Relación nº 5 - Universidad de Murcia

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Ampliación de Topologı́a
Relación de problemas no 5
Departamento de Matemáticas
REDES
31. Sea (E, d) un espacio métrico y M ⊂ E. Pruebe:
(a) x ∈ M si, y sólo si existe una sucesión en M que converge a x.
(b) x ∈ M 0 si, y sólo si existe una sucesión en M r {x} que converge a x.
◦
(c) x ∈M si, y sólo si para toda sucesión en (xn )n∈N ⊂ E que converge a x
existe no tal que n ≥ no implica que xn ∈ M .
(d) M es cerrado en (E, d) si, y sólo si toda sucesión en M convergente tiene su
lı́mite en M .
(e) M es abierto si, y sólo si para toda sucesión (xn )n∈N ⊂ E convergente a un
elemento de M , existe no tal que n ≥ no implica que xn ∈ M .
(f) x ∈ f rM si, y sólo si existe una sucesión (xn )n∈N en M convergente a x y
otra sucesión (yn )n∈N en M c convergente a x.
32. Sea (X, τ ) un espacio topológico y S ⊂ X un subconjunto. Pruebe:
(a) S es cerrado en (X, τ ) si, y sólo si toda red en S convergente tiene su lı́mite
en S.
(b) S es abierto si, y sólo si para toda red (xi )i∈I ⊂ X convergente a un elemento
de X, existe io tal que i ≥ io implica que xi ∈ S.
(c) x ∈ f rS si, y sólo si existe una red (xi )i∈I en S convergente a x y otra red
(yj )j∈J en S c convergente a x.
33. Sea (X, τ ) un espacio topológico. Demuestre que si una red está eventualmente
en un conjunto S ⊂ X, entonces toda subred de dicha red también está eventualmente en S.
34. Sea (X, τ ) un espacio topológico y (xi )i∈I ⊂ X una red. T
Se define, para cada i ∈ I
el conjunto Gi = {xj : i ≤ j}. Pruebe que el conjunto i∈I Gi es el conjunto de
puntos de aglomeración de la red.
35. Sea (X, d) un espacio métrico y (xi )i∈I ⊂ X una red. Pruebe que son equivalentes:
(a) limi∈I xi = x ∈ X.
(b) La red de números reales (d(xi , x))i∈I tiene lı́mite cero.
36. Sea [a, b] ⊂ R y sea P[a, b] el conjunto de las particiones del intervalo [a, b]
P[a, b] = {P = {a = xo < x1 < · · · < xn = b} : n ∈ N, xk ∈ [a, b]}
Se define el diámetro de una partición P = {a = xo < x1 < · · · < xn = b} como
δ(P ) = max{xk − xk−1 : k = 1, . . . , n}
Definimos el conjunto
Π = {(P, t) : P ∈ P[a, b] y t = {t1 , . . . , tn } con xk−1 ≤ tk ≤ xk , y xk ∈ P }
y las relaciones siguientes:
(a) (P, t) ≤ (Q, s) si y sólo si δ(Q) ≤ δ(P ).
(b) (P, t) ≤ (Q, s) si y sólo si P ⊂ Q.
Pruebe que amabas relaciones hacen de Π un conjunto dirigido.