fundamentos físicos de la ingenieria sesión de prácticas 0

DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AGRÓNOMOS Y DE MONTES
UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA
SESIÓN DE PRÁCTICAS 0
1. Introducción al cálculo de errores
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
Guión de prácticas
1.- Introducción al cálculo de errores
Objeto:
Aprender a determinar los errores inherentes a la medida de las
magnitudes físicas.
Fundamento:
Cuando se realiza la medida de una determinada magnitud rara vez podemos
afirmar con certeza que el valor obtenido es el valor real y probablemente, al repetir la
medida los valores obtenidos sean diferentes.
La realización de la medida lleva inherente una incertidumbre, la posibilidad de
cometer un error, que puede deberse a imperfecciones del aparato de medida o a las
limitaciones de nuestros sentidos, que deben registrar la información. Dicha
incertidumbre suele disminuir cuando se hacen medidas repetidas de dicha magnitud.
Hay que considerar también que, en determinadas ocasiones, el método de medida
perturba el sistema de algún modo, por ejemplo cuando introducimos un molinete en
una corriente fluida para medir la velocidad.
De esta forma es conveniente acompañar a la medida realizada en el laboratorio
del error estimado en dicha medida.
Errores.
El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido
experimentalmente.
Atendiendo a las causas que los producen se clasifican en:
- Determinados o sistemáticos. Afecta a todas las mediciones y es el mismo para
todas ellas. Puede deberse al aparato (e.g. error del cero), al operario, o al método
elegido. Si somos capaces de medir este error podremos corregir su efecto.
- Indeterminados o accidentales. Son pequeñas variaciones, tanto por exceso
como por defecto, que se observan entre distintas medidas del mismo experimento. Para
minimizar estos errores deben hacerse medidas repetidas y utilizar métodos estadísticos
que nos acerquen al valor probablemente real. Junto a la medida debe indicarse las
bandas de error que indica los límites entre los que puede oscilar la medida de la
magnitud que se ha realizado.
Podemos hablar de:
a) Error absoluto, como la diferencia entre una medida obtenida
experimentalmente y el valor verdadero. Naturalmente se expresa en las mismas
unidades que la medida realizada.
b) Error relativo. Se obtiene dividiendo el error absoluto por el valor verdadero.
Suele expresarse en tantos por ciento o tanto por uno.
1.1
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Guión de prácticas
Medidas directas
Son aquellas cuyo resultado se obtiene directamente en el curso de un
experimento sin necesidad de realizar cálculo alguno. Por ejemplo, la temperatura
medida con un termómetro o el tiempo contabilizado con un cronómetro.
Las medidas directas pueden dividirse en dos grupos:
a) Medida directa única.
Cuando la sensibilidad del aparato es pequeña comparada con la magnitud de los
errores aleatorios o accidentales, la repetición de la medida nos lleva siempre al mismo
resultado. En este caso es suficiente hacer una sola medida, se admite ésta como valor
verdadero y como error absoluto la sensibilidad del aparato utilizado, es decir, el
intervalo mínimo que puede apreciarse con dicho aparato.
Cuando se utilizan aparatos analógicos (la medida se da en forma continua, por
ejemplo una aguja que se desplaza sobre una escala) se considera como valor de la
medida la división de la escala que esté más próxima a la aguja y los límites de la banda
de error serán la mitad de la precisión. Si se utilizan aparatos digitales (la medida
aparece en una pantalla y la respuesta es discontinua, a intervalos discretos) el error
dependerá del sistema interno de presentación de datos (redondeo o truncamiento), por
lo que en caso de desconocerse este sistema se tomará como límites de la banda de error
la precisión entera, no su mitad.
b) Medida directa repetida.
Repitiendo la medida se intentan minimizar los errores accidentales. Se toma
como valor verdadero el valor medio de las medidas (1.1)
n
xi
i 1
x
(1.1)
n
Como error en la medida se considera la desviación típica de la muestra (1.2), que nos
indica el error cuadrático medio al considerar x como valor de la medida.
n
xi
x
2
i 1
n 1
(1.2)
n 1
Medidas indirectas.
Se obtienen a partir de una expresión matemática en la cual aparecen magnitudes
medibles directamente. Por ejemplo, supongamos la magnitud física u que se calcula en
función de las magnitudes x, y, z,...:
u
u ( x, y, x,...)
(1.3)
las medidas directas y sus incertidumbres se habrán determinado como se ha indicado
anteriormente, dependiendo de que la medida sea única o repetida. Supongamos pues
que los valores medidos son:
x
x,
y
1.2
y,
z
z ,...
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y queremos determinar el valor de u y la incertidumbre u
u.
El valor de u lo determinamos sustituyendo los valores medidos en la expresión
(1.3). El valor de la incertidumbre lo calculamos teniendo en cuenta que el cambio que
u
experimenta el valor de u cuando el valor de x cambia una unidad es
. Si x cambia
x
x , u cambiará
u
x
ux
x
y lo mismo podemos decir para las magnitudes y, z,... Por lo que:
u
u
x
u
y
x
y
u
z
z ...
Podemos decir que las diferenciales de las variables coinciden con los errores
absolutos de las magnitudes, y las variables con los valores supuestos exactos. Así el
error relativo será el valor de la diferencial dividida por la variable (valor exacto).
De esta forma si se toman logaritmos neperianos en la expresión matemática y se
diferencia, haciendo positivos todos los términos de la diferencial, obtenemos
directamente el error en la medida indirecta en función de los errores en las magnitudes
medidos directamente.
Ejemplo: el volumen de un cilindro viene dado por la expresión,
r 2h
V
(1.4)
siendo r la medida del radio y h la altura.
Si dr y dh representan los errores de estas dos magnitudes, el error de V lo
podemos determinar tomando logaritmos neperianos en la expresión:
ln V
ln
2ln r ln h
(1.5)
diferenciamos la expresión:
dV
V
2
dr
r
dh
h
(1.6)
El error absoluto vendrá dado por:
dV
dr
r
dh
h
(1.7)
dr
r
dh
h
(1.8)
V 2
El error relativo será:
dV
V
2
Cifras significativas.
Las cifras significativas, como su nombre indica, son las que nos dan información
detallada sobre el valor de la cantidad. En el número de cifras significativas no se tienen
1.3
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Guión de prácticas
en cuenta los ceros situados a la izquierda de la primera cifra no nula. Así 3.25 kg, 271
N y 0.0168 m tienen todas tres cifras significativas.
El número de cifras que deben figurar en un resultado viene condicionado por el
error o desviación cometido en su determinación. La última cifra significativa en el
valor de una magnitud y en su error, expresados en las mismas unidades, deben
corresponder al mismo orden de magnitud.
Es correcto:
24.54
No es correcto:
24.5362
0.03
0.03
Cálculos con cantidades aproximadas
Cuando se realizan cálculos con medidas realizadas previamente, no todas las
cifras del resultado tienen porqué ser significativas. Para evitar calcular cifras
innecesarias pueden tenerse en cuenta las siguientes recomendaciones:
1) En la suma y resta se conservan tantas cifras decimales en el resultado como
el sumando que menos tenga.
2) En el producto y la división se conservan tantas cifras decimales como el
factor que menos tenga.
3) Al elevar a un exponente (entero o fraccionario) se conservan tantas cifras
decimales como tenga la base.
4) Cuando haya que realizar operaciones consecutivas es conveniente dejar una
cifra más de la que establece la regla correspondiente en los resultados
intermedios (cifra de seguridad) eliminándola por redondeo cuando se llegue
al resultado final.
Cuestiones:
1.- Se realizan diez medidas consecutivas del tiempo que tarda un móvil en recorrer un
espacio de 5 m, obteniéndose los siguientes resultados expresado en segundos:
10.2; 10.3; 10.1; 10.2; 10.5; 10.3; 10.4; 10.1; 10.3; 10.1
Determinar el valor promedio de estas diez medidas y la desviación típica de la muestra
(error estimado al considerar la media como valor de la medida del tiempo).
2 - Determinar el error cometido al calcular el volumen de un cilindro del cual se han
medido el radio: 5.82 cm y la altura: 20.35 cm con una cinta métrica que aproxima hasta
décimas de mm.
3- Para aforar el caudal suministrado por una fuente se utiliza un recipiente de base
cuadrada de lado a y altura h. Cinco observadores miden las dimensiones del recipiente
y el tiempo t que tarda en llenarse completamente. Determinar el caudal medio medido
y el error estimado en la medida de dicho caudal. (Q=V/t)
1.4
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Observador a (cm) h (cm) t (s)
1
22.4
47.2
356.2
2
22.6
46.9
359.1
3
22.1
47.1
359.6
4
22.5
47.3
360.3
5
22.3
47.1
357.8
media
error
Q
Q
1.5
Guión de prácticas
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