Lec10 – Correlación

Correlación
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
Procesamiento Analógico de Señales
FIEC - UV
Índice
12.1. Introducción
12.2. Correlación Cruzada
12.3. Autocorrelación
12.4. Calculo de la correlación y de la autocorrelación
12.5. Método gráfico para la correlación
12.6. Tareas
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
2
1
Introducción
12.1. Introducción
En esta lectura, se presenta una variación de la convolución, denominada
“Correlación”. Esta operación realiza un procedimiento similar al de la
convolución pero su objetivo es completamente diferente. La convolución
se aplica para mezclar dos señales (x1(t) y x2(t)) ó una señal x(t) con la
respuesta h(t) del sistema, mientras que la correlación muestra que tan
parecida es una señal con respecto a la otra.
Esta operación es ampliamente utilizada en diferentes áreas tal como en
aviación donde se realiza una correlación cruzada de la señal de salida
con su reflexión para determinar la posición de un avión en el espacio
aéreo.
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
3
Correlación Cruzada
12.2. Definición de Correlación Cruzada
La correlación cruzada es una operación que se puede realizar sobre dos
señales (dominio temporal). Permite determinar la periodicidad de una
señal, reducir el ruido, estimar tiempos de retardo, etc. La correlación
entre dos secuencias en tiempo continuo x1(t) y x2(t) está dada por:
R12 t  

 x  x t   d
1
2
(12.1)

La correlación cruzada normalmente se simboliza por R12(t) si la operación
de la correlación cruzada va desde la señal x1(t) a la señal x2(t), y R21(t) si el
proceso es inverso.
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
4
2
Correlación Cruzada
x1(t)

R12(t)
x1(t)
Figura 12.1: Diagrama a bloques de la correlación cruzada
La función de correlación cruzada posee varias propiedades las cuales son:
No-Conmutativa:
x1 t   x2 t   x2 t   x1 t 
(12.2)
Asociativa:
x1 t   x2 t  x3 t   x1 t   x2 t   x3 t 
(12.3)
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
5
Correlación Cruzada
Distributiva:
x1 t   x2 t   x3 t   x1 t   x2 t   x1 t   x3 t 
(12.4)
Analogía con la convolución:
x1 t   x2 t   x1 t   x2  t 
(12.5)
La (12.5) es tal ves la propiedad más importantes de la función de
correlación cruzada ya que puede emplearse la convolución para realizar
esta operación.
Ejemplo 1. Compruebe que la función de correlación no posee la propiedad de conmutación.
Se tiene que por definición, la función de correlación cruzada está dada
como:
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
6
3
Correlación Cruzada
x1 t   x2 t  

 x  x t   d
1
2

Realizando un cambio de variable, y  t   se tiene que dy = d. Los
límites de la integral cambian cuando    se tiene que y   y cuando
  – se tiene que y = –. Por lo tanto, se tiene


 x  y  t x  y dy
1
2



 x  y x  t  y dy
2
1



 x  y x  t  y dy
2
1

Dr. Luis Javier Morales Mendoza
7
Correlación Cruzada
Como las variables son mudas, es decir se puede cambias la variable y
por  y con base a esto, se obtiene

 x  h t   d  x t   x  t 
2
2
1

Por lo que se llega a
x1 t   x2 t   x2 t   x1 t 
Por lo tanto, la correlación cruzada no posee la propiedad conmutativa.
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
8
4
Correlación Cruzada
Ejemplo 2. Encuentre la propiedad conmutativa de la función de correlación cruzada aplicando la convolución.
Se tiene que:
x1 t   x2 t   x1 t   x2  t 
Como la convolución posee la propiedad de conmutación,:
x1 t   x2 t   x2 t   x1 t 
Entonces:
x2  t   x1 t   x2  t   x1  t 
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
9
Correlación Cruzada
El concepto de correlación puede también interpretarse por medio de un
sistema de entrada-salida lineal, como se puede ver en la Figura 12.2, en
donde, h’(t) = h(– t) representa la respuesta espacial al impulso del sistema
con una señal de excitación x(t).
x(t)
h(–t)
yt    x ht   d
Figura 12.2. Equivalencia entre correlación cruzada y convolución
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
10
5
Autocorrelación
12.3. Autocorrelación
Una aplicación particular de la correlación cruzada es la autocorrelación que
es la correlación de una señal consigo misma. La autocorrelación es una
técnica eficaz para mostrar las periodicidades de una señal contaminada con
alto nivel de ruido y está definida como:
R11t  

 x xt   d
(12.6)

Algunas propiedades de la autocorrelación son:
R11t   R11 t 
R110  0
R110  R11t 
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
11
Autocorrelación
Ejemplo 3. Demuestre las dos primeras propiedades de la autocorrelación
Sol. Para el primer caso, se tiene que por definición
R11t  
realizando la traslación

 x xt   d

R11 t  

 x x t   d

con un cambio de variable:  =  – t se llega a
R11 t  
Por lo que queda

 x  t x d

R11 t   R11t  ■
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
12
6
Autocorrelación
Para el segundo caso, si t = 0, en (12.6), entonces se tiene

R110 
 x x d

Como x() es una señal real, entonces
R110 

 x 
2

d
0  R11(0) < 
■
Esta función cumple con el principio de Parseval.
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
13
Cálculo de Rxy y Rxx
12.4. Calculo de la correlación cruzada y autocorrelación
El desarrollo del cálculo de la correlación cruzada y autocorrelación es
muy similar al llevado acabo por la convolución.
Ejemplo 4. Se tiene dos señales x1(t) = exp(–t)u(t) y x2(t) = exp(–2t)u(t)
determine la correlación cruzada R12(t) y R21(t) si  > 0.
R12 t  

 x  x t   d
1
2

t
  exp    exp  2t   d
0
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
14
7
Cálculo de Rxy y Rxx
t
R12 t   exp  2t  exp    exp  2 d
0
t
 exp  2t  exp  3 d 
0
exp  2t 
 exp  3 t0
3
1
R12 t   exp  2t 1  exp  3t 
3
1
R21t   exp  t 1  exp  3t 
3
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
15
Cálculo de Rxy y Rxx
Figura 12.3. Señal x1(t) del Ejemplo 4
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
16
8
Cálculo de Rxy y Rxx
Figura 12.4. Señal x2(t) del Ejemplo 4
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
17
Cálculo de Rxy y Rxx
Figura 12.5. Señal R12(t) = x1(t)  x2(t) del Ejemplo 4
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
18
9
Cálculo de Rxy y Rxx
Figura 12.6. Señal R21(t) = x2(t)  x1(t) del Ejemplo 4
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
19
Método Gráfico
12.5. Método Gráfico para la correlación
f(t)
g(t)
3
2
*
t
2
t
-2
2
Paso 1. Remplazar la variable independiente t por  en f(t) y g(t)
Paso 2. Traslade la función g(t) en el sistema de f(t)
Paso 3. recorra a g(t) hasta que inicie el traslape sobre f(t).
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
20
10
Método Gráfico
Paso 4. La correlación se divide en 5 partes los cuales son:
I. Cuando t < –2: Las dos funciones no se traslapan y el área dentro del
producto es cero.
II. Cuando –2  t < 0: La parte de g(t) traslapa parte de f(t) y el área
dentro del producto de las funciones es:
2t
2
 2

32  t 
3t 2




3
(



2
)
d


3


2




6
2

t


6
0
 2

2
2

0
2t
III. Cuando 0  t < 2: Aquí g(t) traslapa completamente a f(t) y el área
dentro del producto es justamente:
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
21
Método Gráfico
 2

0 3   2 d  3   2  2 
2
2
6
0
IV. Cuando 2  t < 4: Parte de g(t) traslapa a f(t) en forma similar al paso II.
V. Finalmente, cuando t  4, g(t) y f(t) no se traslapan por lo que el área
dentro del producto es cero.
0
 3 2
 2 t  6

y (t )  f (t )  g (t )  6
 3 t 2  12 t  24
2
0
Para
t  2
Para  2  t  0
Para
0t 2
Para
2t 4
Para
t4
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
22
11
Método Gráfico
Ejemplo 5. Evaluar la correlación entre dos funciones cuadradas con el
diferente ancho, es decir
1 0  t  1
x1 t   
0 c.o.c.
1 0  t  4
x2 t   
c.o.c.
0
Ejemplo 6. Evaluar la correlación entre dos funciones cuadradas con el
mísmo ancho, es decir
1 0  t  1
x1 t   
0 c.o.c.
1 0  t  1
x2 t   
0 c.o.c.
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
23
Método Gráfico
Figura 12.7. Señal x1(t) del Ejemplo 5
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
24
12
Método Gráfico
Figura 12.8. Señal x2(t) del Ejemplo 5
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
25
Método Gráfico
Figura 12.9. Señal R12(t) = x1(t)  x2(t) del Ejemplo 5
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
26
13
Método Gráfico
Figura 12.10. Señal R21(t) = x2(t)  x1(t) del Ejemplo 5
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
27
Método Gráfico
Figura 12.11. Señal x1(t) del Ejemplo 6
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
28
14
Método Gráfico
Figura 12.12. Señal x2(t) del Ejemplo 6
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
29
Método Gráfico
Figura 12.13. Señal R12(t) = x1(t)  x2(t) del Ejemplo 6
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
30
15
Método Gráfico
Figura 12.14. Señal R21(t) = x2(t)  x1(t) del Ejemplo 6
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
31
Método Gráfico
Ejemplo 7. Evaluar la correlación entre dos funciones cuadradas con el
diferente ancho, es decir
x1(t)
 t

x1 t   1  
 0
t 
t
c.o.c.
x2(t)
1 0  t  2
x2 t   
c.o.c.
0
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
t
32
16
Método Gráfico
Figura 12.15. Señal x1(t) del Ejemplo 7
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
33
Método Gráfico
Figura 12.16. Señal x2(t) del Ejemplo 7
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
34
17
Método Gráfico
Figura 12.17. Señal R12(t) = x1(t)  x2(t) del Ejemplo 7
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
35
Método Gráfico
Figura 12.18. Señal R21(t) = x2(t)  x1(t) del Ejemplo 7
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
36
18
Tarea
12.6. Tarea
1. Demuestre que R11(0) ≥ R11(t).
2. Determine la correlación cruzada y auto correlación de las siguientes
funciones (R12, R21, R11 y R22)
t
a)
h1 t   exp  2t ut 
1
h2 (t )    u t 
2
b)
h1 t   exp  t ut 
h2 t   exp t u t 
3. Aplicando la propiedad de dualidad entre convolución y correlación,
determine la salida de los siguientes sistemas
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
37
Tareas
x1(t)

h1(t)
+
y(t)
x2(t)
x3(t)

+
h2(t)
x1(t)
x2(t)

h1(t)
h2(t)
y(t)
x3(t)
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
38
19
Tareas
x1 t   exp  2t ut 
x3 t   2 exp  3t ut 
h2 t   ut 
x2 t   2 exp  t ut 
t
1
h1 t     u t 
2
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
39
20