2004/05 - MasMates

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Colecciones de ejercicios
Inferencia estadística
Selectividad CCSS 2005
1. [ANDA] [JUN-A] En una población una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 2.
a) Observada una muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obtenido una media muestral igual a 50. Calcula un intervalo, con
un 97% de confianza, para la media de la población.
b) Con el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga
sea, como máximo, 1?
2. [ANDA] [JUN-B] Sea la población de elementos {22,24,26}.
a) Esccribe todas las muestras posibles de tamaño 2, escogidas mediante muestreo aleatorio simple.
b) Calcula la varianza de la población.
c) Calcula la varianza de las medias muestrales.
3. [ANDA] [SEP-A] La longitud de los tornillos fabricados por una máquina sigue una ley Normal con desviación típica 0.1 cm. Se ha
seleccionado una muestra aleatoria y, con una confianza del 95%, se ha construido un intervalo, para la media poblacional, cuya
amplitud es 0.0784.
a) ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada?
b) Determina el intervalo de confianza, si en la muestra seleccionada se ha obtenido un longitud media de 1.75 cm.
4. [ANDA] [SEP-B] El número de horas semanales que los adolescentes dedican a ver la televisión se distribuye según una leyNormal
de media 9 horas y desviación típica 4. Para muestras de 64 adolescentes:
a) Indica cuál es la distribución de las medias muestrales.
b) Calcula la probabilidad de que la media de una de las muestras esté comprendida entre 7.8 y 9.5 horas.
5. [ARAG] [JUN-B] En una gran ciudad la desviación típica del gasto medio semanal de los jóvenes es de 6 euros. Elegidos 100
jóvenes, su gasto medio semenal es de 25 euros. Determine el intervalo de confianza del 95% para dicho gasto medio, explicando
los pasos realizados para obtener el resultado.
6. [ARAG] [SEP-B] Se ha obtenido que el intervalo de confianza correspondiente al 95% de una variable es (6'66,8'34). Calcule la
media y el tamaño de la muestra que se ha estudiado para obtener el intervalo sabiendo que la desviación típica es igual a 3.
Explique cada uno de los pasos realizados.
7. [ASTU] [JUN] El control de calidad de una fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo defectos en la producción de un modelo
de batería para teléfonos móviles, bajando su tiempo de duración. Hasta ahora el tiempo de duración en conversación seguía una
Normal con media 300 minutos y desviación típica 30 minutos. Sin embargo, en la inspección del último lote producido, antes de
enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 baterías el tiempo medio de duración en conversación fue de 290
minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviación típica,
a) Plantear un test para contrastar que la duración no se haya visto afectada frente a que las sospechas del control de calidadson
ciertas. Si se concluye que las sospechas son falsas y realmente no lo son, ¿cómo se llama el error cometido?
b) ¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significación del 2%?
8. [ASTU] [SEP] El 10% de los que utilizan cierto analgésico sufren pequeñas molestias gástricas. Un nuevo producto tiene un mayor
poder analgésico, pero sin embargo parece que es más fácil que ocasione esos pequeños efectos secundarios. De hecho, 21
personas afirmaron haberlos sufrido, de una muestra de 140 que habían utilizado el nuevo medicamento.
a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que con el nuevo medicamento se corre el mismo riesgo de padecer efectos
secundarios que con el otro, frente a que, como parece, el riesgo es mayor. Explica qué tipos de errores se pueden cometer al
obtener las conclusiones y cómo se llaman.
b) Explica claramente a qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior para un nivel de significación del 2%.
9. [C-MA] [JUN] Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad de líquido despachada se distribuye en
forma normal con una desviación típica de 0'15 decilitros.
a) Encontrar un intervalo de confianza del 97% para la media de todos los refrescos que sirve esta máquina, si una muestra
aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido promedio de 2'25 decilitros.
b) Interpreta el significado del intervalo obtenido.
10. [C-MA] [SEP] Un experto en gestión de calidad quiere estudiar el tiempo promedio que se necesita para hacer tres perforaciones
en una pieza metálica. Se calcula el tiempo promedio de una muestra aleatoria de 36 trabajadores, resultando 2'6 segundos.
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Suponiendo que el tiempo de perforación se distribuye según una normal con desviación típica 0'3 segundos:
a) Encuentra un intervalo de confianza del 99'4% para dicho tiempo promedio de perforación. b) Interpreta el significado del
intervalo obtenido.
11. [CANA] [JUN-A] Se quiere estimar el sueldo medio de un trabajador del transporte público. Se toma para ello una muestra de
625 de estos trabajadores y se obtiene un sueldo medio muestral de 1480 euros. Si la desviación típica es igual a 250 euros:
a) Con un nivel de confianza del 90%, determinar el intervalo de confianza para el sueldo medio de un trabajador del transporte
público.
b) Si se quiere que el error máximo de estimación sea de 10 €, hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar considerando un
nivel de confianza del 99%.
12. [CANA] [JUN-A] Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al
azar y se detectaron 21 vacías.
a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca?
b) Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacías y 1- = 0.95, ¿qué tamaño muestral se necesitaría para
estimar la proporción de nueces vacías con un error menor del 1%?
13. [CANA] [JUN-B] Un informa de la Asociación de Compañías Aéreas indica que el precio medio del billete de avión entre Canariasy
la Península Ibérica es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros
Canarias-Península Ibérica y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €.
a) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación igual a 0.1, la afirmación de partida?
b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera del 1%?
14. [CANA] [JUN-B] Un fabricante de pilas alcalinas afirma que la desviación típica de la duración de sus pilas es de 80 horas.
a) Si  = 0.1 y, en una muestra de 50 pilas, la duración media es de 500 horas, determinar el intervalo de confianza para la
duración media poblacional.
b) Si la duración de las pilas siguiera una normal de media 500 horas y desviación típica 80 horas, ¿cuál es la probabilidad de que
la duración media de 9 pilas sea mayor de 520 horas?
15. [CANA] [SEP-A] Se tomó una muestra de 120 jóvenes, de los cuales 72 tenían teléfono móvil.
a) Hallar un intervalo, al 98% de confianza, para la proporción de jóvenes que tienen teléfono móvil.
b) En dicha muestra, entre los que tenían teléfono móvil, 50 lo tenían con tarjeta prepago. Entre los jóvenes que tienen teléfono
móvil, hallar un intervalo, al 90% de confianza, para la proporción de los que lo tienen con tarjeta prepago.
16. [CANA] [SEP-A] Se supone que, como máximo, el 25% de los habitantes de una ciudad tienen ordenador personal. Para
constrastar esta hipótesis, se elige una uestra de 400 de dichos habitantes y se detecta que 115 tienen ordenador personal.
a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la hipótesis de partida?
b) ¿Se daría la misma respuesta si se toma un nivel de significación igual a 0.1?
17. [CANA] [SEP-B] Un vendedor de paquetes de carbón para barbacoa afirma que el peso medio de cada paquete es, como mínimo,de
20 kg. Para contrastar esto se toma una muestra de 9 paquetes, obteniéndose una media de 19,3 kg. Si se supone que el pesode
los paquetes sigue una distribución normal con desviación típica de 1 kg:
a) Determinar si se puede aceptar la afirmación con  = 0,05.
b) Con un nivel de confianza del 90%, ¿qué tamaño muestral es necesario para estimar el peso medio de un paquete de carbón con
un error menor que 0,2 kg?
18. [CANA] [SEP-B] En una muestra de 900 páginas escritas por alumnos de bachillerato, 351 tenían algún tipo de falta deortografía.
a) Determinar un intervalo de confianza, de nivel igual a 0,95, para la proporción de páginas con faltas de ortografía.
b) Si  = 0.1, ¿se podría rechazar la hipótesis de que, como máximo, el 38% de las páginas escritas por los alumnos de bachillerato
tiene algún tipo de faltas de ortografía?
19. [EXTR] [JUN-B] En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el departamento de personal, 450 en el
departamento de ventas, 200 en el departamento de cantabilidad y 100 en el departamento de atención al cliente. Con objeto de
realizar una encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180 trabajadores.
a) ¿Qué tipo de muestreo deberíamos realizar para la selección de la muestra si queremos que incluya a los trabajadores de los
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cuatro departamentos mencionados?
b) ¿Qué número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cada departamento atendiendo a un criterio de proporcionalidad?
Justificar las respuestas.
20. [EXTR] [SEP-B] En una ciudad residen 1250 familias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un 20% de ellas y se les preguntó si
disponían de gas ciudad en su vivienda. Sabiendo que todas las familias seleccionadas respondieron y que se obtuvo un total de 75
respuestas afirmativas, se pide:
a) ¿Qué estimación puntual podríamos dar para el porcentaje de familias de esa ciudad que disponen de gas ciudad en su vivienda?
b) ¿Qué error máximo cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de confianza del 95%?
Justificar las respuestas.
21. [MADR] [JUN-A] En una encuesta se pregunta a 10000 personas cuántos libros lee al año, obteniéndose una media de 5 libros. Se
sabe que la población tiene una distribución normal con desviación típica 2.
a) Hallar un intervalo de confianza al 80% para la media poblacional.
b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a 0,25 con un nivel de confianza del 95% , ¿a
cuántas personas sería necesario como mínimo entrevistar?
22. [MADR] [JUN-B] Para una población N(,=25), ¿qué tamaño muestral mínimo es necesario para estimar  mediante un intervalo
de confianza, con un error menor o igual a 5 unidades, y con una probabilidad mayor o igual que 0,95?
23. [MADR] [SEP-A] La duración de las baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene una distribución normal de media
34,5 horas y desviación típica 6,9 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 teléfonos móviles.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté comprendida entre 32 y 33,5 horas?
b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?
24. [MADR] [SEP-B] El tiempo de reacción de una alarma ante un fallo del sistema es una variable aleatoria normal con desviación
típica 1 segundo. A paritr de una muestra de 100 alarmas se ha estimado la media poblacional del tiempo de reacción, mediante un
intervalo de confianza, con un error máximo de esimación igual a 0,2 segundos. ¿Con qué nivel de confianza se ha realizado la
estimación?
25. [MURC] [JUN] Una muestra aleatoria simple de 25 estudiantes responde a un test de inteligencia, obteniendo una media de 100
puntos. Se sabe por experiencia que la variable “inteligencia de todos los estudiantes” es normal con una desviación típica igual a
10, pero se desconoce la media. ¿Entre qué limites se hallará la verdadera inteligencia media de todos los estudiantes, con unnivel
de confianza de 0.99?
26. [MURC] [JUN] Se supone que la distribución de la temperatura del cuerpo humano en la población tiene de media 37ºC y de
desviación típica 0.85ºC. Se elige una muestra de 105 personas y se pide:
a) Calcular la probabilidad de que la temperatura media sea menor de 36.9ºC.
b) Calcular la probabilidad de que la temperatura media esté comprendida entre 36.5ºC y 37.5ºC.
27. [MURC] [SEP] Se desea estudiar el gasto anual de fotocopias (en euros) de los estudiantes de bachillerato en Murcia. Para ello,se
ha elegido una muestra aleatoria de 9 estudiantes, resultando los valores siguientes:
100, 150, 90, 70, 75, 105, 200, 120, 80.
Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica igual
a 12. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media del gasto anual en fotocopias por estudiante.
28. [MURC] [SEP] El peso de los niños varones a las diez semanas de vida se distribuye según una normal con desviación típica de 87
gramos. ¿Cuántos datos son suficientes para estimar, con una confianza del 95%, el peso medio de esa población con un error no
superior a 15 gramos?
29. [RIOJ] [JUN] El tiempo que cobran las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media
desconocida y desviación típica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos.
a) Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes.
b) Indica el tamaño muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un error de 0,5 minutos y un nivel de confianza del
95%.
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30. [RIOJ] [SEP] En una encuesta sobre actividades en el tiempo libre realizada a una muestra de 50 estudiantes de Bachillerato,una
de las preguntas era: ¿Cuánto tiempo dedicas diariamente a ver la televisión? Las 50 respuestas obtenidas proporcionan unamedia
de 90 minutos. Se puede suponer que la variable "tiempo que los estudiantes de Bachillerato dedican diariamente a ver la
televisión" obedece a una distribución normal con desviación típica igual a 20 minutos.
a) Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que los estudiantes de Bachillerato dedican diariamente
a ver la televisión.
b) Indica el tamaño muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un error de 2 minutos, para un nivel de confianza
del 90%.
Soluciones
1. a) (49'783,50'217) b) 76 2. a) 22,22; 22,24; 22,26; 24;22, ... , 26,24; 26,26 b) 2'667 c) 1'333 3. a) 25 b) (1'7108,1'7892) 4. a) N(9,0'5) b) 0'8331 5.
(23'82,26'18) 6. 7'5, 49 7. a) Hip:  = 300; Hip. alternativa:   300; tipo II b) son ciertas 8. a) Hip:   0'1; Hip. alternativa:  > 0'1; tipo I y II b) igual riesgo 9.
(2'196,2'304) 10. (2'46,2'74) 11. (1463'55,1496'45); 4145 12. si; 2501 13. no; no 14. (481'39,518'61); 0'2266 15. (0'5,0'7); (0'6,0'78) 16. si, no 17. no;
68 18. (0'36,0'42); no 19. b) 30, 90, 40, 20 20. 0'3; 0'0568 21. a) (4'977,5'023) b) 246 22. 97 23. 0'1772, 0'0012 24. 95'44% 25. (94'85,105'15) 26.
0'1151; 1 27. (102'16,117'84) 28. 130 29. (5'004,5'396), 4 30. (84'46,95'54), 271
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