Controladores PID

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de la Defensa
UNEFA-8TEL02D
Ingeniería de Telecomunicaciones
Teoría de Control
Proyecto: Controladores PID
Caracas, Agosto de 2007
Introducción
En el amplio mundo de los procesos modernos de control, es de
vital importancia el uso de los llamados compensadores o
controladores para obtener una respuesta sistemática deseada.
Existen diversas formas de compensar un sistema determinado,
pero un método normalizado para la obtención de resultados fieles
es el llamado sistema de compensación PID.
El presente proyecto se realiza como un esfuerzo monográfico,
informativo y educativo que intenta exponer las variables en el
control de sistemas con controladores PID. Se realiza un énfasis en
la importancia, bondades y méritos del control de procesos con el
método proporcional-integrativo-derivativo, los términos y
expresiones matemáticas de cada uno de sus componentes (P, I,
D), los efectos de control que causan sobre distintas variables, bien
sea individualmente o combinados.
Se realiza un estudio matemático manual y simulado de cierto
sistema propuesto, para hallarle la compensación adecuada,
limitantes, variación de parámetros de control y finalmente su
respuesta, dadas ciertas condiciones de respuesta deseadas.
Glosario
 Ganancia: Es una magnitud que expresa la relación entre una
señal de salida, con respecto a la señal de entrada.
 Sobre elongación: Es el máximo valor de pico de la curva de
respuesta.
 Resonancia: Es el fenómeno que se produce al coincidir la
frecuencia de un sistema con la frecuencia de una excitación
externa.
 Estabilidad: Se dice que un sistema es estable si se mantiene en
estacionario, es decir, igual con respecto al tiempo y una
modificación razonablemente pequeña de las condiciones
iniciales no altera significativamente el futuro de la situación.
 Inestabilidad: Es cuando al variar unas de las características o
condiciones del sistemas, hace que varíe considerablemente sus
condiciones finales con respecto al tiempo.
 Compensador o controlador: Es un dispositivo que se inserta
antes de la función de transferencia de un sistema con el fin de
modificar la respuesta o la salida del mismo.
 Error Estacionario: Es el grado de inexactitud o equivocación que
tiene un sistema una vez transcurrido un tiempo considerado.
 Escalón Unitario: Es una función continua cuyo valor es 0 para
cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento
positivo: u(x)=0: x<0. u(x)=1: x>0.
Parámetros o especificaciones en el dominio del tiempo
 Tiempo de subida : corresponde al tiempo que toma el
sistema en alcanzar la vecindad del nivel de estado estable.
 Tiempo de retardo td: es el tiempo requerido para que la
respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final.
 Tiempo Pico tp: tiempo pico es el tiempo requerido para que
la respuesta alcance el primer pico de sobre elongación.
 Tiempo de establecimiento : es el tiempo para que el
sistema alcance el estado estable. Es decir, es el tiempo que
se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango
alrededor del valor final del tamaño especificado por el
porcentaje absoluto del valor final.
 Sobre elongación Mp: es el valor pico de la oscilación sobre
el nivel de estado estable. Es decir, es el máxima valor del
pico de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad.
La cantidad de sobre elongación máxima indica de manera
directa la estabilidad relativa del sistema.
Estas especificaciones en el dominio del tiempo que se han
suministrado son muy importantes, debido a que casi todos los
sistemas de control existente dependen de una variable
importante como lo es el tiempo. Es decir, los sistemas deben
presentar respuesta en un tiempo determinado razonable.
El compensador PID
Un compensador o controlador proporcional-integrativoderivativo es un mecanismo genérico de control en lazo cerrado
ampliamente usado en los sistemas de control industriales. Un
compensador PID intenta corregir el error entre una variable de
proceso medida, y un punto deseado de control, calculando y
realizando una acción correctiva que pueda ajustar el proceso
adecuadamente.
El algoritmo de cálculo de un PID, incluye tres parámetros
separados: Los valores Proporcional, Integrativo y Derivativo. El
valor proporcional determina la respuesta al error actual. El valor
integrativo determina la reacción basada en la suma de los errores
recientes y el valor derivativo determina la reacción a la cantidad
con la que el error ha venido cambiando. La suma de estas tres
acciones puede ser conectada a la salida de un elemento de control
como, por ejemplo la posición de una válvula sobre un elemento de
calor.
Calibrando las tres constantes en el algoritmo de control PID, se
puede proveer una acción de control diseñada para requerimientos
específicos de procesos. La respuesta del controlador o
compensador puede ser descrita en términos de la capacidad de
respuesta del compensador frente a un error, sobre impulso del
punto deseado, el grado en el cual el compensador manipula la
entrada y la cantidad de oscilación del sistema. Se debe notar que
el uso del algoritmo de control PID no garantiza un control óptimo
de un sistema.
Algunas aplicaciones pueden requerir el uso de solo uno o dos
modos para proveer el sistema de control apropiado. Esto se logra
fijando la ganancia de las salidas indeseadas a cero. Un controlador
PID puede ser llamado controlador PI, PD, P o I en la ausencia de la
acción de control respectiva. Los controladores PI son
particularmente comunes, pues la acción derivativa es muy
sensible al ruido de medición, y la ausencia de un valor integral
evita que el sistema alcance su valor objetivo debido a la acción de
control.
Diagrama de bloques de un compensador PID.
Principios de lazo de control
El propósito de un lazo de control es el de automatizar el tipo de
acciones que una persona hace, por ejemplo, para mantener su
regadora de agua en una temperatura ideal. Para simplicidad, se
asume que la manilla de agua fría está diseñada para que el flujo
de agua sea constante. La persona debe sentir el agua para estimar
su temperatura. Basado en esta medida, la persona realizará una
acción de control: Usar la manilla de agua caliente para ajustar el
proceso. La persona puede repetir este lazo de control de salidaentrada, ajustando el flujo de agua caliente hasta que la
temperatura se estabilice al nivel deseado. En realidad, cuando
ajustamos las manillas de agua caliente y fría, estamos actuando
como dos lazos PID interactivos.
Como la temperatura está siendo medida, la llamaremos variable
de proceso (PV). La temperatura deseada es llamada punto
deseado, de referencia, o setpoint (SP). La salida desde el
controlador la entrada al proceso es llamada variable manipulada
(MV). La diferencia entre la medida y el punto deseado es el error
(e), muy caliente o muy frio, y qué tanto.
Como controlador, uno decide que tanto cambiar la posición de la
manilla (MV) luego de determinar la temperatura (PV), y por
consiguiente el error. Esta primera estimación es el equivalente a la
acción proporcional del controlador PID. La acción integral del
controlador PID se puede pensar como el ajuste gradual de la
temperatura cuando está casi en el punto deseado. La acción
derivativa se realiza haciendo cambios más pequeños cada vez,
mientras nos acercamos a la temperatura correcta, y
deteniéndonos una vez que la alcanzamos, en vez de seguir muy
lejos.
Realizar un cambio muy grande cuando el error es pequeño es
equivalente a un controlador de alta ganancia, y llevará al sobre
impulso. Si el controlador hiciese cambios repetidos muy amplios,
pudiese ser catalogado como inestable y la salida oscilará alrededor
del punto deseado (SP) bien sea en una constante o una sinusoide.
Un humano no haría esto, pues somos controladores adaptables,
que aprendemos del historial de procesos, pero los controladores
PID no tienen la habilidad para aprender, y deben ser ajustados
correctamente. La elección de la correcta ganancia para controlar
efectivamente el sistema es lo que se conoce como “ajustar el
controlador”
Si un controlador comienza de un estado estable con error cero (PV
= SP), entonces los cambios adicionales del controlador serán en
respuesta en otras entradas medidas o no medidas del proceso,
que impactan en el mismo y por consiguiente, en la variable de
proceso. Las variables que impactan en el proceso aparte de la
variable medida, son conocidas como distorsiones, y generalmente,
los controladores están diseñados para rechazar las distorsiones o
implementar cambios de entrada. Un cambio en la temperatura de
alimentación del agua (es decir, del agua que ingresa a la tubería)
constituiría una distorsión o perturbación del proceso.
Un lazo de control trabaja de la siguiente forma:
 Medición de la variable de proceso (PV) por un sensor.
 Comparación del PV con una entrada para generar el error.
 Cálculo de la acción de control basado en el error y los
parámetros de ajuste PID
 Las salidas de la acción de control a través de la variable
manipulada (MV), como una válvula.
 El proceso responde a la variable manipulada (MV),
cambiando la variable de proceso medida. Regreso al paso1.
En teoría, un controlador puede ser usado para controlar cualquier
proceso con una salida medible (PV), un valor ideal de salida
conocido (SP) y una entrada al proceso (MV) que afecte al PV. Los
controladores se usan en la industria para regular temperatura,
presión, flujo, composiciones químicas, niveles en tanques,
velocidad y prácticamente cualquier otra variable que pueda ser
medida. El control de velocidad de los automóviles es un ejemplo
de un proceso no industrial que utiliza control automatizado.
El concepto de todo lazo de control: Es una
realimentación negativa, porque el valor medido de
la salida es sustraído para calcular el error, el cual
luego se corrige con un compensador.
Debido a su larga historia, simplicidad, teoría bien fundamentada,
simple ejecución y requerimientos de mantenimiento, los PID con
los controladores elegidos para estas aplicaciones.
Teoría del controlador PID
El controlador PID tiene su nombre en honor a sus tres términos
correctivos, cuya suma constituye la salida. Así:
𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎(𝑡) = 𝑃𝑜𝑢𝑡 + 𝐼𝑜𝑢𝑡 + 𝐷𝑜𝑢𝑡
Donde Pout, Iout, y Dout son las contribuciones a la salida del
controlador PID para cada uno de los tres términos, descritos a
continuación.
Término Proporcional
El término proporcional realiza un cambio a la salida que es
proporcional al error presente del sistema. La respuesta
proporcional puede ser ajustada multiplicando el error por una
constante Kp llamada ganancia proporcional. El término
proporcional está dado por:
𝑃𝑜𝑢𝑡 = 𝐾𝑝𝑜𝑢𝑡 𝜀(𝑡)
Donde:




Pout: Salida proporcional
Kp: Ganancia Proporcional
𝜀: Error=SP-PV
𝑡: Tiempo
Una ganancia proporcional alta resulta en un gran cambio en la
salida para un cambio dado en el error. Si la ganancia proporcional
en muy grande, el sistema se puede volver inestable. En contraste,
una pequeña ganancia resulta en una respuesta a la salida pequeña
para un error de entrada grande, y un controlador menos sensitivo.
Si la ganancia proporcional es muy pequeña, la acción de control
puede ser muy pequeña en respuesta a las perturbaciones del
sistema.
En ausencia de perturbaciones, un control proporcional puro no
se fijará en su valor objetivo, sino que se moverá en dirección del
punto deseado (SP), pero retendrá un pequeño error que es una
función de la ganancia proporcional y la ganancia del proceso.
Término Integral
La contribución del término integral es proporcional a ambos, la
magnitud y la duración del error. Sumando el error instantáneo, se
crea el desfase acumulado que debe haber sido corregido
previamente. El error acumulado es entonces multiplicado por la
ganancia integral y añadida a la salida del controlador.
La magnitud de la contribución del término integral a la acción de
control general es determinada por la ganancia integral, Ki. El
término integral esta dado por:
𝑡
𝐼𝑜𝑢𝑡 = 𝐾𝑖 ∫ 𝜀(𝜏)𝑑𝜏
0
Donde:




Iout: Salida Integral.
Ki: Ganancia Integral.
𝜀: Error=SP-PV.
T: Tiempo.
El término integral (cuando se añade al término proporcional)
acelera el movimiento del proceso en dirección al punto deseado
(SP) y elimina el error en estado estacionario residual que ocurre
con un controlador solamente proporcional. Como sea, como el
término integral responde a errores acumulados del pasado, puede
causar que el valor presente un sobre impulso respecto al valor
deseado (SP).
Termino Derivativo
El rango de cambio del proceso de error es calculado
determinando la pendiente del error sobre el tiempo. (Su primera
derivada con respecto al tiempo) y multiplicando esta magnitud de
cambio por la ganancia derivativa Kd. La magnitud de la
contribución del término derivativo a la acción de control promedio
es determinada por la ganancia derivativa Kd. El término derivativo
está dado por:
𝐷𝑜𝑢𝑡 = 𝐾𝑑
𝑑𝑒
𝑑𝑡
Donde:




Dout: Salida derivativa
Kd: Ganancia derivativa
ε: Error=SP-PV
t: Tiempo instantáneo
El término derivativo disminuye el nivel de cambio de la salida del
controlador y este efecto es más notable cerca del punto deseado
del controlador. El control derivativo se usa para reducir la
magnitud del sobre impulso producido por el componente integral
y mejorar la estabilidad combinada controlador-proceso. Como
sea, la diferenciación de señales amplifica el ruido en la señal y
como este término del controlador es muy sensible al ruido en el
error, puede causar que un término se vuelva inestable si el ruido y
la ganancia derivativa son lo suficientemente altos.
La salida de los tres términos, el proporcional, el integral y el
derivativo se suman para calcular la salida del controlador PID
Sumatoria de los Términos
Definiendo u(t) como la salida del controlador, la forma final del
algoritmo PID es:
𝑡
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝 𝑒(𝑡) + 𝐾𝑖 ∫ 𝑒 (𝜏)𝑑𝜏 + 𝐾𝑑
0
𝑑𝑒
𝑑𝑡
Donde los parámetros de ajuste son:
 Kp: Ganancia Proporcional - Una Kp grande significa una
respuesta rápida, pues a mayor el erro, mayor la
realimentación para compensar. Un Kp excesivamente
grande lleva a la inestabilidad del proceso.
 Ki: Ganancia Integral - Un Ki grande implica que los errores
de estado estacionario son eliminados rápidamente. El
sacrificio es mayor sobre impulso. Cualquier error negativo
integrado durante la respuesta transitoria debe ser integrado
por el error positivo antes de alcanzar el estado estacionario.
 Kd: Ganancia Derivativa – A mayor Kd, menor sobre impulso,
pero menor respuesta transitoria, pudiendo llevar a
inestabilidad.
Ajuste o Sintonización de lazo cerrado
Si los parámetros del controlador PID (Las diversas ganancias) son
elegidas incorrectamente, la entrada del proceso controlado puede
ser inestable, la salida divergir, con o sin oscilación y será limitado
solo por la saturación o la paralización mecánica. El ajuste de un
lazo de control es la variación de sus parámetros de control
(ganancia/banda proporcional, ganancia integral/reset, ganancia
derivativa/rango) a los valores óptimos para la respuesta deseada.
El comportamiento óptimo en un cambio de proceso o punto
deseado varía dependiendo de la aplicación. Algunos procesos no
pueden permitir una saturación o sobre impulso de la variable de
proceso más allá del punto deseado si por ejemplo, es inseguro.
Otros procesos deben minimizar la energía gastada en alcanzar un
nuevo punto deseado.
Generalmente, la estabilidad de respuesta (Lo opuesto de la
inestabilidad) es requerida y el proceso no debe oscilar para
ninguna combinación de condiciones o puntos deseados. Algunos
otros procesos tienen un grado de no linealidad y parámetros que
trabajan bien en condiciones de carga completa y que al contrario
no trabajan comenzando sin carga. Intentaremos describir a
continuación algunos métodos de ajuste manual tradicionales.
Existen muchos métodos para ajustar un lazo PID. Los métodos
más efectivos generalmente involucran el desarrollo de algunas
formas de modelación de procesos y entonces escoger un término
P, I o D basado en los parámetros de modelo dinámicos. El ajuste
manual “a ojo”, han sido comprobados una y otra vez como
ineficientes, no certeros y siempre peligrosos.
La elección de un método dependerá en gran parte en si se puede
o no extraer el lazo para el ajuste, y el tiempo de respuesta del
sistema. Si el sistema puede ser extraído, el mejor método siempre
incluye someter al sistema a un cambio escalón en la entrada,
midiendo la salida como una función del tiempo, y usando esta
respuesta para determinar los parámetros de control.
Si el sistema debe permanecer en línea, un método de ajuste es
fijar los valores derivativos e integrativos a cero. Incrementando la
proporcional para que la salida del lazo oscile, entonces el término
proporcional debe dejarse fijo a aproximadamente la mitad de ese
valor para una respuesta de “cuarto de amplitud de caída”.
Entonces se incrementa la parte integrativa hasta corregir
cualquier desfase en el tiempo suficiente para el proceso, pero
considerando que mucha componente integral causará
inestabilidad. Finalmente, incrementar la componente derivativa si
es requerida, hasta que el lazo es aceptablemente rápido para
alcanzar su referencia luego de una perturbación en la carga, pero
considerando que mucha componente derivativa ocasionará una
respuesta excesiva y por ende, sobre impulso. Un ajuste PID rápido
generalmente se sobre impulsa para alcanzar el punto deseado
rápidamente, pero algunos sistemas no pueden aceptar sobre
impulsos, en cuyo caso se requiere un ajuste “crítico” que consiste
en ajustar la proporcional a menos de su valor medio, causando
oscilaciones.
Elección de un Método de Ajuste o Sintonización
Método
Ventajas
Desventajas
Ziegler-Nichols
Es un método probado.
Permite la implementación
directa.
Algo de ensayo y error.
Ajuste muy agresivo.
“Al ojo”
No se requieren cálculos.
Puede ser implementado
directamente.
Es errático e imposible
de repetir.
Herramientas
Computarizadas
Implementación directa o
indirecta. Puede incluir
análisis con sensores.
Permite la simulación
antes
de
la
implementación.
Implica algo de costo y
entrenamiento
Buenos
modelos
procesos.
Necesita
poder de
cálculo,
solo
tiene
implementación
indirecta. Solo bueno
para procesos de primer
orden.
Cohen-Coon
de
Efectos de Incrementar los Parámetros
Parámetro Tiempo Subida Sobre impulso Tiempo Estabilización Error Edo Estacionario
P (Kp)
Disminuye
Incrementa
Cambio Leve
Disminuye
I (Ki)
Disminuye
Incrementa
Incrementa
Lo Elimina
D (Kd)
Cambio Leve
Disminuye
Disminuye
Ninguno
*Se considera que el efecto sobre el tiempo de subida es
proporcional al que sufre el tiempo de retardo, por lo que no se
considera este último para la tabla.
Tomando en cuenta los efectos de los controladores P, I, D,
podemos realizar una tabla comparativa para las diferentes
uniones de estos componentes.
Parámetros
Tiempo
subida
Sobre
impulso
Tiempo de
estabilización
Error
Estacionario
PI (Kp+ Ki)
Disminuye
Incrementa
Se incrementa
levemente
Casi lo
elimina
Se reduce
levemente
Es casi nulo
Disminuye en
una
proporción
pequeña
Lo aproxima
a un valor
mínimo.
Disminuye
Oscila en
un
pequeño
rango
No varía
mucho
Es un valor
muy
pequeño
PD (Kp+ Kd)
PID (Kp+ Ki
+ Kd)
Método Ziegler-Nichols
Otro método de ajuste es conocido como el método de ZieglerNichols, creado por John Ziegler y Nathaniel Nichols. Como en el
método anterior, los términos derivativo e integral son los
primeros en llevar a cero. La ganancia proporcional es
incrementada hasta que alcanza la ganancia crítica en la cual la
salida del lazo comienza a oscilar. Kc y el periodo de oscilación son
usados para establecer las ganancias de la siguiente manera:
Método Ziegler-Nichols
Tipo de Control
Kp
Ki
Kd
P
0.5·Kc
-
-
PI
0.45·Kc
1.2Kp / Pc
-
PID
0.6·Kc
2Kp / Pc
KpPc / 8
Software de Computadoras
Las instalaciones industriales modernas ya no realizan ajustes
manuales, en cambio, los ajustes de PID y la optimización de lazo
cerrado se realizan con poderosos programas computacionales.
Estos paquetes de software pueden recolectar datos, crear
modelos de procesos, y sugerir ajustes óptimos. Algunos software
pueden incluso crear ajustes reuniendo datos desde cambios
referenciales.
El ajuste matemático induce un impulso al sistema, entonces usa la
respuesta controlada de frecuencia del sistema para diseñar los
valores del PID. En lazos con tiempos de respuesta de algunos
minutos, se recomienda el ajuste matemático, pues el ensayo y
error puede tomar días en simplemente hallar un conjunto de
valores estables. Los valores óptimos son incluso más difíciles de
hallar. Algunos controladores PID digitales ofrecen una función
autoajustable en el cual los pequeños cambio en el punto deseado
(SP) son enviados al proceso, permitiendo al controlador calcular
los valores óptimos por sí mismo.
Existen otras fórmulas para encontrar estos valores óptimos
matemáticamente de acuerdo a los criterios de desempeño.
*Existen otros métodos adicionales de ajuste de un compensador
PID, los cuales no se explican por no ser utilizados en el presente.
Modificaciones al Algoritmo del PID
El algoritmo matemático correcto del PID representa un reto en
aplicaciones de control que han sido generadas por modificaciones
menores a la forma del PID.
Un problema común resultante de las implementaciones ideales
del PID es el sobre impulso del modo integral. Esto se puede
generar por:
 Inicializar el controlador integral en un valor deseado,
generalmente el valor presente para problemas de inicio.
 Deshabilitar la función integral hasta que el valor presente
haya entrado a la región controlable.
 Limitar el periodo de tiempo sobre el cual se calcula el error
integral.
 Evitando que el término integral se acumule sobre o debajo
de límites predeterminados.
Muchos PID controlan un dispositivo mecánico (Una válvula, por
ejemplo). El mantenimiento de equipos mecánicos puede ser un
amplio costo, y su uso conlleva a la degradación del control dado
en relación a la respuesta a una señal de entrada. La cantidad de
desgaste mecánico es casi siempre una función de con qué
frecuencia un dispositivo es activado para realizar un cambio.
Como el desgaste es una preocupación importante, los PID pueden
tener una banda muerta a la salida para reducir la frecuencia de
activación de la salida (Válvula).
Los términos proporcionales y diferenciales pueden producir
movimiento excesivo en la salida cuando un sistema está sujeto a
un incremento escalón instantáneo en el error, como un gran
cambio en el punto deseado (SP). En el caso del término derivativo,
esto se debe a la derivada del error, el cual es muy grande para el
caso de un cambio escalón instantáneo. Como resultado, algunos
algoritmos PID incorporan las siguientes modificaciones:
 Derivación de la salida: En este caso el controlador mide el
diferencial de la salida en vez de la derivada del error. La
salida siempre será continua (Sin cambio escalón). Para que
esto sea efectivo, la derivada de la salida debe tener el
mismo signo que la derivada del error.
 “Enrampado” del punto deseado: En esta modificación, el
punto deseado se mueve gradualmente desde su viejo valor
a uno nuevo usando una función escalón lineal o de primer
orden. Esto evita la discontinuidad presente en un cambio
del escalón.
 “Sobrepeso” del punto deseado: Esta modificación usa
diferentes multiplicadores de error dependiendo de cual
elemento del controlador está siendo usado. El error en el
término integral debe ser el error verdadero de control para
evitar errores de estado estacionario. Esto afecta la
respuesta del punto deseado, pero no la respuesta a las
distorsiones de carga y ruido de medida.
Limitaciones del control PID
Mientras los controladores PID son aplicables a muchos problemas de
control, pueden desempeñarse pobremente en algunas aplicaciones.
Los controladores PID, cuando se usan solos, pueden dar pobre
desempeño cuando las ganancias de lazo deben ser reducidas para que
el sistema de control no sature (sobre impulse) u oscile alrededor del
valor deseado. El desempeño del sistema de control puede ser
mejorado combinando la funcionabilidad PID con la de la del control de
retroalimentación, como se enseña en la teoría de control moderna.
Cualquier información o inteligencia derivada del estado del sistema
puede ser combinado con la salida del PID para mejorar el desempeño
general del sistema.
El valor de realimentación solamente puede proveer una gran porción
de la salida de control. El PID puede ser usado para responder a
cualquier diferencia o error remanente entre el punto deseado y el valor
de realimentación. Como la salida de realimentación no es una función
del proceso, nunca causará que el sistema oscile, mejorando la
respuesta y estabilidad del sistema.
Por ejemplo, en la mayoría de los sistemas de control, para acelerar una
carga mecánica bajo control, se requiere más fuerza o torque del motor
o actuador. Si un controlador PID de velocidad se usa para controlar la
velocidad de la carga y comandar el torque aplicado por el motor,
entonces es beneficioso tomar la aceleración instantánea para la carga,
configurar ese valor apropiadamente y añadirlo a la salida del PID e
velocidad
Esto significa que sin importar si la carga se acelera o desacelera, una
cantidad proporcional de fuerza es comandada desde el motor sin
importar el valor de realimentación. El PID en este caso usa información
de la realimentación para afectar cualquier incremento o disminución
de la salida combinada para reducir la diferencia entre el valor deseado
y el valor de realimentación. Trabajando juntos, pueden proveer
sistemas de control más responsables, estables e inteligentes.
Otro problema de los PID es que son lineales, aunque el desempeño de
los mismos en sistemas no lineales es variable. A veces, se mejoran los
PID a través de métodos como la programación de ganancias.
Un problema del término diferencial es que pequeñas cantidades de
medidas o ruido pueden causar grandes cambios en la salida. A veces es
de ayuda el filtrar las mediciones con un filtro pasa bajo. Como el filtraje
de paso bajo y el control derivativo se cancelan el uno con el otro,
reducir el ruido por métodos de instrumentación es una mejor opción.
Alternativamente, la banda diferencial puede apagarse en la mayoría de
los sistemas con poca pérdida de control. Esto es equivalente a usar un
controlador PID cono uno PI.
Implementación física del control PID
En el principio del proceso de control automatizado, el controlador PID
era implementado como un dispositivo mecánico. Éstos controladores
usaban un nivelador y una masa y casi siempre eran energizados por
aire comprimido. Estos controladores neumáticos fueron alguna vez el
estándar industrial.
Controladores eléctricos pueden ser hechos de un amplificador de tubo,
un capacitor o una resistencia. Los controladores PID electrónicos eran
encontrados en sistemas electrónicos de mayor complejidad cada vez.
Por ejemplo, el sistema de posicionamiento de una unidad de disco o el
circuito de detección de movimiento de un sismómetro moderno. Hoy
día, estos controladores son micro-controladores o chips integrados.
Los controladores PID más modernos son implementados en software
en los llamados PLC, o controladores lógicos programables. Las
implementaciones de software tienen las ventajas de ser baratas,
confiables y flexibles con respecto a la implementación del algoritmo dl
PID.
Simulación con Matlab.
Para realizar la simulación requerida para un mejor análisis y
compresión de resultados, se ha decidido utilizar la herramienta del
paquete matemático Matlab llamada Simulink. Esta extensión es un
simulador con entorno gráfico que facilita la construcción, ejecución y
obtención de resultados de una gran variedad de procesos de control
entre muchas otras aplicaciones.
La razón por la que se prefirió esta herramienta en lugar de los típicos
comandos de Matlab, es su gran capacidad didáctica y la simpleza al
momento de exponer los procedimientos y resultados obtenidos.
Procedimiento:
El simulador ofrece gran cantidad de piezas en forma de bloques que
representan diversas funciones. Para la simulación de nuestro proceso,
hemos requerido simplemente del bloque “Step”, que es una entrada
escalón con el cual mediremos la respuesta de nuestra función. Un
bloque “fcn transfer” que es nuestra función de transferencia, en este
caso:
1
1
1
𝐺𝑝(𝑠) =
= 2
= 2
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) 𝑆 + 2𝑠 + 3𝑠 + 2 𝑠 + 3𝑠 + 2
Y por último, requerimos de una “scope” o analizador, que es el visor de
la respuesta del sistema y(t).
Una vez montado, nuestro sistema original es:
La respuesta obtenida para nuestro sistema original fue:
De esta gráfica podemos ver que:





Ts=Tr=Tp≅ 5seg
Mp≅ 1%
Td= 1.2seg
Ess= 1% (Mínimo)
K=0.5
Entonces, para cumplir con los parámetros establecidos, debemos
mejorar el tiempo de subida en un 50%, esto es un valor máximo de
Ts=2.5seg. También se desea evitar que el máximo sobre impulso
exceda un 25% el valor original, esto significaría un valor de Mp=1.25.
Por último, se debe evitar un error en estado estacionario mayor al 10%
del valor original, esto es Ess=1.1%.
Cálculos para hallar el controlador:
Tenemos la función de transferencia de la planta:
𝐾𝑝
𝐺𝑝(𝑠) =
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
La función de transferencia del sistema retroalimentado es:
𝑇(𝑠) =
𝐺𝑝(𝑠)
1 + 𝐺𝑝(𝑠)𝐻(𝑠)
Donde H(s)=1.
Entonces:
𝐾𝑝
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝑇(𝑠) =
𝐾𝑝
1+
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝐾𝑝
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝑇(𝑠) =
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) + 𝐾𝑝
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝑇(𝑠) =
𝐾𝑝
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) + 𝐾𝑝
El valor de Kp que hace que al sistema marginalmente estable para
que ocurra oscilación sostenida, se obtiene mediante el criterio de
la estabilidad de Routh. Como la ecuación característica para el
sistema de lazo cerrado es:
𝑠 2 + 3𝑠 + 2 + 𝐾𝑝 = 0
Aplicando el método de Routh:
𝑠2
1
2 + 𝐾𝑝
𝑠1
3
𝑠0
2 + 𝐾𝑝
Entonces, despejamos el valor de Kp:
Por tanto:
2 + 𝐾𝑝 > 0;
𝐾𝑝 > −2
Sabiendo que 𝐾𝑝 = 𝐾𝑐𝑟
Donde Kcr= máximo punto crítico.
𝐾𝑐𝑟 = −2
Ahora igualamos la ecuación característica a cero:
𝑠 2 + 3𝑠 + 2 + 𝐾𝑝 = 0
Sustituyendo el valor de Kp, nos queda:
𝑠 2 + 3𝑠 + 2 − 2 = 0
𝑠 2 + 3𝑠 = 0
Sustituyendo 𝑠 por 𝑗𝑤:
𝑗𝜔2 + 3(𝑗𝜔) = 0
−𝜔2 + 3(𝑗𝜔) = 0
Entonces, 𝜔 = 0; 𝜔 = 3𝑗
Como 𝑤 nos dio imaginario utilizamos su modulo, 𝑤 = 3
2𝜋
𝜔
2𝜋
𝑃𝑐𝑟 =
3
𝑃𝑐𝑟 = 2,09
𝑃𝑐𝑟 =
Aplicando la fórmula de Ziegler-Nichols:
1
+ 𝑇𝑠 𝑠
𝑇𝑖(𝑠)
1
𝐺𝑐(𝑠) = 0,6𝐾𝑐𝑟 (1 +
+ 0,125𝑃𝑐𝑟 𝑠
0,5𝑃𝑐𝑟
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑝 (1 +
La cual nos arroja como resultado:
𝐺𝑐(𝑠) = 0,075𝐾𝑐𝑟 ∙ 𝑃𝑐𝑟
(𝑠 +
4 2
)
𝑃𝑐𝑟
𝑠
Donde 𝐾𝑐𝑟 =2 y 𝑃𝑐𝑟 = 2,09
Entonces el valor nuevo de 𝐺𝑐(𝑠):
0,313(𝑠 + 1,913)2
𝐺𝑐(𝑠) =
𝑠
𝑠 2 + 3,82𝑠 + 3,65
𝐺𝑐(𝑠) =
𝑠
0,313𝑠 2 + 1,19𝑠 + 1,14
𝐺𝑐(𝑠) =
𝑆 3 + 3𝑠 2 + 2𝑠
Luego de aplicar los Cálculos Pertinentes, tenemos que el
compensador es:
1
+ 𝑇𝑑. 𝑆)
𝑇𝑖. 𝑆
3.13(𝑆 + 1.913)2
𝐺𝑐(𝑠) =
𝑆
Luego, al multiplicarla por la planta, nos queda la función de
transferencia:
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑝 (1 +
3.13𝑆 2 + 11.95𝑆 + 11.42
𝐹𝑐𝑛(𝑠) =
𝑆 2 + 3𝑆 + 2
Al realizar los cálculos correspondientes con simulink, tenemos:
Para lo cual nos da la salida compensada mostrada a continuación:
Si hacemos el estudio de la gráfica, vemos que:
 Ts≅2seg
 Mp≅1.1
 Ess≅1%
Como podemos comprobar, logramos mejorar el tiempo de subida
sin obtener un sobre impulso muy grande. Ambos parámetros
están dentro del valor deseado como condiciones establecidas. Por
último, el error en estado estacionario sigue siendo casi idóneo, es
decir nulo.
Como conclusión, podemos mencionar que hemos creado un
compensador PID estable y confiable.
Conclusiones y Análisis de Resultados
A lo largo del presente proyecto, se han expuesto las diferentes
bondades que ofrecen los compensadores PID al momento de controlar
la respuesta de determinado sistema, considerando las diferentes
variaciones de implementación de acuerdo a las diferentes acciones de
control deseadas.
Se analizaron las diferentes combinaciones entre los componentes del
control PID, haciendo énfasis en sus ventajas y desventajas en la
aplicación sobre la respuesta transitoria. Esto se puede ver como
referencia rápida en la tabla comparativa.
Al momento de aplicar el método de control de Ziegler-Nichols,
podemos verificar estas variaciones, comenzando por la que genera
sobre la salida la ganancia proporcional, para diferentes magnitudes,
incluyendo el punto de desestabilidad. Luego, se verifica la acción de
control del término derivativo, donde se ve el amortiguamiento de la
respuesta, evitando el sobre impulso. Por último, podemos ver que el
término integral nos proporciona una mejora estacionaria, pero a costa
de un sobre impulso inicial.
Por último, pudimos comprobar la eficacia e importancia del control
moderno en las aplicaciones técnicas e industriales.