Centroide y momento de inercia
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL TEMA: MOMENTO DE INERCIA Y CENTROIDES CURSO: ESTATICA DOCENTE: ESTUDIANTE: HUANCAYO DEL 2012 CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA FORMULARIO DE CENTROIDE EN 2D Forma 𝐱̅ 𝒉 𝟑 Área triangular Un cuarto de área circular Área semicircular Un cuarto de área elíptica Área semieliptica 𝐲̅ AREA 𝐛𝐡 𝟐 𝟒𝐫 𝟑𝛑 𝟒𝐫 𝟑𝛑 𝛑𝐫 𝟐 𝟒 0 𝟒𝐫 𝟑𝛑 𝛑𝐫 𝟐 𝟐 𝟒𝐚 𝟑𝛑 0 𝟒𝐛 𝟑𝛑 𝟒𝐛 𝟑𝛑 𝛑𝐚𝐛 𝟒 𝛑𝐚𝐛 𝟐 CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA Área semiparabo Área parabólica Enjuta parabólica Enjuta general Sector circular 𝟐𝐚𝐡 𝟑 𝟑𝐚 𝟖 𝟑𝐡 𝟓 0 𝟑𝐡 𝟓 𝟒𝐚𝐡 𝟑 𝟑𝐚 𝟒 𝟑𝐡 𝟏𝟎 𝐚𝐡 𝟑 𝐧+𝟏 𝐡 𝟒𝐧 + 𝟐 𝐚𝐡 𝐧+𝟏 𝐧+𝟏 a 𝐧+𝟐 𝟐𝐫 𝐬𝐢𝐧 𝛂 𝟑𝛂 0 α𝐫 𝟐 CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA Forma 𝐱̅ 𝐲̅ Un cuarto de arco circular 𝟐𝐫 𝛑 𝟐𝐫 𝛑 𝛑𝐫 𝟐 𝟐𝐫 𝛑 𝛑𝐫 Arco semicircula r Arco de círculo 0 𝐫𝐬𝐢𝐧 𝛂 𝐚 0 Longitud 2αr CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA FORMULARIO DE CENTROIDE EN 3D º1º Forma 𝐱̅ Semiesfera 𝟑𝐚 𝟖 𝟐𝛑𝐚𝟑 𝟑 Semielipsoide revolución 𝟑𝐡 𝟖 𝟐𝛑𝐚𝟐 𝐡 𝟑 𝐡 𝟑 𝐦𝐫 𝟐 𝐡 𝟐 Paraboloide de revolución Volumen CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA Pirámide 𝐡 𝟒 𝛑𝐚𝟐 𝐡 𝟑 𝐡 𝟒 𝐚𝐛𝐡 𝟑 Ubicar su centroide en 𝑥̅ . 𝑎 𝑥̅ = 𝑥̅ = ∫0 𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑎 ∫0 𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑘 𝑥4 4 𝑥3 𝑎 = a = 3 0 ∫0 𝑥𝑘𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 ∫0 𝑘𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝑎 4 CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA Ubicar el centroide en 𝑥̅ 𝑎 𝑥̅ = 𝑥̅ = ∫0 𝑦𝑑𝑣 𝑎 ∫0 𝑑𝑣 𝑦2 2 𝑌 4 𝑅 − 2 4 𝑌3 2 𝑅 𝑌− 3 𝑎 = 𝜋 ∫0 (𝑦𝑅 2 − 𝑦 3 )𝑑𝑦 𝑎 𝜋 ∫0 (𝑅 2 − 𝑦 2 )𝑑𝑦 a 3𝑎 8 = o Ubicar el centroide en x ℎ 𝑥̅ = ∫0 𝑥𝑑𝑣 ℎ ∫0 𝑑𝑣 ℎ = 𝜋 ∫0 (𝑥)𝑑𝑥 ℎ 𝜋 ∫0 (𝑅 2 )𝑑𝑥 (ℎ − 𝑥)2 𝑎2 𝑑𝑥 ∫ℎ(𝑥ℎ2 − 2ℎ𝑥 2 + 𝑥 3 )𝑑𝑥 2 ℎ 𝑥̅ = = 0ℎ 2 ℎ 𝑎 ∫0 (ℎ2 − 2ℎ𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 ∫0 (ℎ − 𝑥)2 2 𝑑𝑥 ℎ ℎ ∫0 𝑥 𝑥̅ = 𝑥2 2 ℎ𝑥3 𝑦4 ℎ −2 + 2 3 4 𝑥2 𝑥3 2 ℎ 𝑥−2ℎ + 2 3 h ℎ =4 o CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA FORMULARIO MOMENTO DE INERCIA FORMA Eje X Eje Y Eje Z 𝐈𝐱 = 𝟎 𝐈𝐲 = 𝟎 𝑴𝑹𝟐 𝟐 𝟐𝑴𝑹𝟐 𝟓 𝟐𝑴𝑹𝟐 𝟓 𝟐𝑴𝑹𝟐 𝟓 𝟑𝑴𝑹𝟐 𝟏𝟎 𝑴𝑹𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟐 𝐌( 𝐑 + 𝐇 𝟐 ) 𝟓 𝟒 𝐌 𝟏 𝟐 ( 𝐑 + 𝐇𝟐 ) 𝟑 𝟑 𝟑𝑴𝑹𝟐 𝟏𝟎 𝐌 𝟏 ( 𝐑𝟐 + 𝐇 𝟐 ) 𝟑 𝟑 CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA 𝝅𝒓𝟒 𝟏𝟔 𝒉𝒃𝟑 𝟑 𝒂𝒉𝟑 𝟏𝟐 𝒂𝒉𝟑 𝟑(𝟑𝒏 + 𝟏) 𝒂𝟑 𝒉 𝟏𝟐 𝒉𝒂𝟑 𝒏+𝟑 𝝅𝒓𝟒 𝟏𝟔 𝒃𝒉𝟑 𝟑 CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA 𝑴𝑳𝟐 𝟏𝟐 𝑴𝑹𝟐 𝟒 𝑴𝑹𝟐 𝟒 𝑴𝑹𝟐 𝟐 Consideramos la esfera como una serie de discos .tomemos un disco diferencial como se muetra en la figura, su redio es 𝑟 = √𝑅 2 − 𝑧 2 , Su espesor dz. La masa del disco es dm= 𝑉= 4 𝜋𝑅 3 𝑒𝑙 3 𝑀 𝜋𝑟 2 𝑑𝑧 𝑉 M es al masa de la esfera y 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 de la esfera. El momento de inercia del disco con respecto al eje z es: 1 1𝑀 𝑑𝐼𝑧 = 𝑑𝑚𝑟 2 = 𝜋(𝑅 2 − 𝑧 2 )𝑑𝑧 2 2𝑉 Entonces el momento de inercia de la esfera lo encontramos integrando esta expresión desde z=-R asta z=R 𝑅 1𝑀 𝜋(𝑅 2 − 𝑍 2 )𝑑𝑧 −𝑅 2 𝑉 𝐼𝑧 = ∫ 𝑑𝐼𝑧 = ∫ 2 𝐼𝑧 = 5 𝑀𝑅 2 CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA Consideramos un elemento diferencial al anillo de radio r y ancho dr , su masa es : 𝑀 dm=𝜋𝑅2 2𝜋𝑟𝑑𝑟 = 2𝑀 𝑟𝑑𝑟 𝑅2 el momento de inercia de este anillo con respecto el eje perpendicular que pasa por O es : 𝑑𝐼𝑜 = 𝑟 2 𝑑𝑚 = 𝑟 2 2𝑀 2𝑀 𝑟𝑑𝑟 = 2 𝑟 3 𝑑𝑟 2 𝑅 𝑅 Entonces el momento de inercia del disco es : 𝑅 𝐼0 = ∫ 𝑑𝐼0 = ∫ 0 1 𝐼0 = 2 𝑀𝑅 2 2𝑀 3 𝑟 𝑑𝑟 𝑅2 CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA PRODUCTO DE INERCIA Llamada el producto de inercia, es necesaria a fin de determinar los momentos de inercia máximo y mínimo para el área. Estos valores máximos y mínimos son propiedades importantes necesarias para diseñar elementos estructurales y mecánicos como vigas, columnas y flechas. El producto de inercia del área con respecto a los ejes x e y se define como : 𝐼𝑥𝑦 = ∫ 𝑥𝑦𝑑𝐴 Si el elemento de área elegido tiene un tamaño diferencial en dos direcciones, para evaluar 𝐼𝑥𝑦 debe realizarse una integración doble, sin embargo, con referencias. Es más fácil elegir un elemento que tenga un tamaño diferéncialo espesor en solo una dirección, en cuyo caso la evaluación requiere solo una integración simple TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Nos dice que producto de inercia es igual al producto de inercia respecto al centroide más el área de todo el elemento multiplicado por la distancias al centroide respecto a los ejes de coordenadas: 𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑥′𝑦′ + 𝐴𝑑𝑥 𝑑𝑦 Es importante que los signos algebraicos para 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 se mantenga al aplicar esta ecuación CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA EJEMPLO: Determine el producto de inercia 𝐼𝑥𝑦 del triangulo que se muestra en la figura h Solución: un elemento diferencial con espesor dx, Como se muestra en figura tiene un área dA=ydx. El producto de inercia de este elemento con respecto b A los ejes x y y se determina con el teorema de los ejes paralelos 𝑑𝐼𝑋𝑌 = 𝑑𝐼𝑥′𝑦′ + 𝑑𝐴𝑥̃𝑦̃ Donde 𝑥̃ y 𝑦̃ ubican el centroide del elemento o el origen de Los ejes x’, y’ .como d𝐼𝑥′𝑦′ =0, debido a la simetría y 𝑥̃ =x 𝑦 2 𝑦̃ = , entonces h 𝑦 2 = dx b ℎ 𝑏 ℎ 𝑥) 2𝑏 d𝐼𝑥𝑦 = 0 + (𝑦𝑑𝑥)𝑥 ( ) = ( 𝑥𝑑𝑥) 𝑥( ℎ2 3 𝑥 𝑑𝑥 2𝑏2 Al integrar con respecto a x desde x=0 hasta x=b se Obtiene ℎ2 𝑏 𝐼𝑥𝑦 = 2𝑏2 ∫0 𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑏 2 ℎ2 8 CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA CÍRCULO DE MÖHR El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de inercia, las deformaciones y los esfuerzos, inercia, deformaciones y esfuerzos, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918 ) Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usa para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizada entonces para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos.Final del formulario CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA