1_Determinacion_de_brazo_de_Aplicacion. - U

Determinación de brazo de Aplicación.
Para esto, se balanceó el sistema con 1100 ml de agua, con densidad aproximada de 1 𝑔⁄𝑐𝑚3 .
Además se conoce la masa del portapesas, de 0,1267 kg, y se trabajará con la aceleración de
gravedad de valor 9,8 𝑚⁄𝑠 2 . A continuación se presentan los valores del brazo al que se ubica el
portapesas, tras agregar diferentes pesos adicionales.
Sup: totalmente cubierta, vertical.
Volumen [ml]
1100
Altura [mm]
118
Peso adicional [N]
Brazo [cms]
Peso Total [N]
Torque [N*cm]
2
24,5
3,24166
79,42067
2,5
20,9
3,74166
78,200694
3
18,8
4,24166
79,743208
3,5
16,7
4,74166
79,185722
4
15,2
5,24166
79,673232
4,5
13,8
5,74166
79,234908
Tabla : Valores de torque obtenidos experimentalmente.
El peso total está calculado como 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝐴𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 0,1267 ∙ 9,8 [𝑁]. Además, el peso del
volumen de agua es
1100 𝑐𝑚3 ∙ 9,8 𝑚⁄ 2 ∙ 1
𝑠
1000 𝑔𝑟
𝑔𝑟
⁄𝑐𝑚3 ∙ 1 𝑘𝑔
= 10,78 [𝑁].
Haciendo el balance de torques entre los pesos y el volumen de agua, tomando el torque
promedio que los pesos ejercen sobre la balanza se obtiene el valor promedio del brazo de
aplicación de la fuerza ejercida por el fluido en el sistema.
Torque Prom [N*cm]
Brazo [cm] (Torque/Peso Agua)
79,243
7,35
Tabla : Valor de brazo de aplicación en base a torque promedio.
Ahora, se determina la coordenada horizontal del centro de gravedad del volumen de líquido en el
recipiente, a fin de comparar su valor con el brazo determinado. Para ello se parametriza la figura
que forma el agua de la siguiente forma.
Figura : Diagrama invertido de volumen de agua en recipiente
El centro de gravedad, mediante integrales, queda:
√𝑅12 −(𝑅2−ℎ)2
𝑋𝐶𝐺 =
∫0
√𝑅12 −(𝑅2−ℎ)2
∫0
√𝑅22 −𝑥 2
√𝑅22 −(𝑅2−ℎ)2
√𝑅22 −𝑥 2
√𝑅22 −(𝑅2−ℎ)2
√𝑅22 −𝑥 2
∫√𝑅12−𝑥 2 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + ∫√𝑅12−(𝑅2−ℎ)2 ∫𝑅2−ℎ
√𝑅22 −𝑥 2
∫√𝑅12−𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + ∫√𝑅12−(𝑅2−ℎ)2 ∫𝑅2−ℎ
𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥
Ocupando los valores experimentales, se obtiene el siguiente resultado.
R1 [cm]
10
Xcg [cm]
7,46
R2 [cm]
20
h [cm]
11,8
Tabla : Valor obtenido de centro de gravedad de volumen de liquido.
→ Valores de brazo experimental y de centro de gravedad son aproximadamente iguales.
Momento y superficie plana
El líquido ejerce fuerzas sobre las superficies con las que está en contacto. En este caso, sería
sobre las superficies planas laterales, la superficie plana inferior las superficies de mantos
cilíndricos que lo encierran por arriba o por abajo.
Figura : Diagramación de fuerzas actuando en un esquema cilíndrico, donde eje de giro es eje
central.
Vectores en 𝑟̂ : Son las fuerzas que efectua el líquido en una o ambas caras de manto cilíndrico.
Como la fuerza ejercida es perpendicular a las caras, se hace en dirección radial, y por tanto no
ejercen torque respecto a eje de giro (en diagrama, fuerzas 1 y 2).
Vectores en 𝑘̂: Debido a la homogeneidad del fluido, este adopta la forma del recipiente, por lo
que la superficie de contacto con las caras laterales del recipiente es la misma. Luego el fluido
hace la misma fuerza perpendicular sobre ambas, pero en sentido contrario (en diagrama fuerzas
3 y 4). Luego el torque que puedan realizar es nulo, además de no aplicable a la dirección de giro
del eje (recipiente no puede girar en otra dirección que no sea la de 𝜔 𝑘̂ ).
Vector en 𝜃̂ : Consiste en la fuerza que ejerce el fluido sobre la superficie plana inferior del
recipiente. Esta fuerza sí ejerce torque de acuerdo al eje de giro, y no tiene con qué anularse.
Luego, la única fuerza que ejerce torque en el eje de giro de la balanza es la perpendicular a la cara
plana inferior del recipiente.
Demostración empírica.
Para corroborar la última demostración, se ocuparon diferentes configuraciones de la balanza,
vertical e inclinada, con la superficie inferior total o parcialmente cubierta por agua. Con ello, se
podrá identificar el torque que ejerce el agua, balanceado con pesos al otro costado, y se
corroborará que es el mismo torque que ejerce la fuerza de presión del agua sobre la superficie en
cuestión.
Figura : Diagrama de balanza.
Con el diagrama descrito se puede describir la fuerza como el volumen del prisma de presiones y
su punto de aplicación, medido desde fondo de recipiente y con a como ancho del recipiente, de la
siguiente forma.
𝐹 = 𝑉𝑟𝑒𝑐𝑡 + 𝑉𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 =
𝑋=
2 ∙ 𝑃0 ∙ 𝑎 ∙ ℎ + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑎 ∙ ℎ2
2 ∙ cos(𝜃)
𝑉𝑟𝑒𝑐𝑡 ∙ ℎ′⁄2 + 𝑉𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 ∙ ℎ′⁄3
𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
3 ∙ 𝑃0 ∙ ℎ + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2
3 ∙ cos(𝜃) ∙ (2 ∙ 𝑃0 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ)
Luego el brazo de aplicación del torque sería 0,2 – X, distancia al eje de giro.
Caso 1: Superficie vertical, totalmente cubierta.
Fuerza [N]
X [m] Brazo [m] Torque Agua [N*m] Torque masa [N*m]
4,998
0,03775 0,162255
0,81095049
0,7924307
Tabla :
Error %
2,3371
Caso 2: Superficie vertical, parcialmente cubierta.
Fuerza [N]
X [m] Brazo [m] Torque Agua [N*m] Torque masa [N*m]
1,23627 0,01933 0,180667
0,223353192
0,204874
Error %
9,0198
Caso 3: Superficie inclinada en 50°, totalmente cubierta
Fuerza [N]
9,83874
X [m]
0,046
Brazo [m] Torque Agua [N*m] Torque masa [N*m]
0,154002
1,515185637
1,68288872
Caso 4: Superficie inclinada en 30°, parcialmente cubierta
ρθ
Error %
-9,9652