Circuitos RLC

Índice
1. Introducción ........................................................................................................... 2
2. Resultados Experimentales ................................................................................... 3
3. Análisis de Resultados .......................................................................................... 9
4. Conclusiones ....................................................................................................... 11
5. Bibliografía........................................................................................................... 12
6. Apéndices ............................................................................................................ 13
a. Apéndice 6.1 ............................................................................................. 13
b. Apéndice 6.2 ............................................................................................. 14
c. Apéndice 6.3 ............................................................................................. 15
d. Apéndice 6.4 ............................................................................................. 17
e. Apéndice 6.5 ............................................................................................. 24
7. Anexos................................................................................................................. 25
1
1. Introducción
Los circuitos RLC resultan ser modelos bastante buenos para muchos tipos de
sistemas, además de ser muy comunes en la práctica y tener múltiples aplicaciones.
Es por esta razón que se hace necesario conocer la forma en que se analizan este
tipo de circuitos, así como los tipos de respuesta que tiene dependiendo de los
valores de algunas constantes propias de este tipo de sistemas
El presente informe analiza estos tres tipos de respuesta (Subamortiguada,
Críticamente Amortiguada y Sobreamortiguada) para un circuito RLC paralelo en
corriente continua,
El análisis tomará en cuenta aspectos como los valores máximos obtenidos en la
respuesta y las constantes propias del sistema tales como la constante de
amortiguamiento exponencial, la frecuencia de neper y la frecuencia natural
resonante; relacionando estos valores con el tipo de respuesta que presentará el
circuito.
2
1. Resultados Experimentales
Se armó en la placa para operacionales, el circuito de la figura 2.1, para el cual se
van a realizar mediciones para Vp en el osciloscopio, variando la resistencia R2 y la
frecuencia del generador de funciones
Figura 2.1 Circuito RLC Paralelo
Para el circuito de la Figura 2.2, utilizando una frecuencia de 1Khz, y resistencias
R1=10KΩ y R2=33KΩ, se procedió a medir la forma de onda para la tensión Vp
mediante un osciloscopio, y se obtuvo la Figura 2.2 para dicha forma de onda.
Figura 2.2 Forma de onda para Vp experimental R2=33KΩ // F=1kHz
Mediante una simulación realizada con Multisim, se obtuvo la forma de onda teórica
(Figura 2.3) para las mismas condiciones de la Figura 2.2
3
Figura 2.3 Forma de Onda para Vp Teórica R2=33KΩ // F=1kHz
Utilizando los mismos parámetros anteriores para resistencias (R1=10KΩ y
R2=33KΩ), se aumento la frecuencia a 5kHz y se procedió a medir la forma de onda
para la tensión Vp mediante un osciloscopio (Figura 2.4)
Figura 2.4 Forma de onda para Vp experimental R2=33KΩ // F=5kHz
4
Figura 2.5 Forma de Onda para Vp Teórica R2=33KΩ // F=5kHz
Utilizando los gráficos de las figura 2.2 y 2.3 se procedió a calcular la frecuencia
natural resonante y la constante de amortiguamiento exponencial de manera
experimental (Apéndice 6.1 y 6.3) el valor teórico se calculó utilizando las relaciones
que existen para las constantes de un circuito RLC paralelo (ver Apéndice 6.2), los
resultados se expresan en las tablas 2.1 y 2.2 respectivamente
Tabla 2.1 Frecuencia natural resonante para el caso subamortiguado
Wd Experimental [𝑠 −1 ]
27318.2
Wd Teorico [𝑠 −1 ]
24984.4
% Error
9.3
Tabla 2.2 Comparación de la constante de amortiguamiento exponencial
Frecuencia [kHz]
1
α Experimental [𝑠 −1 ]
7692.3
α Teórico [𝑠 −1 ]
6515.2
% Error
18
Además se calculó de manera experimental (Apéndice 6.3) el tiempo para el cual
se obtuvo el valor máximo para la tensión así como este valor, los resultados se
expresan en las tablas 2.3 y 2.2 respectivamente. Los valores teóricos se obtuvieron al
realizar el análisis para el caso subamortiguado del circuito RLC paralelo (Ver Apendice
6.5)
Tabla 2.3 Comparación entre tiempos para los cuales se alcanzan valores máximos
Frecuencia [kHz]
1
5
T MAX Experimental [µs]
65
60
T MAX Teórico [s]
62
62
% Error
4.8
3.2
5
Tabla 2.4 Comparación de valores máximos de tensión
Frecuencia [kHz]
1
5
V MAX Experimental [V]
2.5
2.6
V MAX Teórico [V]
2.8
2.8
% Error
10.7
7.1
Para el circuito de la Figura 2.2, utilizando una frecuencia de 1Khz, y resistencias
R1=10KΩ y R2=1KΩ, se procedió a medir la forma de onda para la tensión Vp mediante
un osciloscopio, y se obtuvo la Figura 2.6 para dicha forma de onda.
Figura 2.6 Forma de onda para Vp experimental R2=1KΩ // F=1kHz
Figura 2.7 Forma de onda para Vp teórica R2=1KΩ // F=5kHz
Para el circuito de la Figura 2.2, utilizando una frecuencia de 1Khz, y resistencias
R1=10KΩ y R2=2KΩ, se procedió a medir la forma de onda para la tensión Vp mediante
un osciloscopio, y se obtuvo la Figura 2.8 para dicha forma de onda.
6
Figura 2.8 Forma de onda para Vp experimental R2=2KΩ // F=1kHz
Figura 2.9 Forma de onda para Vp teórica R2= 2KΩ // F=5kHz
Utilizando los gráficos de las figura 2.6 y 2.8 se procedió a calcular la constante
de amortiguamiento exponencial de manera experimental (Apéndice 6.3) para el caso
de R2=2KΩ y R2=1KΩ, el valor teórico se calculó utilizando las relaciones que existen
para las constantes de un circuito RLC paralelo (ver Apéndice 6.2), los resultados se
expresan en la tabla 2.5
Tabla 2.5 Comparación de la constante de amortiguamiento exponencial
R2 [kΩ]
1
2
α Experimental [𝑠 −1 ]
52631.57
29411.73
α Teórico [𝑠 −1 ]
55000
29999.9
% Error
4.5
1.96
7
Además se calculó de manera experimental (Apendice 6.3) el tiempo para el cual
se obtuvo el valor máximo para la tensión así como este valor, los resultados se
expresan en las tablas 2.6 y 2.7 respectivamente. Los valores teóricos se obtuvieron al
realizar el análisis para el caso sobreamortiguado y críticamente amortiguado del
circuito RLC paralelo (Ver Apendice 6.5)
Tabla 2.6 Comparación entre tiempos para los cuales se alcanzan valores máximos
R2 [kΩ]
1
2
T MAX Experimental [µs]
30
31
T MAX Teórico [µs]
28
33
% Error
7.1
6.1
Tabla 2.7 Comparación de valores máximos de tensión
R2 [kΩ]
1
2
V MAX Experimental [V]
0.6
1.4
V MAX Teórico [V]
0.7
1.6
% Error
14.2
12.5
8
2. Análisis de resultados
Para el circuito RLC paralelo (Figura 2.1), con R2=33KΩ y una frecuencia de 1kHz,
se obtuvo una respuesta subamortiguada para forma de onda de la tensión Vp (como
se muestra en la Figura 2.2), esta respuesta se da ya que el valor de la constante de
amortiguamiento exponencial es menor que el de la frecuencia resonante (ω0>α)
Se obtuvo un valor experimental de 7692.3 𝑠 −1 para α, mientras que el valor teórico
calculado fue 6515.2 𝑠 −1 , como se muestra en la Tabla 2.2, este valor corresponde a la
medida de lo rápido que decae o se amortigua la respuesta natural hasta llegar a su
valor final permanente.
Para el circuito anterior se obtuvo la frecuencia natural resonante experimental
ωd= 27318.2, este valor presenta un porcentaje de error del 9.3% comparado con el
valor teórico calculado (Apéndice 6.1 y Tabla 2.1), este valor determina que tan rápido
declinan las oscilaciones.
Utilizando el circuito de la Figura 2.1 con frecuencia de 5kHz y R2=33KΩ, la
respuesta que se obtuvo es una forma de onda idéntica a la obtenida para la frecuencia
de 1kHz, pero con un intervalo de tiempo menor consecuencia de aumentar de 1kHZ a
5kHz en la Figura 2.4 solo se aprecian los primeros 100 µs de la forma de onda
obtenida en la Figura 2.2 es por esta razón que no se pudo calcular la constante de
amortiguamiento exponencial (α), ya que el 63% del valor de Vmax esta fuera de la
escala utilizada.
Como resultado de esta ampliación en la escala al pasar de 1kHz a 5kHz se está
trabajando con la misma forma de onda por lo que los valores de Vmax (Tabla 2.4) y los
valores del tiempo para el cual se alcanza dicho valor (Tabla 2.3) tienen una variación
menor al 8.3% en el caso de los resultados de Vmax y 3.8% en el caso de los valores
de Tmax. En cuanto a los porcentajes de error con los valores teóricos se obtuvieron
menores porcentajes de error en los resultados para la frecuencia de 5kHz (Figura 2.4)
esto debido a que se redujo el error al ampliar la escala.
Utilizando el mismo circuito (Figura 2.2) y reduciendo el valor de la resistencia R2, a
2kΩ y para otro caso a 1kΩ se obtuvieron las respuestas críticamente amortiguada
(ω0=α) y sobreamortiguada (α >ω0) respectivamente.
Para el caso de la resistencia R2=1KΩ el valor de α obtenido a partir de la Figura
2.6 fue de 52631.57𝑠 −1 , en el caso de R2=2KΩ (Figura 2.8), se obtuvo α=29411.73
dichos valores están especificados en la Tabla 2.5 con sus respectivos valores teóricos,
como α indica la rapidez con la que decae la señal se puede comparar la Figura 2.6
con la Figura 2.8 donde se observa que para R2=1KΩ la señal decae con mayor
rapidez que para el caso de R2=2KΩ (αR1>αR2)
9
Para los valores Vmax (Tabla 2.7), se obtuvo el mayo valor para el caso de R2=2KΩ
(Vmax= 1.4V), esta tensión máxima es mayor que la obtenida en el caso R2=1KΩ
(Vmax= 0.6V), consecuencia de las perdidas mas pequeñas que ocurren en un resistor
mas grande, el tiempo de la respuesta máxima es un poco mayor al correspondiente al
sobreamortiguamiento.
Aplicaciones
Los circuitos RLC tienen múltiples aplicaciones en campos como la radio,
comunicaciones, etc. Antiguamente las radios FM/ AM solían tener un circuito RLC para
sintonizar con alguna estación, esto debido a que este tipo de circuitos se puede utilizar
para seleccionar un estrecho rango de frecuencias, dentro de todas las que se pueden
encontrar.
Los circuitos RLC se pueden aplicar también como filtros, los cuales son capaces de
permitir el paso de una frecuencia de cierto rango y rechazar o atenuar todas las que
estén fuera del mismo.
Otra de las aplicaciones para este tipo de circuitos se en la generación de señales
oscilantes, tal y como se comprobó, el caso subamortiguado presenta una señal de tipo
oscilatorio, la cual se podría mantener mas o menos estable al utilizar una resistencia
de una magnitud bastante grande.
10
3. Conclusiones
1. Existe tres tipo de respuesta para los circuitos RLC
i. Sobreamortiguado (α > ω0),
ii. Criticamente amortiguado (ω0 = α),
iii. Subamortiguado (ω0 > α),
2. La frecuencia de amortiguamiento exponencial (α) corresponde a la medida de lo
rápido que decae o se amortigua la respuesta natural hasta llegar a su valor final
permanente.
3. La Frecuencia Natural resonante (ωd) determina que tan rápido declinan las
oscilaciones en un circuito RLC con respuesta subamortiguada
4. Se puede estudiar las distintas respuestas para los circuitos RLC paralelo,
variando solamente el valor de la resistencia
5. El valor de α es inversamente proporcional al valor de la resistencia o
capacitancia, para una resistencia infinitamente grande el valor de α
corresponderá a cero, por lo que V(t) será una senoide subamortiguada que
oscila con amplitud constante
11
5. Bibliografía

Hayt W., Kemmerly, J. Análisis de Circuitos en Ingeniería, 7ª ed., Mc GrawHill Co., México, 2007. Capítulo 9

Dorf R., Savodova J Circuitos Eléctricos, Introducción al análisis y diseño , 2ª
ed., AlfaOmega.,

Hayt W., Kemmerly, J. Análisis de Circuitos en Ingeniería, 7ª ed., Mc GrawHill Co., México, 2007. Tabla 9.1
12
6. Apéndices
Apéndice 6.1 Obtención experimental de la frecuencia resonante amortiguada ( ω0)
Figura 6.1.1 Medición realizada para obtener ω0 experimentalmente
Datos de la Figura 6.1.1
V/div [Ch1]: 2V/div
V/div [Ch2]: 2V/div
TB: 0.1 ms/div
Se midió la distancia Ta en la figura 6.1.1 correspondiente a un periodo de la
onda y se calculo su valor en base al TB utilizado a la hora de medir en el osciloscopio
(Ta= 0.23 ms)
13
Apéndice 6.2 Calculo de algunas constantes para los circuitos
Se tiene un circuito RLC paralelo, algunas constantes están descritas por las
siguientes formulas
Los valores del circuito son:
L= 10nF
C= 150mH
Se determinaron los valores teóricos de esas constantes (α, ω0, ωd, S)
sustituyendo en las fórmulas anteriores distintos valores de R
Tabla 6.2.1 Valores teóricos para distintas constantes utilizando valores diferentes para R
α[
]
ω0 [N]
R2= 1KΩ
55000
R2= 2KΩ
29999.9
R2= 33KΩ
6515.2
25819.9
----------
25819.9
24984.4
ωd [
]]
25819.9
----------
S1 [
]
-103562.7
----------
----------
S2 [
]
-6437.3
----------
----------
14
Apéndice 6.3 Obtención experimental de los valores máximos de voltaje y tiempo en el
cual se alcanza, así como la obtención de la frecuencia de amortiguamiento
exponencial (α)
Vmax
Figura 6.3.1 Obtención experimental de la tensión máxima y  para R2=33KΩ // F=1kHz
Vmax
Figura 6.3.2 Obtención experimental de la tensión máxima R2=33KΩ // F=5kHz
15
Vmax
Figura 6.3.3 Obtención experimental de la tensión máxima y  para R2=1KΩ // F=1kHz
Vmax
Figura 6.3.4 Obtención experimental de la tensión máxima  para R2=2KΩ // F=1kHz
Los valores de Vmax así como el tiempo en el cual se alcanza dicho valor se muestran
en las tablas 2.3 y 2.4 para los primeros dos casos, y tablas 2.6 y 2.7 para los segundos
dos casos.
Para el calculo de αse utilizo la formula αobteniendo así los valores mostrados en
la tabla 2.2 para el caso R2=33KΩ // F=1kHz y tabla 2.5 para los casos R2=1KΩ,
R2=1KΩ con F=1kHz


16
Apéndice 6.4 Análisis Matemático para el Circuito RLC Paralelo
Se realizo una transformación de fuente para el circuito de la Figura 2.2
obteniéndose el circuito equivalente de la figura 6.4.1
Figura 6.4.1 Circuito equivalente para RLC paralelo
Dado este circuito se tiene que la resistencia será R1//R2 por lo que se calcula la
resistencia Rx que se va a utilizar en el análisis de la respuesta, se calculan algunos
valores teoricos para la respuesta que va apresentar el circuito, los cuales se
especifican en la tabla 6.4.1
Tabla 6.4.1 Valores teóricos para distintas constantes utilizando valores diferentes para R
ωd [
]]
R2= 1KΩ
55000
25819.9
----------
S1 [
]
-103562.7
----------
----------
S2 [
]
-6437.3
----------
----------
α[
]
ω0 [N]
R2= 2KΩ
29999.9
25819.9
----------
R2= 33KΩ
6515.2
25819.9
24984.4
Las condiciones iniciales del circuito son:
Vp(0)=0 V
il(0)= 1mA
17
Caso Sobreamortiguado
𝑉𝑝(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑆1𝑡 + 𝐵𝑒 𝑆2𝑡
Evaluando condiciones iniciales
Vp(0)=0
𝑉𝑝(0) = 𝐴𝑒 𝑆1 0 + 𝐵𝑒 𝑆2
0
0=𝐴+𝐵
il(0)= 1mA
1 𝑡
𝑖𝑙 = ∫ 𝑉 𝑑𝑡
𝐿 0
1.5𝑥10
−4
𝑡
= ∫ (𝐴𝑒 𝑆1 𝑡 + 𝐵𝑒 𝑆2 𝑡 ) 𝑑𝑡
0
1.5𝑥10
−4
𝑡
= ∫ 𝐴𝑒
𝑆1 𝑡
𝑡
𝑑𝑡 + ∫ 𝐵𝑒 𝑆2
0
1.5𝑥10−4 =
𝑡
𝑑𝑡
0
𝐴𝑒 𝑆1 𝑡 𝐵𝑒 𝑆2
+
𝑆1
𝑆2
𝑡
Evaluando en t=0
𝐴
𝐵
1.5𝑥10−4 = 𝑆1 + 𝑆2
(𝑆2)(𝑆1)(1.5𝑥10−4 ) = 𝑆2 𝐴 + 𝑆1 𝐵
18
Se tiene un sistema de ecuaciones
0=𝐴+𝐵
(−6437.3)(−103562.7)(1.5𝑥10−4 ) = −6437.3𝐴 + −103562.7𝐵
Resolviéndolo se obtiene que
A= 1.029
B= -1.029
Por lo tanto la respuesta para el caso subamortiguado es:
𝑉𝑝(𝑡) = 1.029𝑒 −103562.7𝑡 −1.029𝑒 −6437.3𝑡
Caso Críticamente amortiguado
𝑉𝑝(𝑡) = 𝑒 −𝛼𝑡 (𝐴𝑡 + 𝐵)
Evaluando condiciones iniciales
Vp(0)=0
𝑉𝑝(0) = 𝑒 −𝛼𝑡 (𝐴𝑡 + 𝐵)
0=𝐵
il(0)= 1mA
1 𝑡
𝑖𝑙 = ∫ 𝑉 𝑑𝑡
𝐿 0
−4
1.5𝑥10
𝑡
= ∫ 𝑒 −𝛼𝑡 (𝐴𝑡 + 𝐵) 𝑑𝑡
0
19
𝑡
1.5𝑥10−4 = ∫ (𝑒 −𝛼𝑡 𝐴𝑡 + 𝑒 −𝛼𝑡 𝐵) 𝑑𝑡
0
1.5𝑥10
−4
𝑡
=∫ 𝑒
−𝛼𝑡
𝑡
𝐴𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 −𝛼𝑡 𝐵 𝑑𝑡
0
1.5𝑥10
−4
0
𝑡
= 𝐴 ∫ 𝑒 −𝛼𝑡 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑡
0
u=t
dv= 𝑒 −𝛼𝑡 𝑡 𝑑𝑡
du= dt
v=
𝑒 −𝛼𝑡
−𝛼
1.5𝑥10−4 = 𝐴(
1.5𝑥10−4 =
𝑡 −𝛼𝑡
−𝑡𝑒 −𝛼𝑡
𝑒
−∫
𝑑𝑡) + 𝑡
𝛼
0 −𝛼
−𝐴𝑡𝑒 −𝛼𝑡 𝐴𝑒 −𝛼𝑡
1
−
− 2+𝑡
2
𝛼
𝛼
𝛼
Evaluando en t=0
1.5𝑥10−4 = 0 −
(𝐴)(1)
1
−
+0
𝛼2
𝛼2
1.5𝑥10−4 =
𝐴
1
− 2
2
𝛼
𝛼
134999.1 = −𝐴 − 1
135000.1 = 𝐴
Por lo tanto la respuesta para el caso Críticamente amortiguado es:
𝑉𝑝(𝑡) = 𝑒 −29999.9𝑡 (135000.1𝑡)
20
Caso Subamortiguado
𝑉𝑝(𝑡) = 𝑒 −𝛼𝑡 (𝐴 cos(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵 sin(𝜔𝑑𝑡))
Evaluando condiciones iniciales
Vp(0)=0
𝑉𝑝(0) = 1(𝐴 cos(0) + 𝐵 sin(0))
0=𝐴
il(0)= 1mA
1 𝑡
𝑖𝑙 = ∫ 𝑉 𝑑𝑡
𝐿 0
𝑡
1.5𝑥10−4 = ∫ 𝑒 −𝛼𝑡 (𝐴 cos(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵 sin(𝜔𝑑𝑡)) 𝑑𝑡
0
𝑡
𝑡
1.5𝑥10−4 = ∫ 𝐴 𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝐵 𝑒 −𝛼𝑡 sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑑𝑡
0
0
𝑡
1.5𝑥10−4 = 𝑡 + 𝐵 ∫ 𝑒 −𝛼𝑡 sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑑𝑡
0
𝑡
Al resolver la integral ∫0 𝑒 −𝛼𝑡 sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑑𝑡
dv= 𝑒 −𝛼𝑡 𝑑𝑡
u=sin(𝜔𝑑𝑡)
du= cos(𝜔𝑑𝑡)𝜔𝑑𝑑𝑡
v=
𝑒 −𝛼𝑡
−𝛼
𝑡 −𝛼𝑡
sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑒 −𝛼𝑡
𝑒
+∫
cos(𝜔𝑑𝑡)𝜔𝑑𝑑𝑡
−𝛼
0 −𝛼
sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑒 −𝛼𝑡 𝜔𝑑 𝑡 −𝛼𝑡
+
∫ 𝑒
cos(𝜔𝑑𝑡)𝑑𝑡
−𝛼
−𝛼 0
21
dv= 𝑒 −𝛼𝑡 𝑑𝑡
u=cos(𝜔𝑑𝑡)
du= −sin(𝜔𝑑𝑡)𝜔𝑑𝑑𝑡
v=
𝑒 −𝛼𝑡
−𝛼
𝑡
sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑒 −𝛼𝑡 𝜔𝑑 𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡)
(𝑒 −𝛼𝑡 ) (−sin(𝜔𝑑𝑡)𝜔𝑑)𝑑𝑡
+
(
+∫
−𝛼
−𝛼
−𝛼
−𝛼
0
sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑒 −𝛼𝑡 𝜔𝑑 𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡) 𝜔𝑑 𝑡 −𝛼𝑡
+
(
+
∫ 𝑒
sin(𝜔𝑑𝑡)𝑑𝑡)
−𝛼
−𝛼
−𝛼
𝛼 0
𝑡
Se vuelve a la misma integral anterior ∫0 𝑒 −𝛼𝑡 sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑑𝑡 por lo tanto se trata de una
integral cíclica
𝑡
𝑍 = ∫ 𝑒 −𝛼𝑡 sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑑𝑡
0
𝑍=
sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑒 −𝛼𝑡 𝜔𝑑 𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡) 𝜔𝑑
+
(
+
𝑍)
−𝛼
−𝛼
−𝛼
𝛼
sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑒 −𝛼𝑡
𝜔𝑑
𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡)
𝜔𝑑 𝜔𝑑
𝑍=
+ ( )(
)+(
𝑍)
−𝛼
−𝛼
−𝛼
−𝛼 𝛼
𝜔𝑑2
sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑒 −𝛼𝑡 𝜔𝑑 𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡)
𝑍− 2 𝑍=
+
𝛼
−𝛼
𝛼2
𝑍(1 −
𝜔𝑑2
sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑒 −𝛼𝑡 𝜔𝑑 𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡)
)
=
+
𝛼2
−𝛼
𝛼2
sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑒 −𝛼𝑡 𝜔𝑑 𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡)
+
−𝛼
𝛼2
𝑍=
𝜔𝑑 2
(1 − 2 )
𝛼
Como se conoce el valor de la integral, se sustituye en la ecuación original teniendo así:
1.5𝑥10−4
sin(𝜔𝑑𝑡) 𝑒 −𝛼𝑡 𝜔𝑑 𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝜔𝑑𝑡)
+
−𝛼
𝛼2
=𝑡+𝐵
2
𝜔𝑑
(1 − 2 )
𝛼
22
Evaluando en t=0
1.5𝑥10−4
𝜔𝑑(1)(1)
𝛼2
=0+𝐵
2
𝛼
𝜔𝑑2
( 2− 2 )
𝛼
𝛼
0+
1.5𝑥10−4 = 𝐵
𝐵=
𝛼2
𝜔𝑑
− 𝜔𝑑 2
(1.5𝑥10−4 )(𝛼 2 − 𝜔𝑑 2 )
𝜔𝑑
𝐵 = −3.49
Por lo tanto la respuesta para el caso subamortiguado es:
𝑉𝑝(𝑡) = 𝑒 −6515.2𝑡 (−3.49)(sin(24984.4𝑡))
23
Apéndice 6.5 Obtención de máximos para los tres tipos de respuesta del circuito RLC
paralelo
Caso Sobreamortiguado
𝑉𝑝(𝑡) = 1.029𝑒 −103562.7𝑡 −1.029𝑒 −6437.3𝑡
Para encontrar el máximo
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=0
0 = −105633.9𝑒 −103562.7𝑡 +6566.04𝑒 −6437.3𝑡
Resolviendo la ecuacion se tiene que t = 28μs
Evaluando el tiempo obtenido en la ecuación original se tiene que V(28μs)=0.7V
Caso Críticamente Amortiguado
𝑉𝑝(𝑡) = 𝑒 −29999.9𝑡 (135000.1𝑡)
Para encontrar el máximo
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=0
0 = −29999.9𝑒 −29999.9𝑡 (135000.1𝑡) + 𝑒 −29999.9𝑡 (135000.1𝑡)
Resolviendo la ecuación se tiene que t = 33μs
Evaluando el tiempo obtenido en la ecuación original se tiene que V(28μs)=1.6V
Caso Subamortiguado
𝑉𝑝(𝑡) = −3.49𝑒 −6515.2𝑡 (sin(24984.4𝑡))
Para encontrar el máximo
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=0
0 = 22738.05𝑒 −6515.2𝑡 (sin(24984.4𝑡)) + −3.49𝑒 −6515.2𝑡 (cos((24984.4𝑡))(24984.4)
Resolviendo la ecuación se tiene que t = 62μs
Evaluando el tiempo obtenido en la ecuación original se tiene que V(28μs)=2.8V
24
6. Anexos
25