Tema 2. Aritmética y codificación

Centro Asociado Palma de Mallorca
Arquitectura de Ordenadores Tutor: Antonio Rivero Cuesta
Unidad Didáctica 1 Representación de la Inf ormación y Funciones Lógicas Tema 2 Aritmética y Codificación Aritmética Binaria Suma Binaria Acarreo Se define como el desbordamiento que se alcanza al
sumar al dígito de mayor valor (el 1) un valor distinto
de cero (0).
Lo que conlleva al desplazamiento de una unidad en
el resultado de la suma.
No se puede realizar con sólo el dígito inicialmente
existente.
Realice la suma de dos números binarios, de valor
decimal 7 y 12.
11
Acarreo
111
+
1100
10011
Realice la suma de dos números binarios, de valor
decimal 5,5 y 6,75.
111 1
1 0 1, 1
+
1 1 0, 1 1
1 1 0 0, 0 1
Acarreo
Resta Binaria Aparece el concepto de préstamo.
El préstamo se define como el valor necesario que se
cedería al dígito anterior, de forma que éste pueda
restar un dígito que de otra forma sería suficiente.
Realice la resta de dos números binarios, 1100 y 111.
1 1 1 Préstamo
01 01 10 0
−
1 1 1
0 1 0 1
Realice la resta de dos números binarios, 10000 y 1.
1 1 1 1 Préstamo
01 10 10 10 0
−
1
0 1 1 1 1
Formatos de los Números y su Representación Representación de Números en Coma Fija sin Signo Un número se representa mediante dos partes
separadas mediante una coma, que ocupa una posición
fija dentro de los dígitos que componen el número.
A la izquierda de la coma se encuentra la parte entera,
mientras que a su derecha está la parte fraccionaria.
Que la parte entera y fraccionaria tenga un número
fijo de bits, es el que obliga a que la coma se
encuentre en una posición fija, de ahí la denominación
de coma fija.
Representación de Números Naturales en Binario Puro El sistema de representación en binario puro se realiza
mediante coma fija sin signo
Es un sistema polinomial de base b = 2 y sin parte
fraccionaria.
Este sistema permite representar, con palabras de n
n
bits, todos los enteros positivos desde 0 hasta 2 −1.
n
Por tanto su rango es de [0, 2 −1] y su resolución es
la unidad.
Representación de Números en Coma Fija con Signo Los sistemas digitales deben ser capaces de procesar
tanto con números positivos como con negativos, es
decir, información numérica con signo.
En la representación habitual de números se añade un
signo a su izquierda, + en los números positivos y –
en los números negativos.
La solución adoptada para evitar la inclusión de un
nuevo nivel para el signo, es añadir un dígito más que
indique el signo del número.
Este bit denominado dígito de signo, se encuentra
situado en el extremo izquierdo de la representación
del número.
Toma el valor:

0 cuando se trate de números positivos.

1 para los negativos.
Los formatos más habituales de representación de los
números con signo son:

Signo-magnitud.

Complemento a la base.

Complemento a la base menos uno.
Formato de Números Binarios en Signo‐Magnitud Este tipo de representación utiliza uno de los dígitos,
el situado más a la izquierda del número, para indicar
su signo.
Recibe el nombre de signo-magnitud, porque un
dígito se dedica al signo y los demás a la magnitud.
Con n bits, el valor decimal que se puede representar
estará comprendido en el rango simétrico:
[± (2
n–1
–1)]
Un inconveniente, es la necesidad de utilizar circuitos
diferentes para realizar las operaciones de suma y de
resta.
Complementos Para evitar el inconveniente del sistema de
representación en signo-magnitud se utilizan los
complementos.
Son transformaciones en la representación de números
utilizados por las máquinas digitales para convertir
restas en sumas.
Los complementos pueden ser de dos clases:

Complemento a la base b.

Complemento a la base menos uno.
Complemento a la Base Dado un número positivo N, de n dígitos enteros y
representado en base b, se define su complemento a la
base, como el número Cb(N) que cumple:
N + Cb(N) = bn
Para N = 0 su complemento vale Cb(N) = 0.
En el sistema decimal recibe el nombre de
complemento a diez
En el sistema binario se denomina complemento a
dos.
Calcular el complemento a la base de los números:
2
C10 (72) = 10 − 72 = 100 − 72 = 28(10
C2 (110,01) = 23 − 110,01 = 1000 − 110,01 = 001,11
Complemento a la Base Menos Uno Dado un número positivo N en base b, compuesto por
n dígitos en la parte entera y m dígitos en la parte
fraccionaria, se define su complemento a la base
menos uno, como el número Cb −1(N) que cumple:
n
N + Cb–1(N) = b − b
−m
–m
0
Cuando la parte fraccionaria es cero, b = b = 1,
siendo en este caso el complemento a la base menos
uno igual a:
Cb–1(N) = bn –1 –N
n
Se debe observar que b – 1 es el valor máximo que se
puede representar en la base b con n dígitos enteros.
Para N > 0, el valor de su complemento a la base
menos uno es igual a:
Cb(N) = bn – 1 – N.
Para N = 0 su complemento vale:
n
n
Cb-1(N) = b – 1 – N = b – 1,
Calcular el complemento a la base menos uno:
2
C9 (72) = 10 − 1 − 72 = 99 − 72 = 27(10
C2 (110,01) = 23 – 2–2 − 110,01 = 111,11 − 111,01 =
001,10
Convenio del Complemento a dos en Números Binarios En el convenio del complemento a dos con formato
de n bits, incluido el signo, se pueden representar sólo
números comprendidos en el rango asimétrico:
n–1
n–1
[–2 , 2 –1]
Convenio del Complemento a Uno en Números Binarios En el convenio del complemento a uno con formato
de n bits, incluido el signo, se pueden representar
números comprendidos en el rango simétrico:
[–(2
n–1
n–1
–1), 2
–1]
Comparación entre las Representaciones Diferentes de Números Binarios con Signo Representación de los Números Reales en Binario Todos los números reales binarios, que se han
representado anteriormente, tienen un formato de
coma fija.
Con este formato un número real se representa
mediante dos partes separadas mediante una coma.
Modificar la posición de la coma tiene un efecto de
multiplicación por un factor que es potencia de dos:
−n

Negativa 2 .

Positiva 2m.
Según se desplace n posiciones a la izquierda o m
posiciones a la derecha respectivamente.
Representar el número 12,25(10 en binario con formato
de coma fija.
Desplazar, en la representación binaria, la coma una
posición a derecha e izquierda y calcular los nuevos
valores que toma en cada caso el número binario
modificado.
12,25(10 = 1100,01(2
11000,1(2 = 24,5(10
110,001(2 = 6,125(10
Coma Flotante El tamaño de los números binarios o palabras de
memoria, con el que operan los sistemas digitales,
suele ser demasiado pequeño para representar
números reales en coma fija, ya que limita
considerablemente su rango de representación.
En la notación en coma flotante, un número tiene tres
componentes:

Una mantisa M.

Un exponente E.

Una base b.
Generalizando, un número N en coma flotante tiene la
siguiente composición:
N = S M(b)E
S: es el signo del número.
M: es el valor absoluto de la mantisa.
E: es el valor del exponente.
b: es la base del sistema de numeración utilizado.
La precisión de los cálculos depende directamente del
número de dígitos que tenga la mantisa.
El rango de representación, o valores extremos que el
sistema digital es capaz de manejar, lo determina el
número de dígitos que tiene el exponente.
La representación de un número en coma flotante no
es única, pues tiene tantas variaciones como lugares
pueda ocupar la coma.
Para evitar representaciones múltiples del mismo
número, se adopta el convenio de situar la coma en un
lugar fijo de la mantisa.
Para mantener el mayor número de dígitos
significativos en la mantisa y con ello disponer de la
mayor precisión posible, los números en coma
flotante se normalizan.
Al proceso que transforma cualquier mantisa, en una
mantisa normalizada se denomina normalización.
Implica el ajuste del exponente para que el valor del
número no quede alterado.
Un formato de coma flotante muy extendido en los
sistemas digitales es el estándar IEEE 754:

Un bit de signo S, que es el signo de la mantisa.

El campo del exponente E de 8 bits (incluido
implícitamente el signo del exponente).

El campo de la mantisa m de 23 bits.
S
N = (−1) · 2
E−127
· (1,m)
El estándar IEEE 754 también establece un formato
de 64 bits, 11 bits en el campo del exponente y 52 bits
en el campo de la mantisa, cumpliéndose la expresión:
N = (−1)S · 2E−1023 · (1,m)
Representar el número −6,125(10 según el estándar
IEEE 754 con formato de 32 bits.
El número −6,125(10 se representa, su valor positivo
en binario, como 110,001.
Según el estándar IEEE 754, el número propuesto,
debe cumplir la expresión:
S
N = (−1) · 2
1
N = (−1) ·
E−127
· (1,m) =
129−127
(2
(10)
· (1,10001(2) =
N = (–1) · (4(10) · (1,53125(10) = –6,125
Su almacenamiento, según el estándar IEEE 754 para
números de 32 bits en coma flotante, es:
31
23
0
11000000110001000000000000000000
Casos especiales de representación mediante el
estándar IEEE 754:
El cero se representa mediante una secuencia de 32
ceros.
Los números en los que el exponente E = 255
representan valores infinitos o expresiones de la forma
0/0.
El último caso trata de cubrir el hueco dejado por la
representación en coma flotante con mantisa
normalizada, y conseguir una representación cercana
al cero que tenga una distribución de errores
uniforme.
Para ello este estándar emplea la representación no
normalizada para E = 0 y M ≠ 0, cumpliendo el
número N representado la siguiente expresión.
N = (−1)S · 2−126 · (0,m)
Determinar el valor decimal del número siguiente
expresado en el formato binario de coma flotante de
32 bits, según el estándar IEEE 754:
0000 0000 0001 1101 0100 0000 0000 0000
El número representado en coma flotante es un caso
especial de los representados en la Tabla 3.6, donde el
exponente E = 0 y la mantisa M ≠ 0.
Aplicando la expresión correspondiente a este caso
especial, se obtiene:
N = (−1)0 · 2–126(0,001110101(2) =
N = 1,175494 · 10−38 · 0,228515 =
N = 2,686188 · 10
−39
Definiciones y Codificación de la Inf ormación Propiedades de Interés de los Códigos UNIFORMIDAD: Un código es uniforme si a cada
símbolo fuente le corresponde una palabra código. A
los códigos que cumplen esta propiedad también se
les denomina código bloque.
NO SINGULARIDAD: Un código uniforme es no
singular si a cada símbolo fuente le corresponde
palabras de código distintas.
DECODIFICACIÓN UNÍVOCA: Un código es
unívocamente decodificable si, y sólo si, su extensión
de orden n es no singular para cualquier valor finito n.
DECODIFICACIÓN
INSTANTÁNEA:
Se
denomina instantáneo, a un código unívocamente
decodificable, cuando éste permite decodificar sin
ambigüedad las palabras contenidas en una secuencia
de símbolos del alfabeto código, sin necesitar el
conocimiento de los símbolos que les suceden.
Códigos Binarios PONDERADOS: Son aquellos códigos que a cada
dígito binario se le asigna un peso y a cada palabra
código la suma de los pesos de los dígitos binarios
con valor uno, siendo el resultado igual al número
decimal al que representan.
La distancia entre dos palabras de código, se define
como el número de dígitos que deben ser invertidos en
una de ellas para obtener la otra.
DISTANCIA DEL CÓDIGO BINARIO: se define
como la menor de las distancias entre dos
cualesquiera de sus palabras código.
Dos palabras de código son adyacentes si su distancia
es uno, es decir, sólo difieren en un bit.
CONTINUOS: Son aquellos códigos cuyas palabras
consecutivas son adyacentes; es decir, si dos
cualesquiera de sus palabras de código consecutivas
sólo difieren en un bit.
CÍCLICOS: Son aquellos códigos que además de ser
continuos, la primera y última palabra de código
también son adyacentes.
DENSO: Se define a un código como denso si
teniendo una longitud de palabra de n bits está
n
formado por 2 palabras de código.
AUTOCOMPLEMENTARIOS AL NÚMERO N:
Son aquellos códigos, cuya palabra de código y su
complementada suman N. Los códigos con esta
propiedad posibilitan efectuar más fácilmente las
operaciones de resta mediante el complemento a N.
Tipos Códigos Numéricos Código Binario Natural Este código representa los valores decimales en el
sistema de base dos.
En la Tabla 3.15 se representa, a modo de ejemplo, el
código binario natural, para el caso de longitud de
palabra de cuatro bits.
Códigos BCD En aplicaciones de introducción de información
digital en forma decimal y en su visualización, como
son por ejemplo los displays, resulta aconsejable, para
simplificar los circuitos digitales, el empleo de
códigos que representen por separado cada uno de los
dígitos del número decimal.
Este tipo de códigos se denomina decimales
codificados en binario (Binary Coded Decimal,
códigos BCD en lo sucesivo).
El número de dígitos binarios necesarios para la
codificación es cuatro.
Pueden ser códigos:

Ponderados.

No ponderados.
Dentro de los códigos ponderados se pueden destacar
el BCD Natural o BCD 8421.
La conversión de un número decimal a código BCD
se realiza expresando cada dígito decimal mediante la
combinación binaria correspondiente del código BCD
elegido.
La conversión del código BCD a un número decimal
se realiza dividiendo el número, a partir de la coma,
en grupos de cuatro bits, expresando en cada grupo su
valor decimal correspondiente del código BCD
elegido.
La representación del número decimal 37,6 en el
código BCD natural es:
3
7
,
6
0 0 1 1 0 1 1 1 , 0 1 1 0
El valor decimal
1001010011,011 es:
del
código
BCD
natural:
1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 , 0 1 1 0
2
5
3
,
6
Representar el número decimal 127,25 en los códigos
BCD natural, Aiken 2421, exceso 3 y en binario
natural.
Determinar el número decimal del código: 0100 0101
1000,0011 cuando está expresado en: BCD natural,
Aiken 2421, exceso 3 y en binario natural.
La ventaja que presentan los códigos BCD, como ya
se ha indicado anteriormente, es que al efectuarse
codificaciones independientes para cada dígito, se
facilita la conversión decimal-binario.
La desventaja que presentan es que se necesitan más
bits para ser representados.
Códigos Continuos y Cíclicos Los códigos cíclicos por definición son continuos.
Garantizan que entre dos palabras de código
adyacentes solamente cambiará un bit.
Se evita la aparición de palabras transitorias de código
debidas a la imposibilidad de conmutación de dos o
más dígitos.
Una de las aplicaciones importantes de estos códigos
está en los sistemas de conversión de digital a
analógico y de analógico a digital.
Código Gray El código Gray es uno de los códigos cíclicos más
usados.
También recibe el nombre de código reflejado,
debido al reflejo que se debe realizar en las palabras
código al construirlo.
TABLA 3.25
Construcción del código Gray o código reflejado
TABLA 3.26
Código Gray de cuatro bits
TABLA 3.27
Propiedades del código Gray
Conversión de Binario a Gray 101011, en código binario natural, a código Gray.
Conversión de Gray a Binario 111110, en código Gray, a código binario natural.
Código Johnson El código Johnson es continuo y cíclico.
Este código recibe también el nombre de código
progresivo, debido a que el número de unos aumenta
y disminuye progresivamente de una combinación a la
siguiente.
Presenta la desventaja de tener una capacidad de
codificación para n bits de tan sólo 2 · n símbolos
fuentes distintos, por lo que no es denso.
TABLA 3.28
Código Johnson
TABLA 3.29
Propiedades del código Johnson
TABLA 3.30
Propiedades de los códigos
Códigos Alfanuméricos Se caracterizan porque permiten representar tanto
números como caracteres alfabéticos.
Incluyen caracteres especiales y de control,
necesarios, estos últimos, para la transferencia de
información.
Podemos destacar:

EBCDIC

ASCII
Código ASCII Códigos Detectores de Error Cuando se transmite información digital por un medio
físico, tal como cable, radio, fibra óptica, etc., se
pueden producir errores, debido a la presencia de
ruido, interferencias electromagnéticas, fallo de
componentes, falsos contactos, etc.
En un código denso no es posible la detección de un
error.
Es necesario que las palabras código no presenten
todas las posibles combinaciones.
Esta condición es necesaria, pero no suficiente.
La condición necesaria y suficiente para que un
código binario permita detectar errores en un bit es
que su distancia sea superior a la unidad.
Para ello, se añade información redundante (bits de
chequeo) a la palabra a transmitir aumentando su
distancia.
Códigos de Paridad Se define la paridad de una combinación o palabra de
código binario, como el número de unos que contiene.
Si el número de unos:

Es par, la configuración tendrá paridad par.

En caso contrario, tendrá paridad impar.
Los códigos de paridad se forman partiendo de
cualquier código cuya distancia mínima sea uno.
A cada combinación del código base se le añade un
bit llamado bit de paridad.
El bit de paridad toma un valor tal que hace que el
número total de unos en el grupo sea siempre par o
impar.
Si se desea obtener un código de paridad par, dicho bit
será tal que el número de unos en cada palabra del
nuevo código sea par.
Por el contrario, para obtener un código de paridad
impar, dicho bit será tal que el número de unos en
cada palabra del nuevo código sea impar.
TABLA 3.32
Código de paridad correspondiente al código base BCD natural
La detección de errores requiere que el transmisor
genere el código de paridad, a partir del código base,
añadiendo el bit de paridad (par o impar) y enviando
esta información por el medio de transmisión.
El receptor, en el otro extremo del medio de
transmisión, debe comprobar si la paridad se mantiene
igual a la prefijada en el transmisor (par o impar),
detectando el error cuando ésta no se cumpla.
Códigos de Peso Fijo Cabe destacar el código 2 entre 5 y el código
biquinario.
Este último es ponderado y consta de dos partes, una
de dos bits y otra de cinco bits, de ahí su nombre.
Los dos códigos indicados se caracterizan por tener
una distancia de código igual a dos (lo que permite la
detección de un bit de error) y todas sus palabras
código tienen exactamente dos unos (paridad par).
TABLA 3.33
Códigos Correctores de Error Además de detectar la presencia de un error,
proporcionan información, indicando los bits en los
que se ha producido el error.
Una vez identificados los bits erróneos basta con
invertir su valor y así obtener el valor correcto de los
datos.
Estos códigos, se utilizan principalmente en la
transmisión de información, y en especial en aquellos
casos donde la transmisión se realiza una sola vez,
existiendo la imposibilidad de volver a repetirla
cuando se detecta que se ha producido el error.
Tal es el caso de los sistemas que trabajan en tiempo
real, en los que la información que se transmite es
utilizada por el sistema receptor en el mismo instante
en el que se recibe.
La condición necesaria y suficiente para que un
código permita corregir errores en un bit es que la
distancia mínima debe ser superior a dos.
Código Hamming Para detectar F bit erróneos la distancia mínima ha de
ser:
2·F+1
A una palabra de n bits habrá que añadir k bits de
paridad tal que:
k
2 ≥n+k
Se dice que es óptimo cuando cumple la igualdad:
2k = n + k + 1
Procedimiento:
Numerar de derecha a izquierda los bits con 1,2,3,4...
Los bits de paridad ocuparán las posiciones:
0
1
2
3
2 , 2 , 2 , 2 ,...
1,2,4,8,...
Los bits del test Ti deben de cumplir que el conjunto
evaluado tenga paridad par.
TABLA 3.34
Palabra de test de paridad, en función de la posición del error,
para el código Hamming
Generador Hamming Corrector Hamming El valor señalado por los bits de test, representa la
posición (T3 T2 T1) = (011).
El bit de la posición tercera del mensaje recibido
(0110111) se debe invertir.
Obteniéndose el mensaje correcto 0110011 del dígito
decimal 6.
Tabla Hamming Determinar si el dato 1010101 recibido en código
Hamming, es correcto o bien corregirlo si es
necesario.
Posición Pi
Mensaje
P7 ⨁ P5 ⨁ P3 ⨁ P1
P7 ⨁ P6 ⨁ P3 ⨁ P2
P7 ⨁ P6 ⨁ P5 ⨁ P4
B4 B3 B2 C3 B1 C2 C1
P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
Ti
1
1 T1 = 0
T2 = 0
T3 = 0
Tabla Hamming Determinar si el dato 1000010 recibido en código
Hamming, es correcto o bien corregirlo si es
necesario.
Posición Pi
Mensaje
P7 ⨁ P5 ⨁ P3 ⨁ P1
P7 ⨁ P6 ⨁ P3 ⨁ P2
P7 ⨁ P6 ⨁ P5 ⨁ P4
B4 B3 B2 C3 B1 C2 C1
P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
Ti
0
0 T1 = 1
T2 = 0
T3 = 1
El valor señalado por los bits de test, representa la
posición (T3 T2 T1) = (101).
El bit de la posición 5 del mensaje recibido se debe
invertir.
1010010