Cálculo proposicional

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Informática
Fundamentos de Informática 1
Cálculo Proposicional
Dr. Gonzalo Hernández Oliva
USM FI-1 GJHO
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Cálculo Proposicional:
• La Lógica resulta esencial para construir, diseñar,
implementar y probar correctitud en algoritmos y
programas.
• Es necesario estudiar las Leyes Fundamentales de
las Derivaciones Lógicas para estudiar la validez
de las afirmaciones realizadas
• Las Proposiciones forman las Derivaciones y sus
Operaciones es el Cálculo Proposicional
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Cálculo Proposicional:
Argumentos y Proposiciones Lógicas
• Argumentos (Afirmaciones,Conclusiones,
Demostraciones) Válidos o No Lógicamente: V ó F
• Proposiciones forman los Argumentos
• Proposiciones Atómicas son aquellas proposiciones
que no pueden subdividirse y se mantienen unidas
por conexiones lógicas
Veamos algunos ejemplos ...
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Cálculo Proposicional:
Argumentos y Proposiciones Lógicas
• Si la demanda crece entonces las compañias se
expanden. Si las compañias se expanden entonces
contratan trabajadores. Si la demanda crece, las
compañias contratan trabajadores.
• Una universidad es de prestigio si los académicos
que la forman realizan docencia e investigación de
gran calidad.
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Cálculo Proposicional:
Argumentos y Proposiciones Lógicas
• De manera formal:
– Una proposición es una afirmación que es o bien
verdadera o bien falsa.
– Elementos de una proposición:
• Variables Proposicionales: Asignación de Valor
Lógico Binario: V ó F
• Constantes Proposicionales: V , F
• Conectivos o Conexiones: Operaciones
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Cálculo Proposicional:
Argumentos y Proposiciones Lógicas
• Proposición Atómica:
– Una proposición atómica es una proposición que
tiene una única variable o constante proposicionas.
– Las proposiciones no atómicas se denominan
Compuestas.
– Todas las proposiciones compuestas tienen al
menos una conexión lógica
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Cálculo Proposicional:
Proposiciones y Tablas de Verdad
• Dada una proposición es posible estudiar su validez
asignando valores de verdad a sus proposiciones
atómicas y de esta forma calcular ordenadamente los
valores de verdad de las proposiciones compuestas
que la forman en base a las definiciones de los
conectivos lógicos, hasta obtener el valor global.
Todas las posibilidades de cálculo lógico se resumen
en lo que se llama un Tabla de Verdad
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Cálculo Proposicional: Conexiones Lógicas
• Las conexiones lógicas son operadores entre
proposiciones que nos permiten contruir proposiciones
complejas en base a proposiciones más simples o
atómicas. Las más utizadas son las siguientes:
–
–
–
–
–
Negación:
P
Conjunción: P  Q
Disyunción: P  Q
Condicional: P  Q
Bicondicional o Equivalencia:
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PQ
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Cálculo Proposicional: Conexiones Lógicas
• Las conexiones lógicas se definen a través de su tabla
de verdad:
P Q P Q P Q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
F
P Q P Q P Q
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
• Para su operación se ha definido un orden en base a su
prioridad: Alta ()  ()  ()  ()  () Baja
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Cálculo Proposicional: Estudio Proposiciones
• Para proposiciones lógicas o expresiones más
complejas se tienen 2 herramientas fundamentales:
– Tablas de Verdad : Obtenido en base a las expresiones más
simples y proposiciones átómicas que las forman
– Arbol de Análisis Sintáctico: Descomposición de la
expresión en base a sus proposiciones atómicas.
• Veamos algunos Ejemplos:
– P  (Q  R)  ( P  R)
– Si Micaela gana en las Olimpiadas, todos la admirarán y ella
será rica, pero si no gana, todo su esfuerzo fue en vano
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Cálculo Proposicional: Estudio Proposiciones
• Ejercicios: Analice las siguientes proposiciones
– La extracción de minerales es provechosa si la
concentración de mineral es alta pero sólo si la distancia
al mercado es corta
– Podemos o bien tratar de obtener la aprobación de la
amortización y comprar la casa o bien esperar a ver si
llegamos a un acuerdo mejor
– (P (Q (R   P ))) (Q  R)
– (P  Q) ( P  Q ) (P   Q ) ( P   Q )
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Cálculo Proposicional: Estudio Proposiciones
• Una Expresión Lógica es una Tautología si es
Verdadera para todas las asignaciones posibles. En
este caso se antepondrá el simbolo |=
• Una Expresión Lógica es una Contradicción si es
Falsa para todas las asignaciones posibles.
• Una Expresión Lógica es que no es una Tautología ni
una contradicción es una Contingencia
(Causalidad/Eventualidad).
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Cálculo Proposicional: Tautologías
• Ley del Medio Excluido: |= P  P
• Teo: Sea A una expresión tautológica y sean P1 ...Pn
las variables proposicionales de A. Suponga que
B1 ...Bn son expresiones arbitrarias. La expresión
obtenida al reemplazar Pi por Bi es una esquema
y toda particularización es una tautología.
• Diremos que un argumento lógico es válido si la
conclusión se deduce lógicamente de las premisas.
Si todas las premisas son verdaderas entonces
también lo es la conclusión
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Cálculo Proposicional: Tautologías
• Luego, si A es la conjunción de todas las premisas
y C la conclusión, entonces: |= A  C . Un ejemplo
de esto es el silogismo disjuntivo:
|= (P  Q)  P  Q
• Tipos de Tautólogías:
– Inplicaciones Lógicas:
|= A  B ( A  > B )
– Equivalencias Lógicas: |= A  B ( A  B )
Este tipo de tautología se utiliza para demostrar y construir
nuevas leyes (Algebra de Proposiciones)
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Cálculo Proposicional: Leyes
Algebra Proposicional (Declarativa) Básica
•
•
•
•
•
•
•
Medio Excluido:
Contradicción:
Identidad:
Dominación:
Idempotencia:
Doble Negación:
Conmutatividad :
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(P   P)  V
( P   P)  F
(P  F)  P , (P  V)  P
(P  V)  V , (P  F)  F
(P  P)  P , (P  P)  P
 ( P )  P
PQ QP
PQ QP
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Cálculo Proposicional: Leyes
Algebra Proposicional (Declarativa) Básica
(P  Q)  R  P  (Q  R)
(P  Q)  R  P  (Q  R)
• Distributividad: P  (Q  R)  (P  Q )  (P  R )
P  (Q  R)  (P  Q ) (P  R )
Leyes de DeMorgan:
 ( P  Q )  ( P   Q )
 ( P  Q )  ( P   Q )
• Implica:
P  Q  ( P  Q )
• Equivalencia: P  Q  ( P  Q )  (P   Q )
• Asociatividad:
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Cálculo Proposicional: Tautologías
• Una Expresión Lógica está en forma normal disyuntiva si
está escrita como una disyunción de términos que son
conjunciones de variables. Análogamente se define forma
normal conjuntiva. Veamos un ejemplo:
(P Q)  (P  (Q  R)) (P  (R Q ) ) ( Q R )
• Podemos construir una forma normal disyuntiva a partir de
la tabla de verdad de una expresión lógica. Un término
mínimo es una conjunción de literales en los cuales cada
variable se representa una vez. Si una expresión lógica esta
expresada como una disyunción de términos mínimos se
denomina forma normal disjuntiva completa.
• Veamos algunos ejemplos
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Cálculo Proposicional:
Implicaciones y Derivaciones Lógicas
• Herramientas para demostrar argumentos válidos
• Un argumento no válido es una falacia
• Un ejemplo de razonamiento válido es el modus
ponens:
PV
P Q  V
QV
• Este tipo de conclusión se denota: P , P Q |= Q
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Cálculo Proposicional:
Implicaciones y Derivaciones Lógicas
• Reglas de Inferencia:
–
–
–
–
–
–
–
–
Leyes de Combinación: A , B |= A
Leyes de Simplificación: A  B |= A A  B |= B
Leyes de Adición:
A |= A  B B |= A  B
Modus Ponens:
A , A  B |= B
Modus Tollens:
 B , A  B |=  A
Silogismo Hipotético: A  B , B C |= A C
Silogismo Disyuntivo: A B , A |= B A B , B |= A
Ley de Casos:
A  B ,  A  B |= B
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Cálculo Proposicional:
Implicaciones y Derivaciones Lógicas
• Reglas de Inferencia:
– Eliminación de Equivalencias:
A  B |= A  B A  B |= B  A
– Introducción de la Equivalencia:
A  B , B  A |= A  B
– Ley de Inconsistencia: A ,  A |= B
• Estas reglas de inferencia se utilizan para realizar
derivaciones o demostraciones formales. Veamos
algunos ejemplos.
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Cálculo Proposicional:
Demostraciones Formales
• Si x > max  x = max
• “Y ahora llegamos a la gran pregunta del porqué. El robo no
ha sido el objeto del asesinato, puesto que nada desapareció.
¿ Fue por motivos políticos , o fue una mujer ? Esta es la
pregunta con que me enfrento. Desde el principio me he
inclinado hacia esta última suposición. Los asesinos políticos
se complacen demasiado en hacer sólo su trabajo y huir.
Este asesinato, por el contrario había sido realizado muy
deliberadamente, y quien lo perpetró ha dejado huellas por
toda la habitación, mostrando que estuvo ahí todo el tiempo”
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