Divisores - TramixSakai ULP

Disciplina Matemática
DIVISORES
Cantidad de divisores
Recordemos que cualquier número natural se puede descomponer de
manera única como producto de números primos. Por ejemplo:
12  2 2  3
150  2  3  5 2
Primero nos preguntamos cuántos divisores positivos tiene el número 12.
Veamos:
1 ; 2 ; 3 ; 22 ; 2  3 ; 22  3
En total son seis los divisores positivos de 12. Vamos a escribir esos
mismos divisores positivos de otro modo. Antes recordemos que cualquier
número elevado a la cero da como resultado 1.
2 0  30 ; 21  30 ; 2 0  31 ; 2 2  30 ; 21  31 ; 2 2  3
Fíjense que escribimos los mismos seis divisores de 12 pero de otro modo.
Cada divisor difiere del otro cambiando las potencias a las que están
elevados los primos de la descomposición. El 2 puede aparecer elevado a
la 0, a la 1 o a la 2. Y el 3 puede ser elevado a la 0 o a la 1. O sea, para
elegir un divisor, basta con elegir un número entre 0, 1 y 2 para potencia
de 2 y elegir un número entre 0 y 1 para potencia de 3. Si elegimos por
ejemplo que el 2 vaya elevado a la 0, tenemos 2 divisores posibles, que
son: 2 0  30 ; 2 0  31
Si el 2 lo pusiéramos elevado a la 1, también tendríamos dos posibles
divisores más
Si el 2 lo pusiéramos elevado a la 2, tendríamos dos posibles divisores más
En total tenemos 3 veces dos divisores, que es justamente 6 divisores.
Disciplina Matemática
La pregunta ahora es: Si un número natural se descompone así:
p1 1  p2 2  p3 3  ... pn
a
a
a
an
Donde p1 , p2 , ..., pn son primos distintos y a1 , a2 ,...,an son los números
naturales a los que aparecen elevadas las potencias.
1) ¿Cuántos divisores positivos tiene?
2) Pregunta difícil o posiblemente molesta: ¿Cuál o cuales son los números
positivos menores que 100 que tienen más divisores positivos?
Problema 1
Los enteros a y b son mayores a 1 y tienen producto 2010. Si a es par,
¿Cuál es su mayor valor posible que puede tomar a?
(a) 2
(b) 134
(c) 2010
(d) Ninguna de las anteriores
Problema 2
La secta de los equitativos
En la secta de los ¨equitativos¨ tienen la costumbre de repartir las
pertenencias en su totalidad, en partes iguales entre los beneficiarios. El
otro día ocurrió el siguiente episodio: una de las personas de la secta llegó
al campamento con una canasta llena de huevos. Quisieron repartirlo
entre 2 personas y vieron que sobraba un huevo. Llamaron a otro más
para repartirlo entre 3, y de nuevo sobraba uno, llamaron al cuarto y al
dividirlo en partes iguales, nuevamente sobraba un huevo, y los
equitativos comenzaban a inquietarse. Siguió sobrando exactamente un
huevo cuando lo intentaron dividir por 5 y por 6. Finalmente, al convocar
al séptimo se logró dividir la totalidad de los huevos en partes iguales. ¿Si
en la canasta había menos de 500 huevos, podrías decir qué cantidad de
huevos había?
Disciplina Matemática
Problema 3
Problemas de las puertas
En algunas escuelas, los estudiantes guardan sus pertenencias en armarios
particulares durante el tiempo de clase. En una determinada escuela había
100 estudiantes y 100 armarios. Cada año, el primer día de clase, los
estudiantes se alinean por orden alfabético y realizan el extraño ritual que
sigue:
El primer estudiante abre todos los armarios. El segundo cierra los
armarios pares, comenzando por el dos. El tercero cambia la situación de
cada tercer armario (abre los cerrados y cierra los abiertos). El cuarto
cambia la situación de cada cuarto armario, el quinto de cada quinto, etc.
¿Qué armarios se quedan abiertos cuando todos los estudiantes han
terminado?