Cadenas de Markov

LICENCIATURA EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
ANALISIS DE DECISIONES
TEMA: CADENAS DE MARKOV
PROFR: ALEJANDRO DE JESUS GOVEA ARIZMENDI
ALUMNO: BERTHA ALICIA MARTINEZ QUIÑONES
QUINTO CUATRIMESTRE
09-04-2013
INDICE:
Índice………………………………………………………………………………………2
Introducción…………………………………………………………………………….3
Cadenas de Markov ………………………………………………………………..4
Matriz de Transición…………………………………………………………………6
Probabilidad de estar en un estado después de “t”……………………11
Aplicaciones de las cadenas de Markov…………………………………….13
Aplicaciones especificas …………………………………………………………..15
Conclusión…………………………………………………………………………..…..16
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INTRODUCCION:
Las cadenas de Markov son modelos probabilísticos que se usan para predecir la evolución y el
comportamiento de determinados sistemas. En el que la probabilidad de que ocurra un
evento depende del evento inmediato anterior, se puede decir que estas tienen memoria,
recuerdan el último evento y esto condiciona los eventos futuros
Reciben el nombre del matemático ruso Andrei Andreevitch Markov, que las introdujo en
1907.
Han llegado a tener tal importancia que se utilizan en muchas aplicaciones, en lo que nos
interesa, se ha aplicado para analizar patrones de morosidad, necesidades de personal,
preveer defectos en maquinaria, etc.
Como ya lo mencionamos este tipo de proceso, recibe su nombre del matemático ruso Andrei
Andreevitch Markov (1856-1922), introducido por su autor en un artículo publicado en 1907,
presenta una forma de dependencia simple, pero muy útil en muchos modelos, entre las
variables aleatorias que forman un proceso estocástico.
En los negocios, las cadenas de Márkov se han utilizado para analizar los patrones de compra
de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el
reemplazo de equipo.
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CADENAS DE MARKOV
Las cadenas de Markov son herramientas para analizar el comportamiento y gobierno de
determinados tipos de procesos estocásticos, esto es, procesos que evolucionan en forma no
determinista a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados.
PROCESO ESTOCASTICO: En estadística, y en concreto teoría de la probabilidad, un proceso
aleatorio o proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar y
estudiar todo tipo de fenómenos aleatorios (estocásticos) que evolucionan, generalmente, con
el tiempo.
Entonces podemos decir que una cadena de Markov, representa un sistema que varía su
estado a lo largo del tiempo y es cada cambio una transición del sistema.
Los cambios no están predeterminados aunque sí lo está la probabilidad del próximo estado
en función de los estados anteriores, a esta probabilidad es constante a lo largo del tiempo.
Hablando en particular de las cadenas de Markov finitas, las cuales se caracterizan por tener
un número de estados del sistema finitos.
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Elementos de una cadena de Markov finita:
a) Un conjunto de estados del sistema
b) La definición de transición
c) Una ley de probabilidad condicional que defina la probabilidad, del nuevo estado en
función de los anteriores.
Ahora desglosemos cada uno de los elementos
ESTADOS: Caracterización de la situación en que se encuentra el sistema en un instante dado.
Formalmente el estado de un sistema en un instante “t” es una variable cuyos valores solo
pueden pertenecer al conjunto del sistema.
TRANSICIÓN: El sistema modelizado por una cadena por lo tanto es una variable, que cambia
de valor en el tiempo, a este cambio lo llamamos transición.
PROBABILIDAD CONDICIONAL: Por ser el sistema estocástico no se podrá conocer con certeza
el estado del sistema en un determinado instante, sino solamente la probabilidad asociada a
cada uno de los estados.
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MATRIZ DE TRANSICION
En la teoría de la probabilidad, se conoce como cadena de Márkov a un tipo especial
de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento
depende del evento inmediatamente anterior. En efecto, las cadenas de este tipo
tienen memoria. "Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de
los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de
Márkov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un
dado.
Reciben su nombre del matemático ruso Andrei Andreevitch Markov (1856-1922), que
las introdujo en 1907.[1]
Estos modelos muestran una estructura de dependencia simple, pero muy útil en
muchas aplicaciones
En matemática se define como un proceso estocástico discreto que cumple con la
propiedad de Márkov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante
actual, su estado presente resume toda la información relevante para describir en
probabilidad su estado futuro.
Una cadena de Márkov es una secuencia X1, X2, X3,... de variables aleatorias. El rango
de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de Xn es el estado del proceso
en el tiempo n. Si la distribución de probabilidad condicional de Xn+1 en estados
pasados es una función de Xn por sí sola, entonces:
Donde xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la
propiedad de Márkov.
La forma más cómoda de expresar la ley de probabilidad condicional de una cadena
de Markov es mediante la llamada matriz de probabilidades de transición P, o más
sencillamente, matriz de la cadena.
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La Matriz de Transición debe cumplir con las siguientes condiciones:
1. La Matriz de Transición debe ser Cuadrara, es decir debe tener el mismo número de
columnas como de filas.
2. En ella deben estar contenidos tanto en las filas como en las columnas los mismos
Estados o Eventos transitorios.
3. La Suma de los elementos de cada fila debe ser siempre igual a 1, cumpliendo con
la teoría de Probabilidades.
4. Cada elemento de la matriz debe ser un número entre 0 y 1
Dicha matriz es cuadrada con tantas filas y columnas como estados tiene el sistema, y
los elementos de la matriz representan la probabilidad de que el estado próximo sea el
correspondiente a la columna si el estado actual es el correspondiente a la fila.
Como el sistema debe evolucionar de t a alguno de los n estados posibles, las
probabilidades de transición cumplirán con la propiedad siguiente:
Además, por definición de probabilidad, cada una de ellas ha de ser no negativa:
EJEMPLO:
Consideremos una población distribuida entre n = 3 estados, que llamaremos estado 1,
estado 2 y estado 3. Se supone que conocemos la proporción tij de la población del
estado i, que se mueve al estado j en determinado período de tiempo fijo.
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La matriz T = (tij) se llama matriz de transición.
Supongamos que la población de un país, está clasificada de acuerdo con los ingresos en
Estado 1: Pobre
Estado 2: Ingresos medios
Estado 3: Rico
Supongamos que en cada período de 20 años tenemos los siguientes datos para la
población y su descendencia:
De la gente pobre, el 19% pasó a ingresos medios, y el 1% a rica;
De la gente con ingresos medios, el 15% pasó a pobre, y el 10% a rica;
De la gente rica, el 5% paso a pobre, y el 30%, a ingresos medios.
Podemos armar una matriz de transición de la siguiente manera:
Estado inicial:
Pobre
Medio
Rico
Estado final: pasa a nuevo estado en 20 años
Pobre
Medio
Rico
.80
.19
.01
.15
.75
.10
.05
.30
.65
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T=
Pobre
medio
rico
Pobre
.08
.19
.01
Medio
.15
.75
.10
Rico
.05
.30
.65
Obsérvese que:
1) las entradas de la diagonal de la matriz representa la proporción de la población que
no cambia de estado en un período de 20 años;
2) un registro de la matriz da la proporción de la población del estado izquierdo del
registro que pasa al estado derecho del registro en un período de 20 años.
3) la suma de los registros de cada fila de la matriz T es 1, pues la suma refleja el
movimiento de toda la población para el estado relacionado en la parte izquierda de la
fila.
Otra forma de presentación de un proceso y su correspondiente matriz de transición
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Donde la i representa el estado inicial de una transición, j representa el estado final de
una transición, Pij representa la probabilidad de que el sistema estando en un estado i
pase a un estado j.
Como ya hemos mencionado anteriormente, este tipo de solución de cadenas, nos
ayudaran a encontrar la respuesta a muchas interrogantes, para poder tomar así
decisiones al respecto.
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PROBABILIDAD DE ESTAR EN UN ESTADO DESPUES DE “t”:
En un país como Colombia existen 3 operadores principales de telefonía móvil como lo son
Tigo, Comcel y Movistar (estados).
Los porcentajes actuales que tiene cada operador en el mercado actual son para tigo 0.4 para
Comcel 0.25 y para movistar 0.35. (Estado inicial)
Se tiene la siguiente información un usuario actualmente de tigo tiene una probabilidad de
permanecer en tigo de 0.60, de pasar a Comcel 0.2 y de pasarse a movistar de 0.2; si en la
actualidad el usuario es cliente de Comcel tiene una probabilidad de mantenerse en Comcel del
0.5 de que esta persona se cambie a tigo 0.3 y que se pase a movistar de 0.2; si el usuario es
cliente en la actualidad de movistar la probabilidad que permanezca en movistar es de 0.4 de
que se cambie a tigo de 0.3 y a Comcel de 0.3.
Partiendo de esta información podemos elaborar la matriz de transición.
La suma de las probabilidades de cada estado en este caso operador deben ser iguales a 1
Po= (0.4 0.25 0.35)
→
estado inicial
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También se puede mostrar la transición por un método grafico
Ahora procedemos a encontrar los estados en los siguientes pasos o tiempos, esto se realiza
multiplicando la matriz de transición por el estado inicial y así sucesivamente pero multiplicando
por el estado inmediatamente anterior.
Como podemos ver la variación en el periodo 4 al 5 es muy mínima casi insignificante
Podemos decir que ya se ha llegado al vector o estado estable.
http://www.youtube.com/watch?v=rdEVQUv4T3c
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APLICACIONES DE LAS CADENAS DE MARKOV:
Física
Las cadenas de Markov son usadas en muchos problemas de la termodinámica y la física
estadística. Ejemplos importantes se pueden encontrar en la Cadena de Ehrenfest o el modelo
de difusión de Laplace.
Meteorología
Si consideramos el clima de una región a través de distintos días, es claro que el estado actual
solo depende del último estado y no de toda la historia en sí, de modo que se pueden usar
cadenas de Markov para formular modelos climatológicos básicos.
Modelos epidemiológicos
Una importante aplicación de las cadenas de Markov se encuentra en el proceso GaltonWatson. Éste es un proceso de ramificación que se puede usar, entre otras cosas, para
modelar el desarrollo de una epidemia (véase modelaje matemático de epidemias).
Internet
El pagerank de una página web (usado por Google en sus motores de búsqueda) se define a
través de una cadena de Markov, donde la posición que tendrá una página en el buscador será
determinada por su peso en la distribución estacionaria de la cadena.
Simulación
Las cadenas de Markov son utilizadas para proveer una solución analítica a ciertos problemas
de simulación tales como el Modelo M/M/1.
Juegos de azar
Son muchos los juegos de azar que se pueden modelar a través de una cadena de Markov. El
modelo de la ruina del jugador, que establece la probabilidad de que una persona que apuesta
en un juego de azar finalmente termine sin dinero, es una de las aplicaciones de las cadenas
de Markov en este rubro.
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Economía y Finanzas
Las cadenas de Markov se pueden utilizar en modelos simples de valuación de opciones para
determinar cuándo existe oportunidad de arbitraje, así como en el modelo de colapsos de una
bolsa de valores o para determinar la volatilidad de precios. En los negocios, las cadenas de
Márkov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para
planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.
www.itescam.edu.mx
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APLICACIONES ESPECÍFICAS:
Dentro de las alternativas de modelización dinámica de las migraciones se encuentran
las cadenas de Markov, metodología que, sin haber alcanzado el nivel divulgativo del
discurso causal, ha tocado parcelas muy diversas. A partir del trabajo pionero de
Blumen, Kogan y McCarthy (1955), precursores en la aplicación de cadenas de
Markov discretas al estudio de la movilidad social, a lo largo de las décadas sesenta,
setenta y ochenta se produjeron importantes aportaciones, tanto metodológicas como
empíricas, en la utilización de cadenas de Markov a fenómenos muy diversos, entre
ellos la movilidad ocupacional (Blumen, Kogan y McCarthy,1955; Hodge, 1966;
Sorensen, 1975; Ginsberg, 1971), los cambios en las preferencias de los
consumidores (Telser, 1962; Lipstein, 1965; Kesavan, 1982) y la movilidad geográfica
(Goodman, 1962; Rogers, 1966; Brown, 1970; Gale, 1972; Spiler-man, 1972;
Rogerson, 1979; Plane y Rogerson, 1984 y 1986). Más recientemente, ha sido
destacada la divulgación de cadenas de Markov en estudios sobre la distribución
regional de la renta y la pobreza (Quah, 1996; Gardeazabal, 1996; Magrini, 1999;
Amplatz, 2003; Domínguez, 2004) y en estudios relacionados con los mercados
financieros (Betancourt, 1999; Dezzani, 2002).
www.es.scrib.com
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CONCLUSION
Esta herramienta creada por el matemático ruso “Andrei Markov” en el año 1907, que
es una mezcla principios algebraicos y estadísticos para analizar procesos
estocásticos, es decir que evolucionan a lo largo del tiempo en un conjunto de
estados, forma parte importante en la base para la toma de decisiones
Es posible aplicar este principio a campos tan diferentes como la meteorología,
astrología, biología y claro está en a las empresas, entre otras muchas áreas, por
supuesto.
El problema de estas cadenas radica en la dificultad de su cálculo en casos donde el
número de estados es muy grande por eso se recomienda realizarlo en base a ratios
relevantes y en la búsqueda de factores que respondan a las “propiedades
markovianas”.
Además, requiere de personal cualificado para crear un sistema eficiente para esos
casos. Para ello se puede hablar con un informático ya que deberá realizarse una
base de datos y este deberá estudiar las fórmulas para aplicarlas de la mejor manera
posible.
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