Calcular sumas de n combinaciones posibles con m dígitos consecutivos

FÓRMULA PARA CALCULAR LA SUMA DE LAS “N” COMBINACIONES
POSIBLES CON “M” DÍGITOS CONSECUTIVOS
ERNESTO RAÚL SILVA GONZÁLEZ
SANTIAGO DE CHILE
e-mail: [email protected]
II.
Abstract: This document shows the formula to calculate
the sum of the n possible combinations of m consecutive
digits. The formula for m = 3 and m = 5 will be
demonstrated. Finally, the sum of the possible
combinations from 3628800 to combine 0123456789 digit
calculated.
Comprobación de la fórmula para 3 dígitos
consecutivos cualquiera
Sea X, Y y Z tres dígitos consecutivos cualesquiera,
entonces se cumple que:
ܻ =ܺ+1
‫ܻ= ܥ‬+1=ܺ+1+1= ܺ+2
Con estos 3 dígitos formamos los siguientes números
Resumen: El presente documento muestra la fórmula para
calcular la suma de las n combinaciones posibles con m
dígitos consecutivos. Se demostrará la fórmula para m=3 y
m=5. Finalmente, se calculará la suma de las 3628800
combinaciones posibles que resultan de combinar los
dígitos 0123456789.
100X+10Y+Z
100X+10Z+Y
100Y+10X+Z
100Y+10Z+X
100Z+10X+Y
100Z+10Y+X
PALABRAS CLAVE: combinaciones, dígitos consecutivos,
fórmula, suma total.
Sumando tenemos:
I.
Descripción de la fórmula
222X+222Y+222Z=222(X+Y+Z) reemplazando
=222(X+X+1+X+2)
=222(3X+3)
=666(X+1)
Para calcular la suma total de la n combinaciones
posibles con m dígitos consecutivos, desde m=2 hasta
m=10, tenemos la fórmula siguiente:
(ࢉ࢓ࢋ࢜ + ࡯ࡹ࡭ࢂ)
Aplicando la fórmula tenemos
࢓!
૛
3!
൫(100ܺ + 10ܻ + ܼ) + (100ܼ + 10ܻ + ܺ)൯ ∗
2
6
(101ܺ + 20ܻ + 101ܼ) ∗
2
Reemplazando
Donde:
cmev=combinación de menor valor
CMAV=combinación de mayor valor
m= número total de dígitos
(101ܺ + 20ܺ + 20 + 101ܺ + 202) ∗ 3
(222ܺ + 222) ∗ 3
222 ∗ 3 ∗ (ܺ + 1)
666 ∗ (ܺ + 1)
Por ejemplo para encontrar la suma total de las 120
combinaciones posibles con los dígitos 1,2,3,4 y 5
tenemos:
(12345 + 54321) ∗
(66666) ∗
120
2
Por lo tanto se comprueba la fórmula y se obtiene una
fórmula alternativa para obtener la suma total de los
números que resultan de combinar 3 dígitos
consecutivos cualesquiera
666*(X+1), donde X es el dígito de menor valor.
5!
2
66666 ∗ 60
Para 1, 2 y 3 tenemos
3999960
(123 + 321) ∗
Por lo tanto la suma de las 120 combinaciones que
resultan de combinar los dígitos 1,2,3,4 y 5 es 3999960.
3!
2
(444) ∗ 3 = 1332
1
III.
Sumando tenemos el siguiente resultado parcial
266664E
Comprobación de la fórmula para 5 dígitos
consecutivos cualquiera
Sea A,B,C,D,E 5 dígitos consecutivos cualesquiera
entonces se cumple que:
Sumando los resultados parciales tenemos:
B=A+1
C=B+1=A+1+1=A+2
D=C+1=A+2+1=A+3
E=D+1=A+3+1=A+4
266664A+ 266664B+266664C+266664D+266664E
266664(A+B+C+D+E)
Por ser dígitos consecutivos tenemos:
266664(A+A+1+A+2+A+3+A+4)
266664(5A+10)
1333320(A+2)
Formamos el número 10000A+1000B+100C+10D+E,
haciendo las combinaciones, nos podemos dar cuenta
que el dígito A estará 24 veces en esa posición. Porque
el número de permutaciones con los 4 dígitos restantes
es 24. Haciendo lo mismo sucesivamente con los otros
dígitos obtendremos los siguientes resultados parciales:
Aplicando la fórmula
(10000‫ ܣ‬+ 1000‫ ܤ‬+ 100‫ ܥ‬+ 10‫ ܦ‬+ ‫ ܧ‬+ 10000‫ܧ‬
5!
+ 1000‫ ܦ‬+ 100‫ ܥ‬+ 10‫ ܤ‬+ ‫∗ )ܣ‬
2
A*24*10000=240000A
A*24*1000=24000A
A*24*100=2400A
A*24*10=240A
A*24*1=24A
(10001‫ ܣ‬+ 1010‫ ܤ‬+ 200‫ ܥ‬+ 1010‫ ܦ‬+ 10001‫)ܧ‬
120
∗
2
൫10001‫ ܣ‬+ 1010(‫ ܣ‬+ 1) + 200(‫ ܣ‬+ 2)
+ 1010(‫ ܣ‬+ 3) + 10001(‫ ܣ‬+ 4)൯
∗ 60
(20002‫ ܣ‬+ 2020‫ ܣ‬+ 200‫ ܣ‬+ 1010 + 400 + 3030
+ 40004) ∗ 60
Sumando tenemos el siguiente resultado parcial
266664A
B*24*10000=240000B
B*24*1000=24000B
B*24*100=2400B
B*24*10=240B
B*24*1=24B
(22222‫ ܣ‬+ 44444) ∗ 60
(1333320‫ ܣ‬+ 2666640)
Sumando tenemos el siguiente resultado parcial
266664B
1333320(‫ ܣ‬+ 2)
Se comprueba la fórmula sin pérdida de generalidad, por
lo tanto se concluye que la suma de todas las
combinaciones posibles con m dígitos se puede calcular
con la fórmula
C*24*10000=240000C
C*24*1000=24000C
C*24*100=2400C
C*24*10=240C
C*24*1=24C
Sumando tenemos el siguiente resultado parcial
266664C
(ࢉ࢓ࢋ࢜ + ࡯ࡹ࡭ࢂ)
D*24*10000=240000D
D*24*1000=24000D
D*24*100=2400D
D*24*10=240D
D*24*1=24D
Donde:
cmev=combinación de menor valor
CMAV=combinación de mayor valor
m= número total de dígitos.
Sumando tenemos el siguiente resultado parcial
266664D
E*24*10000=240000E
E*24*1000=24000E
E*24*100=2400E
E*24*10=240E
E*24*1=24E
2
࢓!
૛
IV.
Cálculo de la suma total de las 3628800
combinaciones posibles con los 10 dígitos
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
Aplicando la fórmula tenemos:
(0123456789 + 9876543210) ∗
(9999999999) ∗
3628800
2
10!
2
૚ૡ૚૝૜ૢૢૢૢૢૡ૚ૡ૞૟૙૙
Signed by: Ernesto
Silva González Date:
2014.01.30 10:53:18
-03
3