Ejercicios de geometría

PROBLEMAS MÉTRICOS.
x  2 y  3 z 1
x 1 y 1 z  3




y r2 :
halla:
3
2
4
2
3
1
a) La ecuación del plano que contiene a r2 y es paralelo a r1 .
1. Dadas las rectas r1 :
b) Distancia entre ambas rectas.
Sol: a) -2x+y+z=0; b) 6
2. Considera el plano 2 x  y  z  4  0 .
a) Halla los puntos de corte del plano con los ejes coordenados.
b) Calcula el área del triángulo determinado por estos tres puntos.
c) Halla el volumen del tetraedro determinado por el plano y los ejes de
coordenadas.
2
3
Sol: a) (2, 0, 0), (0, -4, 0), (0, 0,4); b) 9’8 u ; c) 16/3 u
3. a) Obtén la ecuación del plano  que pasa por el punto medio del segmento
PQ siendo P(2, 1, 0) y Q(0, 3, 4) y es perpendicular a dicho segmento.
b) El plano del apartado anterior corta a los ejes de coordenadas en los puntos A B y C. Calcula
el área del triángulo de vértices ABC.
Sol: a) x-y-2z+5=0; b) 15’31 u
2
 x  1  2t

4. a) Halla la proyección ortogonal de la recta r :  y  t
sobre el plano
 z  2  t

 :x yz20.
b) Calcula el ángulo formado por la recta r y el plano.
x  y  z  2  0
; b) 7031'44' '
s:
y  z  2  0
x  1  
2 x  3 y  4  0

5. Dadas las rectas r :  y  2
y s:
halla:
 y  2z  2  0
 z  2

Sol: a)
a) Distancia entre las dos rectas.
b) Obtén la ecuación de la recta perpendicular a r y s.
Sol: a) 10 / 21 ; b) (x, y, z)=(-1/3-2t, -8/3+t, -2+4t)
6. A(0, 1, 2) B(0, 2, 3) y C(0, 2, 5) son tres vértices de un tetraedro. El cuarto vértice D está en la
recta r :
x  2 y z 1
 
. Halla las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro
1
1
1
sea igual a 2
Sol: D (6, -4,-3)
7. P(0, 2, 0) Q(2, 1, -1) son dos vértices de un triángulo, y el tercero S, pertenece a la recta
x  2  t

r :  y  t . La recta que contiene a P y a S es perpendicular a la recta r.
z  3

a) Determina las coordenadas de S.
b) Calcula el área del triángulo.
c) Halla la ecuación de la mediana que pasa por el vértice P.
Sol: a) S (0, 2,3); b)
45 / 2 u 2 ; c) (x, y, z)=(2t, 2-t, 2t)
8. a) Obtén la ecuación de la esfera que tiene el mismo centro que
x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  61  0 y es tangente al plano x+y-z+6=0.
b) Calcula las coordenadas del punto de tangencia.
Sol: a) x  y  z  2 x  2 y  2 z  0 ; b) (-2, -2, 2)
2
2
2
9. Se consideran el punto P(1, 0, 1), la recta r :
x 1 y z 1
 
y el plano  : x  y  z  0 .
1
2
1
Se pide:
a) Obtener el punto P’, simétrico de P respecto del plano  .
b) Determinar la ecuación de la recta que contiene al punto P, corta a la recta r y es paralela el
plano  .
Sol: a) P’(-1/3, -4/3, -1/3); b) (x, y, z)=(1+t, 2t, 1-3t)
10. a) Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos de ecuaciones 3x4y+5=0 y 2x-2y+z+9=0.
b) ¿Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos?
Sol: a) x+2y+5z+30=0, 19x-22y+5z+60=0; b) (0, -15, 0), (0, 30/11, 0)
11. a) Determinar el centro y el radio de la esfera x  y  z  2 x  4 y  8 z  4  0
b) Determinar el centro y el radio de la circunferencia intersección de la esfera del apartado
anterior con el plano z=0.
Sol: a)(1, -2, -4) radio 5; b) (1, -2,0) radio 3.
12. Sean los puntos P(8, 13, 8) y Q(-4, -11, -8). Se considera el plano  , perpendicular al segmento
PQ por su punto medio.
a) Obtener la ecuación del plano  .
b) Calcular la proyección ortogonal del punto (0, 0, 0) sobre  .
c) Hallar el volumen del tetraedro determinado por los puntos en los que el plano  corta a los
ejes coordenados y el origen de coordenadas.)
2
Sol: a)3x+6y+4z-12=0; b) (36/61, 72/61, 48/61); c) 4 u
2
2
3
 x  2  3t

13. Se consideran la recta y los planos siguientes: r :  y  1  2t  1 : 2  3x  2 y  z  0
z  4  t

 2 : 3  2 x  2 y  2 z  0 . Se pide:
a) Determinar la posición relativa de la recta con respecto a cada uno de los planos.
b) Determinar la posición relativa de los dos planos.
c) Calcular la distancia de r a  2 .
Sol: a) r
 1 perpendiculares, r  2 paralelos; b) perpendiculares; c)
14. a) Hallar u punto A que esté sobre la recta
1
12
y  1 x
que diste del punto
r:
z  1  2 x
B(1, 0, 1), doble que del punto C(0, 0, 0) y que esté por debajo del plano XY.
b) Hallar la proyección ortogonal de C sobre la recta BP, donde P es el punto en el que la recta
dada en el apartado anterior corta al plano YZ.
Sol: a) (-1, 0, -1); b) (1/2, 1/2, 1)
15. Se considera el tetraedro cuyos vértices son A(1, 0, 0), B(1, 1, 1), C(-2, 1, 0) y D(0,1, 3).
a) Hallar el área del triángulo ABC y el volumen del tetraedro ABCD.
b) Calcular la distancia de D al plano determinado por los puntos A B y C.
c) Hallar la distancia entre las rectas AC y BD.
Sol: a)
19 2
7 19
7 41
u , 7/6 u 3 ; b)
; c)
2
19
41