Guia practicos 2015

Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
[2015]
BIOESTADISTICA
Para Ciencias Veterinarias. UNCPBA
Parte Práctica Guía de ejercicios.
Hojas de fórmulas y tablas
E.M. Rodriguez, R. E. Cepeda, J.A. Passucci
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Carrera de Medicina Veterinaria: Cronograma 2015
20/8/2015 Teórico (9hs)
Práctico 1 y 2
27/8/2015 Teórico (9hs)
Práctico 3
3/9/2015 Teórico (9hs)
Práctico 4
10/9/2015 Teórico (9hs)
Práctico 5
Introducción. Medidas de Tendencia central y de dispersión
Com A=12 hs Com B=14 hs
Tasas e Índices.
Com A=12 hs Com B=14 hs
Probabilidades. Modelos probabilísticos, parte 1
Com A=12 hs Com B=14 hs
Modelos probabilísticos, parte 2.
Com A=12 hs Com B=14 hs
17/9/2015 1er Parcial
Horario y aula a definir
24/9/2015 Rec. 1er parcial
Horario y aula a definir
1/10/2015 Teórico
Muestreo
Practico 6
8/10/2015 Teórico (9hs)
15/10/2015 Teórico 9 hs
Práctico 7
22/10/2015 Teórico (9hs)
Práctico 8
29/10/2015 Teórico (9hs)
Practico 9
5/11/2015 Teórico (9hs)
Práctico 10
Com A=12 hs Com B=14 hs
Olimpíadas
Inferencia Estadística
Com A=13 hs Com B=15 hs
Toma de decisión. "t" de Student. Test “z”.
Com A=12 hs Com B=14 hs
Chi cuadrado
Com A=12 hs Com B=14 hs
Regresión y correlación. ANOVA
Com A=12 hs Com B=14 hs
12/11/2015
Rec. de Prácticos y 2do Parcial
19/11/2015
Rec. 2do Parcial
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Trabajo Práctico Nº 1:
Resumen de datos: Medidas de Tendencia Central (MTC)
Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a la altura de 30 animales seleccionados de manera aleatoria de
un lote de vaquillonas:
Frecuencias
absolutas
Simple Acumulada
Variable
(Valor)
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
1.30
1
4
4
2
1
2
3
3
4
3
3
Frecuencias relativas
Simple
Acumulada
3.3%
13.3%
13.3%
6.6%
3.3%
6.6%
10.0%
10.0%
13.3%
10.0%
10.0%
3.3%
16.6%
30.0%
36.6%
40.0%
46.6%
56.6%
66.6%
80.0%
90.0%
100.0%
1
5
9
11
12
14
17
20
24
27
30 (total)
1- Calcular la media
n
x
x
i 1
n
i
fi

1,20  1,21.4  1,22.4  ......  1,30.3 37.6

 1.253
30
30
2-Calcular la mediana
a) Ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa).
1º
2º
3º
4º
5º
1.20 1.21 1.21 1.21 1.21


15º 16º
1.26 1.26


21º 22º 23º
1.28 1.28 1.28


30º
1.30
b) Calcular el orden de la mediana Mdº.
Mdº 
n  1 30  1

 15.5º
2
2
Ubicar el valor de la mediana, en este caso promedio entre el orden 15 y 16.
Md=
1.26  1.26
=1.26
2
Guía teórica.
1) Concepto y utilidad de las medidas de tendencia central.
2) Mencione las ventajas y desventajas de la media aritmética, mediana y de la moda.
3) Mencione las propiedades de la media aritmética.
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Ejercicios
1.1 Clasificar en cualitativas y cuantitativas las variables que intervienen en cada uno de los siguientes estudios.
1. Alimento favorito en un criadero de gatos.
2. Número de animales enfermos de brucelosis en los 50 establecimientos ganaderos mas importantes de
la pcia de Buenos Aires.
3. Tipo de manejo pastoril (pasturas implantadas y/o pastizales campos naturales) en varios
establecimientos agropecuarios.
4. Litros de leche producidos diariamente en un tambo.
5. Tiempo en horas de pastoreo del ganado ovino de un establecimiento.
6. Ganancia de peso de un lote de pollos parrilleros.
1.2 En los siguientes enunciados identificar las variables
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Número de animales vendidos diariamente a un frigorífico
Temperaturas registradas cada hora en una cámara.
Numero de lesiones que sufre un animal al ser transportado.
Cantidad de agua que consume un grupo de animales
Peso al destete de terneros
Edad, en meses de los cachorros de un criadero.
Número de colmenas por apiario en el partido de Tandil.
1.3 Los siguientes datos corresponden al número de vacas preñadas en 20 establecimientos de cría de la pcia.
de Buenos Aires.
150, 200, 150, 180, 220, 130, 130, 160, 150, 190, 180, 150, 160, 200, 160, 150, 180, 160, 140, 130.
a) ¿Qué tipo de variable es?
b) Construir la tabla de distribución de frecuencias y realizar un grafico acorde. Calcular la media, mediana y
moda.
1.4 En una veterinaria pequeña de la ciudad de Tandil se tomaron los siguientes datos, correspondientes al N°
de cachorros vacunados contra parvovirus, de cada sexo de los últimos 5 años.
Año
Machos Hembras
2010
32
43
2011
27
24
2012
29
32
2013
29
31
2014
31
31
a) Calcular la frecuencia relativa para los datos correspondientes a los machos y a las hembras.
b) Graficar los datos.
1.5 Calcular la media, mediana y moda en las siguientes distribuciones de frecuencias
xi (nro de lactancias)
1
2
3
4
5
xi (días de tratam)
61
64
67
70
73
fi (cantidad de animales)
10
12
7
7
3
fi
5
18
42
27
8
1.6 Los siguientes datos corresponden a observaciones realizadas sobre el % de grasa en la leche de 48 vacas
Jersey. La distribución se presenta por intervalos de clases:
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
% grasa
Nº de
vacas
3.4-3.6
3.6-3.8
3.8-4
4.0-4.2
5
15
20
8
a) Realizar el histograma y el polígono de frecuencia
b) ¿Qué porcentaje de vacas han dado grasa en leche entre 3,6 y 3.99?
1.7 Representar gráficamente la siguiente distribución de frecuencias y calcular e interpretar el promedio, si la
variable corresponde a los minutos que una serie de animales consumen un alimento.
X
0-10
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
60-70
Fi
22
26
92
86
74
27
12
1.8 Un veterinario observa el número de caries en 100 perros. La información se muestra en la siguiente tabla:
Nº de caries
0
1
2
3
4
Fi
25
20
X
Fir
0.25
0.2
Z
15
0.15
Y
0.05
a) Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z.
b) Hacer un gráfico acorde.
c) Calcular el número medio de caries por animal.
1.9 Completar los datos
la media, mediana y moda.
xi fi
1
4
2
4
3
4
5
6
7
8
Fi
que
faltan
en
la
sigu iente tabla
estadística .
Calcular
fir
0.08
16 0.16
7
5
7
0.14
28
38
45
1.10 El siguiente grafico corresponde al registro de razas ovinas de un lote de 120 animales. Hallar la
frecuencia observada y construir la tabla de frecuencias.
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
20%
55%
25%
Merino
Criollo
Correidale
1.11 A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los datos, el 4.47 y el 10.15. ¿Cuál es la media
del nuevo conjunto de números?
1.12 El histograma que sigue muestra la distribución correspondiente al peso de 100 perros adultos de
razas grandes
a) Construir la tabla de distribución de frecuencias.
b) Si Sancho es un perro que pesa 72 kg, ¿Qué porcentaje de perros pesan menos que él?
c) Indicar un valor aproximado de la mediana
d) ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los perros más pesados?
1.13 La siguiente tabla muestra el valor calórico (Kcal/ración) de 20 marcas de alimento balanceado estándar y
de 12 marcas de alimento fortificado.
Estándar
Canente
Cura
Curra
Dan
Desa
Erus
Fomesa
Foleda
Fura
Gafin
Gelo
Hipu
Kcal
125
125
150
135
150
130
130
145
135
145
130
140
Fortificado
Cura
fomesa
Dan
Desa
Erus
Gafin
Les
Mali
Naria
Sanli
Suno
Veras
Kcal
135
135
130
135
125
140
150
135
135
145
150
130
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Hela
150
Les
150
Mali
140
Neria
145
Pros
130
Riz
130
Suno
130
Veras
140
a) ¿Cuáles es (o son) la(s) variable (s) que podrían considerarse?
b) Escribir y representar la distribución de frecuencias de las Kcal.
c) Graficar de manera acorde los dos grupos de datos.
d) Calcular la media, mediana y moda de Kcal por tipo de alimento y compararlas.
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Trabajo Práctico Nº 2
Resumen de datos. Medidas de Dispersión
Ejemplo: Cálculo del rango, variancia, coeficiente de variación y error estándar para el siguiente conjunto de
datos.
1
4
7
2
5
5
4
6
9
2
6
3
2
4
3
5
2
4
7
4
5
5
4
6
3
4
3
6
4
3
5
1
4
7
4
5
3
3
4
5
4
3
5
5
1
6
8
5
3
6
3
4
4
2
4
X
fi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Total
3
5
10
15
11
6
3
1
1
55
(x - x )
-3.218
-2.218
-1.218
-0.218
0.782
1.782
2.782
3.782
4.782
(x - x )2
10.356
4.920
1.484
0.048
0.612
3.176
7.740
14.304
22.868
f i. (x - x )2
31.067
24.598
14.835
0.713
6.727
19.053
23.219
14.304
22.868
157.382
a) Rango= Max – Min=9-1=8
n
f
 ( xi  x ) 2
3  10.356  5  4.920    1  14.304  1  22.868

b)
n 1
55  1
157.382

 2.914
54
c) desvío estándar S  S 2  2.914  1.707
S
2.914
*100  40.47%
d) coeficiente de variación: CV= *100 
x
4.218
var ( x)  ˆ 2  S 2  i 1
e) error estándar EE=
S
n

i
2.914

 0.2302
55
Guía teórica
1) Dar el concepto y utilidad de las medidas de dispersión.
2) Mencionar las propiedades de la variancia
3) ¿Cuál es la utilidad del coeficiente de variación?
4) ¿Que es el error estándar (EE)?
Guía práctica:
2.1 Hallar el rango, la varianza y el desvío de la siguiente serie de datos: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2.2 Con los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2:
a) Calcular su media y varianza.
b) Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, ¿Cuál será la nueva media y varianza?
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
2.3 El resultado de lanzar dos dados 120 veces y observar la suma viene dado por la sig tabla:
X=Sumas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Frec=Nro.Veces
3
8
9
11
20
19
16
13
11
6
4
a) Calcular la suma media ( x ) y su desvío estándar (S)
b) Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo ( x  S , x  S )
2.4 Calcular la media, la varianza, el desvio y el coeficiente de variación, tras encuestar a 25 familias sobre el
número de animales que tenían, se obtuvieron los siguientes datos.
Nº de animales (Xi)
Nº de familias(ni)
0
5
1 2
6 8
3
4
4
2
2.5 El siguiente gráfico, conocido como box plot corresponde a un estudio realizado sobre la Diarrea Viral
Bovina, esta es una enfermedad infecciosa de alta prevalencia en bovinos de cualquier edad y en diversos
lugares del mundo, que provoca un importante impacto económico debido principalmente a pérdidas de tipo
reproductivo que se manifiestan por abortos, defectos congénitos, mortalidad neonatal y problemas de
fertilidad, entre otros. Existen varias técnicas de diagnóstico, una de ellas es el método inmunoenzimático
(ELISA) para la detección de anticuerpos.
Interpretar el gráfico de cantidad de anticuerpos, y completar el siguiente enunciado:
Los valores límites observados para la cantidad de anticuerpos por la técnica de ELISA, del total de muestras
analizadas, fueron de …………… El 50 % de las muestras presentó ………… anticuerpos o menos. El 25% de las
muestras que mas anticuerpos presento superan …………. anticuerpos
2.6 La muestra A de tamaño 100 tiene un CV del 30%, el mismo que la muestra B de tamaño 50 ¿Quién tiene
más variabilidad?
2.8 En un grupo de 50 novillos se registro el peso en Kg. y la altura en cm. Obteniendo los siguientes valores:
Variable
Promedio
Variancia
Altura
120
576
Peso
380
1444
¿Los novillos estudiados son más homogéneos en su peso o en su altura?
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
2.8 El siguiente gráfico representa la distribución de los tiempos de reacción a una droga según dos dosis (a y
b) en un mismo grupo de animales. Describir el comportamiento de los tiempos según cada dosis.
23.85
Tiempo de Reaccion
19.18
14.50
9.83
5.15
a
b
Dosis
Tiempo de reacción a una droga con dos dosis
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Ejemplo
Trabajo Práctico Nº 3: Tasas e Indices
1- En una explotación de ganado vacuno se investiga una enfermedad que clínicamente evoluciona ya sea con la
recuperación e inmunidad permanente o con la muerte. El 1 de Julio de 1996 se investiga el rebaño, cuando la
enfermedad ya está presente. El tamaño total del rebaño es de 600 vacas, y el número de individuos
clínicamente enfermos es de 100 vacas. El 1 de Julio de 1997 se vuelve a investigar el rebaño y se contabilizan
200 vacas nuevas enfermas. Cincuenta de las 100 enfermas al 1 de julio de 1996 se habían recuperado y las
otras 50 seguían enfermas. Durante el período de estudio, entre todas las enfermas (nuevas y viejas) 120
individuos murieron.
Prevalencia el 1 de Julio de 1996: 100 / 600 = 0.167 (16.7%)
Prevalencia al 1 de julio de 1997: 250/600= 0.4166 (41.66%)
Incidencia entre el 2 Julio de 1996 al 1 de julio de 1997: 200 / 500 = 0.4 (40%)
Tasa de mortalidad: 120 / 600 x 100= 20 %
Tasa de letalidad durante el año: 120 / 300 x 100 = 40 %
Guía teórica:
1) Definición de razón, proporción y tasas.
2) Concepto y utilidad de los índices.
3) Defina las tasas de morbilidad.
4) Defina las tasas de mortalidad y letalidad.
Guía practica:
3.1 En un criadero de perros de la ciudad de Olavarría, y sobre 95 animales existentes, 20 se enfermaron de
Leptospirosis durante el año 2008. Conociendo previamente que la letalidad de dicha enfermedad es del 5%,
calcule las tasas de morbilidad y de mortalidad.
3.2 En una zona apícola hay 56779 colmenas al 27 de febrero de 2004, de las cuales 3420 son positivas al
análisis de Loque Americana en miel. Posteriormente se volvieron a revisar las mismas 56779 colmenas el 30
de mayo de 2004, encontrándose además de las 3420 colmenas enfermas anteriormente, otras 1200 colmenas
enfermas más. Calcule la tasa de prevalencia al 28 de febrero, la tasa de incidencia lápsica entre el 28 de febrero
y el 30 de mayo y por último la tasa de prevalencia al 30 de mayo.
3.3 En un criadero de caniches de la ciudad de Corrientes que contaba con 250 animales se produjo un brote de
Leishmaniasis presentándose 45 casos clínicos. De los enfermos 27 murieron a causa de dicha patología.
Calcule las tasas de morbilidad, mortalidad y letalidad correspondientes
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Trabajo Práctico Nº 4: Probabilidades
Ejemplo:
Una urna contiene 15 bolillas: 5 blancas, 4 rojas y 6 negras.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolilla blanca o negra?
P(blanca o negra)  P(blanca)  P(negra) 
5 6

 0.333  0.4  0.733
15 15
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos bolillas rojas con reposición?
P(2 rojas)  P(roja)  P(roja) 
4 4
  0.267  0.267  0.071
15 15
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos bolillas rojas sin reposición?
P(2 rojas)  P(roja)  P(roja / roja) 
4 3
  0.267  0.214  0.057
15 14
Guía teórica:
1. Concepto de espacio muestral y evento.
2. Concepto clásico de probabilidades.
3. Concepto frecuencial de probabilidades.
4. Definición axiomática de la probabilidad (Kolmogorov, 1937).
5. Leyes de Laplace
6. Concepto de variable aleatoria.
Guía practica:
4.1 Escribir el espacio muestral para los siguientes experimentos:
a) Se tira un dado equilibrado dos veces.
b) Se extraen dos animales de un lote donde hay animales sanos y enfermos
c) Se tira una moneda equilibrada tres veces.
4.2 Como en el ejercicio 4.1 a) con el experimento de tirar dos dados, definimos los eventos:
A: la suma de los resultados es par,
B: el mayor es 3,
C: los resultados difieren en 2
Hallar los elementos de cada evento. Calcular P(A), P(B), P(C),P(A  C) y P(B  A).
4.3 En una colmena existen aproximadamente 50 zánganos y 300 abejas obreras. Si se eligen 3 individuos sin
reposición hallar las siguientes probabilidades:
a) que las tres sean obreras
b) que las dos primeras sean zánganos y la tercera sea obrera
c) que por lo menos una sea obrera
4.4 En un Laboratorio de estudio de Conducta Animal, se tienen los siguientes registros de un escore de
conducta maternal en ratas que han sido tratadas con un fármaco que se supone incrementa la lactancia. El
escore tiene 6 valores (0: ninguna conducta maternal, 5: conducta maternal completa)
Score de Conducta Maternal: (Cada score representa la conducta maternal de una hembra).
4, 4, 4, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 3, 4, 5, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 3, 5, 5, 5, 4, 4, 5,
4, 5, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 1, 5, 5, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 1, 5, 4, 3, 1,1, 2, 3, 2, 4, 4, 4,
4, 3, 2, 5, 5
a) Calcular la probabilidad de encontrar animales cuyos scores sean menores que 5. ¿Qué significa?
b) Estime la probabilidad de encontrar animales cuyo score sea ≥ 3
c) ¿Cual será la probabilidad estimada de encontrar madres cuyo score maternal esté entre 2 y 5?
4.5 En la perrera municipal hay 50 cachorros recién llegados de los cuales se diagnostica que 18 tienen
parásitos. Una flia piensa adoptar dos cachorros, si los eligen al azar:
a) ¿cual es la probabilidad de que ninguno tenga parásitos?
b) ¿cual es la probabilidad de que uno tenga parásitos?
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Trabajo Práctico Nº 5: Distribución de probabilidades (Binomial, Poisson y Normal)
Ejemplos:
a) El peso promedio de un lote de novillos es de 150 Kg. y la variancia de 400 kg2. Asumiendo
normalidad. ¿Cuál es la probabilidad de que un novillo elegido al azar pese más de 140 Kg.?
Z=
x


140  150  10

 0.5
20
20
P(x  140) = P(Z≥-0.50) = 1-P(Z<-0.5) = 1- 0.30854=0.69146
Expresando dicho resultado en porcentaje, podríamos decir que el 69,146% de los individuos pesan más de
140 Kg.
b) Se sabe que una perra Ovejero Alemán tendrá 6 cachorros en una misma gestación: Calcular la probabilidad de
que solo 2 sean macho.
Dado que se cumplen las características de un modelo binomial, podemos estimar la probabilidad como sigue:
P(X)=
donde: n=6
entonces
P(x=2)=
x=2
p=0.5
n!
. p x . q n x
x ! n  x !
q=0.5
6!
6  5  4  3  2 1
 0.52  0.56  2 
 0.52  0.54  15  0.25  0.0625  0.2344
2! (6  2)!
2 1  4  3  2 1
c) En una experiencia realizada en una plantación de girasol sometida a polinización un investigador estimó que el
promedio de visitas fue de 15 abejas por hora y por capítulo. Calcular la probabilidad de que una planta reciba 10
abejas en 1 horas
Asumiendo que la variable tiene distribución de Poisson podemos calculara la probabilidad como: P(X=k)=
donde:   15 y X=10, luego,
k e  
k!
,
1510 e 15
 0.04861
P(X=10)=
10!
Guía teórica:
1) Concepto de distribución de probabilidades y distribución de frecuencias.
2) Características de la distribución Binomial.
3) Características de la distribución Normal.
4) Concepto de Esperanza Matemática.
5) Propiedades de la esperanza y de la variancia
Guía practica:
5.1 Un veterinario ha realizado dos tests de drogas para ver su resistencia a un grupo de 40
vacas, obteniendo los siguientes resultados: para el primer test la media es 6 y la desviación
típica 1.5. Para el segundo test la media es 4 y la des viación típi ca 0.5. U na vaca obtiene un
6 en el primer o y un 5 en el segundo. En relación con el grupo, ¿en cuál de los dos tests
obtuvo mejor puntuación?
5.2 En un programa de monitoreo se muestrean tambos y en cada uno se toma una muestra al azar de 8
vaquillonas y al realizar el tacto se registra el evento preñada o vacía. Considerando como éxito a la preñez y
suponiendo que la probabilidad de éxito para cada vaquillona es 0.75:
a. Construya la función de probabilidad y de probabilidad acumulada para la variable número de vacas
preñadas.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de las 8 vaquillonas estén preñadas?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 5 de las 8 vaquillonas estén preñadas?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 7 de las 8 vaquillonas estén preñadas?
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
5.3 Se tira un dado 10 veces. Calcular la p de que la cara 3 salga 4 veces. (binomial)
5.4 Se tiran 20 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 8 caras y 12 cruces? (binomial)
5.5 En 80 parejas de perros de 4 cachorros ¿cuántas es de esperar que tengan 2 machos y 2 hembras? (Se
asume que p=0’5)
5.6 En el año 2005 en una granja de las proximidades de Tandil, el 80% de las cerdas en celo fueron
inseminadas con éxito. ¿Cuál es la probabilidad de que se inseminen con éxito al menos 2, si se selecciona un
grupo de 5 cerdas al azar?
5.7 En un estudio sobre la efectividad de un insecticida contra cierto insecto se roció un área grande de tierra.
Posteriormente, se examinó el área en relación con los insectos vivos, seleccionando por metro cuadrado.
Experiencias anteriores han demostrado que el número promedio de insectos vivos por metro cuadrado,
después de haber rociado, es de 0,6. Si el número de insectos vivos por metro cuadrado se distribuye según
Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que un metro cuadrado elegido al azar contenga:
a) Exactamente un insecto vivo. b) Ningún insecto vivo. c) Tres o más insectos vivos.
5.8 Suponiendo que el peso al destete de la raza Hereford en la Argentina sigue una distribución normal con
peso promedio de 160Kg, y un desvío de 5kg. Calcular:
1) ¿Cuál es la probabilidad de que, si se selecciona un animal al azar, tenga un peso:
a) inferior a 158 kg
b) Más de 165 kg
c) entre 158 y 165 kg.
d) Si se tiene una muestra de 65 animales, ¿cuántos se espera que pesen entre 150 y 170kg?
5.9 Sabiendo que el diámetro pelviano de las vaquillonas Angus es una variable que se distribuye normal, con
diámetro promedio de 20cm y varianza de 18cm2, si se estudia una vaquillona:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que presente más de 28cm de diámetro pelviano?
b. Si en un establecimiento se quiere retener el 5% de animales de mayor diámetro, ¿Cuál será el valor de
selección que debe utilizarse?
c. ¿Entre que valores se encuentra el 90% central de los animales?
5.10 El número de larvas encontradas en 1000 muestras de pasto fueron las siguientes:
X 0
frecuencia 670
1
268
2
54
3
7
4
1
a) Asumiendo que la variable tiene una distribución Poisson, calcule el valor esperado para la variable X.
b) ¿Qué porcentaje de muestras estarán libres de larvas?
c) Calcule la probabilidad de encontrar 1 larva
d) ¿Qué porcentaje de muestras tendrán más de una larva?
e) Calcule la variancia para la variable X.
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Trabajo Práctico Nº6: Muestreo
Ejemplo
En la provincia de Buenos Aires se comenzará a desarrollar un plan de control contra la encefalomielitis equina.
Como primer medida, se requiere determinar la prevalencia actual de la misma para luego llevar adelante dicho
plan. Se conoce, por datos previos de hace 8 años, que dicha prevalencia era del 14 %. Dado que determinar la
prevalencia actual es imposible examinando todos los equinos susceptibles de dicha región, se acuerda llevar a
cabo un muestreo para obtener dicho valor. Calcule el tamaño de muestra con una confianza del 95 % y una
certeza del 5 %
Z 2 . p1  p  1.962  0.14  0.86 0.462528
n=


 185
0.0025
D2
0.052
Por lo tanto se deberá muestrear 185 animales.
Guía teórica:
1. Defina población y muestra
2. Mencione los factores que intervienen en el tamaño de la muestra
3. Mencione los tipos de muestreos
Guía Práctica:
6.1 Se desea realizar un muestreo para determinar la prevalencia de Paratuberculosis en bovinos del partido
de Tandil. Datos previos determinan que dicha prevalencia en el año 1990 era del 15%. Calcule el tamaño de la
muestra con una certeza del 3 % y una confianza del 95%.
6.2 Hacer lo mismo pero con una certeza del 5%. Sacar conclusiones al comparar ambos valores de "n".
6.3 Ud. trabaja en el Servicio Oficial de Sanidad Animal de una provincia. Llega a una zona en la cual no hay
registros previos de Brucelosis carpina, y ante la denuncia de varios colegas respecto a la alta tasa de abortos
debidos a dicha causa en ésta especie, es que se decide realizar un plan de control contra la misma. Como
primera medida, Ud deberá obtener un valor de prevalencia actual (diagnóstico de situación) y ante la
imposibilidad de chequear todos los animales (son en total 243500) es que decide tomar una muestra. Realice
los cálculos que considere oportuno.
6.4 Se supone que el nivel de hemoglobina en varones de 11 años se distribuye normalmente con una = 1.209
gr./100 ml. ¿Qué tamaño de muestra se deberá tomar para estimar la media de la población, con aproximación
de 0.1 gr./100 ml., con una probabilidad del 95 %?
6.5 Ante las siguientes situaciones, proponga una estrategia de muestreo. Justifique su respuesta.
a) Se desea estimar la prevalencia de Carbunclo sintomático (mancha) en una zona de cría de ganado bovino.
Se conoce de antemano que dicha enfermedad se presenta de manera diferente según la edad de los
animales.
b) Se desea estimar el porcentaje de grasa en leche de tambos provenientes de una cuenca lechera. En dicha
cuenca hay animales de raza Holando Argentino (HA), Jersey y cruza entre ambas. Se sabe que los animales
de raza jersey producen un nivel significativamente mayor de grasa butirosa que las HA.
c) Ud. quiere conocer el peso promedio de un lote de novillos que se alimentan con pastura implantada. El
total de animales es de 2185. No tendiendo la posibilidad de pesar a todos, es que se decide tomar una
muestra para inferir el peso del total de los animales. Los animales no están identificados.
d) Ídem anterior pero con los animales identificados.
e) Conocer el estado sanitario de ovinos respecto a la Hidatidosis en la Provincia de Santa Cruz. Dicha
enfermedad es de curso crónico, debido a lo cual es poco frecuente en animales muy jóvenes.
6.6 La cuenca lechera Santa Fe-Córdoba, con 4500 tambos, suministra más del 80% de la leche producida en la
región. Los tambos se caracterizan según su producción en litros por día según la tabla que se muestra. Para un
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
estudio que involucra la producción lechera, se decide tomar una muestra de 120 de estos tambos. ¿Cuantos
tambos de cada clase tomaría? ¿Cómo los elegiría?
Tambos
Cantidad
Porcentaje
Menos de
1000 l/d
1000 a
1500 l/d
1500-2000 2000-2500
Mas de
2000 l/dia
2079
801
792
522
306
46.2
17.8
17.6
11.6
6.8
6.7 Se quiere probar una nueva medicación para tratar a los animales con mastitis, para ello se dispone de 120
animales enfermos provenientes de 4 establecimientos (según los datos de más abajo). Si por cuestiones de
costos se resuelve tomar una muestra de 20 de estos animales. Comentar como seleccionaría la muestra si
realiza a) un muestreo aleatorio simple, b) un muestreo sistemático, c) un muestreo estratificado.
Establecimiento 1: 20 animales
Establecimiento 2: 32 animales
Establecimiento 3: 60 animales
Establecimiento 4: 8 animales
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Trabajo Práctico Nº7: Inferencia Estadística
Ejemplo: Para estimar el contenido vitamínico de un alimento se tomó una muestra de tamaño 30 y se
determinó que x  35 mg y S =7.
a) Construir un intervalo de confianza del 95% para .

P  x  t gl , 1 .

2
S
S 
   x  t gl , 1 .
  1
2
n
n
35  2.045.
7
7
   35  2.045.
5.477
30
35  2.045.1.278    35  2.614
32.386    37.614
t(29,0.975)=2.045 (tabla 2)
b) Construir un intervalo de confianza del 95% para 2.
 n  1.S 2
P
 X2 
 ( gl ,1 2 )
2 
n  1.S 2   1  
X (2gl , ) 
2

30  1  72   2  29  49
45.722
16.047
1421
1421
2 
45.722
16.047
31.079   2  88.552
X2(29,0.025)=16,047
X2(29,0.975)=45,722 (tabla 3)
Guía teórica:
1. Defina población y muestra.
2. Factores que intervienen en el tamaño de la muestra
3. Tipos de muestreos
4. Concepto de parámetro
5. Estimación puntual. Definición de estimador
6. Concepto de estimación por intervalo de confianza.
7. Definición de grados de libertad
8. Definición de nivel de confianza
Guía practica:
7.1 Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de cierta edad es 1.97Kg. Para tratar de
aumentar el peso de dichas aves se le agrega un aditivo al alimento. En una muestra de pollos de esta edad se
obtuvieron los siguientes pesos (en kg).2, 1.98, 1.96, 1.97, 1.95, 1.99, 1.98, 1.99, 2, 1.99.
a) hallar un intervalo de confianza para el peso promedio de los animales tratados con un 95% de confianza
b) Idem a) con un 99% de confianza.
c) Hallar un intervalo de confianza para el parametro de dispersión con un 95% de confianza
7.2 En un lote de 130 vacas procedentes de una determinada región, sacrificados en el frigorífico “HHH”, fueron
detectadas 11 vacas con Tuberculosis. Calcular un intervalo de confianza al 95% para la proporción, P, de vacas
enfermas de la región.
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
7.3 Obtener un intervalo de confianza del 95% para el promedio de una población de novillos, de los cuales se
pesa una muestra de 25 animales, obteniéndose un valor promedio de 390 kg., si se sabe que la varianza es de
400 kg2.
7.4 En un establecimiento dedicado a la elaboración de alimentos para aves, se afirma que su producto
aumenta el peso promedio de las aves en 30 gr. diarios. En una muestra de 9 aves tomadas al azar, se obtuvo un
aumento promedio de 35gr. con desviación de 3,04 gr.
Estimar el intervalo de confianza al 95% para el verdadero aumento promedio
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Trabajo Práctico Nº8. Pruebas de significación de "z" y “t".
Ejemplo: Un vendedor de semen asegura que un toro produce terneros con un peso al nacimiento menor a 42
Kg. Para probarlo se inseminaron las vaquillonas de un establecimiento y se registró el peso de los terneros al
nacimiento. De un total de 100 terneros se obtuvo un peso promedio de 41.3 Kg. Sabiendo que la variancia de la
población es de 9 Kg2, ¿es cierto lo que afirma el vendedor, con un 95 % de confianza?
Test de hipótesis:
1)
H0:
H1:
  42
 < 42
2) Estadístico: Test de “z”:
zHo =
x  0
0
n
3) Nivel de confianza: (1-) 100  95 %
4) Regla de decisión:
  0.05
z Ho  z0.05   1.64
5) Cálculo del estadístico
zHo = zH 0 
41.3  42  0.7

 2.333
3
0.3
100
(P= 0.0098)
6) Conclusión:
La evidencia estadística permite rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto el toro al cual hace
referencia el vendedor, produce terneros con un peso al nacimiento significativamente menor a 42 Kg.
Guía teórica:
1) Pasos para realizar un Test de Hipótesis.
2) Concepto de grados de libertad (gl).
3) Concepto del valor P
Guía práctica:
8.1 Con los datos del problema 7.1, responder con una confianza del 0.95, el aditivo ha aumentado el peso
medio de los pollos?
8.2 Un especialista en reproducción animal realiza un tratamiento de inseminación a tiempo fijo que acorta el
intervalo inter-parto de vacas Hereford mayores de 2 años. Tradicionalmente el intervalo es en promedio de
390 dias. Se administro el tratamiento a 36 vacas de más de 2 años y se registro la duración del intervalo interparto de las mismas. El experimento dio como resultado un intervalo inter-parto promedio de 386 días con un
desvío estándar de 11 días. ¿Avalan estos datos la afirmación tradicional?
8.3 Según las leyes de Mendel si cruzamos los genotipos AB y AB se deben obtener un 25% de AA, un 50% de
AB y un 25% de BB. Se realizan 100 cruces, de los que 14 se desgracian y no pueden ser valorados. Se
encuentran 21 AA , 47 AB y 18 BB. ¿Concuerda lo observado con el modelo teórico?
8.4 Una solución control de glucosa contiene 120 mg/dl. Probamos un glucosímetro, que según el fabricante
tiene una gran precisión y exactitud, haciendo 36 determinaciones con esa solución. Se obtiene una media de
128 con una desviación estándar de 20. ¿El glucosímetro mide tan bien como se dice? (Nivel de confianza 95%)
8.5 En un estudio realizado para evaluar cambios en el nivel del cortisol en perros luego de una maniobra
estresante, se midió el valor basal de cortisol (cortisol 0) en 10 perros, a los cuales, luego de aplicarles la
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
maniobra estresante, se les midió nuevamente el cortisol (cortisol Trat). Los
cuadro siguiente (se sabe que el nivel de cortisol tiene Distribución Normal):
Perro
1
2
3
4
5
6
7
8
Cortisol 0
1.7 1.8 1.5 1.6 1.5 1.6 1.7 1.9
Cortisol Trat 3.9 3.7 3.4 3.6 3.3 3.5 3.7 3.9
resultados se muestran en el
9
10
1.8 1.4
3.8 3.2
Evaluar si el nivel de cortisol cambió luego de la aplicación de la maniobra estresante, con un 95% de confianza.
¿El p-valor de la prueba es inferior a 0.05? Señale los valores hallados en la distribución que corresponda.
8.6 Con el fin de determinar el efecto de un suplemento nutricional durante la etapa de cría de lechones se
realizó una prueba experimental con animales provenientes de 1 criadero. Se tomaron 24 animales y se los
dividió al azar en 2 grupos de 12 animales cada uno, administrándoles al grupo A una ración estándar y al otro
grupo (B) una ración + un suplemento nutricional. Para cada lechón se determinó la ganancia diaria de peso
(kg) durante el ensayo que se presenta en la siguiente tabla:
A 0.52 0.64 0.50 0.65 0.66 0.74 0.50 0.80 0.70 0.61 0.68 0.55
B 0.60 0.66 0.49 0.70 0.81 0.70 0.58 0.86 0.70 0.63 0.74 0.60
Realice una Prueba de Hipótesis para determinar si el suplemento nutricional tiene efecto sobre la ganancia
diaria de peso de los lechones, con  = 0.01. ¿El p-valor de la prueba es superior a 0.05? Señale en la
distribución que corresponda.
8.7 Los siguientes datos corresponden a los valores de proteína en leche registrados de la producción de leche
de 13 animales
3.61 3.22 3.59 3.32 3.56 3.67 3.71 3.61 3.33 3.71 3.45 3.69 3.46
El dueño del establecimiento asegura que sus animales producen leche con un porcentaje de proteína superior
a 3.6, decidir con un 95% de confianza si esto es cierto.
8.8 Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de dos meses es 2.500 Kg. Los pesos
siguen una distribución normal. Para tratar de aumentar el peso de dichas aves se le agrega un aditivo al
alimento. En una muestra de pollos de dos meses se obtuvieron los siguientes pesos:
2.520 2.600 2.480 2.550 2.600 2.700 2.400 2.600 2.570 2.450
Poner a prueba con un 95% de confianza la hipótesis de que el aditivo aumenta el peso de los pollos.
8.9 Con la intención de analizar si la producción de leche difiere sustancialmente según el momento de ordeñe,
se registran los siguientes datos que corresponden a la producción de leche de 15 animales registrados a la
mañana y a la tarde, comparar la producción de leche con un 95% de confianza.
Animal 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Mañana 14 10 15 16 13 16 15 18 20 17 14 16 10 14 15
Tarde
15 12 16 15 13 15 16 20 18 15 12 16 13 13 12
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Trabajo Práctico Nº 9. Pruebas Chi cuadrado (CHI², ²)
Ejemplo: En un establecimiento se probaron 2 tratamientos (A y B) para sincronizar celos. La cantidad y
porcentaje de vacas preñadas se muestran en el siguiente cuadro:
Tratamiento
A
B
Total
Preñez total
37 (74%)
44 (88%)
81
Vacías
13 (26%)
6 (12%)
19
Total
50
50
100
Son los dos tratamientos igualmente efectivos?
Test de hipótesis:
1)
H0:
H1:
P(Preñez total con Trat A.) = P(Preñez total con Trat B.)
P(Preñez total con Trat A.)  P(Preñez total con Trat B.)
2) Estadístico: Test de Chi2: Prueba de la Homogeneidad
X 
2
3) Nivel de confianza: (1-) 100  95 %
4) Regla de decisión:
 fo  fe 2
fe
  0.05
X 2 Ho  X (.295,1)  384
.
5) Cálculo:
Cálculo de la frecuencia esperada:
Tratamiento
Preñez total
Vacías
A
40.5
9.5
B
40.5
9.5
Total
81
19
Cálculo del estadístico
X 
2
Total
50
50
100
 fo  fe2  37  40.52  13  9.52  44  40.52  6  9.52
fe
40.5
9.5
40.5
9.5

=0.302 + 1.289 + 0.302 + 1.289 = 3.182
X2 = 3.182
(P=0.0744)
6) Conclusión:
La evidencia estadística no permite rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto los tratamientos no
presentan diferencias significativas en el porcentaje de preñez.
Guía teórica:
1) Características de la distribución de Chi-cuadrado.
2) Pasos para realizar un Test de Hipótesis
3) Hipótesis en la prueba de la Bondad de Ajuste.
4) Hipótesis en la prueba de la Independencia
5) Hipótesis en la prueba de la Homogeneidad de proporciones
6) Cálculo de los grados de libertad (gl) en las distintas pruebas.
Guía práctica:
9.1 En una población de ovinos se registro el sexo y si tenían problemas podales (claudicaban al caminar o no).
La población tenía 350 hembras de las cuales 40 presentaron problemas podales y 100 machos de los cuales 32
presentaron problemas podales.
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
a) Identifique los tipos de variables en estudio.
b)¿A un nivel de significación de 0,05 podemos afirmar que el sexo y los problemas podales están
estadísticamente asociados?.
9.2 En una ciudad de la provincia de Buenos Aires se desarrolló un estudio epidemiológico para determinar los
factores de riesgo del Moquillo Canino, y se encontró que la asociación entre dicha enfermedad y la edad de los
animales, que era uno de los posibles factores, tenía un p valor de 0,123. Interprete dicho valor.
9.3 En un estudio epidemiológico, cuyo objetivo era determinar la existencia de asociación entre el grupo
sanguíneo y la infección por Giardia Lamblia en chicos, el p valor obtenido fue p < 0.01. A qué conclusión llega el
investigador.
9.4 La siguiente tabla indica los resultados observados en cuanto a la pérdida de peso, según que el animal haya
sido o no sometido a un tratamiento:
Con pérdida de peso
Sin pérdida de peso
Tratados
120
125
No tratados
60
95
¿Considera usted que el tratamiento acarrea pérdida de peso con un nivel de confianza del 95%?
9.5 A los efectos de probar la protección de 2 vacunas contra los abortos producidos por una enfermedad X se
seleccionaron 3 lotes de 150 vacas cada uno de un establecimiento con la enfermedad. Estos lotes fueron
vacunados con: Lote 1: Placebo, Lote 2: Vacuna 1 y Lote 3: Vacuna 2. En el primer lote hubo 20 abortos; en el
lote 2, 10 abortos y en el lote 3, 5 abortos. Pruebe a un nivel de significación de 0,01 si la respuesta a la
vacunación fue homogénea. Compare el p-valor de la prueba con 0.05.
9.6 Un veterinario sostiene que la castración de las perras es un factor que está asociado a la incontinencia
urinaria (IU) de las mismas. A los efectos de probar sus dichos realizó un estudio en un hospital donde a las
hembras que ingresaban las clasificó como castradas (C) y enteras (NC) y con incontinencia (IU) y sin
incontinencias (NIU) urinarias obteniendo los siguientes resultados
IU
NIU
C
34
757
791
NC
7
2427
2434
41
3184
3225
¿Pruebe a un nivel de significación de 0.05 si estas variables están asociadas?
9.7 Del cruce entre un toro Angus negro heterocigoto color rojo con vacas del mismo fenotipo y genotipo se
obtuvieron 94 animales negros y 36 rojos. ¿Se ajustan estos datos a la proporción teórica de 3:1 de la primera
ley de Mendel?
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Trabajo Práctico Nº 10. Correlación y Regresión
Ejemplo: Con los datos del siguiente cuadro: estimar la correlación entre el peso al nacimiento (x) y el peso al
destete (y).
Animal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
Nac.
xi
Dest
yi
35
29
29
31
33
35
36
36
37
37
338
x
119
125
126
128
132
135
135
135
136
138
1309
i
 x
x
1.2
-4.8
-4.8
-2.8
-0.8
1.2
2.2
2.2
3.2
3.2
 x
i
y
2
1.44
23.04
23.04
7.84
0.64
1.44
4.84
4.84
10.24
10.24
87.60
i
 y
-11.9
-5.9
-4.9
-2.9
1.1
4.1
4.1
4.1
5.1
7.1
y
i
 y
2
x
141.61
34.81
24.01
8.41
1.21
16.81
16.81
16.81
26.01
50.41
336.90
n
r
 ( x  x)  ( y  y )
i
i 1
i
n
 ( x  x)   ( y  y )
2
i 1
i
106.8
 0.62
87.60  336.90

n
2
i
i 1
b) Hallar la recta de regresión del peso al destete (Y) en función del peso al nacimiento (X):
Modelo:
donde
yi    xi   i
yi representa los valores de la variable dependiente.
xi representa los valores de la variable independiente.
 es el parámetro que representa la ordenada al origen.
 es el parámetro que representa la pendiente de la recta
 i representa la variación aleatoria asociada a cada observación.
n
bˆ 
 ( x  x)  ( y  y )
i 1
i
i
n
 ( x  x)
i 1
2

106.8
 1.22
87.6
i
1309
338
aˆ  y  bˆ x 
 1.22 
 89.69
10
10
por lo tanto la recta de ajuste sería:
y  89.69  1.22  x
i
 x   y i  y 
-14.28
28.32
23.52
8.12
-0.88
4.92
9.02
9.02
16.32
22.72
106.80
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Guía teórica:
1) ¿Que es la correlación?
2) ¿Que valores puede tomar la correlación?
3) ¿Que indica un valor de correlación r = 0?
4) ¿Que es la regresión?
5) Interprete los parámetros del modelo lineal simple.
6) Mencione los supuestos del modelo de regresión
Guía práctica:
10.1 En el año 2009 se publicó un trabajo “Efecto de la temperatura en el pH de la leche descremada”, donde se
estudia X= la temperatura en grado Celcius bajo diferentes condiciones experimentales e Y= el pH de la leche.
Los datos usados en la investigación son:
Temperatura 4
4
24 24 25 38 38 40 45 50 55 56 60 67 70 78
pH
6,9 6,8 6,6 6,7 6,7 6,6 6,6 6,5 6,5 6,5 6,4 6,4 6,4 6,3 6,3 6,3
Encuentre la correlación entre la temperatura y el pH.
10.2. Dados los siguientes pares de valores:
X
2
4
5
6
8
Y
18
12
10
8
7
Determine e interprete el coeficiente de correlación
11
5
10.3. Dados los siguientes pares de valores:
X
45 30
30
35
45
40
20 40
Y
6
12
30
24
30
36
42 54
Determine e interprete el coeficiente de correlación
10.4 Con los datos del problema 1
a) Encuentre la recta de regresión de mínimos cuadrados.
b) Interprete los valores estimados de la ordenada al origen y de la pendiente.
c) Calcule el residuo para la última observación.
d) ¿Cuánto vale la suma de los residuos calculados para todas las observaciones?
10.5 Para estudiar la concentración de acido úrico en la leche de una raza de vaca se tomo una muestra de 14
vacas. Los datos son producción de leche (X: lt/dıa) y concentración de acido ( Y:μmol/litro).
X 42,7 40,2 38,2 37,6 32,2 32,2 28,0 27,2 26,6 23,0 22,7 21,8 21,3 20,2
Y 92
120 128 110 153 162 202 140 218 195 180 193 238 213
a) Grafique los datos ¿Hay asociación lineal entre las variables?
b) Encuentre la recta de regresión
10.6 La tabla siguiente nos proporciona los valores de la media y la desviación típica de dos variables así como
su coeficiente de correlación lineal para dos muestras diferentes:
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Muestra
n º de observaciones
x
y
sx
sy
1
2
600
400
5
7
12
10
2
3
3
4
r
xy
0.6
0.7
a) Recta de regresión de Y sobre X en cada muestra.
b) Si consideramos la muestra que resulta de agrupar las dos muestras en una sola de tamaño 1000, obtener el
nuevo coeficiente de correlación lineal de Pearson y explicar el hecho de que sea inferior a los de cada una de
las muestras tomadas por separado.
10.7 Enunciado común para los ejercicios siguientes:
En una muestra de 10 gatos se determinan los componentes de la sangre X e Y, obteniendo los siguientes
valores (en mg/100 ml):
X: 12, 8, 9, 14, 12, 13, 16, 10, 15, 12
Y: 9, 15, 10, 8, 7, 11, 13, 12, 10, 9
a) Calcule la media, varianza y desviación estándar de X
b) Calcule la media, varianza y desviación estándar de Y
c) ¿Cuánto valdrían los parámetros de X si los 10 individuos constituyeran una población?
d) ¿Quién tiene más variabilidad, X o Y?
e) Calcule el coeficiente de correlación entra ambas variables
f) Calcule la ecuación de regresión de Y sobre X
g) Calcule la moda de X e Y
h) Calcule la mediana de X e Y
i) Construya una tabla de distribución de frecuencias para X
j) En una muestra la varianza vale 4 veces el cuadrado de la media. Calcule el CV.
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
HOJA DE FORMULAS:
n
x
Media aritmética:
Mediana:
x
i 1
n
i
x
n
f
i 1
i
 xi
n
1 Ordenar los datos en forma creciente o decreciente
2 Orden de la mediana
Mdº=
n 1
2
3 Ubicar el valor de Md
Rango o Amplitud: AP= Ls - Li
n
Desviacion Media:
DM=
x
i 1
i
x
n 1
Variancia: Fórmula (y fórmula alternativa de cálculo)
n
var ( x )  ˆ
2
2
 ( x i  x ) fi
 S  i 1
2
n 1
o
 n 2 
2
  ( x i )  n x

var ( x)   i 1
n 1
Covariancia: Fórmula (y fórmula alternativa de cálculo):
n
 ( xi  x)( yi  y)
cov( x, y )  i 1
Desvio Estandar:
n 1
o
S  S2
Coeficiente de Variabilidad: C.V=
 n

  ( x i . y i )  n  x  y

cov( x, y )   i 1
n 1
Error Estandar:
S
.100
X
e.e. 
S2
S

n
n
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Tamaño muestral:
n=
Z 2 . p1  p
o
D2
n=
Z 2 . 2
D2
n!

. p x .q n  x
P( X ) 
x!n  x !

P( X )  0

Distribución Binomial:

e    x
 P( X ) 
x!

 P( X )  0

Distribución Poisson:
Estandartización de variable:
para x  0, 1, 2,  , n
en otro caso
para x  0, 1, 2,  y   0
en otro caso
x
Z=

n
Esperanza Matematica o Valor Esperado:   ( x )   xi . pi
i 1
Variancia:
ˆ 2  V(x)=


 x      x i    .pi
2
n
2
i 1
Intevalos de Confianza:

P  x  Z 1


ˆ
ˆ 
.
   x  Z 1 .
  1

2
2
n
n
P  x  t gl , 1 2 .

S
S 
   x  t gl , 1 .
  1 
2
n
n

 12  22
2 2 


 1   2   x 1  x 2  Z 1 . 1  2   1  
P  x 1  x 2  Z 1 .
n1
n2
n1
n2 
2
2



S12 S 22
S2 S2 


 1   2   x 1  x 2  t gl ; 1 . 1  2   1  
P  x 1  x 2  t gl ; 1 .
n1
n2
n1
n2 
2
2



 n  1.S 2
n  1.S 2
2




P X2
X2 
 ( gl ,1  )
( gl , )
2
2


P  p  Z 1 .

2


  1


p(1  p)
p(1  p) 
  1
 P  p  Z 1 .

2
n
n

Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
x  0
Test “z”:
z Ho 
0
zHo =
x
1

 x 2   1   2
 12
n
Test “t”:
x  0
tHo =
S
n
t Ho 
Test “t para datos apareados”:
x
1
 22
n2

 x 2   1   2
2

2
S1
S
 2
n1
n2
d  D
tHo =
SD
n
n
Test Chi Cuadrado:

n1

2
X Ho

i 1
( foi  fei ) 2
f ei
Correlación:
n
Cov  X , Y 
r
Var ( X )  Var (Y )
r
o
 ( x  x)  ( y  y )
i
i 1
i
n
n
 ( x  x)   ( y  y )
2
i
i 1
i 1
2
i
Regresión Lineal Simple:
n
y  a b x
donde
bˆ 
 ( x  x)  ( y  y )
i 1
i
i
aˆ  y  bˆ x
n
 ( x  x)
i 1
i
2
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
z
-3.9
-3.8
-3.7
-3.6
-3.5
-3.4
-3.3
-3.2
-3.1
-3.0
-2.9
-2.8
-2.7
-2.6
-2.5
-2.4
-2.3
-2.2
-2.1
-2.0
-1.9
-1.8
-1.7
-1.6
-1.5
-1.4
-1.3
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
-0.0
0.09
.00003
.00005
.00008
.00011
.00017
.00024
.00035
.00050
.00071
.00100
.00139
.00193
.00264
.00357
.00480
.00639
.00842
.01101
.01426
.01831
.02330
.02938
.03673
.04551
.05592
.06811
.08226
.09853
.11702
.13786
.16109
.18673
.21476
.24510
.27760
.31207
.34827
.38591
.42465
.46414
0.08
.00003
.00005
.00008
.00012
.00017
.00025
.00036
.00052
.00074
.00104
.00144
.00199
.00272
.00368
.00494
.00657
.00866
.01130
.01463
.01876
.02385
.03005
.03754
.04648
.05705
.06944
.08379
.10027
.11900
.14007
.16354
.18943
.21770
.24825
.28096
.31561
.35197
.38974
.42858
.46812
Tabla 1: Area acumulada bajo la curva normal (0,1) entre - y z
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
.00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00005 .00005
.00005 .00006 .00006 .00006 .00006 .00007 .00007 .00007
.00008 .00008 .00009 .00009 .00010 .00010 .00010 .00011
.00012 .00013 .00013 .00014 .00014 .00015 .00015 .00016
.00018 .00019 .00019 .00020 .00021 .00022 .00022 .00023
.00026 .00027 .00028 .00029 .00030 .00031 .00032 .00034
.00038 .00039 .00040 .00042 .00043 .00045 .00047 .00048
.00054 .00056 .00058 .00060 .00062 .00064 .00066 .00069
.00076 .00079 .00082 .00084 .00087 .00090 .00094 .00097
.00107 .00111 .00114 .00118 .00122 .00126 .00131 .00135
.00149 .00154 .00159 .00164 .00169 .00175 .00181 .00187
.00205 .00212 .00219 .00226 .00233 .00240 .00248 .00256
.00280 .00289 .00298 .00307 .00317 .00326 .00336 .00347
.00379 .00391 .00402 .00415 .00427 .00440 .00453 .00466
.00508 .00523 .00539 .00554 .00570 .00587 .00604 .00621
.00676 .00695 .00714 .00734 .00755 .00776 .00798 .00820
.00889 .00914 .00939 .00964 .00990 .01017 .01044 .01072
.01160 .01191 .01222 .01255 .01287 .01321 .01355 .01390
.01500 .01539 .01578 .01618 .01659 .01700 .01743 .01786
.01923 .01970 .02018 .02068 .02118 .02169 .02222 .02275
.02442 .02500 .02559 .02619 .02680 .02743 .02807 .02872
.03074 .03144 .03216 .03288 .03362 .03438 .03515 .03593
.03836 .03920 .04006 .04093 .04182 .04272 .04363 .04457
.04746 .04846 .04947 .05050 .05155 .05262 .05370 .05480
.05821 .05938 .06057 .06178 .06301 .06426 .06552 .06681
.07078 .07215 .07353 .07493 .07636 .07780 .07927 .08076
.08534 .08692 .08851 .09012 .09176 .09342 .09510 .09680
.10204 .10383 .10565 .10749 .10935 .11123 .11314 .11507
.12100 .12302 .12507 .12714 .12924 .13136 .13350 .13567
.14231 .14457 .14686 .14917 .15151 .15386 .15625 .15866
.16602 .16853 .17106 .17361 .17619 .17879 .18141 .18406
.19215 .19489 .19766 .20045 .20327 .20611 .20897 .21186
.22065 .22363 .22663 .22965 .23270 .23576 .23885 .24196
.25143 .25463 .25785 .26109 .26435 .26763 .27093 .27425
.28434 .28774 .29116 .29460 .29806 .30153 .30503 .30854
.31918 .32276 .32636 .32997 .33360 .33724 .34090 .34458
.35569 .35942 .36317 .36693 .37070 .37448 .37828 .38209
.39358 .39743 .40129 .40517 .40905 .41294 .41683 .42074
.43251 .43644 .44038 .44433 .44828 .45224 .45620 .46017
.47210 .47608 .48006 .48405 .48803 .49202 .49601 .50000
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
0
.50000
.53983
.57926
.61791
.65542
.69146
.72575
.75804
.78814
.81594
.84134
.86433
.88493
.90320
.91924
.93319
.94520
.95543
.96407
.97128
.97725
.98214
.98610
.98928
.99180
.99379
.99534
.99653
.99744
.99813
.99865
.99903
.99931
.99952
.99966
.99977
.99984
.99989
.99993
.99995
0.01
.50399
.54380
.58317
.62172
.65910
.69497
.72907
.76115
.79103
.81859
.84375
.86650
.88686
.90490
.92073
.93448
.94630
.95637
.96485
.97193
.97778
.98257
.98645
.98956
.99202
.99396
.99547
.99664
.99752
.99819
.99869
.99906
.99934
.99953
.99968
.99978
.99985
.99990
.99993
.99995
Tabla 1 (cont.): Area acumulada bajo la curva normal (0,1) entre - y z
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
.50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586
.54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56749 .57142 .57535
.58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409
.62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173
.66276 .66640 .67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .68793
.69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240
.73237 .73565 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490
.76424 .76730 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .78524
.79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .81327
.82121 .82381 .82639 .82894 .83147 .83398 .83646 .83891
.84614 .84849 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214
.86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .88298
.88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .90147
.90658 .90824 .90988 .91149 .91308 .91466 .91621 .91774
.92220 .92364 .92507 .92647 .92785 .92922 .93056 .93189
.93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408
.94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449
.95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327
.96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062
.97257 .97320 .97381 .97441 .97500 .97558 .97615 .97670
.97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169
.98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574
.98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899
.98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158
.99224 .99245 .99266 .99286 .99305 .99324 .99343 .99361
.99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520
.99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643
.99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736
.99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807
.99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 .99856 .99861
.99874 .99878 .99882 .99886 .99889 .99893 .99896 .99900
.99910 .99913 .99916 .99918 .99921 .99924 .99926 .99929
.99936 .99938 .99940 .99942 .99944 .99946 .99948 .99950
.99955 .99957 .99958 .99960 .99961 .99962 .99964 .99965
.99969 .99970 .99971 .99972 .99973 .99974 .99975 .99976
.99978 .99979 .99980 .99981 .99981 .99982 .99983 .99983
.99985 .99986 .99986 .99987 .99987 .99988 .99988 .99989
.99990 .99990 .99991 .99991 .99992 .99992 .99992 .99992
.99993 .99994 .99994 .99994 .99994 .99995 .99995 .99995
.99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99997 .99997
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
Tabla 2: Distribucion de “t” de Student
P(tm< t(1-):)= 1-

1-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
80
100
200
500

0.90
3.078
1.886
1.638
1.533
1.476
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
1.303
1.299
1.296
1.292
1.290
1.286
1.283
1.282
0.95
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
1.706
1.703
1.701
1.699
1.697
1.684
1.676
1.671
1.664
1.660
1.653
1.648
1.645
0.975
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
2.021
2.009
2.000
1.990
1.984
1.972
1.965
1.960
0.99
31.821
6.965
4.541
3.747
3.365
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.518
2.508
2.500
2.492
2.485
2.479
2.473
2.467
2.462
2.457
2.423
2.403
2.390
2.374
2.364
2.345
2.334
2.326
0.995
63.656
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
2.704
2.678
2.660
2.639
2.626
2.601
2.586
2.576
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
P(X2n<X2p,n)=p
X2 (p,n)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
50
60
70
80
90
100
0.01
0.0002
0.0201
0.1148
0.2971
0.5543
0.8721
1.2390
1.6465
2.0879
2.5582
3.0535
3.5706
4.1069
4.6604
5.2294
5.8122
6.4077
7.0149
7.6327
8.2604
8.8972
9.5425
10.1957
10.8563
11.5240
12.1982
12.8785
13.5647
14.2564
14.9535
15.6555
16.3622
17.0735
17.7891
18.5089
19.2326
19.9603
20.6914
21.4261
22.1642
29.7067
37.4848
45.4417
53.5400
61.7540
70.0650
0.025
0.0010
0.0506
0.2158
0.4844
0.8312
1.2373
1.6899
2.1797
2.7004
3.2470
3.8157
4.4038
5.0087
5.6287
6.2621
6.9077
7.5642
8.2307
8.9065
9.5908
10.2829
10.9823
11.6885
12.4011
13.1197
13.8439
14.5734
15.3079
16.0471
16.7908
17.5387
18.2908
19.0467
19.8062
20.5694
21.3359
22.1056
22.8785
23.6543
24.4331
32.3574
40.4817
48.7575
57.1532
65.6466
74.2219
Tabla 3: Cuantiles de la distribución de Chi-cuadrado
0.05
0.1
0.5
0.9
0.95
0.975
0.0039 0.0158 0.4549
2.7055
3.8415
5.0239
0.1026 0.2107 1.3863
4.6052
5.9915
7.3778
0.3518 0.5844 2.3660
6.2514
7.8147
9.3484
0.7107 1.0636 3.3567
7.7794
9.4877 11.1433
1.1455 1.6103 4.3515
9.2363 11.0705 12.8325
1.6354 2.2041 5.3481 10.6446 12.5916 14.4494
2.1673 2.8331 6.3458 12.0170 14.0671 16.0128
2.7326 3.4895 7.3441 13.3616 15.5073 17.5345
3.3251 4.1682 8.3428 14.6837 16.9190 19.0228
3.9403 4.8652 9.3418 15.9872 18.3070 20.4832
4.5748 5.5778 10.3410 17.2750 19.6752 21.9200
5.2260 6.3038 11.3403 18.5493 21.0261 23.3367
5.8919 7.0415 12.3398 19.8119 22.3620 24.7356
6.5706 7.7895 13.3393 21.0641 23.6848 26.1189
7.2609 8.5468 14.3389 22.3071 24.9958 27.4884
7.9616 9.3122 15.3385 23.5418 26.2962 28.8453
8.6718 10.0852 16.3382 24.7690 27.5871 30.1910
9.3904 10.8649 17.3379 25.9894 28.8693 31.5264
10.1170 11.6509 18.3376 27.2036 30.1435 32.8523
10.8508 12.4426 19.3374 28.4120 31.4104 34.1696
11.5913 13.2396 20.3372 29.6151 32.6706 35.4789
12.3380 14.0415 21.3370 30.8133 33.9245 36.7807
13.0905 14.8480 22.3369 32.0069 35.1725 38.0756
13.8484 15.6587 23.3367 33.1962 36.4150 39.3641
14.6114 16.4734 24.3366 34.3816 37.6525 40.6465
15.3792 17.2919 25.3365 35.5632 38.8851 41.9231
16.1514 18.1139 26.3363 36.7412 40.1133 43.1945
16.9279 18.9392 27.3362 37.9159 41.3372 44.4608
17.7084 19.7677 28.3361 39.0875 42.5569 45.7223
18.4927 20.5992 29.3360 40.2560 43.7730 46.9792
19.2806 21.4336 30.3359 41.4217 44.9853 48.2319
20.0719 22.2706 31.3359 42.5847 46.1942 49.4804
20.8665 23.1102 32.3358 43.7452 47.3999 50.7251
21.6643 23.9522 33.3357 44.9032 48.6024 51.9660
22.4650 24.7966 34.3356 46.0588 49.8018 53.2033
23.2686 25.6433 35.3356 47.2122 50.9985 54.4373
24.0749 26.4921 36.3355 48.3634 52.1923 55.6680
24.8839 27.3430 37.3354 49.5126 53.3835 56.8955
25.6954 28.1958 38.3354 50.6598 54.5722 58.1201
26.5093 29.0505 39.3353 51.8050 55.7585 59.3417
34.7642 37.6886 49.3349 63.1671 67.5048 71.4202
43.1880 46.4589 59.3347 74.3970 79.0820 83.2977
51.7393 55.3289 69.3345 85.5270 90.5313 95.0231
60.3915 64.2778 79.3343 96.5782 101.8795 106.6285
69.1260 73.2911 89.3342 107.5650 113.1452 118.1359
77.9294 82.3581 99.3341 118.4980 124.3421 129.5613
0.99
6.6349
9.2104
11.3449
13.2767
15.0863
16.8119
18.4753
20.0902
21.6660
23.2093
24.7250
26.2170
27.6882
29.1412
30.5780
31.9999
33.4087
34.8052
36.1908
37.5663
38.9322
40.2894
41.6383
42.9798
44.3140
45.6416
46.9628
48.2782
49.5878
50.8922
52.1914
53.4857
54.7754
56.0609
57.3420
58.6192
59.8926
61.1620
62.4281
63.6908
76.1538
88.3794
100.4251
112.3288
124.1162
135.8069
Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2015
PROGRAMA BIOESTADÍSTICA
Objetivo:
El objetivo del curso es introducir al alumno en el uso de las herramientas estadísticas descriptivas e
inferenciales, atendiendo a los requerimientos de los cursos inmediatos (Fisiología, Principios de la Mejora
Genética, etc.) y de cursos posteriores como Enfermedades infecciosas, Epidemiología Básica y Salud Publica.
Por otra parte los conocimientos básicos obtenidos le permitan contar con elementos de juicio para
interpretar trabajos científicos
UNIDAD 1: Definición. La estadística como ciencia de apoyo a las ciencias Veterinarias. Concepto de población y
muestra. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ESTADÍSTICA INDUCTIVA. Recolección de datos. Ordenamiento
y clasificación de datos: tipos de variables, series de frecuencias. Presentación de datos: tablas y gráficos.
UNIDAD 2: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: Generalidades. Tipos de medidas: media aritmética, mediana,
modo, criterios de aplicación. Relación entre media, mediana y modo. Otras medidas: Media geométrica,
Media ponderada, media armónica, cuartiles, deciles y percentiles, usos.
UNIDAD 3: MEDIDAS DE DISPERSIÓN: Generalidades. tipos de medidas: Amplitud, desviación media, varianza,
desvío estándar, coeficiente de variación, usos.
UNIDAD 4: TASAS E ÍNDICES: Generalidades. Tipos de tasas: tasas brutas, netas y corregidas. Tasas de mayor uso
en veterinaria. Índices: calculo y aplicaciones.
UNIDAD 5: PROBABILIDAD: Generalidades. Definición clásica de probabilidad. Probabilidad como limite de una
frecuencia relativa. Definición axiomática de probabilidad. Axiomas de la Teoría de probabilidades.
Variables aleatoria. Distribuciones de probabilidad y concepto de esperanza matemática.
UNIDAD 6: MODELOS PROBABILISTICOS: Generalidades. Modelos probabilísticos para variables aleatorias
discretas: binomial y poisson. Modelos probabilísticos para variables aleatorias continuas: distribución
normal. Características. Aplicaciones.
UNIDAD 7: MUESTREO: Generalidades. Determinación del tamaño óptimo de muestra. Cálculo y aplicaciones.
Métodos de selección de una muestra: tipos de muestras. Tablas de números aleatorios: su empleo.
UNIDAD 8: INFERENCIA ESTADÍSTICA: Concepto y aplicación. Estimación: concepto. Estimación puntual.
Propiedad de los estimadores. Estimación por intervalos de confianza. Estimación por intervalos para
media, varianza y proporción: aplicaciones. Cálculo.
UNIDAD 9: TEORÍA DE LA DECISIÓN: Prueba de hipótesis. Generalidades. Tipos de errores. Pasos para la toma de
una decisión estadística. Ensayos o pruebas referentes a la distribución normal. Potencia de un ensayo:
concepto, aplicaciones.
UNIDAD 10: DISTRIBUCIÓN JI CUADRADO: Generalidades. Prueba de JI para probar la bondad de ajuste. Prueba
de JI cuadrado para probar la independencia de datos categorizados. Aplicaciones y cálculo. Test de
Homogeneidad. Concepto. Aplicaciones. Cálculo.
UNIDAD 11: ANÁLISIS DE DATOS: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE: Concepto y generalidades.
COMPARACIÓN DE MEDIAS: Test de STUDENT, prueba para datos apareados y Análisis de Variancia:
Conceptos, utilidad y supuestos.
Bibliografía:
Cappelletti, C.A. Elementos de Estadística. Cesarini Hnos. Bs. As. Argentina. 1983.
Conover, W. J. (1971) Practical Nonparametric Statistics. John Wiley & Son Inc. New York.
Di Rienzo, J. A. y cols. Estadística para las Ciencias Agropecuarias. Ed. Trinfar, Córdoba Argentina. 2001, cuarta
edición.
Gill, J. L. (1978) DESIGN AND ANALYSIS OF EXPERIMENTS in the Animals and Medical Sciences. The Iowa State
University Press, Ames, Iowa, U.S.A. Vol 2. pag. 214.
InfoStat (2001) Manual del usuario, Versión1. Ed. Triunfar S.A., Córdoba, Argentina.
Kuehl, R (2001) Diseño de experimentos. Principios estadísticos de diseño y análisis de investigación. 2da edición.
Thomson, Mexico, D.F. Mexico.
Steel, R.G.D. y Torrie, J.H. Bioestadistica: Principios y procedimientos. Mc Graw-Hill Latinoamericana, S.A. Bogota,
Colombia. 1980