UNIDAD I. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

Algebra Universitaria
UNIDAD I. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
En la Figura I.1 se muestra como se encuentran organizados los
conjuntos de los números:
•Números enteros positivos
•Números enteros.
Cuando p es divisible
entre q, obtenemos
un número entero.
•Números racionales.
Se pueden representar como la
división de dos números
enteros, “p” y “q”, de la
siguiente forma: p/q; claro que
q no puede ser igual a cero.
•Números reales
Ejemplos: 3/1; 1/3; 4/1 y 4/3
•Números irracionales.
No se pueden representar
como la división de dos
números enteros, p/q; son
números que se fraccionan de
forma infinita sin seguir una
secuencia. Ejemplos:
Ejemplo: 3/1 = 3
Son los números naturales y se
encuentran a la derecha de la
recta numérica
•Cero
No es ni positivo ni negativo
•Números enteros negativos
•Números
fraccionarios.
Se encuentran a la izquierda de
la recta numérica
Cuando la división de
p/q no ofrece un
número entero se
encuentra un numero
fraccionario,
Ejemplo: 1/3 =
0.3333333
pi = 3.14159265359…etc
e = 2.71828182846…etc
Figura I.1 Conjunto de los números reales
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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1.3.Conjunto de los números reales (R)
Existencia de los números irracionales (I)
Todo número real que no puede ser representado como la razón de p/q
(donde q no es igual a cero) se considera un número irracional.
Ya estudiamos a los racionales en el tema anterior, para
conocer mas de los irracionales revisa la siguiente liga:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-irracionales.html
Cuenta... ¿Qué le paso a Hipaso? ¿Por qué?
Definición del conjunto de los números reales
Los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31,
37/22, 25,4) como a los números irracionales aquellos que no se
pueden expresar como la división de dos números enteros p/q (donde q
es diferente de cero) y tienen infinitas cifras después del punto decimal
decimales no periódicas, tales como: π.
Números algebraicos y trascendentes.
Un número es algebraico si existe un polinomio con coeficientes
enteros que lo tiene por raíz.
Propiedades de la adición, multiplicación y orden de los reales
Son idénticas para los enteros y racionales; además las operaciones de
adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación son
cerradas.
Representación de los reales en la recta numérica
Los números reales son la unión del los conjuntos de los racionales y
los irracionales.
Completitud de los reales
Todos los valores de la recta numérica pertenecen al conjunto de los
reales, por lo tanto los reales llenan la recta numérica; esto se conoce
como “completitud de los reales”.
Definición y propiedades de valor absoluto
En términos sencillos, el valor absoluto de un número es considerar
solo el valor numérico sin tomar en cuenta el signo. Por ejemplo el
valor absoluto de -5 es 5; y el valor absoluto de 5 será 5 nuevamente.
Formalmente se define:
Algunas de sus propiedades son:
NOTA: La formula general de un polinomio es:
Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si p/q es un
número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz o solución
de la ecuación qx=p es precisamente x = p/q. PERO No todos los
números algebraicos son racionales.
3
7 +1
La raíz o solución del polinomio: 8x3-12x2+6x-8=0 Es:
lo cual
2
es un número irracional.
Un número es trascendente si no hay un polinomio que lo tenga por
raíz: Por ejemplo, Ln(3)=1.09861228866… etc. Es trascendente.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Más sobre valor absoluto.
Busca en google libros:
http://books.google.com.mx/books
El libro “Álgebra y trigonometría con geometría analítica
Escrito por Walter Fleming, Dale Varberg”
posteriormente hay un campo de búsqueda titulado
“Buscar en este libro” puedes colocar ahí “valor absoluto”
o ve a la página 36.
También hay información que he revisado de wikipedia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
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Ejemplo 1: -4/5
Ejemplo 2: π
-10
-8/9
e
3
x
x
x
x
x
Fraccionario
Entero
Racional
Irracional
Real
Algebraico
Trascedente
Práctica en clase 1.2. Después de estudiar, leer y comprender los
temas anteriores conteste las siguientes cuestiones:
1. La descripción del Orden de los enteros (Z) ¿puede aplicarse a
los números reales (R)?
2. Todo número que puede representarse como la división de los
enteros p/q siendo que q no es igual a cero, es la definición de
números:____________
3. Indique cual es el valor absoluto de los siguientes números:
i. -10
ii. 10
iii. -15
iv. 15
v. -1
4. Indique con una X si los siguientes números se consideran
parte de los siguientes conjuntos:
Número
x
x
Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS siguiendo las rubricas
correspondientes:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
direcciones: [email protected]; [email protected] y
[email protected]
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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