10 Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma impl´ı

Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM
10
10.1
1
Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma implı́cita
Definición
Son ecuaciones diferenciales de la forma F (x, y, y 0 ) = 0 donde no se puede despejar y 0 de
forma unı́voca.
10.2
Ecuaciones resolubles en y 0
Son ecuaciones de la forma F (x, y, y 0 ) = 0 donde, aunque no de forma unı́voca, se puede
despejar y 0 . Es decir, que despejando y 0 nos queda
y 0 = f1 (x, y)
y 0 = f2 (x, y)
...
...
0
y = fN (x, y)
En este caso se resuelve cada una de estas ecuaciones diferenciales (por los métodos dados
en la sección 9), cuyas soluciones serán
ϕ1 (x, y, c) = 0
;
c∈R
ϕ2 (x, y, c) = 0
;
c∈R
;
c∈R
...
...
ϕN (x, y, c) = 0
y el conjunto de todas ellas forman la solución general de la ecuación dada. Es decir, la
solución general de la ecuación F (x, y, y 0 ) = 0 será
ϕ1 (x, y, c1 ) · ϕ2 (x, y, c2 ) · . . . · ϕN (x, y, cN ) = 0
10.3
;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ N
Método general: Parametrización
El método general para resolver la ecuación diferencial F (x, y, y 0 ) = 0 es el siguiente:
1. Hacer y 0 = p y parametrizar la ecuación:


x = ϕ(u, v)
F (x, y, p) = 0 =⇒ y = ψ(u, v)


p = χ(u, v)
2. Desarrollar p = y 0 = dy/dx (es decir dy = p dx) en función de u y v, con lo que nos
queda
µ
¶
∂ψ
∂ψ
∂ϕ
∂ϕ
du +
dv = χ(u, v) ·
du +
dv
∂u
∂v
∂u
∂v
con lo que nos queda una ecuación diferencial de primer orden en forma diferencial
(que es también forma normal) en u y v.
Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM
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3. Se resuelve la ecuación diferencial obtenida y su solución será
W (u, v, c) = 0
;
c∈R
4. La solución general de la ecuación F (x, y, y 0 ) = 0, en forma paramétrica, es


x = ϕ(u, v)
;
c∈R
y = ψ(u, v)


W (u, v, c) = 0
Nota: Eliminando los parámetros se puede llegar a una expresión del tipo
Φ(x, y, c) = 0
10.4
;
c∈R
Observación
Si se puede despejar en F (x, y, y 0 ) = 0 alguna de las variables (x, y o y 0 ) de forma unı́voca,
una parametrización de la ecuación serı́a, según el caso, la siguiente:
1. Si se puede despejar x = ϕ(y, y 0 ), y haciendo y 0 = p, una parametrización serı́a


x = ϕ(u, v)
y=u


p=v
2. Si se puede despejar y = ψ(x, y 0 ), y haciendo y 0 = p, una parametrización serı́a


x = u
y = ψ(u, v)


p=v
3. Si se puede despejar y 0 = χ(x, y), y haciendo y 0 = p, una parametrización serı́a


x = u
y=v


p = χ(u, v)
aunque en este caso, si es posible, se resolverı́a por los métodos de la sección 9.