File

ESTRUCTURAS GEOMÉTRICAS ASOCIADAS
A LA MÚSICA TONAL
Cristian Manuel Bañuelos Hinojosa ∗,1
∗
Universidad Autónoma de Baja California, Ensenada
B.C., México.
Resumen: Se analiza la teorı́a básica de la música tonal desde el punto de vista
matemático; para ello se toman las definiciones de escalas, intervalos, acordes,
triadas diatónicas y progresiones armónicas para ser traducidas a un lenguaje
geométrico y algebraico. En particular las triadas diatónicas las consideramos
3
como puntos en un espacio T basado en Z . Se definen ciertas operaciones sobre
las mismas, que generan sucesiones de acordes, las cuales corresponden a lo que se
conoce como progresiones armónicas.
Por otra parte, el conjunto T de triadas se puede dividir en clases de equivalencia,
de acuerdo a los grados de la escala. Ası́ mismo, se le asigna una métrica y un
orden, que junto con las operaciones definidas, permiten pasar entre cualquier par
de clases de triadas. Es conveniente aclarar que el resultado de estas operaciones
se ajusta a las reglas básicas de la conducción de voces.
Por último, se utilizan los resultados para el análisis musical; en particular se
analiza un fragmento de un preludio de J.S. Bach. Lo anterior se implementa en un
programa de cómputo que permite al usuario explorar y escuchar las progresiones
generadas por las operaciones sobre las triadas.
Keywords: Geometrı́a, música tonal.
1. INTRODUCCIÓN
Al escuchar una gran obra musical, como la quinta
sinfonı́a de Beethoven, uno puede quedar impresionado e intrigado, con deseos de encontrar la
razón por la cual esos sonidos, en tal orden, producen una espléndida obra, que despierta emociones y sentimientos. El oı́do puede captar ciertos
patrones e indicios de estructura, pero al analizar
la partitura con más detalle pueden encontrarse
grandes simetrı́as. Con esta motivación, el objetivo del presente trabajo es analizar las simetrı́as
que surgen al analizar la música tonal, por medio
de técnicas de la geometrı́a y el álgebra, con el fin
de encontrar alguna estructura util para el análisis
musical. El primer paso consiste en delimitar el
1
Director de tesis: Alvaro Alvarez Parrilla.
estudio. Se analizará únicamente la música tonal
que consiste en un estilo de música caracterizado por el uso de acordes llamados triadas; es
decir, conjuntos de tres sonidos que al ejecutarse simultáneamente satisfacen ciertas propiedades
definidas, las cuales se explican más adelante. Algunos compositores de este estilo de música son:
J.S. Bach, Haendel, Mozart, Beethoven, Schubert,
Schumann, Brahms, Wagner, Tchaikovsky, ası́ como muchos de sus contemporáneos. Por su parte,
J.P. Rameau es uno de los teoricos más grandes
de la música tonal [8]. Cabe destacar que la mayor parte de la música popular de nuestros dı́as
está basada en las reglas de la armonı́a tonal.
El siguente paso es formalizar en un lenguaje matemático más convencional los conceptos básicos
de la música tonal. Con ellos se pretende encontrar
alguna estructura geométrica en la que se caracterice el fundamento de este tipo de música: las
triadas.
En la literatura existen trabajos donde se utilizan
conceptos matemáticos para describir estructuras
musicales 2 , como el realizado por Dmitri Tymoczko [3], que representa los acordes como puntos en orbifolds. Por otra parte, el trabajo de Guerino Mazzola [4], que utiliza teorı́a de categorı́as
para describir conceptos semióticos y ontológicos
de la música. Este trabajo surge de la necesidad
de un punto de vista intermedio donde se pretende
analizar especı́ficamente la estructura de la música
tonal.
Notemos que [xi ] ∩ [xj ] = φ si y sólo si i 6= j,
ası́ como:
n−1
[
E=
[xi ].
i=0
Con esta partición de E es adecuado definir una
relación de equivalencia. Diremos que a, b ∈ E
se relacionan a ∼12 b si a, b ∈ [xi ] para algún
1 ≤ i ≤ n. Es importante destacar que las notas
en las clases de equivalencia [xi ] están separadas
entre sı́ por múltiplos de 12, que en música se
conocen como octavas. Por otro lado, si tenemos
la escala E, su base y la partición del conjunto
dada por ∼12 podemos recuperar la estructura al
realizar el siguiente cociente:
N = (E − b)/ ∼12 .
2. TRADUCCIÓN MATEMÁTICA
A continuación se traducen algunos conceptos musicales básicos al lenguaje matemático. Para una
descripción detallada de su significado musical ver
[1], [5] y [7].
Una escala musical es el conjunto de sonidos básicos que se utilizan en la composición de una pieza
tonal. Digamos que el conjunto Z12m representa
las teclas de un piano numeradas de izquierda
a derecha, con m octavas. De modo que cada
número representa una nota musical.
Definición 2.1. La estructura de una escala, es
un conjunto que satisface:
N = {x0 , x2 , · · · , xn−1 } ⊂ Z12m
0 ≤ n ≤ 12,
xn−1 − x0 ≤ 12,
xi < xi+1 ,
Una escala E es el conjunto:
E = {x ∈ Z12m |x = xi + b + 12r},
Donde i, r, b ∈ Z12m . El número b es llamado
nota base y satisface: 0 ≤ b < 12; por otra parte
xi ∈ N , 0 ≤ r < m.
De lo anterior es claro que la escala E se genera
con m copias de la estructura N , que consta de
n elementos. Más aun, podemos encontrar una
partición de la misma con los siguientes conjuntos:
Definición 2.2. Llamamos grados de la escala a
los conjuntos:
[xi ] = {x ∈ E|x = xi + b + 12r},
para algun r ∈ Z con 0 ≤ r < m. Si e ∈ [xi ] se
dice que e pertenece al grado i de la escala.
2
Para una exposición de las relaciones entre musica y
matemáticas a lo largo de la historia ver [6].
En el siguiente cuadro se muestran algunas de
las escalas más comúnes en la música tonal: la
cromática, mayor y menor natural.
Escala
Cromática
Mayor
Menor natural
Estructura
{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
{0, 2, 4, 5, 7, 9, 11}
{0, 2, 3, 5, 7, 8, 10}
Cuadro 1. Algunas escalas musicales.
Por otra parte, cualquier par de escalas con la
misma estructura N , están relacionadas por transposición. Esto se muestra en la siguiente:
Proposición 2.1. Sean E una escala con nota base
b, ası́ como D la escala con nota base 0, ambas
con la misma estructura N ; entonces existe un
k ∈ Z12m , 0 ≤ k < 12 tal que:
E + k = {e + k|e ∈ E} = D.
A este par de escalas se les llama equivalentes.
Demostración. La base de E es b, con 0 ≤ b < 12.
Tomemos k = −b ya que b + k = 0. Como E
tiene estructura N construyamos la escala E + k
con estructura N . Ambos E y D comparten la
estructura N , si e ∈ E, e = xi + b + 12p, para
algún p ∈ Z, e ∈ [xi ], pero por construcción
e − b = xi + 0 + 12p, por lo que e − b ∈ [xi ] en una
escala con base cero. Por lo que todas las notas
que estén en el grado i de la escala E también
estarán en el grado i de la escala D. Podemos
hacer esto con cada una de las clases de notas en
E para obtener todas las clases de notas en D.
Nos aseguramos de tomar todos los elementos de
tanto E como D, ya que las clases de equivalencia
forman una partición de los conjuntos. Por lo que
E + k = D.
Debido a la equivalencia mostrada, de ahora en
adelante trabajaremos con escalas D cuya nota
base es b = 0 y estructura N . El siguiente paso
es dar a dicha escala una estructura de grupo
de manera natural. Primero, notemos que d ∈ D
puede expresarse de manera única como
d = xi + 12r
para algún grado de la escala dado por xi ∈ N
y algún r ∈ Z, 0 ≤ r < m. Definamos pues, la
función f : D ⊂ Z12m → Znm como
f (d) = f (xi + 12r) = i + nr,
donde n = |N | es el número de clases de notas.
Sumar nr en Znm equivale a sumar 12r en D,
donde r representa la octava en la que se encuentra la nota. Esta función ignora las notas que
no pertenecen a la escala y muestra como cada
n-notas se repite la estructura de la misma, en
lugar de las 12 que se requerı́an en Z12m . Una
interpretación de esta función es que cada nota
puede expresarse por la clase a la que pertenece,
junto como su octava correspondiente nr. Esto
permite moverse en la escala de forma sencilla.
Pero notemos que la definición de f requiere el
conocimiento de la estructura N de la escala D.
La función inversa es f −1 : Znm → D,
f −1 (x) = f −1 (i + nr) = xi + 12r.
Notemos que nm = 0 en Znm , por lo que
f −1 (nm) = x0 . Hemos encontrado una biyección
entre D con estructura N y el conjunto Znm , por
lo tanto entre cualquier escala E con la misma
estructura pero con base distinta y el conjunto
Znm .
Teorema 2.1. Sea E ⊂ Z12m una escala con m
octavas, nota base b, estructura N y n clases de
notas; entonces E ∼
=f Znm . A la escala E con la
estructura de grupo también la denotaremos por
ZE .
Demostración. Recordemos que E con estructura
N es equivalente a la escala con base cero D
dotada de la misma N , demostremos para D y
el resultado es inmediato para una escala con
cualquier otra base.
Por su definición, la función f es una biyección
entre D y Znm . Ahora, comprobemos que también
es un homomorfismo. Tomemos a, b ∈ D, demostremos que f (a +D b) = f (a) + f (b). Sabemos que
a +D b = f −1 (f (a) + f (b)),
por lo que
f (a +D b) = f (f −1 (f (a) + f (b))) = f (a) + f (b).
Por lo tanto D ∼
=f Znm , y es inmediato que
E∼
=f Znm .
Este teorema representa que una escala es isomorfa al grupo abeliano Znm . Su importancia radica
en que nos permite movernos en un espacio donde
las notas son únicamente las de la escala, es decir
nos movemos de forma diatónica 3 .
El conjunto f (D) hereda la partición de D si
definimos los conjuntos:
[i] = {a ∈ f (D)|a = i + nr},
para algun r ∈ Z con 0 ≤ r < n. Es claro que
[i] ∩ [j] = φ si y sólo si i 6= j, ası́ como:
f (D) =
n−1
[
[i].
i=0
Denotaremos la relación de equivalencia definida
por esta partición en f (D) por ∼n .
Para dotar de una estructura de grupo a la escala
D, utilizaremos la suma en Znm y la asociaremos
a D via la biyección f ; esto es: definamos la
siguiente operación binaria en D. Sean a, b ∈ D
+D : D × D → D, entonces:
a +D b = f −1 (f (a) + f (b)),
donde la suma del lado derecho corresponde a la
suma en Znm . Podemos generalizar esta estructura de grupo para otras escalas E con la misma
estructura que D, definimos la operación +E como
tomar la escala E, trasponerla a D y realizar en
ella la operación +D y el resultado trasponerlo nuevamente a E. Siempre trabajamos con D
que representa a las demás escalas con la misma
estructura. Con todo lo anterior preparamos el
camino para el siguiente:
Figura 1. Relación entre E y ZE para la escala do
mayor.
Nuestra última definición básica es la de intervalo armónico entre un par de notas. Sean
a, b ∈ ZE , definimos este intervalo como:
I(a, b) = |f −1 (a) − f −1 (b)|.
La importancia del mismo radica en que nos
permite encontrar la distancia entre las notas de la
escala D con respecto al conjunto original Z12m ,
esto será de utilidad en el análisis de triadas.
3
Término musical que se refiere a notas de la escala.
3. TRIADAS DIATÓNICAS
Si tenemos una escala ZD , llamamos acordes de nn
notas a los elementos de ZD . Las triadas diatónicas son acordes de tres notas, o bien, puntos en
Z3D , en una escala con estructura mayor o menor
(son las escalas más utilizadas en la tradición de
la música tonal), que tienen una estructura de la
siguiente forma:
Tipo de triada
Mayor
Menor
Disminuida
Aumentada
Estructura en
(0,4,7)
(0,3,7)
(0,3,6)
(0,4,8)
3
12m
Z
Para saber la parte de la triada que le corresponde a cada componente, definimos la función
“estructura” de la siguiente manera:
3
3
Σ : T ⊂ ZD → ZD ,
si A = (a1 , a2 , a3 ) ∈ T:
Σ(a1 , a2 , a3 ) = (ai , aj , al ),
donde
ai
aj
al
tal que
tal que
tal que
k + ai mod 7 ≡ 0,
k + aj mod 7 ≡ 2,
k + al mod 7 ≡ 4,
Con i, j, l ∈ {1, 2, 3}.
Cuadro 2. Estructura de las triadas.
Definimos el espacio de triadas diatónicas
para la escala do mayor como el par (T, Σ).
También son triadas los acordes que tengan notas
equivalentes a las anteriores pero en diferentes
octavas, o en distintas componentes, por ejemplo
(0, 7, 4 + 12). Esto lo expresamos en la siguiente:
Notemos que la función Σ es una permutación
de las coordenadas de A = (a1 , a2 , a3 ) ∈ T que
denotaremos por:
Definición 3.1. Una triada en una escala ma3
yor 4 es un elemento A = (a1 , a2 , a3 ) ∈ ZD tal
que a1 ≤ a2 ≤ a3 y existen un k ∈ ZD y σ ∈ S3
de modo que
donde σ ∈ S3 .
(k, k, k) + (aσ(1) , aσ(2) , aσ(3) )mod 7 ≡ (0, 2, 4),
Denotaremos como T al conjunto de triadas de la
escala mayor con base cero.
Si trabajamos en la escala mayor ZD vemos que,
dadas tres notas cuyas grados no sean consecutivos, los intervalos entre las mismas son tales que
puede formarse una triada, como se muestra en la
siguiente tabla:
Distancias I(i, i + 1)
I(0, 1) = 2
I(1, 2) = 2
I(2, 3) = 1
I(3, 4) = 2
I(4, 5) = 2
I(5, 6) = 2
I(6, 7) = 1
Distancias I(i, i + 2)
I(0, 2) = 4
I(1, 3) = 3
I(2, 4) = 3
I(3, 5) = 4
I(4, 6) = 4
I(5, 0 + 7) = 3
I(6, 7 + 1) = 3
Σ(a1 , a2 , a3 ) = (aσ(1) , aσ(2) , aσ(3) ),
Decimos que ai corresponde a la fundamental,
denotado por F und(A) = ai , si σ(i) = 1; corresponde a la tercera si σ(i) = 2, y a la quinta si
σ(i) = 3.
Observemos también que el espacio T se particiona en siete clases de equivalencia dadas por los
grados de la escala
6
[
T=
[[k]].
k=0
[[k]] = {A ∈ T|k ≡ F und(A) mod 7},
utilizamos doble corchete para distinguir las clases
de equivalencia de triadas, de las de notas.
Al conjunto de acordes, y por lo tanto al de
triadas, se les puede asignar un orden y métrica
por coordenadas, con el orden lexicográfico y la
métrica de desplazamiento agregado:
d(A, B) =
3
X
|ai − bi |.
i=1
3
Por ejemplo, el acorde (0, 2, 4) en ZD corresponde
3
a (0, 4, 7) en Z12m , por lo tanto es una triada.
3
De igual forma (0, 4, 2 + 7) ∈ ZD es una triada
por que es equivalente a (0, 2, 4) por permutación de las componentes y transposición en octavas. Nos interesa saber la parte de la triada
que le corresponde a cada componente. Llamamos
fundamental a la que contenga el número 0;
tercera a la que tenga el 2 y quinta el número
4. Cabe notar que estos nombres corresponden a
convenciones musicales.
4
Ver tabla 1. Se desarrolla la estructura con mayor, pero
es equivalente para escalas otras escalas con estructura
similar.
3
donde A, B ∈ Z12m . Esto es de gran ayuda para
las consideraciones musicales que a continuación
manejamos.
Hemos encontrado una estructura geométrica para el conjunto de triadas: (T, Σ). El siguiente paso
es describir las relaciones que existen entre sus
elementos.
3.1 Conducción de voces
Al componer una pieza tonal, suele comenzarse
por tomar una triada inicial Ai , en algún grado
[[i]], y una sucesión de clases de triadas
[[i]] → [[j]] → · · · → [[k]].
El problema consiste en encontrar una sucesión
de triadas Ai ∈ [[i]], Aj ∈ [[j]],. . ., Ak ∈ [[k]];
que satisfagan reglas conocidas como conducción
de voces. Estas pueden ser muy complejas. De
momento nos interesa una de las más importantes: la distancia entre dos triadas consecutivas
d(Ai , Aj ) debe ser mı́nima. Para una exposición
más profunda de dichas reglas ver [2].
La siguiente función es de utilidad para encontrar
relaciones entre triadas con distancia mı́nima, representa la idea de sumar elementos a las componentes de acuerdo a su comportamiento con la
función Σ. Por ejemplo, se puede sumar alguna
cantidad fija a la fundamental, quinta o tercera:
Definición 3.2. Si A ∈ T, definamos la función
3
3
: Z × T → Z12m como:
(k, m, l) (a1 , a2 , a3 ) = (eσ−1 (1) , eσ−1 (2) , eσ−1 (3) ),
Donde (e1 , e2 , e3 ) = (aσ(1) , aσ(2) , aσ(3) ) + (k, m, l)
y σ es la permutación asociada a la estructura de
la triada: Σ(a1 , a2 , a3 ) = (aσ(1) , aσ(2) , aσ(3) ).
Nos
interesa
encontrar
los
elementos
3
(r1 , r2 , r3 ) ∈ Z , tales que |r1 | + |r2 | + |r3 | sea
mı́nimo y que cumplan (r1 , r2 , r3 ) A ∈ T, para todas las triadas A. Por inspección podemos
comprobar que los elementos que satisfacen estos
requerimientos con despazamiento 1, 2 o 3 son
únicamente los que se muestran en la siguiente
tabla:
(0,0,0)
(0,0,1)
(-1,0,0)
(0,1,1)
(-1,-1,0)
(1,1,1)
(-1,-1,-1)
Al operar sobre T con estos elementos obtenemos
relaciones que son de interés musical ya que expresan la idea fundamental de la conducción de
voces: el movimiento mı́nimo
Si A ∈ [[i]]
(−1, 0, 0) A ∈ [[i + 2]]
(0, 0, 1) A ∈ [[i − 2]]
(0, 1, 1) A ∈ [[i + 3]]
(−1, −1, 0) A ∈ [[i − 3]]
(1, 1, 1) A ∈ [[i + 1]]
(−1, −1, −1) A ∈ [[i − 1]]
Cuadro 3. Operaciones con las triadas.
Esto significa que podemos pasar de una clase
de triadas cualquiera a otra con movimientos
unitarios en las componentes. Por ejemplo, si
tenemos una triada A ∈ [[i]] y queremos encontrar
una triada que esté en la clase de equivalencia
[[i + 2]], basta realizar la operación (−1, 0, 0) A,
por la construcción d((−1, 0, 0) A, A) = 1; es
decir sólo la voz que es la fundamental de la triada
A se ha movido un paso.
Teorema 3.1. Si A, B ∈ T con A ∈ [[i]] y
1. d(A, B) = 1 ⇒ B ∈ [[i + 2]] o B ∈ [[i − 2]].
2. d(A, B) = 2 ⇒ B ∈ [[i + 3]] o B ∈ [[i − 3]].
3. d(A, B) = 3 ⇒ B ∈ [[i + 1]] o B ∈ [[i − 1]].
Demostración. La distancia d(A, B) = 1 corresponde a movimiento en solamente una voz, los
3
elementos e ∈ Z que cumplen d(A, e A) = 1
son únicamente (−1, 0, 0) y (0, 0, 1). Por el cuadro
3 concluimos que B ∈ [[i + 2]] o B ∈ [i − 2], donde
B = e A.
Para d(A, B) = 2 los posibles movimentos en las
3
voces que cumplen d(A, eA) = 2 con e ∈ Z , son
únicamente (0, 1, 1) y (−1, −1, 0). Por el cuadro 3,
concluimos que B ∈ [[i + 3]] o B ∈ [[i − 3]].
En el caso d(A, B) = 3 tenemos solamente
d(A, e A) = 3 si e = (1, 1, 1) y e = (−1, −1, −1).
Por el cuadro 3, concluimos que B ∈ [[i + 1]] o
B ∈ [[i − 1]].
Este teorema es de mucha utilidad ya que permite
clasificar todos las triadas que estén a una distancia menor o igual a 3 de una triada dada. La
operación nos facilita encontrar el movimiento
mı́nimo entre clases de T. Por ejemplo, si estamos
en (0, 2, 4) ∈ [[0]], podemos pasar a la triada
perteneciente a la clase de [[2]] más cercana con
la operación (−1, 0, 0) (0, 2, 4) = (−1, 2, 4). En
lenguaje musical esto significa pasar de la triada
do mayor, a la triada mi menor. Para facilitar la
notación definimos la siguiente operación:
Definición 3.3. Si A ∈ T. Definimos la función
+ : Z7 × T → T como:
0 + A = (0, 0, 0) A.
1 + A = (1, 1, 1) A.
2 + A = (−1, 0, 0) A.
3 + A = (0, 1, 1) A.
4 + A = (−1, −1, 0) A.
5 + A = (0, 0, 1) A.
6 + A = (−1, −1, −1) A.
Algunas veces, para evitar la monotonı́a de las
progresiones se desea que el desplazamiento sea
el segundo más cercano. La siguiente operación
representa progresiones con desplazamientos en
las componentes no mayores a 6.
Definición 3.4. Si A ∈ T. Definimos la función
+0 : Z7 × T → T como:
0 +0 A = 0 + A.
1 +0 A = 4 + (4 + A).
2 +0 A = 1 + (1 + A).
3 +0 A = 4 + (4 + (2 + A)).
4 +0 A = 1 + (3 + A).
5 +0 A = 6 + (6 + A).
6 +0 A = 3 + (3 + A).
Estas operaciones definen una acción del grupo
Z7 sobre el conjunto de clases de triadas T/ ∼7 .
Sin embargo no es una acción sobre el conjunto
de triadas, ya que solo satisfacen las siguientes
propiedades:
1. a ? T ∈ T, para todo a ∈ G
2. 0 ? T = T , con 0 la identidad de G,
3. Si a +G b = 0, entonces
a ? (b ? T ) = b ? (a ? T ) = T,
4. a1 ? a2 ? · · · ai ? T = aσ(1) ? aσ(2) · · · aσ(i) ? T
para todo σ ∈ Si .
4. ANÁLISIS MUSICAL
Las ideas desarrolladas en este trabajo pueden
ser utilizadas para el análisis musical. Tomemos
un fragmento de un pequeño preludio de J.S.
Bach 5 (BWV 924). En la figura 2 se muestran
las triadas utilizadas en dicho fragmento. Esta
pieza está compuesta en la escala do mayor, es
decir, con nota base b = 0. La triada incial es
A = (4, 0 + 7, 2 + 7) y las operaciones requeridas
para la sucesión de acordes es:
4 +0 4 + 4 +0 4 + A.
Para más ejemplos de aplicaciones de estas operaciones, ası́ como el trabajo de tesis en el que se
basa este articulo y el programa de cómputo donde se implementan las estructuras desarrolladas,
ver el anexo a este trabajo:
http://cristian.manuel.googlepages.com/tesis
Figura 2. Progresiones en un preludio de J.S.Bach.
5. CONCLUSIONES
Las definiciones básicas de la música tonal encierran una simetrı́a que hemos podido expresar
5
Ver [1] pag 271, para los detalles del análisis.
mediante la estructura de triadas (T, Σ). Por su
parte, por medio de la operación se ha podido
trabajar con la idea de movimiento mı́nimo de las
componentes en las progresiones de triadas.
Con estas herramientas en mano, hemos podido
sistematizar algunos métodos del análisis musical.
Vemos que lo aquı́ desarrollado describe adecuadamente un nivel introductorio de la armonı́a tonal. Sin embargo, aun queda mucho trabajo por
realizar, ya que a pesar de que este tipo de música
se basa en la triada, también contiene otros tipos
de acordes con distintas carácteristicas.
Desde el punto de vista matemático, es de interés
que el conjunto de progresiones de triadas se comporta como un sistema dinámico; ya que dada una
triada inicial y las reglas de conducción de voces,
se puede describir la trayectoria de una pieza musical en (T, Σ). Como trabajo futuro, se pretende
profundizar en la estructura del mismo, ası́ como
describir más detalladamente dichas reglas para
delimitar adecuadamente el sistema.
Es la esperanza que el exponer los conceptos musicales con una notación matemática geométrica,
pueda servir para que alguna persona familiarizada con ella pueda introducirse a la teorı́a musical.
También es la intención desarrollar este modelo
para incluir más aspectos de la estructura músical,
de modo que llegue a ser útil para músicos teóricos
y compositores.
REFERENCIAS
[1] E. Aldwell, C. Schachter, Harmony & Voice
Leading.
Tercera Edición, Thomson-Schrimer EE.UU.
2003.
[2] F. Salzer, C. Schachter, Counterpoint in Composition.
Columbia University Press, EE.UU. 1989.
[3] D. Tymoczko, The Geometry of Musical
Chords.
Science 313, 72 (2006)
[4] G. Mazzola, The Topos of Music.
Birkhauser Verlag, Alemania 2003.
[5] Forte Allen, Tonal Harmony in concept &
practice.
Third Edition, Holt, Rinehart and Winston
Ed. EE.UU. 1979.
[6] Fauvel J., Flood R., Wilson R, Music and
Mathematics.
Oxford University Press EE.UU. 2005.
[7] Walter Pistón., Harmony, third edition
Norton EE.UU. 1962.
[8] Jean-Philippe Rameau, Treatsie on Harmony.
Dover, EE.UU. 1997.