formato PDF - Universidad de Sevilla

Ampliación de Análisis Matemático
Modelos para el crecimiento de poblaciones:
Modelos predador-presa
Diplomatura en Estadı́stica
http://euler.us.es/~renato
R. Álvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla
Curso 2009/2010
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
El modelo logı́stico discreto
Este modelo tiene una versión discreta muy interesante
determinada por la ecuación
u(t + 1) = ru(t)(1 − u(t)),
r > 0,
y donde se asume que u0 ∈ (0, 1).
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
El modelo logı́stico discreto
Este modelo tiene una versión discreta muy interesante
determinada por la ecuación
u(t + 1) = ru(t)(1 − u(t)),
r > 0,
y donde se asume que u0 ∈ (0, 1).
r =2
u
0.5
u
r = 3,01
0.7
0.48
0.65
0.6
0.46
0.55
0.44
0.5
0.42
0.45
50
100
150
200
250
300
t
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
t
500 1000 1500 2000 2500 3000
Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
El modelo logı́stico discreto
Este modelo tiene una versión discreta muy interesante
determinada por la ecuación
u(t + 1) = ru(t)(1 − u(t)),
r > 0,
y donde se asume que u0 ∈ (0, 1).
u
r = 3,46
0.8
u
0.9
r = 3,56
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
t
500 1000 1500 2000 2500 3000
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t
500 1000 1500 2000 2500 3000
Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
El modelo logı́stico discreto
Este modelo tiene una versión discreta muy interesante
determinada por la ecuación
u(t + 1) = ru(t)(1 − u(t)),
r > 0,
y donde se asume que u0 ∈ (0, 1).
r = 3,6
u
0.9
0.8
r = 3,9
u
0
-0.5
0.7
-1
0.6
-1.5
0.5
-2
0.4
2000
4000
6000
t
8000 10000
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2000
4000
6000
t
8000 10000
Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
El modelo logı́stico discreto
Este modelo tiene una versión discreta muy interesante
determinada por la ecuación
u(t + 1) = ru(t)(1 − u(t)),
r > 0,
y donde se asume que u0 ∈ (0, 1). bifurcaciones y caos
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Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
Otros modelos
Los modelos discretos de poblaciones tienen la forma
ut+1 = f (u(t)) = u(t)F (u(t)),
donde f es una función no lineal.
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Otros modelos
Los modelos discretos de poblaciones tienen la forma
ut+1 = f (u(t)) = u(t)F (u(t)),
donde f es una función no lineal. Fenómeno de Jillson.
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Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
Otros modelos
Los modelos discretos de poblaciones tienen la forma
ut+1 = f (u(t)) = u(t)F (u(t)),
donde f es una función no lineal. Fenómeno de Jillson.
N(t)
N(t + 1) = rN(t) 1 −
, r > 0, , K (t) > 0.
K (t)
con K (t) = K (1 − a(−1)t ),
a ∈ (0, 1)
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Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
Otros modelos
Los modelos discretos de poblaciones tienen la forma
ut+1 = f (u(t)) = u(t)F (u(t)),
donde f es una función no lineal. Fenómeno de Jillson.
N(t)
N(t + 1) = rN(t) 1 −
, r > 0, , K (t) > 0.
K (t)
con K (t) = K (1 − a(−1)t ),
a ∈ (0, 1)
Otra opción es usar la ecuación de Beverton-Holt
N(t + 1) =
µK (t)N(t)
,
K (t) + (µ − 1)N(t)
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K (t) > 0.
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Otros modelos
Los modelos discretos de poblaciones tienen la forma
ut+1 = f (u(t)) = u(t)F (u(t)),
donde f es una función no lineal. Fenómeno de Jillson.
N(t)
N(t + 1) = rN(t) 1 −
, r > 0, , K (t) > 0.
K (t)
con K (t) = K (1 − a(−1)t ),
a ∈ (0, 1)
Otra opción es usar la ecuación de Beverton-Holt
N(t + 1) =
µK (t)N(t)
,
K (t) + (µ − 1)N(t)
K (t) > 0.
En general N(t + 1) = [F (t, x(t)) + T (t, x(t))]x(t)
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Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
Modelos matemáticos para el crecimiento de poblaciones
Vamos ahora a considerar el modelo de Lotka-Volterra para el
crecimiento de dos poblaciones siendo una la depredadora de la
otra.
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Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
Modelos matemáticos para el crecimiento de poblaciones
Vamos ahora a considerar el modelo de Lotka-Volterra para el
crecimiento de dos poblaciones siendo una la depredadora de la
otra.
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Modelos de Lotka-Volterra
Sea N la población de la presa y P la del depredador:
dN
= aN − bNP,
dt
dP
= cPN − dP,
dt
donde a, b, c, d son números positivos.
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Modelos de Lotka-Volterra
Sea N la población de la presa y P la del depredador:
dN
= aN − bNP,
dt
dP
= cPN − dP,
dt
donde a, b, c, d son números positivos.
◮ La población de las presas, si no hay depredador (b = 0), crece
exponencialmente.
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Modelos de Lotka-Volterra
Sea N la población de la presa y P la del depredador:
dN
= aN − bNP,
dt
dP
= cPN − dP,
dt
donde a, b, c, d son números positivos.
◮ La población de las presas, si no hay depredador (b = 0), crece
exponencialmente.
◮ El depredador corrige esta tendencia con el término −bPN.
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Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
Modelos de Lotka-Volterra
Sea N la población de la presa y P la del depredador:
dN
= aN − bNP,
dt
dP
= cPN − dP,
dt
donde a, b, c, d son números positivos.
◮ La población de las presas, si no hay depredador (b = 0), crece
exponencialmente.
◮ El depredador corrige esta tendencia con el término −bPN.
◮ Si no hay presas (c = 0) la población del depredador disminuye
exponencialmente.
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Modelos de Lotka-Volterra
Sea N la población de la presa y P la del depredador:
dN
= aN − bNP,
dt
dP
= cPN − dP,
dt
donde a, b, c, d son números positivos.
◮ La población de las presas, si no hay depredador (b = 0), crece
exponencialmente.
◮ El depredador corrige esta tendencia con el término −bPN.
◮ Si no hay presas (c = 0) la población del depredador disminuye
exponencialmente.
◮ Las presas corrigen esta tendencia con el término +cPN.
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Modelos de Lotka-Volterra
Hagamos el cambio
u=
c
N,
d
v=
b
P,
a
τ = at,
α=
d
a
⇛
du
= u(1 − v ),
dτ
dv
= αv (u − 1).
dτ
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Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
Modelos de Lotka-Volterra
Hagamos el cambio
u=
c
N,
d
v=
b
P,
a
τ = at,
α=
d
a
⇛
du
= u(1 − v ),
dτ
dv
= αv (u − 1).
dτ
De lo anterior se sigue que
du
v (u − 1)
=α
dv
u(1 − v )
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Modelos de Lotka-Volterra
Hagamos el cambio
u=
c
N,
d
v=
b
P,
a
τ = at,
α=
d
a
⇛
du
= u(1 − v ),
dτ
dv
= αv (u − 1).
dτ
De lo anterior se sigue que
du
v (u − 1)
=α
dv
u(1 − v )
Cuya solución es: αu + v − log u α v = const.
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Modelos de Lotka-Volterra
Si H > 1 + α (que es el mı́nimo de H que se alcanza para
u = v = 1), entonces las trayectorias definidas por
αu + v − log u α v = const. son cerradas lo que implica que u y v
son funciones periódicas.
6
H1=1.6
H2=2.0
H3=2.3
H4=2.5
H5=3.0
H6=3.5
5
v
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
u
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Modelos de Lotka-Volterra
Si H > 1 + α (que es el mı́nimo de H que se alcanza para
u = v = 1), entonces las trayectorias definidas por
αu + v − log u α v = const. son cerradas lo que implica que u y v
son funciones periódicas.
4
u
v
3.5
3
u,v
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
t
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Ampliación de Análisis Matemático [4mm] Modelos para el crec
Modelos de Lotka-Volterra
Nótese que de las EDOs
du
= u(1 − v ),
dτ
dv
= αv (u − 1).
dt
se sigue que u = v = 0 y u = v = 1 son soluciones estacionarias.
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Modelos de Lotka-Volterra
Nótese que de las EDOs
du
= u(1 − v ),
dτ
dv
= αv (u − 1).
dt
se sigue que u = v = 0 y u = v = 1 son soluciones estacionarias.
Se puede probar que en el primer caso la solución estacionaria es
inestable mientras que en el segundo es estable. Para ello notemos
que si escojemos una solución muy cercana a u = v = 0 entonces
du
= u(1 − v ) ≈ u,
dτ
⇛
dv
= αv (u − 1) ≈ −αv .
dτ
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u
v
′
=
1 0
0 −α
u
v
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Modelos de Lotka-Volterra
La solución es
u
1
0
t
−αt
= c1 e
+ c2 e
v
0
1
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Modelos de Lotka-Volterra
La solución es
u
1
0
t→∞
t
−αt
= c1 e
+ c2 e
→ ∞
v
0
1
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Modelos de Lotka-Volterra
La solución es
u
1
0
t→∞
t
−αt
= c1 e
+ c2 e
→ ∞
v
0
1
Escojamos ahora una solución muy cercana a u = 1 y v = 1, i.e.,
u = 1 + x y v = 1 + y . Entonces
dx
du
= u(1 − v )
= −y (1 + x)
dτ
dτ
⇛
dv
dy
= αv (u − 1)
= αx(1 + y )
dτ
dτ
que es aproximadamente igual al sistema
′ 0 1
x
x
=
⇛
−α 0
y
y
√
√
sin( αt)
x
cos( αt)
√
√
√
+ c2 √
= c1
− α sin( αt)
α cos( αt)
y
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Modelos de Lotka-Volterra
La solución es
u
1
0
t→∞
t
−αt
= c1 e
+ c2 e
→ ∞
v
0
1
Escojamos ahora una solución muy cercana a u = 1 y v = 1, i.e.,
u = 1 + x y v = 1 + y . Entonces
dx
du
= u(1 − v )
= −y (1 + x)
dτ
dτ
⇛
dv
dy
= αv (u − 1)
= αx(1 + y )
dτ
dτ
que es aproximadamente igual al sistema
′ 0 1
x
x
=
⇛
−α 0
y
y
√
√
sin( αt)
x
cos( αt)
t→∞
√
√
√
9 ∞
+ c2 √
= c1
− α sin( αt)
α cos( αt)
y
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