dentro de un átomo hipotético. nlms a. 2 0 3 ½ b. 2 0 0 ½ c. 2 1 11/3 d. 4 2 3 ½ e. 5 6 1 ½ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ 4 6 Segunda Serie. (50 puntos). A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada todo su procedimiento. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario. Problema 1. Conversiones. El alcohol etílico se utiliza como fluido termométrico para establecer una escala de temperatura. A su punto de congelación se le asigna arbitrariamente el valor de -25; y a su punto de ebullición a 1 atm, el de 125. A la nueva escala se le llama Iris, y a cada raya de su graduación, grado Iris (°I). Si esos puntos de cambio de fase del etanol se miden con una escala de Celcius, al punto de congelación corresponde -114 °C; y al punto de ebullición, 78.3 °C (a presión de 1 atm). Halle una ecuación que convierta de °I a °C. Respuesta: ____________________________________________________ Problema 2. Transición de e- del H. Un haz de luz irradia radicales libres de Hidrógeno; y los electrones abandonan los núcleos con una velocidad de un milésimo la velocidad de la luz en el vacío. Si los electrones estaban en estado basal y el gasto de energía del haz de luz es de 13.88 kJ durante 3.000 s, ¿cuál es la corriente eléctrica (en A) generada por los electrones desprendidos? (Considere que todos los fotones tienen la misma longitud de onda. Desprecie el efecto relativista del aumento de masa. me = 9.11*10-31 kg, F = 96 485 C.mol-1). Respuesta:_____________________________________________________ 5 6 Problema 3. Enlace y Nomenclatura de compuestos. Halle las fórmulas y nombres para las sales cálcicas del bromo. Dibuje las estructuras de Lewis. Describa el número de enlaces iónicos, covalentes y covalentes coordinados. Respuesta: Nombre Fórmula Enlaces Iónicos Enlaces Covalentes Enlaces cov. coordinados Problema 4: Estequiometría. En la fermentación alcohólica a partir de azúcar: C12H22O11 C6H12O6 + C6H12O6 (Inversión de la sacarosa) C6H12O6 C2H5OH + CO2 (Fermentación con S.c.) En la combustión del etanol: C2H5OH + O2 CO2 + H2O En 2006, Brasil produjo casi 4.5 millones de galones de etanol. Calcule cuántos kg de dióxido de carbono se formaron en la producción y en la quema de etanol como combustible. (1 gal = 3.7854 L; ρ = 0.79 g/mL) Respuesta: CO2 en la producción:_______________________________________________ CO2 en la quema:___________________________________________ Problema 5. Gases. La atmósfera de un planeta muy, muy lejano, está compuesta por N 2 y H2, y tiene una densidad de 0.9225 g/L a 15°C y 0.85 atm. ¿Cuál es el porcentaje molar de N2? 6 6 SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I Primera Serie: 1. e 7. b 13. d 19. a 2. d 8. a 14. a 3. e 9. c 15. b 4. c 10. b 16. c 5. c 11. e 17. c 6. c 12. c 18. a 20. De acuerdo con los valores que pueden tomar los números cuánticos de un electrón: n = 1, 2, 3, …, ∞ l = 0, 1, 2, …, (n – 1) m = ‐l,…, 0, …, +l s = ± ½ a) Prohibido. Si l = 0, el valor de m debe ser 0. b) Permitido. Todos los números cuánticos tienen los valores adecuados. c) Prohibido. El valor de s sólo puede ser ½ ó ‐½. d) Prohibido. Si l = 2, el valor de m sólo puede ser ‐2, ‐1, 0, 1, 2. e) Prohibido. Si n = 5, el valor de l sólo puede ser 0, 1, 2, 3 y 4. Segunda Serie: Problema 1. El alcohol etílico se utiliza como fluido termométrico para establecer una escala de temperatura. A su punto de congelación se le asigna arbitrariamente el valor de -25; y a su punto de ebullición a 1 atm, el de 125. A la nueva escala se le llama Iris, y a cada raya de su graduación, grado Iris (°I). Si esos puntos de cambio de fase del etanol se miden con una escala de Celcius, al punto de congelación corresponde -114 °C; y al punto de ebullición, 78.3 °C (a presión de 1 atm). Halle una ecuación que convierta de °I a °C. Solución: Podemos establecer las escalas: °I -25 i 125 _______________________________________________ °C -114 c 78.3 7 6 Entonces tenemos para convertir c a i: Factor unitario: (125 -( -25))°I = (78.3 – (-114))°C O sea: 1°C = 0.78°I También es necesario considerar el desfase de las dos escalas, de modo que: Con lo cual resulta: i = 0.78c + 63.92 Generalizando : °I = 0.78*°C + 63.92 Otra forma: por punto y pendiente: si °I = f(°C) Tenemos los puntos: °C °I -114 -25 78.3 125 Y entonces: Resolviendo: i = 0.78c + 63.926 como la vez anterior. Respuesta: °I = 0.78*°C + 63.92 Problema 2 Un haz de luz irradia radicales libres de Hidrógeno; y los electrones abandonan los núcleos con una velocidad de un milésimo la velocidad de la luz en el vacío. Si los electrones estaban en estado basal y el gasto de energía del haz de luz es de 13.88 kJ durante 3.000 s, ¿cuál es la corriente eléctrica (en A) generada por los electrones desprendidos? (Considere que todos los fotones tienen la misma longitud de onda. Desprecie el efecto relativista del aumento de masa. me = 9.11*10-31 kg, F = 96 485 C.mol-1). Solución: Energía gastada en el desprendimiento de 1 e-: 8 6 Donde el primer término de la izquierda es la energía potencial y el segundo la energía cinética ganadas por el e -: Et = Energía de transición del e -. RH = 2.18018E-18 J (Cte. De Rydberg del Hidrógeno). ni = 1 (Estado basal de energía potencial del e-). nf = infinito (Estado final de energía potencial del e - desligado ya del núcleo. m = 9.11E-31 kg (masa del e - en reposo: se desprecia el efecto relativista). v = c / 1 000 : siendo c=3E8 m.s -1 (velocidad de la luz en el vacío). Sustituyendo datos: Como el e - obtiene la energía de un fotón: Siendo Ef la energía del fotón: Como tenemos la Energía total, podemos calcular cuántos fotones están involucrados: Como el número de fotones es igual al de e -, tenemos 2.5E-3 mol e Con la constante de Faraday calculamos la carga neta que fluye: Como esa carga fluye en 3 s, hallamos la intensidad de corriente eléctrica: Respuesta: 80.4 A 9 6 Problema 3 Halle las fórmulas y nombres para las sales cálcicas del bromo. Dibuje las estructuras de Lewis. Describa el número de enlaces iónicos, covalentes y covalentes coordinados. Solución: Estados de oxidación de Br para formar peróxidos y luego oxisales: 1, 3, 5 y 7 Estos producen los siguientes compuestos: Br 1 + O-2 Br2O : Br 2O + H2O HBrO: BrO - + Ca+2 Ca(BrO) 2 Ácido hipobromito hipobromoso de calcio Br 3 + O-2 Br 2O3 : Br 2O3 + H2O HBrO2: BrO 2- + Ca+2 Ca(BrO 2) 2 Ácido bromito bromoso de calcio Br 5 + O-2 Br 2O5 : Br 2O5 + H2O HBrO3 : BrO3- + Ca+2 Ca(BrO 3)2 Ácido bromato brómico de calcio Br7 + O-2 Br2O7 : Br 2O7 + H2O HBrO4 : BrO 4- + Ca+2 Ca(BrO4) 2 Ácido perbromato perbrómico de calcio Estructuras de Lewis: Ca(BrO) 2 .. .. —:Br — O: Ca+2 ¨ ¨ Ca(BrO 2)2 .. :O: | .. —:Br — O: ¨ ¨ —- .. .. :O — Br: ¨ ¨ —- Ca+2 .. :O: .. | :O — Br: ¨ ¨ 0 7 Ca(BrO3) 2 .. :O: .. | .. —:O — Br — O: ¨ ¨ ¨ Ca(BrO4) 2 .. :O: .. | .. —:O — Br — O: ¨ | ¨ :O: ¨ .. :O: .. | .. :O — Br — O: ¨ ¨ ¨ —- Ca+2 —- Ca +2 .. :O: .. | .. :O — Br — O: ¨ | ¨ :O: ¨ Enlaces Enlaces Enlaces cov. Nombre Fórmula Iónicos Covalentes coordinados hipobromito de calcio Ca(BrO) 2 2 2 0 bromito calcio de Ca(BrO 2)2 2 2 2 bromato de calcio Ca(BrO3) 2 2 2 4 perbromato de calcio Ca(BrO4) 2 2 2 6 1 7 Problema 4 En la fermentación alcohólica a partir de azúcar: C12H22O11 C6H12O6 + C6H12O6 (Inversión de la sacarosa) C6H12O6 C2H5OH + CO2 (Fermentación con S.c.) En la combustión del etanol: C2H5OH + O2 CO2 + H2O En 2006, Brasil produjo casi 4.5 millones de galones de etanol. Calcule cuántos kg de dióxido de carbono se formaron en la producción y en la quema de etanol como combustible. (1 gal = 3.7854 L; ρ = 0.79 g/mL) Solución: Ecuaciones químicas: Producción: C12H22O11 C6 H12O6 + C6 H12O6 C6 H12O6 2 C2H5OH + 2 CO2 Combustión completa: C2H5OH + 3 O 2 2 CO2 + 3 H2O Dióxido de carbono producido en la producción de etanol: En la combustión: Respuesta: CO2 en la producción: 2.06E4 kg CO 2 CO2 en la quema: 4.12E4 kg CO 2 2 7 Problema 5 La atmósfera de un planeta muy, muy lejano, está compuesta por N2 y H2, y tiene una densidad de 0.9225 g/L a 15°C y 0.85 atm. ¿Cuál es el porcentaje molar de N2? Solución: Partimos de las siguientes ecuaciones: Donde: P: presión del sistema V: volumen n: cantidad de partículas (mol) totales T: temperatura absoluta R: constante universal de los gases ideales. : densidad m: masa M: masa molar yi : fracción molar del i-ésimo componente de la mezcla ni: mol del i-ésimo componente De (3): Sustituyendo en (1): Arreglando y comparando con (2): 3 7 En la ecuación (5) desconocemos la masa molar, M. Esta M se define como la masa de las partículas dividida entre los mol totales de partículas. Así que, de (3): Entonces: Y, con (4): La suma de las fracciones es 1: Sustituyendo en (6): Sustituyendo este última ecuación en (5) y arreglando: Despejando a y N2: Sustituyendo datos: R = 0.08206 atm.L.mol -1 K-1 T = 15 + 273.15 = 288.15 K MH2 = 2 g.mol -1 M N2 = 28 g.mol -1 Por tanto, hay 91% n/n de N 2 en ese planeta. Respuesta: El porcentaje molar de N 2 es de 91%. 4 7 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTA DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS, ÁREA DE QUÍMICA GENERAL TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II Instrucciones. A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, factores de conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular. Primera Serie (50 puntos). Consta de 20 preguntas de selección múltiple, correspondiente a la parte teórica. Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona. 1. En base a la tabla de datos que se presenta, la velocidad promedio de reacción entre 10 s y 20 s es en M/s para la reacción A → B: Tiempo (en segundos) 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 [A] (en mol/L) 0.200 0.140 0.100 0.071 0.050 a. 6.0 x 10-3 b. 8.0 x 10-3 c. 5.0 x 10-3 d. 200 e. 2.5 x 10-3 2. Cuál de los siguientes enunciados es incorrecto. a. A mayor temperatura mayor solubilidad en las sales en los líquidos (agua) b. A mayor presión mayor solubilidad de los gases en los líquidos (agua) c. A mayor temperatura mayor solubilidad de los gases en los líquidos (agua) d. Al subir la concentración de la solución esta se acerca más a la saturación con el soluto y la velocidad de disolución aumenta e. c y d son incorrectas 5 7 3. ¿Cuál de los siguientes casos provocará un cambio en el valor de la constante de equilibrio? a. Cambiar la temperatura b. Agregar otra sustancia que no reaccione con ninguna de las especies involucradas en el equilibrio. c. Variar la concentración inicial de los reactivos d. Variar la concentración inicial de los productos e. Todas son correctas 4. El peso de un equivalente gramo de KMnO4 es. a. 158 g b. 79 g c. 52,66 g d. 316 g e. 70 g 5. Cuando la atracción de las moléculas de solvente por los iones de un sólido es mayor que la atracción entre los iones, el sólido debe ser. a. Insoluble b. Suspendido c. Soluble d. Hidratado e. Ionizado 6. El coloide formado por un líquido en un gas se denomina a. Emulsión b. Aerosol c. Solución d. Espuma e. Ninguno 7. Se logra equilibrio en todas las reacciones químicas reversibles cuando: a. La reacción hacia adelante se detiene b. La concentración de los reactantes y los productos se hace igual c. La reacción opuesta se detiene d. La velocidad de las reacciones opuestas es igual e. La velocidad de la reacción hacia adelante es mayor. 6 7 8. En una reacción química, la diferencia que hay entre la energía potencial de los productos y la energía potencial de los reactantes se denomina. a. Energía de activación b. Energía cinética c. Calor de reacción d. Complejo activado e. Energía 9. El sistema 2SO2 (g) + O2 (g) ↔ 2SO3 (g) está en equilibrio. a temperatura constante, el punto de equilibrio se desplaza a la derecha si hay. a. Disminución en la presión b. Disminución en la concentración de O2 c. Disminución en la concentración de SO3 d. Aumento en la concentración de SO3 e. Aumento en la presión 10. Cuando una reacción esta en equilibrio y se adiciona mas reactante al recipiente: a. La velocidad de la reacción contraria disminuye b. El avance de la reacción aumenta c. La velocidad de la reacción disminuye d. El equilibrio de la reacción no cambia e. La velocidad de la reacción contraria aumenta 11. Para la reacción: 2A + 3B ↔ C + 2D, la velocidad de la desaparición de A es igual a la velocidad de. a. Formación de D b. Desaparición de B c. Formación de C d. Formación de C al cuadrado e. e c y d son correctas 12. La energía de activación de una reacción puede ser disminuida por: a. Disminución de la temperatura b. Adición de un catalizador c. Remoción de los productos a medida que se obtienen d. Incremento de la presión e. Ninguna 7 7 13. Para la reacción: 4NH3(g) + 502(g) ↔ 4NO (g) + 6H2O(g), la velocidad de desaparición del NH3 es igual a la velocidad de: a. Desaparición de O2 b. Formación de H2O c. Formación de NO d. Desaparición de O2 y formación de H2O e. Ninguna 14. Un catalizador: a. Disminuye la energía de activación b. Aumenta la frecuencia de las colisiones c. Produce un efecto de orientación en las moléculas. d. Incrementa la energía cinética de los reactivos. e. Ninguna 15. En la electrolisis del CaCI2 fundido, la especie que reacciona con el electrodo negativo es: a. Ca b. Ca++ c. CI2 d. Cle. Cl+5 16. Cuando el potencial estándar de un electrodo de hidrogeno es de 0,00 V, significa que: a. El ion hidrogeno adquiere electrones de un electrodo de platino b. Así se ha detectado por medidas de voltaje c. Así se ha convenido d. No hay diferencia de potencial entre el electrodo y la solución electrolítica e. e) ninguna. 17. ¿Cuál de las siguientes transformaciones no puede llevarse acabo en el cátodo de una celda electroquímica? a. NO → NO3b. CO2 → C2O42c. VO2+ → VO2+ d. H2AsO4 → H3AsO3 e. O2 → H2O2 8 7 18. Para depositar un equivalente de una sustancia, mediante un proceso electrolítico, se requiere: a. 1 coulombio b. 96,500 coulombios c. 6,023 x 1023 coulombios d. 0,000238 coulombios e. 2,5 coulombios 19. En un proceso espontáneo: a. El proceso inverso es también reversible. b. La ruta entre reactivos y productos es reversible. c. La ruta entre reactivos y productos es irreversible. d. El proceso directo y el inverso ocurren a la misma velocidad. e. El proceso inverso ocurre a una velocidad mayor que el proceso directo. 20. Cuando un acumulador de plomo se está descargando: a. Se regenera el dióxido de plomo b. Se consume el sulfato de plomo c. Se consume acido sulfúrico d. Se concentra el electrolito e. Ninguna Segunda Serie. (50 puntos). A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario. Problema 1 Una solución de hidróxido férrico, Fe(OH)3 se preparó disolviendo 20 gramos de Fe(OH)3 en suficiente agua para preparar 360 cm3 de solución, determinándose que la misma tiene una densidad de 1.06 g/ cm3 a. Cuál es la molaridad de la solución? b. Cuál es su molalidad? c. Cuál es su fracción molar? d. Cuál es el porcentaje en masa 9 7 e. Cuál es la normalidad de la solución, considerando que la solución será utilizada para una reacción de neutralización total. Problema 2 Se preparo una solución disolviendo 3.75 g de un hidrocarburo puro en 95 g de acetona. se observo que el punto de ebullición de la acetona pura es de 55.95 grados centígrados y el de la solución de 56.50 grados centígrados. si la constante molal del punto de ebullición de la acetona es 1.71 °C/m, ¿cuál es el peso molecular aproximado del hidrocarburo? Problema 3 A partir de los siguientes datos: Calcule el cambio de entalpía para la reacción: Problema 4 Cuanto tiempo en minutos se necesitara para depositar 1g de Níquel sobre cierto objeto metálico, si se emplea una solución de una sal de Níquel (II) y se pasa una corriente de 5A. Problema 5 La descomposición de pentaoxido de dinitrogeno es una reacción de primer orden con una constante de velocidad de 5.1 X 10-4s-1 a 45°C. 2N2O5(g) → 4NO2(g) + O2(g) a. Si la concentración inicial de N2O5 era 0.25 M, ¿cuál es la concentración después de 3.2 minutos? b. ¿Cuánto le tomara a la concentración de N2O5 disminuir desde 0.25 M hasta 0.15 M? ¿Cuánto tiempo tomara transformar 62% del material inicial? 0 8 SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II Primera serie: 1. c 7. d 13. c 19. c 2. e 8. c 14. a 20. c 3. a 9. e 15. d 4. a 10. b 16. c 5. c 11. a 17. a 6. b 12. b 18. b Segunda serie Problema 1 Una solución de hidróxido férrico, Fe(OH)3 se preparó disolviendo 20 gramos de Fe(OH)3 en suficiente agua para preparar 360 cm3 de solución, determinándose que la misma tiene una densidad de 1.06 g/ cm3 a. Cuál es la molaridad de la solución? b. Cuál es su molalidad? c. Cuál es su fracción molar? d. Cuál es el porcentaje en masa e. Cuál es la normalidad de la solución, considerando que la solución será utilizada para una reacción de neutralización total. Solución: El soluto en esta mezcla es el Fe(OH) 3 y el disolvente el agua, los datos proporcionados se resumen de la manera siguiente: masa de soluto = 20 gramos volumen de solución = 360 cm3 = 0.360 litros densidad de la solución = 1.08 g/ cm3 Para determinar el equivalente de 20 gramos de Fe(OH)3 en moles se obtiene: 20g Fe(OH) 3 x 1 mol Fe (OH) 3 = 0.19 Moles de Fe(OH) 3 106.85 g Fe(OH) 3 La molaridad por consiguiente será: M = 0.19 mol/0.360 litros de solución = 0.53 mol / L solución 1 8 La molalidad de una solución se define como: m= moles soluto / kg disolvente. Los moles de soluto ya se determinaron en el inciso a), siendo 0.19 moles, los kilogramos de disolvente (agua) se pueden determinar por la siguiente relación: Masa de la solución = masa de soluto + masa de solvente (ec.1) La masa de la solución se calcula relacionando el volumen de la solución con la densidad de la misma. 360 cm3 solución x 1.08 g de solución = 388.8 g de solución 1 cm3 de solución al sustituir en la ecuación 1: 388.8 g = 20g + masa de solvente masa de solvente = 368.8g de agua = 0.37 kg de agua Con esta información, la molalidad será: m = 0.19 mol / 0.37 kg disolvente = 0.52 mol / kg disolvente la fracción molar de soluto y solvente se puede calcular a través de las relaciones: xsoluto = moles de soluto (ec.2) moles de soluto + moles de solvente xsolvente = moles de solvente moles de soluto + moles de solvente (ec.3) Los moles de soluto son 0.19 mol, los de solvente (agua) se pueden determinar por medio de la masa de disolvente calculada en el inciso anterior, es decir, a partir de los 368.8g de agua. 368.8 g de agua x 1 mol de agua = 20.49 moles de agua 18g de agua al sustituir los valores correspondientes en las ecuaciones 2 y 3 se establece que: xsoluto = 0.19 mol __ = 0.009 (0.19 mol + 20.49 mol) xsolvente = 20.49 mol ___ (0.19 mol + 20.49 mol) = 0.99 El porcentaje en masa para la solución se calcula usando como relación: % en masa de Fe(OH) 3 = (20g de Fe(OH) 3 / 388.8 g solución) x 100 = 5.14 % de Fe(OH) 3 2 8 Para una reacción de neutralización total, el Fe(OH) 3 suministra 3 iones OH (acuoso) , por consiguiente el peso equivalente del Fe(OH) 3 será igual a su peso formula dividido 3: peso equivalente Fe(OH)3 = 106.85 g /mol = 35.62 g/equivalente-g 3 equivalentes gramo/mol Por consiguiente, el numero de equivalentes gramo de soluto será: 20g x 1 equivalente gramo = 0.56 equivalentes-gramo 35.62 gramos La normalidad de la solución finalmente es: n = 0.56 equivalente-gramo/0.360 litros solución = 1.55 equiv-gramo / litro Problema 2 Se preparo una solución disolviendo 3.75 g de un hidrocarburo puro en 95 g de acetona. se observo que el punto de ebullición de la acetona pura es de 55.95 grados centígrados y el de la solución de 56.50 grados centígrados. si la constante molal del punto de ebullición de la acetona es 1.71 °C/m, ¿cuál es el peso molecular aproximado del hidrocarburo? Solución: masa disuelta de hidrocarburo = 3.75 gramos masa de disolvente (acetona) = 95 gramos punto de ebullición para la acetona = 55.95 Celsius punto de ebullición para la solución = 56.50 Celsius constante de ebullición para la acetona = 1.71 °C / m La expresión algebraica que solución es: relaciona el cambio de temperatura de la ∆T ebullición = (K ebullición acetona)( m SOLUCIÓN ) al sustituir la información proporcionada: ( 56.50 °C - 55.95 °C ) = ( 1,71 °C / m )( m SOLUCIÓN) 3 8 de donde m SOLUCIÓN = 0.3216 mol / Kg disolvente ahora, la molalidad que se encontró puede interpretarse como: m SOLUCIÓN = 0.3216 mol de hidrocarburo / 1000g disolvente (acetona) Esta relación puede utilizarse como factor de conversión para obtener los moles de hidrocarburo disueltos en los 95 gramos de acetona (disolvente): 95 g disolvente x 0.3216 mol de hidrocarburo hidrocarburo 1000 g de disolvente = 0.0306 mol de finalmente, al relacionar la masa y los moles de hidrocarburo disuelto se encuentra: 3.75 gramos de hidrocarburo / 0.0306 mol de hidrocarburo gramos /mol. = 122.55 Problema 3 A partir de los siguientes datos: Calcule el cambio de entalpía para la reacción: 4 8 Solución: Aplicando la ley de Hess, se encuentra que la suma de las siguientes ecuaciones da la ecuación global deseada y su entalpía de reacción: Así, el Problema 4 Cuanto tiempo en minutos se necesitara para depositar 1g de Níquel sobre cierto objeto metálico, si se emplea una solución de una sal de Níquel (II) y se pasa una corriente de 5A. Solución: Primero debemos escribir la ecuación correspondiente a la reducción que tuvo lugar. como se parte de Níquel (II), es la siguiente: Ni2+ + 2e- → Ni Entonces: ( 1 mol Ni ) o, lo que es lo mismo, ( 2£ ) 2£ 1 mol Ni Veamos ahora cuantas moles de Níquel fueron depositadas, sabiendo que la masa molar del Níquel es 58,7: 1g Ni ( 1 mol Ni ) = 0,017 moles Ni 58.7 g Ni Utilizando el factor antes hallado podemos calcular el número de faradays requerido: 0.017 moles Ni ( 2 £ ) = 0,034£ mol Ni Luego calculamos el número de culombios: 0,034£ ( 96.500 C ) = 3281 C = 3281 A.s 1£ 5 8 Si dividimos esta cantidad de corriente por la intensidad en amperios, el cociente será el tiempo en segundos esto es: 3281 A. s = 656,2s 5A Por último, convertimos estos segundos a minutos conforme lo pide el enunciado: 656,2s ( 1 min. ) = 10,9 min 60s Problema 5 La descomposición de pentaoxido de dinitrogeno es una reacción de primer orden con una constante de velocidad de 5.1 X 10-4s-1 a 45°C. 2N2O5(g) → 4NO2(g) + O2(g) a. Si la concentración inicial de N2O5 era 0.25 M, ¿cuál es la concentración después de 3.2 minutos? b. ¿Cuánto le tomara a la concentración de N2O5 disminuir desde 0.25 M hasta 0.15 M? ¿Cuánto tiempo tomara transformar 62% del material inicial? Solución: Aplicando la ecuación: Ln [ A ]o = kt [A] Ln 0.25 M [A] = (5.1 x 10-4 s-1) ( 3.2 MIN x 60 s ) 1 min Resolviendo la ecuación, se obtiene Ln 0.25 M = 0.098 [A ] 0.25 M = e0.098 = 1.1 [A ] [ A ] = 0.23 M 6 8 Utilizando de nuevo la ecuación, se tiene Ln 0.25 M = ( 5.1 X 10-4s-1) t 0.15 M t = 1.0 x 10 3 s = 17 min. En un cálculo de este tipo, no se necesita saber cuál es la concentración real del material al inicio. si 62% del material inicial ha reaccionado, entonces la cantidad que resta después del tiempo t es (100% - 62% ) o 38%. por lo tanto, [A]/[A] o = 38%/100%, o 0.38. de la ecuación, se escribe. t = 1 ln [ A ]o k [A] = 1 ln 1.1 x 10 -4s -1 = 1.9 x 103 s = 32 min. 1.0_ 0.38 7 8 4.4 Biología UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Y FARMACIA ESCUELA DE BIOLOGÍA DEPARTAMENTO DE BIOLOGÍA GENERAL TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA SOLUCION DEL EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL I I SERIE Falso y Verdadero Instrucciones: A continuación se plantea una serie de afirmaciones. En la columna A escriba la letra V si la afirmación es verdadera o F si la afirmación es falsa. En las afirmaciones FALSAS subraye la frase o palabra que hace falsa la oración. En la columna B coloque la palabra o frase que haría verdadera la afirmación. Vea el ejemplo 0. Valor de cada respuesta correcta 1.5pts. Total 60pts. A 0. La herpetología es la parte de la biología que estudia F de los peces. 1. Los seres vivos pueden estudiarse desde diversos V niveles de organización; dichos niveles son los siguientes: átomos, moléculas, orgánulos, células, tejidos, órganos y sistemas orgánicos, organismos, poblaciones, comunidades, ecosistemas, biosfera. 2. La presencia de orgánulos membranosos es una de F las características que distingue a los organismos procariontes. 3. Una teoría en el campo científico es una explicación V que se basa en evidencias más sólidas y se mantiene vigente por mucho más tiempo que una hipótesis. 4. Los puentes de hidrógeno mantienen las moléculas V da agua unidas entre sí y esta cohesión ayuda a succionar agua hacia arriba en los vasos microscópicos de las plantas. B Ictiología Eucariontes 8 8 5. Un isómero es una de las varias formas atómicas de F un elemento, cada una de las cuales contiene un número diferente de neutrones, y por esa razón difieren en su masa atómica. 6. Los oligoelementos son aquellos elementos V requeridos por un organismo en cantidades muy bajas. 7. El término caloría se refiere a la unidad de calor que V se necesita para elevar la temperatura de 1gr de agua en 1° C. 8. Los buffers o soluciones amortiguadoras maximizan F los cambios de las concentraciones de H+ y OH- en una solución. minimizan 9. Los aminoácidos tienen fórmulas moleculares que F son algún múltiplo de la unidad CH2O. Monosacáridos (carbohidratos) 10. La quitina y polisacáridos. 11. Las grasas son un grupo de moléculas perteneciente a F los lípidos, un ejemplo de este grupo es el colesterol. 12. Una de las funciones de los fosfolípidos es formar V membranas celulares. 13. La estructura secundaria de las proteínas determinada por la secuencia de aminoácidos. 14. Entre las funciones de las proteínas se encuentran: V transporte de sustancias, actividad enzimática, formación de membranas celulares, sostén. 15. El uracilo es una purina presente en el ARN. 16. El aparato de Golgi es el organelo digestivo donde se F hidrolizan las macromoléculas. Lisosoma 17. Cuando una célula vegetal es colocada en una F solución acuosa y no sufre cambio aparente, lo más probable es que la solución es hipertónica respecto a su contenido celular. Hipotónica amilopectina son ejemplos Isótopo de V está F F Los esteroides Primaria Pirimidina 9 8 18. La traducción, en relación al flujo de información F genética en las células, es la síntesis de ARNm a partir de un segmento de ADN. Transcripción 19. TUU GCU GGC AUU, son los anticodones que se F formarían a partir de la siguiente secuencia de bases en el ADN: ATT CGA CCG TAA. AUU GCA CCG UAA 20. El código genético posee 61 tripletes que codifican V aminoácidos. 21. La ecuación general de la respiración celular es la F siguiente: 6C6H12O6 + O2 6CO2 + 12H2O + energía (ATP + calor). C6H12O6 + 6O2 6CO2 + 6H2O + energía (ATP + calor). 22. Las moléculas que se obtienen como resultado de la V glucólisis son Piruvato, ATP y NADH. 23. El ciclo de Calvin cloroplasto. ocurre en el estroma del V 24. Las reacciones de la fase luminosa de la fotosíntesis V abastecen al ciclo de Calvin con ATP y NADPH. 25. El oxígeno que se libera de la fotosíntesis proviene F del CO2. 26. La membrana tilacoidal posee dos tipos fotosistemas; el fotosistema II y el fotosistema I. 27. H2O de V El núcleo de las células somáticas humanas contiene V 46 cromosomas. 28. La cromatina está formada solamente por ADN. F ADN y proteínas 29. La fase S es la parte del ciclo celular en la cual se V duplica el material genético. 30. En la metafase se separan las cromátides hermanas. 31. F Durante la meiosis las células haploides forman F gametos diploides. 32. La ley de la distribución independiente afirma que F cada par de alelos se segrega de manera independiente de los otros pares de alelos durante la mitosis. Anafase Diploides, haploides. Meiosis 0 9 33. Si las frecuencias alélicas de una población F permanecen constantes entre generaciones, se dice que ha ocurrido macroevolución. La población está en equilibrio génico. 34. La producción de un mayor número de individuos de V los que el ambiente puede tolerar conduce a una lucha por la existencia entre los individuos de una población; esta fue una de las deducciones de Darwin. 35. La radiación adaptativa ocurre cuando algunos V organismos se encaminan hacia nuevas áreas, generalmente alejadas, o cuando los cambios ambientales ocasionan numerosas extinciones y se abren nichos ecológicos para los sobrevivientes. 36. La teoría de la endosimbiosis plantea que las V mitocondrias y los plástidos fueron en un principio procariontes pequeños que vivían dentro de células más grandes. 37. Si una variedad homocigota naranja de forma F alargada de genotipo RREE se cruza con una variedad verde y redonda, toda la F1 es dihíbrida naranja alargada. Si dos miembros de la F1 se cruzan, la proporción esperada sería: 3/16 naranja, redondo : 9/16 verde, alargado : 1/16 verde, redondo : 3/16 naranja, alargado. 9/16 naranja alargada; 3/16 naranja redonda; 3/16 verde alargada; 1/16 verde redonda. 38. En los murciélagos, el color sepia es codificado por V dos alelos codominantes (D1D2). El genotipo 1 homocigoto para el alelo D produce un color café oscuro y el genotipo homocigoto para el alelo D2 produce un color beige. Si se cruzan dos murciélagos (ambos sepia), la proporción esperada de descendientes sería la siguiente: ½ sepia : ½ no sepia. 39. El color fucsia de las orquídeas depende de un alelo V dominante (F) y el color blanco de las orquídeas depende de un alelo recesivo (f). Suponga que una muestra de 1,743 flores proporciona los siguientes datos: 199 blancas y 1,544 fucsia. Las frecuencias alélicas de esta población son 0.33 // 0.67 1 9 40. Fernando tiene tipo sanguíneo A, su esposa posee F tipo sanguíneo B. Ellos podrían tener un hijo de tipo sanguíneo O, si fueran homocigotos para el gen que determina el tipo sanguíneo. Heterocigotos II SERIE Desarrollo de temas A continuación se le presentan cuatro temas, de los cuales usted debe escoger dos. Desarrolle cada uno de ellos en varios párrafos de forma sencilla y clara. Se le proporcionarán algunas palabras clave para el desarrollo de cada tema. La extensión máxima de cada tema es de una página. Cada tema tiene un valor de 20 puntos. Tema No. 1. Relación entre el código genético y la síntesis de proteínas. Palabras Clave: ADN, ARN mensajero, ARN de transferencia, Ribosomas, Núcleo, Nucleolo, Trascripción, Traducción, Codones, Anticodones. Tema No. 2. Fotosíntesis y Respiración Celular, relación entre estos dos procesos. Palabras clave: Glucosa, O2, H2O, reacciones lumínicas, ATP, NADPH, NADH, FADH2, CO2, reacciones oscuras, cloroplasto, luz, fosforilación oxidativa, ciclo del ácido cítrico (Krebs), glucólisis, mitocondria, ciclo de Calvin, catabólica, anabólica. Tema No. 3 Reproducción y desarrollo, la relación entre mitosis y meiosis Palabras clave: Ciclo celular, fases, haploide, diploide, reproducción sexual, reproducción asexual, variabilidad genética, importancia de los procesos. Tema No. 4. Mecanismos de evolución, las ideas de Darwin y Wallace y su legado posterior Palabras clave: Evolución, origen de las especies, selección natural, selección artificial, mutaciones, recombinación sexual, deriva genética, especiación. 2 9 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Y FARMACIA ESCUELA DE BIOLOGÍA DEPARTAMENTO DE BIOLOGÍA GENERAL TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA SOLUCION DEL EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL II I SERIE (30 puntos) Instrucciones: Responda de forma clara y concisa las siguientes preguntas: 1. De la siguiente lista de nombres, ¿quiénes consideraban que las especies eran fijas y quiénes pensaban que las especies podían cambiar? Coloque una x en la casilla correspondiente. Nombre Aristóteles Cuvier Charles Darwin Erasmus Darwin Lamarck Linneo Consideraba a las especies fijas Consideraba que las especies podían cambiar x x x x x x 2. ¿Cuál de los términos en la ecuación de Hardy-Weinberg (p2 + 2pq + q2 = 1) corresponde a la frecuencia de individuos con alelos para la fenilcetonuria? 2pq + q2 2pq representa los heterocigotos con un alelo de la fenilcetonuria y q 2 representa los homocigotos con dos alelos para la fenilcetonuria. 3. ¿En qué forma produce variaciones la recombinación sexual? Una población contiene un gran número de posibles combinaciones de apareamiento y la fertilización reúne a los gametos de individuos que tienen diferentes antecedentes genéticos. La reproducción sexual reordena los alelos en nuevas combinaciones en cada generación. 3 9 4. ¿Cuál es la diferencia entre selección intrasexual y selección intersexual? La selección intrasexual (selección dentro del mismo sexo) es una competencia directa entre los individuos de un sexo para aparearse con sujetos del sexo opuesto. La selección intrasexual es, generalmente, más obvia en los machos. En la selección intersexual (elección de pareja) los individuos de un sexo por lo general las hembras- son exigentes, difíciles de satisfacer cuando eligen sus parejas del otro sexo. En muchos casos, la elección de la hembra depende de lo atractivo del aspecto o de la conducta del macho. 5. Las plantas normales de la sandía son diploides (2n=22), pero los criadores han producido sandías tetraploides (4n=44). Si las plantas tetraploides se hibridan con sus parientes diploides, producen semillas triploides (3n=33). Estos descendientes pueden producir rápidamente sandías sin semillas y se pueden seguir propagando mediante secciones. ¿Las plantas de sandía diploides y tetraploides son especies diferentes? Explique su respuesta. Las sandías diploides y tetraploides son especies distintas. Sus híbridos son triploides y, como resultado, son estériles debido a problemas para llevar a cabo la meiosis. 6. ¿Qué significa el término pedomórfosis? Heterocronía en la cual los caracteres juveniles de una forma ancestral son retenidos en el individuo adulto del descendiente. Retención en un organismo adulto de las características juveniles de sus ancestros evolutivos. 7. ¿A qué Orden pertenecen dos individuos de las Familias Felidae y Canidae? Al Orden Carnivora 8. ¿Cuál es la diferencia entre un clado monofilético y un agrupamiento parafilético? Un clado monofilético es un grupo de especies que incluye una especie ancestral y todos sus descendientes. Un agrupamiento parafilético está compuesto por una especie ancestral y algunos, pero no todos sus descendientes. 9. ¿Qué hipótesis probaron Miller y Urey en su experimento? La hipótesis de que las condiciones en la Tierra primitiva posibilitaron la síntesis de moléculas orgánicas a partir de moléculas inorgánicas. 10. Un nucleótido está formado por tres componentes básicos: a) un grupo fosfato b) una pentosa y c) una base nitrogenada 4 9 II SERIE (30 puntos) Instrucciones: Complete los espacios en blanco. 1. Entre el período Triásico y Cretácico se ubica el período Jurásico. 2. A mediados del Mesozoico, Pangea se separó en dos masas terrestres: al norte Laurasia y al sur Gondwana. 3. Las bacterias gram positivas contienen grandes cantidades de peptidoglucano en su pared celular. 4. Las clamidias pertenecen al Dominio Bacteria. 5. Rhizobium es un género que vive dentro de las raíces de leguminosas, donde estas bacterias convierten el nitrógeno atmosférico en compuestos que la planta puede utilizar para sintetizar proteínas. 6. El botulismo es producido por la exotoxina secretada por Clostridium botulinum. 7. Los episodios de crecimiento explosivo de la población de dinoflagelados producen el fenómeno llamado marea roja. 8. El causante del paludismo es un protista del género Plasmodium. El vector de dicha enfermedad, que lo transmite de una persona a otra es el mosquito del género Anopheles. 9. Las algas rojas son rojizas debido a que poseen un pigmento accesorio llamado ficoeritrina. 10. Las plantas no vasculares con frecuencia se denominan briofitas, a este grupo pertenecen musgos y hepáticas. 11. Ginkgo biloba es la única especie del Phylum Ginkgophyta. 12. Los hongos mutualistas y los parásitos forman hifas especializadas llamadas haustorios que pueden penetrar las paredes celulares de los vegetales. 13. Los hongos que poseen esporas flageladas o zoosporas son los quitridios. 5 9 14. Las esponjas son animales sésiles que carecen de tejidos verdaderos, pertenecen al Phylum Porifera. 15. El cuerpo de los artrópodos está cubierto por un exoesqueleto formado por capas de proteína y del polisacárido quitina. III SERIE (10 puntos) Elabore un listado de las actividades humanas que amenazan la biodiversidad en nuestro país y/o a nivel mundial. Deforestación Contaminación del agua Contaminación del suelo Contaminación de la atmósfera Erosión Producción de gases de efecto invernadero Tráfico ilegal de flora silvestre Tráfico ilegal de fauna silvestre Caza y Pesca desmedidas, sin regulaciones que respeten la legislación que protege a las especies Uso inadecuado de plaguicidas Incendios forestales Otros IV SERIE (10 puntos) Dibuje un ciclo viral lítico y explique brevemente lo que sucede en cada etapa. V SERIE (20 puntos) Instrucciones: En un espacio que no exceda dos páginas, desarrolle el tema: “La sangre, tejido clave de los sistemas circulatorio y respiratorio.” Deberá trabajar los siguientes subtemas: Composición y función de la sangre, plasma, elementos celulares, células madre y sustitución de los elementos celulares, coagulación sanguínea. 6 9 7 9 5. PARTICIPANTES 5.1 Matemática TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE MATEMÁTICA, NIVEL I UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Amadeo José García Avila Ana Luisa Gramajo Barrera Angel Geovany Gómez García Carlos Giovanni Coló Cabrera Diego José Rendon Bollat Douglas Ordoñez Simon Edgar Andrés Luna Sandoval Edgar Andrés Monterroso Urrutia Edgar Antonio Castañeda López Edgar Damián Ochoa Hernández Edgar Emmanuel Culajay Flores Edgar René Barrera Garzaro Eduardo José Golón López Edwin Geovanny Guzmán Caniche Elvis Gerardo López Pineda Enrique Antonio González Cifuentes Erick Iván Fernando Orozco Ramírez Evelin Maritza Monroy Mendez Fatima Alejandra Moir Flores Francisco Alberto Cajbon Santander Guillermo José Pimentel Lemus Gustavo Adolfo López Muñoz Hector Andrés Mazariegos Molina Hugo Damian Tomas Reyes Iris Paola López Alvarez Iván Ecoberto Flores Barrios Jacobo Ariel García Avila Jair Emanuel Carrillo Acevedo Jim Kevin Cuestas Cifuentes Jorge Alberto Vasquez Jorge David Top Raxón José Alexander Vásquez Castro 8 9 José Eduardo López Villatoro José Miguel Ruano Aguilar Josué Emilio Castillo Estrada Julio Alberto González Paniagua Lenyn Ubaldo Girón Hernández Leslie Arianne García Vargas Luis Armando Diaz Ciraiz Luis Rafael Alfaro Soto Manuel Antonio Mazariegos Bámaca María Alejandra Peláez Noriega Marvin Haroldo Reinoso García Oscar Eduardo Vásquez Requena Oscar Estuardo Ardón Castillo Pablo Andrés Aldana Véliz Pablo Antonio Pasquier Batres Pablo Enrique Barrios Rivas Raúl Antonio Girón Ricardo Alejandro Sicán Muñoz Rolando Wladimir Figueroa Rodriguez Romeo Antulio Tovar Jiménez Silvio Alejandro Urizar Salazar Víctor Manuel Carranza Mejicanos Víctor Manuel de Jesús Moscoso Villagrán Walter Roberto Morales Quiñonez UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS – CUNOC Alí Emmanuel Arana Magariño Anfers Ageo de León Ruano Antonio Baldemar Alvarado Chan Armando Alberto Temaj López Armando Alfredo Sánchez Herrera Beatriz ELizabeth Racancoj Coyoy Billy Jose Par Lorenzo Byron Yossimar Poroj Chojolan Carlos Alfredo del Cid Castillo César Baldomero Antonio Basegoda Claudia Alejandra Rodriguez Andreu Cristian Adolfo Calderón Cifuentes Damian Pedro López Morales Daniel Antonio Orozco Orellana Daniel Estuardo Son Darío Alexander Az Yac 9 9 Delvin Ariel Hernández Puzul Edilzar Vicente Hernández López Emanuel Angel Ismael Cayax Ralda Erick Estuardo Pérez Aguilar Erick Sergio Armando García Chuc Erwin Jesús Garcia Chuc Fernando Marco Aurelio Alvarado Francis Osfelino López y López Francisco Isaías Maldonado Gomez Guilmer Rodolfo Guox Capriel Hernan Francisco Mérida Catalán Jenifer Paola Magaly Tobar Perez Jeremias Estuardo Itzep Ajxup Jesser Fernando Orozco Soto Jorge Francisco Fuentes Chávez José Alfredo López Romano José Gervacio García Velásquez Juan Americo Calderon Mazariegos Juan Francisco Hernandez Renoj Juan José Loarca Tezó Juan José Rivera Miranda Juan Luis Angel Perez Bonilla Julián Vladimir de Paz Pérez Julio Alejandro Diaz Archila Luis Antonio Ixcot Macario Luis Javier Villatoro Classon Marlon Javier Pu Coy Marvin David Vásquez Hernández Marving José Velasquez Rivas Michael Cristian Velásquez Joachin Milton Belisario Gómez López Nery Abdiel Gonzalez Morales Oscar Ilich Boj Alvarez Osmar Dany Cardona Monzón Pablo César Aguirre García Pablo Maximiliano Rrecancoj Chiché Roberto Natahan Cedillo Matom Saul Wiliberto Garcia Tomás 00 1 UNIVERSIDAD GALILEO Alicia Faviola Del Cid Portillo Axel Josué Cortéz Morales César Enrique Reyes Marroquín Cinthia María Rodríguez Montepeque Daniel Jhonatan Quezada Cujcuy Diego Antonio Fión Carrera Eliezer Arnulfo Diaz Turnil Eric Natan Pinto Chavarria Erick Steven Petersen Ramírez Gustavo Adolfo Chang Villagran Héctor David Mencos Castillo Hugo Antonio Moran Rodriguez Jazer Rigoberto Pinto Chavarria Jose Gabriel Arriola Bonilla Julio Ramiro Cuellar Marroquín Kenneth Riveiro G. Kevin Estuardo Brolo Torre Lester Geovanny Batres Lemus Lesther Fernando Vega Montenegro María de los Angeles Berganza Oscar Augusto Marroquín Herrera Oscar Eduardo Maldonado Sánchez UNIVERSIDAD DEL ISTMO Elena María Díaz Aguilar Laura Nineth Arreaga S. UNIVERSIDAD MESOAMERICANA- SUR OCCIDENTE Axel Ademie Peláez Rosales Carlos Alberto Vásquez González Carlos Alexander Tax Velasquez Carmen Amado de León Pojoy Edgar Fidel Marcos Flores Barrios Eduardo Estuardo Alfonso Torres Jairo Alexander Fuentes Velásquez Marvin Abel Calderon H. Miguel Alfonso Bustamante Sanchez Salvador Nery David Cajas Molina 01 1 UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR Alex Manuel Zuñiga Estrada Alvaro Enrique Ruano Ixcaraguá Carlos Alfonso Molina Monzón Carlos F. Quijada Cristian Estuardo Roldán Rodríguez Daniel Alexander Guerra Archila David Guillermo Escobar Avendaño Erick Ronelly Castro Arriaga Gustavo Adolfo Herrera Cardona José Javier Tello Pérez José Manuel Chacón Chavez Josue David Palacios García Juan Pablo Morales López Julio Santizo Rafael André Morales Cifuentes Roberto García Silvia Alejandra Ruiz Palma Wilman Antonio García Marroquín 02 1 TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE MATEMÁTICA, NIVEL II UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Alan Brayn Tercero Contreras Ana Lucia Salguero Ucelo Anibal Estuardo Sierra Morales Claudio Javier Tzay Teleguario David Echeverría Rodríguez Eder Keith Paz Tiguila Fernando Benjamín Martínez Marroquín Héctor Antonio Muñoz Maldonado Henry Daniel Higueros Picen Jorge Raúl Contreras Rodríguez José Daniel Cheley de León José Daniel Gudiel de León Josué David Hernández Hernández Juan Luis Blanco Doucodray Julio Antonio López Flores Kelinton Ottoniel Sic Cajbon Leonardo Vicente Pirir Martin Oscar Oswaldo Cerna Fajardo Paulo César Martínez Cerna Wilber Ernesto Quezada Caballeros UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS - CUNOC Alberto José Orozco Orellana David Luis Ernesto Aguilar López Josué Amilcar Itzep Ajxup UNIVERSIDAD DEL VALLE DE GUATEMALA José Eduardo Barrera Santos 03 1 UNIVERSIDAD GALILEO José Miguel Peralta Segovia UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ Etan Antonio Girón Castañeda José Fernando Salazar Colom UNIVERSIDAD MESOAMERICANA-SUR OCCIDENTE Luis Eduardo Boquiax Goch UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR Osman Carrillo Soto TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA 04 1 DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE FÍSICA, NIVEL I UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Cristian Alfredo Raxón Soc Pablo Andrés Contreras Rodrí juez UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS - CUNOC Erick Estuardo Valencia Rabanales Yessica Marysol Tajiboy Síc Lincoln Benjamín de León Velásquez Mario Hugo Coyoy Cajas Julio Roberto Rios Cuellar Luis Pablo Samayoa Gallardo Pablo César López Fuentes Erick Wostbellí Vásquez López UNIVERSIDAD DEL ISTMO Augusto Valdez Francisco José Sedano Illescas UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ Carlos Juan Manuel Rizzo Milián UNIVERSIDAD MESOAMERICANA SUROCCIDENTE Vladimir Ovidio Santos Mazariegos UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR Densyl Alexander Malín Mansilla Elmer Iván Barrios Cambran Jorge Villatoro UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR-SUR OCCIDENTE Diego Aniceto Balux Tambriz TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA 05 1 DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE FÍSICA, NIVEL II UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA All Kenneth Cueto López Bárbara Susete Yaeggy Alvarez Carlos Alberto Alvarez Rosales Carlos Jorge Valdez Bautista Cleofas Josué Culajay Tuquer Diego Fernando Rodríguez Hernández Edwin Antonio Andino Paz Herik Alexánder Suret Soyos Hugo Leonel Pinillos Guevara José Roberto Sampuel López Juan Jacobo Girón Morales Luis Raúl Velásquez Herrera Manuel Alejandro Lepe Jolón Mario Raúl Soto Gómez Mauricio Valentino Rivera Tello Ovidio Fernando García Oliva Pablo Rodolfo Roesh Martínez René Alexander Ramos Díaz Rony Aureliano Jucup Solís Sergio Francisco Prado González Sergio Romeo Santos Revolorio UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS - CUNOC Gustavo Adolfo Fuentes Fuentes UNIVERSIDAD GALILEO Aldo Emmanuel Barillas Barillas 06 1 Andony Vinicio Noguera de León Angel Francisco Méndez Lázaro Byron David Carranza Gomez Carlina Marithel Juárez Berdúo Carlos Anibal Véliz Güitz Diego Alejandro Zacarías Hernández Estefanny Alejandra Martínez Soto Jairo Marcos Cano Sacú José Argueta Orellana Flores José Carlos King Méndez José Manuel Morilla Calderón Juan Pablo Ramirez Stambuk Julio Rodrigo Martínez Fuentes Leslie Susan G. Maldonado Sánchez Lizardo Rogelio Porres Villacorta Ludwing Jacobo González Medina Luis Fernando Díaz Avendaño Mario Francisco Colindres Rodríguez Pedro José Méndez Lázaro Rodrigo Alejandro Ixcoy Baten UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ Denis Maroly Tirado Bautista Esau Alejandro Cardona Cuevas Luis Gerardo Soberanis Reyes TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA 07 1 DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE QUÍMICA, NIVEL I UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Ana Lucia del Rosario Paíz López Bryant Barrientos Castellanos Cesia Aleyda Xiquitá Argueta Diego Enrique Rivera Ayala Edwin José Saravia Cano Enio Miguel Cano Lima Esther Nohemí López Coloma Fayver Manuel De León Mayorga Francisco Maximiliano Estrada Martínez Gerald Lenderssan Argueta Girón Harlem Róterdan De León Natareno José Carlo Figueroa Cerna José Manuel Marroquín Quiñónez Julio Alberto Ramos Paz Karin Beatriz Corazón Tecú Kevin Samuel Hernández Leal Lester Iván Lemus Méndez Zury Adamy Sagché Locón UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS - CUNORI Jose Carlo Figueroa Cerna UNIVERSIDAD DEL VALLE DE GUATEMALA Andrea Licette Yat Cahueque José Miquel Morales Santiago UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR Carmen Ovalle Osorio Diego Andrés Montenegro de León José Manuel García Estrada Karla Gabriela Lainfiesta Rueda Lilly Patricia Aguilar Smith Ma. Sofía Morales Guzmán Pedro Enrique Arriaza Aldana TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA 08 1 DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE QUÍMICA, NIVEL II UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Adelvy Esaí Mauricio Villatoro Douglas David Gallo Cárdenas Emilia Yesenia Arana Vicente Eric Joselito Aldana Gabriel Andrés Cifuentes Arguedas José Francisco López Hernández José Roy Morales Coronado Luisa Fernanda Villatoro Alvarez María Verónica Espinal Corrales Nancy Karina Díaz Fulgan Renato Martinez Rodas Sofia Magnolia Marroquín Tintí Vivian María Salazar de León UNIVERSIDAD DEL VALLE DE GUATEMALA Luis Francisco Quiñónez Girón UNIVERSIDAD FRANCISCO MARROQUIN Freddy Duarte Lau Juan Pablo Gomez Swingle Kerby Anelis Avea Sandoval Mishel Ponsa Ravachi UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR Marcell Arian Maldonado Gálvez TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA 09 1 DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE BIOLOGÍA, NIVEL I UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Allan Kevin Divas Sanabria Andrea Leonor Aguilera Rodas Andrea María Cabarrús Melgar Astrid Fernanda Tigüilá Cruz Bárbara Isabela Escobar Anleu Denis René Cuc Vásquez Erika Patricia Ciraiz Azurdia Eunice Maricel Caná Aguilar Haniel Isaac Racanac Giron Isa Neddari Marcela Sequén Ovalle Julio Salvador Carrión Paniagua Ligia Argentina Palacios Muñoz Lucio Valerio Callen Montuori Paula Gabriela Echeverria Galindo Sara Ester Barillas Aragón Stephanie Roxana Pacheco Estrada UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS - CUNOC Katherine Mazariegos Vasquez Pablo Basegoda de León UNIVERSIDAD FRANCISCO MARROQUIN Ana del Carmen Rivadeneira Rodríguez Byoung UK Park Jahir Alejandro Reyes Vides María Marcela Colom Bickford Zandy Andrea Lissette Pablo Martínez UNIVERSIDAD MESOAMERICANA-SUR OCCIDENTE Julio Alberto Citá Jeiva TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA 10 1 DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE BIOLOGÍA, NIVEL II UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Andrea Margarita Escobar Barrios Berta Alejandra Morales Mérida Erick Alexander Estrada Martínez Fernando Joel Chajón Ramírez José Carlos Lisandro Cordero Ramos Oscar Tecandhi Ochoa Hernández UNIVERSIDAD DEL VALLE DE GUATEMALA Olga Alejandra Zamora Jerez UNIVERSIDAD FRANCISCO MARROQUIN Martin Barrios Fernández UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR Manuel Alejandro Carrillo Soto 11 1
![Prueba Segundos2[1]](http://s2.studylib.es/store/data/003397536_1-3ac4e8618b6474fb10e9bb3037bc9dd2-300x300.png)