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ELEMENTOS
DE MATEMATICA
PUBLICACION DIDACTICO CIENTIFICA
d e la U N I V E R S I D A D C A E C E
ELEMENTOS E S MATEMATICA
Publicación didáctico científica
de la Universidad CAECE - Trimestral
Redacción y Administración
Avda. de Mayo 1400 - 5 2 Piso
Tel.: 383-5757
Director:
Prof. Roberto P. J. Hernández
VOLUMEN Vil
NUMERO XXV
Secretaria de Edición
Prof. Mariana A. Ortega
Colaboradores permanentes:
Dr. Luis Santaló
Prof. Jorge Bosch
Lic. Nicolás Patetta
Lic. Lucrecia Iglesias
Prof. María E. S. de Hernández
Prof. Elena García
Con el auspicio del Comité Argentino
de Educación Matemática
Adherido al Comité Interamericano
de Educación Matemática
Suscripción anual:
Argentina: $ 13
Exterior: 15 dólares o el equivalente
en moneda de cada país
Ejemplar suelto: $3,5
Ejemplar atrasado: $ 4
Exterior: 5 dólares
Setiembre 1992
SUMARIO
Editorial
..........3
Arboles
Prof. María EstherS. de Hernández
...5
Teoría elementa! de categorías
Prof. Jorge E. Bosch..
17
Propuesta didáctica
Lic. Lucrecia C. Iglesias
29
La computación como recurso
Prof. Elena I. García
...35
Los problemas matemáticos en el aula
Prof. María EstherS. de Hernández
44
Registro Nacional de la Propiedad
Intelectual N e 42.128
Composición e impresión:
CONEXION
Florida 165 - 82 piso
(1333) Capital
ISSN 0326-8888
M S Ü S
m i S m H i m K i l l
Editorial
Este número, el XXV de nuestra revista, inicia el
volumen VII que implica la apertura al séptimo año de
vida de Elementos de Matemática. Y aunque parezca
reiterativo es imperioso expresar que la continiudad
de nuestra publicación, así como el cumplimiento de
la frecuencia anunciada desde su aparición, ha sido
posible gracias a los esfuerzos mancomunados de la
Universidad CAECE, de nuestros colaboradores y de
todos los perseverantes seguidores.
Como en todos los números, se incluyen las secciones fijas específicas a cargo de los responsables
permanentes de las mismas y se agregan dando continuidad a dos trabajos fundamentales:
a) la tercera parte del desarrollo del tema que sobre
Matemática Discreta ha tenido a su cargo la Profesora María Esther Spivak de Hernández, con el título de "Arboles", con la que se completa esta contribución;
b) la cuarta parte del trabajo sobre Teoría Elemental de
Categorías que viene desarrollando el Profesor Jorge E. Bosch y que continuará en números próximos.
Por último mencionamos que se distribuyó entre
todos los colegas el Segundo Anuncio sobre el 1er Congreso Argentino de Educación Matemática, seguramente cuando este número llegue a manos del lector
ya habrá recibido el Tercer Anuncio sobre tan importante evento.
ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL. VII Nro. 25, Setiembre de 1992
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ARBOLES
Profesora MARIA E S T H E R S P I V A K D E H E R N A N D E Z
1. INTRODUCCION
1.1. Supongamos que se desea construir un sistema de galerías cubiertas para circulación del personal y transporte de ciertos insumos entre 8 edificios de un complejo industrial distribuidos en un campo, de
modo que: (1) dos edificios cualesquiera queden conectados entre sí y
(2) por razones de control y de seguridad dicha conexión sea única.
Hay distintas maneras de esquematizar la situación atendiendo a
condiciones adicionales, como sería la de minimizar el costo de la construcción, acortar distancias, etc. Se trata de un grafo con 8 vértices, cuyas
posibles aristas tendrían asignado un peso p y, en función de tales pesos,
se trata de cumplir con los requerimientos del problema. Entre las soluciones posibles, están las que se diagraman a continuación, para una supuesta ubicación relativa de los edificios.
Estos diagramas y otros que quedan librados a la imaginación del
lector en base a las condiciones (1) y (2) tienen una configuración particular que recuerda a un árbol. La condición (1) significa que el grafo es
conexo; la (2) implica que no puede haber caminos cerrados o circuitos.
Tampoco pueden repetirse aristas en un camino, pues, en caso contrario,
se repetirían sus extremos dando lugar a circuitos, o sea que los caminos
deben ser cadenas a-cíclicas. Las dos condiciones indican, además, que
no puede haber vértices aislados, ni aristas dobles ni lazos.
ARBOLES
6
Se observa, además, que: (i) todas las aristas son puentes, pues al
suprimir una se pierde la conexidad exigida; (ii) los vértices son istmos o
bien son pendientes; (iii) hay más de un vértice pendiente; (iv) el número
de aristas es una unidad menos que el número de vértices.
Las observaciones precedentes, posibles de realizar en situaciones
similares a la propuesta, sugieren la existencia de una estructura particular de grafo, precisamente la que lleva el nombre de árbol, y en la que se
cumplirían propiedades especiales.
En niveles elementales de la enseñanza, el concepto y propiedades de
tales grafos se inducen fácilmente a partir de casos concretos, tal como ha
sido posible hacerlo con el ejemplo presentado. En otros niveles, la cuestión pasa por formalizaciones como la que se expondrá en esta nota.
Como paso previo haremos algunas consideraciones sobre caminos y
cadenas en un grafo.
1.2. Hemos establecido que un grafo G = (V, A, cp) es conexo si y sólo si, para dos vértices cualesquiera u, v € V existe un camino de u a v. En
los ejemplos presentados oportunamente puede verse que este camino no
es necesariamente único. Puede probarse que si u * v, entre todos los posibles caminos que los conectan hay por lo menos uno que es una cadena acíclica, esto es, una cadena (camino que no repite aristas) en la cual no
hay ciclos. Este hecho es consecuencia de la siguiente propiedad general.
Propiedad 1. Si u y v son vértices distintos de un grafo cualquiera
G y hay un camino de u a v, entonces hay un camino de u a v que no repite vértices.
Demostración. Entre todos los caminos de u a v se elige uno de longitud mínima (si el camino es único, él es, obviamente, de longitud mínima).
Sea tal camino el dado por la sucesión.
x
i a i x2> • • • > x ¡ a i xi+i> • • • > x j a j xj+l> • • •» x n
con Xj = u ; x n = v
Si se repite algún vértice, por ejemplo, Xj = x¡, suprimiendo en (1) los
términos que siguen a x¡ hasta xj = xj inclusive, se obtiene otro camino
x
i ax x 2 , . . . , Xj aj x j + 1 , . . . , ajj x n
de u a v
de longitud menor que el anterior, lo cual contradice al supuesto de que
(1) era el de longitud mínima (o al de la unicidad de (1)).
Consecuencias
1. Si u y v son vértices distintos de un grafo cualquiera G y hay un
camino de u a v, entonces hay una cadena a-cíclica de u a v.
PROF. MARIA ESTHER SPIVAK DE HERNANDEZ
7
En efecto: Por la propiedad 1 hay un camino de u a v que no repite
vértices. En dicho camino tampoco se repiten aristas, pues la repetición
de, al menos, una arista implicaría la repetición de los dos vértices que
son sus extremos, o sea que tal camino (de longitud mínima) es una cadena. Obviamente, dicha cadena es a-cíclica, pues de haber un ciclo habría también repetición de vértices.
2. G es un grafo conexo si y sólo si existe una cadena a-cíclica entre
dos vértices distintos cualesquiera.
Es inmediato por definición de grafo conexo y por la consecuencia 1.
En el grafo G representado por el diagrama siguiente hay varios caminos de v, a v2. El de longitud mínima (v , a v2) es una cadena a-cíclica.
Entre los caminos de v ( a v4 hay dos de longitud mínima 1 = 2:
(Vj a v2 b v4) y (vj f v5 d v4) y ambos son cadenas a-cíclicas.
El único camino de v6 a v8 es una cadena a-cíclica.
Vi
a
v2
h
v
8
Fig.2
2. ARBOLES. DEFINICION Y PROPIEDADES
2.1. Definición. Se llama árbol a todo grafo T conexo y a-cíclico
(sin ciclos).
2.2. Propiedad 1. En un árbol T no hay lazos ni aristas paralelas.
Es inmediato, pues si en v¡ hay un lazo a se tendría el ciclo (v¡ a Vj),
y si hubiera aristas paralelas x, y esto es, ambas de extremos u, v, se tendría el ciclo (u x v y u).
Propiedad 2. Un grafo T es un árbol si y sólo si cada par de vértices
distintos puede conectarse por una cadena y ésta es única.
a) Sea T un árbol. La condición de conexidad que debe cumplir T
8
ARBOLES
implica que cada par de vértices distintos u, v puede unirse por una cadena y esa cadena es a-cíclica (consecuencia 2, párrafo 1.1.)
Esa cadena es necesariamente única, pues si entre u y v hubiese más
de una cadena la unión de dos de ellas constituiría un ciclo, contradiciéndose la definición de árbol.
b) Sea T un grafo tal que cada par de vértices distintos se conecta
por una única cadena. Es inmediato que, por ello, T es conexo. También
es a-cíclico, pues si hubiese un ciclo y éste consistiese en un lazo x en u,
de u a otro vértice distinto v, habría dos cadenas
(u x u . . . v) y (u . . . v)
Si el ciclo no es un lazo, debe contener al menos dos vértices distintos
(v a . . . u . . . b v)
a*b
y entonces v, u están conectados por dos cadenas
(va . . . u) y (vb . . . u)
Cabe observar que el grafo constituido por un solo vértice v, sin
aristas, es también un árbol, pues es a-cíclico y conexo si se considera la
cadena de longitud cero. Se lo llama árbol trivial.
Propiedad 3. Si a un árbol T se le agrega una arista, en el grafo ampliado que resulta aparece un ciclo único.
En efecto: si la arista que se agrega incide en los vértices u y v, puede ocurrir:
a) u y v son adyacentes en T, con lo cual la nueva arista permite volver de uno cualquiera de ellos al otro, apareciendo un único ciclo de longitud 2. Si a es la arista en T de extremos u, v, y b es la arista nueva, se
tiene el ciclo (u a v b u).
b ) si u y v no son adyacentes en T, como hay una cadena única entre ellos, al agregar la arista de u a v se cierra la cadena y aparece un ciclo único en el grafo ampliado.
Propiedad 4. Todas las aristas de un árbol son puentes.
Por el absurdo: Si en T hay una arista a que no es puente, el subgrafo T - {a} restante es conexo. Entonces si u y v son los extremos de a, en
dicho subgrafo hay un camino de u a v; al reponer la arista a resulta que
en T hay un circuito.
Observación. Las dos propiedades anteriores indican cómo un árbol
pierde su condición de tal por agregado o supresión de una arista.
Si se agrega, el grafo ampliado tiene un ciclo.
Si se quita, el subgrafo resultante no es conexo.
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Propiedad 5. En un árbol no trivial hay por lo menos dos vértices
pendientes.
Es así, pues: como el árbol no es trivial, tiene aristas. Si se parte de
un vértice cualquiera siguiendo una arista incidente en él, se llega a un
vértice adyacente al primero. Si el segundo vértice del camino no es pendiente hay otra arista incidente en él, a través de la cual se llega a un tercer vértice y así se continúa, sin repetir aristas. En ningún momento se
vuelve a algún vértice anterior, pues no hay ciclos. Por tanto, como V es
finito, el proceso tiene un final, esto es, el camino necesariamente termina y esto significa que el fin del camino es un vértice pendiente w. Repitiendo el proceso anterior a partir de w, el nuevo camino también termina
en un vértice distinto que también es pendiente.
Los vértices pendientes de un árbol se llaman hojas del árbol.
Consecuencia. Todo vértice no pendiente u hoja de un árbol es
un istmo.
Si v no es pendiente, g(v) > 2. AI suprimirse ese vértice, naturalmente se suprimen las aristas incidentes en él, que son puentes y por lo
tanto se produce la desconexión del grafo.
Propiedad 6. En todo árbol T = (V, A, cp), el número de aristas es
igual al número de vértices menos 1. O sea:
¡A¡= | V | - 1
Por inducción sobre el número de vértices
1) Si | V | = 1, T es trivial; no hay aristas, o sea | A ¡ = 0 = | V | - 1.
Si j V j = 2 (para no considerar el muy especial caso del árbol trivial),
la unicidad del camino entre ambos vértices indica que | A | = 1 = | V | - 1 .
2) ¡ V | = n ==> ¡ A | = n - l , entonces | V | = n + l = » | A | = n
Sea T un árbol con n + 1 vértices. Por propiedad 4 hay por lo menos 2 vértices pendientes. Sea v uno de ellos; si se lo suprime, con la
única arista incidente en él, como corresponde, el grafo restante G(v)
es también conexo, pues v no es istmo y en G(v) tampoco hay ciclos; o
sea G(v) es un árbol T' con n vértices y por lo tanto con n - 1 aristas. Si
se agregan el vértice y la arista quitados, se reconstruye T con n + 1 vértices y n aristas, o sea
¡ A | = n = (n - 1) + 1 = ¡ V | - 1
Definición. Se llama bosque a todo grafo G no conexo y a-cíclico.
La no-conexidad de G implica que el grafo tiene más de una componente conexa, cada una de las cuales es también a-cíclica, o sea, es un árbol.
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ARBOLES
Propiedad 7. Sea G = (V, A, <p) un grafo de n vértices. Entonces, se
cumple que:
a) G es conexo y (A| = n - l
G es un árbol
b)Ges a-cíclico y /A ( = n - í => G es un árbol
Demostración
a) Si G no es un árbol, como es conexo, entonces tiene por lo menos
un ciclo. Ninguna de las aristas de un ciclo es un puente, por lo que si se
elimina una arista cualquiera a de ese ciclo no se pierde la conexidad.
Entonces, el subgrafo restante G a es conexo con n vértices y n - 2 aristas; G a no puede ser un árbol, pues no se cumple la relación dada por la
propiedad 5, o sea que G a también presenta un ciclo. Repitiendo el razonamiento, al cabo de un número k de pasos (k > 1) debería llegarse necesariamente a un subgrafo conexo y a-cíclico, o sea un árbol con n vértices y cuyo número de aristas es menor que n - 1, lo cual es un absurdo.
b) Si G no es un árbol, como es a-cíclico, debe ser no conexo, o sea es
un bosque con k componentes conexas (k > 1) que son árboles. Sean G t ,
G2 . . . G k tales árboles. Llamemos m¡ al número de vértices y rj al número
de aristas de G¡ (i = 1, . . . , k); entonces Vi: i = 1, . . . k: r¿ = m¡ - 1.
Además, n^ + m2 + . . . + m k = n = | V | y ^ + r2 + . . . + r k = | A |
O sea:
(n^ - 1) + (m2 - 1) + . . . + (mk - 1) = ¡ A |
m t + m2 + . . . + m k - k = | A |
n - k = | A | ; n - k = n - 1 de donde k = 1
lo cual indica que es falso que G no es conexo.
3. ARBOLES GENERADORES
Sea T un árbol de n vértices. Si a T se le agrega una arista se obtiene
un grafo de n vértices y n aristas que no es un árbol, pues presenta un ciclo (propiedad 3) pero sigue siendo conexo. La arista que se agrega puede ser un lazo en cualquiera de los n vértices, puede tener como extremos dos hojas, o una hoja y un vértice de grado mayor que 1, o ambos de
grado mayor que 1 en el árbol dado. Esto señala la posibilidad de obtener
distintos grafos conexos con los n vértices de T y con n aristas. Reiterando el procedimiento se obtienen otros grafos conexos con los n vértices
iniciales y mayor número de aristas. Todos los grafos conexos así obtenidos se dice que están generados por el árbol T.
Naturalmente, eliminando de los grafos generados por T la o las
aristas agregadas se obtiene el árbol T.
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Se trata ahora de ver si, inversamente, dado un grafo conexo
G = (V, A, cp) existe un árbol con los mismos vértices que G. Esencialmente consiste en determinar si existe un subgrafo S de G, S = (V', A', cp)
con V' = V, A' c A, que sea conexo y con el menor número posible de
aristas.
Propiedad 8. Todo grafo conexo (finito) G tiene un árbol generador.
En efecto: si el grafo conexo G es a-cíclico, él mismo es un árbol. Si
G tiene ciclos, se sigue el razonamiento efectuado en la demostración de
la propiedad 6 a): esto es, la supresión de aristas en sucesivos ciclos, que
conduce al cabo de un número finito de pasos a un subgrafo G' conexo y
a-cíclico, es decir, un árbol con los mismos vértices que G.
Naturalmente se pueden obtener distintos árboles generadores de G,
dependiendo ello de la elección de la arista que se suprime en cada ciclo
y, aun, de la elección del ciclo si hay más de uno. Es de destacar que la
arista que se suprima debe ser parte de un ciclo, pues en caso contrario se
perdería la conexidad.
La figura siguiente muestra una secuencia de pasos para hallar un
árbol generador del grafo (a); en cada uno de ellos se marca la arista que
se suprime.
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig.3
En (a) no se puede suprimir a3, pues es un puente. Hay varios ciclos,
por ejemplo el que tiene como sucesión de aristas (a, a7 a6). Se suprime
ax y se obtiene el subgrafo (b) en el que a3 y a6 son puentes, por lo que no
se pueden suprimir. Finalmente, en el proceso indicado en la figura 3 se
obtiene el árbol (d).
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ARBOLES
Otros árboles que se podrían obtener, entre otros, son los siguientes.
Fig. 4
Todos ellos, como el (d), tienen los 6 vértices de (a) y 5 aristas.
4. ARBOLES DIRIGIDOS
Si G = (V, A, cp) es un grafo, puede obtenerse a expensas de él un
digrafo sin más que asignar una orientación a cada arista de G. Esto significa sustituir la función de incidencia cp por la función de incidencia dirigida 5, de modo que Vx € A: si cp(x) = {u,v} entonces
5(x) = (u,v) o bien 5(x) = (v,u).
Si G es un árbol como el representado por (a) en la figura siguiente,
se puede obtener, en la forma indicada, distintos digrafos; entre ellos
(b), (c)y(d).
(a)
(b)
K
V
(c)
(d)
Fig. 5
Recíprocamente, si en los digrafos dados por (b), (c) y (d) se elimina la orientación de las aristas se obtiene un árbol.
Definición. Se llama árbol dirigido a todo digrafo D = (V, A, 5) tal
que: si se sustituye la función de incidencia dirigida 5 por la función de
incidencia f, de modo que
Vx G A: f(x) = {u,v} sii 5(x) = (u,v) o S(x) = (v,u)
el grafo (V, A, cp) que resulta es un árbol.
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Cabe observar que un árbol dirigido no es necesariamente un digrafo conexo, como lo prueba el contraejemplo siguiente: en (b) el vértice
Vj sólo está conectado por cadenas dirigidas con v2 y con v3 y ninguna lo
conecta con v4, v5 o v6.
Los árboles dirigidos son útiles para representar y analizar ciertas situaciones que se plantean en términos de digrafos, cuyos diagramas tienen
similitud con los de los árboles pero en los cuales las aristas, naturalmente, son dirigidas u orientadas. Tal es el caso, por ejemplo, de los árboles
genealógicos, las cadenas de mando o de orden jerárquico en una organización, los diseños de distribución de servicios de una corporación, las
etapas de elaboración de un producto y, en general, todas las situaciones
en que se define una relación binaria no simétrica en un conjunto finito.
Así, en el árbol dirigido (b) podría considerarse que Vj, V5 y v¿ son
lugares de embarque de mercaderías con destino a centros comerciales
v2, v3 y v4. En (c) puede asumirse que v2, v4, v5 y v6 son los descendientes varones de la pareja constituida por Vj y v3. En (d) se puede ver que
los vértices representan a 6 miembros de una empresa vinculados por la
relación "x es superior jerárquico de y".
5. ARBOLES ENRAIZADOS
En diversas situaciones que se plantean en términos de árboles dirigidos, se distingue algún vértice particular como origen de todo el sistema representado. Por ejemplo: el jefe máximo en el orden jerárquico en
instituciones, empresas y organizaciones en general; la fuente de distribución de un determinado servicio; el antepasado masculino (o bien femenino) conocido más remoto en el árbol genealógico de una familia.
Dicho vértice no presenta antecesores en la relación definida por las aristas dirigidas o por los pares ordenados de vértices que las determinan; es
decir, en el lenguaje de digrafos tiene invalencia nula (a él no llega ninguna arista dirigida), pero de él parten aristas que permiten conectarlo
con los vértices restantes mediante una cadena orientada.
Tal es el caso de v2 en el árbol dirigido (d) de la figura 5. En cambio, en (b) y en (c) ningún vértice tiene esa particularidad.
Definición. Dado un árbol dirigido T = (V, A, 5), se llama raíz de T,
si existe, a un vértice vG G T tal que inv(vQ) = 0 y hay una cadena
dirigida única de v 0 a cualquier otro vértice v * vQ.
El árbol dirigido T con raíz v 0 se llama árbol arraigado y se
indica (T, vG).
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ARBOLES
Propiedad 9. Sea (T, v0) un árbol arraigado. Entonces se verifica que:
(1) T es a-cíclico
(2) v0 es la única raíz de T
(3) todo vértice v * v 0 tiene invalencia igual a 1.
Demostración
(1) Se cumple por definición de árbol dirigido: si en (T, v0) hubiese
un ciclo, al eliminar la orientación de las aristas aparecería un ciclo en el
árbol no dirigido, lo cual es imposible.
(2) Si existiese otra raíz vQ' en T habría una cadena dirigida de v 0 a v0',
pues vG es raíz, y una cadena dirigida de v0' a vG, pues v0' es raíz. La unión
de ambas cadenas es un ciclo de v0 a vQ, lo cual es imposible por (1).
(3) Si v * v0, existe una cadena dirigida única de v 0 a v, con sucesión de vértices
(v0 . . . u v)
(a)
Entonces, hay una arista que parte de u y llega a v. Por tanto, la invalencia de v no es nula. Si inv(v) > 1, habría otra arista, al menos, que
llega a v procedente de un vértice w * v. Este vértice w no puede ser v0,
pues la cadena de v 0 a v es única; entonces, hay una cadena única de v0 a
w. Si a esta última se le agrega la arista que va de w a v, resulta que, además de la cadena (a) hay una distinta (v0 . . . w v) de v 0 a v, lo que es
imposible por definición de raíz.
Entonces, si v * vG, inv(v) = 1.
Definición. Dado un árbol arraigado (T, v 0 ), se llama nivel de un
vértice v a la longitud de la única cadena de v 0 a v.
Resulta así que la raíz vG tiene nivel 0.
La definición de raíz y la propiedad 9, caracterizan plenamente a un
árbol arraigado y, junto con el concepto de nivel de un vértice, dan las
pautas para su representación mediante un diagrama especial, típico de
esta clase de árboles.
Dicho diagrama se obtiene de la manera siguiente:
a) se representa la raíz vQ. Ninguna arista llega a vQ; la o las aristas
salientes de v 0 se dibujan orientadas hacia abajo.
b) los vértices a los que llegan las aristas anteriores son de nivel 1;
se dibujan sobre una misma línea horizontal, como muestra la figura 6.
Todos estos vértices son de invalencia 1 (propiedad 9), por lo que no
habrá otras aristas que lleguen a ellos, pero podrán tener aristas que
partan de ellos.
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15
c) las aristas que parten de los vértices de nivel 1, se dibujan también con flechas hacia abajo.
d) los vértices a los que llegan las aristas dibujadas en el paso 2 son
de nivel 2 y se dibujan también sobre una misma línea horizontal. También son de invalencia 1, por lo que no llegan a ellos otras aristas.
Se continúa así hasta representar al o los vértices de nivel máximo.
v / T ^ .
v4
(a)
v5
v2
- v3
(b)
(c)
Fig. 6
La nomenclatura usual para árboles arraigados deriva de la usual en
relación con los árboles del reino vegetal y con los árboles genealógicos.
Además del término raíz se usa también el de hoja, como en el caso de los
árboles no dirigidos, pero en el caso de los arraigados con una restricción.
Se llama hoja de un árbol arraigado a todo vértice de ex-valencia nula.
En el diagrama de la figura 6(a) son hojas vx, v2, v4, v5.
Si v es un vértice de nivel i y w es un vértice de nivel i + 1 al cual
llega una arista que sale de v, o sea, existe la arista a tal que 5(a) = (v, w)
se dice que v es el padre de w y que w e s u n hijo de v. Así en la figura
6(a) vQ es el padre de vl5 de v2 y de v3; v4 y v5 son hijos de v3.
En general, se llama descendiente de un vértice v a todos los vértices w
tales que v es un vértice perteneciente a la única cadena dirigida de vQ a w.
La raíz vG es el único vértice que no tiene padre; por tal razón se lo
llama también fuente u origen. Si v * v0, como inv(v) = 1, entonces tiene
un solo padre pero puede tener uno, varios o ningún hijo.
A los hijos de un vértice v se los llama también sucesores inmediatos de v.
Las hojas de un árbol arraigado resultan ser los vértices que no tienen descendientes.
Se llama altura de un árbol arraigado al nivel del o los vértices de
nivel máximo. La altura del árbol arraigado representado en la figura
6(a) es 2, y la de (b) y (c) es 3.
ARBOLES
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Un árbol enraizado se dice que es n-ario si todos sus vértices tienen,
a lo sumo, n hijos. Es decir, si para todo vértice v, exv(v) < n. Un árbol
binario es un árbol enraizado 2-ario. Los árboles (a) y (c) de la figura 6
son ternarios, mientras que (b) es binario.
Un árbol n-ario es n-ario regular si para todo vértice v que no sea
una hoja, exv(v) = n.
Un árbol n-ario regular es n-ario pleno si todas sus hojas tienen el
mismo nivel. O sea, todas las hojas tienen ni vel igual a la altura del árbol.
Ninguno de los árboles arraigados de la figura 6 son regulares y por
lo tanto tampoco son n-ario plenos.
V,
(a)
(b)
Fig. 7
En la figura 7, el árbol arraigado (a) es binario regular, pero no es
pleno pues las hojas v3 y v4 tienen nivel 2 y las v7 y v8 tienen nivel 3. El
árbol (b) es ternario regular pleno de altura 2 •
ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL. Vil Nro. 25, Setiembre de 1992
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TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS
|
Profesor J O R G E E. B O S C H
(Cuarta Parte)
Ejemplo 2. Recordemos la definición de espacio topológico compacto. Si t es una topología sobre el conjunto A, diremos que el espacio topológico (A, i) es compacto si todo cubrimiento de A por conjuntos abiertos
admite un subcubriniiento finito. En términos más precisos: (A, t) es compacto si, cada vez que se tiene una familia de abiertos {Uj / i G 1} cuya
unión es A, existe una subfamilia finita de la dada ( U , , . . . , U„(, con j el
para j = 1 , . . . , n, tal que la unión de estos U;- es también A.
Un resultado clásico de la topología general es el siguiente:
si / : (A, t) —• (B, f ) es una función biyectiva y continua entre espacios
topológicos y además se verifica que (A, t) es compacto y (B, f ) es de
Hausdorff, entonces / - ' también es continua. (Como información adicional se obtiene que en tales condiciones (B, f ) resulta a su vez compacto.)
Entonces, si tomamos como objetos los espacios topológicos de Hausdorff compactos, como morfismos las funciones continuas entre tales espacios, y como composición la composición usual de funciones, se obtiene obviamente una categoría, a la que designaremos por TTC2. Se ve enseguida que en esta categoría los bimorfismos son las funciones continuas biyectivas; por el teorema mencionado, todos los bimorfismos resultan ser isomorfismos (que en el ámbito específico de la topología se
denominan homeomorfismos). Por otra parte, el Teorema 6 establece que
todo isomorfismo es bimorfismo (en cualquier categoría). Esto prueba
que en TTC2 los conceptos de bimorfismo e isomorfismo son equivalentes, siendo TTC2 una categoría evidentemente topológica (y además muy
usual, de modo que el ejemplo no es artificioso).
9. Definición formal de categoría
Vimos en 2 lo que hemos llamado definición preliminar de categoría.
En realidad, esa definición será suficiente para todo lo que desarrollaremos en este texto, pero conviene saber que existe otra definición -más exigente y más compleja que la anterior- a la que llamaremos definición formal. El lector que no esté interesado en sutilezas conceptuales puede prescindir de este parágrafo sin perturbar su comprensión general del tema.
18
TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS
Antes de exponer la definición formal diré algunas palabras acerca
de su motivación, la que está íntimamente relacionada con las ideas que
fundamentan una versión elaborada del concepto de función, como la
que presenta Bourbaki.
La cuestión se puede exponer elementalmente del siguiente modo.
Se suele decir que una función f , del conjunto A en el conjunto B, es un
conjunto de pares ordenados (x, y), con x £ A, y G B, tal que para todo x
perteneciente a A existe un elemento y sólo uno y, perteneciente a B, con
la propiedad de que (x, y) G / . Esta definición, que es muy útil y práctica,
tiene el inconveniente de que, de acuerdo con ella, una función posee infinitos codominios. En efecto: si B es codominio de / y B está incluido
en C, entonces C es también codominio de / . Y escribiremos en tal caso:
/ : A -—• B y / : A —• C
Esto trae aparejada una situación que puede llegar a resultar engorrosa. Veamos un ejemplo típico.
Sea 1 A la función identidad sobre A, o sea el conjunto de todos los
pares ordenados de la forma (x, x), con x G A. Sea ahora B un conjunto
cualquiera que incluya a A; en ciertos casos interesa distinguir especialmente la función inclusión de A en B, a la que denominaríamos zAB, y
que estaría definida así:
iAB: A —> B , dada por /AB(.x) = x
Conceptualmente, se piensa en 1A como en una función intrínsecamente ligada al conjunto A, y en /AB como en una función intrínsecamente ligada al par ordenado de conjuntos (A, B). Pero he aquí que, de
acuerdo con la definición de función que estamos considerando, resulta
i A — zAB. Más aún, la inclusión de A en B es indistinguible de la inclusión de A en C (en el supuesto de que A esté también incluido en C).
Estas igualdades,
1 a ~ 'AB = 'AC ' etcetera
contrarían nuestra intuición acerca de lo que deberían ser las funciones
identidad y las funciones inclusión; por añadidura, en ciertas ocasiones
las igualdades precedentes dificultan de manera notable la formulación
de algunas propiedades.
La raíz de estos males reside, como he anticipado, en que la definición de función como conjunto de pares ordenados permite la existencia
de infinitos codominios para una misma función. Esta anomalía se arregla modificando la definición de función de modo tal que a cada función
corresponda un único codominio. Así como está asegurada la unicidad
PROF. JORGE E. BOSCH
19
del dominio, hay que asegurar la unicidad del codominio. Esto se consigue con el sencillo expediente de colocar al codominio (y de paso también al dominio) en la definición de función. Entonces, lo que antes llamábamos función (conjunto de pares ordenados) pasará ahora a llamarse
gráfica funcional; y la función propiamente dicha será un ente más complejo constituido por la gráfica funcional, el dominio y el codominio.
Llegamos así a las siguientes definiciones:
Definición de gráfica funcional. Se llama gráfica funcional del
conjunto A en el conjunto B a todo subconjunto G del producto cartesiano A x B tal que, para todo x £ A existe un elemento y € B, único, tai
que (x, y) € G.
Definición formal de función. Se llama foración del conjunto A en
el conjunto B a toda terna ordenada / = (A, B, G), cuyas dos primeras
componentes son dichos conjuntos, en el orden dado, y cuya tercera
componente es «na gráfica funcional de A en B. Se anota:
/ : A —• B
Es obvio que, con esta definición, desaparecen los casos patológicos
que hemos señalado más arriba. Una función no puede tener más que un
codominio, que es la segunda componente de la terna ordenada. Si se
cambia el codominio cambia la tema ordenada y en consecuencia se obtiene otra función, aunque se conserven el mismo dominio y la misma
gráfica. En cuanto a la identidad i A , veamos cómo se construye.
Sea ante todo SA = {(x, x) / x G A}, llamado diagonal del producto
cartesiano A x A. Es obvio que se trata de una gráfica funcional de A en
A. Y ahora se pone por definición: 1A = (A, A, SA). Si A está incluido en
B, la inclusión de A en B se define ahora así:
iAB = (A, B, 5 a )
Y se ve claramente que, salvo en el caso de que sea A = B, las funciones 1 A e /AB son distintas, aunque poseen la misma gráfica funcional.
Esta definición formal de función tiene una consecuencia que incide
directamente en la definición de categoría. Situándonos en la categoría
TC, consideremos el conjunto de morfismos Mor(A,B), que es simplemente el conjunto de todas las funciones de A en B. Todas estas funciones son de la forma / = (A, B, G), donde G es una gráfica funcional de A
en B. Cambiemos uno de los conjuntos A o B; por ejemplo, cambiemos
3 por B' (siendo B' * B), y consideremos el conjunto Mor (A, B5). Sus
elementos son funciones de la forma g = (A, B \ G'). El conjunto A sigue
;
iendo el mismo y podría ser que la gráfica G' coincidiera con la G indi-
20
TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS
cada antes; pero es seguro, por hipótesis, que B' * B, y esto basta para
asegurar que / * g. En consecuencia, Mor{A,B) no tiene ningún elemento común con Mor (A, B'), o sea que estos conjuntos de morfismos son
disjuntos. Lo mismo, y por análogas razones, sucede con Mor(A,B) y
Mor(A\ B), si A * A'. Y finalmente, es obvio que si A * A' y B * B \
Mor (A, B) es disjunto con Mor(A\ B'). En resumen, se tiene la siguiente
propiedad fundamental:
(A, B) * (A', B') =» Mor (A, B) n Mor(A\ B') = <j>
Para la correcta interpretación del antecedente conviene recordar
que el par ordenado (A, B) es distinto de (A', B') si y sólo si es A * A'
oB*B\
En otras palabras, con la nueva definición de función los conjuntos
Mor(A,B), de la categoría TC, son dos a dos disjuntos. Esto no se cumple, obviamente, con la anterior definición de función (simplemente como conjunto de pares ordenados). Ahora bien: si se adopta este criterio
para la categoría básica TC, es razonable extenderlo a toda otra categoría. Esto nos conduce a agregar un quinto axioma a la definición de categoría que vimos en 2, pero antes diremos algo sobre notaciones.
Hasta ahora hemos introducido algunos nombres para categorías particulares bien determinadas, como TC, TG, TT, etcétera, pero no hemos
necesitado usar nombres para categorías genéricas; por ejemplo, no hemos
usado frases tales como "sea X una categoría cualquiera", donde "X" designa a una categoría particular pero no determinada, o sea a lo que podríamos llamar una categoría genérica. En términos lógicos más estrictos, podemos decir que nos están faltando variables de categorías. Bien: tales variables (que en lenguaje intuitivo designan a categorías particulares genéricas) serán letras de los tipos siguientes: A, B, C, M, N, R, S, T, etcétera.
Diremos entonces, por ejemplo, "sea A una categoría cualquiera". Consecuentemente, debemos hacer más precisa la notación Mor{A, B), usada
hasta ahora para designar al conjunto de morfismos de A en B, en una categoría que se supone predeterminada. Pero si a esta categoría predeterminada la hemos llamado A, resulta natural usar una notación como
MorA(A, B) para designar a aquel conjunto de morfismos; como tendremos
ocasión de ver, los mismos entes A y B pueden ser objetos de otra categoría
B, y entonces el conjunto de los morfismos de A en B en la categoría B se
designaría por MorB(A, B), y esto no provocaría confusiones. Pero se ha generalizado entre los especialistas en teoría de categorías otra notación, más
breve y más cómoda, para designar al mencionado conjunto de morfismos
de A en B en la categoría A, que es ésta: A (A, B). Tenemos entonces:
PROF. JORGE E. BOSCH
21
A(A, B) = MorÁ(A, B), B(A, B) = MorB(A,E) , etc.
Desde ahora en adelante adoptaremos esta nueva notación más sencilla. Seguiremos usando la notación Mor, pero para referirnos a la totalidad de los morfismos de una categoría. Así, pues,
Mor(A)
designará al conjunto (o a la clase) de todos los morfismos de la categoría A, independientemente de cuáles sean su dominio y su codominio.
También se puede decir que Mor (A) es la unión de todos los conjuntos
A(A,B), variando A y B entre todos los objetos de la categoría A. Finalmente, llamaremos
Ob(A), o bien \A \ ,
al conjunto (o a la clase) de todos los objetos de la categoría A.
Definición casi formal de categoría. Una categoría es un par ordenado A = (| A |, Mor(A)), donde | A | es una clase de entes que se denominan objetos de A, y Mor(A) es una clase de entes que se denominan
morfismos de A, tales que:
(i) Para cada par ordenado de objetos (A, B) existe y es único el
conjunto de los morfismos de A en B, que se anota A(A, B), cuyos elementos pertenecen a Mor(A); para indicar que / pertenece a A (A, B) se
podrá escribir también / : A —+ B, siempre que no haya ambigüedad
acerca de la categoría A a la que se refiere dicha notación;
(ii) Cada vez que se tiene en A una situación como:
/
5
A —• B —* C ,
existe y es único el morfismo compuesto gof: A —* C;
(iii) La composición de morfismos es asociativa, o sea que si se tiene el esquema
/
*
h
A — B— C—D
se verifica
ho(gof) = (hog)of;
(iv) Para cada objeto A, existe un morfismo 1A: A —- A, llamado
morfismo idéntico sobre A o identidad de A, que es elemento neutro para
la composicion de morfismos a derecha e izquierda; o sea que si se tiene
/ : A —* B y g: C —* A, se verifica:
folA
=
f
y 1a°8
=
8 ;
22
TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS
(v) Para objetos cualesquiera A, B, A', B', se verifica:
(A, B) * (A', B') =• A(A, B) n A(A',B') = <j>
Si se tiene / : A —• B en una categoría cualquiera, A se llama dominio
o fuente de / y B se llama codominio o blanco de / , en dicha categoría.
Hemos llamado casi formal a esta definición, por lo siguiente: el
axioma (i) expresa de manera indirecta que una componente esencial de
la categoría A es una cierta función que a cada par ordenado de objetos
(A, B) asigna un conjunto de morfismos. Designemos a esta función por
MorA y veamos cuáles son su dominio y su codominio. Es obvio que el
dominio es el producto cartesiano j A | x | A |. Sus valores son conjuntos
de morfismos, es decir, elementos del conjunto de las partes de Mor(A),
al que designamos por P(Mor{A))\ esto significa que el codominio de la
función MorA es precisamente P(Mor(A)), Luego, podemos poner, con
notación funcional:
MorA: \A\x\A\
- * P(Mor(A))
Si esta función es una componente esencial de la categoría A, como
hemos dicho, debe formar parte de su definición,o sea que la categoría A
no sería un par ordenado sino una terna ordenada:
(| A |, Mor(A), MorA)
Todavía falta aclarar algo acerca de la función MorÁ: deseamos que
la unión de todos los conjuntos de la forma MorA(A,B) (o sea, la unión
de todos los valores de la función Mor(A) sea precisamente el conjunto
Mor(A), porque si no fuera así resultaría que habría por lo menos un elemento / de Mor (A) que no aparecería en ninguno de los conjuntos
MorA{A, B); esto significa que / sería un morfismo que no tendría dominio ni codominio, y esta situación no es deseable. Hay que agregar entonces un axioma que establezca que, para todo morfismo f de A, existe
algún par ordenado de objetos (A, B) tal que / G MorA(A, B). De los
axiomas va a resultar que ese par ordenado (A, B) es único.
Pero aquí no acaban las observaciones formales. Así como la función MorA debe formar parte de la estructura de la categoría A, lo mismo
debe suceder con la forma en que se componen los morfismos; esto se pasa por alto cuando los morfismos son funciones (o entes construidos básicamente con funciones) porque se acepta que en tales casos la composición más apropiada es la conocida composición de funciones. Pero debemos situarnos en el caso más general, en el que los morfismos son entidades cualesquiera, para las que no hay una composición "natural" establecida de antemano; y aún en algunos casos en que los morfismos son fun-
PROF. JORGE E. BOSCH
23
ciones (o cosas parecidas) puede ser interesante considerar otra noción de
composición para ellos. Si estamos de acuerdo en que conviene introducir, en la estructura de la categoría A, una noción abstracta general de
composición de morfismos, veamos qué clase de ente es la composición.
Si nos dan como datos los conjuntos A (A, B) y A(B, C), la composición
aparece como una función de producto cartesiano de estos dos conjuntos
(en el orden dado) con valores en el conjunto A (A, C). En efecto: a cada
par ordenado ( f , g) € A (A, B) x A(B, C) corresponde el morfismo compuesto gof, que pertence a A (A, C). Hasta aquí la cosa es sencilla, pero
observemos que se deben dar eventualmente muchas (quizá infinitas) de
estas funciones, una para cada terna ordenada de objetos (A, B, C). Entonces estamos en presencia de una función mayor que a cada terna ordenada de tipo (A, B, C) asigna como valor una función de A(A, B) x A(B, C)
en A(A, C). A esta función mayor vamos a llamarla CompA. ¿Cuál es el
dominio de esta función? Por lo anterior, es el conjunto de todas las ternas
ordenadas de objetos de A, es decir, el conjunto |A| x [A| x |A|.Y, ¿cuál
es el codominio de CompAl Evidentemente, es un conjunto de funciones
del tipo A(A, B) x A(B, C) —* A(A, C); lo que hace CompA es seleccionar
una particular función entre todas las que responden a ese esquema. Llamemos F4 a la unión de todos los conjuntos de funciones del tipo indicado
variando de todas las maneras posibles la terna ordenada (A, B, C). Entonces FA es un aceptable codominio para CompA. Tenemos así:
CompA. | A | x | A | x | A |
Y CompA{A, B, C) es una función de A(A, B) x A(B, C) en A(A, C),
o sea que
CompA(A, B, C) : A (A, B) x A(B, C) — A (A, C)
Esto muestra que CompA(A, B, C) es una función que, aplicada al
par ordenado ( f , g) perteneciente al indicado producto cartesiano, produce como valor un elemento de A (A, C). Se conviene entonces en adoptar
la notación
CompA(A, B, C) ( f , g) = gof
Para que el segundo miembro fuera completamente inambiguo se
requeriría poner en evidencia la categoría A, y anotar entonces
8°aÍ >
pero esto no se hace casi nunca porque en general el contexto indica
claramente a qué categoría corresponde el signo de composición de
morfismos.
TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS
24
Habíamos empezado por definir una categoría A como un par ordenado (| A |, Mor(A))\ después, al agregar la función MorA, el par ordenado se transformó en una terna ordenada; y finalmente ahora agregamos la
función CompA, con lo cual obtenemos una cuaterna ordenada.
Definición formal de categoría. Una categoría A es una cuaterna
ordenada A = (| A |, Mor(A), MorA, CompA), donde | A | es un conjunto
cuyos elementos se denominan objetos de A; Mor(A) es un conjunto, cuyos elementos se denominan morfismos de A; MorA es una función
MorA: | A | x | A | —• P(Mor(A)), conviniendo en poner
MorA(A, B) = A (A, B) y / € A (A, B) <=> / : A — B en A;
y CompA es una función CompA: ¡ A ¡ x | A | x | A | —* FA, siendo FA la
unión de todos los conjuntos de funciones de tipo
A (A, B) x A (B, C) — A (A, C),
para toda terna (A, B, C) € | A | x | A | x | A |, y conviniendo en poner
CompA (A, B, C) ( f , g) = gof en A.
Estos datos están sometidos a los siguientes axiomas:
(i) Existencia de dominio y codominio. Para todo / € Mor(A) existen A, B, £ | A |, tales que / : A —• B; en tal caso se dice que A es el dominio y B el codominio de / en A;
(ii) Asociatividad. Si se tiene en A el esquema
/
g
h
A —• B —• C —* D
se verifica
h o ( g o f ) = (hog) o / e n A;
(iii) Existencia de elementos neutros. Para todo objeto A € J A |
existe un morfismo 7 A : A —* A, que es elemento neutro para la composición a izquierda y a derecha:
Para todo / : A—*-Bes/o7 A = / y
Para todo g: C —»• A es 1A o g = g;
(iv) Disjunción. Para objetos A, B, A', B', cualesquiera, se verifica:
(A, B) * (A', B') => A (A, B) n A (A', B') = (j)
Primer Corolario. Para cada morfismo / de A existen un único
dominio y un único codominio.
La demostración es obvia en virtud del axioma (iv).
PROF. JORGE E. BOSCH
25
Segundo corolario. Para cada objeto A de A el morfismo idéntico 1 A es único.
En efecto, si hubiera otro morfismo idéntico 1 'A se tendría, por ser
i A idéntico:
1ao1\
=
1'A ,
=
1A >
y por ser 1 'A idéntico:
1ao1\
de donde se deduce que 1 \ = 1 A .
Criterio práctico para definir categorías. De acuerdo con la definición formal de categoría que acabamos de dar, cada vez que se desea
definir una categoría particular se debe presentar una cuaterna ordenada
del tipo (| A |, Mor(A), MorÁ, CompA), cuyas componentes deben responder a la descripción dada en la primera parte de la citada definición, y
además deben cumplir los axiomas (i), (ii), (iii) y (iv) de la misma. Por
obvias razones de simplicidad se puede omitir la mención explícita de la
cuaterna pues, para que ésta quede definida, basta con establecer claramente cuáles son sus componentes. Y esto se hará, a su vez, de la manera
más sencilla posible. El método práctico que adoptaremos para definir
una categoría particular A será el siguiente:
l e ) Se establece con precisión cuál es la clase de objetos, | A |;
2 2 ) Para que quede definida una función MorA, de dominio
| A | x | A | y cuyos valores son clases, basta definir con precisión, para
cada cupla (X, Y) de objetos, una clase A(X,Y). O, lo que es lo mismo,
basta definir cuáles son los morfismos del tipo / : X —*• Y.
32) Para que quede definida una función CompA de las características señaladas en la definición formal de categoría, basta establecer con
precisión, para cada triple (X, Y, Z) y para cada morfismo / : X —*• Y y
cada morfismo g: Y —>• Z, cuál es el morfismo compuesto
gof:X—*Z.
Una vez que se den estos tres pasos diremos que tenemos definidos
los datos; para demostrar que ellos forman una categoría A habrá que probar que cumplen los axiomas (i) a (iv) de la definición formal de categoría.
Ejemplo: la categoría TC formal. Aplicaremos este criterio para
redefinir la categoría de los conjuntos y las funciones, pero tomando
ahora la definición formal de función que expusimos más arriba.
I2) Los objetos de TC formal son los conjuntos (como antes);
22) Para cada cupla (X, Y) le conjuntos, los morfismos
/ : X —+ Y
TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS
26
son las funciones formales de X en Y, o sea las ternas ordenadas
/ = (X, Y, G) siendo G una gráfica funcional de X en Y;
32) Para cada esquema del tipo
/
g
X— Y —Z
con / = (X, Y, G), g = (Y, Z, H), la composición se define así:
fog = (X, Z, HoG): X —• Z ,
donde H o G es la composición usual de G con H como gráficas funcionales (o sea como funciones en sentido informal).
Quedan así definidos los datos. Corresponderá ahora al denodado
lector verificar que estos datos satisfacen la definición formal de categoría, en el sentido de que responden a la descripción que ésta exige y cumplen los axiomas (i) a (iv). La categoría así definida según el criterio
práctico será llamada TC formal y, si no hay lugar a confusión, sera simbolizada simplemente por TC.
10. Subcategorías
Definición de subcategoría. Sean A y B categorías. Diremos que
A es subcategoría de B, y anotaremos A < B, si se cumplen las condiciones siguientes:
(i) | A |
(ii) Para X, Y, e j A \, A(X, Y) B(X, Y);
(iii) Para todo X e ¡ A |, el morfismo idéntico de X en B, l x , pertenece a A(X, X);
(iv) Para X, Y, Z, € A y para / : X —• Y, g: Y
Z, en A, el morfismo compuesto gof en A coincide con el morfismo compuesto gof en B.
Ejemplo: las inclusiones. Para no torturar al lector con excesivos
detalles aceptaremos que, si se toman como objetos los conjuntos, como
morfismo de X en Y únicamente la inclusión de X en Y, o sea la función
formal (X, Y, 5X), donde 5X es la diagonal del conjunto X, y como composición la que hemos descripto en el ejemplo precedente, al final de 9,
se obtiene una categoría, a la que llamaremos Categoría de las inclusiones y designaremos por Inc. Demostraremos a continuación,basándonos
en la definición anterior, que Inc < TC.
(i) Esta condición se cumple obviamente pues | Inc | = | TC |.
PROF. JORGE E. BOSCH
27
(ii) Inc(X, Y) está incluido en TC(X,Y) porque las inclusiones son
funciones.
(iii) El morfismo idéntico 1 x de X en TC es la función idéntica
(X, X, 5X), el cual es también la inclusión de X en X y por tanto
pertenece a Inc(X, X).
(iv) La composición de inclusiones (que es a su vez una inclusión),
considerada como composición en Inc, coincide con la composición de dichas inclusiones en TC, porque precisamente hemos
convenido en adoptar como composición de inclusiones la
composición de las mismas consideradas como funciones.
Luego, Inc < TC •
Continúa en el próximo número.
ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL. VII Nro. 25, Setiembre de 1992
29
PROPUESTA DIDACTICA
Licenciada L U C R E C I A C. I G L E S I A S
Cuando los alumnos ingresan a la escuela secundaria tienen larga
experiencia en cuanto a realizar experiencias con números naturales. Sin
embargo, la formalización de sus conocimientos que importa introducir
en primer año no puede ser ajena a los problemas que, en este momento
de su desarrollo evolutivo, pueden producirse por un exceso de formalización. Por otra parte, para que el aprendizaje de reglas formales resulte
significativo debe eludir el abordaje de situaciones obvias en un marco
de solemnidad que lo haga aparecer como un rigor presuntuoso .
No es el momento de hacer ciencia axiomática, sino de hacer una
aproximación intuitiva. Con este espíritu hemos organizado la siguiente:
GUIA DE TRABAJO
Las operaciones directas en N = {1, 2,...}
(o sea en el conjunto de números naturales)
1. Completar los cuadros de suma y multiplicación entre números naturales.
2° factor
22 sumando
+
1
2
3
4
5
6
7
+
1
1
2
2
3
8
1
2
3
4
5
6
7
3
4
4
5
5
6
6
7
7
15
2. Observando los cuadros, responder:
a) ¿Se pueden extender las filas y columnas, de modo que se
pueda escribir el resultado de la operación para cualquier par de números naturales?
PROPUESTA DIDACTICA
30
b) Si se cambia el orden de los sumandos o de los factores,
¿qué se puede asegurar acerca del resultado? Dar ejemplos.
c) ¿Qué resulta cuando sumo 1 a un número natural? ¿Y si lo
multiplico por 1? Dar ejemplos.
d) Si aumentan el valor de un sumando, ¿cómo varía la suma?
Dar ejemplos. ¿Y si aumenta el valor de los factores? Dar ejemplos.
e) Si en algún cuadro observas otra regularidad en el comportamiento de los resultados, anótala.
3. Vamos a recordar cómo se encuentra el resultado de una potenciación entre números naturales. Lee atentamente:
Recordamos:
52 significa 5 x 5
y resulta 25
3
2 significa 2 x 2 x 2
y resulta 8
34 significa 3 x 3 x 3 x 3
y resulta 81
y, en general, dados los números naturales b y n
b"significa
bxbx ... x b
— — — - V — —
n veces b
b se llama base,
n se llama exponente,
el resultado de la operación se llama potencia.
Completa el cuadro de potenciación entre números naturales,
sólo en todos los casos en que la potencia no exceda el número
100.000 (o sea 105). Usa calculadora, si lo necesitas.
exponente
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
216
4
5
6
7
LIC. LUCRECIA C. IGLESIAS
31
a) ¿Se pueden extender las filas y columnas del cuadro hallando el resultado de la potencia para cualquier base y exponentes naturales?
b) Explora con ejemplos qué ocurre con el resultado de la potencia cuando se cambia el exponente por la base y la base por el
exponente.
Lo mismo, cuando se aumenta la base.
Lo mismo, cuando se aumenta el exponente.
c) Observa qué ocurre con el resultado de la potencia cuando el
exponente es 1 y también cuando la base es 1.
Estos ejercicios han sido planteados como trabajo individual, pero
importa que, para la puesta en común de las respuestas, los alumnos
formen pequeños grupos de discusión con el encargo de producir un
acuerdo propio de cada grupo. Lo acordado debe poder exhibirse en un
panel de afiches o en el pizarrón o por la lectura de un texto. Todos los
grupos deben tener la misma oportunidad o disponer del mismo espacio
que los demás. Aunque el recorrido por los productos de todos los
grupos resulte reiterativo en muchos aspectos, es importante que cada
grupo muestre su propia formulación, muchas veces incompleta o
defectuosa, para que los alumnos mejoren sus formas de expresión.
Además, si hay contradicciones es la oportunidad para que los alumnos
validen o refuten sus opiniones.
Cuando se llega a un acuerdo general sobre cada respuesta, es el
momento de que el profesor institucionalice los resultados: debe resumir,
destacar las nociones importantes, informar sobre la nomenclatura
adecuada para que los alumnos conozcan expresiones como:
operación conmutativa
elemento neutro
elemento absorbente
ley de monotonía
A continuación es el momento de abordar el orden de las operaciones. Analicemos el ejercicio que sigue:
PROPUESTA DIDACTICA
32
¿En qué orden se efectúan las operaciones? Completar el cuadro:
3 - 5 + 22
Ia
operación
3-5
2i
operación
3a
operación
Resultado
22
15 + 4
19
( 3 - 5 + 2)2
3 • (5 + 2)2
( 3 + 5) • 22
[(3 + 5) • 2]2
3 + (5 • 2)2
( 3 + 5 • 2)2
3 + 5-22
Como se puede observar, si hay alumnos que no respetan las convenciones que rigen el orden de las operaciones, la confrontación de sus
resultados con los de los demás mostrará discrepancias y dará lugar a
que se expliciten las convenciones y se fijen las reglas de lectura del orden de las operaciones. Conviene plantear el problema inverso.
Escribir en símbolos:
1. A 7 hay que sumarle el resultado de elevar a la tercera potencia el
producto de 4 por 9.
2. A la suma de 2 y el cuadrado de 8 hay que multiplicarla por la tercera potencia de 5.
3. Elevar a la tercera el resultado de sumar el cuadrado de 3 con el
producto entre 2 y 7.
Hallar los resultados.
El próximo paso es introducir expresiones literales; por ejemplo, en
cálculos de su valor numérico para determinados valores asignados a
sus letras:
LIC. LUCRECIA C. IGLESIAS
Resolver:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
33
3 • (B + b)2 =
x + 2 - x2 =
3 • n2 + n 3 =
2(y2 + 3 - y) =
4xy2 + 4x2y =
5 • n • (m2 + 3m + 6) =
2 • y + (x • y)3 + 2 • x =
para B = 6 ; b = 4
para x = 3
para n = 2
para y = 5
para x = 1 ; y = 3
para n = 2 ; m = 4
para x = 3 ; y = 6
Para abordar la asociatividad de la suma y la multiplicación en N se
propone la siguiente:
GUIA DE TRABAJO
1. Resolver mentalmente
a) 100 + 100 + 10 + 100 + 10 + 3 + 100 =
b) 2 • 5 • 3 • 2 • 5 =
2. ¿Lo hiciste respetando el orden de izquierda a derecha? Si
no, escribe las operaciones según las hayas efectuado (si hace falta,
usa paréntesis).
3. Compara tu trabajo en a) y b) con las operaciones que siguen
y anota en qué se parecen y en qué se diferencian:
a) (100 + 100 + 100 + 100) + (10 + 10) + 3
a') 3-100 + 2 - 1 0 + 3
b) (2 - 5) • 3 - (2 • 5)
b') ( 2 - 5 ) - ( 2 - 5 ) - 3
b") 1 0 - 1 0 - 3
b'")102 - 3
4. En 3 se plantean las mismas operaciones que en 1, pero varía
la forma de asociar un sumando con otro o un factor con otro. ¿A
qué conclusión se llega acerca del resultado?
5. ¿Por qué en 2*5 + 3 y 2 • (5 + 3) no se puede decir que un factor o un sumando haya cambiado solamente su forma de asociación?
34
PROPUESTA DIDACTICA
6. a) ¿Hay en la columna B una expresión que resulte de cambiar sólo la forma de asociación de algún sumando o algún factor en
una de las expresiones de la columna A? Unirlas con una flecha.
A
B
5-8+4
(8 + 7) + 2
7 - (6 • 5)
3 + (25 + 7)
9 + 4-62
(2m) • n
a + (b + c)
3m + 1
h2 + (B + b)
8-5+4
(7 • 5) • 6
(9 + 4) • 62
1 + 3m
(h2 + B) + b
3 + (7 + 2)
3(m + 1)
(7 + 8) + 2
n • (2m)
(h + B)2 + b
(3 + 25) + 7
2 • (m • n)
9 + (4 • 6)2
8 + (7 + 2)
(a + b) + c
b) ¿Cómo son los resultados de efectuar las operaciones en una
expresión de la columna A y en la que le corresponde en la B por
estar unida a ella con una flecha? (Si las expresiones son literales
elige valores numéricos y calcula con ellos ambas expresiones.)
7. ¿Para qué números naturales el cálculo de (a + b) + c da un
resultado distinto de a + (b + c)?
¿Para qué números naturales el cálculo de (x • y) • z da un resultado distinto de x • (y • z)?
Si no los encuentras, escribe tus conclusiones.
A la puesta en común de los resultados sigue la institucionalización, por
parte del profesor, de la propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.
Queda pendiente, para futuras entregas:
- la integración de todas las propiedades analizadas en la práctica;
- la introducción de las operaciones inversas;
- la inclusión de o •
ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL. VII Nro. 25, Setiembre de 1992
35
LA COMPUTACION COMO RECURSO
|
Profesora ELENA G A R C I A
SIMULACION
El trabajo que presentamos en este número fue desarrollado por las
profesoras Ruth Schaposchnik y Bibiana Altamirano durante el curso-taller "Modelos y Simulación" que tuve el gusto de coordinar en la Escuela de Docentes de ORT Argentina durante el verano de este año.
Introducción:
Con el advenimiento de la computadora, la simulación se convirtió
en una de las más importantes herramientas para analizar la estructura y
funcionamiento de sistemas o procesos complejos.
Básicamente podemos considerar a la simulación como una técnica
para realizar experiencias en una computadora digital. Estas experiencias
involucran ciertos tipos de modelos lógico-matemáticos que permiten
describir el comportamiento de sistemas sociales, biológicos, industriales, administrativos, etc. A través de la simulación se pueden estudiar los
efectos que cambios internos o externos producirían en el sistema, lo que
permite sugerir estrategias para su mejoramiento.
Los pasos necesarios para realizar simulaciones son:
1. Definir el sistema a estudiar.
2. Formular un modelo adecuado.
3. Recolectar datos.
4. Implementar computacionalmente el modelo.
5. Validar el modelo.
6. Experimentar.
7. Interpretar.
8. Documentar.
La existencia de software adecuado permite llevar esta técnica a la
escuela media y utilizarla como instrumento pedagógico en la adquisición de las habilidades básicas del tratamiento analítico de situaciones.
En el presente trabajo se analizan cuatro ejemplos. En todos los casos se trata de grupos de poblaciones y el objetivo es estudiar el comportamiento de los grupos en distintas situaciones, tratando de predecir posi:les estados de estabilidad.
LA COMPUTACION COMO RECURSO
36
Es importante destacar que todos los ejemplos pueden resolverse
analíticamente mediante ecuaciones en diferencia. Para lo cual se necesitan conocimientos de álgebra matricial, autovectores y autovalores.
Ejemplo 1:
Para investigar ciertos aspectos de las migraciones internas en los
Estados Unidos un equipo cuenta con la siguiente información: cada año
2/10 de la gente que vive en una ciudad se muda a los suburbios y 1/10
de la gente que vive en los suburbios se muda al centro. Se quiere analizar la evolución en la distribución de la población a través del tiempo y
predecir presuntas configuraciones estables.
Resolución por simulación
Se planteó un modelo sencillo donde a partir de datos sobre cantidad
de pobladores del centro y los suburbios se analiza la evolución en 20 años.
Para su implementación computacional se empleó una planilla de
cálculo
A
B
C
1
2
3
4
5
año
0
1
2
3
centro
1000
900
830
781
suburbios
1000
1100
1170
1219
21
22
19
20
667
667
1333
1333
En la columna A se colocaron los años a estudiar de 0 a 20, el año 0
indica el estado inicial de las poblaciones en ambas zonas.
En la columna B se indica la población del centro de la ciudad. En
la fila 2, correspondiente al año 0, se colocó la población inicial como
valor numérico. En las restantes filas la población se calcula como la del
año anterior menos un veinte por ciento, más un décimo de la población
de los suburbios del año anterior; esto se logra colocando, por ejemplo,
en la celda B3 la fórmula +B2*0.8+C2*0.1.
En la columna C se indica la población de los suburbios, en la celda
C2 se coloca como valor numérico la población inicial de esta zona y en
PROF. ELENA GARCIA
37
las restantes celdas de la columna la fórmula +Ci*0.9+Bi*0.2 , donde i
indica la fila anterior a la que pertenece la celda que se está trabajando.
i
i+1
A
B
C
j
+B¡*0.8+Q*0.1
+Cj*0.9+Bj*0.2
+
j l
Preparada así la planilla se cambian los valores iniciales en varias
oportunidades.
Se grafican además los resultados en gráficos de tipo de líneas o
X-Y, donde se toma como variable independiente el año y como variables dependientes las poblaciones del centro y los suburbios.
Resultados:
Se observa, en primer lugar, que independientemente de los valores
iniciales la población llega a una distribución estable en la que 2/3 está
en las afueras y 1/3 está en la ciudad, y en segundo lugar que el número
de estados intermedios es variable y que no depende directamente de la
"aproximación" de los valores iniciales a los valores del estado estable.
RESOLUCION ANALITICA
El planteo conduce a una ecuación en diferencias:
Y1 = 0.9*Y0+0.2*Z0
Z1 = 0.1*Y0+0.8*Z0
donde YO, ZO son los valores iniciales y Yl, Z1 los valores al cabo del
primer año.
El número total de habitantes permanece fijo, y las cantidades de
ambas poblaciones no pueden ser negativas.
Podemos asociar la ecuación anterior a una ecuación matricial:
Yl \ _ / 0.9
0.2 \
Z1 J
0.8 j
^0.1
/ YO \
'
\ ZO
)
Llamaremos a la matriz: "matriz de transición". Notemos que las
propiedades mencionadas se reflejan en la matriz: cada columna suma 1
i no se pierde ni se gana gente) y además todos los coeficientes son positivos (si YO y ZO también lo son, siempre se obtendrán valores positivos).
38
LA COMPUTACION COMO RECURSO
Es evidente que, a partir de los valores iniciales, cualquiera de los
estados subsiguientes puede calcularse multiplicando sucesivamente la
matriz de transición por el vector columna conformado con los valores
considerados actuales en cada etapa.
Dado que la población total no aumenta ni disminuye, el estado estacionario corresponderá al vector propio correspondiente al valor propio
X = 1, o sea y = (XI, Xl/2).
Si bien la descripción del proceso está dada determimsticamente, ya
que a partir de cualquier estado puede determinarse unívocamente el siguiente, es posible darle a este proceso una interpretación probabilística.
Si el individuo vive en las afueras de la ciudad, existe una probabilidad 0.1 de que se mude dentro y viceversa. Ya no se sabe dónde se encuentra, pero se obtiene para cada año la probabilidad de que esté viviendo dentro o fuera de la ciudad.
Estas probabilidades suman 1, ya que el individuo tiene que estar en
algún lado, y además nunca son negativas. Estas cuestiones nos remiten
nuevamente a las características que debe tener la matriz de transición:
cada columna suma 1 y cada a¡j > 0.
En general, analizando los valores propios de la matriz de transición, pueden predecirse ciertas características que tendrá el proceso.
Si todos los valores propios son menores a 1 (uno), el proceso será
"estable", esto quiere decir que se estabilizará en 0.
Si los valores propios no superan a 1 pero al menos uno de ellos toma el valor 1, el proceso será "neutralmente estable", se estabilizará en
algún valor distinto de 0.
Si al menos un valor propio es mayor a 1 (uno) el proceso será
"inestable".
Según esta clasificación, el proceso descripto anteriormente es "sumamente estable".
Puede encontrarse un desarrollo teórico completo y riguroso en el libro "Algebra Lineal y sus aplicaciones" de Gilbert Strang.
Veamos ejemplos en los que se presentan los otros dos casos.
Ejemplo 2:
Se estudia una especie de escarabajo que sólo vive tres años, y se
reproduce en su tercer año de vida. Se estima que el grupo del primer
año sobrevive con probabilidad 1/2, y el grupo del segundo año
sobrevive con probabilidad 1/3. Además, en el tercer año cada individuo
produce seis crías.
Se quiere analizar la evolución de la población a través del tiempo.
PROF. ELENA GARCIA
39
Resolución por simulación
Se implemento una planilla como la que se describe a continuación:
A
B
1
2
3
4
5
6
Año
0
1
2
3
4
Crías
3000
18000
6000
3000
18000
22
20
6000
C
D
Jóvenes Adultos Valores
3000
3000 iniciales
1500
1000
9000
500
3000
3000
1500
1000
9000
500
Fórmulas
i
i+1
A
B
C
j
j+l
+D¿*6
+B/2
D
+
Cj/3
Una vez formulado el modelo que calcula cada estado a partir del
anterior, se repitió el proceso tres veces, tomando para las condiciones
iniciales los valores que se consignan en la siguiente tabla:
Crías
Jóvenes
Adultos
Serie 1
3000
3000
3000
Serie 2
Serie 3
200
1000
50
1000
250
0
Crías: grupo de 1 año.
Jóvenes: grupo de 2 años.
Adultos: grupo de 3 años.
LA COMPUTACION COMO RECURSO
40
TABLA 1
AÑOS
CRIAS
JOVENES
ADULTOS
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3000
18000
6000
3000
18000
6000
3000
18000
6000
3000
18000
3000
1500
9000
3000
1500
9000
3000
1500
9000
3000
1500
3000
1000
500
3000
1000
500
3000
1000
500
3000
1000
TABLA 2
AÑOS
CRIAS
JOVENES
ADULTOS
0
1
2
3
4
5
'6
7
8
9
10
200
300
2000
200
300
2000
200
300
2000
200
300
1000
100
150
1000
100
150
1000
100
150
1000
100
50
333
33
50
333
33
50
333
33
50
333
41
PROF. ELENA GARCIA
TABLA 3
AÑOS
CRIAS
JOVENES
ADULTOS
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1000
0
500
1000
0
500
1000
0
500
1000
0
250
500
0
250
500
0
250
500
0
250
500
0
83
167
0
83
167
0
83
167
0
83
Resultado
Se observa, para los tres casos, que la población pasa por tres estados y luego vuelve al estado inicial (ver tablas 1-3).
O sea que a lo largo del tiempo se produciría un proceso cíclico en
el que el sistema pasa periódicamente por un conjunto finito y acotado
de valores.
Es interesante distinguir entre los dos tipos de "estabilidad". En este
caso, podríamos decir que se trata de una estabilidad "dinámica", ya que
a su vez consta de varios estados diferentes.
Según la clasificación presentada anteriormente, este proceso es
"neutralmente estable", ya que los estados posibles permanecen acotados.
La matriz de transición es la siguiente:
0 0 6
1/2 0 0
0 1/3 0
Sus valores propios verifican
< 1.
Ejemplo 3:
Para investigar cuáles son las consecuencias de la caza en una población de focas contamos con los siguientes datos: sin tener en cuenta la
42
LA COMPUTACION COMO RECURSO
caza se sabe que de los cachorros, el 85% llega al primer año de vida. De
los demás, el 89,4% cumple im año más.
La reproducción en las distintas clases de edad, y por lo tanto los
nacimientos provenientes de padres de distintas edades, es representada
en la siguiente tabla en cantidad de cachorros por cada 1000 padres.
edad padres 0
1
2
3
4
5 o más
cant./lOOO
0
0
53 240 249
352
Llevando a cabo el proceso de simulación, se observa que la población de focas crecerá. Este proceso es "inestable" desde el punto de vista
de la clasificación anterior.
Mediante un cálculo analítico podría verificarse que la matriz de
transición asociada al proceso tiene por lo menos un autovalor que verifica > 1.
Ejemplo 4
Ahora vamos a incluir al estudio los datos que tenemos sobre la caza de focas:
• se estima que de todos los animales de 3 años y mayores, se matan
tantos que la probabilidad de supervivencia baja a 81,1%.
• de los recién nacidos, según estimaciones, se captura el 78,6%.
Conclusiones
Replanteando el modelo, incluyendo la incidencia de la caza, se alteran totalmente los resultados: independientemente de los valores iniciales la población se extinguirá en algún momento.
Este proceso es "estable". El proceso converge a valores en 0.
Guía de ejercicios
Presentamos a continuación una serie de ejercicios propuestos para
ser resueltos por los alumnos.
Consideramos que esta propuesta de trabajo es adecuada para alumnos del ciclo superior, ya que para introducir o para profundizar algunos
temas de Algebra Lineal o para familiarizarse en el manejo de matrices y
sistemas de ecuaciones lineales.
Cabe destacar que por la característica de los ejemplos presentados
no es necesario un profundo conocimiento de las herramientas computacionales, sino que pueden resolverse mediante modelos sencillos, conociendo instrucciones básicas de alguna planilla de cálculo como el LOTUS 1-2-3.
PROF. ELENA GARCIA
43
Ejercicios propuestos
Para cada una de las siguientes situaciones, plantear el modelo, realizar la simulación y escribir la matriz de transición.
Ejercicio 1: Se tiene una población de parejas de conejos, que crece
según las siguientes reglas:
• se reproducen a partir del segundo año de vida (al haber cumplido
un año).
• cada pareja en edad de reproducir, da a luz una nueva pareja.
Se quiere estudiar la evolución de la población de conejos a través
de los años.
Ejercicio 2: Supongamos que hay tres centros principales de camiones "Múdese usted mismo". Cada mes, la mitad de los que están en Boston y en Los Angeles van a Chicago. La otra mitad permanece donde está, y los camiones de Chicago se dividen igualmente entre Boston y Los
Angeles. Se quiere saber si en algún momento el número de camiones en
cada una de las ciudades será estable.
Ejercicio 3: Supongamos que hay una epidemia en la que cada mes
se enferma la mitad de los que están sanos, y muere la cuarta parte de los
que están enfermos. Estudiar la evolución de la epidemia. Sería interesante incluir "inmunidad total o parcial".
Ejercicio 4: Un curso de química se imparte en dos secciones, A y
B. Cada semana dejan el curso x\a de los que están en la sección A y '/s
de los que están en la sección B, y además '/s de cada sección se transfiere a la otra.
Estudiar la evolución de la distribución de alumnos a partir de distintos valores iniciales, a través del tiempo.
Ejercicio 5: Volvamos ahora a nuestra historia de escarabajos (ver
ejemplo 4). Dado que ha aumentado el uso de insecticidas ha disminuido
la fertilidad: en vez de 6 pequeños nacen ahora sólo 3.
Investigar las consecuencias de este hecho a largo plazo.
BIBLIOGRAFIA
- Strang, Gilbert: Algebra Lineal y sus aplicaciones.
- Matrices (proyecto HEWET): apunte traducido por Diana
Rosemberg.
- Santaló, Luis: Enseñanza de la matemática en la escuela media.
- Coss, Raúl: Simulación, enfoque práctico •
44
LOS PROBLEMAS MATEMATICOS EN EL AULA
LOS ^PBOBLEMAS MATEMATICOS EM ^
AUJLA
!
Profesora MARIA E S T H E R S P I V A K DE H E R N A N D E Z
PROBLEMAS RESOLUBLES POR
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Un tanque contiene 100 kg de salmuera con un contenido de sal
del 5%. ¿Cuántos kilogramos de agua pura deben evaporarse para obtener salmuera con un contenido de sal del 8%?
2. Dos personas A y B parten al mismo tiempo de dos poblaciones
distintas caminando el uno hacia el otro. Se presentan dos situaciones:
a) Si B camina 1 km por hora más aprisa que A, entonces se encuentran al cabo de 6 horas.
b) Si A y B caminan ambos con la misma velocidad, entonces el encuentro se produce al cabo de 51¡4 horas.
Calcular la distancia entre las dos poblaciones.
3. Juan puede recorrer caminando cierta distancia en 20 minutos y
Pedro puede hacer el mismo recorrido, también caminando, en 30 minutos. Si Juan parte 5 minutos después que Pedro, ¿cuánto tiempo habrá estado caminando Pedro antes de ser alcanzado por Juan?
4. Una tripulación puede remar con una velocidad de 9 km por hora
en agua tranquila. Si necesita el doble de tiempo para recorrer una cierta
distancia contra la corriente, que el que emplea para hacerlo en la dirección de la corriente, calcular la velocidad de la corriente.
5. Un bote con motor navega 10 km corriente abajo, en el mismo
tiempo que tarda en navegar 6 km comente arriba. Si su velocidad disminuye 4 km por hora en ambos sentidos, entonces la velocidad del bote
cuando va corriente abajo es el doble que cuando navega corriente arriba. Calcular la velocidad que lleva cuando navega comente abajo.
6. ¿Cuántos kilogramos de un material que tiene un 60% de plata
pura y cuántos de otro que contiene 90% de ese metal deberán mezclarse
para obtener 6 kg de aleación con un 80% de plata pura?
7. Determinar a qué hora, entre las 3 y las 4, se sobreponen las adujas del reloj. (Sugerencia: tener en cuenta que el minutero da una vuelta
completa en el cuadrante del reloj, de 0 a 0 (o de 12 a 12) exactamente
en 1 hora, mientras que en ese lapso el horario recorre exactamente 1/12
del cuadrante.)
ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL. VII Nro. 25, Setiembre de 1992
45
8. Determinar a qué horas, entre las 3 y las 4, las manecillas del reloj quedan opuestas entre sí.
9. ¿A qué horas, entre las 4 y las 5, las dos manecillas del reloj forman un ángulo recto?
10. Dos personas A y B deciden alternarse para hacer un trabajo. A
puede hacer el trabajo total en 4 horas mientras B tardaría 12 horas en
hacerlo. Comienza a trabajar B y al cabo de un cierto tiempo es reemplazado por A. Si el tiempo total empleado para hacer todo el trabajo es de
6 horas, calcular el tiempo durante el cual trabajó B.
Resolución de problemas del número anterior
1. Sea y el número de baldosas cuadradas del lote. Si para embaldosar el primer cuadrado se usaron x baldosas por lado, el total empleado
es x2 baldosas, y como sobraron 87 piezas resulta que
y = x2 + 87
(1)
Para cubrir el segundo cuadrado se usaron x + 1 baldosas por lado,
por lo que se emplearon (x + l) 2 baldosas con un faltante de 40, o sea:
y = (X + 1)2 _ 40
(2)
2
2
Resulta entonces
(x + l) - 40 = x + 87
x2 - 2x - 39 = x2 + 87
2x = 126
x = 63
Reemplazando en (1) o en (2) se obtiene y = 4056
2. Para resolver este problema se requiere que el alumno posea conocimientos elementales de geometría analítica: ecuación de la recta determinada por dos puntos; coordenadas del punto medio de un segmento;
ecuación de la recta que sea perpendicular a una recta dada y que pase
por un punto determinado.
Entonces, aplicando las fórmulas correspondientes, se tiene que:
a) la ecuación de la recta que contiene a los puntos A = (1, -2) y
B = (3, 0) es
y =x - 3
el punto medio M del segmento de extremos A y B es M = (2, -1), la
ecuación de la mediatriz del segmento AB es
y = -x + 1
(1)
b) este punto se resuelve directamente usando la pendiente de la recta mediatriz de ecuación (1), o sea a = -1, que es el valor de la
tangente del ángulo a que dicha recta forma con el eje de abscisas, de donde resulta a = 3JI/4 O 135°.
46
LOS PROBLEMAS MATEMATICOS EN EL AULA
De otro modo: el ángulo buscado es congruente con el que forma
cualquier paralela a la mediatriz con el eje de abscisas, en particular el
que forma la paralela de ecuación y = -x, o sea la recta que contiene a las
bisectrices del primer y del tercer cuadrante. O sea, el ángulo es
7T
71
371
3. a) Las intersecciones de la circunferencia de centro en el origen
del sistema de coordenadas con la recta de ecuación x + 7y - 25 = 0 se
hallan resolviendo el sistema
x2 + y2 = 25
x + 7y - 25
Se obtienen ios puntos A = (4 , 3) y B = (-3 ,4)
b) Las ecuaciones de las tangentes en A y en B se obtienen como las
ecuaciones de la recta perpendicular a OA en A y de la perpendicular a OB en B, respectivamente.
Se tiene que:
la ecuación de OA es
y = 3/4x
(1)
la ecuación de OB es
y = -3/4x
(2)
Entonces resulta
tg A:
y = -4/3x + 25/3
y = 3/4x + 25/4
tgB:
c) De (1) y (2): OAÍ.OB
OA X OB
O A -L tg A
OAIOB
OB // tg A
'
tg B _L OB
OA // tg B
De aquí resulta que el cuadrilátero AOBP, donde P es el punto de intersección de las dos tangentes, es un paralelogramo con 3 ángulos rectos
(los de vértices Os A y B). Por lo tanto, el ángulo pedido también es recto.
d) Como long OA = long OB = r (radio de la circunferencia), el cuadrilátero anterior es rombo y como también es rectángulo resulta
ser un cuadrado cuya área es r2. La cuerda AB es una diagonal de
ese cuadrado, por lo tanto
Area APB = l/2r2
5. Se sabe que la población de un país disminuye un 10% al cabo de
cada período de 10 años y que durante el mismo lapso se permite la radicación de un millón de extranjeros. Se pide calcular el numero de residentes al cabo de 1, 2, 3,..., h décadas a partir de una fecha determinada.
PROF. MARIA ESTHER SPIVAK DE HERNANDEZ
47
Si n es la población inicial, al cabo de 10 años el número de habitantes es
g9
n, =
n + 1 , tomando como unidad el millón
10
al cabo de 20 años es
2
n 2 = — n,1 + l = — I — n + l ) + l - í — I n + — + 1
10
10 \ 10
/
V 10 /
10
al cabo de 30 años es
=
n
10
n7 + 1 = 1-^-1 n +
+
+1
\ 10 )
lio /
10
al cabo de h décadas es
h
l 10 /
l 10 )
10
Si al cabo de un cierto tiempo la población permanece estacionaria,
se desea saber el número de personas que la constituyen.
Sea n' la población estacionaria; entonces, 10 años después será n', o sea
—
10
n' + 1 = n'
, o sea n' = 10
6. Sabiendo que en el instante inicial del estudio de un medio de
cultivo había 103 bacterias y que el número de éstas se duplica cada media hora, se pide determinar al cabo de cuánto tiempo habrá no menos de
a) 104 bacterias, b) 105 bacterias.
Al cabo de 1, 2, ..., n períodos de media hora cada uno, el número
de bacterias será:
103 • 2 , 103 • 22 , 103 • 23 , . . . , 103 • 2 n , respectivamente
Por lo tanto habrá:
a) al menos 104 bacterias si: 103 • 2 n > 104 o sea si 2a > 10 para lo
cual n > 4, o sea, al cabo de 2 horas.
b) al menos 105 bacterias si: 103 • 2 n > 105 o sea si 2 n > 100 debiendo ser n > 7, o sea al cabo de 3 horas y media.
7. Se tiene una progresión aritmética
a
l > a 2> a 3> • • • » a 7 ' a 8> • • •
tal que
aj + a^ = 477
(1)
y
a8 - a2 = 18
y se quiere hallar la suma de los 10 primeros términos.
(2)
48
LOS PROBLEMAS MATEMATICOS EN EL AULA
De (2): a8 = a2 + 18. Si se considera la progresión que comienza en a2 y
se aplica la fórmula el n-ésimo término, debe ser:
a8 = a2 + d6 Por lo tanto: d = 3
Entonces a7 = a8 - 3 = a2 + 15. Reemplazando en (1):
a\ + (a2 + 15)2 + 477
Desarrollando los cuadrados se llega a la ecuación:
a 2 + 15a2 - 126 = 0 con raíces 6 y -42
Puede verificarse que para d = 3 y a2 = 6 se satisfacen las condiciones de la hipótesis.
El resto es de solución inmediata.
9. Tres números cuya simia es 15 están en progresión aritmética, es decir,
a1 + a2 + a3 = 15
Si a dichos números se les suma 2, 1 y 3 unidades, respectivamente,
los números que resultan al + 2, a2 + 1, a3 + 1 están en progresión geométrica. Hallar los números considerados.
Si d es la razón o diferencia en la progresión aritmética, entonces
ai = a2 - d
y
a3 = a2 + d
por tanto
a1 + a2 + a3 = 15 = 3a2
y
resulta a2 = 5
Si q es la razón en la progresión geométrica cuyo 2- término resulta
igual a 6, se tiene que
ai + 2 =
,
a3 + 3 = 6q
y como la suma de los tres términos es 21:
— + 6 + 6q = 21
q
Resulta entonces:
6q2 + 6q + 6 = 21q o 6q2 - 15q + 6 = 0
2q2 - 5q + 2 = 0
con raíces 2 y 1/2
Para q = 2
aj + 2 = 3
o sea al = 1
y
a3 + 3 = 12
o sea a3 = 9
y la progresión dada es 1, 5, 9 con d = 4 con 4, 6, 12 en progresión geométrica.
Para q = 1/2 se obtiene a t = 10 y a3 = 0, o sea la progresión 10, 5, 0
con d = -5 y 12, 6, 3 en progresión geométrica •