Cambios de variable para integrales exponenciales

Cambios de variable para integrales exponenciales
Llamamos integrales exponenciales a aquellas cuyo integrando contiene logaritmos, exponenciales o funciones hiperbólicas.
1) Si predominan logaritmos neperianos, un posible cambio es ln x = t , con lo
que x = et y dx = et dt
2) Si predominan exponenciales, se recomienda hacer ex = t , con lo que dx = dt/t
3) Si R(− senh x, cosh x) = −R(senh x, cosh x) (integrando impar en seno), se
hace cosh x = t con lo que
senh x =
√
t2 − 1 ; senh x dx = dt =⇒ dx = √
dt
t2 − 1
4) Si R(senh x, − cosh x) = −R(senh x, cosh x) (integrando impar en coseno),
se hace senh x = t con lo que
cosh x =
√
t2 + 1 ; cosh x dx = dt =⇒ dx = √
dt
t2 + 1
5) Si R(− senh x, − cosh x) = R(senh x, cosh x), se hace tanh x = t , con lo que
cosh x = √
1
1−
t2
; senh x = √
t
1−
6) En los restantes casos, se hace tanh
cosh
t2
; (1−tanh2 x) dx = dt =⇒ dx =
dt
1 − t2
x
= t , con lo que
2
x
1
x
t
2t
1 + t2
=√
; senh = √
=⇒ senh x =
;
cosh
x
=
2
2
1 − t2
1 − t2
1 − t2
1 − t2
³
x´ ³x´
2dt
1 − tanh2
d
= dt =⇒ dx =
2
2
1 − t2
7) Cambio de productos en sumas. A partir de
cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
cosh(x − y) = cosh x cosh y − senh x senh y
senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y
senh(x − y) = senh x cosh y − cosh x senh y
se obtiene
senh x senh y =
cosh(x + y) − cosh(x − y)
2
cosh x cosh y =
cosh(x + y) + cosh(x − y)
2
senh x cosh y =
senh(x + y) + senh(x − y)
2