Calibración Dinámica de un Resorte y Movimiento Armónico Simple

Calibración Dinámica de un Resorte y Movimiento Armónico Simple
Laboratorio de Física Mecánica
Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
RESUMEN: Verificaremos experimental la ley de Hooke, para un sistema masa-resorte en movimiento, satisfaciendo
condiciones para que efectué un movimiento armónico simple, para ello fue necesario colocar dos resortes en un porta pesas,
adicionando masas continuamente a cada uno independientemente y luego en serie, dejamos que la masa colgada del resorte
oscile, y tomamos el tiempo que demoro en realizar 20 vaivenes (oscilaciones). Los datos se los organizara y analizaran en
tablas, gráficas y los resultados tendrán sus respectivos intervalos de error.
FUNDAMENTO TEORICO:
En el laboratorio de
un resorte, verificamos
ley de Hooke, ahora lo
Movimiento Armónico
la fuerza, que actúa
produzca
una
proporcional
a
su
forma
calibración estática de
experimentalmente la
relacionaremos con el
Simple. Siempre que
sobre una partícula,
aceleración que sea
desplazamiento de la
a x
Proporciona un movimiento armónico simple, es decir, la
partícula oscila periódicamente, pasando cada vez por su
posición de equilibrio. Es por eso que de la relación


F  kx
Fe representa la fuerza elástica del resorte, que siempre estará
dirigida hacia arriba, puesto a que el resorte tiende a recuperar
su longitud natural y mg es la fuerza gravitacional o peso.
(1)
se deduce que el movimiento de la masa que cuelga de un
resorte tiene un
movimiento de
este tipo.
Figura 1.
Montaje
experimental,
masa
suspendida de
un resorte.
Figura 3. Gráfica del movimiento de una masa suspendida
de un resorte.
En equilibrio con de: deformación en equilibrio, la fuerza
hecha por el resorte, Fe esta dada por (1).

F  kd e
(1)
Por Newton: (diagrama de cuerpo libre)
Σ
Fx = max :
k(de − x)− mg = m a
Teniendo en cuenta la ecuación de equilibrio:
Σ
Figura 2. Diagrama de cuerpo libre, de la masa en una
posición genérica. (Cuando tiene movimiento oscilatorio)
Fx = 0 ,
k de − mg = 0 .
La aceleración queda:
𝒂=−
𝒌
𝒎
𝐱
(1a)
𝑘
Llamemos ω2, a la constante , además teniendo en cuenta
𝑚
que la aceleración es la doble derivada de la posición
tenemos:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡 2
+ 𝜔2 𝑥 = 0
Si integramos con las condiciones iniciales obtendremos la
velocidad:
x (t  0 )  x 0
𝑣
∫0 𝑣
𝑑𝑣 =
v (t  0 )  0
𝑥
−𝜔2 ∫𝑥 𝑥
0
𝑑𝑥
Si despejamos la velocidad:
v= 𝝎√𝒙𝟐𝟎 − 𝒙𝟐
(1b)
Integrando nuevamente para obtener la posición de la
partícula en cualquier tiempo, tenemos:
𝑥
2
𝑥0 √𝑥0
), velocidad (
) y
𝑡
𝑑𝑥
∫
Figura 4. Gráfica de posición (
aceleración ( ). Derive 6.0
− 𝑥2
𝑥 𝑥
sin−1 [ ]
𝑥0 𝑥
0
= 𝜔 ∫ 𝑑𝑡 = 𝜔𝑡
0
= 𝜔𝑡 = sin−1
Amplitud Amplitud Amplitud
𝑥
𝑥0
− sin−1 1
Desplazamiento
Velocidad
Amplitud
Máximo
Cero
Mínimo
Cero
Cero
Mínimo
Cero
Máximo
Mínimo
Cero
Máximo
Cero
Por consiguiente:
Aceleración
𝜋
𝑥 = 𝑥0 sin [𝜔𝑡 + ] Por identidades
2
𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝝎 𝒕
(1c)
Figura 5. Tabla de la amplitud en ciertos puntos de la
posición, velocidad y aceleración.
La función coseno tiene período 2π y por tanto:
𝑥 = 𝑥0 cos 𝜔 𝑡 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 2𝜋) = 𝑥0 𝑐𝑜𝑠𝜔 (𝑡 +
2𝜋
𝜔
)
Así cuando transcurre un tiempo que llamaremos periodo T:
T=
2𝜋
𝜔
Figura 6. Grafico de
identificación del marco de
referencia.
el movimiento se repite idénticamente.
𝑘
Como 𝜔2 = , finalmente el período queda expresado así:
𝑚
𝒎
𝑻 = 𝟐𝝅√
𝒌
(1d)
Las ecuaciones 1a, 1b, 1c, 1d, son las ecuaciones de la
aceleración, la velocidad y la posición respectivamente de la
partícula en cualquier tiempo, la ecuación 1d nos da
información acerca del período.
Si nos centramos ahora en la ecuación (1c) podemos observar
que derivándola encontramos la velocidad y la aceleración en
términos del coseno y seno, así:
𝒗(𝒕) = −𝒙𝟎 𝝎 𝐬𝐞𝐧 𝝎 𝒕
𝒂(𝒕) = −𝒙𝟎 𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎 𝒕
Si graficamos esto tenemos:
(2c)
(3c)
De la graficación de la las ecuaciones de posición, velocidad
y aceleración podemos observar:
Para iniciar tenemos que nuestro movimiento armónico
simple describe una función cosenoidal para la posición, el
origen esta ubicado en donde el sistema resorte-masa esta en
equilibrio, como para iniciar el movimiento oscilatorio fue
necesario estirar, la grafica de posición inicia en un punto (a)
donde el sistema resorte-masa están estirados. En este punto
la velocidad, que es una función seno es cero, es la condición
inicial de nuestro sistema y la aceleración descrita por una
función coseno es la mínima, ya que la fuerza elástica que
hace el resorte sobre la partícula es mayor que el peso (mg).
Cuando la posición alcanza un cero por primera vez, significa
que llego al punto que definimos como de equilibrio u origen,
es decir a la posición que obtuvo nuestro sistema masa-resorte
sin aplicar un estiramiento por la mano hacia abajo (+), aquí
la amplitud de la velocidad es mínima, esto significa que la
velocidad debida al impulso que da el resorte es máxima. (Lo
negativo no significa que la velocidad decrezca, se debe a que
la velocidad crece hacia arriba, (marco de referencia negativo
hacia arriba). Aquí la aceleración es cero debido a que la
magnitud de la fuerza elástica es igual al peso, es decir la
sumatoria de las fuerzas es igual a cero, ya que alcanza el
punto de equilibrio.
Cuando la gráfica de la posición alcanza un mínimo, es
cuando nuestro cuerpo sobrepaso el punto de origen o
equilibrio y asciende hasta el punto superior posible como se
lo permita el impulso inicial, aquí la velocidad es cero debido
a la fuerza contraria del peso que atrae el cuerpo hacia la
tierra y es mas grande que la fuerza elástica. La aceleración
alcanza un máximo y con evidente razón vemos que el cuerpo
en este punto superior es atraído totalmente por la fuerza de la
gravedad.
Finalmente la posición vuelve a ser cero, lo que significa que
pasa nuevamente por el punto de equilibrio, sin embargo no
es un movimiento de ascenso sino de descenso de la partícula,
aquí la velocidad alcanza un máximo en su amplitud, lo que
significa que la velocidad crece hasta este punto, en donde
podríamos analizarlo como un movimiento de caída libre,
puesto que el resorte no hace resistencia hasta y en el punto
de equilibrio, ya sobrepasado el punto de equilibrio, la fuerza
elástica ofrecerá resistencia al movimiento de caída, que ya
no será libre. La aceleración es cero nuevamente debido a que
las fuerzas elástica y de peso tienen la misma magnitud y se
anulan.
Demostración de la fórmula:
kep = k1 + k2
De la figura 7, vemos que a la izquierda están
dispuestos tres resortes. R1 y R2 están ausentes de
estiramiento y tienen contantes elásticas k1 y k2
respectivamente, el tercer resorte es el equivalente del
conjunto R1/R2 representativo a una disposición en
paralelo. Teniendo en cuenta que colgándole el mismo
cuerpo el equivalente se estira lo mismo que el
conjunto.
Tal como nos lo muestra el esquema:
Δx1 + Δx2 = Δxes.
(2a)
Lo que constituye una primera ecuación. Para
completar el sistema de ecuaciones vamos a un
diagrama de cuerpo libre:
Figura 8. Diagrama de cuerpo libre
En cada caso tenemos un
equilibrio, por lo tanto podemos
escribir:
F1 + F2 = P
Fep = P
(2b)
(2c)
Con lo que deducimos que:
(2)
En un sistema en paralelo se cumple: kep = k1 + k2
F1 + F2 = Fep
(2d)
Y sabemos que:
F1 = k1 Δx1 = k1 Δx
(2e)
F2 = k2 Δx2 = k2 Δx
(2f)
Fep = kes Δxep = kep Δx
(2g)
Ingreso estas igualdades en la ecuación (2d)
k1 Δx + k2 Δx = kep Δx
(2d1)
Ahora saco factor común Δx en el primer miembro y lo
cancelo con el del segundo, así queda demostrado que:
Figura 7. Diagrama de resortes en paralelo e individuales.
kep = k1 + k2
(2)
4π2m (g/f)
Figura 9. Montaje experimental de los resortes
individualmente y en serie.
Elongación correspondiente dada por una fuerza
1
Fuerza (gf)
81.6 ± 0.1
R5 (s)
19.72± 0.01
R1 (s)
19.64± 0.01
R1ll R5 (cm)
31.21± 0.01
2
45.9 ± 0.1
15.76± 0.01
15.39± 0.01
26.82± 0.01
3
52.3 ± 0.1
16.50± 0.01
16.18± 0.01
27.68± 0.01
4
35.7 ± 0.1
14.00± 0.01
13.82± 0.01
25.65± 0.01
5
98.2 ± 0.1
20.53± 0.01
20.80± 0.01
32.86± 0.01
6
88.0 ± 0.1
20.36± 0.01
20.15± 0.01
31.80± 0.01
7
133.9 ± 0.1
23.86± 0.01
23.68± 0.01
36.59± 0.01
8
31.8 ± 0.1
13.62± 0.01
13.14± 0.01
25.20± 0.01
9
77.7 ± 0.1
19.36± 0.01
19.14± 0.01
30.84± 0.01
10
165.7 ± 0.1
25.93± 0.01
25.84± 0.01
39.46± 0.01
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
y = 4314.7x - 837.11
R² = 0.9948
0.5
1
T2
1.5
(s2)
Figura 12. Gráfica de masa versus Periodo. Resorte 5.
Excel
De esta relación podemos obtener nuestra constante de
elasticidad del resorte 5, a partir de la pendiente de la gráfica
que viene siendo 4314.7 g/fs2 como trabajamos con
simplemente dividimos entre 980 para dejarlo en términos de
masa. Esto nos da que la constante de elasticidad del resorte 5
es de 4.402 Dcm, que es la misma relación que obtenemos al
despejar K de (1d)
𝒎
𝑻 = 𝟐𝝅√
∆g =
𝒌
→ 𝑲=
d(4𝝅𝟐m/T2 )
𝑑𝑚
𝟒𝝅𝟐 𝒎
𝑻𝟐
= 4.4 Dcm ± 0.4Dcm
∆m +
d(4𝝅𝟐 m/T2 )
𝑑𝑇
∆t
Figura 10. Tabla de los datos obtenidos en el laboratorio.
𝑻=
𝒕
De donde n es el número de oscilaciones.
𝒏
∆T =
∆𝐭
𝒏
=
𝟎.𝟎𝟏
𝟐𝟎
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓
=
4𝝅𝟐
∆m
T2
=
4𝝅𝟐
0.46382
+
−8𝝅𝟐 𝒎
∆T
T3
x 0.1 +
−8𝝅𝟐 𝟏𝟐𝟓𝟓.𝟒
0.46383
x0.0007 = 713.82/980
𝑲𝟓 = 4.4 Dcm ± 0.7Dcm
Resorte 5
Resorte 1
∆𝑻𝟐
= 𝟐𝑻 ∆𝐓 = 𝟐 𝐱 𝟎. 𝟔𝟖𝟏𝟎 𝐱 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟕
R5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4𝛑𝟐 𝒎
3221.4 ± 0.1
1812.0 ± 0.1
2064.7 ± 0.1
1409.4 ± 0.1
3876.8 ± 0.1
3474.1 ± 0.1
5286.1 ± 0.1
1255.4 ± 0.1
3067.5 ± 0.1
6541.6 ± 0.1
T=t/20
0.9860 ± 0.0005
0.7880 ± 0.0005
0.8250 ± 0.0005
0.7000 ± 0.0005
1.0260 ± 0.0005
1.0180 ± 0.0005
1.1930 ± 0.0005
0.6810 ± 0.0005
0.9680 ± 0.0005
1.2960 ± 0.0005
T2
0.9722± 0.0007
0.6209± 0.0007
0.6806± 0.0007
0.4900± 0.0007
1.0537± 0.0007
1.0363± 0.0007
1.4232± 0.0007
0.4638± 0.0007
0.9370± 0.0007
1.6809± 0.0007
Figura 11. Tabla de datos para la graficación de Periodo
Versus masa del resorte 5. Excel
∆𝑻𝟐 = 𝟐𝑻∆𝐓 = 𝟐 𝐱 𝟎. 𝟔𝟓𝟕 𝐱 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟔
R1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4𝛑𝟐 𝒎
3221.4 ± 0.1
1812.0 ± 0.1
2064.7 ± 0.1
1409.4 ± 0.1
3876.8 ± 0.1
3474.1 ± 0.1
5286.1 ± 0.1
1255.4 ± 0.1
3067.5 ± 0.1
6541.6 ± 0.1
T=t/20
0.982 ± 0.0005
0.769 ± 0.0005
0.809 ± 0.0005
0.691 ± 0.0005
1.040 ± 0.0005
1.007 ± 0.0005
1.184 ± 0.0005
0.657 ± 0.0005
0.957 ± 0.0005
1.292 ± 0.0005
T2
0.9643 ± 0.0006
0.5921 ± 0.0006
0.6545 ± 0.0006
0.4775 ± 0.0006
1.0816 ± 0.0006
1.0150 ± 0.0006
1.4019 ± 0.0006
0.4316 ± 0.0006
0.9158 ± 0.0006
1.6693 ± 0.0006
Figura 13: Tabla de datos para la graficación de Periodo
Versus masa del resorte 1. Excel.
2
7000
Ahora demostraremos
𝟏
5000
𝒌𝒔
𝑲𝟏+𝑲𝟓
𝒌𝟏𝑲𝟓
→
𝟏
𝟐.𝟑𝟐
=
𝟒.𝟑+𝟒.𝟒
𝟒.𝟑 𝒙 𝟒.𝟒
=
0.46
4000
Ks= 2.32 ± 0.07
3000
2000
∆
1000
0
0.5
1
1.5
𝒎
𝒌
→ 𝑲=
4𝝅𝟐
0.43162
=−
∆𝒌𝟏𝟐
𝒌𝟏
+ −
∆𝒌𝟓𝟐
𝒌𝟓
2
T 2(s2)
Figura 14. Gráfica de masa versus Periodo. Resorte 1.
Excel
𝑻 = 𝟐𝝅√
𝟏
𝒌𝒔
= −𝟎. 𝟕/𝟒. 𝟑𝟐 + −𝟎. 𝟕/𝟒. 𝟒𝟐 =0.07
0
y = 4258x - 718.03
R² = 0.9958
∆g =
=
𝟒𝝅𝟐 𝒎
𝑻𝟐
7000
= 4.3 Dcm ± 0.4Dcm
6000
−8𝝅𝟐 𝟏𝟐𝟓𝟓.𝟒
0.43163
x 0.1 +
Notemos que el delta de error calculando nuestra constante
elástica de los resortes en paralelo es mas grande, eso se debe
a que se suma es error de la constante de elasticidad del
resorte 1 mas la del resorte 5.
x0.0006 = 760.93/980
K1= 4.3 Dcm ± 0.7Dcm
4π2m (g/f)
4π2m (g/f)
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Resortes en Serie:
∆𝑻𝟐 = 𝟐𝑻∆𝐓 = 𝟐 𝐱 𝟎. 𝟔𝟖𝟏 𝐱 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟕
4𝛑𝟐 𝒎
1 3221.4 ± 0.1
2 1812.0 ± 0.1
3 2064.7 ± 0.1
4 1409.4 ± 0.1
5 3876.8 ± 0.1
6 3474.1 ± 0.1
7 5286.2 ± 0.1
8 1255.4 ± 0.1
9 3067.5 ± 0.1
10 6541.6 ± 0.1
T=t/20
0.986 ± 0.005
0.788 ± 0.005
0.825 ± 0.005
0.700 ± 0.005
1.026 ± 0.005
1.018 ± 0.005
1.193 ± 0.005
0.681 ± 0.005
0.968 ± 0.005
1.296 ± 0.005
T2
2.4352 ± 0.0007
1.7983
0000 ± 0.0007
1.9155 ± 0.0007
1.6448 ± 0.0007
2.6994 ± 0.0007
2.5281 ± 0.0007
3.3471 ± 0.0007
1.5876 ± 0.0007
2.3778 ± 0.0007
3.8927 ± 0.0007
Figura 15. Tabla de datos para la graficación de Periodo
Versus masa de los resorte 5 y 1 en serie. Excel
𝒎
𝑻 = 𝟐𝝅√
∆g =
𝒌
→ 𝑲=
4𝝅𝟐
1.58762
𝟒𝝅𝟐 𝒎
x 0.1 +
𝑻𝟐
= 2.32 Dcm ± 0.02Dcm
−8𝝅𝟐 𝟏𝟐𝟓𝟓.𝟒
1.58763
Ks= 2.32 Dcm ± 0.02Dcm
x0.0007 = 18.906/980
0
1
y = 2279.4x - 2321.2
R² = 0.9997
2
3
T
4
5
2(s2)
Figura 16. Gráfica de masa versus Periodo. Resorte 5 y 1
en serie. Excel
Ahora analicemos los interceptos.