INTERES COMPUESTO

MATEMÁTICA FINANCIERA
NOTA DE CÁTEDRA:
OPERACIONES FINANCIERAS A INTERÉS COMPUESTO
OPERACIONES DE CAPITALIZACIÓN
Preparada por: Cra. Susana Hernández
- Ushuaia 2001 -
UNPSJB Fac. de Ciencias Ecoómicas
Cra. Susana Hernandez
INTERÉS COMPUESTO
Se dice que un capital ha sido colocado a interés
compuesto, cuando se conviene que el interés simple producido
por el, al final de cada intervalo de tiempo previamente
determinado, llamado período de capitalización, se suma a
dicho capital para producir nuevos intereses.
0
1
2
3
C0------>C0 + I(0,1)= C1
C1------>C1+I(1,2)= C2
C2------>C2+I(2,3)= C3
Deducción de la fórmula del MONTO
Dado un capital (Co), colocado a interés compuesto a la tasa
periódica i, durante n períodos; hallaremos el monto final
considerando para cada período, el capital inicial (Co) y los
intereses simples ganados.
PERIODO CAP INICIAL
INT.DEL PER. MONTO AL CABO DEL PERIO.
1
C0
C0 i
Co+Coi= Co(1+i)
2
Co(1+i)
Co(1+i)i
Co(1+i)+Co(1+i)i =
Co (1+i)(1+i) = Co (1+i)2
3
Co (1+i)2
iCo(1+i)2
Co (1+i)2 + i Co(1+i)2 =
Co(1+i)2 (1 + i) =
Co (1+i)3
n
Co(1+i)n-1
Co(1+i)n-1i
Co(1+i)n-1 + Co(1+i)n-1i
= Co(1+i)n-1(1+i) =Co(1+i)n
podemos escribir:
Cn = Co (1+i)n
Esta fórmula para poder aplicarla, exige la misma
condición que vimos al referirnos al int. simple, respecto a
que la unidad de tiempo en que se expresa el plazo, y la
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unidad de tiempo a que está referida la tasa, debe ser la
misma; es decir sincrónicas; y además, que esa unidad sea el
período de capitalización.
Ejercicios:
1. Calcular el monto que se obtendrá depositando $ 3.000
durante 90 días, al 5 % de interés cada 30 días, con
capitalización cada 30 días. R.: .......... .-
2. En diciembre de 19x3 se efectuó una inversión de $ 5.000
al 5 % anual capitalizable anualmente. Cuánto podrá retirarse
en diciembre de 19x7?. R.: .............. .-
Fórmulas derivadas
En la fórmula del monto se vinculan: Co, n, i y Cn; dados
tres de esos valores, podemos calcular el cuarto.
Le propongo estos problemas:
1. ¿ Cuál fue el depósito original que a la tasa del 12 %
mensual, produjo un monto de $ 1.973,82 al cabo de 6 meses?.
Escriba en este recuadro
resolver el problema:
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la
fórmula
que
le
permitió
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UNPSJB Fac. de Ciencias Ecoómicas
Esta fórmula le
conociendo i, n y C.
Cra. Susana Hernandez
permite
hallar
el
CAPITAL
INICIAL,
2. Se desea conocer que tasa de interés, ha redituado un
capital de $ 1.000 que colocado durante 6 meses permitió
obtener $1.973,82 de monto.
Deduzcamos a partir de Cn = Co(1+i)n la fórmula
resolver el problema y escríbala en el recuadro:
para
También podríamos despejar i, aplicando logaritmos de la
siguiente forma:
Cn = Co(1+i)n
log Cn = log Co + n log (1+i)
log Cn - log Co
---------------- = log (1+i)
n
Llamaremos A al primer termino de la igualdad; y haremos:
antilog A = 1 + i
luego:
( antilog A ) - 1 = i
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3. Durante cuánto tiempo habrá estado colocado un capital de
$ 700 si produjo un monto de $ 911,58 a la tasa del 4,5 %
mensual ?.
Deduzca a partir de Cn = Co(1+i)n la fórmula que aplicó
para resolver el problema y escríbala en el recuadro:
...COMBINEMOS FORMULAS ...
Ud. podrá resolver problemas deduciendo otras fórmulas con
facilidad, sólo es necesario tener claro los conceptos del
tema. Veamos otros problemas para demostrar la afirmación
expuesta.
4. ¿ Cuál fue el interés ganado en una colocación al 5 %
mensual, durante un año; si el monto obtenido es de $
2.693,78 ?.
Recordemos que:
I = Cn – Co
Cn = Co(1+i)n
y
Cn
Co = -----(1+i)n
¿ SE ANIMA A COMBINAR
RESOLVER EL PROBLEMA ?:
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ESTAS
FORMULAS
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PARA
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Fórmula que permite hallar el INTERÉS en función del
MONTO.
Ahora resuelva el planteo:
También podemos hallar el INTERÉS en función del CAPITAL;
y con el mismo razonamiento que hicimos en el punto anterior,
llegamos a:
I = Co{(1+i)n - 1]
Le recuerdo que en esta asignatura, debemos siempre tener
en cuenta que uno de los objetivos, es suministrar
instrumental que simplifique los cálculos; de manera que
nunca pierda de vista como puede combinar fórmulas para
lograrlo.
... CONSTRUYAMOS TABLAS ...
!
CONSTRUCCIÓN Y USO DE TABLAS FINANCIERAS
El uso de las Tablas Financieras ofrecen la ventaja de
facilitar los cálculos, sobre todo en tareas rutinarias,
aunque actualmente el uso de las calculadoras y computadoras
con su desarrollo han desplazado su utilización. Pero, aún
así, es indudable que quien tenga la posibilidad de utilizar
una P.C. para los cálculos, debe necesariamente conocer como
se usa una tabla y fundamentalmente como se construye. De
allí deviene la importancia de aprender su construcción y
uso.
Comenzaremos construyendo la TABLA DE MONTOS.
Esta tabla se construye para capitales de $ 1, para una
tasa i dada y haciendo variar el tiempo expresado (n) en
número entero de períodos de capitalización.
Tomando Co = 1 tenemos Cn = (1+i)n;construyamos para 5
períodos y para i = 10 %.
PERIODO
1
2
3
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(1,10)1
(1,10)2 = 1,10 x 1,10 =
(1,10)3 = 1,21 x 1,10 =
MONTO
1,10
1,21
1,331
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(1,10)4 = 1,331 x 1,10 =
(1,10)5 = 1,4641 x 1,10 =
4
5
1,4641
1,61051
Como se observa, la Tabla de Montos, resulta de
multiplicar en forma recurrente los valores obtenidos, por
(1+i).
Para su aplicación en la fórmula:
Cn = Co (1+i)n
Como la tabla tiene tabulado el valor de (1+i)n para un
Co = 1; bastará con buscar para la tasa y tiempo expresados
en el problema el valor de (1+i) y multiplicarlo por el
capital inicial.
Las tablas con las que nos manejamos, vienen calculadas
para distintos valores de i y con un número máximo de 60
períodos de capitalización; con lo que si en un problema se
nos presentan por ejemplo 135 períodos de capitalización,
podemos recurrir a la aplicación de la propiedad de las
potencias de igual base, descomponiendo el factor de
capitalización en exponentes que estén tabulados.
Co (1+i)135 = Co (1+i)60 (1+i)60 (1+i)15
o bien:
Co (1+i)135 = Co (1+i)45 (1+i)45 (1+i)45 =
= Co {(1+i)45]3
esta última expresión nos permite trabajar con un sólo valor
tabular y simplificar el cálculo.
Construyamos ahora la TABLA DE VALORES ACTUALES o CAPITAL
INICIAL
Se construye para montos unitarios, para una tasa i dada y
haciendo variar el tiempo n, expresado en número entero de
períodos.
Tomando Cn = 1 tenemos:
Co = vn
1
Co = ------(1+i)n
, o bien:
1
pues v = ------(1+i)n
Igual que en el caso de la Tabla de Montos, construyamos
la Tabla para i = 0,10 en 5 períodos:
PERIODOS
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CAP.INICIAL
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1
2
3
4
5
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1/(1+i)1
1/(1+i)2
1/(1+i)3
1/(1+i)4
1/(1+i)5
=
=
=
=
0,909090/1,10
0,826446/1,10
0,751314/1,10
0,683013/1,10
=
=
=
=
0,909090
0,826446
0,751314
0,683013
0,620921
Como se observa, a partir del período 1 se obtienen los
valores, dividiendo sucesivamente por (1+i). La fórmula del
Capital Inicial podemos escribirla:
Co = Cnvn
y la del monto:
Cn = Cov-n
Conviene aclarar que resulta aconsejable construir ambas
Tablas en forma conjunta, pues la de Valores Actuales es
simplemente la inversa de la de Montos. Asimismo, valen las
mismas consideraciones vistas para
n > z , siendo z el
último período tabulado en la Tabla.
... CAPITALICEMOS SUBPERIODICAMENTE ...
!
CAPITALIZACIÓN SUBPERIÓDICA
Recordemos que cuando realizamos la deducción del monto,
insistimos en la exigencia de la unidad de tiempo del plazo y
de la tasa, y agregamos que esa unidad sea el período de
capitalización; como condición de aplicabilidad de la
fórmula.
Por esta razón, cuando en los problemas prácticos si el
enunciado nos es dado en los términos expresados en el
párrafo anterior, no tenemos dificultad para aplicarla.
Pero ello no ocurre siempre así; lo que en la realidad
sucede, es que nos dan una tasa para un período, generalmente
anual, con períodos de capitalización menores al año.
La capitalización subperiódica, entonces, se presenta cada
vez que el período de la tasa es mayor que el período de la
capitalización.
Como el período de la tasa no coincide con la
capitalización, debemos encontrar la tasa que corresponde al
subperíodo.
Veamos el problema planteado gráficamente:
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i = anual
|-------------------|------------------...--|
capitaliz.mensual
¿tasa que corresponde al
subperíodo?
La cuestión se resuelve con la tasa proporcional, que se
obtiene dividiendo la tasa periódica i, por el número de
subperíodos que tiene el año, que se representa con la letra
m.
Para nuestro gráfico m =
mensual para la tasa anual.
12
pues
la
capitalización
es
i
---- = tasa proporcional para el mes
12
Ejercicio
Para una tasa anual del 60 %, encontrar la proporcional
semestral; la proporcional cuatrimestral y la proporcional
bimestral.
i
Proporc.semestral ------ =
m
i
Proporc. cuatrimest ------ =
m
Proporc.bimestral
i
------ =
m
De manera que el número de subperíodos de capitalización,
siendo n el número total de años, lo obtenemos haciendo n.m,
entonces la fórmula del monto a aplicar resulta:
Cm.n = Co.(1+i/m)m.n
Resolvamos un problema:
Encontrar el monto que a la tasa del 20 % anual con
capitalización semestral produce un capital de $21.400 al
cabo de: a) 1 año; b) 4 años.
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¿ si la capitalización fuera cada 15 días, con los datos
anteriores, cuál sería el monto ?. Trabajo con interés
exacto, esto es, año de 365 días.
Cada vez que nos presenten capitalización en días,
trabajaremos con año civil, pues en las operaciones
bancarias, financieras, esa es la forma de trabajar,
obteniendo así el interés exacto.
Si bien en el comercio se conviene en utilizar para los
cálculos el año de 360 días dividido en 12 meses de 30 días
cada uno, con el sólo motivo de favorecer la rapidez, hoy en
día
con
el
uso
de
las
calculadoras
y
procesadoras
electrónicas no existe inconveniente en trabajar con año de
365 días, con lo que podemos decir que ha desaparecido la
causa de la convención comercial.
Resolvamos
resultados.
otro
ejercicio
para
luego
comparar
Datos:
C =
n =
i =
Cn=
1.000
1 año
1,20 anual
¿?
Supuestos: a)capitaliz.anual
b)capital.semestral
c)capit.trimestral
Solución
Para a) Capitalización anual
i = 1,20
Cn = Co(1+i)n
Cn = 1.000(1+1,20) =2.200
Para b) Capitalización semestral
i/m = 1,20/2 = 0,60
Cm.n = Co (1+i/m)m.n
Cm.n = 1.000 (1+0,60)2.1 = 2.560
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los
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Para c) capitalización trimestral
Cm.n = Co (1+i/m)m.n
i/m = 1,20/4 - 0,30
Cm.n = 1.000 (1+0,30)4.1 = 2.856,10
El monto obtenido para el mismo capital, la misma tasa
enunciada y el mismo tiempo de colocación, observamos que
resulta
superior
cuando
existen
capitalizaciones
subperiódicas, que al que se obtiene con capitalización
periódica.
Demostraremos
fórmulas, esto es:
(A) Co(1+i)n
(B) Co(1+i/m)m.n
esto,
desarrollando
por
Newton
ambas
de Capitalización periódica, y
de Capitaliz.Subperiódica
Para Co = 1
n(n-1)i2
n(n-1)(n-2)i3
n
(A) (1+i) = 1 + ni +-------- + ------------- +...
2!
3!
mn(mn-1) i2
m.n
(B) (1+i/m)
= 1 + n.m.i/m + -------- -- +
2!
m2
mn(mn-1)(mn-2)
i3
+ ----------------- -- + ...
3!
m3
n(n-1/m)
n(n-1/m)(n-2/m)
= 1 + ni + -------- i2 + --------------- i3 + ...
2!
3!
Analicemos comparando (A) y (B).
1ª) los dos primeros términos son iguales.
2ª) el tercer termino de (B) es mayor que el tercero de (A)
n - 1/m > n - 1
3ª) el cuarto termino de (B) es mayor que el cuarto termino
de (A)
n - 1/m > n - 1 ; n - 2/m > n - 2
4ª) Consideremos también que si n y m son enteros el
desarrollo de (B) tiene más términos.
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Resulta entonces, que el desarrollo de (B) es mayor que
(A), o sea que:
Cm.n = Co (1+i/m)m.n
>
Cn = Co (1+i)n
En palabras: para un mismo capital y en el mismo tiempo,
la capitalización subperiódica con tasa proporcional, produce
un monto mayor que la capitalización periódica.
También es dable observar que a medida que aumenta el
número de subperíodos en el período de la tasa, aumenta el
monto que se obtiene. Compare los resultados que se
obtuvieron en los supuestos b) y c).
Ejercicio:
i = 1,20 anual
C = 1.000
n = 1 año
a)capitalización c/15 días
b) capitalización diaria
Solución:
... CUANDO EL TIEMPO NO ALCANZA ...
!
TIEMPO FRACCIONARIO
Las fórmulas vistas para capitalización periódica y
capitalización subperiódica, las hemos utilizado con números
de períodos o subperíodos enteros; veremos ahora como podemos
solucionar aquellos casos que tienen tiempos fraccionarios.
Supongamos
n = n' + p/q donde n' es entero y
p < q
Para resolver este planteo, existen dos convenciones:
1) Convención lineal
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En la que se calcula el interés compuesto para el tiempo
entero y se toma el monto así calculado como capital inicial
para calcular por la parte fraccionaria el interés simple.
Cn'+p/q = {Co(1+i)n'](1+p/q.i)
2) Convención exponencial
Se calcula el monto a interés compuesto durante todo el
tiempo, incluido el fraccionario.
Cn'+p/q = Co(1+i)n'+p/q
Los montos obtenidos con cada convención son distintos.
Es menor el obtenido con convención exponencial. En el punto
siguiente veremos esto con mayor profundidad.
LAS COMPARACIONES SON NECESARIAS ...
COMPARACIÓN ANALÍTICA Y GRAFICA DE LOS MONTOS A INTERÉS
SIMPLE Y COMPUESTO
Para Co = 1
Ms = 1 + i.n
y
Cn = (1+i)n
Podemos observar:
1º) para n = 0
M s = Cn = 1
2º) para n = 1
M s = Cn = 1 + i
3º) para
desarrollaremos (1+i)n por Newton
0 < n < 1
n(n-1)i2
n(n-1)(n-2)i3
(1+i)n = 1 + n.i + -------- + -------------2!
3!
+ ...
Int.simple
Siendo
n < 1 ; son (n-1), (n-2), etc. todos negativos y
la suma algebraica será negativa, con lo que:
Ms = 1 + i.n
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y
Cn = (1+i.n) -
o sea
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M s > Cn
4º) Para
n > 1 ; será:
Ms = 1 + i.n
y
Cn = (1 + i.n) +
o sea
C n > Ms
Estas conclusiones nos ayudan a graficar los montos:
monto
Co
0
1
tiempo
y a confirmar que la convención lineal produce un monto mayor
que la exponencial.
Grafique Usted los intereses:
Interés
0
!
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tiempo
APLICACIONES EN LA CARPETA DE TRABAJOS PRÁCTICOS
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