Coordenadas polares

COORDENADAS POLARES
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CABUDARE, AGOSTO DEL 2012
INTRODUCCION
Al comenzar los estudios del Cálculo se suele trabajar de forma especial con coordenadas
planas o coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares. Sin embargo,
conforme se continúa avanzando en el estudio del Cálculo, nos damos cuenta de la
necesidad de utilizar coordenadas polares para realizar ciertos cálculos
y procedimientos que no podrían realizarse exitosamente con coordenadas cartesianas. No
se trata de que un sistema de coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son
importantes pero uno servirá algunas veces y el otro servirá en otras ocasiones,
dependiendo de nuestras necesidades y del trabajo que estemos realizando.
En el presente trabajo de calculo II se busca adquirir nuevos conocimientos asi como
afianzar los que ya se tienen estudiando diferentes puntos relacionados a las coordenadas
polares, se busca estudiar las coordenadas polares empezando por su definición, la
ubicación de puntos, la transformación de coordenadas polares a coordenadas rectangulares
y viceversa, los criterios de simetría, las rectas, circunferencias, lemniscatas, cardiodes,
caracoles, rosas y espirales. Con todos los objetivos alcanzados se podrá conocer los temas
a profundidad que hacen un aporte importante e indispensable para el ingeniero y el
calculo.
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Coordenadas Polares
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posición de un
punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia, definido por
un origen O y una línea semi-infinita L saliendo del origen. A L se le conoce también como
eje polar.
En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en muchas
ocasiones trabajar con coordenadas polares. Usaremos la figura para definirlas.
Sea un punto P situado en el plano OXY con coordenadas cartesianas (x,y). Su vector de
posición respecto al origen del sistema de referencia es
Las coordenadas polares (ρ,θ) se definen de la siguiente forma
1. La coordenada ρ es la distancia del punto P al punto O. Puede variar entre los
valores 0 y .
2. La coordenada θ es el ángulo que forma el vector con el eje OX. Puede variar
entre los valores 0 y 2π.
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Estas dos coordenadas permiten describir de forma unívoca la posición de cualquier punto
en el plano OXY.
El intervalo para θ es abierto a la derecha para evitar llegar al valor de 2π. De lo contrario,
los puntos del eje OX aparecerían dos veces, paraθ = 0 y para θ = 2π.
Ubicación de Puntos en las Coordenadas Polares
Si queremos localizar un punto (r,Φ) en este sistema de coordenadas, lo primero que
tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un
ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre la
circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar
Respecto a los signos:
Para Φ : puede ser positivo (sentido antihorario) o negativo (sentido horario), partiendo del
eje polar
Para r : también puede ser positivo o negativo, positivo indica que sale del origen hacia la
recta terminal del ángulo Φ, si el valor es negativo parte del origen hacia el lado opuesto a
la recta terminal del ángulo Φ
Ejemplo:
las coordenadas (-3, π/3) si hablamos de cuadrantes estará ubicada en el tercer cuadrante ,
par ubicarla trazas la recta terminal del ángulo π/3 y se mide 3 unidades en la prolongación
de la recta terminal (hacia el lado contrario de dicha recta), este punto también se puede
escribir con r >0, le corresponde la coordenada (3, 4π/3) o con Φ<0 (3, -2π/3) o tambien
4
con ambos negativos (-3,-5π/3)
Entonces es el mismo punto con diferentes coordenadas polares
(-3, π/3)=(3, 4π/3) = (3, -2π/3) = (-3,-5π/3)
y si a cada ángulo le agregas 2 k π ( k vueltas) puedes obtener muchos mas, según le des
valores enteros a k
Para facilitar la traficación en coordenadas polares se construye circunferencias con centro
en el polo , del cual también parten rayos que forman distintos ángulos (π/6, π/3, π/2, etc)
con el eje polar. Cada punto P del plano es la intersección de una circunferencia con un
rayo. El radio r de la circunferencia y el ángulo Φ que forma el rayo con el eje polar, nos
proporciona un juego de coordenadas polares (r. Φ) de punto P. Al eje horizontal se lo
llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama “Eje π/2 ”. El punto de intersección entre estos
dos ejes se lo llama “Polo”.
Observar que:
1. El rayo del ángulo π/2, llamado eje π/2, es semieje positivo de las ordenadas
2. El rayo del ángulo π ó –π es semieje al negativo de las abscisas.
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3. El rayo del ángulo 3π/2 ó –π/2 es el semieje negativo de las ordenadas.
Transformación de Polares a Rectangulares y Viceversa
Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos
coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, puesto que (x, y)esta
sobre una circunferencia de radio r, se sigue que r 2 =x 2 + y 2 . Además para r >0, la
definición de las funciones trigonométricas implica que:

tg  =
y
, cos  =
x
y sen  =
r
x
y
r
El lector puede comprobar que si r<0,se verifican las mismas relaciones.
Las coordenadas polares (r,  ) de un punto están relacionados con sus coordenadas
rectangulares (x, y) por:
x = r cos 
2. tg  =
6
y
x
y = r sen 
r 2 =x 2 + y 2
Ejemplo: Cambio de coordenadas polares a rectangulares.
 Para el punto c = (2,  ),
x = r cos  =2 cos  =-2
e y = r sen  =2 sen  =0
Así pues, las coordenadas rectangulares son (x, y)=(-2,0).

Para el punto (r,  ) = ( 3 , 
X= 3 cos

6
=
3
2
e
6
3 sen
),

6
=
3
2
Por tanto, las coordenadas (x, y)= 3 , 3
2
7
2
Ejemplo: Cambio de coordenadas rectangulares a polares

Para el punto del segmento cuadrante (x. y)=(-1,1)

tg  =
y
  3
4
= -1
x
Dado que  se ha escogido en el mismo cuadrante que (x, y), debemos tomar un valor
de r positivo.

x
r=
=
(  1)
=
 y
2
2
2
 (1)
2
2
Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es (r,  )= 2 , 3

4
Como el punto (x, y)= (0,2) esta en el eje y positivo, elegimos  = 
modo que un conjunto de coordenadas polares es (r,  )=2, 
8
2
).
2
y r=2, de
Criterios de Simetría en Coordenadas Polares
El grafico de una ecuación polar es simétrica respecto al
1. Eje polar: si al remplazar (r, ɵ) por (-r, -ɵ) ó (r,
 - ɵ) en la ecuación se obtiene,
una ecuación equivalente.
2. El eje
 /2
si al remplazar (r, ɵ) por (r,

-ɵ) ó (r, - ɵ) en la ecuación se
obtiene, una ecuación equivalente.
3. Polo si al remplazar (r, ɵ) por (-r, ɵ) ó (r,
ecuación equivalente.
9

+ ɵ) en la ecuación se obtiene, una
Ejemplo:
Probar que el grafico de:
1. r = 2 cos ɵ es simétrica respecto al eje polar
2. r = 2 sen ɵ es simétrica respecto al eje  /2
3. r2 = 4 sen 2 ɵ es simétrica respecto al polo
Solución:
1. Sustituimos (r, -ɵ) por (r, ɵ) en r = 2 cos ɵ :
r = 2 cos (-ɵ) = 2 cos ɵ
Esta sustitución no ha alterado la ecuación. Luego,
el grafico de r = 2 ɵ es simétrica respecto al eje polar.
2. Sustituimos ( r , ɵ ) por (
𝑟, 𝜋 − 𝜃) en r = 1 + sen 𝜃:
𝑟 = 1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝜃) → 𝑟 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝜋 cos 𝜃 − cos 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝜋
= 1 + (0)𝑐𝑜𝑠𝜃 − (−1)𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝑟 = 𝑟 = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃:
Esta sustitución no ha alterado la ecuación. Luego, el grafico
del r = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 es simétrica respecto al eje
𝜋
2
3. Sustituimos (𝑟, 𝜃)𝑝𝑜𝑟 (−𝑟, 𝜃)𝑒𝑛 r2= 4 sen 2 𝜃.
(𝑟 2 ) = 4𝑠𝑒𝑛2𝜃 → 𝑟 2 = 4𝑠𝑒𝑛2𝜃
Esta sustitución no ha alterado la ecuación.
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Luego, el grafico de 𝑟 2 = 4𝑠𝑒𝑛2𝜃 es simetrica
Respecto al polo
Rectas
1. Rectas que pasan por el polo:
La grafica de la ecuación 𝜃 = 𝛼, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛼 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.
Es la recta que pasa por el polo y forma un ángulo de 𝛼 radianes con el eje polar.
Esta misma recta es la grafica de la ecuación 𝜃 = 𝛼 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2. Rectas que no pasan por el polo:
Si 𝑐 ≠ 0, 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
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𝑟=
𝑐
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 ≠ 0 ó 𝑏 ≠ 0 (1)
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑎
Es la recta pendiente 𝑚 = − 𝑏 corta los ejes en (c/a, 0) (0, c/b)
En efecto,
𝑐
𝑟 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃 ↔
𝑟(𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑐 ↔
𝑎 (𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃) + 𝑏 (𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑐 ↔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Esto es,
𝑟=
𝑐
↔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 (2)
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃
En consecuencia, el grafico de la ecuación (1) es la recta de la pendiente m = a/b y que
corta al eje X en el punto (c/a, 0) y al eje Y en (0,c/b).
Como en casos particulares de la ecuación (1) tenemos las rectas verticales y horizontales.
En efecto:
a. Rectas Verticales. Si en la ecuacion (1) hacemos b=0 tenemos:
𝑟=
𝑐
Pero, 𝑟 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑐
1
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐
𝑐
↔𝑥=
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑎
𝑐
𝑐
= 𝑎 𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑠𝑖 𝑘 = 𝑎 , 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑟 = 𝑘 𝑠𝑒𝑐𝜃 ↔ 𝑥 = 𝑘.
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Esto es , 𝑟 = 𝑘 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑥 = 𝑘
b. Rectas Horizontales. En forma enteramente análoga, si en la ecuacion (1) hacemos
a=0 tenemos que:
r =k sec𝜃 es la recta horizontal y=k.
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Circunferencia
La ecuación general para una circunferencia con centro en ( 0, φ) y radio
es
En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo,
para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:8
Esta función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la
circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:
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Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia
que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del
gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su
gráfico es esta:
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LEMNISCATA
En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en
coordenadas polares:
La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a
. La curva se ha
convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo
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en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo
gráfico lo apreciamos a continuación:
Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido
horizontal:
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Finalmente se muestra un
gráfico
como
los
dos
anteriores,
donde aparece
una lemniscata, con la única diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:
CARDIOIDES
A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo
se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha.
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Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se
llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:
Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero
ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:
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LIMACONES O CARACOLES
Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió
Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo
dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar
tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en
coordenadas polares con la forma:
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r = 1 + b cos
Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra
un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este
gráfico es la siguiente:
Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo
interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:
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Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol
con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y
está dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual
apunta hacia la izquierda:
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Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia
la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que
está dirigido hacia la derecha:
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Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los
otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando
hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:
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ROSAS
DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
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Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma
una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:
ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de
la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su
forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:
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ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALO
El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal
como lo vemos en la siguiente función graficada
27
UNA ROSA DENTRO DE OTRA
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Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que
vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de
otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:
ESPIRALES
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Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más
simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una
espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo.
El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral
de Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y
matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio
profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las
espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo.
Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas
polares que formará la espiral polar siguiente:
Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada
por Fermat en 1936. Su ecuación es r² = a² +
. En el siguiente ejemplo se muestra una
función y su respectiva gráfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat:
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Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la función que veremos ahora, que podríamos
encontrarla con dos nombres refiriéndose al mismo gráfico. Ambos nombres equivalen a lo
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mismo como podremos apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral
son: espiral recíproca o espiral hiperbolica. Tendremos entonces:
Otro caso que se puede dar es la espiral logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente
función y su respectivo gráfico:
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CONCLUSIÓN
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En este trabajo pudimos observar, aprender y estudiar las formas y comportamientos de las
coordenadas polares.
Luego de haber visto todas las curvas polares presentadas a lo largo de esta investigación,
podemos darnos cuenta que hay muchas figuras que se forman en las coordenadas polares
que pueden ser identificadas y reconocidas por un nombre propio que las hace particulares.
El conocer las tendencias que una función determinada tiene en las coordenadas polares es
una gran ayuda previa que nos facilitará la graficación de las mismas. Aunque en la
actualidad se cuenta con importantes programas de computación que hacen las gráficas con
la simple acción de introducir la función que necesitamos, es totalmente necesario que
como estudiantes de Ingeniería conozcamos cómo se forman y de dónde nacen
matemáticamente cada una de estas figuras. Al graficar sobre papel sin la herramienta de
una calculadora graficadora y sin ningún programa que grafique funciones polares,
resultará obviamente más difícil y nos llevará más tiempo el crear estas figuras
gráficamente, pero si tenemos los conocimientos necesarios en cuanto a las forma de
encontrar los puntos y tenemos una idea previa de las tendencias que presentará el gráfico y
si es simétrico o no, seremos capaces de graficar sin complicaciones las funciones que se
nos presenten y los problemas que se nos pida desarrollar. En este trabajo se ha tratado
también de presentar más de un ejemplo de cada gráfico, de manera que no estemos
limitados a un solo caso, sino que veamos las diferentes formas que pueden apreciarse en
cada tipo de curva polar. Las explicaciones proporcionadas al inicio de cada gráfico sirven
para describir y dar una explicación general del nombre y forma que encontraremos en cada
gráfico, y en algunos casos también se da una reseña histórica del porqué del nombre del
gráfico así como también de la persona que lo descubrió.
Es de esta manera que se concluye este trabajo, esperando que sea provechoso y
de valor y utilidad.
BIBLIOGRAFÍA
34

Leithold, Louis. El Cálculo. Séptima Edición. Oxford University Press. 1994

Thomas, George. Cálculo Varias Variables. Undécima Edición. Pearson Addison
Wesley Educación. ©2005

Wikipedia, la enciclopedia libre.

http://es.wikipedia.org/wiki/Lemniscata

http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/matematicas/ arquimedes.htm

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0648- 02/esp_fermat.html

Saenz, Jorge. Calculo Diferencial. Segunda edición. Hipotenusa. 2009
INDICE
35
Titulo
N°
Portada…………………………………………………………………….…1
Introducción………..………………………………………………………..2
Coordenadas Polares………………………………………………………...3
Ubicación de puntos en las coordenadas polares………………………….…4
Transformación de Polares a Rectangulares y Viceversa…………………...6
Criterios de Simetría en las Coordenadas Polares……………………….…..9
Rectas………………………………………………………………………..11
Circunferencia………………………………………………………………..14
Lemniscata……………………………………………………………….…..16
Cardioides……………………………………………………………….…...18
Caracoles………………………………………………………………..…….20
Rosas…………………………………………………………………….……25
Espirales………………………………………………………………….......29
Conclusión……………………………………………………………………33
Bibliografía…………………………………………………………………...34
36
FIN
37