Tema 4.- MATRICES INVERTIBLES

Tema 4.-
MATRICES INVERTIBLES
! MATRICES INVERTIBLES
! TÉCNICAS
PARA
CALCULAR
LA
INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR
Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2005-06
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Hemos hablado anteriormente de la matriz cuadrada unidad de orden n
(In).. Es posible encontrar matrices cuadradas A para las cuales existe
una matriz cuadrada B de forma que
A·B=B·A=I
Por ejemplo:
Estas matrices cuadradas son muy interesantes y reciben un nombre
especial: matrices invertibles o matrices inversibles. En este capí
capítulo
enseñ
enseñamos có
cómo distinguir las matrices invertibles a travé
través de su
determinante y explicamos mé
métodos para calcular de un modo eficaz la
inversa de A..
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Las matrices invertibles son indispensables en el Álgebra Lineal,
principalmente para cá
cálculos algebraicos y deducciones de fó
fórmulas. Hay
tambié
también ocasiones en las que una matriz inversa permite entender mejor
un modelo matemá
matemático de una situació
situación de la vida real.
"
es regular si
"
es singular si
"
es invertible si
esta matriz B es única y se denomina inversa de A :
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MATRICES INVERTIBLES
"
" Si
tal que
entonces A es regular y
"
o
,
con
siendo
la matriz que se obtiene al sustituir
los elementos de A por sus adjuntos.
Esta ffórmula
órmula apenas se utiliza en la pr
áctica
práctica
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Técnicas útiles para calcular la inversa
de una matriz regular A
" Operaciones elementales de filas
" Resolución de un sistema de ecuaciones lineales
" Matrices que satisfacen una ecuación del tipo:
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" Operaciones elementales de filas
¿Cómo llegamos a la matriz unidad I?
Conseguimos ceros debajo de la diagonal principal
Conseguimos unos en la diagonal principal
Sin deshacer lo conseguido:
conseguimos ceros encima de la diagonal principal
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-EJEMPLO.EJEMPLO.- Calcular la inversa de la matriz:
Sugerencia.- Comprobar el resultado
A · A-1-1 = I
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Resolució n de
ecuaciones lineales:
-EJEMPLO.EJEMPLO.-
un
sistema de
Esta té
écnica
ttécnica
suele
resultar úútil
til
para
matrices
triangulares
Escribiendo en forma matricial:
Sugerencia.- Comprobar el resultado
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A · A-1-1 = I
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-EJEMPLO.EJEMPLO.-
Matrices que satisfacen una ecuación del tipo:
Sea A una matriz regular que satisface la ecuación:
Calcular A-1
, luego, según la definición:
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PROPIEDADES DE LAS MATRICES REGULARES
: matrices regulares de orden n
Sean
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
Atenció
Atención
7.- Si A es triangular, entonces A-1 es triangular.
Enunciamos a continuació
continuación un teorema que nos permite caracterizar
las matrices invertibles en varias formas bá
básicas, utilizando
conceptos estudiados previamente:
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Teorema de la matriz invertible.invertible.- Sea A una matriz cuadrada de orden n.. Entonces
los enunciados que siguen son equivalentes. Esto es, para una matriz A dada, los
enunciados son o todos ciertos o todos falsos.
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.-
A es una matriz invertible.
A es una matriz regular.
A es equivalente por filas a la matriz In , es decir:
.
Los vectores columna de A son linealmente independientes.
Los vectores columna de A generan
.
Los vectores columna de A forman una base de
.
Los vectores fila de A son linealmente independientes.
Los vectores fila de A generan
.
Los vectores fila de A forman una base de
AT es una matriz invertible.
.
Existe una matriz B cuadrada de orden n tal que A · B = In.
Existe una matriz C cuadrada de orden n tal que C · A = In.
r ( A ) = n..
.
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POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO DE
MATRICES REGULARES
Cuando
, es decir es una matriz regular de orden
n, o lo que es lo mismo, una matriz invertible, tiene sentido
hablar de potencias de A con exponente entero, como por
ejemplo:
Si
y
:
-PROPIEDADES.-
1.2.Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2005-06
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MATRICES ORTOGONALES
Su inversa y
su traspuesta
coinciden
se dice ortogonal si:
, es decir :
-PROPIEDADES.- Sean
Nuestra
ón acerca
observaci
Nuestra primera
primera observació
observación
acerca
de
de las
las matrices
matrices ortogonales
ortogonales es
es que
que son
son
matrices
invertibles
matrices invertibles.
invertibles..
1.2.-
Se
én que
tambi
Se cumple
cumple tambié
también
que la
la inversa
inversa de
de
una
una matriz
matriz ortogonal
ortogonal es
es su
su traspuesta.
traspuesta.
En
En este
este caso
caso no
no hay
hay que
que hacer
hacer
inversiones
inversiones complicadas.
complicadas.
3.4.-
Las
án de
surgir
Las matrices
matrices ortogonales
ortogonales surgirá
surgirán
de
nuevo
ítulo 7.
cap
nuevo en
en el
el curso
curso en
en el
el capí
capítulo
7.
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Matriz regular
Matriz singular
Matriz invertible
Resultado fundamental
PROPIEDADES
MÉTODOS DE CÁLCULO
POTENCIACIÓN ENTERA
MATRIZ ORTOGONAL
Propiedades
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Matriz de
cambio de base
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